Ne do të analizojmë dy lloje të sistemeve të zgjidhjes së ekuacioneve:

1. Zgjidhja e sistemit me metodën e zëvendësimit.
2. Zgjidhja e sistemit me mbledhje (zbritje) term pas termi të ekuacioneve të sistemit.

Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve metoda e zëvendësimit ju duhet të ndiqni një algoritëm të thjeshtë:
1. Ne shprehim. Nga çdo ekuacion, ne shprehim një ndryshore.
2. Zëvendësues. Ne zëvendësojmë në një ekuacion tjetër në vend të ndryshores së shprehur, vlerën që rezulton.
3. Ekuacionin që rezulton e zgjidhim me një ndryshore. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Te zgjidhesh sistem me mbledhje (zbritje) term pas termi nevojiten:
1. Zgjidhni një variabël për të cilën do të bëjmë të njëjtat koeficientë.
2. Shtojmë ose zbresim ekuacionet, si rezultat fitojmë një ekuacion me një ndryshore.
3. Ne zgjidhim ekuacionin linear që rezulton. Ne gjejmë një zgjidhje për sistemin.

Zgjidhja e sistemit janë pikat e kryqëzimit të grafikëve të funksionit.

Le të shqyrtojmë në detaje zgjidhjen e sistemeve duke përdorur shembuj.

Shembulli #1:

Le të zgjidhim me metodën e zëvendësimit

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve me metodën e zëvendësimit

2x+5y=1 (1 ekuacion)
x-10y=3 (ekuacioni i 2-të)

1. Shprehni
Mund të shihet se në ekuacionin e dytë ekziston një ndryshore x me koeficient 1, kështu që rezulton se është më e lehtë të shprehet ndryshorja x nga ekuacioni i dytë.
x=3+10y

2. Pas shprehjes, në ekuacionin e parë zëvendësojmë 3 + 10y në vend të ndryshores x.
2(3+10y)+5y=1

3. Ekuacionin që rezulton e zgjidhim me një ndryshore.
2(3+10y)+5y=1 (kllapa të hapura)
6+20v+5y=1
25v=1-6
25v=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve janë pikat e kryqëzimit të grafikëve, prandaj duhet të gjejmë x dhe y, sepse pika e kryqëzimit përbëhet nga x dhe y. Le të gjejmë x, në paragrafin e parë ku u shprehëm zëvendësojmë y-në aty.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Është zakon të shkruajmë pikë në radhë të parë, shkruajmë variablin x, dhe në radhë të dytë ndryshoren y.
Përgjigje: (1; -0.2)

Shembulli #2:

Le të zgjidhim me mbledhje (zbritje) term pas termi.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me metodën e mbledhjes

3x-2y=1 (1 ekuacion)
2x-3y=-10 (ekuacioni i 2-të)

1. Zgjidhni një variabël, le të themi se zgjedhim x. Në ekuacionin e parë, ndryshorja x ka një koeficient 3, në të dytin - 2. Ne duhet t'i bëjmë koeficientët të njëjtë, për këtë kemi të drejtë të shumëzojmë ekuacionet ose të pjesëtojmë me çdo numër. Ekuacionin e parë e shumëzojmë me 2, dhe të dytin me 3 dhe marrim një koeficient total prej 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Nga ekuacioni i parë, zbrisni të dytin për të hequr qafe ndryshoren x. Zgjidheni ekuacionin linear.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Gjeni x. Zëvendësojmë y-në e gjetur në cilindo nga ekuacionet, le të themi në ekuacionin e parë.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Pika e kryqëzimit do të jetë x=4.6; y=6.4
Përgjigje: (4.6; 6.4)

Dëshironi të përgatiteni për provime falas? Tutor në internet falas. pa shaka.

Artikulli prezanton një koncept të tillë si përkufizimi i një sistemi ekuacionesh dhe zgjidhja e tij. Rastet e hasura shpesh të zgjidhjeve të sistemit do të shqyrtohen. Shembujt e mëposhtëm do të ndihmojnë në shpjegimin e zgjidhjes në detaje.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Përkufizimi i një sistemi ekuacionesh

Për të vazhduar me përcaktimin e një sistemi ekuacionesh, është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje dy pikave: llojit të regjistrimit dhe kuptimit të tij. Për ta kuptuar këtë, duhet të ndalemi në secilin prej llojeve në detaje, pastaj mund të vijmë te përkufizimi i sistemeve të ekuacioneve.

Për shembull, le të marrim dy ekuacione 2 x + y = - 3 dhe x = 5 , pas së cilës kombinojmë me një kllapa kaçurrelë të një plani të tillë:

2 x + y = - 3 , x = 5 .

Ekuacionet e bashkuara nga një mbajtës kaçurrelë konsiderohen të jenë regjistrime të sistemeve të ekuacioneve. Ato përcaktojnë grupe zgjidhjesh për ekuacionet e sistemit të caktuar. Çdo zgjidhje duhet të jetë një zgjidhje për të gjitha ekuacionet e dhëna.

Me fjalë të tjera, kjo do të thotë se çdo zgjidhje për ekuacionin e parë do të jetë zgjidhje për të gjitha ekuacionet e bashkuara nga sistemi.

Përkufizimi 1

Sistemet e ekuacioneveështë një numër ekuacionesh, të bashkuara nga një kllapë kaçurrelë, që ka shumë zgjidhje ekuacionesh që janë njëkohësisht zgjidhje për të gjithë sistemin.

Llojet kryesore të sistemeve të ekuacioneve

Ka mjaft lloje ekuacionesh, si sistemet e ekuacioneve. Për ta bërë të përshtatshëm zgjidhjen dhe studimin e tyre, ato ndahen në grupe sipas karakteristikave të caktuara. Kjo do të ndihmojë në shqyrtimin e sistemeve të ekuacioneve të llojeve të caktuara.

Për të filluar, ekuacionet klasifikohen sipas numrit të ekuacioneve. Nëse ka një ekuacion, atëherë ai është një ekuacion i zakonshëm, nëse ka më shumë prej tyre, atëherë kemi të bëjmë me një sistem të përbërë nga dy ose më shumë ekuacione.

Një klasifikim tjetër ndikon në numrin e variablave. Kur numri i variablave është 1, themi se kemi të bëjmë me një sistem ekuacionesh me një të panjohur, kur 2 - me dy ndryshore. Konsideroni një shembull

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Natyrisht, sistemi i ekuacioneve përfshin dy ndryshore x dhe y.

Kur shkruani ekuacione të tilla, merret parasysh numri i të gjitha variablave në regjistrim. Prania e tyre në çdo ekuacion është fakultative. Të paktën një ekuacion duhet të ketë një ndryshore. Shqyrtoni një shembull të një sistemi ekuacionesh

2 x \u003d 11, x - 3 z 2 \u003d 0, 2 7 x + y - z \u003d - 3

Ky sistem ka 3 variabla x, y, z. Ekuacioni i parë ka x eksplicite dhe të nënkuptuar y dhe z. Variablat e nënkuptuar janë variabla që kanë 0 në koeficient. Ekuacioni i dytë ka x dhe z dhe y është një ndryshore implicite. Përndryshe mund të shkruhet kështu

2 x + 0 y + 0 z = 11

Dhe ekuacioni tjetër është x + 0 · y − 3 · z = 0 .

Klasifikimi i tretë i ekuacioneve është forma. Shkolla mëson ekuacione të thjeshta dhe sisteme ekuacionesh, duke filluar me sistemet e dy ekuacioneve lineare me dy ndryshore . Do të thotë që sistemi përfshin 2 ekuacione lineare. Për shembull, merrni parasysh

2 x - y = 1 , x + 2 y = - 1 dhe - 3 x + y = 0 . 5 , x + 2 2 3 y = 0

Këto janë ekuacione themelore të thjeshta lineare. Më tej, mund të hasni sisteme që përmbajnë 3 ose më shumë të panjohura.

Në klasën e 9-të zgjidhin ekuacione me dy ndryshore dhe jolineare. Në ekuacionet me numra të plotë, eksponenti rritet për të rritur kompleksitetin. Sisteme të tilla quhen sisteme ekuacionesh jolineare me një numër të caktuar ekuacionesh dhe të panjohurash. Konsideroni shembuj të sistemeve të tilla

x 2 - 4 x y = 1 , x - y = 2 dhe x = y 3 x y = - 5

Të dy sistemet janë me dy variabla dhe të dy janë jolinearë.

Kur zgjidhni, mund të plotësoni ekuacione racionale të pjesshme. për shembull

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Ata thjesht mund ta quajnë atë një sistem ekuacionesh pa specifikuar se cilat prej tyre. Rrallë specifikoni llojin e vetë sistemit.

Klasat e larta kalojnë në studimin e irracionales, trigonometrike dhe ekuacionet eksponenciale. Për shembull,

x + y - x y = 5 , 2 x y = 3 , x + y = 5 π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Institucionet e arsimit të lartë studiojnë dhe hulumtojnë zgjidhje për sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE). Ana e majtë e ekuacioneve të tilla përmban polinome me shkallën e parë, dhe ana e djathtë përmban disa numra. Dallimi nga ato shkollore është se numri i variablave dhe numri i ekuacioneve mund të jetë arbitrar, më shpesh jo i njëjtë.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve

Përkufizimi 2

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me dy ndryshoreështë një çift variablash që, kur zëvendësohen, e kthen çdo ekuacion në një pabarazi numerike të vërtetë, domethënë është një zgjidhje për çdo ekuacion të këtij sistemi.

Për shembull, një palë vlerash x \u003d 5 dhe y \u003d 2 janë zgjidhja e sistemit të ekuacioneve x + y \u003d 7, x - y \u003d 3. Sepse gjatë zëvendësimit, ekuacionet kthehen në pabarazi numerike të vërteta 5 + 2 = 7 dhe 5 − 2 = 3. Nëse zëvendësojmë çiftin x = 3 dhe y = 0, atëherë sistemi nuk do të zgjidhet, pasi zëvendësimi nuk do të japë ekuacionin e saktë, domethënë, do të marrim 3 + 0 = 7.

Le të formulojmë një përkufizim për sistemet që përmbajnë një ose më shumë variabla.

Përkufizimi 3

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh me një ndryshore- kjo është vlera e ndryshores, e cila është rrënja e ekuacioneve të sistemit, që do të thotë se të gjitha ekuacionet do të shndërrohen në barazime numerike të vërteta.

Shqyrtoni shembullin e një sistemi ekuacionesh me një ndryshore t

t 2 \u003d 4, 5 (t + 2) \u003d 0

Numri - 2 është zgjidhje e ekuacionit, pasi (− 2) · 2 = 4 , dhe 5 · (− 2 + 2) = 0 janë barazime numerike të sakta. Për t = 1, sistemi nuk zgjidhet, pasi gjatë zëvendësimit, marrim dy barazi të pasakta 12 = 4 dhe 5 · (1 + 2) = 0 .

Përkufizimi 4

Zgjidhja e një sistemi me tre ose më shumë ndryshore quaj respektivisht një treshe, një katërfish dhe vlera të tjera, të cilat i kthejnë të gjitha ekuacionet e sistemit në barazi të vërteta.

Nëse kemi vlerat e ndryshoreve x = 1, y = 2, z = 0, atëherë duke i zëvendësuar ato në sistemin e ekuacioneve 2 x = 2, 5 y = 10, x + y + z = 3, marrim 2 1 = 2, 5 2 = 10 dhe 1 + 2 + 0 = 3. Pra, këto pabarazi numerike janë të vërteta. Dhe vlerat (1, 0, 5) nuk do të jenë zgjidhje, pasi, duke zëvendësuar vlerat, e dyta prej tyre do të jetë e gabuar, si dhe e treta: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3 .

Sistemet e ekuacioneve mund të mos kenë fare zgjidhje ose të kenë një grup të pafund. Kjo mund të shihet me një studim të thelluar të kësaj teme. Mund të konkludohet se sistemi i ekuacioneve është kryqëzimi i bashkësive të zgjidhjeve të të gjitha ekuacioneve të tij. Le të zbërthejmë disa përkufizime:

Përkufizimi 5

të papajtueshme një sistem ekuacionesh quhet kur nuk ka zgjidhje, ndryshe quhet të përbashkët.

Përkufizimi 6

E pasigurt një sistem quhet kur ka një numër të pafund zgjidhjesh, dhe të caktuara me një numër të kufizuar zgjidhjesh ose në mungesë të tyre.

Terma të tillë përdoren rrallë në shkollë, pasi ato llogariten për programet e arsimit të lartë. institucionet arsimore. Njohja me sistemet ekuivalente do të thellojë njohuritë ekzistuese për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Sistemet e ekuacioneve lineare.

Një sistem ekuacionesh quhet linear nëse të gjitha ekuacionet në sistem janë lineare. Është zakon të shkruhet një sistem ekuacionesh duke përdorur kllapa kaçurrelë, për shembull:

Përkufizimi:Një çift vlerash variablash që shndërrohen në një barazi të vërtetë çdo ekuacion me dy ndryshore të përfshira në sistem quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh.

Zgjidheni sistemin do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e tij ose të provosh se nuk ka zgjidhje.

Kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare, tre rastet e mëposhtme janë të mundshme:

sistemi nuk ka zgjidhje;

sistemi ka saktësisht një zgjidhje;

Sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje.
Unë . Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare me metodën e zëvendësimit.

Kjo metodë mund të quhet edhe "metoda e zëvendësimit" ose metoda e eliminimit të të panjohurave.

Këtu kemi një sistem prej dy ekuacionesh me dy të panjohura. Vini re se termat e lirë (numrat -5 dhe -7) ndodhen në anën e majtë të ekuacionit. Ne e shkruajmë sistemin në formën e zakonshme.

Mos harroni se kur transferoni një term nga një pjesë në tjetrën, duhet të ndryshoni shenjën e tij.

Çfarë do të thotë të zgjidhësh një sistem ekuacionesh lineare? Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh nënkupton gjetjen e vlerave të tilla të ndryshoreve që e kthejnë çdo ekuacion të sistemit në një barazi të vërtetë. Ky pohim është i vërtetë për çdo sistem ekuacionesh me çdo numër të panjohurash.

Ne vendosim.

Nga ekuacioni i parë i sistemit shprehim:
. Ky është zëvendësimi.

Shprehja që rezulton zëvendësohet në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të ndryshores

Le ta zgjidhim këtë ekuacion për një ndryshore.
Hapim kllapat, japim terma të ngjashëm dhe gjejmë vlerën :

4) Më pas, kthehemi te zëvendësimi për të llogaritur vlerën Tashmë e dimë vlerën, mbetet të gjejmë:

5) Çift
është e vetmja zgjidhje për sistemin e dhënë.

Përgjigje: (2.4; 2.2).

Pasi çdo sistem ekuacionesh të jetë zgjidhur në çfarëdo mënyre, unë rekomandoj fuqimisht që ta kontrolloni atë në një draft. Kjo bëhet lehtësisht dhe shpejt.

1) Zëvendësoni përgjigjen e gjetur në ekuacionin e parë:

- fitohet barazia e saktë.

2) Ne e zëvendësojmë përgjigjen e gjetur në ekuacionin e dytë:

- fitohet barazia e saktë.

Metoda e konsideruar e zgjidhjes nuk është e vetmja; nga ekuacioni i parë ishte e mundur të shprehej, por jo.

Ju mund të anasjelltas - të shprehni diçka nga ekuacioni i dytë dhe ta zëvendësoni atë në ekuacionin e parë. Megjithatë, është e nevojshme të vlerësohet zëvendësimi në mënyrë që të përmbajë sa më pak shprehje thyesore. Mënyra më e pafavorshme nga katër mënyrat është të shprehet nga ekuacioni i dytë ose i parë:

ose

Megjithatë, në disa raste, fraksionet janë ende të domosdoshme. Çdo detyrë duhet të përpiqet ta kryejë në mënyrën më racionale. Kjo kursen kohë dhe gjithashtu zvogëlon mundësinë për të bërë një gabim.
Shembulli 2

Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare

II. Zgjidhja e sistemit me metodën shtimi algjebrik(zbritja) e ekuacioneve të sistemit

Gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare, nuk mund të përdoret metoda e zëvendësimit, por metoda e mbledhjes (zbritjes) algjebrike të ekuacioneve të sistemit. Kjo metodë kursen kohë dhe thjeshton llogaritjet, megjithatë, tani do të bëhet gjithnjë e më e qartë.

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve lineare:

Le të marrim të njëjtin sistem si shembulli i parë.

1) Duke analizuar sistemin e ekuacioneve, vërejmë se koeficientët e ndryshores y janë identikë në vlerë absolute dhe të kundërta në shenjë (–1 dhe 1). Në këtë situatë, ekuacionet mund të shtohen term pas termi:

2) Le të zgjidhim këtë ekuacion për një ndryshore.

Siç mund ta shihni, si rezultat i mbledhjes termike, ne kemi humbur variablin . Ky, në fakt, është thelbi i metodës - për të hequr qafe një nga variablat.

3) Tani gjithçka është e thjeshtë:
- zëvendësojeni në ekuacionin e parë të sistemit (mundeni edhe në të dytin):

AT duke përfunduar zgjidhja duhet të duket diçka si kjo:

Përgjigje: (2.4; 2.2).

Shembulli 4

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve lineare:

Në këtë shembull, ju mund të përdorni metodën e zëvendësimit, por minusi i madh është se kur shprehim ndonjë ndryshore nga çdo ekuacion, do të marrim një zgjidhje në thyesat e zakonshme. Pak njerëz i pëlqejnë veprimet me thyesa, që do të thotë se është humbje kohe dhe ka një probabilitet të lartë për të bërë një gabim.

Prandaj, këshillohet përdorimi i mbledhjes (zbritjes) term pas termi të ekuacioneve. Ne analizojmë koeficientët për variablat përkatëse:

Siç mund ta shihni, numrat në çifte (14 dhe 7), (-9 dhe -2) janë të ndryshëm, prandaj, nëse i shtojmë (zbresim) ekuacionet tani, nuk do të shpëtojmë nga ndryshorja. Kështu, unë do të doja të shihja në njërën nga çiftet të njëjtat numra moduli, për shembull, 14 dhe -14 ose 18 dhe -18.

Ne do të shqyrtojmë koeficientët e ndryshores.

14x - 9v \u003d 24;

7x - 2vj \u003d 17.
Ne zgjedhim një numër që do të plotpjesëtohet edhe me 14 edhe me 7, dhe duhet të jetë sa më i vogël. Në matematikë, një numër i tillë quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët. Nëse jeni në humbje me përzgjedhjen, atëherë thjesht mund të shumëzoni koeficientët.

Ne e shumëzojmë ekuacionin e dytë me 14: 7 \u003d 2.

Si rezultat:

Tani zbritni të dytën nga ekuacioni i parë termi për term.

Duhet të theksohet se do të ishte anasjelltas - zbritni të parën nga ekuacioni i dytë, kjo nuk ndryshon asgjë.

Tani ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur në një nga ekuacionet e sistemit, për shembull, në atë të parën:

Përgjigje: (3:2)

Le ta zgjidhim sistemin në një mënyrë tjetër. Konsideroni koeficientët për variablin .

14x - 9v \u003d 24;

7x - 2vj \u003d 17.

Natyrisht, në vend të një çifti koeficientësh (-9 dhe -3), duhet të marrim 18 dhe -18.

Për ta bërë këtë, shumëzoni ekuacionin e parë me (-2), shumëzoni ekuacionin e dytë me 9:

Shtojmë ekuacionet term pas termi dhe gjejmë vlerat e variablave:

Tani ne e zëvendësojmë vlerën e gjetur të x në një nga ekuacionet e sistemit, për shembull, në atë të parën:

Përgjigje: (3:2)

Metoda e dytë është disi më racionale se e para, pasi shtimi është më i lehtë dhe më i këndshëm sesa zbritja. Më shpesh, kur zgjidhin sisteme, ato priren të shtojnë dhe shumëzojnë, në vend që të zbresin dhe pjesëtojnë.
Shembulli 5

Zgjidheni sistemin e ekuacioneve lineare:

Ky është një shembull për një zgjidhje të pavarur (përgjigja në fund të leksionit).
Shembulli 6

Zgjidh një sistem ekuacionesh

Vendimi. Sistemi nuk ka zgjidhje, pasi dy ekuacione të sistemit nuk mund të plotësohen njëkohësisht (nga ekuacioni i parë
dhe nga e dyta

Përgjigje: Nuk ka zgjidhje.
Shembulli 7

zgjidh sistemin e ekuacioneve

Vendimi. Sistemi ka pafundësisht shumë zgjidhje, pasi ekuacioni i dytë merret nga i pari duke shumëzuar me 2 (d.m.th., në fakt, ekziston vetëm një ekuacion me dy të panjohura).

Përgjigje: Pafundësisht shumë zgjidhje.
III. Zgjidhja e sistemit duke përdorur matricat.

Përcaktori i këtij sistemi është përcaktor i përbërë nga koeficientët e të panjohurave. Ky përcaktues

Sistemet e ekuacioneve të marra aplikim të gjerë në industria ekonomike në modelimin matematikor të proceseve të ndryshme. Për shembull, kur zgjidhen problemet e menaxhimit dhe planifikimit të prodhimit, rrugëve të logjistikës (problemi i transportit) ose vendosjes së pajisjeve.

Sistemet e ekuacioneve përdoren jo vetëm në fushën e matematikës, por edhe në fizikë, kimi dhe biologji, kur zgjidhen problemet e gjetjes së madhësisë së popullsisë.

Një sistem ekuacionesh lineare është një term për dy ose më shumë ekuacione me disa ndryshore për të cilat është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përbashkët. Një sekuencë e tillë numrash për të cilat të gjitha ekuacionet bëhen barazi të vërteta ose vërtetojnë se sekuenca nuk ekziston.

Ekuacioni linear

Ekuacionet e trajtës ax+by=c quhen lineare. Emërtimet x, y janë të panjohurat, vlera e të cilave duhet gjetur, b, a janë koeficientët e variablave, c është termi i lirë i ekuacionit.
Zgjidhja e ekuacionit duke vizatuar grafikun e tij do të duket si një drejtëz, të gjitha pikat e së cilës janë zgjidhje e polinomit.

Llojet e sistemeve të ekuacioneve lineare

Më të thjeshtët janë shembuj të sistemeve të ekuacioneve lineare me dy ndryshore X dhe Y.

F1(x, y) = 0 dhe F2(x, y) = 0, ku F1,2 janë funksione dhe (x, y) janë variabla funksioni.

Zgjidh një sistem ekuacionesh - do të thotë të gjesh vlera të tilla (x, y) në të cilat sistemi kthehet në një barazi të vërtetë ose të vendosësh që vlerat e përshtatshme x dhe y nuk ekzistojnë.

Një çift vlerash (x, y), të shkruara si koordinata pikash, quhet zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare.

Nëse sistemet kanë një zgjidhje të përbashkët ose nuk ka zgjidhje, ato quhen ekuivalente.

Sistemet homogjene të ekuacioneve lineare janë sisteme ana e djathtë e të cilave është e barabartë me zero. Nëse pjesa e djathtë pas shenjës "e barabartë" ka një vlerë ose shprehet me një funksion, një sistem i tillë nuk është homogjen.

Numri i variablave mund të jetë shumë më tepër se dy, atëherë duhet të flasim për një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare me tre ndryshore ose më shumë.

Përballë sistemeve, nxënësit e shkollës supozojnë se numri i ekuacioneve duhet domosdoshmërisht të përkojë me numrin e të panjohurave, por kjo nuk është kështu. Numri i ekuacioneve në sistem nuk varet nga variablat, mund të ketë një numër arbitrarisht të madh të tyre.

Metoda të thjeshta dhe komplekse për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve

Nuk ka asnjë mënyrë të përgjithshme analitike për të zgjidhur sisteme të tilla, të gjitha metodat bazohen në zgjidhje numerike. Kursi i matematikës shkollore përshkruan në detaje metoda të tilla si ndryshimi, mbledhja algjebrike, zëvendësimi, si dhe metoda grafike dhe matricore, zgjidhja me metodën e Gausit.

Detyra kryesore në metodat mësimore të zgjidhjes është të mësoni se si të analizoni saktë sistemin dhe të gjeni algoritmin optimal të zgjidhjes për secilin shembull. Gjëja kryesore nuk është të mësosh përmendësh një sistem rregullash dhe veprimesh për secilën metodë, por të kuptosh parimet e aplikimit të një metode të veçantë.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare të klasës së 7-të të programit shkollor të arsimit të përgjithshëm është mjaft e thjeshtë dhe shpjegohet me shumë detaje. Në çdo tekst shkollor të matematikës, këtij seksioni i kushtohet vëmendje e mjaftueshme. Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e Gauss dhe Cramer është studiuar më hollësisht në kurset e para të institucioneve të arsimit të lartë.

Zgjidhja e sistemeve me metodën e zëvendësimit

Veprimet e metodës së zëvendësimit synojnë të shprehin vlerën e një ndryshore përmes të dytës. Shprehja zëvendësohet në ekuacionin e mbetur, pastaj reduktohet në një formë të vetme variabël. Veprimi përsëritet në varësi të numrit të të panjohurave në sistem

Le të japim një shembull të një sistemi ekuacionesh lineare të klasës së 7-të me metodën e zëvendësimit:

Siç shihet nga shembulli, ndryshorja x u shpreh përmes F(X) = 7 + Y. Shprehja rezultuese, e zëvendësuar në ekuacionin e dytë të sistemit në vend të X, ndihmoi në marrjen e një ndryshoreje Y në ekuacionin e dytë. . Vendimi ky shembull nuk shkakton vështirësi dhe ju lejon të merrni vlerën Y. Hapi i fundit është kontrollimi i vlerave të marra.

Nuk është gjithmonë e mundur të zgjidhet një shembull i një sistemi ekuacionesh lineare me zëvendësim. Ekuacionet mund të jenë komplekse dhe shprehja e ndryshores në termat e të panjohurës së dytë do të jetë shumë e rëndë për llogaritjet e mëtejshme. Kur ka më shumë se 3 të panjohura në sistem, zgjidhja e zëvendësimit është gjithashtu jopraktike.

Zgjidhja e një shembulli të një sistemi ekuacionesh lineare johomogjene:

Zgjidhje duke përdorur mbledhjen algjebrike

Kur kërkoni një zgjidhje për sistemet me metodën e mbledhjes, mbledhjes term-pas-term dhe shumëzimit të ekuacioneve me numra të ndryshëm. qëllimi përfundimtar operacionet matematikoreështë një ekuacion me një ndryshore.

Për aplikime kjo metodë duhet praktikë dhe vëzhgim. Nuk është e lehtë të zgjidhësh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën e mbledhjes me numrin e ndryshoreve 3 ose më shumë. Mbledhja algjebrike është e dobishme kur ekuacionet përmbajnë thyesa dhe numra dhjetorë.

Algoritmi i veprimit të zgjidhjes:

1. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një numër. Si rezultat i veprimit aritmetik, një nga koeficientët e ndryshores duhet të bëhet i barabartë me 1.
2. Shtoni shprehjen që rezulton term pas termi dhe gjeni një nga të panjohurat.
3. Zëvendësoni vlerën që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit për të gjetur variablin e mbetur.

Metoda e zgjidhjes duke futur një ndryshore të re

Një variabël i ri mund të futet nëse sistemi duhet të gjejë një zgjidhje për jo më shumë se dy ekuacione, numri i të panjohurave gjithashtu duhet të jetë jo më shumë se dy.

Metoda përdoret për të thjeshtuar një nga ekuacionet duke futur një ndryshore të re. Ekuacioni i ri zgjidhet në lidhje me të panjohurën e futur dhe vlera që rezulton përdoret për të përcaktuar variablin origjinal.

Nga shembulli mund të shihet se duke futur një ndryshore të re t, u bë e mundur të reduktohet ekuacioni i parë i sistemit në një trinom standard katror. Ju mund të zgjidhni një polinom duke gjetur diskriminuesin.

Është e nevojshme të gjendet vlera e diskriminuesit duke përdorur formulën e njohur: D = b2 - 4*a*c, ku D është diskriminuesi i dëshiruar, b, a, c janë shumëzuesit e polinomit. Në shembullin e dhënë, a=1, b=16, c=39, pra D=100. Nëse diskriminuesi është më i madh se zero, atëherë ekzistojnë dy zgjidhje: t = -b±√D / 2*a, nëse diskriminuesi më pak se zero, atëherë ka vetëm një zgjidhje: x= -b / 2*a.

Zgjidhja për sistemet rezultuese gjendet me metodën e shtimit.

Një metodë vizuale për zgjidhjen e sistemeve

I përshtatshëm për sisteme me 3 ekuacione. Metoda është të ndërtohet mbi boshti koordinativ grafikët e çdo ekuacioni të përfshirë në sistem. Koordinatat e pikave të prerjes së kthesave dhe do të jenë zgjidhje e përbashkët sistemeve.

Metoda grafike ka një numër nuancash. Shqyrtoni disa shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare në mënyrë vizuale.

Siç shihet nga shembulli, dy pika u ndërtuan për secilën rresht, vlerat e ndryshores x u zgjodhën në mënyrë arbitrare: 0 dhe 3. Bazuar në vlerat e x, u gjetën vlerat për y: 3 dhe 0. Pikat me koordinatat (0, 3) dhe (3, 0) janë shënuar në grafik dhe janë lidhur me një vijë.

Hapat duhet të përsëriten për ekuacionin e dytë. Pika e prerjes së vijave është zgjidhja e sistemit.

Në shembullin e mëposhtëm, kërkohet të gjendet një zgjidhje grafike e sistemit të ekuacioneve lineare: 0,5x-y+2=0 dhe 0,5x-y-1=0.

Siç shihet nga shembulli, sistemi nuk ka zgjidhje, sepse grafikët janë paralelë dhe nuk kryqëzohen në të gjithë gjatësinë e tyre.

Sistemet nga Shembujt 2 dhe 3 janë të ngjashëm, por kur ndërtohen, bëhet e qartë se zgjidhjet e tyre janë të ndryshme. Duhet mbajtur mend se nuk është gjithmonë e mundur të thuhet nëse sistemi ka një zgjidhje apo jo, është gjithmonë e nevojshme të ndërtohet një grafik.

Matrica dhe varietetet e saj

Matricat përdoren për të shkruar shkurtimisht një sistem ekuacionesh lineare. Një tabelë quhet matricë. lloj i veçantë e mbushur me numra. n*m ka n - rreshta dhe m - kolona.

Një matricë është katror kur numri i kolonave dhe rreshtave është i barabartë. Një matricë - një vektor është një matricë e një kolone me pafundësi numri i mundshëm linjat. Një matricë me njësi përgjatë njërës prej diagonaleve dhe elementëve të tjerë zero quhet identitet.

Një matricë e kundërt është një matricë e tillë, kur shumëzohet me të cilën ajo origjinale kthehet në një njësi, një matricë e tillë ekziston vetëm për atë katrore origjinale.

Rregullat për shndërrimin e një sistemi ekuacionesh në një matricë

Në lidhje me sistemet e ekuacioneve, koeficientët dhe anëtarët e lirë të ekuacioneve shkruhen si numra të matricës, një ekuacion është një rresht i matricës.

Një rresht matricë quhet jo zero nëse të paktën një element i rreshtit nuk është i barabartë me zero. Prandaj, nëse në ndonjë nga ekuacionet numri i variablave ndryshon, atëherë është e nevojshme të futet zero në vend të të panjohurës që mungon.

Kolonat e matricës duhet të korrespondojnë rreptësisht me variablat. Kjo do të thotë se koeficientët e ndryshores x mund të shkruhen vetëm në një kolonë, për shembull e para, koeficienti i të panjohurës y - vetëm në të dytën.

Kur shumëzoni një matricë, të gjithë elementët e matricës shumëzohen në mënyrë të njëpasnjëshme me një numër.

Opsione për gjetjen e matricës së kundërt

Formula për gjetjen e matricës së kundërt është mjaft e thjeshtë: K -1 = 1 / |K|, ku K -1 është matrica e kundërt dhe |K| - përcaktor i matricës. |K| nuk duhet të jetë e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje.

Përcaktori llogaritet lehtësisht për një matricë dy-nga-dy, është e nevojshme vetëm të shumëzohen elementët diagonalisht me njëri-tjetrin. Për opsionin "tre nga tre", ekziston një formulë |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Ju mund të përdorni formulën, ose mund të mbani mend se duhet të merrni një element nga çdo rresht dhe çdo kolonë në mënyrë që numrat e kolonave dhe rreshtave të elementeve të mos përsëriten në produkt.

Zgjidhja e shembujve të sistemeve të ekuacioneve lineare me metodën e matricës

Metoda e matricës për gjetjen e një zgjidhjeje bën të mundur reduktimin e shënimeve të rënda gjatë zgjidhjes së sistemeve me sasi e madhe variablat dhe ekuacionet.

Në shembull, një nm janë koeficientët e ekuacioneve, matrica është një vektor x n janë variablat dhe b n janë termat e lirë.

Zgjidhja e sistemeve me metodën e Gausit

Në matematikën e lartë, metoda e Gausit studiohet së bashku me metodën Cramer dhe procesi i gjetjes së një zgjidhjeje për sistemet quhet metoda e zgjidhjes Gauss-Cramer. Këto metoda përdoren për të gjetur variablat e sistemit me shumë ekuacione lineare.

Metoda Gaussian është shumë e ngjashme me zgjidhjet e zëvendësimit dhe të mbledhjes algjebrike, por është më sistematike. Në kursin shkollor, zgjidhja Gaussian përdoret për sistemet me 3 dhe 4 ekuacione. Qëllimi i metodës është të sjellë sistemin në formën e një trapezi të përmbysur. Me shndërrime dhe zëvendësime algjebrike, vlera e një ndryshoreje gjendet në një nga ekuacionet e sistemit. Ekuacioni i dytë është një shprehje me 2 të panjohura, dhe 3 dhe 4 - me 3 dhe 4 ndryshore, respektivisht.

Pas sjelljes së sistemit në formën e përshkruar, zgjidhja e mëtejshme reduktohet në zëvendësimin vijues të variablave të njohur në ekuacionet e sistemit.

Në tekstet shkollore për klasën 7, një shembull i një zgjidhjeje Gaussian përshkruhet si më poshtë:

Siç shihet nga shembulli, në hapin (3) janë marrë dy ekuacione 3x 3 -2x 4 =11 dhe 3x 3 +2x 4 =7. Zgjidhja e cilitdo prej ekuacioneve do t'ju lejojë të zbuloni një nga variablat x n.

Teorema 5, e cila përmendet në tekst, thotë se nëse një nga ekuacionet e sistemit zëvendësohet me një ekuivalent, atëherë sistemi që rezulton do të jetë gjithashtu i barabartë me atë origjinal.

Metoda e Gausit është e vështirë për t'u kuptuar nga studentët gjimnaz, por është një nga më mënyra interesante për të zhvilluar zgjuarsinë e fëmijëve të regjistruar në programin e studimit të avancuar në klasat e matematikës dhe fizikës.

Për lehtësinë e regjistrimit të llogaritjeve, është zakon të bëni sa më poshtë:

Koeficientët e ekuacionit dhe termat e lirë shkruhen në formën e një matrice, ku çdo rresht i matricës korrespondon me një nga ekuacionet e sistemit. ndan anën e majtë të ekuacionit nga ana e djathtë. Numrat romakë tregojnë numrin e ekuacioneve në sistem.

Së pari, ata shkruajnë matricën me të cilën do të punojnë, pastaj të gjitha veprimet e kryera me një nga rreshtat. Matrica që rezulton shkruhet pas shenjës "shigjeta" dhe vazhdon të kryejë veprimet e nevojshme algjebrike derisa të arrihet rezultati.

Si rezultat, duhet të merret një matricë në të cilën një nga diagonalet është 1, dhe të gjithë koeficientët e tjerë janë të barabartë me zero, domethënë, matrica reduktohet në një formë të vetme. Nuk duhet të harrojmë të bëjmë llogaritjet me numrat e të dy anëve të ekuacionit.

Ky shënim është më pak i rëndë dhe ju lejon të mos shpërqendroheni duke renditur shumë të panjohura.

Aplikimi falas i çdo metode zgjidhjeje do të kërkojë kujdes dhe një përvojë të caktuar. Jo të gjitha metodat aplikohen. Disa mënyra për të gjetur zgjidhje janë më të preferuara në një fushë të caktuar të veprimtarisë njerëzore, ndërsa të tjera ekzistojnë për qëllimin e të mësuarit.

Me këtë program matematikor, ju mund të zgjidhni një sistem me dy ekuacione lineare me dy ndryshore duke përdorur metodën e zëvendësimit dhe metodën e mbledhjes.

Programi jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por edhe udhëheq zgjidhje e detajuar me shpjegime të hapave të zgjidhjes në dy mënyra: metoda e zëvendësimit dhe metoda e mbledhjes.

Ky program Mund të jetë e dobishme për nxënësit e shkollave të mesme shkollat ​​e arsimit të përgjithshëm në përgatitje për puna e kontrollit dhe provimet, gjatë testimit të njohurive para provimit, prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju që të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt të jetë e mundur? detyre shtepie matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me një zgjidhje të detajuar.

Në këtë mënyrë ju mund të zhvilloni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin e vëllezërve apo motrave tuaja më të vogla, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e detyrave që do të zgjidhen.

Rregullat për futjen e ekuacioneve

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etj.

Kur futen ekuacionet mund të përdorni kllapa. Në këtë rast, ekuacionet thjeshtohen fillimisht. Ekuacionet pas thjeshtimeve duhet të jenë lineare, d.m.th. të formës ax+nga+c=0 me saktësinë e renditjes së elementeve.
Për shembull: 6x+1 = 5(x+y)+2

Në ekuacione, ju mund të përdorni jo vetëm numra të plotë, por edhe numra thyesorë në formën e thyesave dhjetore dhe të zakonshme.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Pjesë e plotë dhe thyesore thyesat dhjetore mund të ndahet ose me pikë ose me presje.
Për shembull: 2.1n + 3.5m = 55

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.
Emëruesi nuk mund të jetë negativ.
Kur hyni thyesa numerike Numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
Pjesa e plotë ndahet nga thyesa me një ampersand: &

Shembuj.
-1&2/3v + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Zgjidh një sistem ekuacionesh

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë detyrë nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

Ju keni JavaScript të çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
JavaScript duhet të aktivizohet që zgjidhja të shfaqet.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz që duan të zgjidhin problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Pas disa sekondash, zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Prisni ju lutem sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për të në formularin e komenteve.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare. Metoda e zëvendësimit

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare me metodën e zëvendësimit:
1) shpreh një variabël nga një ekuacion i sistemit në terma të një tjetri;
2) zëvendësoni shprehjen që rezulton në një ekuacion tjetër të sistemit në vend të kësaj ndryshore;

$$ \majtas\( \fillimi(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \djathtas. $$

Le të shprehemi nga ekuacioni i parë y deri në x: y = 7-3x. Duke zëvendësuar shprehjen 7-3x në vend të y në ekuacionin e dytë, marrim sistemin:
$$ \majtas\( \fillimi(grupi)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \djathtas. $$

Është e lehtë të tregohet se sistemi i parë dhe i dytë kanë të njëjtat zgjidhje. Në sistemin e dytë, ekuacioni i dytë përmban vetëm një ndryshore. Le të zgjidhim këtë ekuacion:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Shigjeta djathtas -5x+14-6x=3 \Shigjeta djathtas -11x=-11 \Shigjeta djathtas x=1 $$

Duke zëvendësuar numrin 1 në vend të x në ekuacionin y=7-3x, gjejmë vlerën përkatëse të y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Djathtas y=4 $$

Çifti (1;4) - zgjidhje e sistemit

Quhen sisteme ekuacionesh në dy ndryshore që kanë zgjidhje të njëjta ekuivalente. Sistemet që nuk kanë zgjidhje konsiderohen gjithashtu ekuivalente.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke mbledhur

Konsideroni një mënyrë tjetër për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare - metodën e mbledhjes. Kur zgjidhim sistemet në këtë mënyrë, si dhe kur zgjidhim me metodën e zëvendësimit, kalojmë nga një sistem i caktuar në një sistem tjetër ekuivalent me të, në të cilin njëri prej ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Sekuenca e veprimeve kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare me metodën e mbledhjes:
1) shumëzoni ekuacionet e sistemit term me term, duke zgjedhur faktorët në mënyrë që koeficientët për një nga variablat të bëhen numra të kundërt;
2) shtoni term pas termi pjesët e majta dhe të djathta të ekuacioneve të sistemit;
3) zgjidh ekuacionin që rezulton me një ndryshore;
4) gjeni vlerën përkatëse të ndryshores së dytë.

Shembull. Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:
$$ \majtas\( \fillimi(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Në ekuacionet e këtij sistemi, koeficientët e y janë numra të kundërt. Duke mbledhur term pas termi pjesët e majta dhe të djathta të ekuacioneve, marrim një ekuacion me një ndryshore 3x=33. Le të zëvendësojmë një nga ekuacionet e sistemit, për shembull të parën, me ekuacionin 3x=33. Le të marrim sistemin
$$ \majtas\( \fillimi(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \djathtas. $$

Nga ekuacioni 3x=33 gjejmë se x=11. Duke e zëvendësuar këtë vlerë x në ekuacionin \(x-3y=38 \) marrim një ekuacion me ndryshoren y: \(11-3y=38 \). Le të zgjidhim këtë ekuacion:
\(-3y=27 \Djathtas y=-9 \)

Kështu, ne gjetëm zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve duke shtuar: \(x=11; y=-9 \) ose \((11; -9) \)

Duke përfituar nga fakti se në ekuacionet e sistemit koeficientët e y janë numra të kundërt, zgjidhjen e tij e reduktuam në zgjidhjen e një sistemi ekuivalent (duke mbledhur të dyja pjesët e secilit prej ekuacioneve të simemës origjinale), në të cilin një e ekuacioneve përmban vetëm një ndryshore.

Libra (tekste shkollore) Abstrakte të Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe teste OGE në internet Lojëra, enigma Grafiku i funksioneve Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse Fjalori i zhargonit të të rinjve Katalogu i shkollave ruse Katalogu i shkollave të mesme në Rusi Katalogu i universiteteve ruse Lista e detyrave