Mbledhja e thyesave të zakonshme me emërues të ndryshëm shembuj. Si të zbriten thyesat me emërues të ndryshëm

Shënim! Përpara se të shkruani një përgjigje përfundimtare, shikoni nëse mund ta zvogëloni thyesën që keni marrë.

Zbritja e thyesave me emërues të njëjtë shembuj:

,

,

Zbritja e një thyese të duhur nga një.

Nëse është e nevojshme të zbritet nga njësia një thyesë që është e saktë, njësia shndërrohet në formën e një thyese jo të duhur, emëruesi i saj është i barabartë me emëruesin e thyesës së zbritur.

Një shembull i zbritjes së një thyese të duhur nga një:

Emëruesi i thyesës që do të zbritet = 7 , d.m.th., ne paraqesim njësinë në formë thyesë e papërshtatshme 7/7 dhe zbresim sipas rregullit për zbritjen e thyesave me emërues të njëjtë.

Zbritja e një thyese të duhur nga një numër i plotë.

Rregullat për zbritjen e thyesave - saktë nga numri i plotë (numri natyror):

• Thyesat e dhëna, të cilat përmbajnë një pjesë të plotë, i përkthejmë në të pahijshme. Ne marrim kushtet normale (nuk ka rëndësi nëse janë emërues të ndryshëm), të cilin e konsiderojmë sipas rregullave të dhëna më sipër;
• Më pas, ne llogarisim ndryshimin e thyesave që morëm. Si rezultat, ne pothuajse do të gjejmë përgjigjen;
• Ne kryejmë transformimin e anasjelltë, domethënë heqim qafe thyesën e pahijshme - zgjedhim pjesën e plotë në fraksion.

Zbrisni një thyesë të duhur nga një numër i plotë: ne paraqesim një numër natyror si një numër të përzier. ato. marrim një njësi në një numër natyror dhe e përkthejmë në formën e një thyese të papërshtatshme, emëruesi është i njëjtë me atë të thyesës së zbritur.

Shembull i zbritjes së thyesave:

Në shembull, ne e zëvendësuam njësinë me një thyesë të papërshtatshme 7/7 dhe në vend të 3 ne shkruajmë numër i përzier dhe thyesa është hequr nga pjesa thyesore.

Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm.

Ose, për ta thënë ndryshe, zbritja e thyesave të ndryshme.

Rregulla për zbritjen e thyesave me emërues të ndryshëm. Për të zbritur thyesat me emërues të ndryshëm, së pari është e nevojshme që këto thyesa të sillen në emëruesin më të ulët të përbashkët (LCD), dhe vetëm pas kësaj të zbriten si me thyesat me emërues të njëjtë.

Emëruesi i përbashkët i disa thyesave është LCM (shumfishi më pak i zakonshëm) numrat natyrorë, të cilët janë emëruesit e këtyre thyesave.

Kujdes! Nëse në thyesa përfundimtare numëruesi dhe emëruesi kanë faktorë të përbashkët, atëherë thyesa duhet të zvogëlohet. Një fraksion i papërshtatshëm përfaqësohet më së miri si një fraksion i përzier. Lënia e rezultatit të zbritjes pa e zvogëluar thyesën aty ku është e mundur është një zgjidhje e papërfunduar e shembullit!

Procedura për zbritjen e thyesave me emërues të ndryshëm.

• gjeni LCM për të gjithë emëruesit;
• vendosni shumëzues shtesë për të gjitha thyesat;
• shumëzoni të gjithë numëruesit me një faktor shtesë;
• ne i shkruajmë produktet që rezultojnë në numërues, duke nënshkruar një emërues të përbashkët nën të gjitha thyesat;
• zbres numëruesit e thyesave, duke nënshkruar emëruesin e përbashkët nën diferencën.

Në të njëjtën mënyrë, mbledhja dhe zbritja e thyesave kryhet në prani të shkronjave në numërues.

Zbritja e thyesave, shembuj:

Zbritja e thyesave të përziera.

Në zbritja e thyesave të përziera (numrat) veçmas, pjesa e plotë zbritet nga pjesa e plotë, dhe pjesa thyesore zbritet nga pjesa thyesore.

Opsioni i parë është të zbriten thyesat e përziera.

Nëse pjesët thyesore e njëjta emërues dhe numërues i pjesës thyesore të minuendit (i zbresim) ≥ numëruesin e pjesës thyesore të nëntrahendës (e zbresim atë).

Për shembull:

Opsioni i dytë është të zbriten thyesat e përziera.

Kur pjesët thyesore të ndryshme emërues. Për të filluar, ne i zvogëlojmë pjesët thyesore në një emërues të përbashkët, dhe pastaj zbresim pjesën e plotë nga numri i plotë, dhe thyesën nga thyesa.

Për shembull:

Opsioni i tretë është të zbriten thyesat e përziera.

Pjesa thyesore e minuendit është më e vogël se pjesa thyesore e nëntrahendës.

Shembull:

Sepse pjesët thyesore kanë emërues të ndryshëm, që do të thotë, si në opsionin e dytë, fillimisht i sjellim thyesat e zakonshme në një emërues të përbashkët.

Numëruesi i pjesës thyesore të minuendit është më i vogël se numëruesi i pjesës thyesore të nëntrahendës.3 < 14. Pra, marrim një njësi nga pjesa e plotë dhe e sjellim këtë njësi në formën e një thyese të gabuar me të njëjtin emërues dhe numërues. = 18.

Në numëruesin nga ana e djathtë shkruajmë shumën e numëruesve, pastaj hapim kllapat në numërues nga ana e djathtë, domethënë shumëzojmë gjithçka dhe japim të ngjashëm. Ne nuk hapim kllapa në emërues. Është zakon që produkti të lihet në emërues. Ne marrim:

Thyesat janë numra të zakonshëm, ato gjithashtu mund të shtohen dhe zbriten. Por për faktin se ato kanë një emërues, këtu kërkohen rregulla më komplekse sesa për numrat e plotë.

Shqyrtoni rastin më të thjeshtë, kur ka dy thyesa me emërues të njëjtë. Pastaj:

Për të mbledhur thyesa me emërues të njëjtë, shtoni numëruesit e tyre dhe lini emëruesin të pandryshuar.

Për të zbritur thyesat me emërues të njëjtë, është e nevojshme të zbritet numëruesi i të dytit nga numëruesi i thyesës së parë dhe përsëri të lihet emëruesi i pandryshuar.

Brenda çdo shprehjeje, emëruesit e thyesave janë të barabartë. Nga përkufizimi i mbledhjes dhe zbritjes së thyesave, marrim:

Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar: thjesht shtoni ose zbrisni numëruesit - dhe kjo është ajo.

Por edhe në të tilla veprime të thjeshta njerëzit arrijnë të bëjnë gabime. Më shpesh ata harrojnë se emëruesi nuk ndryshon. Për shembull, kur i shtojnë ato, ata gjithashtu fillojnë të shtojnë, dhe kjo është thelbësisht e gabuar.

Hiqni qafe zakon i keq Shtimi i emëruesve është mjaft i lehtë. Mundohuni të bëni të njëjtën gjë kur zbrisni. Si rezultat, emëruesi do të jetë zero, dhe thyesa (papritmas!) do të humbasë kuptimin e saj.

Prandaj, mbani mend një herë e përgjithmonë: kur mblidhni dhe zbritni, emëruesi nuk ndryshon!

Gjithashtu, shumë njerëz bëjnë gabime kur shtojnë disa thyesa negative. Ka konfuzion me shenjat: ku të vendosni një minus, dhe ku - një plus.

Ky problem është gjithashtu shumë i lehtë për t'u zgjidhur. Mjafton të mbani mend se minusi para shenjës së thyesës gjithmonë mund të transferohet në numërues - dhe anasjelltas. Dhe sigurisht, mos harroni dy rregulla të thjeshta:

1. Plus herë minus jep minus;
2. Dy negative bëjnë një pohuese.

Le t'i analizojmë të gjitha këto me shembuj specifik:

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Në rastin e parë, gjithçka është e thjeshtë, dhe në të dytën, ne do t'i shtojmë minuset numëruesve të thyesave:

Po sikur emëruesit të jenë të ndryshëm

Ju nuk mund të shtoni drejtpërdrejt thyesa me emërues të ndryshëm. Të paktën, kjo metodë është e panjohur për mua. Sidoqoftë, thyesat origjinale mund të rishkruhen gjithmonë në mënyrë që emëruesit të bëhen të njëjtë.

Ka shumë mënyra për të kthyer thyesat. Tre prej tyre diskutohen në mësimin "Sjellja e thyesave në një emërues të përbashkët", kështu që ne nuk do të ndalemi në to këtu. Le të hedhim një vështrim në disa shembuj:

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Në rastin e parë, ne i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët duke përdorur metodën "cross-wise". Në të dytën, ne do të kërkojmë LCM. Vini re se 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Faktorët e fundit në këto zgjerime janë të barabartë, dhe të parët janë të dyfishtë. Prandaj, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Po sikur thyesa të ketë një pjesë të plotë

Mund t'ju pëlqej: emëruesit e ndryshëm të thyesave nuk janë e keqja më e madhe. Shumë më tepër gabime ndodhin kur e gjithë pjesa theksohet në terma thyesorë.

Sigurisht, për fraksione të tilla ekzistojnë algoritmet e veta të mbledhjes dhe zbritjes, por ato janë mjaft të ndërlikuara dhe kërkojnë një studim të gjatë. Përdorimi më i mirë një qark i thjeshtë më poshtë:

1. Shndërroni të gjitha thyesat që përmbajnë një pjesë të plotë në të pasakta. Marrim terma normalë (edhe nëse me emërues të ndryshëm), të cilët llogariten sipas rregullave të diskutuara më sipër;
2. Në fakt, llogaritni shumën ose diferencën e thyesave që rezultojnë. Si rezultat, ne praktikisht do të gjejmë përgjigjen;
3. Nëse kjo është gjithçka që kërkohet në detyrë, ne kryejmë transformimin e anasjelltë, d.m.th. ne heqim qafe thyesën e pahijshme, duke theksuar pjesën e plotë në të.

Rregullat për kalimin në thyesa të pahijshme dhe nxjerrjen në pah të pjesës së plotë përshkruhen në detaje në mësimin "Çfarë është një thyesë numerike". Nëse nuk ju kujtohet, sigurohuni që të përsërisni. Shembuj:

Një detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Emëruesit brenda secilës shprehje janë të barabartë, kështu që mbetet të konvertohen të gjitha thyesat në të pahijshme dhe të numërohen. Ne kemi:

Për të thjeshtuar llogaritjet, unë kapërceva disa hapa të dukshëm në shembujt e fundit.

Një shënim i vogël për dy shembujt e fundit, ku zbriten thyesat me një pjesë të plotë të theksuar. Minus para thyesës së dytë do të thotë se është e gjithë thyesa që zbritet, dhe jo vetëm pjesa e saj e plotë.

Rilexoni përsëri këtë fjali, shikoni shembujt dhe mendoni për të. Këtu fillestarët bëjnë shumë gabime. Ata duan t'u japin detyra të tilla puna e kontrollit. Ata do t'i takoni vazhdimisht edhe në testet e këtij mësimi, të cilat do të publikohen së shpejti.

Përmbledhje: Skema e Përgjithshme e Informatikës

Si përfundim, unë do të jap një algoritëm të përgjithshëm që do t'ju ndihmojë të gjeni shumën ose ndryshimin e dy ose më shumë thyesave:

1. Nëse një pjesë e plotë theksohet në një ose më shumë thyesa, kthejini këto thyesa në ato të papërshtatshme;
2. Sillni të gjitha thyesat në një emërues të përbashkët në çfarëdo mënyre të përshtatshme për ju (përveç nëse, sigurisht, përpiluesit e problemeve e bënë këtë);
3. Shtoni ose zbritni numrat që rezultojnë sipas rregullave për mbledhjen dhe zbritjen e thyesave me emërues të njëjtë;
4. Zvogëloni rezultatin nëse është e mundur. Nëse thyesa doli të jetë e pasaktë, zgjidhni të gjithë pjesën.

Mos harroni se është më mirë të theksoni të gjithë pjesën në fund të detyrës, pak para se të shkruani përgjigjen.

Le të themi se Akili vrapon dhjetë herë më shpejt se breshka dhe është një mijë hapa pas saj. Në kohën që i duhet Akilit për të vrapuar këtë distancë, breshka do të zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Kur Akili të ketë vrapuar njëqind hapa, breshka do të zvarritet edhe dhjetë hapa të tjerë, e kështu me radhë. Procesi do të vazhdojë pafundësisht, Akili nuk do ta arrijë kurrë breshkën.

Ky arsyetim u bë një tronditje logjike për të gjithë brezat pasardhës. Aristoteli, Diogjeni, Kanti, Hegeli, Gilberti... Të gjithë, në një mënyrë apo në një tjetër, i konsideronin aporiat e Zenonit. Goditja ishte aq e fortë sa " ... diskutimet vazhdojnë në kohën e tanishme, komuniteti shkencor ende nuk ka arritur të arrijë në një mendim të përbashkët për thelbin e paradokseve ... analiza matematikore, teoria e grupeve, të reja fizike dhe qasjet filozofike; asnjëri prej tyre nuk u bë një zgjidhje e pranuar botërisht për problemin ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "] Të gjithë e kuptojnë se po mashtrohen, por askush nuk e kupton se çfarë është mashtrimi.

Nga pikëpamja e matematikës, Zeno në aporinë e tij demonstroi qartë kalimin nga vlera në. Ky tranzicion nënkupton aplikimin në vend të konstanteve. Me sa kuptoj unë, aparati matematikor për aplikimin e njësive matëse të ndryshueshme ose nuk është zhvilluar ende, ose nuk është aplikuar në aporinë e Zenoit. Zbatimi i logjikës sonë të zakonshme na çon në një kurth. Ne, me inercinë e të menduarit, aplikojmë njësi konstante kohore për reciprocitetin. Nga pikëpamja fizike, duket sikur koha po ngadalësohet në një ndalesë të plotë në momentin kur Akili kap breshkën. Nëse koha ndalon, Akili nuk mund ta kapërcejë më breshkën.

Nëse kthejmë logjikën me të cilën jemi mësuar, gjithçka bie në vend. Akili vrapon me një shpejtësi konstante. Çdo segment pasues i rrugës së tij është dhjetë herë më i shkurtër se ai i mëparshmi. Prandaj, koha e shpenzuar për tejkalimin e saj është dhjetë herë më pak se ajo e mëparshme. Nëse zbatojmë konceptin e "pafundësisë" në këtë situatë, atëherë do të ishte e saktë të thoshim "Akili do ta kapërcejë pafundësisht shpejt breshkën".

Si ta shmangni këtë kurth logjik? Qëndroni në njësi konstante kohore dhe mos kaloni në vlera reciproke. Në gjuhën e Zenonit, duket kështu:

Në kohën që i duhet Akilit për të bërë një mijë hapa, breshka zvarritet njëqind hapa në të njëjtin drejtim. Gjatë intervalit tjetër kohor, të barabartë me të parin, Akili do të vrapojë një mijë hapa të tjerë, dhe breshka do të zvarritet njëqind hapa. Tani Akili është tetëqind hapa përpara breshkës.

Kjo qasje përshkruan në mënyrë adekuate realitetin pa asnjë paradoks logjik. Por kjo nuk është një zgjidhje e plotë e problemit. Deklarata e Ajnshtajnit për pakapërcyeshmërinë e shpejtësisë së dritës është shumë e ngjashme me aporinë e Zenonit "Akili dhe breshka". Ne ende duhet ta studiojmë, rimendojmë dhe zgjidhim këtë problem. Dhe zgjidhja duhet kërkuar jo në numër pafundësisht të madh, por në njësi matëse.

Një tjetër aporia interesante e Zenos tregon për një shigjetë fluturuese:

Një shigjetë fluturuese është e palëvizshme, pasi në çdo moment të kohës është në pushim, dhe duke qenë se është në pushim në çdo moment të kohës, ajo është gjithmonë në pushim.

Në këtë apori, paradoksi logjik kapërcehet shumë thjesht - mjafton të sqarohet se në çdo moment të kohës shigjeta fluturuese është në pushim në pika të ndryshme të hapësirës, ​​që në fakt është lëvizje. Këtu duhet theksuar edhe një pikë tjetër. Nga një fotografi e një makine në rrugë, është e pamundur të përcaktohet as fakti i lëvizjes së saj, as distanca deri në të. Për të përcaktuar faktin e lëvizjes së makinës nevojiten dy fotografi të marra nga e njëjta pikë në momente të ndryshme kohore, por ato nuk mund të përdoren për të përcaktuar distancën. Për të përcaktuar distancën nga makina, ju nevojiten dy fotografi të marra nga pika të ndryshme hapësirë ​​në një moment në kohë, por është e pamundur të përcaktohet fakti i lëvizjes prej tyre (natyrisht, të dhëna shtesë për llogaritjet janë ende të nevojshme, trigonometria do t'ju ndihmojë). Në çfarë dua të fokusohem Vëmendje e veçantë, është se dy pika në kohë dhe dy pika në hapësirë ​​janë gjëra të ndryshme që nuk duhen ngatërruar, sepse ofrojnë mundësi të ndryshme për eksplorim.

E mërkurë, 4 korrik 2018

Shumë mirë ndryshimet midis grupit dhe multisetit janë përshkruar në Wikipedia. Ne shikojmë.

Siç mund ta shihni, "bashkësia nuk mund të ketë dy elementë identikë", por nëse ka elementë identikë në grup, një grup i tillë quhet "multiset". Qeniet e arsyeshme nuk do ta kuptojnë kurrë një logjikë të tillë absurditeti. Ky është niveli i papagajve që flasin dhe majmunëve të stërvitur, në të cilin mendja mungon nga fjala "plotësisht". Matematikanët veprojnë si trajnerë të zakonshëm, duke na predikuar idetë e tyre absurde.

Njëherë e një kohë, inxhinierët që ndërtuan urën ishin në një varkë nën urë gjatë provave të urës. Nëse ura u shemb, inxhinieri mediokër vdiq nën rrënojat e krijimit të tij. Nëse ura mund të përballonte ngarkesën, inxhinieri i talentuar ndërtoi ura të tjera.

Pavarësisht se sa matematikanët fshihen pas shprehjes "mendoni mua, unë jam në shtëpi", ose më mirë "matematika studion koncepte abstrakte", ekziston një kordon kërthizor që i lidh pazgjidhshmërisht me realitetin. Ky kordon i kërthizës është para. E aplikueshme teoria matematikore vendos për vetë matematikanët.

Ne kemi studiuar shumë mirë matematikën dhe tani jemi ulur në arkë, duke paguar rrogat. Këtu na vjen një matematikan për paratë e tij. I numërojmë të gjithë shumën dhe e shtrojmë në tryezën tonë në pirgje të ndryshme, në të cilat vendosim fatura të së njëjtës prerje. Më pas marrim një faturë nga çdo grumbull dhe i japim matematikanit "pagën e tij matematikore". Matematikën e shpjegojmë se pjesën tjetër të faturave do t'i marrë vetëm kur të vërtetojë se grupi pa elementë identikë nuk është i barabartë me grupin me të njëjtat elementë. Këtu fillon argëtimi.

Para së gjithash, logjika e deputetëve do të funksionojë: “mund ta zbatoni për të tjerët, por jo për mua!”. Më tej, do të fillojnë garancitë se në kartëmonedhat e prerjes së njëjtë ka numra të ndryshëm kartëmonedhash, që do të thotë se ato nuk mund të konsiderohen elementë identikë. Epo, ne e llogarisim pagën në monedha - nuk ka numra në monedha. Këtu matematikani do të fillojë të kujtojë në mënyrë konvulsive fizikën: në monedha të ndryshme ka sasi të ndryshme papastërtia, struktura kristalore dhe rregullimi atomik i secilës monedhë është unike...

Dhe tani kam më shumë interesi Pyet: ku është kufiri përtej të cilit elementet e një bashkësie shumëfish kthehen në elemente të një bashkësie dhe anasjelltas? Një linjë e tillë nuk ekziston - gjithçka vendoset nga shamanët, shkenca këtu nuk është as afër.

Shikoni këtu. Ne zgjedhim stadiume futbolli me të njëjtën zonë. Sipërfaqja e fushave është e njëjtë, që do të thotë se kemi një multiset. Por nëse marrim parasysh emrat e të njëjtave stadiume, marrim shumë, sepse emrat janë të ndryshëm. Siç mund ta shihni, i njëjti grup elementësh është njëkohësisht një grup dhe një grup shumëfish. Sa e drejtë? Dhe këtu, matematikani-shaman-shuller nxjerr një ace atu nga mëngët e tij dhe fillon të na tregojë ose për një grup ose një multiset. Në çdo rast, ai do të na bindë se ka të drejtë.

Për të kuptuar se si shamanët modernë veprojnë me teorinë e grupeve, duke e lidhur atë me realitetin, mjafton t'i përgjigjemi një pyetjeje: si ndryshojnë elementët e një grupi nga elementët e një grupi tjetër? Unë do t'ju tregoj, pa asnjë "të konceptueshme si jo një tërësi e vetme" ose "jo e konceptueshme si një tërësi e vetme".

e diel, 18 mars 2018

Shuma e shifrave të një numri është një valle e shamanëve me një dajre, e cila nuk ka asnjë lidhje me matematikën. Po, në mësimet e matematikës ne jemi mësuar të gjejmë shumën e shifrave të një numri dhe ta përdorim atë, por ata janë shamanë për këtë, për t'u mësuar pasardhësve aftësitë dhe mençurinë e tyre, përndryshe shamanët thjesht do të vdesin.

Keni nevojë për prova? Hapni Wikipedia dhe provoni të gjeni faqen "Shuma e shifrave të një numri". Ajo nuk ekziston. Nuk ka asnjë formulë në matematikë me të cilën mund të gjesh shumën e shifrave të çdo numri. Në fund të fundit, numrat janë simbole grafike me të cilat shkruajmë numrat, dhe në gjuhën e matematikës, detyra tingëllon kështu: "Gjeni shumën e simboleve grafike që përfaqësojnë çdo numër". Matematikanët nuk mund ta zgjidhin këtë problem, por shamanët mund ta bëjnë atë në mënyrë elementare.

Le të kuptojmë se çfarë dhe si bëjmë për të gjetur shumën e shifrave të një numri të caktuar. Dhe kështu, le të themi se kemi numrin 12345. Çfarë duhet bërë për të gjetur shumën e shifrave të këtij numri? Le të shqyrtojmë të gjitha hapat në rend.

1. Shkruani numrin në një copë letër. Çfarë kemi bërë? Ne e kemi konvertuar numrin në një simbol grafik numerik. Ky nuk është një operacion matematikor.

2. Ne e premë një fotografi të marrë në disa figura që përmbajnë numra të veçantë. Prerja e një fotografie nuk është një operacion matematikor.

3. Shndërroni karakteret individuale grafike në numra. Ky nuk është një operacion matematikor.

4. Mblidhni numrat që rezultojnë. Tani kjo është matematika.

Shuma e shifrave të numrit 12345 është 15. Këto janë "kurset e prerjes dhe qepjes" nga shamanët që përdoren nga matematikanët. Por kjo nuk është e gjitha.

Nga pikëpamja e matematikës, nuk ka rëndësi se në cilin sistem numrash e shkruajmë numrin. Pra, në sisteme të ndryshme duke llogaritur, shuma e shifrave të të njëjtit numër do të jetë e ndryshme. Në matematikë, sistemi i numrave tregohet si nënshkrim në të djathtë të numrit. NGA një numër i madh 12345 Nuk dua të mashtroj kokën, merrni parasysh numrin 26 nga artikulli rreth. Le ta shkruajmë këtë numër në sistemet e numrave binar, oktal, dhjetor dhe heksadecimal. Ne nuk do të shqyrtojmë çdo hap nën një mikroskop, ne e kemi bërë tashmë këtë. Le të shohim rezultatin.

Siç mund ta shihni, në sisteme të ndryshme numrash, shuma e shifrave të të njëjtit numër është e ndryshme. Ky rezultat nuk ka të bëjë fare me matematikën. Është njësoj sikur të merrni rezultate krejtësisht të ndryshme kur përcaktoni sipërfaqen e një drejtkëndëshi në metra dhe centimetra.

Zero në të gjitha sistemet e numrave duket e njëjtë dhe nuk ka shumë shifrash. Ky është një argument tjetër në favor të faktit se . Një pyetje për matematikanët: si shënohet në matematikë ai që nuk është numër? Çfarë, për matematikanët, nuk ekziston asgjë përveç numrave? Për shamanët, unë mund ta lejoj këtë, por për shkencëtarët, jo. Realiteti nuk ka të bëjë vetëm me numrat.

Rezultati i marrë duhet të konsiderohet si provë se sistemet e numrave janë njësi matëse të numrave. Në fund të fundit, ne nuk mund të krahasojmë numrat me njësi të ndryshme matëse. Nëse të njëjtat veprime me njësi të ndryshme matëse të së njëjtës sasi çojnë në rezultate të ndryshme pasi i krahason, atehere nuk ka lidhje me matematiken.

Çfarë është matematika e vërtetë? Kjo është kur rezultati veprim matematik nuk varet nga vlera e numrit, njësia matëse e përdorur dhe nga kush e kryen këtë veprim.

Oh! A nuk është ky banja e grave?
- Grua e re! Ky është një laborator për studimin e shenjtërisë së pacaktuar të shpirtrave pas ngjitjes në qiell! Nimbus sipër dhe shigjeta lart. Çfarë tualeti tjetër?

Femër... Një aureolë sipër dhe një shigjetë poshtë është mashkull.

Nëse keni një vepër të tillë të artit të dizajnit që ju pulson para syve disa herë në ditë,

Atëherë nuk është për t'u habitur që papritmas gjeni një ikonë të çuditshme në makinën tuaj:

Personalisht, unë bëj një përpjekje për veten time për të parë minus katër gradë në një person të kulluar (një fotografi) (përbërja e disa fotografive: shenja minus, numri katër, përcaktimi i shkallëve). Dhe këtë vajzë nuk e konsideroj budallaqe që nuk di fizikë. Ajo thjesht ka një stereotip hark të perceptimit të imazheve grafike. Dhe matematikanët na mësojnë këtë gjatë gjithë kohës. Këtu është një shembull.

1A nuk është "minus katër gradë" ose "një a". Ky është "njeriu i kulluar" ose numri "njëzet e gjashtë" në sistemin e numrave heksadecimal. Ata njerëz që vazhdimisht punojnë në këtë sistem numrash e perceptojnë automatikisht numrin dhe shkronjën si një simbol grafik.

Mbledhja e thyesave me emërues të njëjtë

Shtimi i thyesave është dy llojesh:

1. Mbledhja e thyesave me emërues të njëjtë
2. Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm

Le të fillojmë me mbledhjen e thyesave me emërues të njëjtë. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar. Për shembull, le të shtojmë thyesat dhe . Shtojmë numëruesit dhe e lëmë emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në katër pjesë. Nëse shtoni pica në picë, ju merrni pica:

Shembulli 2 Shtoni thyesat dhe .

Përgjigja doli jo thyesa e duhur. Nëse vjen fundi i detyrës, atëherë është zakon të heqësh qafe fraksionet e pahijshme. Për të hequr qafe një fraksion të pahijshëm, duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të. Në rastin tonë, pjesa e plotë ndahet lehtësisht - dy e ndarë me dy është e barabartë me një:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në dy pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, ju merrni një picë të plotë:

Shembulli 3. Shtoni thyesat dhe .

Përsëri, shtoni numëruesit dhe lini emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë që është e ndarë në tre pjesë. Nëse shtoni më shumë pica në picë, ju merrni pica:

Shembulli 4 Gjeni vlerën e një shprehjeje

Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Numëruesit duhet të shtohen dhe emëruesi të lihet i pandryshuar:

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse shtoni pica në një picë dhe shtoni më shumë pica, do të merrni 1 pica të plotë dhe më shumë pica.

Siç mund ta shihni, shtimi i thyesave me emërues të njëjtë nuk është i vështirë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:

1. Për të shtuar thyesa me emërues të njëjtë, duhet të shtoni numëruesit e tyre dhe të lini emëruesin të pandryshuar;

Mbledhja e thyesave me emërues të ndryshëm

Tani do të mësojmë se si të mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Kur mblidhen thyesat, emëruesit e atyre thyesave duhet të jenë të njëjtë. Por ato nuk janë gjithmonë të njëjta.

Për shembull, thyesat mund të shtohen sepse kanë të njëjtët emërues.

Por thyesat nuk mund të shtohen menjëherë, sepse këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Ka disa mënyra për të reduktuar thyesat në të njëjtin emërues. Sot do të shqyrtojmë vetëm njërën prej tyre, pasi pjesa tjetër e metodave mund të duken të ndërlikuara për një fillestar.

Thelbi i kësaj metode qëndron në faktin se së pari kërkohet (LCM) e emëruesve të të dy thyesave. Pastaj LCM pjesëtohet me emëruesin e thyesës së parë dhe fitohet faktori i parë shtesë. Ata bëjnë të njëjtën gjë me thyesën e dytë - LCM ndahet me emëruesin e thyesës së dytë dhe fitohet faktori i dytë shtesë.

Pastaj numëruesit dhe emëruesit e thyesave shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm kthehen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla.

Shembulli 1. Shtoni thyesat dhe

Para së gjithash, gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 6.

LCM (2 dhe 3) = 6

Tani kthehemi te thyesat dhe . Së pari, ne e ndajmë LCM me emëruesin e fraksionit të parë dhe marrim faktorin e parë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 6 me 3, marrim 2.

Numri 2 që rezulton është faktori i parë shtesë. E shkruajmë në thyesën e parë. Për ta bërë këtë, ne bëjmë një vijë të vogël të zhdrejtë mbi fraksion dhe shkruajmë faktorin shtesë të gjetur mbi të:

Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. Ne e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë dhe marrim faktorin e dytë shtesë. LCM është numri 6, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 2. Pjestoni 6 me 2, marrim 3.

Numri 3 që rezulton është faktori i dytë shtesë. E shkruajmë në thyesën e dytë. Përsëri, ne bëjmë një vijë të vogël të zhdrejtë mbi fraksionin e dytë dhe shkruajmë faktorin shtesë të gjetur mbi të:

Tani jemi gati të shtojmë. Mbetet të shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë:

Shikoni nga afër se në çfarë kemi ardhur. Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të shtojmë fraksione të tilla. Le ta plotësojmë këtë shembull deri në fund:

Kështu përfundon shembulli. Për të shtuar rezulton.

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse shtoni pica në një picë, ju merrni një picë të plotë dhe një të gjashtën tjetër të picës:

Reduktimi i thyesave në të njëjtin emërues (të përbashkët) mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke i sjellë thyesat dhe në një emërues të përbashkët, marrim thyesat dhe . Këto dy fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat feta picash. I vetmi ndryshim do të jetë se këtë herë ato do të ndahen në pjesë të barabarta (reduktohen në të njëjtin emërues).

Vizatimi i parë tregon një fraksion (katër pjesë nga gjashtë) dhe fotografia e dytë tregon një fraksion (tre pjesë nga gjashtë). Duke i bashkuar këto pjesë marrim (shtatë nga gjashtë). Kjo thyesë është e pasaktë, kështu që ne kemi theksuar pjesën e plotë në të. Rezultati ishte (një pica e plotë dhe një tjetër pica e gjashtë).

Vini re se ne kemi pikturuar shembulli i dhënë tepër i detajuar. AT institucionet arsimore nuk është zakon të shkruhet në mënyrë kaq të detajuar. Ju duhet të jeni në gjendje të gjeni shpejt LCM-në e të dy emëruesve dhe faktorëve shtesë ndaj tyre, si dhe të shumëzoni shpejt faktorët shtesë të gjetur nga numëruesit dhe emëruesit tuaj. Ndërsa jemi në shkollë, do të na duhej ta shkruajmë këtë shembull si më poshtë:

Por ka edhe anën tjetër të medaljes. Nëse nuk bëhen shënime të detajuara në fazat e para të studimit të matematikës, atëherë pyetje të këtij lloji "Nga vjen ai numër?", "Pse thyesat kthehen papritur në thyesa krejtësisht të ndryshme? «.

Për ta bërë më të lehtë shtimin e thyesave me emërues të ndryshëm, mund të përdorni udhëzimet e mëposhtme hap pas hapi:

1. Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave;
2. Ndani LCM me emëruesin e secilës thyesë dhe merrni një shumëzues shtesë për secilën thyesë;
3. Të shumëzojë numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët e tyre shtesë;
4. Shtoni thyesat që kanë emërues të njëjtë;
5. Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën e saj;

Shembulli 2 Gjeni vlerën e një shprehjeje .

Le të përdorim udhëzimet e mësipërme.

Hapi 1. Gjeni LCM-në e emëruesve të thyesave

Gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesit e thyesave janë numrat 2, 3 dhe 4

Hapi 2. Ndani LCM me emëruesin e çdo thyese dhe merrni një shumëzues shtesë për secilën thyesë

Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 2. Pjestoni 12 me 2, marrim 6. Morëm faktorin e parë shtesë 6. E shkruajmë mbi thyesën e parë:

Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Morëm faktorin e dytë shtesë 4. E shkruajmë mbi thyesën e dytë:

Tani e ndajmë LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Morëm faktorin e tretë shtesë 3. E shkruajmë mbi thyesën e tretë:

Hapi 3. Shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e thyesave me faktorët tuaj shtesë

Ne i shumëzojmë numëruesit dhe emëruesit me faktorët tanë shtesë:

Hapi 4. Shtoni thyesat që kanë emërues të njëjtë

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kanë emërues (të përbashkët) të njëjtë. Mbetet për të shtuar këto fraksione. Shtoni:

Shtesa nuk përshtatej në një rresht, kështu që ne e zhvendosëm shprehjen e mbetur në rreshtin tjetër. Kjo lejohet në matematikë. Kur një shprehje nuk përshtatet në një rresht, ajo bartet në rreshtin tjetër dhe është e nevojshme të vendoset një shenjë e barabartë (=) në fund të rreshtit të parë dhe në fillim. linjë e re. Shenja e barazimit në rreshtin e dytë tregon se kjo është një vazhdim i shprehjes që ishte në rreshtin e parë.

Hapi 5. Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë zgjidhni të gjithë pjesën në të

Përgjigja jonë është një fraksion i gabuar. Duhet të veçojmë të gjithë pjesën e tij. Theksojmë:

Mori një përgjigje

Zbritja e thyesave me emërues të njëjtë

Ekzistojnë dy lloje të zbritjes së thyesave:

1. Zbritja e thyesave me emërues të njëjtë
2. Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm

Së pari, le të mësojmë se si të zbresim thyesat me emërues të njëjtë. Gjithçka është e thjeshtë këtu. Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbritni numëruesin e thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Për shembull, le të gjejmë vlerën e shprehjes . Për të zgjidhur këtë shembull, është e nevojshme të zbritet numëruesi i thyesës së dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lihet emëruesi i pandryshuar. Le ta bejme kete:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë të ndarë në katër pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:

Shembulli 2 Gjeni vlerën e shprehjes.

Përsëri, nga numëruesi i thyesës së parë, zbritni numëruesin e thyesës së dytë dhe lini emëruesin të pandryshuar:

Ky shembull mund të kuptohet lehtësisht nëse mendojmë për një picë që është e ndarë në tre pjesë. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica:

Shembulli 3 Gjeni vlerën e një shprehjeje

Ky shembull zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si ato të mëparshme. Nga numëruesi i thyesës së parë, duhet të zbritni numëruesit e thyesave të mbetura:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në zbritjen e thyesave me emërues të njëjtë. Mjafton të kuptoni rregullat e mëposhtme:

1. Për të zbritur një tjetër nga një thyesë, duhet të zbritni numëruesin e fraksionit të dytë nga numëruesi i thyesës së parë dhe të lini emëruesin të pandryshuar;
2. Nëse përgjigja doli të ishte një fraksion i gabuar, atëherë duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të.

Zbritja e thyesave me emërues të ndryshëm

Për shembull, një thyesë mund të zbritet nga një thyesë, pasi këto thyesa kanë të njëjtët emërues. Por një thyesë nuk mund të zbritet nga një thyesë, pasi këto thyesa kanë emërues të ndryshëm. Në raste të tilla, thyesat duhet të reduktohen në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Emëruesi i përbashkët gjendet sipas të njëjtit parim që kemi përdorur kur mbledhim thyesa me emërues të ndryshëm. Para së gjithash, gjeni LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Pastaj LCM pjesëtohet me emëruesin e thyesës së parë dhe fitohet faktori i parë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e parë. Në mënyrë të ngjashme, LCM ndahet me emëruesin e thyesës së dytë dhe fitohet një faktor i dytë shtesë, i cili shkruhet mbi thyesën e dytë.

Më pas thyesat shumëzohen me faktorët e tyre shtesë. Si rezultat i këtyre veprimeve, thyesat që kishin emërues të ndryshëm kthehen në thyesa që kanë emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla.

Shembulli 1 Gjeni vlerën e një shprehjeje:

Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që ju duhet t'i sillni ato në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Së pari, gjejmë LCM-në e emëruesve të të dy thyesave. Emëruesi i thyesës së parë është numri 3, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 12

LCM (3 dhe 4) = 12

Tani kthehemi te thyesat dhe

Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë LCM me emëruesin e fraksionit të parë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 3. Pjestoni 12 me 3, marrim 4. Shkruajmë katër mbi thyesën e parë:

Të njëjtën gjë bëjmë edhe me thyesën e dytë. LCM-në e ndajmë me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 12, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 4. Pjestoni 12 me 4, marrim 3. Shkruani një trefish mbi thyesën e dytë:

Tani jemi të gjithë të vendosur për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kishin emërues të njëjtë. Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla. Le ta plotësojmë këtë shembull deri në fund:

Mori një përgjigje

Le të përpiqemi të përshkruajmë zgjidhjen tonë duke përdorur një foto. Nëse prisni picat nga një pica, ju merrni pica.

Ky është versioni i detajuar i zgjidhjes. Duke qenë në shkollë, do të duhej ta zgjidhim këtë shembull në një mënyrë më të shkurtër. Një zgjidhje e tillë do të duket si kjo:

Reduktimi i thyesave dhe në një emërues të përbashkët mund të përshkruhet gjithashtu duke përdorur një figurë. Duke i sjellë këto thyesa në një emërues të përbashkët, marrim thyesat dhe . Këto fraksione do të përfaqësohen nga të njëjtat feta pice, por këtë herë ato do të ndahen në të njëjtat thyesa (të reduktuara në të njëjtin emërues):

Vizatimi i parë tregon një fraksion (tetë pjesë nga dymbëdhjetë), dhe fotografia e dytë tregon një fraksion (tre pjesë nga dymbëdhjetë). Duke prerë tre pjesë nga tetë pjesë, marrim pesë pjesë nga dymbëdhjetë. Fraksioni përshkruan këto pesë pjesë.

Shembulli 2 Gjeni vlerën e një shprehjeje

Këto thyesa kanë emërues të ndryshëm, kështu që së pari duhet t'i sillni në të njëjtin emërues (të përbashkët).

Gjeni LCM-në e emëruesve të këtyre thyesave.

Emëruesit e thyesave janë numrat 10, 3 dhe 5. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Tani gjejmë faktorë shtesë për secilën fraksion. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë LCM me emëruesin e secilës fraksion.

Le të gjejmë një faktor shtesë për thyesën e parë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së parë është numri 10. Pjestoni 30 me 10, marrim faktorin e parë shtesë 3. E shkruajmë mbi thyesën e parë:

Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e dytë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së dytë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së dytë është numri 3. Pjestoni 30 me 3, marrim faktorin e dytë shtesë 10. E shkruajmë mbi thyesën e dytë:

Tani gjejmë një faktor shtesë për thyesën e tretë. Pjestojeni LCM me emëruesin e thyesës së tretë. LCM është numri 30, dhe emëruesi i thyesës së tretë është numri 5. Pjestoni 30 me 5, marrim faktorin e tretë shtesë 6. E shkruajmë mbi thyesën e tretë:

Tani gjithçka është gati për zbritje. Mbetet të shumëzojmë fraksionet me faktorët e tyre shtesë:

Arritëm në përfundimin se thyesat që kishin emërues të ndryshëm shndërroheshin në thyesa që kanë emërues të njëjtë (të përbashkët). Dhe ne tashmë dimë se si të zbresim fraksione të tilla. Le ta përfundojmë këtë shembull.

Vazhdimi i shembullit nuk do të përshtatet në një rresht, kështu që ne e zhvendosim vazhdimin në rreshtin tjetër. Mos harroni për shenjën e barabartë (=) në rreshtin e ri:

Përgjigja doli të ishte një fraksion i saktë, dhe gjithçka duket se na përshtatet, por është shumë e rëndë dhe e shëmtuar. Duhet ta bëjmë më të lehtë. Çfarë mund të bëhet? Ju mund ta zvogëloni këtë pjesë.

Për të zvogëluar një thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e saj me (gcd) numrat 20 dhe 30.

Pra, gjejmë GCD-në e numrave 20 dhe 30:

Tani kthehemi te shembulli ynë dhe ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës me GCD-në e gjetur, domethënë me 10

Mori një përgjigje

Shumëzimi i një thyese me një numër

Për të shumëzuar një thyesë me një numër, duhet të shumëzoni numëruesin e thyesës së dhënë me këtë numër dhe të lini emëruesin të njëjtë.

Shembulli 1. Shumëzojeni thyesën me numrin 1.

Shumëzoni numëruesin e thyesës me numrin 1

Hyrja mund të kuptohet si një gjysmë 1 herë. Për shembull, nëse merrni pica 1 herë, ju merrni pica

Nga ligjet e shumëzimit, ne e dimë se nëse shumëzuesi dhe shumëzuesi ndërrohen, atëherë prodhimi nuk do të ndryshojë. Nëse shprehja shkruhet si , atëherë produkti do të vazhdojë të jetë i barabartë me . Përsëri, rregulli për shumëzimin e një numri të plotë dhe një thyese funksionon:

Kjo hyrje mund të kuptohet si marrja e gjysmës së njësisë. Për shembull, nëse ka 1 picë të plotë dhe marrim gjysmën e saj, atëherë do të kemi pica:

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzoni numëruesin e thyesës me 4

Përgjigja është një fraksion i gabuar. Le të marrim një pjesë të plotë të tij:

Shprehja mund të kuptohet si të marrë dy të katërtat 4 herë. Për shembull, nëse merrni pica 4 herë, ju merrni dy pica të plota.

Dhe nëse ndërrojmë shumëzuesin dhe shumëzuesin në vende, marrim shprehjen. Do të jetë gjithashtu e barabartë me 2. Kjo shprehje mund të kuptohet si marrja e dy picave nga katër pica të plota:

Shumëzimi i thyesave

Për të shumëzuar thyesat, duhet të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit e tyre. Nëse përgjigja është një fraksion i gabuar, duhet të zgjidhni të gjithë pjesën në të.

Shembulli 1 Gjeni vlerën e shprehjes.

Mori një përgjigje. Është e dëshirueshme për të reduktuar thyesë e dhënë. Pjesa mund të zvogëlohet me 2. Atëherë zgjidhja përfundimtare do të marrë formën e mëposhtme:

Shprehja mund të kuptohet si marrja e një pice nga një gjysmë pice. Le të themi se kemi gjysmë pice:

Si të merrni dy të tretat nga kjo gjysmë? Së pari ju duhet ta ndani këtë gjysmë në tre pjesë të barabarta:

Dhe merrni dy nga këto tre pjesë:

Do marrim pica. Mos harroni se si duket një pizza e ndarë në tre pjesë:

Një fetë nga kjo picë dhe dy fetat që morëm do të kenë të njëjtat dimensione:

Me fjalë të tjera, ne po flasim për të njëjtën madhësi pice. Prandaj, vlera e shprehjes është

Shembulli 2. Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:

Përgjigja është një fraksion i gabuar. Le të marrim një pjesë të plotë të tij:

Shembulli 3 Gjeni vlerën e një shprehjeje

Shumëzojmë numëruesin e thyesës së parë me numëruesin e thyesës së dytë dhe emëruesin e thyesës së parë me emëruesin e thyesës së dytë:

Përgjigja doli të ishte një thyesë e saktë, por do të jetë mirë nëse zvogëlohet. Për të zvogëluar këtë thyesë, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e kësaj thyese me më të madhin. pjesëtues i përbashkët(gcd) numrat 105 dhe 450.

Pra, le të gjejmë GCD-në e numrave 105 dhe 450:

Tani ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin e përgjigjes sonë në GCD që kemi gjetur tani, domethënë me 15

Paraqitja e një numri të plotë si thyesë

Çdo numër i plotë mund të paraqitet si thyesë. Për shembull, numri 5 mund të përfaqësohet si . Nga kjo, pesë nuk do të ndryshojnë kuptimin e saj, pasi shprehja do të thotë "numri pesë i ndarë me një", dhe kjo, siç e dini, është e barabartë me pesë:

Numrat e kundërt

Tani do të njihemi me temë interesante në matematikë. Quhet "numra të kundërt".

Përkufizimi. Kthehet në numëra është numri që, kur shumëzohet mea jep një njësi.

Le të zëvendësojmë në këtë përkufizim në vend të një ndryshoreje a numri 5 dhe përpiquni të lexoni përkufizimin:

Kthehet në numër 5 është numri që, kur shumëzohet me 5 jep një njësi.

A është e mundur të gjendet një numër që, kur shumëzohet me 5, jep një? Rezulton se mundesh. Le të paraqesim pesë si thyesë:

Pastaj shumëzojeni këtë thyesë me vete, thjesht ndërroni numëruesin dhe emëruesin. Me fjalë të tjera, le të shumëzojmë thyesën me vetveten, vetëm të përmbysur:

Cili do të jetë rezultati i kësaj? Nëse vazhdojmë ta zgjidhim këtë shembull, marrim një:

Kjo do të thotë se anasjellta e numrit 5 është numri, pasi kur 5 shumëzohet me një, fitohet një.

Reciproku mund të gjendet edhe për çdo numër tjetër të plotë.

Ju gjithashtu mund të gjeni reciproke për çdo thyesë tjetër. Për ta bërë këtë, mjafton ta ktheni atë.

Pjesëtimi i një thyese me një numër

Le të themi se kemi gjysmë pice:

Le ta ndajmë atë në mënyrë të barabartë në dy. Sa pica do të marrë secili?

Shihet se pas ndarjes së gjysmës së picës, janë marrë dy pjesë të barabarta, secila prej të cilave përbën një picë. Kështu që të gjithë marrin një pica.

Ndarja e thyesave bëhet duke përdorur reciproke. Numrat e kundërt ju lejon të zëvendësoni pjesëtimin me shumëzim.

Për të pjesëtuar një thyesë me një numër, duhet ta shumëzoni këtë thyesë me reciprocitetin e pjesëtuesit.

Duke përdorur këtë rregull, ne do të shkruajmë ndarjen e gjysmës sonë të picës në dy pjesë.

Pra, duhet ta ndani thyesën me numrin 2. Këtu dividenti është një thyesë dhe pjesëtuesi është 2.

Për të pjesëtuar një thyesë me numrin 2, duhet ta shumëzoni këtë thyesë me reciprokun e pjesëtuesit 2. Reciproku i pjesëtuesit 2 është një thyesë. Kështu që ju duhet të shumëzoni me

Merrni parasysh thyesën $\frac63$. Vlera e tij është 2, pasi $\frac63 =6:3 = 2$. Çfarë ndodh nëse numëruesi dhe emëruesi shumëzohen me 2? $\frac63 \herë 2=\frac(12)(6)$. Natyrisht, vlera e fraksionit nuk ka ndryshuar, kështu që $\frac(12)(6)$ është gjithashtu e barabartë me 2 si y. shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me 3 dhe merrni $\frac(18)(9)$, ose me 27 dhe merrni $\frac(162)(81)$ ose me 101 dhe merrni $\frac(606)(303)$. Në secilin nga këto raste, vlera e thyesës që marrim duke pjesëtuar numëruesin me emërues është 2. Kjo do të thotë se ajo nuk ka ndryshuar.

I njëjti model vërehet në rastin e fraksioneve të tjera. Nëse numëruesi dhe emëruesi i thyesës $\frac(120)(60)$ (e barabartë me 2) pjesëtohet me 2 (rezultati i $\frac(60)(30)$), ose me 3 (rezultati i $\ frac(40)(20) $), ose me 4 (rezultati i $\frac(30)(15)$) e kështu me radhë, atëherë në secilin rast vlera e fraksionit mbetet e pandryshuar dhe e barabartë me 2.

Ky rregull vlen edhe për thyesat që nuk janë të barabarta. numër i plotë.

Nëse numëruesi dhe emëruesi i thyesës $\frac(1)(3)$ shumëzohen me 2, marrim $\frac(2)(6)$, domethënë vlera e thyesës nuk ka ndryshuar. Dhe në fakt, nëse e ndani tortën në 3 pjesë dhe merrni njërën prej tyre, ose e ndani në 6 pjesë dhe merrni 2 pjesë, do të merrni të njëjtën sasi byreku në të dyja rastet. Prandaj, numrat $\frac(1)(3)$ dhe $\frac(2)(6)$ janë identikë. Le të formulojmë një rregull të përgjithshëm.

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër, dhe vlera e thyesës nuk ndryshon.

Ky rregull është shumë i dobishëm. Për shembull, lejon që në disa raste, por jo gjithmonë, të shmangen operacionet me numra të mëdhenj.

Për shembull, mund të ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës $\frac(126)(189)$ me 63 dhe të marrim thyesën $\frac(2)(3)$ e cila është shumë më e lehtë për t'u llogaritur. Një shembull më shumë. Mund ta ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës $\frac(155)(31)$ me 31 dhe të marrim thyesën $\frac(5)(1)$ ose 5, pasi 5:1=5.

Në këtë shembull, ne fillimisht u ndeshën një thyesë, emëruesi i së cilës është 1. Fraksione të tilla luajnë një rol të rëndësishëm në llogaritjet. Duhet mbajtur mend se çdo numër mund të pjesëtohet me 1 dhe vlera e tij nuk do të ndryshojë. Domethënë, $\frac(273)(1)$ është e barabartë me 273; $\frac(509993)(1)$ është e barabartë me 509993 e kështu me radhë. Prandaj, nuk kemi pse t'i ndajmë numrat me , pasi çdo numër i plotë mund të përfaqësohet si një thyesë me emërues 1.

Me thyesa të tilla, emëruesi i të cilave është i barabartë me 1, është e mundur të prodhohet e njëjta veprimet aritmetike, si me të gjitha thyesat e tjera: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Ju mund të pyesni se çfarë është përdorimi i paraqitjes së një numri të plotë si një fraksion, i cili do të ketë një njësi nën shirit, sepse është më e përshtatshme të punohet me një numër të plotë. Por fakti është se përfaqësimi i një numri të plotë si një fraksion na lejon të prodhojmë në mënyrë më efikase aktivitete të ndryshme kur kemi të bëjmë si me numra të plotë ashtu edhe me numra thyesorë në të njëjtën kohë. Për shembull, për të mësuar mbledhin thyesa me emërues të ndryshëm. Supozoni se duhet të shtojmë $\frac(1)(3)$ dhe $\frac(1)(5)$.

Ne e dimë se ju mund të shtoni vetëm thyesa, emëruesit e të cilëve janë të barabartë. Pra, duhet të mësojmë se si t'i sjellim thyesat në një formë të tillë kur emëruesit e tyre janë të barabartë. Në këtë rast, përsëri na duhet fakti që mund të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e një thyese me të njëjtin numër pa ndryshuar vlerën e tij.

Së pari, shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës $\frac(1)(3)$ me 5. Marrim $\frac(5)(15)$, vlera e thyesës nuk ka ndryshuar. Pastaj shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës $\frac(1)(5)$ me 3. Marrim $\frac(3)(15)$, përsëri vlera e thyesës nuk ka ndryshuar. Prandaj, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Tani le të përpiqemi ta zbatojmë këtë sistem për mbledhjen e numrave që përmbajnë pjesë të plota dhe thyesore.

Duhet të shtojmë $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Së pari, ne i kthejmë të gjitha termat në thyesa dhe marrim: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Tani duhet t'i sjellim të gjitha thyesat në një emërues të përbashkët, për këtë ne shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës së parë me 12, të dytën me 4 dhe të tretën me 3. Si rezultat, marrim $\frac(36) (12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, që është e barabartë me $\frac(55)(12)$. Nëse dëshironi të hiqni qafe thyesë e papërshtatshme, mund të shndërrohet në një numër të përbërë nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ose $4\frac( 7) (12) $.

Të gjitha rregullat që lejojnë veprimet me thyesa, që sapo kemi studiuar, vlejnë edhe në rastin e numrave negativë. Pra, -1: 3 mund të shkruhet si $\frac(-1)(3)$, dhe 1: (-3) si $\frac(1)(-3)$.

Meqenëse pjesëtimi i një numri negativ me një numër pozitiv dhe pjesëtimi i një numri pozitiv me një numër negativ rezulton në numra negativ, në të dyja rastet do të marrim përgjigjen në formën e një numri negativ. Kjo eshte

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ose $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Shenja minus kur shkruhet në këtë mënyrë i referohet të gjithë thyesës në tërësi, dhe jo veçmas numëruesit ose emëruesit.

Nga ana tjetër, (-1) : (-3) mund të shkruhet si $\frac(-1)(-3)$, dhe meqenëse kur pjesëtojmë një numër negativ me një numër negativ, marrim numër pozitiv, atëherë $\frac(-1)(-3)$ mund të shkruhet si $+\frac(1)(3)$.

Mbledhja dhe zbritja e thyesave negative kryhet në të njëjtën mënyrë si mbledhja dhe zbritja e thyesave pozitive. Për shembull, çfarë është $1- 1\frac13$? Le t'i paraqesim të dy numrat si thyesa dhe të marrim $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Le t'i reduktojmë thyesat në një emërues të përbashkët dhe të marrim $\frac(1 \herë 3)(1 \herë 3)-\frac(4)(3)$, d.m.th. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, ose $-\frac(1)(3)$.