Si të shumëzojmë thyesat me të plota. Shumëzimi i thyesave reciproke dhe i numrave. Si funksionon shumëzimi?

Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave.

Kujdes!
Ka shtesë
materiali në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")

Ky veprim është shumë më i bukur se mbledhja-zbritja! Sepse është më e lehtë. Ju kujtoj: për të shumëzuar një thyesë me një thyesë, duhet të shumëzoni numëruesit (ky do të jetë numëruesi i rezultatit) dhe emëruesit (ky do të jetë emëruesi). Dmth:

Për shembull:

Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë. Dhe ju lutemi mos kërkoni një emërues të përbashkët! Nuk ju duhet këtu ...

Për të ndarë një fraksion me një thyesë, duhet të rrokulliset e dyta(kjo është e rëndësishme!) thyejnë dhe shumëzojini ato, d.m.th.

Për shembull:

Nëse kapet shumëzimi ose pjesëtimi me numra të plotë dhe thyesa, është në rregull. Ashtu si me mbledhjen, ne bëjmë një thyesë nga një numër i plotë me një njësi në emërues - dhe shkojmë! Për shembull:

Në shkollën e mesme, shpesh duhet të merreni me thyesa trekatëshe (apo edhe katërkatëshe!). Për shembull:

Si ta sillni këtë fraksion në një formë të mirë? Po, shumë e lehtë! Përdorni ndarjen në dy pika:

Por mos harroni për rendin e ndarjes! Ndryshe nga shumëzimi, kjo është shumë e rëndësishme këtu! Sigurisht, ne nuk do të ngatërrojmë 4:2 ose 2:4. Por në një pjesë trekatëshe është e lehtë të bësh një gabim. Ju lutemi vini re, për shembull:

Në rastin e parë (shprehja në të majtë):

Në të dytën (shprehja në të djathtë):

Ndjeje ndryshimin? 4 dhe 1/9!

Cila është radha e ndarjes? Ose kllapa, ose (si këtu) gjatësia e vijave horizontale. Zhvilloni një sy. Dhe nëse nuk ka kllapa ose viza, si:

pastaj pjesëto-shumizoj me radhë, nga e majta në të djathtë!

Dhe një tjetër truk shumë i thjeshtë dhe i rëndësishëm. Në veprimet me gradë, do t'ju vijë në ndihmë! Le ta ndajmë njësinë me çdo thyesë, për shembull, me 13/15:

E shtëna është kthyer! Dhe kjo ndodh gjithmonë. Kur pjesëtohet 1 me ndonjë thyesë, rezultati është i njëjti thyesë, vetëm i përmbysur.

Janë të gjitha veprimet me thyesa. Gjëja është mjaft e thjeshtë, por jep më shumë se mjaft gabime. Merrni parasysh këshillat praktike dhe do të ketë më pak prej tyre (gabime)!

Këshilla praktike:

1. Gjëja më e rëndësishme kur punoni me shprehje thyesore është saktësia dhe vëmendja! Këto nuk janë fjalë të zakonshme, jo dëshira të mira! Kjo është një nevojë e rëndë! Bëni të gjitha llogaritjet në provim si një detyrë e plotë, me përqendrim dhe qartësi. Është më mirë të shkruani dy rreshta shtesë në një draft sesa të ngatërroni kur llogaritni në kokën tuaj.

2. Në shembujt me lloje të ndryshme thyesash - shkoni te thyesat e zakonshme.

3. Ne i zvogëlojmë të gjitha fraksionet në ndalesë.

4. Shprehjet thyesore me shumë nivele i zvogëlojmë në ato të zakonshme duke përdorur ndarjen përmes dy pikave (ne ndjekim rendin e pjesëtimit!).

5. Ne e ndajmë njësinë në një thyesë në mendjen tonë, thjesht duke e kthyer thyesën.

Këtu janë detyrat që duhet të plotësoni. Përgjigjet jepen pas të gjitha detyrave. Përdorni materialet e kësaj teme dhe këshilla praktike. Vlerësoni sa shembuj mund të zgjidhni saktë. Hera e parë! Pa një kalkulator! Dhe nxirrni përfundimet e duhura...

Mbani mend përgjigjen e saktë marrë nga koha e dytë (veçanërisht e treta) - nuk llogaritet! E tillë është jeta e ashpër.

Kështu që, zgjidhet në modalitetin e provimit ! Kjo është përgatitje për provimin, meqë ra fjala. Ne zgjidhim një shembull, kontrollojmë, zgjidhim sa vijon. Ne vendosëm gjithçka - kontrolluam përsëri nga i pari tek i fundit. Vetëm pas shikoni përgjigjet.

Llogaritni:

A keni vendosur?

Po kërkoni përgjigje që përputhen me tuajat. I shkrova qëllimisht në rrëmujë, larg tundimit, si të thuash... Ja ku janë përgjigjet, të shkruara me pikëpresje.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dhe tani nxjerrim përfundime. Nëse gjithçka funksionoi - lumtur për ju! Llogaritjet elementare me thyesa nuk janë problemi juaj! Mund të bëni gjëra më serioze. Nese jo...

Pra, ju keni një nga dy problemet. Ose të dyja përnjëherë.) Mungesa e njohurive dhe (ose) mosvëmendja. Por kjo të zgjidhshme Problemet.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Herën e fundit mësuam si të mbledhim dhe zbresim thyesat (shiko mësimin "Mbledhja dhe zbritja e thyesave"). Momenti më i vështirë në ato veprime ishte sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët.

Tani është koha për t'u marrë me shumëzimin dhe pjesëtimin. Lajmi i mirë është se këto veprime janë edhe më të lehta se mbledhja dhe zbritja. Për të filluar, merrni parasysh rastin më të thjeshtë, kur ka dy thyesa pozitive pa një pjesë të plotë të dalluar.

Për të shumëzuar dy thyesa, duhet të shumëzoni veçmas numëruesit dhe emëruesit e tyre. Numri i parë do të jetë numëruesi i thyesës së re dhe i dyti do të jetë emëruesi.

Për të ndarë dy fraksione, duhet të shumëzoni fraksionin e parë me të dytën "të përmbysur".

Përcaktimi:

Nga përkufizimi del se pjesëtimi i thyesave reduktohet në shumëzim. Për të kthyer një thyesë, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Prandaj, të gjithë mësimin do ta konsiderojmë kryesisht shumëzimin.

Si rezultat i shumëzimit, një fraksion i reduktuar mund të lindë (dhe shpesh lind) - natyrisht, ai duhet të reduktohet. Nëse, pas të gjitha reduktimeve, fraksioni rezultoi i pasaktë, e gjithë pjesa duhet të dallohet në të. Por ajo që definitivisht nuk do të ndodhë me shumëzimin është reduktimi në një emërues të përbashkët: pa metoda tërthore, faktorë maksimalë dhe shumëfish më pak të përbashkët.

Sipas definicionit kemi:

Shumëzimi i thyesave me një pjesë të plotë dhe të thyesave negative

Nëse ka një pjesë të plotë në fraksione, ato duhet të shndërrohen në ato të pahijshme - dhe vetëm atëherë të shumëzohen sipas skemave të përshkruara më sipër.

Nëse ka një minus në numëruesin e një thyese, në emërues ose përballë saj, ai mund të hiqet nga kufijtë e shumëzimit ose të hiqet fare sipas rregullave të mëposhtme:

1. Plus herë minus jep minus;
2. Dy negative bëjnë një pohuese.

Deri më tani, këto rregulla janë hasur vetëm në mbledhjen dhe zbritjen e thyesave negative, kur kërkohej të hiqej e gjithë pjesa. Për një produkt, ato mund të përgjithësohen në mënyrë që të "digjen" disa minuse menjëherë:

1. Minuset i kryqëzojmë në çift derisa të zhduken plotësisht. Në një rast ekstrem, një minus mund të mbijetojë - ai që nuk gjeti një ndeshje;
2. Nëse nuk ka mbetur asnjë minus, operacioni ka përfunduar - mund të filloni të shumëzoni. Nëse minusi i fundit nuk është tejkaluar, pasi nuk ka gjetur një çift, e nxjerrim nga kufijtë e shumëzimit. Ju merrni një thyesë negative.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Ne i përkthejmë të gjitha thyesat në të pahijshme, dhe më pas i nxjerrim minuset jashtë kufijve të shumëzimit. Ajo që mbetet shumëzohet sipas rregullave të zakonshme. Ne marrim:

Më lejoni t'ju kujtoj edhe një herë se minusi që vjen përpara një thyese me një pjesë të plotë të theksuar i referohet në mënyrë specifike të gjithë thyesës, dhe jo vetëm pjesës së saj të plotë (kjo vlen për dy shembujt e fundit).

Kushtojini vëmendje edhe numrave negativë: kur shumëzohen, ato vendosen në kllapa. Kjo bëhet për të ndarë minuset nga shenjat e shumëzimit dhe për ta bërë të gjithë shënimin më të saktë.

Reduktimi i fraksioneve në fluturim

Shumëzimi është një operacion shumë i mundimshëm. Numrat këtu janë mjaft të mëdhenj, dhe për të thjeshtuar detyrën, mund të përpiqeni të zvogëloni edhe më shumë fraksionin para shumëzimit. Në të vërtetë, në thelb, numëruesit dhe emëruesit e thyesave janë faktorë të zakonshëm, dhe, për rrjedhojë, ato mund të reduktohen duke përdorur vetinë bazë të një thyese. Hidhini një sy shembujve:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Sipas definicionit kemi:

Në të gjithë shembujt, numrat që janë zvogëluar dhe çfarë ka mbetur prej tyre janë shënuar me të kuqe.

Ju lutemi vini re: në rastin e parë, shumëzuesit u reduktuan plotësisht. Njësitë mbetën në vendin e tyre, të cilat, në përgjithësi, mund të anashkalohen. Në shembullin e dytë, nuk ishte e mundur të arrihej një reduktim i plotë, por shuma totale e llogaritjeve ende u ul.

Sidoqoftë, në asnjë rast mos e përdorni këtë teknikë kur shtoni dhe zbritni thyesat! Po, ndonjëherë ka numra të ngjashëm që thjesht dëshironi t'i zvogëloni. Ja, shikoni:

Ju nuk mund ta bëni këtë!

Gabimi ndodh për faktin se gjatë mbledhjes së një thyese, shuma shfaqet në numëruesin e një thyese dhe jo produkti i numrave. Prandaj, është e pamundur të zbatohet vetia kryesore e një thyese, pasi kjo veti merret në mënyrë specifike me shumëzimin e numrave.

Thjesht nuk ka asnjë arsye tjetër për të reduktuar fraksionet, kështu që zgjidhja e saktë e problemit të mëparshëm duket si kjo:

Zgjidhja e duhur:

Siç mund ta shihni, përgjigja e saktë doli të ishte jo aq e bukur. Në përgjithësi, jini të kujdesshëm.

) dhe emëruesi nga emëruesi (marrim emëruesin e prodhimit).

Formula e shumëzimit të thyesave:

Për shembull:

Para se të vazhdohet me shumëzimin e numëruesve dhe emëruesve, është e nevojshme të kontrollohet mundësia e zvogëlimit të thyesave. Nëse arrini të zvogëloni fraksionin, atëherë do ta keni më të lehtë të vazhdoni të bëni llogaritjet.

Pjesëtimi i një thyese të zakonshme me një thyesë.

Ndarja e thyesave që përfshijnë një numër natyror.

Nuk është aq e frikshme sa duket. Ashtu si në rastin e mbledhjes, ne shndërrojmë një numër të plotë në një thyesë me një njësi në emërues. Për shembull:

Shumëzimi i thyesave të përziera.

Rregullat për shumëzimin e thyesave (të përziera):

• shndërroni fraksionet e përziera në të pahijshme;
• të shumëzojë numëruesit dhe emëruesit e thyesave;
• zvogëlojmë thyesën;
• nëse marrim një thyesë jo të duhur, atëherë thyesën e papërshtatshme e shndërrojmë në një të përzier.

Shënim! Për të shumëzuar një fraksion të përzier me një fraksion tjetër të përzier, së pari duhet t'i sillni ato në formën e fraksioneve të pahijshme, dhe më pas të shumëzoni sipas rregullit për shumëzimin e fraksioneve të zakonshme.

Mënyra e dytë për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror.

Është më i përshtatshëm të përdoret metoda e dytë e shumëzimit të një fraksioni të zakonshëm me një numër.

Shënim! Për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror, është e nevojshme të pjesëtohet emëruesi i thyesës me këtë numër dhe të lihet numëruesi i pandryshuar.

Nga shembulli i mësipërm, është e qartë se ky opsion është më i përshtatshëm për t'u përdorur kur emëruesi i një thyese ndahet pa mbetje me një numër natyror.

Thyesat me shumë nivele.

Në shkollën e mesme, shpesh gjenden thyesa trekatëshe (ose më shumë). Shembull:

Për ta sjellë një fraksion të tillë në formën e tij të zakonshme, përdoret ndarja në 2 pika:

Shënim! Gjatë pjesëtimit të thyesave, radha e pjesëtimit është shumë e rëndësishme. Kini kujdes, këtu është e lehtë të ngatërrohesh.

Shënim, Për shembull:

Kur pjesëtohet një me çdo thyesë, rezultati do të jetë i njëjti thyesë, vetëm i përmbysur:

Këshilla praktike për shumëzimin dhe pjesëtimin e thyesave:

1. Gjëja më e rëndësishme në punën me shprehjet thyesore është saktësia dhe vëmendja. Bëni të gjitha llogaritjet me kujdes dhe saktësi, të përqendruar dhe qartë. Është më mirë të shkruani disa rreshta shtesë në një draft sesa të hutoheni në llogaritjet në kokën tuaj.

2. Në detyrat me lloje të ndryshme thyesash - kaloni në llojin e thyesave të zakonshme.

3. Zvogëlojmë të gjitha thyesat derisa të mos jetë më e mundur të zvogëlohen.

4. I sjellim shprehjet thyesore me shumë nivele në ato të zakonshme, duke përdorur ndarjen me 2 pikë.

5. Ne e ndajmë njësinë në një thyesë në mendjen tonë, thjesht duke e kthyer thyesën.

Le të themi se Akili vrapon dhjetë herë më shpejt se breshka dhe është një mijë hapa pas saj. Gjatë kohës gjatë së cilës Akili vrapon në këtë distancë, breshka zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Kur Akili të ketë vrapuar njëqind hapa, breshka do të zvarritet edhe dhjetë hapa të tjerë, e kështu me radhë. Procesi do të vazhdojë pafundësisht, Akili nuk do ta arrijë kurrë breshkën.

Ky arsyetim u bë një tronditje logjike për të gjithë brezat pasardhës. Aristoteli, Diogjeni, Kanti, Hegeli, Gilberti... Të gjithë ata, në një mënyrë apo në një tjetër, i konsideronin aporiat e Zenonit. Goditja ishte aq e fortë sa " ... diskutimet vazhdojnë në kohën e tanishme, komuniteti shkencor nuk ka arritur ende të arrijë në një mendim të përbashkët për thelbin e paradokseve ... analiza matematikore, teoria e grupeve, qasje të reja fizike dhe filozofike u përfshinë në studimin e çështjes ; asnjëri prej tyre nuk u bë një zgjidhje e pranuar botërisht për problemin ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "] Të gjithë e kuptojnë se po mashtrohen, por askush nuk e kupton se çfarë është mashtrimi.

Nga pikëpamja e matematikës, Zeno në aporinë e tij demonstroi qartë kalimin nga vlera në. Ky tranzicion nënkupton aplikimin në vend të konstanteve. Me sa kuptoj unë, aparati matematikor për aplikimin e njësive matëse të ndryshueshme ose nuk është zhvilluar ende, ose nuk është aplikuar në aporinë e Zenoit. Zbatimi i logjikës sonë të zakonshme na çon në një kurth. Ne, me inercinë e të menduarit, aplikojmë njësi konstante kohore për reciprocitetin. Nga pikëpamja fizike, kjo duket si një ngadalësim në kohë derisa të ndalojë plotësisht në momentin kur Akili kap breshkën. Nëse koha ndalon, Akili nuk mund ta kapërcejë më breshkën.

Nëse kthejmë logjikën me të cilën jemi mësuar, gjithçka bie në vend. Akili vrapon me një shpejtësi konstante. Çdo segment pasues i rrugës së tij është dhjetë herë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Prandaj, koha e shpenzuar për tejkalimin e saj është dhjetë herë më pak se ajo e mëparshme. Nëse zbatojmë konceptin e "pafundësisë" në këtë situatë, atëherë do të ishte e saktë të thoshim "Akili do ta kapë pafundësisht shpejt breshkën".

Si ta shmangni këtë kurth logjik? Qëndroni në njësi konstante kohore dhe mos kaloni në vlera reciproke. Në gjuhën e Zenonit, duket kështu:

Në kohën që i duhet Akilit për të bërë një mijë hapa, breshka zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Gjatë intervalit tjetër kohor, të barabartë me të parin, Akili do të vrapojë një mijë hapa të tjerë, dhe breshka do të zvarritet njëqind hapa. Tani Akili është tetëqind hapa përpara breshkës.

Kjo qasje përshkruan në mënyrë adekuate realitetin pa asnjë paradoks logjik. Por kjo nuk është një zgjidhje e plotë e problemit. Deklarata e Ajnshtajnit për pakapërcyeshmërinë e shpejtësisë së dritës është shumë e ngjashme me aporinë e Zenonit "Akili dhe breshka". Ne ende duhet ta studiojmë, rimendojmë dhe zgjidhim këtë problem. Dhe zgjidhja duhet kërkuar jo në numër pafundësisht të madh, por në njësi matëse.

Një tjetër aporia interesante e Zenos tregon për një shigjetë fluturuese:

Një shigjetë fluturuese është e palëvizshme, pasi në çdo moment të kohës është në prehje, dhe duke qenë se është në pushim në çdo moment të kohës, ajo është gjithmonë në pushim.

Në këtë apori, paradoksi logjik kapërcehet shumë thjesht - mjafton të sqarohet se në çdo moment të kohës shigjeta fluturuese është në pushim në pika të ndryshme të hapësirës, ​​që në fakt është lëvizje. Këtu duhet theksuar edhe një pikë tjetër. Nga një fotografi e një makine në rrugë, është e pamundur të përcaktohet as fakti i lëvizjes së saj, as distanca deri në të. Për të përcaktuar faktin e lëvizjes së makinës nevojiten dy fotografi të marra nga e njëjta pikë në momente të ndryshme kohore, por ato nuk mund të përdoren për të përcaktuar distancën. Për të përcaktuar distancën nga makina, ju nevojiten dy fotografi të marra nga pika të ndryshme në hapësirë ​​në të njëjtën kohë, por nuk mund të përcaktoni faktin e lëvizjes prej tyre (natyrisht, ju duhen ende të dhëna shtesë për llogaritjet, trigonometria do t'ju ndihmojë) . Ajo që dua të theksoj në veçanti është se dy pika në kohë dhe dy pika në hapësirë ​​janë dy gjëra të ndryshme që nuk duhen ngatërruar pasi ofrojnë mundësi të ndryshme për eksplorim.

E mërkurë, 4 korrik 2018

Shumë mirë ndryshimet midis grupit dhe multisetit janë përshkruar në Wikipedia. Ne shikojmë.

Siç mund ta shihni, "bashkësia nuk mund të ketë dy elementë identikë", por nëse ka elementë identikë në grup, një grup i tillë quhet "multiset". Qeniet e arsyeshme nuk do ta kuptojnë kurrë një logjikë të tillë absurditeti. Ky është niveli i papagajve që flasin dhe majmunëve të stërvitur, në të cilin mendja mungon nga fjala "plotësisht". Matematikanët veprojnë si trajnerë të zakonshëm, duke na predikuar idetë e tyre absurde.

Njëherë e një kohë, inxhinierët që ndërtuan urën ishin në një varkë nën urë gjatë provave të urës. Nëse ura u shemb, inxhinieri mediokër vdiq nën rrënojat e krijimit të tij. Nëse ura mund të përballonte ngarkesën, inxhinieri i talentuar ndërtoi ura të tjera.

Pavarësisht se sa matematikanët fshihen pas shprehjes "mendoni mua, unë jam në shtëpi", ose më mirë "matematika studion koncepte abstrakte", ekziston një kordon kërthizor që i lidh pazgjidhshmërisht me realitetin. Ky kordon kërthizor është para. Le të zbatojmë teorinë e grupeve matematikore për vetë matematikanët.

Ne kemi studiuar shumë mirë matematikën dhe tani jemi ulur në arkë, duke paguar rrogat. Këtu na vjen një matematikan për paratë e tij. I numërojmë të gjithë shumën dhe e shtrojmë në tryezën tonë në pirgje të ndryshme, në të cilat vendosim fatura të së njëjtës prerje. Më pas marrim një faturë nga çdo grumbull dhe i japim matematikanit "pagën e tij matematikore". Sqarojmë matematikën se pjesën tjetër të faturave do t'i marrë vetëm kur të provojë se grupi pa elementë identikë nuk është i barabartë me grupin me elementë identikë. Këtu fillon argëtimi.

Para së gjithash, logjika e deputetëve do të funksionojë: “mund ta zbatoni për të tjerët, por jo për mua!”. Më tej, do të fillojnë garancitë se në kartëmonedhat e prerjes së njëjtë ka numra të ndryshëm kartëmonedhash, që do të thotë se ato nuk mund të konsiderohen elementë identikë. Epo, ne e llogarisim pagën në monedha - nuk ka numra në monedha. Këtu matematikani do të kujtojë furishëm fizikën: monedha të ndryshme kanë sasi të ndryshme papastërtie, struktura kristalore dhe rregullimi i atomeve për secilën monedhë është unike ...

Dhe tani kam pyetjen më interesante: ku është kufiri përtej të cilit elementët e një grupi të shumëfishtë kthehen në elementë të një grupi dhe anasjelltas? Një linjë e tillë nuk ekziston - gjithçka vendoset nga shamanët, shkenca këtu nuk është as afër.

Shikoni këtu. Ne zgjedhim stadiume futbolli me të njëjtën zonë. Sipërfaqja e fushave është e njëjtë, që do të thotë se kemi një multiset. Por nëse marrim parasysh emrat e të njëjtave stadiume, marrim shumë, sepse emrat janë të ndryshëm. Siç mund ta shihni, i njëjti grup elementësh është njëkohësisht një grup dhe një grup shumëfish. Sa e drejtë? Dhe këtu, matematikani-shaman-shuller nxjerr një ace atu nga mëngët e tij dhe fillon të na tregojë ose për një grup ose një multiset. Në çdo rast, ai do të na bindë se ka të drejtë.

Për të kuptuar se si shamanët modernë veprojnë me teorinë e grupeve, duke e lidhur atë me realitetin, mjafton t'i përgjigjemi një pyetjeje: si ndryshojnë elementët e një grupi nga elementët e një grupi tjetër? Unë do t'ju tregoj, pa asnjë "të konceptueshme si jo një tërësi e vetme" ose "jo e konceptueshme si një tërësi e vetme".

e diel, 18 mars 2018

Shuma e shifrave të një numri është një valle e shamanëve me një dajre, e cila nuk ka të bëjë fare me matematikën. Po, në mësimet e matematikës ne jemi mësuar të gjejmë shumën e shifrave të një numri dhe ta përdorim atë, por ata janë shamanë për këtë, për t'u mësuar pasardhësve aftësitë dhe mençurinë e tyre, përndryshe shamanët thjesht do të vdesin.

Keni nevojë për prova? Hapni Wikipedia dhe provoni të gjeni faqen "Shuma e shifrave të një numri". Ajo nuk ekziston. Nuk ka asnjë formulë në matematikë me të cilën mund të gjesh shumën e shifrave të çdo numri. Në fund të fundit, numrat janë simbole grafike me të cilat shkruajmë numrat, dhe në gjuhën e matematikës, detyra tingëllon kështu: "Gjeni shumën e simboleve grafike që përfaqësojnë çdo numër". Matematikanët nuk mund ta zgjidhin këtë problem, por shamanët mund ta bëjnë atë në mënyrë elementare.

Le të kuptojmë se çfarë dhe si bëjmë për të gjetur shumën e shifrave të një numri të caktuar. Dhe kështu, le të themi se kemi numrin 12345. Çfarë duhet bërë për të gjetur shumën e shifrave të këtij numri? Le të shqyrtojmë të gjitha hapat në rend.

1. Shkruani numrin në një copë letër. Çfarë kemi bërë? Ne e kemi konvertuar numrin në një simbol grafik numerik. Ky nuk është një operacion matematikor.

2. Ne e premë një fotografi të marrë në disa figura që përmbajnë numra të veçantë. Prerja e një fotografie nuk është një operacion matematikor.

3. Shndërroni karakteret individuale grafike në numra. Ky nuk është një operacion matematikor.

4. Mblidhni numrat që rezultojnë. Tani kjo është matematika.

Shuma e shifrave të numrit 12345 është 15. Këto janë "kurset e prerjes dhe qepjes" nga shamanët që përdoren nga matematikanët. Por kjo nuk është e gjitha.

Nga pikëpamja e matematikës, nuk ka rëndësi se në cilin sistem numrash e shkruajmë numrin. Pra, në sisteme të ndryshme numrash, shuma e shifrave të të njëjtit numër do të jetë e ndryshme. Në matematikë, sistemi i numrave tregohet si nënshkrim në të djathtë të numrit. Me një numër të madh 12345, nuk dua të mashtroj kokën, merrni parasysh numrin 26 nga artikulli rreth. Le ta shkruajmë këtë numër në sistemet e numrave binar, oktal, dhjetor dhe heksadecimal. Ne nuk do të shqyrtojmë çdo hap nën një mikroskop, ne e kemi bërë tashmë këtë. Le të shohim rezultatin.

Siç mund ta shihni, në sisteme të ndryshme numrash, shuma e shifrave të të njëjtit numër është e ndryshme. Ky rezultat nuk ka të bëjë fare me matematikën. Është sikur gjetja e sipërfaqes së një drejtkëndëshi në metra dhe centimetra do t'ju jepte rezultate krejtësisht të ndryshme.

Zero në të gjitha sistemet e numrave duket e njëjtë dhe nuk ka shumë shifrash. Ky është një argument tjetër në favor të faktit se . Një pyetje për matematikanët: si shënohet në matematikë ai që nuk është numër? Çfarë, për matematikanët, nuk ekziston asgjë përveç numrave? Për shamanët, unë mund ta lejoj këtë, por për shkencëtarët, jo. Realiteti nuk ka të bëjë vetëm me numrat.

Rezultati i marrë duhet të konsiderohet si provë se sistemet e numrave janë njësi matëse të numrave. Në fund të fundit, ne nuk mund të krahasojmë numrat me njësi të ndryshme matëse. Nëse të njëjtat veprime me njësi të ndryshme matëse të së njëjtës sasi çojnë në rezultate të ndryshme pas krahasimit të tyre, atëherë kjo nuk ka të bëjë fare me matematikën.

Çfarë është matematika e vërtetë? Kjo ndodh kur rezultati i një veprimi matematikor nuk varet nga vlera e numrit, njësia matëse e përdorur dhe nga kush e kryen këtë veprim.

Oh! A nuk është ky banja e grave?
- Grua e re! Ky është një laborator për studimin e shenjtërisë së pacaktuar të shpirtrave pas ngjitjes në qiell! Nimbus sipër dhe shigjeta lart. Çfarë tualeti tjetër?

Femër... Një aureolë sipër dhe një shigjetë poshtë është mashkull.

Nëse keni një vepër të tillë të artit të dizajnit që ju shkrep para syve disa herë në ditë,

Atëherë nuk është për t'u habitur që papritmas gjeni një ikonë të çuditshme në makinën tuaj:

Personalisht, unë bëj një përpjekje për veten time për të parë minus katër gradë në një person të kulluar (një fotografi) (përbërja e disa fotografive: shenja minus, numri katër, përcaktimi i shkallëve). Dhe këtë vajzë nuk e konsideroj budallaqe që nuk di fizikë. Ajo thjesht ka një stereotip hark të perceptimit të imazheve grafike. Dhe matematikanët na mësojnë këtë gjatë gjithë kohës. Këtu është një shembull.

1A nuk është "minus katër gradë" ose "një a". Ky është "njeriu i kulluar" ose numri "njëzet e gjashtë" në sistemin heksadecimal të numrave. Ata njerëz që vazhdimisht punojnë në këtë sistem numrash e perceptojnë automatikisht numrin dhe shkronjën si një simbol grafik.

Shumëzimi i thyesave të zakonshme

Konsideroni një shembull.

Le të jetë $\frac(1)(3)$ pjesë e një molle në pjatë. Duhet të gjejmë pjesën $\frac(1)(2)$ të saj. Pjesa e kërkuar është rezultat i shumëzimit të thyesave $\frac(1)(3)$ dhe $\frac(1)(2)$. Rezultati i shumëzimit të dy thyesave të zakonshme është një thyesë e zakonshme.

Shumëzimi i dy thyesave të përbashkëta

Rregulla për shumëzimin e thyesave të zakonshme:

Rezultati i shumëzimit të një thyese me një thyesë është një thyesë, numëruesi i së cilës është i barabartë me produktin e numëruesve të thyesave të shumëzuara, dhe emëruesi është i barabartë me produktin e emëruesve:

Shembulli 1

Shumëzoni thyesat e zakonshme $\frac(3)(7)$ dhe $\frac(5)(11)$.

Vendimi.

Le të përdorim rregullin e shumëzimit të thyesave të zakonshme:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Përgjigje:$\frac(15)(77)$

Nëse si rezultat i shumëzimit të thyesave fitohet një fraksion i anulueshëm ose i papërshtatshëm, atëherë është e nevojshme ta thjeshtoni atë.

Shembulli 2

Shumëzoni thyesat $\frac(3)(8)$ dhe $\frac(1)(9)$.

Vendimi.

Ne përdorim rregullin për shumëzimin e thyesave të zakonshme:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Si rezultat, kemi marrë një thyesë të reduktueshme (në bazë të pjesëtimit me $3$. Pjestoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me $3$, marrim:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Zgjidhje e shkurtër:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Përgjigje:$\frac(1)(24).$

Kur shumëzoni thyesat, mund të zvogëloni numëruesit dhe emëruesit për të gjetur produktin e tyre. Në këtë rast, numëruesi dhe emëruesi i thyesës zbërthehen në faktorë të thjeshtë, pas së cilës faktorët përsëritës zvogëlohen dhe rezulton rezultati.

Shembulli 3

Llogaritni prodhimin e thyesave $\frac(6)(75)$ dhe $\frac(15)(24)$.

Vendimi.

Le të përdorim formulën për shumëzimin e thyesave të zakonshme:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Natyrisht, numëruesi dhe emëruesi përmbajnë numra që mund të reduktohen në çift nga numrat $2$, $3$ dhe $5$. Ne zbërthejmë numëruesin dhe emëruesin në faktorë të thjeshtë dhe bëjmë reduktimin:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Përgjigje:$\frac(1)(20).$

Gjatë shumëzimit të thyesave, ligji komutativ mund të zbatohet:

Shumëzimi i një thyese me një numër natyror

Rregulli për shumëzimin e një thyese të zakonshme me një numër natyror:

Rezultati i shumëzimit të një thyese me një numër natyror është një thyesë në të cilën numëruesi është i barabartë me produktin e numëruesit të thyesës së shumëzuar me numrin natyror, dhe emëruesi është i barabartë me emëruesin e thyesës së shumëzuar:

ku $\frac(a)(b)$ është një thyesë e zakonshme, $n$ është një numër natyror.

Shembulli 4

Shumëzoni thyesën $\frac(3)(17)$ me $4$.

Vendimi.

Le të përdorim rregullin e shumëzimit të një thyese të zakonshme me një numër natyror:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Përgjigje:$\frac(12)(17).$

Mos harroni të kontrolloni rezultatin e shumëzimit për kontraktueshmërinë e një fraksioni ose për një fraksion të pahijshëm.

Shembulli 5

Shumëzoni thyesën $\frac(7)(15)$ me $3$.

Vendimi.

Le të përdorim formulën për shumëzimin e një thyese me një numër natyror:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Me kriterin e pjesëtimit me numrin $3$), mund të përcaktohet se fraksioni që rezulton mund të zvogëlohet:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultati është një fraksion i papërshtatshëm. Le të marrim të gjithë pjesën:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Zgjidhje e shkurtër:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Gjithashtu ishte e mundur të zvogëloheshin thyesat duke zëvendësuar numrat në numërues dhe emërues me zgjerimet e tyre në faktorë të thjeshtë. Në këtë rast, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Përgjigje:$1\frac(2)(5).$

Kur shumëzoni një thyesë me një numër natyror, mund të përdorni ligjin komutativ:

Ndarja e thyesave të zakonshme

Operacioni i pjesëtimit është inversi i shumëzimit dhe rezultati i tij është një fraksion me të cilin duhet të shumëzoni një fraksion të njohur për të marrë një produkt të njohur të dy thyesave.

Ndarja e dy thyesave të përbashkëta

Rregulli për ndarjen e thyesave të zakonshme: Natyrisht, numëruesi dhe emëruesi i fraksionit që rezulton mund të zbërthehet në faktorë të thjeshtë dhe të zvogëlohet:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Si rezultat, morëm një fraksion të pahijshëm, nga i cili zgjedhim pjesën e plotë:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Përgjigje:$1\frac(5)(9).$