Vetitë e rrënjëve, formulimet, vërtetimet, shembujt. Rrenja katrore. Teori e detajuar me shembuj Rrënja katrore, rrënja katrore aritmetike

\(\sqrt(a)=b\) nëse \(b^2=a\), ku \(a≥0,b≥0\)

Shembuj:

\(\sqrt(49)=7\) sepse \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\),sepse \(0.2^2=0.04\)

Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri?

Për të nxjerrë rrënjën katrore të një numri, duhet t'i bëni vetes pyetjen: cili numër në katror do të japë shprehjen nën rrënjë?

për shembull. Ekstraktoni rrënjën: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Cilin numër në katror do të japë \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Cilin numër në katror do të japë \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Cilin numër në katror do të japë \(0,0001\)?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) Cilin numër në katror do të japë \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Për t'i dhënë një përgjigje pyetjes, duhet të përktheni në një të gabuar.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Komentoni: Edhe pse \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) gjithashtu përgjigjuni pyetjeve të dhëna , por ato nuk merren parasysh, pasi rrënja katrore është gjithmonë pozitive.

Vetia kryesore e rrënjës

Siç e dini, në matematikë, çdo veprim ka një të kundërt. Mbledhja ka zbritjen, shumëzimi ka pjesëtim. E kundërta e katrorit është marrja e rrënjës katrore. Prandaj, këto veprime anulojnë njëra-tjetrën:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Kjo është vetia kryesore e rrënjës, e cila përdoret më shpesh (përfshirë në OGE)

Shembull . (detyrë nga OGE). Gjeni vlerën e shprehjes \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Vendimi :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Shembull . (detyrë nga OGE). Gjeni vlerën e shprehjes \((\sqrt(85)-1)^2\)

Vendimi:

Sigurisht, kur punoni me një rrënjë katrore, duhet të përdorni të tjerët.

Shembull . (detyrë nga OGE). Gjeni vlerën e shprehjes \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Vendimi:

Përgjigje: \(220\)

4 rregulla që harrohen gjithmonë

Rrënja nuk nxirret gjithmonë

Shembull: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) etj. - nxjerrja e një rrënjë nga një numër nuk është gjithmonë e mundur dhe kjo është normale!

Rrënja e një numri, gjithashtu një numër

Nuk ka nevojë të trajtoni \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) në ndonjë mënyrë të veçantë. Këto janë numra, por jo numra të plotë, po, por jo gjithçka në botën tonë matet me numra të plotë.

Rrënja merret vetëm nga numrat jonegativë

Prandaj, në tekstet shkollore nuk do të shihni shënime të tilla \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), etj.

Shikova përsëri pjatën ... Dhe, le të shkojmë!

Le të fillojmë me një të thjeshtë:

Prit një minutë. kjo, që do të thotë se mund ta shkruajmë kështu:

E kuptova? Këtu është tjetra për ju:

Rrënjët e numrave që rezultojnë nuk janë nxjerrë saktësisht? Mos u shqetësoni, këtu janë disa shembuj:

Po sikur të mos ketë dy shumëzues, por më shumë? E njëjta! Formula e shumëzimit të rrënjëve funksionon me çdo numër faktorësh:

Tani plotësisht i pavarur:

Përgjigjet: Te lumte! Pajtohem, gjithçka është shumë e lehtë, gjëja kryesore është të njohësh tabelën e shumëzimit!

Ndarja e rrënjëve

Ne kuptuam shumëzimin e rrënjëve, tani le të vazhdojmë te vetia e ndarjes.

Më lejoni t'ju kujtoj se formula në përgjithësi duket si kjo:

Dhe kjo do të thotë se rrënja e herësit është e barabartë me herësin e rrënjëve.

Epo, le të shohim shembuj:

Kjo është e gjitha shkenca. Dhe këtu është një shembull:

Gjithçka nuk është aq e qetë sa në shembullin e parë, por siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar.

Po sikur shprehja të duket kështu:

Thjesht duhet të aplikoni formulën në të kundërt:

Dhe këtu është një shembull:

Ju gjithashtu mund të shihni këtë shprehje:

Gjithçka është e njëjtë, vetëm këtu duhet të mbani mend se si të përktheni thyesat (nëse nuk mbani mend, shikoni temën dhe kthehuni!). kujtohet? Tani ne vendosim!

Jam i sigurt që keni përballuar gjithçka, gjithçka, tani le të përpiqemi të ndërtojmë rrënjë në një shkallë.

Eksponimi

Çfarë ndodh nëse rrënja katrore është në katror? Është e thjeshtë, mbani mend kuptimin e rrënjës katrore të një numri - ky është një numër rrënja katrore e të cilit është e barabartë me.

Pra, nëse vendosim në katror një numër rrënja katrore e të cilit është e barabartë, atëherë çfarë marrim?

Mirë sigurisht, !

Le të shohim shembuj:

Gjithçka është e thjeshtë, apo jo? Dhe nëse rrënja është në një shkallë të ndryshme? Është në rregull!

Qëndroni në të njëjtën logjikë dhe mbani mend vetitë dhe veprimet e mundshme me gradë.

Lexoni teorinë në temën "" dhe gjithçka do të bëhet jashtëzakonisht e qartë për ju.

Për shembull, këtu është një shprehje:

Në këtë shembull, shkalla është çift, por çka nëse është tek? Përsëri, aplikoni vetitë e fuqisë dhe faktorizoni gjithçka:

Me këtë, gjithçka duket të jetë e qartë, por si ta nxjerrim rrënjën nga një numër në një shkallë? Këtu, për shembull, është kjo:

Shumë e thjeshtë, apo jo? Po sikur shkalla të jetë më e madhe se dy? Ne ndjekim të njëjtën logjikë duke përdorur vetitë e shkallëve:

Epo, a është gjithçka e qartë? Pastaj zgjidhni shembujt tuaj:

Dhe këtu janë përgjigjet:

Hyrja nën shenjën e rrënjës

Ajo që thjesht nuk kemi mësuar të bëjmë me rrënjët! Mbetet vetëm për të praktikuar futjen e numrit nën shenjën e rrënjës!

Është mjaft e lehtë!

Le të themi se kemi një numër

Çfarë mund të bëjmë me të? Epo, sigurisht, fshihni trefishin nën rrënjë, ndërsa mbani mend se trefishi është rrënja katrore e!

Pse na duhet? Po, vetëm për të zgjeruar aftësitë tona kur zgjidhim shembuj:

Si ju pëlqen kjo veti e rrënjëve? E bën jetën shumë më të lehtë? Për mua, kjo është e drejtë! Vetëm ne duhet të kujtojmë se ne mund të fusim vetëm numra pozitivë nën shenjën e rrënjës katrore.

Provoni këtë shembull për veten tuaj:
A ia dolët? Le të shohim se çfarë duhet të merrni:

Te lumte! Keni arritur të futni një numër nën shenjën e rrënjës! Le të kalojmë tek po aq e rëndësishme - merrni parasysh se si të krahasoni numrat që përmbajnë një rrënjë katrore!

Krahasimi i rrënjëve

Pse duhet të mësojmë të krahasojmë numrat që përmbajnë një rrënjë katrore?

Shume e thjeshte. Shpesh, në shprehjet e mëdha dhe të gjata të hasura në provim, marrim një përgjigje irracionale (e mbani mend se çfarë është? Ne folëm tashmë për këtë sot!)

Përgjigjet e marra duhet t'i vendosim në vijën e koordinatave, për shembull, për të përcaktuar se cili interval është i përshtatshëm për zgjidhjen e ekuacionit. Dhe këtu lind pengesa: nuk ka kalkulator në provim, dhe pa të, si të imagjinohet se cili numër është më i madh dhe cili është më i vogël? Kjo eshte!

Për shembull, përcaktoni se cila është më e madhe: ose?

Nuk do të thuash menjëherë. Epo, le të përdorim vetinë e analizuar të shtimit të një numri nën shenjën e rrënjës?

Pastaj përpara:

Epo, padyshim, sa më i madh të jetë numri nën shenjën e rrënjës, aq më e madhe është vetë rrënja!

ato. nëse do të thotë.

Nga kjo ne konkludojmë me vendosmëri se Dhe askush nuk do të na bindë të kundërtën!

Nxjerrja e rrënjëve nga një numër i madh

Para kësaj, ne futëm një faktor nën shenjën e rrënjës, por si ta hiqni atë? Ju vetëm duhet ta faktorizoni atë dhe të nxirrni atë që nxirret!

Ishte e mundur të shkosh në anën tjetër dhe të dekompozohej në faktorë të tjerë:

Jo keq, apo jo? Secila nga këto qasje është e saktë, vendosni se si ndiheni rehat.

Faktorizimi është shumë i dobishëm kur zgjidhni detyra të tilla jo standarde si kjo:

Ne nuk trembemi, ne veprojmë! Ne e zbërthejmë çdo faktor nën rrënjë në faktorë të veçantë:

Dhe tani provojeni vetë (pa kalkulator! Nuk do të jetë në provim):

A është ky fundi? Nuk ndalemi në gjysmë të rrugës!

Kjo është e gjitha, nuk është aq e frikshme, apo jo?

Ka ndodhur? Bravo, ke të drejtë!

Tani provoni këtë shembull:

Dhe një shembull është një arrë e fortë për t'u thyer, kështu që nuk mund të kuptoni menjëherë se si t'i qaseni. Por ne, sigurisht, jemi në dhëmbë.

Epo, le të fillojmë faktorizimin, apo jo? Menjëherë, vërejmë se ju mund të ndani një numër me (kujtoni shenjat e pjesëtueshmërisë):

Dhe tani, provojeni vetë (përsëri, pa një kalkulator!):

Epo, a funksionoi? Bravo, ke të drejtë!

Duke përmbledhur

1. Rrënja katrore (rrënja katrore aritmetike) e një numri jonegativ është një numër jonegativ katrori i të cilit është i barabartë.
   .
2. Nëse marrim vetëm rrënjën katrore të diçkaje, marrim gjithmonë një rezultat jo negativ.
3. Karakteristikat aritmetike të rrënjës:
4. Kur krahasoni rrënjët katrore, duhet mbajtur mend se sa më i madh të jetë numri nën shenjën e rrënjës, aq më e madhe është vetë rrënja.

Si ju pëlqen rrënja katrore? Gjithçka e qartë?

Ne u përpoqëm t'ju shpjegojmë pa ujë gjithçka që duhet të dini në provim për rrënjën katrore.

Eshte rradha jote. Na shkruani nëse kjo temë është e vështirë për ju apo jo.

A keni mësuar diçka të re apo gjithçka ishte tashmë kaq e qartë.

Shkruani në komente dhe suksese në provime!

Urime: sot do të analizojmë rrënjët - një nga temat më marramendëse të klasës së 8-të. :)

Shumë njerëz ngatërrohen në lidhje me rrënjët, jo sepse ato janë komplekse (gjë është e ndërlikuar - disa përkufizime dhe disa veçori të tjera), por sepse në shumicën e teksteve shkollore rrënjët përcaktohen përmes gjërave të tilla të egra sa që vetëm autorët e teksteve shkollore. mund ta kuptojë këtë shkarravitje. Dhe edhe atëherë vetëm me një shishe uiski të mirë. :)

Prandaj, tani do të jap përkufizimin më të saktë dhe më kompetent të rrënjës - i vetmi që vërtet duhet të mbani mend. Dhe vetëm atëherë do të shpjegoj: pse e gjithë kjo është e nevojshme dhe si ta zbatojmë atë në praktikë.

Por së pari, mbani mend një pikë të rëndësishme, të cilën për disa arsye shumë hartues të teksteve "harrojnë":

Rrënjët mund të jenë të shkallës çift ($\sqrt(a)$ tona të preferuara, si dhe çdo $\sqrt(a)$ dhe çift $\sqrt(a)$) dhe shkallë tek (çdo $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ etj.). Dhe përkufizimi i rrënjës së një shkalle tek është disi i ndryshëm nga ai çift.

Këtu në këtë "disi ndryshe" të ndyrë fshihet, me siguri, 95% e të gjitha gabimeve dhe keqkuptimeve që lidhen me rrënjët. Pra, le të sqarojmë terminologjinë njëherë e përgjithmonë:

Përkufizimi. Edhe rrënjë n nga numri $a$ është cilido jo negative një numër $b$ i tillë që $((b)^(n))=a$. Dhe rrënja e një shkalle tek nga i njëjti numër $a$ është përgjithësisht çdo numër $b$ për të cilin vlen e njëjta barazi: $((b)^(n))=a$.

Në çdo rast, rrënja shënohet si kjo:

\(a)\]

Numri $n$ në një shënim të tillë quhet eksponent rrënjë, dhe numri $a$ quhet shprehje radikale. Në veçanti, për $n=2$ marrim rrënjën tonë katrore "të preferuar" (nga rruga, kjo është një rrënjë e një shkalle çift), dhe për $n=3$ marrim një rrënjë kub (një shkallë tek), e cila gjithashtu gjendet shpesh në problema dhe ekuacione.

Shembuj. Shembuj klasikë të rrënjëve katrore:

\[\fillim(lidh) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fund (radhis)\]

Meqë ra fjala, $\sqrt(0)=0$ dhe $\sqrt(1)=1$. Kjo është mjaft logjike pasi $((0)^(2))=0$ dhe $((1)^(2))=1$.

Rrënjët kubike janë gjithashtu të zakonshme - mos kini frikë prej tyre:

\[\fillim(lidh) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fund (radhis)\]

Epo, disa "shembuj ekzotikë":

\[\fillim(lidh) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fund (radhis)\]

Nëse nuk e kuptoni se cili është ndryshimi midis shkallës çift dhe tek, rilexoni përsëri përkufizimin. Eshte shume e rendesishme!

Ndërkohë, do të shqyrtojmë një veçori të pakëndshme të rrënjëve, për shkak të së cilës na duhej të prezantonim një përkufizim të veçantë për eksponentët çift dhe tek.

Pse na duhen rrënjët fare?

Pas leximit të përkufizimit, shumë studentë do të pyesin: "Çfarë pinin duhan matematikanët kur dolën me këtë?" Dhe me të vërtetë: pse na duhen të gjitha këto rrënjë?

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të kthehemi për një moment në shkollën fillore. Mbani mend: në ato kohë të largëta, kur pemët ishin më të gjelbra dhe petat më të shijshme, shqetësimi ynë kryesor ishte të shumëzonim saktë numrat. Epo, diçka në frymën "pesë nga pesë - njëzet e pesë", kjo është e gjitha. Por në fund të fundit, ju mund të shumëzoni numrat jo në çifte, por në treshe, katërshe dhe përgjithësisht grupe të plota:

\[\fillim(lidh) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \fund(rreshtoj)\]

Megjithatë, ky nuk është thelbi. Truku është i ndryshëm: matematikanët janë dembelë, kështu që ata duhej të shkruanin shumëzimin e dhjetë pesësheve si kjo:

Kështu ata dolën me diploma. Pse të mos shkruani numrin e faktorëve si një mbishkrim në vend të një vargu të gjatë? Si ky:

Është shumë i përshtatshëm! Të gjitha llogaritjet zvogëlohen disa herë dhe nuk mund të shpenzosh një tufë fletësh pergamene fletoresh për të shkruar rreth 5 183 . Një rekord i tillë quhej shkalla e një numri, në të u gjetën një mori pronash, por lumturia doli të jetë jetëshkurtër.

Pas një pijeje madhështore, e cila u organizua pikërisht për "zbulimin" e gradave, një matematikan veçanërisht i vrarë me gurë pyeti befas: "Po sikur të dimë shkallën e një numri, por nuk e dimë vetë numrin?" Në të vërtetë, nëse e dimë se një numër i caktuar $b$, për shembull, i jep 243 fuqisë së 5-të, atëherë si mund të marrim me mend se me çfarë është i barabartë numri $b$ në vetvete?

Ky problem doli të ishte shumë më global sesa mund të duket në shikim të parë. Sepse doli që për shumicën e diplomave "të gatshme" nuk ka numra të tillë "fillestarë". Gjykojeni vetë:

\[\fillim(rreshtoj) & ((b)^(3))=27\Djathtas b=3\cdot 3\cdot 3\Djathtas shigjetë b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Djathtas b=4\cdot 4\cdot 4\Djathtas shigjeta b=4. \\ \fund (radhis)\]

Po sikur $((b)^(3))=50$? Rezulton se ju duhet të gjeni një numër të caktuar, i cili, kur shumëzohet me veten tre herë, do të na japë 50. Por cili është ky numër? Është qartësisht më i madh se 3 sepse 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. d.m.th. ky numër qëndron diku midis tre dhe katër, por me çfarë është i barabartë - FIG do ta kuptoni.

Kjo është pikërisht arsyeja pse matematikanët dolën me $n$-të rrënjë. Kjo është arsyeja pse u prezantua ikona radikale $\sqrt(*)$. Për të treguar të njëjtin numër $b$, i cili, në shkallën e specifikuar, do të na japë një vlerë të njohur më parë

\[\sqrt[n](a)=b\Djathtas ((b)^(n))=a\]

Unë nuk debatoj: shpesh këto rrënjë konsiderohen lehtësisht - ne pamë disa shembuj të tillë më lart. Por prapëseprapë, në shumicën e rasteve, nëse mendoni për një numër arbitrar, dhe më pas përpiqeni të nxirrni rrënjën e një shkalle arbitrare prej tij, ju do të përballeni me një problem mizor.

Cfare ishte atje! Edhe $\sqrt(2)$ më i thjeshtë dhe më i njohur nuk mund të përfaqësohet në formën tonë të zakonshme - si një numër i plotë ose një thyesë. Dhe nëse e futni këtë numër në një kalkulator, do të shihni këtë:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Siç mund ta shihni, pas pikës dhjetore ka një sekuencë të pafund numrash që nuk i binden asnjë logjike. Sigurisht, mund ta rrumbullakosni këtë numër për ta krahasuar shpejt me numrat e tjerë. Për shembull:

\[\sqrt(2)=1,4142...\afërsisht 1,4 \lt 1,5\]

Ose këtu është një shembull tjetër:

\[\sqrt(3)=1,73205...\afërsisht 1,7 \gt 1,5\]

Por të gjitha këto rrumbullakime janë, së pari, mjaft të përafërta; dhe së dyti, gjithashtu duhet të jeni në gjendje të punoni me vlera të përafërta, përndryshe mund të kapni një mori gabimesh jo të dukshme (nga rruga, aftësia e krahasimit dhe rrumbullakimit kontrollohet domosdoshmërisht në provimin e profilit).

Prandaj, në matematikë serioze, nuk mund të bëhet pa rrënjë - ata janë të njëjtët përfaqësues të barabartë të grupit të të gjithë numrave realë $\mathbb(R)$, si thyesat dhe numrat e plotë që i kemi njohur prej kohësh.

Pamundësia e paraqitjes së rrënjës si një pjesë e formës $\frac(p)(q)$ do të thotë se kjo rrënjë nuk është një numër racional. Numra të tillë quhen irracionalë dhe nuk mund të paraqiten me saktësi veçse me ndihmën e një radikali, ose konstruksione të tjera të krijuara posaçërisht për këtë (logaritme, shkallë, kufij, etj.). Por më shumë për këtë herë tjetër.

Konsideroni disa shembuj ku, pas të gjitha llogaritjeve, numrat irracionalë do të mbeten ende në përgjigje.

\[\fillim(rreshtoj) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\afërsisht 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\afërsisht -1,2599... \\ \fund (radhis)\]

Natyrisht, nga pamja e rrënjës, është pothuajse e pamundur të merret me mend se cilët numra do të vijnë pas pikës dhjetore. Megjithatë, është e mundur të llogaritet në një makinë llogaritëse, por edhe llogaritësi më i avancuar i datës na jep vetëm shifrat e para të një numri irracional. Prandaj, është shumë më e saktë të shkruani përgjigjet si $\sqrt(5)$ dhe $\sqrt(-2)$.

Për këtë janë shpikur. Për ta bërë më të lehtë shkrimin e përgjigjeve.

Pse duhen dy përkufizime?

Lexuesi i vëmendshëm ndoshta e ka vënë re tashmë se të gjitha rrënjët katrore të dhëna në shembuj janë marrë nga numra pozitivë. Epo, të paktën nga zero. Por rrënjët e kubit nxirren me qetësi nga absolutisht çdo numër - madje edhe pozitiv, madje negativ.

Pse po ndodh kjo? Hidhini një sy grafikut të funksionit $y=((x)^(2))$:

Le të përpiqemi të llogarisim $\sqrt(4)$ duke përdorur këtë grafik. Për ta bërë këtë, në grafik vizatohet një vijë horizontale $y=4$ (e shënuar me të kuqe), e cila pret parabolën në dy pika: $((x)_(1))=2$ dhe $((x) _(2)) =-2$. Kjo është mjaft logjike, pasi

Gjithçka është e qartë me numrin e parë - është pozitiv, prandaj është rrënja:

Por atëherë çfarë të bëjmë me pikën e dytë? A ka 4-ja dy rrënjë njëherësh? Në fund të fundit, nëse e vendosim në katror numrin −2, do të marrim edhe 4. Pse të mos shkruani atëherë $\sqrt(4)=-2$? Dhe pse mësuesit shikojnë regjistrime të tilla sikur duan të të hanë? :)

Problemi është se nëse nuk vendosen kushte shtesë, atëherë të katërt do të kenë dy rrënjë katrore - pozitive dhe negative. Dhe çdo numër pozitiv do të ketë gjithashtu dy prej tyre. Por numrat negativë nuk do të kenë rrënjë fare - kjo mund të shihet nga i njëjti grafik, pasi parabola nuk bie kurrë nën boshtin y, d.m.th. nuk merr vlera negative.

Një problem i ngjashëm ndodh për të gjitha rrënjët me një eksponent çift:

1. Në mënyrë të rreptë, çdo numër pozitiv do të ketë dy rrënjë me një eksponent çift $n$;
2. Nga numrat negativ, rrënja me madje $n$ nuk nxirret fare.

Kjo është arsyeja pse përkufizimi i një rrënjë çift $n$ përcakton në mënyrë specifike që përgjigja duhet të jetë një numër jo negativ. Kështu shpëtojmë nga paqartësia.

Por për $n$ tek nuk ka një problem të tillë. Për ta parë këtë, le të hedhim një vështrim në grafikun e funksionit $y=((x)^(3))$:

Nga ky grafik mund të nxirren dy përfundime:

1. Degët e një parabole kubike, ndryshe nga ajo e zakonshme, shkojnë në pafundësi në të dy drejtimet - lart dhe poshtë. Prandaj, në çfarëdo lartësie që të vizatojmë një vijë horizontale, kjo vijë patjetër do të kryqëzohet me grafikun tonë. Prandaj, rrënja e kubit mund të merret gjithmonë, absolutisht nga çdo numër;
2. Për më tepër, një kryqëzim i tillë do të jetë gjithmonë unik, kështu që nuk keni nevojë të mendoni se cilin numër të merrni parasysh rrënjën "e saktë" dhe cilin të shënoni. Kjo është arsyeja pse përkufizimi i rrënjëve për një shkallë tek është më i thjeshtë se sa për një çift (nuk ka kërkesë jonegative).

Është për të ardhur keq që këto gjëra të thjeshta nuk shpjegohen në shumicën e teksteve shkollore. Në vend të kësaj, truri ynë fillon të fluturojë me të gjitha llojet e rrënjëve aritmetike dhe vetitë e tyre.

Po, nuk debatoj: çfarë është një rrënjë aritmetike - duhet të dini gjithashtu. Dhe unë do të flas për këtë në detaje në një mësim të veçantë. Sot do të flasim gjithashtu për të, sepse pa të, të gjitha reflektimet mbi rrënjët e shumëzimit $n$-th do të ishin të paplota.

Por së pari ju duhet të kuptoni qartë përkufizimin që dhashë më lart. Përndryshe, për shkak të bollëkut të termave, në kokën tuaj do të fillojë një rrëmujë e tillë që në fund nuk do të kuptoni asgjë fare.

Dhe gjithçka që duhet të kuptoni është ndryshimi midis numrave çift dhe tek. Prandaj, edhe një herë ne do të mbledhim gjithçka që vërtet duhet të dini për rrënjët:

1. Një rrënjë çift ekziston vetëm nga një numër jonegativ dhe në vetvete është gjithmonë një numër jo negativ. Për numrat negativ, një rrënjë e tillë është e papërcaktuar.
2. Por rrënja e një shkalle tek ekziston nga çdo numër dhe në vetvete mund të jetë çdo numër: për numrat pozitivë është pozitiv, dhe për numrat negativ, siç lë të kuptohet kapaku, është negativ.

Është e vështirë? Jo, nuk është e vështirë. Kuptohet? Po, është e qartë! Prandaj, tani do të praktikojmë pak me llogaritjet.

Karakteristikat dhe kufizimet themelore

Rrënjët kanë shumë veti dhe kufizime të çuditshme - ky do të jetë një mësim më vete. Prandaj, tani do të shqyrtojmë vetëm "çipin" më të rëndësishëm, i cili vlen vetëm për rrënjët me një eksponent të barabartë. Ne e shkruajmë këtë pronë në formën e një formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\majtas| x\djathtas|\]

Me fjalë të tjera, nëse e ngremë një numër në një fuqi çift, dhe më pas nxjerrim rrënjën e së njëjtës shkallë nga kjo, nuk do të marrim numrin origjinal, por modulin e tij. Kjo është një teoremë e thjeshtë që është e lehtë për t'u vërtetuar (mjafton të konsiderohen veçmas jo-negativët $x$, dhe më pas të konsiderohen veçmas ato negative). Mësuesit flasin vazhdimisht për të, është dhënë në çdo tekst shkollor. Por, sapo bëhet fjalë për zgjidhjen e ekuacioneve irracionale (pra ekuacioneve që përmbajnë shenjën e radikalit), nxënësit e harrojnë këtë formulë së bashku.

Për të kuptuar çështjen në detaje, le të harrojmë të gjitha formulat për një minutë dhe të përpiqemi të numërojmë dy numra përpara:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \djathtas))^(4))=?\]

Këta janë shembuj shumë të thjeshtë. Shembulli i parë do të zgjidhet nga shumica e njerëzve, por në të dytin, shumë rrinë. Për të zgjidhur çdo gjë të tillë pa probleme, gjithmonë merrni parasysh procedurën:

1. Së pari, numri rritet në fuqinë e katërt. Epo, është disi e lehtë. Do të merret një numër i ri, i cili mund të gjendet edhe në tabelën e shumëzimit;
2. Dhe tani nga ky numër i ri është e nevojshme të nxirret rrënja e shkallës së katërt. ato. nuk ka "reduktim" të rrënjëve dhe shkallëve - këto janë veprime të njëpasnjëshme.

Le të merremi me shprehjen e parë: $\sqrt((3)^(4)))$. Natyrisht, së pari duhet të llogaritni shprehjen nën rrënjë:

\[((3)^(4))=3\cpika 3\cpika 3\cpika 3=81\]

Pastaj nxjerrim rrënjën e katërt të numrit 81:

Tani le të bëjmë të njëjtën gjë me shprehjen e dytë. Së pari, ne e ngremë numrin -3 në fuqinë e katërt, për të cilën duhet ta shumëzojmë me vetveten 4 herë:

\[((\left(-3 \djathtas))^(4))=\majtas(-3 \djathtas)\cdot \majtas(-3 \djathtas)\cdot \majtas(-3 \djathtas)\cdot \ majtas(-3 \djathtas)=81\]

Ne morëm një numër pozitiv, pasi numri i përgjithshëm i minuseve në produkt është 4 copë, dhe të gjithë do të anulojnë njëri-tjetrin (në fund të fundit, një minus nga një minus jep një plus). Më pas, nxirrni përsëri rrënjën:

Në parim, ky rresht nuk mund të shkruhej, pasi është e pamend që përgjigja do të jetë e njëjtë. ato. një rrënjë e barabartë e së njëjtës fuqi uniforme "djeg" minuset, dhe në këtë kuptim rezultati nuk dallohet nga moduli i zakonshëm:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(((3)^(4)))=\majtas| 3\djathtas|=3; \\ & \sqrt(((\majtas(-3 \djathtas))^(4)))=\majtas| -3 \djathtas|=3. \\ \fund (radhis)\]

Këto llogaritje janë në përputhje të mirë me përcaktimin e rrënjës së një shkalle çift: rezultati është gjithmonë jo negativ, dhe shenja radikale është gjithashtu gjithmonë një numër jo negativ. Përndryshe, rrënja nuk përcaktohet.

Shënim për rendin e veprimeve

1. Shënimi $\sqrt(((a)^(2)))$ do të thotë që fillimisht ne katrorejmë numrin $a$ dhe më pas marrim rrënjën katrore të vlerës që rezulton. Prandaj, mund të jemi të sigurt se një numër jo-negativ qëndron gjithmonë nën shenjën e rrënjës, pasi $((a)^(2))\ge 0$ gjithsesi;
2. Por shënimi $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, përkundrazi, do të thotë që ne fillimisht nxjerrim rrënjën nga një numër i caktuar $a$ dhe vetëm më pas e vendosim në katror rezultatin. Prandaj, numri $a$ në asnjë rast nuk mund të jetë negativ - kjo është një kërkesë e detyrueshme e ngulitur në përkufizim.

Kështu, në asnjë rast nuk duhet të zvogëlohen pa menduar rrënjët dhe shkallët, duke "thjeshtuar" kështu shprehjen origjinale. Sepse nëse ka një numër negativ nën rrënjë, dhe eksponenti i tij është çift, do të kemi shumë probleme.

Sidoqoftë, të gjitha këto probleme janë të rëndësishme vetëm për treguesit madje.

Heqja e një shenje minus nga poshtë shenjës së rrënjës

Natyrisht, rrënjët me eksponentë tek kanë gjithashtu veçorinë e tyre, e cila, në parim, nuk ekziston për çiftet. Gjegjësisht:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Me pak fjalë, mund të hiqni një minus nga nën shenjën e rrënjëve të një shkalle të çuditshme. Kjo është një pronë shumë e dobishme që ju lejon të "hedhni" të gjitha minuset:

\[\fillim(lidh) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \djathtas)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \fund (radhis)\]

Kjo veçori e thjeshtë thjeshton shumë llogaritjet. Tani nuk keni nevojë të shqetësoheni: po sikur një shprehje negative të futej nën rrënjë dhe shkalla në rrënjë doli të jetë e barabartë? Mjafton vetëm të “hedhim jashtë” të gjitha minuset jashtë rrënjëve, pas së cilës ato mund të shumëzohen me njëra-tjetrën, të ndahen dhe përgjithësisht të bëjnë shumë gjëra të dyshimta, të cilat në rastin e rrënjëve “klasike” garantohen se do të na çojnë në një gabim.

Dhe këtu hyn në skenë një përkufizim tjetër - pikërisht ai me të cilin shumica e shkollave fillojnë studimin e shprehjeve irracionale. Dhe pa të cilën arsyetimi ynë do të ishte i paplotë. Takohuni!

rrënjë aritmetike

Le të supozojmë për një moment se vetëm numrat pozitivë ose, në raste ekstreme, zero mund të jenë nën shenjën e rrënjës. Le të shënojmë treguesit çift / tek, të shënojmë të gjitha përkufizimet e dhëna më sipër - do të punojmë vetëm me numra jo negativë. Po pastaj?

Dhe pastaj marrim rrënjën aritmetike - ajo pjesërisht kryqëzohet me përkufizimet tona "standarde", por ende ndryshon prej tyre.

Përkufizimi. Një rrënjë aritmetike e shkallës $n$të të një numri jonegativ $a$ është një numër jonegativ $b$ i tillë që $((b)^(n))=a$.

Siç mund ta shihni, ne nuk jemi më të interesuar për barazi. Në vend të kësaj, u shfaq një kufizim i ri: shprehja radikale tani është gjithmonë jo-negative, dhe vetë rrënja është gjithashtu jo-negative.

Për të kuptuar më mirë se si ndryshon rrënja aritmetike nga ajo e zakonshme, hidhini një sy grafikëve të parabolës katrore dhe kubike tashmë të njohur për ne:

Siç mund ta shihni, tani e tutje, ne jemi të interesuar vetëm për ato pjesë të grafikëve që ndodhen në tremujorin e parë të koordinatave - ku koordinatat $x$ dhe $y$ janë pozitive (ose të paktën zero). Nuk keni më nevojë të shikoni treguesin për të kuptuar nëse kemi të drejtë të rrënjosim një numër negativ apo jo. Sepse numrat negativë nuk konsiderohen më në parim.

Ju mund të pyesni: "Epo, pse na duhet një përkufizim kaq i tredhur?" Ose: "Pse nuk mund t'ia dalim me përkufizimin standard të dhënë më lart?"

Epo, unë do të jap vetëm një pronë, për shkak të së cilës përkufizimi i ri bëhet i përshtatshëm. Për shembull, rregulli i fuqizimit:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Ju lutemi vini re: ne mund ta ngremë shprehjen e rrënjës në çdo fuqi dhe në të njëjtën kohë të shumëzojmë eksponentin e rrënjës me të njëjtën fuqi - dhe rezultati do të jetë i njëjti numër! Ketu jane disa shembuj:

\[\fillim(lidhoj) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \fund (radhis)\]

Epo, çfarë nuk shkon me këtë? Pse nuk mund ta bënim më parë? Ja pse. Konsideroni një shprehje të thjeshtë: $\sqrt(-2)$ është një numër që është mjaft normal në kuptimin tonë klasik, por absolutisht i papranueshëm nga pikëpamja e rrënjës aritmetike. Le të përpiqemi ta konvertojmë atë:

$\begin(lidhoj) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\majtas(-2 \djathtas))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \fund (rreshtoj)$

Siç mund ta shihni, në rastin e parë, ne hoqëm minusin nga poshtë radikalit (kemi të drejtë, sepse treguesi është i çuditshëm), dhe në të dytin, kemi përdorur formulën e mësipërme. ato. nga pikëpamja e matematikës çdo gjë bëhet sipas rregullave.

WTF?! Si mund të jetë i njëjti numër pozitiv dhe negativ? Në asnjë mënyrë. Thjesht formula e fuqizimit, e cila funksionon shkëlqyeshëm për numrat pozitivë dhe zero, fillon të japë herezi të plotë në rastin e numrave negativë.

Këtu, për të hequr qafe një paqartësi të tillë, ata dolën me rrënjë aritmetike. Një mësim i veçantë i madh u kushtohet atyre, ku shqyrtojmë në detaje të gjitha pronat e tyre. Pra, tani ne nuk do të ndalemi në to - gjithsesi mësimi doli të ishte shumë i gjatë.

Rrënja algjebrike: për ata që duan të dinë më shumë

Kam menduar gjatë: ta bëj këtë temë në një paragraf të veçantë apo jo. Në fund vendosa të largohem nga këtu. Ky material është menduar për ata që duan të kuptojnë rrënjët edhe më mirë - jo më në nivelin mesatar "shkollor", por në nivelin afër Olimpiadës.

Pra: përveç përkufizimit "klasik" të rrënjës së shkallës $n$-të nga një numër dhe ndarjes së lidhur në tregues çift dhe tek, ekziston një përkufizim më "i rritur", i cili nuk varet nga barazia dhe hollësi të tjera fare. Kjo quhet rrënjë algjebrike.

Përkufizimi. Një rrënjë algjebrike $n$-th e çdo $a$ është bashkësia e të gjithë numrave $b$ të tillë që $((b)^(n))=a$. Nuk ka asnjë përcaktim të mirëpërcaktuar për rrënjë të tilla, kështu që thjesht vendosni një vizë sipër:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\majtas\( b\majtas| b\in \mathbb(R);((b)^(n)=a \djathtas. \djathtas\) \]

Dallimi thelbësor nga përkufizimi standard i dhënë në fillim të mësimit është se rrënja algjebrike nuk është një numër specifik, por një grup. Dhe meqenëse po punojmë me numra realë, ky grup është vetëm tre llojesh:

1. Komplet bosh. Ndodh kur kërkohet të gjendet një rrënjë algjebrike e një shkalle çift nga një numër negativ;
2. Një grup i përbërë nga një element i vetëm. Të gjitha rrënjët e fuqive tek, si dhe rrënjët e fuqive çift nga zero, bëjnë pjesë në këtë kategori;
3. Së fundi, grupi mund të përfshijë dy numra - të njëjtët $((x)_(1))$ dhe $((x)_(2))=-((x)_(1))$ që pamë në grafik funksion kuadratik. Prandaj, një shtrirje e tillë është e mundur vetëm kur nxjerrni rrënjën e një shkalle çift nga një numër pozitiv.

Rasti i fundit meriton shqyrtim më të detajuar. Le të numërojmë disa shembuj për të kuptuar ndryshimin.

Shembull. Llogaritni shprehjet:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Vendimi. Shprehja e parë është e thjeshtë:

\[\overline(\sqrt(4))=\majtas\( 2;-2 \djathtas\)\]

Janë dy numra që janë pjesë e grupit. Sepse secila prej tyre në katror jep një katër.

\[\overline(\sqrt(-27))=\majtas\( -3 \djathtas\)\]

Këtu shohim një grup të përbërë nga vetëm një numër. Kjo është mjaft logjike, pasi eksponenti i rrënjës është tek.

Në fund, shprehja e fundit:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Ne morëm një grup bosh. Sepse nuk ka asnjë numër të vetëm real që, kur të ngrihet në fuqinë e katërt (d.m.th., çift!), të na japë një numër negativ -16.

Shënim përfundimtar. Ju lutemi vini re: jo rastësisht kam vërejtur kudo se po punojmë me numra realë. Sepse ka edhe numra kompleksë - është mjaft e mundur të llogaritet $\sqrt(-16)$ dhe shumë gjëra të tjera të çuditshme atje.

Sidoqoftë, në kurrikulën moderne shkollore të matematikës, numrat kompleksë pothuajse nuk gjenden kurrë. Ato janë hequr nga shumica e teksteve shkollore sepse zyrtarët tanë e konsiderojnë temën "shumë të vështirë për t'u kuptuar".

Kjo eshte e gjitha. Në mësimin tjetër, ne do të shikojmë të gjitha vetitë kryesore të rrënjëve dhe më në fund do të mësojmë se si të thjeshtojmë shprehjet irracionale. :)

Formulat e rrënjës. vetitë e rrënjëve katrore.

Kujdes!
Ka shtesë
materiali në Seksionin Special 555.
Për ata që fort "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë...")

Në mësimin e mëparshëm, ne kuptuam se çfarë është rrënja katrore. Është koha për të kuptuar se çfarë janë formula për rrënjët, cfare jane vetitë e rrënjës dhe çfarë mund të bëhet për të gjitha.

Formulat e rrënjëve, vetitë e rrënjës dhe rregullat për veprimet me rrënjët- në thelb është e njëjta gjë. Ka çuditërisht pak formula për rrënjët katrore. E cila, natyrisht, kënaq! Përkundrazi, mund të shkruani shumë nga të gjitha llojet e formulave, por vetëm tre janë të mjaftueshme për punë praktike dhe të sigurt me rrënjët. Gjithçka tjetër rrjedh nga këto të treja. Edhe pse shumë humbasin në tre formulat e rrënjëve, po...

Le të fillojmë me më të thjeshtat. Këtu është ajo:

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Mësimi - me interes!)

mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Burri. rrënja, qafat, rrënja · zbut. rizomë përçmuese, rizomë zmadhuese, pjesë nëntokësore e çdo bime. Në pemë dallohen shtylla kurrizore dhe rrënjët anësore, dhe me to ka rrënjë dhe lobe të vogla. thithjen e lagështisë. Rrënja ndodh: bulboze, ... ... Fjalori shpjegues i Dahl-it

RRËNJA, pH, pl. rni, rni, burri. 1. Pjesa nëntokësore e bimës, e cila shërben për forcimin e saj në tokë dhe thithjen e ujit dhe lëndëve ushqyese prej saj. Rrënjët ajrore (në liana dhe disa bimë të tjera të larta mbi tokë ... Fjalori shpjegues i Ozhegov

- (radix), një nga organet kryesore vegjetative të bimëve me gjethe, që shërben për t'u ngjitur me nënshtresën, për të thithur ujin prej tij dhe për të ushqyer. substancave. Filogjenetikisht, K. u ngrit më vonë se kërcelli, dhe ndoshta zbriti nga rrënjët ... ... Fjalor enciklopedik biologjik

Shih fillimin, arsyen, origjinën çrrënjos, lësho rrënjë... Fjalor sinonimish dhe shprehjesh ruse të ngjashme në kuptim. nën. ed. N. Abramova, M .: Fjalorë rusë, 1999. rrënja, fillimi, arsyeja, origjina; radikal; shtylla kurrizore, kërcelli, ...... Fjalor sinonimik

rrënjë- RRËNJA, rnya, m. 1. Shoku, shok. 2. Organi seksual mashkullor Një burrë i vogël rritet në një rrënjë rrënjë Një rrënjë e fortë është një mik i vjetër, besnik. 1. e mundur kontaminim me ndihmës… Fjalori i Argos Ruse

Në matematikë ..1) rrënja e shkallës n nga numri a është çdo numër x (shënohet, a quhet shprehje radikale), shkalla e n-të e së cilës është e barabartë me a (). Veprimi i gjetjes së rrënjës quhet nxjerrja e rrënjës2)] Rrënja e ekuacionit është numri që pas ... ...

Rrënja primare ruhet gjatë gjithë jetës në shumë halorë dhe zhvillohet në formën e një rrënjeje të fuqishme rubineti, nga e cila shtrihen ato anësore. Më rrallë, si në disa pisha, rrënja kryesore është e pazhvilluar dhe zëvendësuar nga ato anësore. Përveç të gjatë... Enciklopedia Biologjike

- (matematikore), 1) Rrënja e shkallës n të numrit a Një numër fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me numrin e dhënë a (shënohet; a quhet shprehje radikale). Akti i gjetjes së rrënjës quhet nxjerrja e rrënjës. 2) Zgjidhja e vlerës së ekuacionit ... ... Enciklopedia moderne

Në biologji, një nga organet kryesore të bimëve, i cili shërben për forcimin në tokë, thithjen e ujit, mineraleve, sintetizimin e përbërjeve organike, si dhe për izolimin e disa produkteve metabolike. Rrënja mund të jetë një vend ruajtjeje për rezervë ... ... Fjalori i madh enciklopedik

Në gjuhësi, një rrjedhë fjalësh jo derivative (e thjeshtë) që nuk përfshin asnjë ndajshtesë. Rrënja është thelbi leksikor i fjalës, domethënë mbart kuptimin e saj kryesor të vërtetë ... Fjalori i madh enciklopedik

libra

• The Root of All Evil, Williams R. Donald Bailey nuk është një adoleshent i vështirë, por thjesht i pakënaqur. Pasi kreu një akt të pariparueshëm, ai humbi besimin e miqve, dashurinë e nënës dhe qetësinë e tij. Çfarë i ka mbetur atij? Ik nga...
• Rrënja e problemit, Henry R. Brandt. Autori i këtij libri ofron një të vërtetë shumë të thjeshtë biblike të çlirimit nga të gjitha llojet e çrregullimeve mendore: ndërgjegjësimi për mëkatin si shkaku kryesor i të gjitha problemeve dhe pendimi për mëkatet e kryera. NË…