Ne do të fillojmë shqyrtimin tonë të kësaj teme duke studiuar konceptin e një thyese në tërësi, gjë që do të na japë një kuptim më të plotë të kuptimit të një thyese të zakonshme. Le të japim termat kryesore dhe përkufizimin e tyre, të studiojmë temën në një interpretim gjeometrik, d.m.th. në vijën e koordinatave, dhe gjithashtu përcaktoni një listë të veprimeve themelore me thyesa.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Aksionet e tërësisë
Imagjinoni një objekt të përbërë nga disa pjesë krejtësisht të barabarta. Për shembull, mund të jetë një portokall, i përbërë nga disa feta identike.
Përkufizimi 1
Pjesë e një tërësie ose pjesëështë secila nga pjesët e barabarta që përbëjnë të gjithë objektin.
Natyrisht, aksionet mund të jenë të ndryshme. Për të shpjeguar qartë këtë deklaratë, imagjinoni dy mollë, njëra prej të cilave është prerë në dy pjesë të barabarta dhe e dyta në katër. Është e qartë se madhësia e aksioneve që rezultojnë për mollë të ndryshme do të ndryshojë.
Aksionet kanë emrat e tyre, të cilët varen nga numri i aksioneve që përbëjnë të gjithë subjektin. Nëse një artikull ka dy pjesë, atëherë secila prej tyre do të përkufizohet si një pjesë e dytë e këtij artikulli; kur një objekt përbëhet nga tre pjesë, atëherë secila prej tyre është një e treta, e kështu me radhë.
Përkufizimi 2
Gjysma- një pjesë e dytë e lëndës.
Së treti- një e treta e lëndës.
lagje- një e katërta e lëndës.
Për të shkurtuar rekordin, u prezantua shënimi i mëposhtëm për aksionet: gjysma - 1 2 ose 1/2; e treta - 1 3 ose 1/3; një e katërta e aksionit 1 4 ose 1/4 e kështu me radhë. Regjistrimet me shirit horizontal përdoren më shpesh.
Koncepti i një pjese zgjerohet natyrshëm nga objektet në madhësi. Pra, ju mund të përdorni fraksionet e një metri (një të tretën ose një të qindtën) për të matur objekte të vogla, si një nga njësitë e gjatësisë. Aksionet e sasive të tjera mund të aplikohen në mënyrë të ngjashme.
Thyesat e zakonshme, përkufizimet dhe shembujt
Fraksionet e zakonshme përdoren për të përshkruar numrin e aksioneve. Shqyrtoni një shembull të thjeshtë që do të na afrojë me përkufizimin e një thyese të zakonshme.
Imagjinoni një portokall, të përbërë nga 12 feta. Çdo aksion atëherë do të jetë - një e dymbëdhjetë ose 1/12. Dy aksione - 2/12; tre aksione - 3 / 12, etj. Të 12 pjesët ose një numër i plotë do të dukeshin kështu: 12 / 12 . Secila nga hyrjet e përdorura në shembull është një shembull i një thyese të përbashkët.
Përkufizimi 3
Thyesë e zakonshmeështë një regjistrim i formularit m n ose m / n , ku m dhe n janë çdo numër natyror.
Sipas këtij përkufizimi, shembuj të thyesave të zakonshme mund të jenë hyrjet: 4/9, 1134, 91754. Dhe këto hyrje: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 nuk janë thyesa të zakonshme.
Numëruesi dhe emëruesi
Përkufizimi 4numërues thyesë e zakonshme m n ose m / n është një numër natyror m .
emërues thyesë e zakonshme m n ose m / n është një numër natyror n .
ato. numëruesi është numri mbi shiritin e një thyese të zakonshme (ose në të majtë të vijës së pjerrët), dhe emëruesi është numri nën shiritin (në të djathtë të vijës së pjerrët).
Cili është kuptimi i numëruesit dhe emëruesit? Emëruesi i një thyese të zakonshme tregon se nga sa aksione përbëhet një artikull, dhe numëruesi na jep informacion se sa aksione të tilla konsiderohen. Për shembull, fraksioni i përbashkët 7 54 na tregon se një objekt i caktuar përbëhet nga 54 aksione, dhe për shqyrtim morëm 7 aksione të tilla.
Numri natyror si thyesë me emërues 1
Emëruesi i një thyese të zakonshme mund të jetë i barabartë me një. Në këtë rast mund të thuhet se objekti (vlera) në shqyrtim është i pandashëm, është diçka e tërë. Numëruesi në një thyesë të tillë do të tregojë se sa zëra të tillë janë marrë, d.m.th. një thyesë e zakonshme e formës m 1 ka kuptimin e një numri natyror m . Ky pohim shërben si justifikim për barazinë m 1 = m .
Le ta shkruajmë barazinë e fundit kështu: m = m 1 . Do të na japë mundësinë të përdorim çdo numër natyror në formën e një thyese të zakonshme. Për shembull, numri 74 është një pjesë e zakonshme e formës 74 1 .
Përkufizimi 5
Çdo numër natyror m mund të shkruhet si thyesë e zakonshme, ku emëruesi është një: m 1 .
Nga ana tjetër, çdo pjesë e zakonshme e formës m 1 mund të përfaqësohet nga një numër natyror m .
Shiriti i thyesës si shenjë e pjesëtimit
Paraqitja e mësipërme e një objekti të caktuar si n aksione nuk është gjë tjetër veçse një ndarje në n pjesë të barabarta. Kur një objekt ndahet në n pjesë, ne kemi mundësinë ta ndajmë atë në mënyrë të barabartë midis n njerëzve - secili merr pjesën e tij.
Në rastin kur fillimisht kemi m objekte identike (secili i ndarë në n pjesë), atëherë këto m objekte mund të ndahen në mënyrë të barabartë midis n njerëzve, duke i dhënë secilit prej tyre një pjesë nga secili prej m objekteve. Në këtë rast, çdo person do të ketë m aksione 1 n , dhe m aksione 1 n do të japë një fraksion të zakonshëm m n . Prandaj, thyesa e përbashkët m n mund të përdoret për të përfaqësuar ndarjen e m sendeve midis n njerëzve.
Deklarata që rezulton vendos një lidhje midis thyesave të zakonshme dhe pjesëtimit. Dhe kjo marrëdhënie mund të shprehet si më poshtë : është e mundur të nënkuptohet drejtëza e një thyese si shenjë pjesëtimi, d.m.th. m/n=m:n.
Me ndihmën e një thyese të zakonshme, mund të shkruajmë rezultatin e pjesëtimit të dy numrat natyrorë. Për shembull, pjesëtimi i 7 mollëve me 10 persona do të shkruhet si 7 10: çdo person do të marrë shtatë të dhjetat.
Thyesat e përbashkëta të barabarta dhe të pabarabarta
Veprimi logjik është të krahasohen thyesat e zakonshme, sepse është e qartë se, për shembull, 1 8 e një mollë është e ndryshme nga 7 8 .
Rezultati i krahasimit të thyesave të zakonshme mund të jetë: i barabartë ose i pabarabartë.
Përkufizimi 6
Thyesat e përbashkëta të barabarta janë thyesa të zakonshme a b dhe c d , për të cilat barazia është e vërtetë: a d = b c .
Thyesat e përbashkëta të pabarabarta- thyesat e zakonshme a b dhe c d , për të cilat barazia: a · d = b · c nuk është e vërtetë.
Një shembull i thyesave të barabarta: 1 3 dhe 4 12 - pasi barazia 1 12 \u003d 3 4 është e vërtetë.
Në rastin kur rezulton se thyesat nuk janë të barabarta, zakonisht duhet të zbulohet se cili nga thyesat e dhëna është më i vogël dhe cili është më i madh. Për t'iu përgjigjur këtyre pyetjeve, thyesat e zakonshme krahasohen duke i sjellë ato në një emërues të përbashkët dhe më pas duke krahasuar numëruesit.
Numrat thyesorë
Çdo fraksion është një rekord i një numri thyesor, i cili në fakt është vetëm një "guaskë", një vizualizimi i ngarkesës semantike. Por megjithatë, për lehtësi, ne kombinojmë konceptet e një fraksioni dhe një numri thyesor, thjesht duke folur - një fraksion.
Të gjithë numrat thyesorë, si çdo numër tjetër, kanë vendndodhjen e tyre unike rreze koordinative: ekziston një korrespodencë një me një ndërmjet thyesave dhe pikave të rrezes koordinative.
Për të gjetur një pikë në rreze koordinative, që tregon një fraksion m n, është e nevojshme të shtyhen m segmente në drejtim pozitiv nga origjina e koordinatave, gjatësia e secilës prej të cilave do të jetë 1 n një pjesë e një segmenti njësi. Segmentet mund të merren duke ndarë një segment të vetëm në n pjesë identike.
Si shembull, le të shënojmë pikën M në rrezen koordinative, e cila i përgjigjet thyesës 14 10 . Gjatësia e segmentit, skajet e të cilit është pika O dhe pika më e afërt, e shënuar me një goditje të vogël, është e barabartë me 1 10 fraksione të segmentit njësi. Pika që korrespondon me fraksionin 14 10 ndodhet në një distancë nga origjina e koordinatave në një distancë prej 14 segmentesh të tillë.
Nëse thyesat janë të barabarta, d.m.th. i përgjigjen të njëjtit numër thyesor, atëherë këto thyesa shërbejnë si koordinata të së njëjtës pikë në rreze koordinative. Për shembull, koordinatat në formën e fraksioneve të barabarta 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 korrespondojnë me të njëjtën pikë në rreze koordinative, e vendosur në një distancë prej një të tretës së segmentit njësi, të shtyrë nga origjinën në drejtim pozitiv.
I njëjti parim funksionon këtu si me numrat e plotë: në një rreze koordinative horizontale të drejtuar djathtas, pika që korrespondon me një fraksion të madh do të vendoset në të djathtë të pikës që korrespondon me një fraksion më të vogël. Dhe anasjelltas: pika, koordinata e së cilës është fraksioni më i vogël, do të vendoset në të majtë të pikës, e cila korrespondon me koordinatën më të madhe.
Thyesat e duhura dhe të pahijshme, përkufizime, shembuj
Ndarja e thyesave në të duhura dhe të pahijshme bazohet në krahasimin e numëruesit dhe emëruesit brenda së njëjtës thyesë.
Përkufizimi 7
Pjesa e duhurështë një thyesë e zakonshme në të cilën numëruesi është më i vogël se emëruesi. Kjo do të thotë, nëse pabarazia m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.
Thyesë e papërshtatshmeështë një thyesë numëruesi i së cilës është më i madh ose i barabartë me emëruesin. Kjo do të thotë, nëse pabarazia e papërcaktuar është e vërtetë, atëherë thyesa e zakonshme m n është e papërshtatshme.
Këtu janë disa shembuj: - thyesat e duhura:
Shembulli 1
5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;
Thyesat e gabuara:
Shembulli 2
13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .
Është gjithashtu e mundur të jepet një përkufizim i thyesave të duhura dhe të pahijshme, bazuar në krahasimin e një thyese me një njësi.
Përkufizimi 8
Pjesa e duhurështë një thyesë e zakonshme që është më e vogël se një.
Thyesë e papërshtatshmeështë një thyesë e zakonshme e barabartë ose më e madhe se një.
Për shembull, thyesa 8 12 është e saktë, sepse 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , dhe 14 14 = 1 .
Le të shkojmë pak më thellë në të menduarit pse thyesat në të cilat numëruesi është më i madh ose i barabartë me emëruesin quhen "të pahijshme".
Merrni parasysh thyesën e papërshtatshme 8 8: na tregon se janë marrë 8 pjesë të një objekti të përbërë nga 8 pjesë. Kështu, nga tetë aksionet e disponueshme, ne mund të kompozojmë një objekt të tërë, d.m.th. thyesa e dhënë 8 8 përfaqëson në thelb të gjithë objektin: 8 8 \u003d 1. Thyesat në të cilat numëruesi dhe emëruesi janë të barabartë zëvendësojnë plotësisht numrin natyror 1.
Konsideroni edhe thyesat në të cilat numëruesi e kalon emëruesin: 11 5 dhe 36 3 . Është e qartë se thyesa 11 5 tregon se ne mund të bëjmë dy objekte të tëra prej saj dhe do të ketë ende një të pestën e saj. ato. thyesa 11 5 është 2 objekte dhe një tjetër 1 5 prej tij. Nga ana tjetër, 36 3 është një fraksion, që në thelb nënkupton 12 objekte të plota.
Këta shembuj na lejojnë të konkludojmë se thyesat e papërshtatshmeështë e mundur të zëvendësohet me numra natyrorë (nëse numëruesi është i pjesëtueshëm me emëruesin pa mbetje: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) ose shuma e një numri natyror dhe një fraksioni të duhur (nëse numëruesi nuk është i pjesëtueshëm me emëruesin pa mbetje: 11 5 \u003d 2 + 1 5). Kjo është ndoshta arsyeja pse fraksionet e tilla quhen "të pahijshme".
Edhe këtu ndeshemi me një nga aftësitë më të rëndësishme të numrave.
Përkufizimi 9
Nxjerrja e pjesës së plotë nga një thyesë e gabuarështë një thyesë e papërshtatshme e shkruar si shumë e një numri natyror dhe një thyese të duhur.
Vini re gjithashtu se ekziston një lidhje e ngushtë midis thyesave të pasakta dhe numrave të përzier.
Thyesat pozitive dhe negative
Më sipër thamë se çdo thyese e zakonshme i përgjigjet një numri thyesor pozitiv. ato. thyesat e zakonshme janë thyesa pozitive. Për shembull, thyesat 5 17 , 6 98 , 64 79 janë pozitive dhe kur është e nevojshme të theksohet "pozitiviteti" i një thyese, shkruhet duke përdorur një shenjë plus: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .
Nëse i caktojmë një shenjë minus një thyese të zakonshme, atëherë rekordi që rezulton do të jetë një rekord i një numri thyesor negativ, dhe në këtë rast po flasim për thyesa negative. Për shembull, - 8 17 , - 78 14 etj.
Thyesat pozitive dhe negative m n dhe - m n janë numra të kundërt Për shembull, thyesat 7 8 dhe - 7 8 janë të kundërta.
Thyesat pozitive, si çdo numër pozitiv në përgjithësi, nënkuptojnë një mbledhje, një ndryshim lart. Nga ana tjetër, fraksionet negative korrespondojnë me konsumin, një ndryshim në drejtimin e uljes.
Nëse marrim parasysh vijën e koordinatave, do të shohim se thyesat negative janë të vendosura në të majtë të pikës së referencës. Pikat me të cilat korrespondojnë thyesat, të cilat janë të kundërta (m n dhe - m n), ndodhen në të njëjtën distancë nga origjina e koordinatave O, por përgjatë anët e ndryshme prej saj.
Këtu veçmas flasim edhe për thyesat e shkruara në formën 0 n . Një pjesë e tillë është e barabartë me zero, d.m.th. 0 n = 0 .
Duke përmbledhur të gjitha sa më sipër, kemi ardhur në konceptin më të rëndësishëm të numrave racionalë.
Përkufizimi 10
Numrat racionalëështë një grup thyesash pozitive, thyesash negative dhe thyesash të formës 0 n.
Veprimet me thyesa
Le të rendisim veprimet bazë me thyesa. Në përgjithësi, thelbi i tyre është i njëjtë me veprimet përkatëse me numra natyrorë
- Krahasimi i thyesave - këtë veprim e kemi diskutuar më lart.
- Mbledhja e thyesave - rezultati i shtimit të thyesave të zakonshme është një thyesë e zakonshme (në një rast të veçantë, e reduktuar në një numër natyror).
- Zbritja e thyesave është një veprim, i kundërt i mbledhjes, kur një thyesë e panjohur përcaktohet nga një thyesë e njohur dhe një shumë e dhënë thyesash.
- Shumëzimi i thyesave - ky veprim mund të përshkruhet si gjetja e një thyese nga një thyesë. Rezultati i shumëzimit të dy thyesave të zakonshme është një thyesë e zakonshme (në një rast të veçantë, e barabartë me një numër natyror).
- Ndarja e thyesave - veprim, reciproke e shumëzimit, kur përcaktojmë thyesën me të cilën është e nevojshme të shumëzohet ajo e dhënë për të marrë një prodhim të njohur të dy thyesave.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Një pjesë e një njësie ose disa pjesë të saj quhet thyesë e thjeshtë ose e zakonshme. Numri i pjesëve të barabarta në të cilat ndahet njësia quhet emërues dhe numri i pjesëve të marra quhet numërues. Thyesa shkruhet si:
Në këtë rast, a është numëruesi, b është emëruesi.
Nëse numëruesi është më i vogël se emëruesi, atëherë thyesa është më e vogël se 1 dhe quhet thyesë e duhur. Nëse numëruesi është më i madh se emëruesi, atëherë thyesa është më e madhe se 1, atëherë thyesa quhet thyesë e papërshtatshme.
Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese janë të barabartë, atëherë thyesa është e barabartë.
1. Nëse numëruesi mund të pjesëtohet me emëruesin, atëherë kjo thyesë është e barabartë me herësin e pjesëtimit:
Nëse ndarja kryhet me një mbetje, atëherë kjo pjesë e gabuar mund të përfaqësohet nga një numër i përzier, për shembull:
Atëherë 9 është një herës jo i plotë (pjesa e plotë e numrit të përzier),
1 - mbetje (numëruesi i pjesës thyesore),
5 është emëruesi.
Për të kthyer një numër të përzier në një thyesë, shumëzojeni pjesën e plotë të numrit të përzier me emëruesin dhe shtoni numëruesin e pjesës thyesore.
Rezultati i marrë do të jetë numëruesi i një thyese të zakonshme, dhe emëruesi do të mbetet i njëjtë.
Veprimet me thyesa
Zgjerimi i fraksionit. Vlera e një thyese nuk ndryshon nëse numëruesi dhe emëruesi i saj shumëzohen me të njëjtin numër jozero.
për shembull:
Reduktimi i fraksionit. Vlera e një thyese nuk ndryshon nëse numëruesi dhe emëruesi i saj pjesëtohen me të njëjtin numër jozero.
për shembull: 
Krahasimi i thyesave. Nga dy thyesa me numërues të njëjtë, më e madhja është ajo me emërues më të vogël:
Nga dy thyesa me emërues të njëjtë, ajo me numërues më të madh është më e madhe:
Për të krahasuar thyesat që kanë numërues dhe emërues të ndryshëm, është e nevojshme t'i zgjeroni, domethënë t'i çoni në një emërues të përbashkët. Merrni, për shembull, fraksionet e mëposhtme: 
Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Nëse emëruesit e thyesave janë të njëjtë, atëherë për të mbledhur thyesat, duhet të mblidhen numëruesit e tyre, dhe për të zbritur thyesat, duhet të zbriten numëruesit e tyre. Shuma ose diferenca që rezulton do të jetë numëruesi i rezultatit, ndërsa emëruesi do të mbetet i njëjtë. Nëse emëruesit e thyesave janë të ndryshëm, fillimisht duhet t'i reduktoni thyesat në një emërues të përbashkët. Kur mblidhen numra të përzier, pjesët e tyre të plota dhe thyesore shtohen veçmas. Kur zbritni numra të përzier, së pari duhet t'i ktheni ato në formën e thyesave të pahijshme, pastaj të zbrisni nga njëri-tjetri dhe pastaj ta sillni përsëri rezultatin, nëse është e nevojshme, në formën e një numri të përzier.
Shumëzimi i thyesave. Për të shumëzuar thyesat, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre veçmas dhe të ndani produktin e parë me të dytin.
Ndarja e thyesave. Për të pjesëtuar një numër me një thyesë, duhet të shumëzoni atë numër me reciprocitetin e tij.
dhjetoreështë rezultat i pjesëtimit të një me dhjetë, njëqind, njëmijë etj. pjesët. Së pari, shkruhet pjesa e plotë e numrit, pastaj pika dhjetore vendoset në të djathtë. Shifra e parë pas presjes dhjetore nënkupton numrin e të dhjetave, e dyta - numrin e të qindtave, e treta - numrin e të mijtësve, etj. Numrat pas presjes dhjetore quhen shifra dhjetore.
Për shembull: 
Vetitë dhjetore
Vetitë:
- Thyesa dhjetore nuk ndryshon nëse zero shtohen djathtas: 4,5 = 4,5000.
- Thyesa dhjetore nuk ndryshon nëse hiqen zerot që ndodhen në fund të thyesës dhjetore: 0,0560000 = 0,056.
- Dhjetorja rritet me 10, 100, 1000, e kështu me radhë. herë, nëse e zhvendosni pikën dhjetore në një, dy, tre, etj. pozicionet në të djathtë: 4.5 45 (fraksioni është rritur 10 herë).
- Dhjetorja zvogëlohet me 10, 100, 1000, etj. herë, nëse e zhvendosni pikën dhjetore në një, dy, tre, etj. pozicionet në të majtë: 4.5 0.45 (fraksioni është ulur 10 herë).
Një dhjetor periodik përmban një grup shifrash pafundësisht të përsëritur të quajtur period: 0.321321321321…=0,(321)
Veprimet me dhjetore
Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë bëhet në të njëjtën mënyrë si mbledhja dhe zbritja e numrave të plotë, ju duhet vetëm të shkruani numrat dhjetorë përkatës njëra nën tjetrën.
Për shembull:
Shumëzimi i thyesave dhjetore kryhet në disa faza:
- shumohen dhjetore si numra të plotë, duke injoruar pikën dhjetore.
- Zbatohet rregulli: numri i numrave dhjetorë në produkt është i barabartë me shumën e numrave dhjetorë në të gjithë faktorët.
për shembull:
Shuma e numrave të numrave dhjetorë në faktorët është: 2+1=3. Tani duhet të numëroni 3 shifra nga fundi i numrit që rezulton dhe të vendosni një pikë dhjetore: 0.675.
Ndarja e numrave dhjetorë. Pjesëtimi i një dhjetore me një numër të plotë: nëse dividenti më pak pjesëtues, atëherë duhet të shkruani zero në pjesën e plotë të herësit dhe të vendosni një pikë dhjetore pas saj. Pastaj, pa marrë parasysh pikën dhjetore të dividentit, shtoni shifrën tjetër të pjesës thyesore në pjesën e saj të plotë dhe krahasoni përsëri pjesën e plotë të dividentit që rezulton me pjesëtuesin. Nëse numri i ri është përsëri më i vogël se pjesëtuesi, operacioni duhet të përsëritet. Ky proces përsëritet derisa dividenti që rezulton të jetë më i madh se pjesëtuesi. Pas kësaj, ndarja kryhet si për numrat e plotë. Nëse dividenti është më i madh ose i barabartë me pjesëtuesin, së pari e ndajmë pjesën e tij të plotë, shkruajmë rezultatin e pjesëtimit në herës dhe vendosim një pikë dhjetore. Pas kësaj, ndarja vazhdon, si në rastin e numrave të plotë.
Ndarja e një thyese dhjetore në një tjetër: së pari, pikat dhjetore në dividend dhe pjesëtues transferohen nga numri i vendeve dhjetore në pjesëtues, domethënë, ne e bëjmë pjesëtuesin një numër të plotë dhe kryhen veprimet e përshkruara më sipër.
Për të kthyer një thyesë dhjetore në një të zakonshme, është e nevojshme të merret numri pas presjes dhjetore si numërues dhe të merret fuqia k-të e dhjetës si emërues (k është numri i numrave dhjetorë). Pjesa e plotë jozero ruhet në thyesën e përbashkët; pjesa e plotë zero është lënë jashtë.
Për shembull: 
Për të kthyer një thyesë të zakonshme në një dhjetore, është e nevojshme të ndahet numëruesi me emëruesin në përputhje me rregullat e pjesëtimit.
Një përqindje është një e qindta e njësisë, për shembull: 5% do të thotë 0,05. Një raport është herësi i pjesëtimit të një numri me një tjetër. Proporcioni është barazia e dy raporteve.
Për shembull:
Vetia kryesore e proporcionit: produkti i anëtarëve ekstremë të proporcionit është i barabartë me produktin e anëtarëve të mesëm të tij, domethënë 5x30 = 6x25. Dy madhësi të varura reciprokisht quhen proporcionale nëse raporti i sasive të tyre mbetet i pandryshuar (koeficienti i proporcionalitetit).
Kështu, zbulohen veprimet e mëposhtme aritmetike.
Për shembull:
Bashkësia e numrave racional përfshin numrat pozitivë dhe negativë (të plotë dhe thyesorë) dhe zero. Më shumë përcaktim i saktë numrat racionalë, të pranuar në matematikë, si vijon: një numër quhet racional nëse mund të paraqitet si një pjesë e zakonshme e pakësueshme e formës:, ku a dhe b janë numra të plotë.
Për numër negativ vlera absolute (moduli) është një numër pozitiv i marrë duke ndryshuar shenjën e tij nga "-" në "+"; për numër pozitiv dhe zero është vetë numri. Për të përcaktuar modulin e një numri përdoren dy drejtëza, brenda të cilave shkruhet ky numër, p.sh.: |–5|=5.
Vetitë me vlerë absolute
Le të jepet moduli i një numri 
, për të cilat pronat janë të vlefshme: 
Një monom është prodhim i dy ose më shumë faktorëve, secili prej të cilëve është ose një numër, ose një shkronjë, ose fuqia e një shkronje: 3 x a x b. Koeficienti më së shpeshti quhet vetëm një faktor numerik. Monomet thuhet se janë të ngjashëm nëse janë të njëjtë ose ndryshojnë vetëm në koeficientë. Shkalla e një monomi është shuma e eksponentëve të të gjitha shkronjave të tij. Nëse ka të ngjashme midis shumës së monomëve, atëherë shuma mund të reduktohet në më shumë pamje e thjeshtë: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Ky operacion quhet shtrëngim i termave ose kllapave të ngjashme.
Një polinom është një shumë algjebrike e monomëve. Shkalla e një polinomi është më e madhja nga shkallët e monomëve të përfshirë në polinomin e dhënë.
Ekzistojnë formulat e mëposhtme për shumëzim të shkurtuar:
Metodat e faktorizimit:
Një thyesë algjebrike është një shprehje e formës , ku A dhe B mund të jenë një numër, një monom, një polinom.
Nëse dy shprehje (numerike dhe alfabetike) lidhen me shenjën "=", atëherë thuhet se ato formojnë barazi. Çdo barazi e vërtetë, e vlefshme për të gjitha vlerat numerike të pranueshme të shkronjave të përfshira në të, quhet identitet.
Një ekuacion është një barazi fjalë për fjalë që është e vlefshme për vlera të caktuara të shkronjave të përfshira në të. Këto shkronja quhen të panjohura (ndryshore), dhe vlerat e tyre, në të cilat ekuacioni i dhënë bëhet identitet, quhen rrënjët e ekuacionit.
Të zgjidhësh një ekuacion do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e tij. Dy ose më shumë ekuacione quhen ekuivalente nëse kanë të njëjtat rrënjë.
- zero ishte rrënja e ekuacionit;
- Ekuacioni ka vetëm një numër të kufizuar rrënjësh.
Llojet kryesore të ekuacioneve algjebrike:
Ekuacioni linear ka ax + b = 0:
- nëse a x 0, ka një rrënjë të vetme x = -b/a;
- nëse a = 0, b ≠ 0, nuk ka rrënjë;
- nëse a = 0, b = 0, rrënja është çdo numër real.
Ekuacioni xn = a, n N:
- nëse n është një numër tek, ka një rrënjë reale të barabartë me a/n për çdo a;
- nëse n është një numër çift, atëherë për një 0, atëherë ai ka dy rrënjë.
Kryesor transformime identike: zëvendësimi i një shprehjeje me një tjetër, identikisht i barabartë me të; transferimi i termave të ekuacionit nga njëra anë në tjetrën me shenja të kundërta; shumëzimi ose pjesëtimi i të dy pjesëve të ekuacionit me të njëjtën shprehje (numër) përveç zeros.
Një ekuacion linear me një të panjohur është një ekuacion i formës: ax+b=0, ku a dhe b janë numra të njohur, dhe x është një vlerë e panjohur.
Sistemet me dy ekuacionet lineare me dy të panjohura kanë formën:
Ku a, b, c, d, e, f janë dhënë numra; x, y janë të panjohura.
Numrat a, b, c, d - koeficientët për të panjohurat; e, f - anëtarë të lirë. Zgjidhja e këtij sistemi ekuacionesh mund të gjendet me dy metoda kryesore: metodën e zëvendësimit: nga njëri ekuacion shprehim njërën nga të panjohurat përmes koeficientëve dhe tjetrën të panjohur, dhe më pas e zëvendësojmë në ekuacionin e dytë, duke zgjidhur ekuacionin e fundit. , fillimisht gjejmë një të panjohur, pastaj e zëvendësojmë vlerën e gjetur në ekuacionin e parë dhe gjejmë të panjohurën e dytë; Metoda e mbledhjes ose zbritjes së një ekuacioni nga një tjetër.
Operacionet me rrënjë:
Aritmetika rrënja e n-së shkalla nga një numër jo negativ a quhet një numër jo negativ, shkalla e nëntë e cila është e barabartë me a. rrënjë algjebrike shkalla e nëntë nga një numër i caktuar, thirret bashkësia e të gjitha rrënjëve nga ky numër.
Numrat irracionalë, ndryshe nga ata racionalë, nuk mund të paraqiten si një pjesë e zakonshme e pakësueshme e formës m/n, ku m dhe n janë numra të plotë. Këta janë numra të një lloji të ri që mund të llogariten me çdo saktësi, por nuk mund të zëvendësohen me një numër racional. Ato mund të shfaqen si rezultat i matjeve gjeometrike, për shembull: raporti i gjatësisë së diagonales së një katrori me gjatësinë e anës së tij është i barabartë.
Një ekuacion kuadratik është një ekuacion algjebrik i shkallës së dytë ax2+bx+c=0, ku a, b, c janë dhënë koeficientët numerik ose alfabetik, x është një e panjohur. Nëse të gjithë termat e këtij ekuacioni i ndajmë me a, si rezultat fitojmë x2+px+q=0 - ekuacionin e reduktuar p=b/a, q=c/a. Rrënjët e saj gjenden me formulën: 
Nëse b2-4ac>0 atëherë ka dy rrënjë të dallueshme, b2-4ac=0 atëherë ka dy rrënjë të barabarta; b2-4ac Ekuacionet që përmbajnë module
Llojet kryesore të ekuacioneve që përmbajnë module:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, ku janë dhënë funksione f(x), g(x), fk(x), gk(x).
Në matematikë, një thyesë është një numër i përbërë nga një ose më shumë pjesë (fraksione) të një njësie. Sipas formës së shkrimit, thyesat ndahen në të zakonshme (shembull \frac (5) (8)) dhe dhjetore (për shembull, 123.45).
Përkufizimi. Thyesë e zakonshme (ose thyesë e thjeshtë)
Thyesë e zakonshme (e thjeshtë).është një numër i formës \pm\frac(m)(n) ku m dhe n janë numra natyrorë. Numri m quhet numërues kjo thyesë, dhe numri n është i tij emërues.
Një prerje horizontale ose përpara tregon një shenjë ndarjeje, d.m.th. \frac(m)(n)=()^m/n=m:n
Thyesat e zakonshme ndahen në dy lloje: të duhura dhe të pahijshme.
Përkufizimi. Thyesat e duhura dhe të papërshtatshme
E sakte Një thyesë quhet nëse moduli i numëruesit është më i vogël se moduli i emëruesit. Për shembull, \frac(9)(11) , sepse 9
E gabuar Një thyesë quhet nëse moduli i numëruesit është më i madh ose i barabartë me modulin e emëruesit. Kjo fraksion është numër racional, modul më i madh ose i barabartë me një. Një shembull do të ishin thyesat \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)
Së bashku me një thyesë të papërshtatshme, ekziston një shënim tjetër për një numër, i cili quhet thyesë e përzier (numër i përzier). Një fraksion i tillë nuk është i zakonshëm.
Përkufizimi. fraksion i përzier(numër i përzier)
fraksion i përzier quhet thyesë e shkruar si numër i plotë dhe thyesë e duhur dhe kuptohet si shuma e këtij numri dhe një thyese. Për shembull, 2\frac(5)(7)
(shkruar si numër i përzier) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (nuk shkruhet si thyesë e papërshtatshme)
Një thyesë është vetëm një paraqitje e një numri. I njëjti numër mund të korrespondojë thyesa të ndryshme, të zakonshme dhe dhjetore. Le të formojmë një shenjë barazie të dy thyesave të zakonshme.
Përkufizimi. Shenja e barazisë së thyesave
Dy thyesat \frac(a)(b) dhe \frac(c)(d) janë të barabartë, nëse a\cdot d=b\cdot c. Për shembull, \frac(2)(3)=\frac(8)(12) pasi 2\cdot12=3\cdot8
Nga shenjë e specifikuar ndjek vetinë bazë të një thyese.
Pronës. Vetia themelore e një thyese
Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese të caktuar shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër që nuk është i barabartë me zero, atëherë do të fitohet një thyesë e barabartë me atë të dhënë.
\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0
Duke përdorur vetinë bazë të një thyese, ju mund të zëvendësoni një thyesë të caktuar me një thyesë tjetër të barabartë me atë të dhënë, por me një numërues dhe emërues më të vogël. Ky zëvendësim quhet reduktim fraksioni. Për shembull, \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (këtu numëruesi dhe emëruesi fillimisht pjesëtohen me 2, dhe më pas me 2 të tjerë). Një thyesë mund të zvogëlohet nëse dhe vetëm nëse numëruesi dhe emëruesi i saj nuk përjashtojnë njëra-tjetrën. numrat e thjeshtë. Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese të caktuar janë të dyfishtë, atëherë thyesa nuk mund të zvogëlohet, për shembull, \frac(3)(4) është një thyesë e pakalueshme.
Rregullat për thyesat pozitive:
Nga dy thyesa me emërues të njëjtë aq më e madhe është thyesa numëruesi i së cilës është më i madh. Për shembull \frac(3)(15)
Nga dy thyesa me numërues të njëjtë aq më e madhe është thyesa, emëruesi i së cilës është më i vogël. Për shembull, \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .
Për të krahasuar dy thyesa me numërues dhe emërues të ndryshëm, duhet të konvertoni të dy thyesat në mënyrë që emëruesit e tyre të bëhen të njëjtë. Ky transformim quhet reduktimi i thyesave në një emërues të përbashkët.
Thyesat
Kujdes!
Ka shtesë
materiali në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")
Thyesat në shkollën e mesme nuk janë shumë të bezdisshme. Për momentin. Derisa të hasni eksponentë me eksponentë racionalë dhe logaritme. Dhe aty…. Shtypni, shtypni kalkulatorin dhe tregon të gjithë tabelën e plotë të disa numrave. Duhet të mendosh me kokë, si në klasën e tretë.
Le të merremi me thyesat, më në fund! Epo, sa mund të ngatërrohesh në to!? Për më tepër, gjithçka është e thjeshtë dhe logjike. Kështu që, çfarë janë thyesat?
Llojet e thyesave. Transformimet.
Thyesat ndodhin tre lloje.
1. Thyesat e zakonshme , Për shembull:
Ndonjëherë, në vend të një vije horizontale, ata vendosin një vijë të pjerrët: 1/2, 3/4, 19/5, mirë, e kështu me radhë. Këtu do ta përdorim shpesh këtë drejtshkrim. Telefonohet numri i lartë numërues, më e ulët - emërues. Nëse vazhdimisht i ngatërroni këta emra (ndodh ...), thuani vetes frazën me shprehjen: " Zzzzz mbaj mend! Zzzzz emërues - jashtë zzzz u!" Shikoni, gjithçka do të mbahet mend.)
Një vizë, e cila është horizontale, e cila është e zhdrejtë, do të thotë ndarje numri i lartë (numëruesi) deri tek numri i poshtëm (emëruesi). Dhe kjo eshte! Në vend të një vize, është mjaft e mundur të vendosni një shenjë ndarjeje - dy pika.
Kur ndarja është plotësisht e mundur, ajo duhet të bëhet. Pra, në vend të thyesës "32/8" është shumë më e këndshme të shkruhet numri "4". ato. 32 thjesht ndahet me 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Nuk e kam fjalën për thyesën “4/1”. Që është gjithashtu vetëm "4". Dhe nëse nuk ndahet plotësisht, e lëmë si thyesë. Ndonjëherë ju duhet të bëni të kundërtën. Bëni një thyesë nga një numër i plotë. Por më shumë për këtë më vonë.
2. Dhjetoret , Për shembull:
Është në këtë formë që do të jetë e nevojshme të shkruani përgjigjet për detyrat "B".
3. numra të përzier , Për shembull:
Numrat e përzier praktikisht nuk përdoren në shkollën e mesme. Për të punuar me ta, ato duhet të shndërrohen në fraksione të zakonshme. Por ju patjetër duhet të dini se si ta bëni këtë! Dhe pastaj një numër i tillë do të shfaqet në enigmë dhe do të varet ... Nga e para. Por ne e mbajmë mend këtë procedurë! Pak më poshtë.
Më i gjithanshëm thyesat e zakonshme. Le të fillojmë me ta. Nga rruga, nëse ka të gjitha llojet e logaritmeve, sinuseve dhe shkronjave të tjera në fraksion, kjo nuk ndryshon asgjë. Në kuptimin që gjithçka veprimet me shprehje thyesore nuk ndryshojnë nga veprimet me thyesat e zakonshme!
Vetia themelore e një thyese.
Pra, le të shkojmë! Fillimisht do ju befasoj. E gjithë shumëllojshmëria e transformimeve të fraksioneve sigurohet nga një veti e vetme! Kështu quhet vetia themelore e një thyese. Mbani mend: Nëse numëruesi dhe emëruesi i një thyese shumëzohen (pjestohen) me të njëjtin numër, thyesa nuk do të ndryshojë. Ato:
Është e qartë se mund të shkruash më tej, derisa të jesh blu në fytyrë. Mos lejoni që sinuset dhe logaritmet t'ju ngatërrojnë, ne do të merremi me to më tej. Gjëja kryesore për të kuptuar është se të gjitha këto shprehje të ndryshme janë e njëjta fraksion . 2/3.
Dhe ne kemi nevojë për të, të gjitha këto transformime? Dhe si! Tani do ta shihni vetë. Së pari, le të përdorim vetinë bazë të një thyese për shkurtesat e thyesave. Duket se gjëja është elementare. Pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër dhe kaq! Është e pamundur të gabosh! Por... njeriu është një qenie krijuese. Ju mund të bëni gabime kudo! Sidomos nëse duhet të zvogëloni jo një fraksion si 5/10, por një shprehje thyesore me të gjitha llojet e shkronjave.
Si të zvogëloni thyesat në mënyrë korrekte dhe shpejt pa bërë punë të panevojshme, mund të gjendet në seksionin e veçantë 555.
Një student normal nuk shqetësohet të pjesëtojë numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër (ose shprehje)! Ai thjesht kryqëzon gjithçka njësoj nga lart dhe poshtë! Këtu fshihet gabim tipik, blooper nëse dëshironi.
Për shembull, ju duhet të thjeshtoni shprehjen:
Nuk ka asgjë për të menduar, shkronjën "a" e kalojmë nga lart dhe deusin nga poshtë! Ne marrim:
Gjithçka është e saktë. Por me të vërtetë keni ndarë e gjitha numërues dhe e gjitha emëruesi "a". Nëse jeni mësuar të kaloni vetëm jashtë, atëherë, me nxitim, mund të kaloni "a" në shprehje
dhe merrni përsëri
E cila do të ishte kategorikisht e gabuar. Sepse këtu e gjitha numëruesi në "a" tashmë nuk ndahet! Ky fraksion nuk mund të reduktohet. Nga rruga, një shkurtim i tillë është, um ... një sfidë serioze për mësuesin. Kjo nuk falet! E mbani mend? Kur zvogëlohet, është e nevojshme të ndahet e gjitha numërues dhe e gjitha emërues!
Reduktimi i thyesave e bën jetën shumë më të lehtë. Ju do të merrni një fraksion diku, për shembull 375/1000. Dhe si të punosh me të tani? Pa një kalkulator? Shumëzo, thuaj, shto, katror!? Dhe nëse nuk jeni shumë dembel, por zvogëloni me kujdes me pesë, madje edhe me pesë, madje edhe ... ndërsa po zvogëlohet, me pak fjalë. Ne marrim 3/8! Shumë më bukur, apo jo?
Vetia themelore e një thyese ju lejon të konvertoni thyesat e zakonshme në dhjetore dhe anasjelltas pa kalkulator! Kjo është e rëndësishme për provimin, apo jo?
Si të shndërroni thyesat nga një formë në tjetrën.
Është e lehtë me numra dhjetorë. Ashtu siç dëgjohet, ashtu është shkruar! Le të themi 0.25. Është pika zero, njëzet e pesë të qindtat. Kështu shkruajmë: 25/100. Ne zvogëlojmë (pjestojmë numëruesin dhe emëruesin me 25), marrim thyesën e zakonshme: 1/4. Gjithçka. Kjo ndodh dhe asgjë nuk zvogëlohet. Si 0.3. Kjo është tre të dhjetat, d.m.th. 3/10.
Po sikur numrat e plotë të mos jenë zero? Është në rregull. Shkruani thyesën e plotë pa asnjë presje në numërues, dhe në emërues - ajo që dëgjohet. Për shembull: 3.17. Kjo është tre të tëra, shtatëmbëdhjetë të qindtat. Në numërues shkruajmë 317, në emërues 100. Marrim 317/100. Asgjë nuk zvogëlohet, kjo do të thotë gjithçka. Kjo është përgjigja. Elementare Watson! Nga të gjitha sa më sipër, një përfundim i dobishëm: çdo thyesë dhjetore mund të shndërrohet në një thyesë të zakonshme .
Por konvertimi i kundërt, i zakonshëm në dhjetor, disa nuk mund ta bëjnë pa një kalkulator. Por ju duhet! Si do ta shkruani përgjigjen në provim!? Ne e lexojmë me kujdes dhe zotërojmë këtë proces.
Çfarë është një thyesë dhjetore? Ajo ka në emërues gjithmonë vlen 10 ose 100 ose 1000 ose 10000 e kështu me radhë. Nëse thyesa juaj e zakonshme ka një emërues të tillë, nuk ka asnjë problem. Për shembull, 4/10 = 0,4. Ose 7/100 = 0,07. Ose 12/10 = 1.2. Dhe nëse në përgjigjen e detyrës së seksionit "B" doli 1/2? Çfarë do të shkruajmë si përgjigje? Kërkohen numrat dhjetorë...
Ne kujtojmë vetia themelore e një thyese ! Matematika në mënyrë të favorshme ju lejon të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me të njëjtin numër. Për këdo, meqë ra fjala! Përveç zeros, natyrisht. Le ta përdorim këtë veçori në avantazhin tonë! Me çfarë mund të shumëzohet emëruesi, d.m.th. 2 në mënyrë që të bëhet 10, apo 100, apo 1000 (më e vogël është më mirë, sigurisht...)? 5, padyshim. Mos ngurroni të shumëzoni emëruesin (kjo është ne e nevojshme) me 5. Por, atëherë edhe numëruesi duhet të shumëzohet me 5. Kjo tashmë është matematikë kerkon! Ne marrim 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Kjo eshte e gjitha.
Megjithatë, ndeshen të gjitha llojet e emëruesve. Për shembull, thyesa 3/16 do të bjerë. Provojeni, kuptoni se me çfarë të shumëzoni 16 për të marrë 100, ose 1000... Nuk funksionon? Pastaj thjesht mund të ndani 3 me 16. Në mungesë të makinës llogaritëse, do të duhet të ndani në një cep, në një copë letre, siç mësonin në klasat fillore. Ne marrim 0.1875.
Dhe ka disa emërues shumë të këqij. Për shembull, thyesa 1/3 nuk mund të shndërrohet në një dhjetore të mirë. Si në një makinë llogaritëse ashtu edhe në një copë letër, marrim 0,3333333 ... Kjo do të thotë se 1/3 në një fraksion të saktë dhjetor nuk përkthehet. Ashtu si 1/7, 5/6 e kështu me radhë. Shumë prej tyre janë të papërkthyeshme. Prandaj një tjetër përfundim i dobishëm. Jo çdo thyesë e zakonshme shndërrohet në dhjetore. !
Nga rruga, kjo informacion të dobishëm për vetë-test. Në seksionin "B" si përgjigje, duhet të shkruani një fraksion dhjetor. Dhe ju merrni, për shembull, 4/3. Kjo thyesë nuk shndërrohet në dhjetore. Kjo do të thotë se diku gjatë rrugës keni bërë një gabim! Kthehuni, kontrolloni zgjidhjen.
Pra, me thyesat e zakonshme dhe dhjetore të renditura. Mbetet të merremi me numra të përzier. Për të punuar me ta, të gjithë duhet të shndërrohen në fraksione të zakonshme. Si ta bëjmë atë? Mund të kapni një nxënës të klasës së gjashtë dhe ta pyesni. Por jo gjithmonë një nxënës i klasës së gjashtë do të jetë pranë ... Do të duhet ta bëjmë vetë. Nuk është e vështirë. Shumëzoni emëruesin e pjesës thyesore me pjesën e plotë dhe shtoni numëruesin e pjesës thyesore. Ky do të jetë numëruesi i një thyese të përbashkët. Po emëruesi? Emëruesi do të mbetet i njëjtë. Duket e ndërlikuar, por në fakt është mjaft e thjeshtë. Le të shohim një shembull.
Lëreni problemin që patë me tmerr numrin:
Me qetësi, pa panik, e kuptojmë. E gjithë pjesa është 1. Një. Pjesa thyesore është 3/7. Prandaj, emëruesi i pjesës thyesore është 7. Ky emërues do të jetë emëruesi i thyesës së zakonshme. Ne numërojmë numëruesin. E shumëzojmë 7 me 1 (pjesën e plotë) dhe shtojmë 3 (numëruesin e pjesës thyesore). Marrim 10. Ky do të jetë numëruesi i një thyese të zakonshme. Kjo eshte e gjitha. Duket edhe më e thjeshtë në shënimin matematikor:
E qartë? Atëherë sigurojeni suksesin tuaj! Shndërroni në thyesa të zakonshme. Ju duhet të merrni 10/7, 7/2, 23/10 dhe 21/4.
Operacioni i kundërt - shndërrimi i një thyese të papërshtatshme në një numër të përzier - kërkohet rrallë në shkollën e mesme. Epo, nëse... Dhe nëse - jo në shkollë të mesme - mund të shikoni seksionin special 555. Në të njëjtin vend, nga rruga, do të mësoni për fraksionet e pahijshme.
Epo, pothuajse gjithçka. I kujtove llojet e thyesave dhe kuptove si i konvertojnë ato nga një lloj në tjetrin. Pyetja mbetet: pse beje? Ku dhe kur të zbatohet kjo njohuri e thellë?
Une pergjigjem. Çdo shembull sugjeron veprimet e nevojshme. Nëse në shembull thyesat e zakonshme, dhjetoret dhe çiftet numra të përzier, çdo gjë e shndërrojmë në thyesa të zakonshme. Mund të bëhet gjithmonë. Epo, nëse shkruhet diçka si 0.8 + 0.3, atëherë ne mendojmë kështu, pa asnjë përkthim. Pse na duhet punë shtesë? Ne zgjedhim zgjidhjen që është e përshtatshme ne !
Nëse detyra është plot me thyesa dhjetore, por um ... disa të këqija, shkoni te ato të zakonshmet, provojeni! Shikoni, gjithçka do të jetë mirë. Për shembull, duhet të vendosni në katror numrin 0.125. Jo aq e lehtë nëse nuk e keni humbur zakonin e kalkulatorit! Jo vetëm që ju duhet të shumëzoni numrat në një kolonë, por edhe të mendoni se ku të vendosni presjen! Sigurisht që nuk funksionon në mendjen time! Dhe nëse shkoni në një fraksion të zakonshëm?
0,125 = 125/1000. Ne zvogëlojmë me 5 (kjo është për fillim). Ne marrim 25/200. Edhe një herë në 5. Marrim 5/40. Oh, po tkurret! Kthehu tek 5! Ne marrim 1/8. Lehtë katrore (në mendjen tuaj!) dhe merrni 1/64. Gjithçka!
Le ta përmbledhim këtë mësim.
1. Ekzistojnë tre lloje thyesash. Numrat e zakonshëm, dhjetorë dhe të përzier.
2. Numrat dhjetorë dhe të përzier gjithmonë mund të shndërrohet në thyesa të zakonshme. Përkthimi i kundërt jo gjithmone në dispozicion.
3. Zgjedhja e llojit të thyesave për të punuar me detyrën varet pikërisht nga kjo detyrë. Në prani të tipe te ndryshme fraksionet në një detyrë, gjëja më e besueshme është kalimi në fraksione të zakonshme.
Tani mund të praktikoni. Së pari, konvertoni këto thyesa dhjetore në ato të zakonshme:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Ju duhet të merrni përgjigje si kjo (në një rrëmujë!):
Me këtë do të përfundojmë. Në këtë mësim, ne rifreskuam kujtesën tonë Pikat kryesore me thyesa. Ndodh, megjithatë, që nuk ka asgjë të veçantë për të rifreskuar ...) Nëse dikush e ka harruar plotësisht, ose nuk e ka zotëruar ende ... Ato mund të shkojnë te një Seksion i veçantë 555. Të gjitha bazat janë të detajuara atje. Shumë papritur kuptoj gjithçka janë duke filluar. Dhe ata zgjidhin thyesat në fluturim).
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)
mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Ky artikull ka të bëjë me thyesat e zakonshme. Këtu do të njihemi me konceptin e një thyese të një tërësie, që do të na çojë në përkufizimin e një thyese të zakonshme. Tjetra, ne do të ndalemi në shënimin e pranuar për thyesat e zakonshme dhe do të japim shembuj të thyesave, të themi për numëruesin dhe emëruesin e një thyese. Pas kësaj, ne do të japim përkufizime të thyesave të sakta dhe të pasakta, pozitive dhe negative, dhe gjithashtu do të shqyrtojmë pozicionin e numrave thyesorë në rrezet koordinative. Si përfundim, rendisim veprimet kryesore me thyesa.
Navigimi i faqes.
Aksionet e tërësisë
Fillimisht prezantojmë konceptin e ndarjes.
Le të supozojmë se kemi një objekt të përbërë nga disa pjesë absolutisht identike (d.m.th., të barabarta). Për qartësi, mund të imagjinoni, për shembull, një mollë të prerë në disa pjesë të barabarta, ose një portokall, të përbërë nga disa feta të barabarta. Secila nga këto pjesë të barabarta që përbëjnë të gjithë objektin quhet pjesë e së tërës ose thjesht aksionet.
Vini re se aksionet janë të ndryshme. Le ta shpjegojmë këtë. Le të themi se kemi dy mollë. E presim mollën e parë në dy pjesë të barabarta dhe të dytën në 6 pjesë të barabarta. Është e qartë se pjesa e mollës së parë do të jetë e ndryshme nga pjesa e mollës së dytë.
Në varësi të numrit të aksioneve që përbëjnë të gjithë objektin, këto aksione kanë emrat e tyre. Le të analizojmë ndajnë emrat. Nëse sendi përbëhet nga dy pjesë, secila prej tyre quhet një pjesë e dytë e të gjithë objektit; nëse objekti përbëhet nga tre pjesë, atëherë ndonjëra prej tyre quhet një pjesë e tretë, e kështu me radhë.
Një goditje e dytë ka një emër të veçantë - gjysma. Një e treta quhet e treta, dhe një katërfish - tremujori.
Për hir të shkurtësisë, sa vijon emërtimet ndajnë. Një aksion i dytë është caktuar si ose 1/2, një e treta - si ose 1/3; një e katërta pjesë - si ose 1/4, e kështu me radhë. Vini re se shënimi me një shirit horizontal përdoret më shpesh. Për të konsoliduar materialin, le të japim një shembull tjetër: hyrja tregon njëqind e gjashtëdhjetë e shtatë të së tërës.
Koncepti i një pjese natyrisht shtrihet nga objektet në madhësi. Për shembull, një nga matjet e gjatësisë është metri. Për të matur gjatësitë më të vogla se një metër, mund të përdoren fraksione të një metri. Kështu që ju mund të përdorni, për shembull, gjysmë metri ose një të dhjetën ose të mijtën e një metri. Aksionet e sasive të tjera aplikohen në mënyrë të ngjashme.
Thyesat e zakonshme, përkufizimi dhe shembujt e thyesave
Për të përshkruar numrin e aksioneve përdoren thyesat e zakonshme. Le të japim një shembull që do të na lejojë t'i qasemi përkufizimit të thyesave të zakonshme.
Lëreni një portokall të përbëhet nga 12 pjesë. Çdo aksion në këtë rast përfaqëson një të dymbëdhjetën e një portokalli të plotë, domethënë . Le të shënojmë dy rrahje si , tre rrahje si , dhe kështu me radhë, 12 rrahje si . Secila prej këtyre hyrjeve quhet fraksion i zakonshëm.
Tani le të japim një gjeneral përkufizimi i thyesave të përbashkëta.
Përkufizimi i shprehur i fraksioneve të zakonshme na lejon të sjellim shembuj të thyesave të zakonshme: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Dhe këtu janë të dhënat 
nuk i përshtaten përkufizimit të shprehur të thyesave të zakonshme, domethënë, ato nuk janë thyesa të zakonshme.
Numëruesi dhe emëruesi
Për lehtësi, në fraksionet e zakonshme dallojmë numërues dhe emërues.
Përkufizimi.
Numëruesi thyesa e zakonshme (m / n) është një numër natyror m.
Përkufizimi.
Emëruesi thyesa e zakonshme (m / n) është një numër natyror n.
Pra, numëruesi ndodhet mbi shiritin e thyesës (në të majtë të vijës së pjerrët), dhe emëruesi është nën shiritin e thyesës (në të djathtë të vijës së pjerrët). Për shembull, le të marrim një thyesë të zakonshme 17/29, numëruesi i kësaj thyese është numri 17, dhe emëruesi është numri 29.
Mbetet për të diskutuar kuptimin që përmban numëruesi dhe emëruesi i një thyese të zakonshme. Emëruesi i fraksionit tregon se nga sa aksione përbëhet një artikull, numëruesi, nga ana tjetër, tregon numrin e aksioneve të tilla. Për shembull, emëruesi 5 i thyesës 12/5 do të thotë se një artikull përbëhet nga pesë pjesë, dhe numëruesi 12 do të thotë se janë marrë 12 pjesë të tilla.
Numri natyror si thyesë me emërues 1
Emëruesi i një thyese të zakonshme mund të jetë i barabartë me një. Në këtë rast, mund të supozojmë se objekti është i pandashëm, me fjalë të tjera, është diçka e tërë. Numëruesi i një thyese të tillë tregon se sa sende të plota janë marrë. Kështu, një thyesë e zakonshme e formës m/1 ka kuptimin e një numri natyror m. Kështu e vërtetuam barazinë m/1=m .
Le ta rishkruajmë barazinë e fundit kështu: m=m/1 . Kjo barazi na lejon të paraqesim çdo numër natyror m si një thyesë e zakonshme. Për shembull, numri 4 është thyesa 4/1, dhe numri 103498 është thyesa 103498/1.
Kështu që, çdo numër natyror m mund të paraqitet si një thyesë e zakonshme me emërues 1 si m/1, dhe çdo thyesë e zakonshme e formës m/1 mund të zëvendësohet me një numër natyror m.
Shiriti i thyesës si shenjë e pjesëtimit
Paraqitja e objektit origjinal në formën e n aksioneve nuk është gjë tjetër veçse një ndarje në n pjesë të barabarta. Pasi artikulli të ndahet në n aksione, ne mund ta ndajmë atë në mënyrë të barabartë midis n njerëzve - secili do të marrë një aksion.
Nëse fillimisht kemi m objekte identike, secila prej të cilave ndahet në n pjesë, atëherë mund t'i ndajmë në mënyrë të barabartë këto m objekte midis n njerëzve, duke i dhënë secilit një pjesë nga secili prej m objekteve. Në këtë rast, çdo person do të ketë m aksione 1/n, dhe m aksione 1/n jep një fraksion të zakonshëm m/n. Kështu, thyesa e përbashkët m/n mund të përdoret për të përfaqësuar ndarjen e m artikujve midis n njerëzve.
Pra, ne morëm një lidhje të qartë midis thyesave të zakonshme dhe pjesëtimit (shiko idenë e përgjithshme të ndarjes së numrave natyrorë). Kjo marrëdhënie shprehet si më poshtë: Shiriti i një thyese mund të kuptohet si shenjë pjesëtimi, pra m/n=m:n.
Me ndihmën e një thyese të zakonshme, mund të shkruani rezultatin e pjesëtimit të dy numrave natyrorë për të cilët pjesëtimi me numër të plotë nuk kryhet. Për shembull, rezultati i pjesëtimit të 5 mollëve me 8 persona mund të shkruhet si 5/8, domethënë secila do të marrë pesë të tetat e një molle: 5:8=5/8.
Thyesat e zakonshme të barabarta dhe të pabarabarta, krahasimi i thyesave
Një veprim mjaft i natyrshëm është krahasimi i thyesave të zakonshme, sepse është e qartë se 1/12 e një portokalli është e ndryshme nga 5/12, dhe 1/6 e një molle është e njëjtë me 1/6 e tjera të kësaj molle.
Si rezultat i krahasimit të dy thyesave të zakonshme, merret një nga rezultatet: thyesat janë ose të barabarta ose jo të barabarta. Në rastin e parë kemi thyesa të përbashkëta të barabarta, dhe në të dytën thyesat e përbashkëta të pabarabarta. Le të japim një përkufizim të thyesave të zakonshme të barabarta dhe të pabarabarta.
Përkufizimi.
të barabartë, nëse barazia a d=b c është e vërtetë.
Përkufizimi.
Dy thyesa të përbashkëta a/b dhe c/d jo të barabartë, nëse barazia a d=b c nuk plotësohet.
Këtu janë disa shembuj të thyesave të barabarta. Për shembull, thyesa e përbashkët 1/2 është e barabartë me thyesën 2/4, pasi 1 4=2 2 (nëse është e nevojshme, shih rregullat dhe shembujt e shumëzimit të numrave natyrorë). Për qartësi, mund të imagjinoni dy mollë identike, e para është prerë në gjysmë, dhe e dyta - në 4 aksione. Është e qartë se dy të katërtat e një mollë janë 1/2 e një pjese. Shembuj të tjerë të thyesave të barabarta të zakonshme janë thyesat 4/7 dhe 36/63, dhe çifti i thyesave 81/50 dhe 1620/1000.
Dhe thyesat e zakonshme 4/13 dhe 5/14 nuk janë të barabarta, pasi 4 14=56, dhe 13 5=65, domethënë 4 14≠13 5. Një shembull tjetër i thyesave të zakonshme të pabarabarta janë thyesat 17/7 dhe 6/4.
Nëse, kur krahasoni dy thyesa të zakonshme, rezulton se ato nuk janë të barabarta, atëherë mund t'ju duhet të zbuloni se cilat nga këto thyesa të zakonshme më të vogla një tjetër, dhe cila më shumë. Për ta zbuluar, përdoret rregulli për krahasimin e thyesave të zakonshme, thelbi i të cilit është të sillni thyesat e krahasuara në një emërues të përbashkët dhe më pas të krahasoni numëruesit. Informacioni i detajuar për këtë temë është mbledhur në artikullin e krahasimit të fraksioneve: rregulla, shembuj, zgjidhje.
Numrat thyesorë
Çdo fraksion është një rekord numër thyesor. Kjo do të thotë, një thyesë është vetëm një "guaskë" e një numri thyesor, i tij pamjen, dhe e gjithë ngarkesa semantike përmbahet pikërisht në një numër thyesor. Sidoqoftë, për shkurtësi dhe lehtësi, koncepti i një thyese dhe një numri thyesor kombinohen dhe thjesht quhen një thyesë. Këtu është me vend të parafrazojmë një thënie të njohur: themi thyesë - nënkuptojmë numër thyesor, themi numër thyesor - nënkuptojmë një thyesë.
Thyesat në rreze koordinative
Të gjithë numrat thyesorë që u korrespondojnë thyesave të zakonshme kanë vendin e tyre unik në , domethënë ekziston një korrespondencë një-për-një midis thyesave dhe pikave të rrezes koordinative.
Për të arritur në pikën që korrespondon me fraksionin m / n në rrezen koordinative, është e nevojshme të shtyhen m segmente nga origjina në drejtim pozitiv, gjatësia e së cilës është 1 / n e segmentit të njësisë. Segmente të tilla mund të merren duke ndarë një segment të vetëm në n pjesë të barabarta, gjë që mund të bëhet gjithmonë duke përdorur një busull dhe vizore.
Për shembull, le të tregojmë pikën M në rreze koordinative, që korrespondon me thyesën 14/10. Gjatësia e segmentit me skajet në pikën O dhe pikës më afër tij, e shënuar me një vizë të vogël, është 1/10 e segmentit njësi. Pika me koordinatë 14/10 hiqet nga origjina me 14 segmente të tilla.
Thyesat e barabarta korrespondojnë me të njëjtin numër thyesor, domethënë, thyesat e barabarta janë koordinatat e së njëjtës pikë në rreze koordinative. Për shembull, një pikë korrespondon me koordinatat 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 në rrezen e koordinatave, pasi të gjitha fraksionet e shkruara janë të barabarta (ai ndodhet në një distancë prej gjysmës së segmentit njësi, të përcaktuar nga origjina në drejtim pozitiv).
Në një rreze koordinative horizontale dhe të drejtuar djathtas, pika koordinata e së cilës është një fraksion i madh ndodhet në të djathtë të pikës, koordinata e së cilës është një fraksion më i vogël. Në mënyrë të ngjashme, pika me koordinatën më të vogël shtrihet në të majtë të pikës me koordinatën më të madhe.
Thyesat e duhura dhe të pahijshme, përkufizime, shembuj
Midis fraksioneve të zakonshme, ka thyesat e duhura dhe të pahijshme. Kjo ndarje në thelb ka një krahasim të numëruesit dhe emëruesit.
Le të japim një përkufizim të thyesave të zakonshme të duhura dhe të pahijshme.
Përkufizimi.
Pjesa e duhurështë një thyesë e zakonshme, numëruesi i së cilës është më i vogël se emëruesi, pra nëse m Përkufizimi.
Thyesë e papërshtatshmeështë një thyesë e zakonshme në të cilën numëruesi është më i madh ose i barabartë me emëruesin, domethënë nëse m≥n, atëherë thyesa e zakonshme është e papërshtatshme. Këtu janë disa shembuj të thyesave të duhura: 1/4 , , 32 765/909 003 . Në të vërtetë, në secilën prej thyesave të zakonshme të shkruara, numëruesi është më i vogël se emëruesi (nëse është e nevojshme, shihni krahasimin e artikullit të numrave natyrorë), kështu që ato janë të sakta sipas përkufizimit. Dhe këtu janë shembuj të thyesave të pahijshme: 9/9, 23/4,. Në të vërtetë, numëruesi i të parës nga thyesat e zakonshme të shkruara është i barabartë me emëruesin, dhe në thyesat e mbetura numëruesi është më i madh se emëruesi. Ekzistojnë gjithashtu përkufizime të thyesave të duhura dhe të pahijshme bazuar në krahasimin e thyesave me një. Përkufizimi. e saktë nëse është më pak se një. Përkufizimi. Thyesa e përbashkët quhet gabim, nëse është ose e barabartë me një ose më e madhe se 1 . Pra, thyesa e zakonshme 7/11 është e saktë, që nga 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1, dhe 27/27=1. Le të mendojmë se si thyesat e zakonshme me numërues më të madh ose të barabartë me emëruesin e meritojnë një emër të tillë - "gabim". Le të marrim si shembull thyesën e papërshtatshme 9/9. Kjo pjesë do të thotë se merren nëntë pjesë të një objekti, i cili përbëhet nga nëntë pjesë. Kjo do të thotë, nga nëntë aksionet e disponueshme, ne mund të krijojmë një temë të tërë. Domethënë, thyesa e papërshtatshme 9/9 në thelb jep një objekt të tërë, domethënë 9/9=1. Në përgjithësi, thyesat e pahijshme me numërues të barabartë me emëruesin tregojnë një objekt të plotë, dhe një pjesë e tillë mund të zëvendësohet me një numër natyror 1. Tani merrni parasysh thyesat e papërshtatshme 7/3 dhe 12/4. Është fare e qartë se nga këto shtatë të tretat mund të bëjmë dy objekte të tëra (një objekt i tërë është 3 aksione, pastaj për të kompozuar dy objekte të tëra na duhen 3 + 3 = 6 aksione) dhe do të ketë akoma një të tretën pjesë. Kjo do të thotë, fraksioni i papërshtatshëm 7/3 në thelb nënkupton 2 artikuj dhe madje 1/3 e pjesës së një artikulli të tillë. Dhe nga dymbëdhjetë të katërtat mund të bëjmë tre objekte të tëra (tre objekte me katër pjesë secila). Kjo do të thotë, fraksioni 12/4 në thelb nënkupton 3 objekte të tëra. Shembujt e shqyrtuar na çojnë në përfundimin e mëposhtëm: thyesat e gabuara mund të zëvendësohen ose me numra natyrorë, kur numëruesi pjesëtohet tërësisht me emëruesin (për shembull, 9/9=1 dhe 12/4=3), ose shuma e një numër natyror dhe një thyesë e duhur, kur numëruesi nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me emëruesin (për shembull, 7/3=2+1/3 ). Ndoshta kjo është pikërisht ajo që fraksionet e pahijshme meritojnë një emër të tillë - "e gabuar". Me interes të veçantë është paraqitja e një thyese të parregullt si shumë e një numri natyror dhe një thyese të duhur (7/3=2+1/3). Ky proces quhet nxjerrja e një pjese të plotë nga një fraksion i papërshtatshëm dhe meriton një konsideratë të veçantë dhe më të kujdesshme. Vlen gjithashtu të theksohet se ekziston një lidhje shumë e ngushtë midis thyesave të pasakta dhe numrave të përzier. Çdo thyesë e zakonshme korrespondon me një numër thyesor pozitiv (shih artikullin numrat pozitivë dhe negativë). Kjo është, thyesat e zakonshme janë thyesat pozitive. Për shembull, thyesat e zakonshme 1/5, 56/18, 35/144 janë thyesa pozitive. Kur është e nevojshme të theksohet pozitiviteti i një fraksioni, atëherë para tij vendoset një shenjë plus, për shembull, +3/4, +72/34. Nëse vendosni një shenjë minus përpara një thyese të zakonshme, atëherë kjo hyrje do të korrespondojë me një numër thyesor negativ. Në këtë rast, mund të flitet për thyesat negative. Këtu janë disa shembuj të thyesave negative: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Thyesat pozitive dhe negative m/n dhe −m/n janë numra të kundërt. Për shembull, thyesat 5/7 dhe −5/7 janë thyesa të kundërta. Thyesat pozitive, si numrat pozitivë në përgjithësi, tregojnë një rritje, të ardhura, një ndryshim në një vlerë lart, etj. Fraksionet negative korrespondojnë me shpenzimin, borxhin, një ndryshim në çdo vlerë në drejtim të uljes. Për shembull, një fraksion negativ -3/4 mund të interpretohet si një borxh, vlera e të cilit është 3/4. Në fraksionet negative horizontale dhe djathtas janë të vendosura në të majtë të pikës së referencës. Pikat e vijës koordinative, koordinatat e të cilave janë thyesa pozitive m/n dhe thyesa negative −m/n, ndodhen në të njëjtën distancë nga origjina, por në anët e kundërta të pikës O. Këtu vlen të përmenden thyesat e formës 0/n. Këto thyesa janë të barabarta me numrin zero, pra 0/n=0 . Thyesat pozitive, thyesat negative dhe thyesat 0/n kombinohen për të formuar numra racionalë. Një veprim me fraksione të zakonshme - krahasimi i thyesave - e kemi shqyrtuar tashmë më lart. Janë përcaktuar edhe katër aritmetikë të tjerë veprimet me thyesa- mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave. Le të ndalemi në secilën prej tyre. Thelbi i përgjithshëm i veprimeve me thyesa është i ngjashëm me thelbin e veprimeve përkatëse me numra natyrorë. Le të bëjmë një analogji. Shumëzimi i thyesave mund të konsiderohet si një veprim në të cilin një thyesë gjendet nga një thyesë. Për ta sqaruar, le të marrim një shembull. Supozoni se kemi 1/6 e mollës dhe duhet të marrim 2/3 e saj. Pjesa që na nevojitet është rezultat i shumëzimit të thyesave 1/6 dhe 2/3. Rezultati i shumëzimit të dy thyesave të zakonshme është një thyesë e zakonshme (e cila në një rast të caktuar është e barabartë me një numër natyror). Më tej ju rekomandojmë të studioni informacionin e artikullit shumëzimi i thyesave - rregulla, shembuj dhe zgjidhje. Bibliografi.Thyesat pozitive dhe negative
Veprimet me thyesa
