Shkruani numrin natyror të përbërë. Studimi i temës së saktë: numrat natyrorë janë numrat, shembujt dhe vetitë

Numrat e plotë shumë e njohur dhe e natyrshme për ne. Dhe kjo nuk është për t'u habitur, pasi njohja me ta fillon që në vitet e para të jetës sonë në një nivel intuitiv.

Informacioni në këtë artikull krijon pamje bazë për numrat natyrorë, zbulon qëllimin e tyre, rrënjos aftësitë e të shkruarit dhe të lexuarit të numrave natyrorë. Për asimilimin më të mirë të materialit jepen shembujt dhe ilustrimet e nevojshme.

Navigimi i faqes.

Numrat natyrorë janë një paraqitje e përgjithshme.

Mendimi i mëposhtëm nuk është i lirë nga logjika e shëndoshë: shfaqja e problemit të numërimit të objekteve (objekt i parë, i dytë, i tretë, etj.) dhe problemi i tregimit të numrit të objekteve (një, dy, tre objekte, etj.) për krijimin e një mjeti për zgjidhjen e tij, ky mjet ishte numra të plotë .

Ky propozim tregon Qëllimi kryesor i numrave natyrorë- mbani informacion për numrin e çdo artikulli ose numrin serial të një artikulli të caktuar në grupin e artikujve të konsideruar.

Në mënyrë që një person të përdorë numrat natyrorë, ata duhet të jenë të arritshëm në një farë mënyre, si për perceptim ashtu edhe për riprodhim. Nëse tingëllon çdo numër natyror, atëherë ai do të bëhet i dukshëm nga veshi, dhe nëse përshkruani një numër natyror, atëherë ai mund të shihet. Këto janë mënyrat më të natyrshme për të përcjellë dhe perceptuar numrat natyrorë.

Pra, le të fillojmë të përvetësojmë aftësitë e përshkrimit (të shkruarit) dhe aftësitë e zërit (leximit) të numrave natyrorë, duke mësuar kuptimin e tyre.

Shënimi dhjetor për një numër natyror.

Së pari, duhet të vendosim se mbi çfarë do të ndërtojmë kur shkruajmë numra natyrorë.

Le të mësojmë përmendësh imazhet e personazheve të mëposhtëm (i tregojmë ato të ndara me presje): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Imazhet e shfaqura janë një rekord i të ashtuquajturave numrat. Le të biem dakord menjëherë që të mos rrokulliset, anim, ose ndryshe shtrembëruar numrat kur shkruani.

Tani ne jemi dakord që vetëm shifrat e treguara mund të jenë të pranishme në shënimin e çdo numri natyror dhe asnjë simbol tjetër nuk mund të jetë i pranishëm. Ne gjithashtu pajtohemi që shifrat në shënimin e një numri natyror kanë të njëjtën lartësi, janë renditur në një rresht njëra pas tjetrës (pothuajse pa dhëmbëzime), dhe në të majtë ka një shifër që është e ndryshme nga shifra 0 .

Këtu janë disa shembuj të shënimit të saktë të numrave natyrorë: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (shënim: dhëmbjet midis numrave nuk janë gjithmonë të njëjta, më shumë për këtë do të diskutohet gjatë rishikimit). Nga shembujt e mësipërm, mund të shihet se një numër natyror nuk i përmban domosdoshmërisht të gjitha shifrat 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; disa ose të gjitha shifrat e përfshira në shkrimin e një numri natyror mund të përsëriten.

Regjistrimet 014 , 0005 , 0 , 0209 nuk janë regjistrime të numrave natyrorë, pasi ka një shifër në të majtë 0 .

Regjistrimi i një numri natyror, i kryer duke marrë parasysh të gjitha kërkesat e përshkruara në këtë paragraf, quhet shënimi dhjetor i një numri natyror.

Më tej, ne nuk do të bëjmë dallimin midis numrave natyrorë dhe shënimit të tyre. Le ta sqarojmë këtë: më tej në tekst, shprehjet si “i dhënë një numër natyror 582 ", që do të thotë se është dhënë një numër natyror, shënimi i të cilit ka formën 582 .

Numrat natyrorë në kuptimin e numrit të objekteve.

Është koha të merremi me kuptimin sasior që mbart numri natyror i regjistruar. Kuptimi i numrave natyrorë për sa i përket numërimit të objekteve konsiderohet në artikullin krahasimi i numrave natyrorë.

Le të fillojmë me numrat natyrorë, shënimet e të cilëve përkojnë me shënimet e shifrave, domethënë me numrat. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 dhe 9 .

Imagjinoni që ne hapëm sytë dhe pamë një objekt, për shembull, si ky. Në këtë rast, ne mund të shkruajmë atë që shohim 1 gjë. Numri natyror 1 lexohet si " një"(deklensioni i numrit "një", si dhe numrat e tjerë, do të japim në paragrafin), për numrin 1 mori një emër tjetër - " njësi».

Sidoqoftë, termi "njësi" është me shumë vlera; përveç numrit natyror 1 , quhen diçka që konsiderohet si një e tërë. Për shembull, çdo artikull nga grupi i tyre mund të quhet njësi. Për shembull, çdo mollë nga shumë mollë është një, çdo tufë zogjsh nga shumë tufa zogjsh është gjithashtu një, e kështu me radhë.

Tani hapim sytë dhe shohim: Kjo do të thotë, ne shohim një objekt dhe një objekt tjetër. Në këtë rast, ne mund të shkruajmë atë që shohim 2 subjekt. Numri natyror 2 , lexohet si " dy».

Po kështu, - 3 subjekt (lexo " tre» subjekt), - 4 (« katër"") e subjektit, - 5 (« pesë»), - 6 (« gjashtë»), - 7 (« shtatë»), - 8 (« tetë»), - 9 (« nëntë”) artikuj.

Pra, nga pozicioni i konsideruar, numrat natyrorë 1 , 2 , 3 , …, 9 tregojnë shuma artikujt.

Një numër, shënimi i të cilit përputhet me shënimin e një shifre 0 , i quajtur " zero". Numri zero NUK është një numër natyror, megjithatë, ai zakonisht konsiderohet së bashku me numrat natyrorë. Mbani mend: zero do të thotë mungesë e diçkaje. Për shembull, zero artikuj nuk është një artikull i vetëm.

Në paragrafët e mëposhtëm të artikullit, ne do të vazhdojmë të zbulojmë kuptimin e numrave natyrorë për sa i përket treguesit të sasisë.

numrat natyrorë njëshifrorë.

Natyrisht, rekordi i secilit prej numrave natyrorë 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 përbëhet nga një shenjë - një shifër.

Përkufizimi.

Numrat natyrorë njëshifrorë janë numra natyrorë, rekordi i të cilëve përbëhet nga një shenjë - një shifër.

Le të rendisim të gjithë numrat natyrorë njëshifrorë: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Janë nëntë numra natyrorë njëshifrorë.

Numrat natyrorë dyshifrorë dhe treshifrorë.

Së pari, ne japim një përkufizim të numrave natyrorë dyshifrorë.

Përkufizimi.

Numrat natyrorë dyshifrorë- këta janë numra natyrorë, rekordi i të cilëve është dy karaktere - dy shifra (të ndryshëm ose të njëjtë).

Për shembull, një numër natyror 45 - dyshifror, numra 10 , 77 , 82 gjithashtu dyshifror 5 490 , 832 , 90 037 - jo dyshifrore.

Le të kuptojmë se çfarë kuptimi kanë numrat dyshifrorë, ndërsa do të nisemi nga kuptimi sasior i numrave natyrorë njëshifrorë tashmë të njohur për ne.

Së pari, le të prezantojmë konceptin dhjetë.

Le të imagjinojmë një situatë të tillë - hapëm sytë dhe pamë një grup të përbërë nga nëntë objekte dhe një objekt më shumë. Në këtë rast, flitet për 1 dhjetë (një duzinë) artikuj. Nëse dikush konsideron së bashku një dhjetë dhe një dhjetë më shumë, atëherë dikush flet për 2 dhjetëshe (dy dhjetëshe). Nëse shtojmë dhjetë me dy dhjetëshe, do të kemi tre dhjetëshe. Duke vazhduar këtë proces, do të marrim katër dhjetëshe, pesë dhjetëshe, gjashtë dhjetëshe, shtatë dhjetëshe, tetë dhjetëshe dhe në fund nëntë dhjetëshe.

Tani mund të kalojmë te thelbi i numrave natyrorë dyshifrorë.

Për këtë, le të shohim numër dyshifror si dy numra njëshifrorë - njëri është në të majtë në shënimin e një numri dyshifror, tjetri është në të djathtë. Numri në të majtë tregon numrin e dhjetësheve, dhe numri në të djathtë tregon numrin e njësive. Për më tepër, nëse ka një shifër në të djathtë në regjistrimin e një numri dyshifror 0 , atëherë kjo nënkupton mungesën e njësive. Kjo është e gjithë pika e numrave natyrorë dyshifrorë për sa i përket treguesit të sasisë.

Për shembull, një numër natyror dyshifror 72 korrespondon 7 dhjetra dhe 2 njësi (domethënë, 72 mollët është një grup prej shtatë duzina mollësh dhe dy mollë të tjera), dhe numri 30 përgjigjet 3 dhjetra dhe 0 nuk ka njësi, pra njësi që nuk janë të bashkuara në dhjetëshe.

Le t'i përgjigjemi pyetjes: "Sa numra natyrorë dyshifrorë ekzistojnë"? Përgjigje: ata 90 .

I drejtohemi përkufizimit të numrave natyrorë treshifrorë.

Përkufizimi.

Numrat natyrorë, shënimi i të cilëve përbëhet nga 3 shenja - 3 quhen shifra (të ndryshme ose të përsëritura). treshifror.

Shembuj të numrave natyrorë treshifrorë janë 372 , 990 , 717 , 222 . Numrat e plotë 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nuk janë tre shifra.

Për të kuptuar kuptimin e natyrshëm të numrave natyrorë treshifrorë, na duhet koncepti qindra.

Një grup prej dhjetë dhjetëshëshe është 1 njëqind (njëqind). Njëqind e njëqind është 2 qindra. Dyqind e njëqind të tjera janë treqind. Dhe kështu me radhë, kemi katërqind, pesëqind, gjashtëqind, shtatëqind, tetëqind dhe në fund nëntëqind.

Tani le të shohim një numër natyror treshifror si tre numra natyrorë njëshifrorë, duke shkuar njëri pas tjetrit nga e djathta në të majtë në shënimin e një numri natyror treshifror. Numri në të djathtë tregon numrin e njësive, numri tjetër tregon numrin e dhjetësheve, numri tjetër tregon numrin e qindrave. Numrat 0 në regjistrimin e një numri treshifror nënkupton mungesën e dhjetësheve dhe (ose) njësheve.

Kështu, një numër natyror treshifror 812 korrespondon 8 qindra 1 dhjetë të parat dhe 2 njësi; numri 305 - treqind 0 dhjetëshe, pra dhjetëshe jo të kombinuara në qindëshe, jo) dhe 5 njësi; numri 470 - katërqind e shtatë dhjetëshe (nuk ka njësi që nuk bashkohen në dhjetëshe); numri 500 - pesëqind (dhjetëshet e pa kombinuara në qindëshe, dhe njësitë jo të kombinuara në dhjetëshe, jo).

Në mënyrë të ngjashme, mund të përkufizohet katërshifror, pesëshifror, gjashtëshifror, e kështu me radhë. numrat natyrorë.

Numrat natyrorë me shumë vlera.

Pra, i drejtohemi përkufizimit të numrave natyrorë me shumë vlera.

Përkufizimi.

Numrat natyrorë me shumë vlera- këta janë numra natyrorë, rekordi i të cilëve përbëhet nga dy ose tre ose katër, etj. shenjat. Me fjalë të tjera, numrat natyrorë shumëshifrorë janë dyshifrorë, treshifrorë, katërshifrorë etj. numrat.

Le të themi menjëherë se grupi i përbërë nga dhjetëqind është nje mije, një mijë mijë është një milion, një mijë milion është nje bilion, një mijë miliardë është një trilion. Një mijë trilion, një mijë mijë trilion, e kështu me radhë, gjithashtu mund të jepen emrat e tyre, por nuk ka nevojë të veçantë për këtë.

Pra, cili është kuptimi i numrave natyrorë me shumë vlera?

Le të shohim një numër natyror shumëshifror si numra natyrorë njëshifrorë që ndjekin njëri pas tjetrit nga e djathta në të majtë. Numri në të djathtë tregon numrin e njësive, numri tjetër është numri i dhjetërave, i radhës është numri i qindrave, pastaj numri i mijërave, tjetri është numri i dhjetëra mijërave, tjetri është qindra mijëra , tjetra është numri i milionave, tjetra është numri i dhjetëra miliona, tjetra është qindra miliona, tjetra - numri i miliardave, pastaj - numri i dhjetëra miliarda, pastaj - qindra miliarda, pastaj - triliona, pastaj - dhjetëra triliona, pastaj - qindra triliona, e kështu me radhë.

Për shembull, një numër natyror shumëshifror 7 580 521 korrespondon 1 njësi, 2 dhjetra, 5 qindra 0 mijera 8 dhjetëra mijëra 5 qindra mijëra dhe 7 miliona.

Kështu, mësuam të grupojmë njësitë në dhjetëra, dhjetëra në qindra, qindra në mijëra, mijëra në dhjetëra mijëra, e kështu me radhë, dhe zbuluam se numrat në regjistrimin e një numri natyror shumëshifror tregojnë numrin përkatës të mbi grupet.

Leximi i numrave natyrorë, klasa.

Ne kemi përmendur tashmë se si lexohen numrat natyrorë njëshifrorë. Le të mësojmë përmendësh përmbajtjen e tabelave të mëposhtme.

Dhe si lexohen numrat e tjerë dyshifrorë?

Le të shpjegojmë me një shembull. Leximi i një numri natyror 74 . Siç kuptuam më lart, ky numër korrespondon me 7 dhjetra dhe 4 njësi, domethënë, 70 dhe 4 . Ne i drejtohemi tabelave të sapo shkruara, dhe numrit 74 lexojmë si: “Shtatëdhjetë e katër” (nuk e shqiptojmë bashkimin “dhe”). Nëse dëshironi të lexoni një numër 74 në fjalinë: “Jo 74 mollët" (rasti gjinor), atëherë do të tingëllojë kështu: "Nuk ka shtatëdhjetë e katër mollë". Një shembull tjetër. Numri 88 - Kjo 80 dhe 8 , pra lexojmë: “Tetëdhjetë e tetë”. Dhe këtu është një shembull i një fjalie: "Ai po mendon për tetëdhjetë e tetë rubla".

Le të kalojmë në leximin e numrave natyrorë treshifrorë.

Për ta bërë këtë, do të duhet të mësojmë disa fjalë të reja.

Mbetet për të treguar se si lexohen numrat natyrorë treshifrorë të mbetur. Në këtë rast do të përdorim aftësitë e fituara tashmë në leximin e numrave njëshifrorë dhe dyshifrorë.

Le të marrim një shembull. Le të lexojmë numrin 107 . Ky numër korrespondon 1 njëqind dhe 7 njësi, domethënë, 100 dhe 7 . Duke iu kthyer tabelave, lexojmë: "Njëqind e shtatë". Tani le të themi numrin 217 . Ky numër është 200 dhe 17 , pra, lexojmë: "Dyqind e shtatëmbëdhjetë." Po kështu, 888 - Kjo 800 (tetëqind) dhe 88 (tetëdhjetë e tetë), lexojmë: "Tetëqind e tetëdhjetë e tetë".

Le të kalojmë në leximin numra shumëshifrorë.

Për lexim, regjistrimi i një numri natyror shumëshifror ndahet, duke filluar nga e djathta, në grupe me tre shifra, ndërsa në grupin më të majtë të tillë mund të ketë ose 1 , ose 2 , ose 3 numrat. Këto grupe quhen klasat. Klasa në të djathtë quhet klasë njësi. Klasa tjetër (nga e djathta në të majtë) quhet klasë me mijëra, klasa e radhës është klasë milionash, tjetër - klasë miliardëshe, pastaj shkon klasë trilionësh. Ju mund të jepni emrat e klasave të mëposhtme, por numrat natyrorë, rekordi i të cilëve përbëhet nga 16 , 17 , 18 etj. shenjat zakonisht nuk lexohen, pasi ato janë shumë të vështira për t'u perceptuar nga veshi.

Shikoni shembuj të ndarjes së numrave shumëshifrorë në klasa (për qartësi, klasat ndahen nga njëra-tjetra me një dhëmbëzim të vogël): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Le t'i vendosim numrat natyrorë të regjistruar në një tabelë, sipas së cilës është e lehtë të mësosh se si t'i lexosh.

Për të lexuar një numër natyror, thërrasim nga e majta në të djathtë numrat që e përbëjnë atë sipas klasës dhe shtojmë emrin e klasës. Në të njëjtën kohë, ne nuk shqiptojmë emrin e klasës së njësive, dhe gjithashtu kapërcejmë ato klasa që përbëjnë tre shifra 0 . Nëse rekordi i klasës ka një shifër në të majtë 0 ose dy shifra 0 , pastaj injoroni këta numra 0 dhe lexoni numrin e marrë duke i hequr këto shifra 0 . Për shembull, 002 lexohet si "dy", dhe 025 - si "njëzet e pesë".

Le të lexojmë numrin 489 002 sipas rregullave të dhëna.

Ne lexojmë nga e majta në të djathtë,

• lexoni numrin 489 , që përfaqëson klasën e mijërave, është "katërqind e tetëdhjetë e nëntë";
• shtoni emrin e klasës, marrim "katërqind e tetëdhjetë e nëntë mijë";
• më tej në klasën e njësive shohim 002 , zerat janë në të majtë, prandaj ne i injorojmë ato 002 lexohet si "dy";
• emri i klasës së njësisë nuk ka nevojë të shtohet;
• si rezultat kemi 489 002 - katërqind e tetëdhjetë e nëntë mijë e dy.

Le të fillojmë të lexojmë numrin 10 000 501 .

• Në të majtë në klasën e miliona ne shohim numrin 10 , lexojmë “dhjetë”;
• shtoni emrin e klasës, kemi "dhjetë milionë";
• më pas shohim rekordin 000 në klasën e mijërave, pasi që të tre shifrat janë shifra 0 , pastaj e kapërcejmë këtë klasë dhe kalojmë në tjetrën;
• Klasa njësi përfaqëson numrin 501 , që lexojmë "pesëqind e një";
• kështu, 10 000 501 dhjetë milionë e pesëqind e një.

Le ta bëjmë pa shpjegime të hollësishme: 1 789 090 221 214 - "një trilion e shtatëqind e tetëdhjetë e nëntë miliardë e nëntëdhjetë milionë e dyqind e njëzet e një mijë e dyqind e katërmbëdhjetë."

Pra, aftësia e leximit të numrave natyrorë shumëshifrorë bazohet në aftësinë për të ndarë numrat shumëshifrorë në klasa, njohjen e emrave të klasave dhe aftësinë për të lexuar numra treshifrorë.

Shifrat e një numri natyror, vlera e shifrës.

Në shkrimin e një numri natyror, vlera e secilës shifër varet nga pozicioni i saj. Për shembull, një numër natyror 539 korrespondon 5 qindra 3 dhjetra dhe 9 njësi, pra figura 5 në hyrjen e numrit 539 përcakton numrin e qindrave, një shifër 3 është numri i dhjetësheve dhe shifra 9 - numri i njësive. Thuhet se numri 9 qëndron brenda shifra e njësive dhe numri 9 eshte nje vlerë shifrore njësi, numri 3 qëndron brenda dhjetra vend dhe numri 3 eshte nje dhjetëra vendvlerë, dhe numrin 5 - në qindra vend dhe numri 5 eshte nje qindra vendvlera.

Kështu, shkarkimi- kjo është, nga njëra anë, pozicioni i shifrës në shënimin e një numri natyror, dhe nga ana tjetër, vlera e kësaj shifre, e përcaktuar nga pozicioni i saj.

Gradave u janë dhënë emra. Nëse shikoni numrat në regjistrimin e një numri natyror nga e djathta në të majtë, atëherë shifrat e mëposhtme do t'u korrespondojnë atyre: njësi, dhjetëra, qindra, mijëra, dhjetëra mijëra, qindra mijëra, miliona, dhjetëra miliona dhe kështu me radhë.

Emrat e kategorive janë të përshtatshme për t'u mbajtur mend kur ato paraqiten në formën e një tabele. Le të shkruajmë një tabelë që përmban emrat e 15 shifrave.

Vini re se numri i shifrave të një numri të caktuar natyror është i barabartë me numrin e karaktereve të përfshirë në shkrimin e këtij numri. Kështu, tabela e regjistruar përmban emrat e shifrave të të gjithë numrave natyrorë, regjistrimi i të cilave përmban deri në 15 karaktere. Shifrat e mëposhtme kanë gjithashtu emrat e tyre, por ato përdoren shumë rrallë, kështu që nuk ka kuptim t'i përmendim ato.

Duke përdorur tabelën e shifrave, është e përshtatshme të përcaktohen shifrat e një numri të caktuar natyror. Për ta bërë këtë, ju duhet të shkruani këtë numër natyror në këtë tabelë në mënyrë që të ketë një shifër në secilën shifër, dhe shifra më e djathtë të jetë në shifrën e njësisë.

Le të marrim një shembull. Le të shkruajmë një numër natyror 67 922 003 942 në tabelë, dhe shifrat dhe vlerat e këtyre shifrave do të bëhen qartë të dukshme.

Në rekordin e këtij numri, shifra 2 qëndron në vendin e njësive, shifra 4 - në vendin e dhjetësheve, shifra 9 - në vendin e qindrave, etj. Kushtojini vëmendje numrave 0 , të cilat janë në shifrat e dhjetëra mijëra e qindra mijërave. Numrat 0 në këto shifra nënkupton mungesën e njësive të këtyre shifrave.

Duhet të përmendim gjithashtu të ashtuquajturën kategorinë më të ulët (më të ulët) dhe më të lartë (më të lartë) të një numri natyror me shumë vlera. Grada më e ulët (junior).çdo numër natyror me shumë vlera është shifra e njësive. Shifra më e lartë (më e lartë) e një numri natyrorështë shifra që korrespondon me shifrën më të djathtë në rekordin e këtij numri. Për shembull, shifra më pak e rëndësishme e numrit natyror 23004 është shifra e njësive, dhe shifra më e lartë është shifra e dhjetëra mijërave. Nëse në shënimin e një numri natyror lëvizim me shifra nga e majta në të djathtë, atëherë çdo shifër tjetër më i ulët (më i ri) i mëparshmi. Për shembull, shifra e mijërave është më e vogël se shifra e dhjetëra mijërave, veçanërisht ajo e mijërave është më e vogël se shifra e qindra mijërave, e milionave, e dhjetëra milionëve etj. Nëse, në shënimin e një numri natyror, ne lëvizim me shifra nga e djathta në të majtë, atëherë çdo shifër tjetër më i lartë (më i vjetër) i mëparshmi. Për shembull, shifra e qindrave është më e vjetër se shifra e dhjetësheve dhe aq më tepër është më e vjetër se shifra e njëshe.

Në disa raste (për shembull, kur kryeni mbledhje ose zbritje), nuk përdoret vetë numri natyror, por shuma e termave të bitit të këtij numri natyror.

Shkurtimisht për sistemin e numrave dhjetorë.

Pra, u njohëm me numrat natyrorë, me kuptimin e natyrshëm në to dhe mënyrën e shkrimit të numrave natyrorë duke përdorur dhjetë shifra.

Në përgjithësi, quhet metoda e shkrimit të numrave duke përdorur shenja sistemi i numrave. Vlera e një shifre në një hyrje numri mund ose nuk mund të varet nga pozicioni i saj. Sistemet e numrave në të cilat vlera e një shifre në hyrjen e një numri varet nga pozicioni i saj quhen pozicionale.

Kështu, numrat natyrorë që kemi shqyrtuar dhe mënyra e shkrimit të tyre tregojnë se ne përdorim një sistem numrash pozicional. Duhet theksuar se një vend të veçantë në këtë sistem numerik ka edhe numri 10 . Në të vërtetë, rezultati mbahet në dhjetëra: dhjetë njësi kombinohen në dhjetë, dhjetë dhjetëra kombinohen në njëqind, dhjetë qindra në një mijë, e kështu me radhë. Numri 10 thirrur bazë sistemi numerik i dhënë, dhe quhet vetë sistemi i numrave dhjetore.

Përveç sistemit të numrave dhjetorë, ka edhe të tjerë, për shembull, në shkencat kompjuterike përdoret sistemi i numrave pozicional binar dhe në matjen e kohës hasim sistemin seksagesimal.

Bibliografi.

• Matematika. Çdo tekst shkollor për 5 klasa të institucioneve arsimore.

Numrat natyrorë janë një nga konceptet më të vjetra matematikore.

Në të kaluarën e largët, njerëzit nuk dinin numra dhe kur u duhej të numëronin objektet (kafshët, peshqit etj.), ata e bënin atë ndryshe nga ne tani.

Numri i sendeve krahasohej me pjesët e trupit, për shembull, me gishtat në dorë dhe ata thoshin: "Unë kam aq arra sa gishta në dorë".

Me kalimin e kohës, njerëzit kuptuan se pesë arra, pesë dhi dhe pesë lepuj kanë një pronë të përbashkët - numri i tyre është pesë.

Mbani mend!

Numrat e plotë janë numra, duke filluar me 1, të fituar gjatë numërimit të objekteve.

1, 2, 3, 4, 5…

numri më i vogël natyror — 1 .

numri më i madh natyror nuk ekziston.

Gjatë numërimit, numri zero nuk përdoret. Prandaj, zero nuk konsiderohet numër natyror.

Njerëzit mësuan të shkruanin numra shumë më vonë sesa të numëronin. Para së gjithash, ata filluan të përfaqësojnë njësinë me një shkop, pastaj me dy shkopinj - numrin 2, me tre - numrin 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Pastaj kishte personazhe të veçanta për përcaktimin e numrave - paraardhësit e numrave modernë. Numrat që përdorim për të shkruar numrat e kanë origjinën në Indi rreth 1500 vjet më parë. Arabët i sollën në Evropë, kështu quhen Numrat arabë.

Gjithsej janë dhjetë shifra: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Këto shifra mund të përdoren për të shkruar çdo numër natyror.

Mbani mend!

seri natyraleështë sekuenca e të gjithë numrave natyrorë:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Në serinë natyrore, çdo numër është më i madh se ai i mëparshmi me 1.

Seria natyrore është e pafundme, nuk ka asnjë numër natyror më të madh në të.

Sistemi i numërimit që përdorim quhet pozicionore dhjetore.

Dhjetore sepse 10 njësi të secilës shifër formojnë 1 njësi të shifrës më domethënëse. Pozicionale sepse vlera e një shifre varet nga vendi i saj në shënimin e një numri, domethënë nga shifra në të cilën është shkruar.

E rëndësishme!

Klasat pas miliardit emërtohen sipas emrave latinë të numrave. Çdo njësi e ardhshme përmban një mijë të mëparshme.

• 1,000 miliard = 1,000,000,000,000 = 1 trilion ("tre" është latinisht për "tre")
• 1,000 trilion = 1,000,000,000,000,000 = 1 kuadrilion ("quadra" është latinisht për "katër")
• 1,000 kuadrilion = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 kuintilion ("quinta" është latinisht për "pesë")

Megjithatë, fizikanët kanë gjetur një numër që tejkalon numrin e të gjithë atomeve (grimcat më të vogla të materies) në të gjithë universin.

Ky numër ka një emër të veçantë - googol. Një googol është një numër që ka 100 zero.

Numrat natyrorë janë të njohur për njeriun dhe intuitiv, sepse ata na rrethojnë që nga fëmijëria. Në artikullin më poshtë, ne do të japim një ide themelore të kuptimit të numrave natyrorë, do të përshkruajmë aftësitë themelore të shkrimit dhe leximit të tyre. E gjithë pjesa teorike do të shoqërohet me shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ideja e përgjithshme e numrave natyrorë

Në një fazë të caktuar të zhvillimit të njerëzimit, lindi detyra për të numëruar objekte të caktuara dhe për të përcaktuar sasinë e tyre, e cila, nga ana tjetër, kërkonte gjetjen e një mjeti për të zgjidhur këtë problem. Numrat natyrorë u bënë një mjet i tillë. Qëllimi kryesor i numrave natyrorë është gjithashtu i qartë - të jepet një ide për numrin e objekteve ose numrin serial të një objekti të caktuar, nëse po flasim për një grup.

Është logjike që një person të përdorë numrat natyrorë, është e nevojshme të ketë një mënyrë për t'i perceptuar dhe riprodhuar ata. Pra, një numër natyror mund të shprehet ose të përshkruhet, që është mënyra natyrale transferimi i informacionit.

Merrni parasysh aftësitë themelore të zërit (leximit) dhe imazheve (shkrimit) të numrave natyrorë.

Shënimi dhjetor i një numri natyror

Le të kujtojmë se si ato janë portretizuar shenjat e mëposhtme(i specifikojmë të ndara me presje): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Këta karaktere quhen numra.

Tani le të marrim si rregull që kur përshkruani (shkruani) ndonjë numër natyror, përdoren vetëm shifrat e treguara pa pjesëmarrjen e ndonjë simboli tjetër. Lërini që shifrat kur shkruani një numër natyror të kenë të njëjtën lartësi, të shkruhen njëra pas tjetrës në një rresht dhe gjithmonë ka një shifër në të majtë që është e ndryshme nga zero.

Le të tregojmë shembuj të shënimit të saktë të numrave natyrorë: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Ndarjet midis shifrave nuk janë gjithmonë të njëjta, kjo do të diskutohet më në detaje më poshtë kur studiojmë klasat e numrave. Shembujt e dhënë tregojnë se kur shkruani një numër natyror, nuk është e nevojshme të keni të gjitha shifrat nga seria e mësipërme. Disa ose të gjitha mund të përsëriten.

Përkufizimi 1

Regjistrimet e formës: 065 , 0 , 003 , 0791 nuk janë regjistrime të numrave natyrorë, sepse në të majtë është numri 0.

Shënimi i saktë i një numri natyror, i bërë duke marrë parasysh të gjitha kërkesat e përshkruara, quhet shënimi dhjetor i një numri natyror.

Kuptimi sasior i numrave natyrorë

Siç u përmend tashmë, numrat natyrorë fillimisht kanë, ndër të tjera, një kuptim sasior. Numrat natyrorë, si mjet numërimi, diskutohen në temën e krahasimit të numrave natyrorë.

Le të fillojmë me numrat natyrorë, shënimet e të cilëve përkojnë me shënimet e shifrave, d.m.th. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Imagjinoni një objekt të caktuar, për shembull, këtë: Ψ . Ne mund të shkruajmë atë që shohim 1 gjë. Numri natyror 1 lexohet si "një" ose "një". Termi "njësi" ka edhe një kuptim tjetër: diçka që mund të konsiderohet si një e tërë. Nëse ka një grup, atëherë çdo element i tij mund të shënohet me një. Për shembull, nga shumë minj, çdo mi është një; çdo lule nga një grup lulesh është një njësi.

Tani imagjinoni: Ψ Ψ . Ne shohim një objekt dhe një objekt tjetër, d.m.th. në procesverbal do të jetë - 2 artikuj. Numri natyror 2 lexohet si "dy".

Më tej, sipas analogjisë: 3 artikuj ("tre"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("katër"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("pesë"), ("gjashtë"), 7 ("shtatë"), 8 ("tetë"), 9. nëntë").

Nga pozicioni i treguar, funksioni i një numri natyror është të tregojë sasi artikujt.

Përkufizimi 1

Nëse hyrja e një numri përputhet me hyrjen e shifrës 0, atëherë thirret një numër i tillë "zero". Zero nuk është numër natyror, por konsiderohet së bashku me numrat e tjerë natyrorë. Zero do të thotë jo, d.m.th. zero artikuj do të thotë asnjë.

Numrat natyrorë njëshifrorë

Është një fakt i qartë se kur shkruajmë secilin nga numrat natyrorë të diskutuar më sipër (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), ne përdorim një shenjë - një shifër.

Përkufizimi 2

Numër natyror njëshifror- një numër natyror, i cili shkruhet duke përdorur një shenjë - një shifër.

Ekzistojnë nëntë numra natyrorë njëshifrorë: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Numrat natyrorë dyshifrorë dhe treshifrorë

Numrat natyrorë dyshifrorë- numrat natyrorë, të cilët shkruhen duke përdorur dy shenja - dy shifra. Në këtë rast, numrat e përdorur mund të jenë ose të njëjtë ose të ndryshëm.

Për shembull, numrat natyrorë 71, 64, 11 janë dyshifrorë.

Merrni parasysh kuptimin e numrave dyshifrorë. Ne do të mbështetemi në kuptimin sasior të numrave natyrorë me një vlerë të vetme të njohur tashmë për ne.

Le të prezantojmë një koncept të tillë si "dhjetë".

Imagjinoni një grup objektesh, i cili përbëhet nga nëntë dhe një tjetër. Në këtë rast, mund të flasim për 1 duzinë ("një duzinë") artikuj. Nëse imagjinoni një duzinë dhe një më shumë, atëherë do të flasim për 2 dhjetëra ("dy dhjetëra"). Duke shtuar një dhjetëshe më shumë në dy dhjetëshe, marrim tre dhjetëshe. Dhe kështu me radhë: duke vazhduar të shtojmë një duzinë, marrim katër dhjetëshe, pesë dhjetëra, gjashtë dhjetëra, shtatë dhjetëra, tetë dhjetëshe dhe në fund nëntë dhjetëshe.

Le të shohim një numër dyshifror si një grup numrash njëshifrorë, njëri prej të cilëve shkruhet në të djathtë, tjetri në të majtë. Numri në të majtë do të tregojë numrin e dhjetësheve në numrin natyror, dhe numri në të djathtë do të tregojë numrin e njësheve. Në rastin kur numri 0 ndodhet në të djathtë, atëherë flasim për mungesën e njësive. Sa më sipër është kuptimi sasior i numrave natyrorë dyshifrorë. Janë 90 prej tyre gjithsej.

Përkufizimi 4

Numrat natyrorë treshifrorë- numra natyrorë, të cilët shkruhen duke përdorur tre karaktere - tre shifra. Numrat mund të jenë të ndryshëm ose të përsëritur në çdo kombinim.

Për shembull, 413, 222, 818, 750 janë numra natyrorë treshifrorë.

Për të kuptuar kuptimin sasior të numrave natyrorë me tre vlera, ne prezantojmë konceptin "njëqind".

Përkufizimi 5

Njëqind (1qind)është një grup prej dhjetë dhjetëshe. Njëqind plus njëqind është e barabartë me dyqind. Shtoni njëqind të tjera dhe merrni 3 qindra. Duke shtuar gradualisht njëqind, marrim: katërqind, pesëqind, gjashtëqind, shtatëqind, tetëqind, nëntëqind.

Konsideroni vetë rekordin e një numri treshifror: numrat natyrorë njëshifrorë të përfshirë në të shkruhen njëri pas tjetrit nga e majta në të djathtë. e djathta ekstreme njëshifror tregon numrin e njësive; numri tjetër njëshifror në të majtë - me numrin e dhjetësheve; shifra e vetme më e majtë është numri i qindrave. Nëse numri 0 përfshihet në hyrje, ai tregon mungesën e njësive dhe / ose dhjetësheve.

Pra, numri natyror treshifror 402 do të thotë: 2 njësi, 0 dhjetëshe (nuk ka dhjetëshe që nuk bashkohen në qindëshe) dhe 4 qindra.

Për analogji jepet përkufizimi i numrave natyrorë katërshifrorë, pesëshifrorë e kështu me radhë.

Numrat natyrorë me shumë vlera

Nga të gjitha sa më sipër, tani është e mundur të vazhdohet me përcaktimin e numrave natyrorë me shumë vlera.

Përkufizimi 6

Numrat natyrorë me shumë vlera- numra natyrorë, të cilët shkruhen duke përdorur dy ose më shumë karaktere. Numrat natyrorë shumëshifrorë janë numra dyshifrorë, treshifrorë e kështu me radhë.

Njëmijë është një grup që përfshin dhjetëqind; një milion përbëhet nga një mijë mijë; një miliard - një mijë milion; një trilion është një mijë miliardë. Kompletet edhe më të mëdha kanë edhe emra, por përdorimi i tyre është i rrallë.

Ngjashëm me parimin e mësipërm, çdo numër natyror shumëshifror mund të konsiderojmë si një grup numrash natyrorë njëshifrorë, secili prej të cilëve, duke qenë në një vend të caktuar, tregon praninë dhe numrin e njësive, dhjetëra, qindra, mijëra, dhjetëra. mijëra, qindra mijëra, miliona, dhjetëra miliona, qindra miliona, miliarda, e kështu me radhë (përkatësisht nga e djathta në të majtë).

Për shembull, numri shumëshifror 4 912 305 përmban: 5 njësi, 0 dhjetëra, treqind, 2 mijë, 1 dhjetëra mijëra, 9 qindra mijëra dhe 4 milionë.

Duke përmbledhur, ne shqyrtuam aftësinë e grupimit të njësive në grupe të ndryshme (dhjetëshe, qindra, etj.) dhe pamë se numrat në rekordin e një numri natyror shumëshifror janë një përcaktim i numrit të njësive në secilën prej grupeve të tilla.

Leximi i numrave natyrorë, klasa

Në teorinë e mësipërme, ne shënuam emrat e numrave natyrorë. Në tabelën 1, ne tregojmë se si të përdorim saktë emrat e numrave natyrorë njëshifrorë në të folur dhe në shënimin alfabetik:

Për leximin dhe shkrimin kompetent të numrave dyshifrorë, duhet të mësoni të dhënat në tabelën 2:

Për të lexuar numra të tjerë natyrorë dyshifrorë, do të përdorim të dhënat nga të dyja tabelat, shqyrtojeni këtë me një shembull. Le të themi se duhet të lexojmë një numër natyror dyshifror 21. Ky numër përmban 1 njësi dhe 2 dhjetëshe, d.m.th. 20 dhe 1. Duke iu kthyer tabelave, lexojmë numrin e treguar si "njëzet e një", ndërsa bashkimi "dhe" midis fjalëve nuk ka nevojë të shqiptohet. Supozoni se duhet të përdorim numrin e specifikuar 21 në një fjali, duke treguar numrin e artikujve në rasë gjinore: "Nuk ka 21 mollë." Në këtë rast, shqiptimi do të tingëllojë si ky: "nuk ka njëzet e një mollë".

Le të japim një shembull tjetër për qartësi: numrin 76, i cili lexohet si "shtatëdhjetë e gjashtë" dhe, për shembull, "shtatëdhjetë e gjashtë ton".

Për ta lexuar të plotë numër treshifror, ne përdorim gjithashtu të dhënat e të gjitha tabelave të specifikuara. Për shembull, jepet një numër natyror 305. Ky numër korrespondon me 5 njësi, 0 dhjetëshe dhe 3 qindra: 300 dhe 5. Duke marrë për bazë tabelën, lexojmë: "treqind e pesë" ose në rënie sipas rasteve, për shembull, si kjo: "treqind e pesë metra".

Le të lexojmë edhe një numër: 543. Sipas rregullave të tabelave, numri i treguar do të tingëllojë si ky: "pesëqind e dyzet e tre" ose në rast deklinimi, për shembull, si ky: "jo pesëqind e dyzet e tre rubla".

Le të kalojmë në parim i përgjithshëm leximi i numrave natyrorë shumëshifrorë: për të lexuar një numër shumëshifror, duhet ta ndani atë nga e djathta në të majtë në grupe me tre shifra dhe grupi më i majtë mund të ketë 1, 2 ose 3 shifra. Grupe të tilla quhen klasa.

Klasa e djathtë ekstreme është klasa e njësive; pastaj klasa tjetër, në të majtë - klasa e mijërave; më tej - klasa e milionave; pastaj vjen klasa e miliardave, e ndjekur nga klasa e trilionëve. Klasat e mëposhtme kanë gjithashtu një emër, por numrat natyrorë që përbëhen nga një numër i madh karakteresh (16, 17 dhe më shumë) përdoren rrallë në lexim, është mjaft e vështirë t'i perceptosh ato me vesh.

Për lehtësinë e perceptimit të rekordit, klasat ndahen nga njëra-tjetra me një dhëmbëzim të vogël. Për shembull, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Për të lexuar një numër shumëshifror, thërrasim me radhë numrat që e përbëjnë atë (nga e majta në të djathtë, sipas klasës, duke shtuar emrin e klasës). Emri i klasës së njësive nuk shqiptohet, dhe ato klasa që përbëjnë tre shifrat 0 gjithashtu nuk shqiptohen. Nëse një ose dy shifra 0 janë të pranishme në të majtë në një klasë, atëherë ato nuk përdoren në asnjë mënyrë gjatë leximit. Për shembull, 054 lexohet si "pesëdhjetë e katër" ose 001 si "një".

Shembulli 1

Le të shqyrtojmë në detaje leximin e numrit 2 533 467 001 222:

Ne lexojmë numrin 2, si përbërës të klasës së trilionëve - "dy";

Duke shtuar emrin e klasës, marrim: "dy trilion";

Lexojmë numrin e mëposhtëm, duke shtuar emrin e klasës përkatëse: "pesëqind e tridhjetë e tre miliardë";

Vazhdojmë me analogji, duke lexuar klasën tjetër djathtas: “katërqind e gjashtëdhjetë e shtatë milionë”;

Në klasën tjetër, ne shohim dy shifra 0 të vendosura në të majtë. Sipas rregullave të mësipërme të leximit, shifrat 0 hidhen dhe nuk marrin pjesë në leximin e rekordit. Pastaj marrim: "një mijë";

Leximi klasa e fundit njësi, pa shtuar emrin e saj - "dyqind e njëzet e dy".

Kështu, numri 2 533 467 001 222 do të tingëllojë si ky: dy trilion e pesëqind e tridhjetë e tre miliardë e katërqind e gjashtëdhjetë e shtatë milionë një mijë e dyqind e njëzet e dy. Duke përdorur këtë parim, ne mund të lexojmë edhe numrat e tjerë të dhënë:

31 013 736 - tridhjetë e një milion e trembëdhjetë mijë e shtatëqind e tridhjetë e gjashtë;

134 678 - njëqind e tridhjetë e katër mijë e gjashtëqind e shtatëdhjetë e tetë;

23 476 009 434 - njëzet e tre miliardë e katërqind e shtatëdhjetë e gjashtë milionë e nëntë mijë e katërqind e tridhjetë e katër.

Kështu, baza lexim i saktë numrat shumëshifrorë është aftësia për të ndarë një numër shumëshifror në klasa, njohja e emrave përkatës dhe kuptimi i parimit të leximit të numrave dy dhe treshifrorë.

Siç bëhet tashmë e qartë nga të gjitha sa më sipër, vlera e saj varet nga pozicioni në të cilin qëndron shifra në regjistrimin e numrit. Kjo është, për shembull, numri 3 në numrin natyror 314 tregon numrin e qindrave, përkatësisht, 3 qindra. Numri 2 është numri i dhjetësheve (1 dhjetë), dhe numri 4 është numri i njësive (4 njësi). Në këtë rast, do të themi se numri 4 është në vendin njës dhe është vlera e njësive të vendit në numrin e dhënë. Numri 1 është në vendin e dhjetësheve dhe shërben si vlerë e vendit të dhjetësheve. Numri 3 ndodhet në vendin e qindrave dhe është vlera e vendit të qindrave.

Përkufizimi 7

Shkarkimiështë pozicioni i një shifre në shënimin e një numri natyror, si dhe vlera e kësaj shifre, e cila përcaktohet nga pozicioni i saj në një numër të caktuar.

Shkarkimet kanë emrat e tyre, i kemi përdorur tashmë më lart. Nga e djathta në të majtë vijojnë shifrat: njësi, dhjetëshe, qindra, mijëra, dhjetëra mijëra, etj.

Për lehtësinë e memorizimit, mund të përdorni tabelën e mëposhtme (ne tregojmë 15 shifra):

Le të sqarojmë këtë detaj: numri i shifrave në një numër të caktuar shumëshifror është i njëjtë me numrin e karaktereve në hyrjen e numrave. Për shembull, kjo tabelë përmban emrat e të gjitha shifrave për një numër me 15 karaktere. Shkarkimet e mëvonshme kanë gjithashtu emra, por përdoren jashtëzakonisht rrallë dhe janë shumë të papërshtatshëm për dëgjim.

Me ndihmën e një tabele të tillë, mund të zhvillohet aftësia e përcaktimit të renditjes duke shkruar një numër natyror të dhënë në tabelë në mënyrë që shifra më e djathtë të shkruhet në shifrën e njësive dhe më pas në secilën shifër për shifër. Për shembull, le të shkruajmë një numër natyror shumëshifror 56 402 513 674 si kjo:

Kushtojini vëmendje numrit 0, i vendosur në shkarkimin e dhjetëra miliona - kjo do të thotë mungesë e njësive të kësaj kategorie.

Ne prezantojmë gjithashtu konceptet e shifrave më të ulëta dhe më të larta të një numri shumëshifror.

Përkufizimi 8

Grada më e ulët (junior).çdo numër natyror me shumë vlera është shifra e njësive.

Kategoria më e lartë (e lartë). i çdo numri natyror shumëshifror - shifra që i korrespondon shifrës më të majtë në shënimin e numrit të dhënë.

Kështu, për shembull, në numrin 41,781: grada më e ulët është grada e njësive; grada më e lartë është shifra e dhjetëra mijërave.

Nga kjo rrjedh logjikisht që është e mundur të flitet për vjetërsinë e shifrave në raport me njëra-tjetrën. Çdo shifër pasuese kur lëviz nga e majta në të djathtë është më e ulët (më e re) se ajo e mëparshme. Dhe anasjelltas: kur lëvizni nga e djathta në të majtë, çdo shifër tjetër është më e lartë (më e vjetër) se ajo e mëparshme. Për shembull, shifra e mijërave është më e vjetër se shifra e qindra, por më e re se shifra e milionave.

Le të sqarojmë se kur zgjidhim disa shembuj praktik nuk përdoret vetë numri natyror, por shuma e termave të bitit të numrit të dhënë.

Shkurtimisht për sistemin e numrave dhjetorë

Shënimi- një metodë e shkrimit të numrave duke përdorur shenja.

Sistemet e numrave pozicional- ato në të cilat vlera e një shifre në numër varet nga pozicioni i saj në shënimin e numrit.

Sipas këtij përkufizimi, mund të themi se, gjatë studimit të numrave natyrorë dhe mënyrës së shkrimit të tyre, kemi përdorur sistemin e numrave pozicional. Vend i veçantë Numri 10 luan këtu. Ne vazhdojmë të numërojmë në dhjetëra: dhjetë njësi bëjnë dhjetë, dhjetë dhjetëra bashkohen në njëqind, e kështu me radhë. Numri 10 shërben si bazë e këtij sistemi numrash, dhe vetë sistemi quhet edhe dhjetor.

Përveç tij, ekzistojnë sisteme të tjera numrash. Për shembull, shkenca kompjuterike përdor sistemin binar. Kur mbajmë gjurmët e kohës, ne përdorim sistemin e numrave seksagesimal.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Numrat natyrorë dhe vetitë e tyre

Numrat natyrorë përdoren për të numëruar objektet në jetë. Çdo numër natyror përdor shifrat $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Një sekuencë numrash natyrorë, çdo numër tjetër në të cilin është 1$ më i madh se ai i mëparshmi, formon një seri natyrore që fillon me një (sepse njëri është numri natyror më i vogël) dhe nuk ka vlerën më të madhe, d.m.th. pafund.

Zero nuk konsiderohet numër natyror.

Pas vetitë e marrëdhënieve

Të gjitha vetitë e numrave natyrorë dhe veprimet mbi to rrjedhin nga katër vetitë e marrëdhënieve të sekuencës, të cilat u formuluan në $1891 $ nga D. Peano:

Njëri është një numër natyror që nuk ndjek asnjë numër natyror.

Çdo numër natyror pasohet nga një dhe vetëm një numër

Çdo numër natyror përveç $1$ ndjek një dhe vetëm një numër natyror

Nëngrupi i numrave natyrorë që përmban numrin $1$ dhe së bashku me secilin numër numrin pas tij, përmban të gjithë numrat natyrorë.

Nëse rekordi i një numri natyror përbëhet nga një shifër, ai quhet njëshifror (për shembull, 2,6,9 $, etj.), nëse rekordi përbëhet nga dy shifra, quhet dyshifror (për shembull, 12,18 $ .45$), etj. Në mënyrë të ngjashme. Dyshifror, treshifror, katërshifror etj. numrat quhen me shumë vlera në matematikë.

Vetia e mbledhjes së numrave natyrorë

Vetia komutative: $a+b=b+a$

Shuma nuk ndryshon kur termat riorganizohen

Vetia asociative: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Për të shtuar shumën e dy numrave në një numër, fillimisht mund të shtoni termin e parë dhe më pas, në shumën që rezulton, termin e dytë.

Shtimi i zeros nuk e ndryshon numrin, dhe nëse shtoni ndonjë numër në zero, ju merrni numrin e shtuar.

vetitë e zbritjes

Vetia e zbritjes së shumës nga numri $a-(b+c) =a-b-c$ nëse $b+c ≤ a$

Për të zbritur shumën nga një numër, fillimisht mund të zbritni termin e parë nga ky numër, dhe më pas nga diferenca që rezulton, termin e dytë.

Vetia e zbritjes së një numri nga shuma $(a+b) -c=a+(b-c)$ nëse $c ≤ b$

Për të zbritur një numër nga shuma, mund ta zbrisni atë nga një term dhe të shtoni një term tjetër në ndryshimin që rezulton

Nëse zbritni zero nga një numër, numri nuk do të ndryshojë.

Nëse e zbritni atë nga vetë numri, ju merrni zero

Vetitë e shumëzimit

Zhvendosja $a\cdot b=b\cdot a$

Prodhimi i dy numrave nuk ndryshon kur faktorët riorganizohen

Associative $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Për të shumëzuar një numër me produktin e dy numrave, fillimisht mund ta shumëzoni atë me faktorin e parë dhe më pas produktin që rezulton me faktorin e dytë.

Kur shumëzohet me një, produkti nuk ndryshon $m\cdot 1=m$

Kur shumëzohet me zero, produkti është zero

Kur nuk ka kllapa në shënimin e produktit, shumëzimi kryhet në rend nga e majta në të djathtë

Vetitë e shumëzimit në lidhje me mbledhjen dhe zbritjen

Vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Për të shumëzuar shumën me një numër, mund të shumëzoni çdo term me këtë numër dhe të shtoni produktet që rezultojnë

Për shembull, $5(x+y)=5x+5y$

Vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me zbritjen

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Për të shumëzuar diferencën me një numër, shumëzoni minuendin dhe zbritni me këtë numër dhe zbrisni të dytin nga prodhimi i parë.

Për shembull, $5(x-y)=5x-5y$

Krahasimi i numrave natyrorë

Për çdo numër natyror $a$ dhe $b$, vetëm një nga tre relacionet $a=b$, $a

Numri më i vogël është ai që shfaqet më herët në serinë natyrore dhe më i madhi që shfaqet më vonë. Zero është më e vogël se çdo numër natyror.

Shembulli 1

Krahasoni numrat $a$ dhe $555$, nëse dihet se ka një numër $b$ dhe ekzistojnë marrëdhëniet e mëposhtme: $a

Vendimi: Bazuar në pronën e specifikuar, sepse sipas kushtit $a

në çdo nënbashkësi të numrave natyrorë që përmban të paktën një numër, ekziston numri më i vogël

Një nëngrup në matematikë është një pjesë e një grupi. Një grup quhet një nëngrup i një tjetri nëse çdo element i nëngrupit është gjithashtu një element i grupit më të madh.

Shpesh, për të krahasuar numrat, ata gjejnë ndryshimin e tyre dhe e krahasojnë atë me zero. Nëse diferenca është më e madhe se $0$, por numri i parë është më i madh se i dyti, nëse diferenca është më pak se $0$, atëherë numri i parë është më i vogël se i dyti.

Rrumbullakimi i numrave natyrorë

Kur saktësia e plotë nuk nevojitet ose nuk është e mundur, numrat rrumbullakohen, domethënë zëvendësohen me numra të afërt me zero në fund.

Numrat natyrorë rrumbullakohen deri në dhjetëshe, qindra, mijëra, etj.

Kur rrumbullakosni një numër në dhjetëshe, ai zëvendësohet nga numri më i afërt i përbërë nga dhjetëshe të plota; një numër i tillë ka shifrën $0$ në vendin e njësive

Kur rrumbullakosni një numër në qindra, ai zëvendësohet nga numri më i afërt i përbërë nga qindëshe të plota; një numër i tillë duhet të ketë shifrën $0$ në vendin e dhjetësheve dhe njësheve. etj

Numrat në të cilët rrumbullakoset e dhëna quhen vlera e përafërt e numrit me saktësinë e shifrave të specifikuara. Për shembull, nëse rrumbullakosni numrin $564$ në dhjetëra, atëherë marrim se ai mund të rrumbullakohet me një disavantazh dhe të marrim 560 dollarë, ose me një tepricë dhe merrni 570 dollarë.

Rregulla e rrumbullakosjes për numrat natyrorë

Nëse në të djathtë të shifrës në të cilën është rrumbullakosur numri është shifra $5$ ose një shifër më e madhe se $5$, atëherë shifrës së kësaj shifre i shtohet $1$; përndryshe, kjo shifër mbetet e pandryshuar.

Të gjitha shifrat e vendosura në të djathtë të shifrës në të cilën është rrumbullakosur numri zëvendësohen me zero

Përkufizimi

Numrat natyrorë quhen numra të destinuar për numërimin e objekteve. Për të regjistruar numrat natyrorë, përdoren 10 numra arabë (0–9), të cilët përbëjnë bazën e sistemit të numrave dhjetorë të pranuar përgjithësisht për llogaritjet matematikore.

Sekuenca e numrave natyrorë

Numrat natyrorë përbëjnë një seri që fillon nga 1 dhe mbulon grupin e të gjithë numrave të plotë pozitivë. Një sekuencë e tillë përbëhet nga numrat 1,2,3, ... . Kjo do të thotë se në serinë natyrore:

1. Ka një numër më të vogël dhe jo më të madh.
2. Çdo numër tjetër është më i madh se ai i mëparshmi me 1 (përjashtim është vetë njësia).
3. Ndërsa numrat shkojnë në pafundësi, ato rriten pafundësisht.

Ndonjëherë 0 futet edhe në një seri numrash natyrorë.Kjo është e lejueshme dhe pastaj ata flasin për të zgjatur seri natyrale.

Klasat e numrave natyrorë

Çdo shifër e një numri natyror shpreh një shifër të caktuar. I fundit është gjithmonë numri i njësive në numër, ai para tij është numri i dhjetësheve, i treti nga fundi është numri i qindrave, i katërti është numri i mijërave, e kështu me radhë.

• në numrin 276: 2 qindra, 7 dhjetëshe, 6 njësi
• në numrin 1098: 1 mijë, 9 dhjetëshe, 8 njëshe; vendi i qindrave mungon këtu, pasi shprehet si zero.

Për numra të mëdhenj dhe shumë të mëdhenj, mund të shihni një prirje të qëndrueshme (nëse e shqyrtoni numrin nga e djathta në të majtë, domethënë nga shifra e fundit në të parën):

• tre shifrat e fundit të numrit janë njësitë, dhjetëshe dhe qindëshe;
• tre të mëparshmet janë njësi, dhjetëra dhe qindra mijëra;
• tre para tyre (d.m.th., shifra e 7-të, e 8-të dhe e 9-të e numrit, duke numëruar nga fundi) janë njësi, dhjetëra e qindra miliona, etj.

Domethënë, çdo herë kemi të bëjmë me tre shifra, që do të thotë njësi, dhjetëshe e qindra emra më të mëdhenj. Grupe të tilla formojnë klasa. Dhe nëse me tre klasat e para në Jeta e përditshme duhet të merren pak a shumë shpesh, atëherë duhen renditur të tjerët, sepse jo të gjithë i mbajnë mend emrat përmendsh.

• Klasa e 4-të, pas klasës së milionave dhe që përfaqëson numra me 10-12 shifra, quhet një miliard (ose një miliard);
• Klasa e 5-të - trilion;
• Klasa e 6-të - kuadrilion;
• Klasa e 7-të - kuintilion;
• Klasa e 8-të - sextilion;
• Klasa e 9-të - septillion.

Mbledhja e numrave natyrorë

Mbledhja e numrave natyrorë është veprim aritmetik, i cili ju lejon të merrni një numër që përmban aq njësi sa ka në numrat e mbledhur së bashku.

Shenja e shtimit është shenja "+". Numrat e shtuar quhen terma, rezultati quhet shuma.

Numrat e vegjël mblidhen (përmblidhen) me gojë, me shkrim veprimet e tilla shkruhen në një rresht.

Numrat shumëshifrorë, të cilët janë të vështirë për t'u shtuar në mendje, zakonisht shtohen në një kolonë. Për këtë, numrat shkruhen njëri nën tjetrin, të radhitur me shifrën e fundit, pra, nën shifrën e njësive shkruajnë shifrën e njësive, nën shifrën e qindsheve, shifrën e qindrave etj. Më pas, duhet të shtoni shifrat në çifte. Nëse mbledhja e shifrave ndodh me një kalim përmes një dhjetëshe, atëherë kjo dhjetë fiksohet si njësi mbi shifrën në të majtë (d.m.th., pas saj) dhe shtohet së bashku me shifrat e kësaj shifre.

Nëse kolona mbledh jo 2, por më shumë numra, atëherë kur mblidhen shifrat e kategorisë, jo 1 duzinë, por disa mund të jenë të tepërta. Në këtë rast, numri i dhjetësheve të tilla transferohet në shifrën tjetër.

Zbritja e numrave natyrorë

Zbritja është një operacion aritmetik, e kundërta e mbledhjes, e cila zbret në faktin se, duke pasur parasysh shumën dhe një nga termat, ju duhet të gjeni një tjetër - një term të panjohur. Numri që po i zbritet quhet minuend; numri që po zbritet është subtrahend. Rezultati i zbritjes quhet diferencë. Shenja që tregon veprimin e zbritjes është "-".

Në kalimin në mbledhje, nëntrandi dhe diferenca kthehen në terma dhe reduktimi në shumë. Mbledhja zakonisht kontrollon korrektësinë e zbritjes së kryer dhe anasjelltas.

Këtu 74 është minuend, 18 është subtrahend, 56 është diferenca.

Një parakusht për zbritjen e numrave natyrorë është si vijon: minuend duhet të jetë domosdoshmërisht më i madh se nëntrahni. Vetëm në këtë rast diferenca që rezulton do të jetë gjithashtu një numër natyror. Nëse veprimi i zbritjes kryhet për një seri natyrore të zgjatur, atëherë lejohet që minuend të jetë i barabartë me nëntrahën. Dhe rezultati i zbritjes në këtë rast do të jetë 0.

Shënim: nëse subtrahend është i barabartë me zero, atëherë operacioni i zbritjes nuk e ndryshon vlerën e minuend.

Zbritja e numrave shumëshifrorë zakonisht bëhet në një kolonë. Shkruani numrat në të njëjtën mënyrë si për mbledhjen. Zbritja kryhet për shifrat përkatëse. Nëse rezulton se minuend është më i vogël se nëntrahendi, atëherë merret një nga shifra e mëparshme (e vendosur në të majtë), e cila, pas transferimit, natyrisht kthehet në 10. Kjo dhjetë përmblidhet me shifrën e reduktuar jepet shifra dhe më pas zbritet. Më tej, kur zbritni shifrën tjetër, është e nevojshme të merret parasysh që reduktimi është bërë 1 më pak.

Prodhimi i numrave natyrorë

Prodhimi (ose shumëzimi) i numrave natyrorë është një veprim aritmetik, i cili është gjetja e shumës së një numri arbitrar të termave identikë. Për të regjistruar operacionin e shumëzimit, përdorni shenjën "·" (ndonjëherë "×" ose "*"). Për shembull: 3 5=15.

Veprimi i shumëzimit është i domosdoshëm kur është e nevojshme të mblidhet nje numer i madh i kushtet. Për shembull, nëse duhet të shtoni numrin 4 7 herë, atëherë shumëzimi i 4 me 7 është më i lehtë sesa të bëni këtë mbledhje: 4+4+4+4+4+4+4.

Numrat që shumëzohen quhen faktorë, rezultati i shumëzimit është prodhimi. Prandaj, termi "punë", në varësi të kontekstit, mund të shprehë si procesin e shumëzimit ashtu edhe rezultatin e tij.

Numrat shumëshifrorë shumëzohen në një kolonë. Për këtë numër shkruhet në të njëjtën mënyrë si për mbledhjen dhe zbritjen. Rekomandohet të shkruani së pari (sipër) cili nga 2 numrat, cili është më i gjatë. Në këtë rast, procesi i shumëzimit do të jetë më i thjeshtë, dhe për këtë arsye më racional.

Gjatë shumëzimit në një kolonë, shifrat e secilës prej shifrave të numrit të dytë shumëzohen në mënyrë sekuenciale me shifrat e numrit të parë, duke filluar nga fundi i tij. Pasi kanë gjetur veprën e parë të tillë, ata shkruajnë numrin e njësive dhe mbajnë parasysh numrin e dhjetësheve. Kur shumëzoni shifrën e numrit të dytë me shifrën tjetër të numrit 1, numri që mbahet parasysh i shtohet prodhimit. Dhe përsëri ata shkruajnë numrin e njësive të rezultatit të marrë dhe mbajnë mend numrin e dhjetëra. Kur shumëzohet me shifrën e fundit të numrit 1, numri i marrë në këtë mënyrë shënohet i plotë.

Rezultatet e shumëzimit të shifrave të shifrës së dytë të numrit të dytë shkruhen në rreshtin e dytë, duke e zhvendosur atë 1 qelizë në të djathtë. etj. Si rezultat, do të merret një "shkallë". Të gjitha rreshtat e numrave që rezultojnë duhet të shtohen (sipas rregullit të mbledhjes në një kolonë). Qelizat boshe duhet të konsiderohen të mbushura me zero. Shuma që rezulton është produkti përfundimtar.

shënim

1. Prodhimi i çdo numri natyror me 1 (ose 1 nga një numër) është i barabartë me vetë numrin. Për shembull: 376 1=376; 1 86=86.
2. Kur njëri nga faktorët ose të dy faktorët janë të barabartë me 0, atëherë prodhimi është i barabartë me 0. Për shembull: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Pjesëtimi i numrave natyrorë

Ndarja quhet një veprim aritmetik, me ndihmën e të cilit, sipas një produkti të njohur dhe njërit prej faktorëve, mund të gjendet një faktor tjetër - i panjohur. Ndarja është një veprim reciproke e shumëzimit, dhe përdoret për të kontrolluar korrektësinë e shumëzimit të kryer (dhe anasjelltas).

Numri që ndahet quhet i pjesëtueshëm; numri me të cilin ndahet është pjesëtuesi; rezultati i pjesëtimit quhet herës. Shenja e ndarjes është ":" (nganjëherë, më rrallë - "÷").

Këtu 48 është dividenti, 6 është pjesëtuesi dhe 8 është herësi.

Jo të gjithë numrat natyrorë mund të ndahen mes tyre. Në këtë rast, ndarja kryhet me një mbetje. Ai konsiston në faktin se për pjesëtuesin një faktor i tillë zgjidhet në mënyrë që produkti i tij nga pjesëtuesi të jetë një numër sa më afër vlerës së dividendit, por më i vogël se ai. Pjesëtuesi shumëzohet me këtë faktor dhe zbritet nga dividenti. Diferenca do të jetë pjesa e mbetur e ndarjes. Prodhimi i një pjesëtuesi me një faktor quhet herës jo i plotë. Kujdes: pjesa e mbetur duhet të jetë më e vogël se shumëzuesi i zgjedhur! Nëse pjesa e mbetur është më e madhe, atëherë kjo do të thotë që shumëzuesi është zgjedhur gabimisht dhe duhet të rritet.

Ne zgjedhim një faktor për 7. Në këtë rast, ky numër është 5. Gjejmë një koeficient jo të plotë: 7 5 \u003d 35. Llogaritni pjesën e mbetur: 38-35=3. Që nga 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Numrat shumëshifrorë ndahen në një kolonë. Për ta bërë këtë, dividenti dhe pjesëtuesi shkruhen krah për krah, duke e ndarë pjesëtuesin me një vijë vertikale dhe horizontale. Në divident zgjidhet shifra e parë ose shifrat e para (në të djathtë), që duhet të jetë një numër minimalisht i mjaftueshëm për pjesëtimin me pjesëtues (d.m.th., ky numër duhet të jetë më i madh se pjesëtuesi). Për këtë numër zgjidhet një herës jo i plotë, siç përshkruhet në rregullën e pjesëtimit me mbetje. Numri i shumëzuesit të përdorur për të gjetur herësin e pjesshëm shkruhet nën pjesëtues. Herësi jo i plotë shkruhet nën numrin që është ndarë, i rreshtuar djathtas. Gjeni ndryshimin e tyre. Shifra pasardhëse e dividentit shembet duke e shkruar pranë kësaj diference. Për numrin që rezulton, një herës jo i plotë gjendet përsëri duke shkruar figurën e faktorit të zgjedhur, pranë atij të mëparshëm nën pjesëtuesin. etj. Veprime të tilla kryhen derisa të mbarojnë numrat e dividentit. Pas kësaj, ndarja konsiderohet e plotë. Nëse dividenti dhe pjesëtuesi ndahen plotësisht (pa mbetje), atëherë diferenca e fundit do të japë zero. Përndryshe, numri i mbetur do të kthehet.

Eksponimi

Shpejtësia është një operacion matematik që konsiston në shumëzimin e një numri arbitrar të numrave identikë. Për shembull: 2 2 2 2.

Shprehje të tilla shkruhen si: një x,

ku aështë një numër i shumëzuar në vetvete xështë numri i faktorëve të tillë.

Numrat natyrorë të thjeshtë dhe të përbërë

Çdo numër natyror, përveç 1, mund të ndahet me të paktën 2 numra - një dhe vetveten. Në bazë të këtij kriteri, numrat natyrorë ndahen në të thjeshtë dhe të përbërë.

Numrat e thjeshtë janë numra që pjesëtohen vetëm me 1 dhe me vetveten. Numrat që pjesëtohen me më shumë se këta 2 numra quhen numra të përbërë. Një njësi e ndashme vetëm nga vetvetja nuk është as e thjeshtë as e përbërë.

Numrat janë të thjeshtë: 2,3,5,7,11,13,17,19, etj. Shembuj të numrave të përbërë: 4 (pjesëtohet me 1,2,4), 6 (pjesëtohet me 1,2,3,6), 20 (pjesëtohet me 1,2,4,5,10,20).

Çdo numër i përbërë mund të zbërthehet në faktorë të thjeshtë. Në këtë rast, faktorët kryesorë kuptohen se janë pjesëtuesit e tij, të cilët janë numra të thjeshtë.

Një shembull i faktorizimit në faktorët kryesorë:

Pjesëtuesit e numrave natyrorë

Një pjesëtues është një numër me të cilin një numër i caktuar mund të pjesëtohet pa mbetje.

Në përputhje me këtë përkufizim, numrat e thjeshtë natyrorë kanë 2 pjesëtues, numrat e përbërë kanë më shumë se 2 pjesëtues.

Shumë numra kanë pjesëtues të përbashkët. Pjesëtues i përbashkët është numri me të cilin numrat e dhënë janë të pjesëtueshëm pa mbetje.

• Numrat 12 dhe 15 kanë një pjesëtues të përbashkët 3
• Numrat 20 dhe 30 kanë pjesëtues të përbashkët 2,5,10

Me rëndësi të veçantë është pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD). Ky numër, në veçanti, është i dobishëm për t'u gjetur për reduktimin e thyesave. Për ta gjetur atë, kërkohet që numrat e dhënë të zbërthehen në faktorë të thjeshtë dhe të paraqiten si prodhim i faktorëve të thjeshtë të përbashkët të tyre, të marrë në fuqitë e tyre më të vogla.

Kërkohet të gjendet GCD e numrave 36 dhe 48.

Pjesëtueshmëria e numrave natyrorë

Nuk është gjithmonë e mundur të përcaktohet "me sy" nëse një numër pjesëtohet me një tjetër pa mbetje. Në raste të tilla, testi përkatës i pjesëtueshmërisë është i dobishëm, domethënë rregulli me të cilin në disa sekonda mund të përcaktoni nëse është e mundur të ndani numra pa mbetje. Shenja "" përdoret për të treguar pjesëtueshmërinë.

Shumëfishi më pak i zakonshëm

Kjo vlerë (e shënjuar LCM) është numri më i vogël që është i pjesëtueshëm me secilën prej atyre të dhëna. LCM mund të gjendet për një grup arbitrar numrash natyrorë.

LCM, si GCD, ka një kuptim të rëndësishëm të aplikuar. Pra, është LCM që duhet gjetur duke reduktuar thyesat e zakonshme në një emërues të përbashkët.

LCM përcaktohet duke faktorizuar numrat e dhënë në faktorë të thjeshtë. Për formimin e tij, merret një produkt, i përbërë nga secili prej faktorëve kryesorë që ndodhin (të paktën për 1 numër) të përfaqësuar në shkallën maksimale.

Kërkohet të gjendet LCM e numrave 14 dhe 24.

Mesatare

Mesatarja aritmetike e një numri arbitrar (por të fundëm) të numrave natyrorë është shuma e të gjithë këtyre numrave të ndarë me numrin e termave:

Mesatarja aritmetike është një vlerë mesatare për një grup numrash.

Janë dhënë numrat 2,84,53,176,17,28. Kërkohet të gjendet mesatarja aritmetike e tyre.