Si të zëvendësohet një shprehje me identike të barabartë. Transformimet e identitetit

Konsideroni dy barazi:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Kjo barazi do të jetë e vlefshme për çdo vlerë të ndryshores a. Gama e vlerave të vlefshme për atë barazi do të jetë i gjithë grupi i numrave realë.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Kjo pabarazi do të mbahet për të gjitha vlerat e ndryshores a, me përjashtim të një të barabartë me zero. Gama e vlerave të pranueshme për këtë pabarazi do të jetë i gjithë grupi i numrave realë, përveç zeros.

Për secilën prej këtyre barazive, mund të argumentohet se do të jetë e vërtetë për cilindo vlerat e lejuara variablat a. Ekuacione të tilla në matematikë quhen identitetet.

Koncepti i identitetit

Një identitet është një barazi që është e vërtetë për çdo vlerë të pranueshme të variablave. Nëse ndonjë vlerë e vlefshme zëvendësohet në këtë barazi në vend të variablave, atëherë duhet të merret barazia e saktë numerike.

Vlen të përmendet se barazitë e vërteta numerike janë gjithashtu identitete. Identitetet, për shembull, do të jenë veti të veprimeve në numra.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Nëse dy shprehje për çdo ndryshore të pranueshme janë përkatësisht të barabarta, atëherë shprehjet e tilla quhen identikisht të barabartë. Më poshtë janë disa shembuj të shprehjeve identike të barabarta:

1. (a 2) 4 dhe a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) dhe -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) dhe x 10 .

Ne gjithmonë mund të zëvendësojmë një shprehje me ndonjë shprehje tjetër identike të barabartë me të parën. Një zëvendësim i tillë do të jetë një transformim identik.

Shembuj të identitetit

Shembulli 1: Janë identitetet e mëposhtme të barazive:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Jo të gjitha shprehjet e mësipërme do të jenë identitete. Nga këto barazi, vetëm 1,2 dhe 3 barazi janë identitete. Çfarëdo numrash të zëvendësojmë në to, në vend të ndryshoreve a dhe b, ne përsëri marrim barazitë numerike të sakta.

Por barazia nuk është më identitet. Sepse jo për të gjitha vlerat e pranueshme kjo barazi do të përmbushet. Për shembull, me vlerat a = 5 dhe b = 2, ju merrni rezultatin e mëposhtëm:

Kjo barazi nuk është e vërtetë, pasi numri 3 nuk është i barabartë me numrin -3.

§ 2. Shprehjet e identitetit, identiteti. Transformimi i identitetit të një shprehjeje. Provat e identitetit

Le të gjejmë vlerat e shprehjeve 2(x - 1) 2x - 2 për vlerat e dhëna të ndryshores x. Ne i shkruajmë rezultatet në një tabelë:

Mund të konkludohet se vlerat e shprehjeve 2(x - 1) 2x - 2 për secilën vlerë të dhënë të ndryshores x janë të barabarta me njëra-tjetrën. Sipas vetive shpërndarëse të shumëzimit në lidhje me zbritjen 2(x - 1) = 2x - 2. Prandaj, për çdo vlerë tjetër të ndryshores x, vlera e shprehjes 2(x - 1) 2x - 2 do të jetë gjithashtu të barabartë me njëri-tjetrin. Shprehje të tilla quhen identike të barabarta.

Për shembull, shprehjet 2x + 3x dhe 5x janë sinonime, pasi për secilën vlerë të ndryshores x, këto shprehje fitojnë të njëjtat vlera(kjo rrjedh nga vetia shpërndarëse e shumëzimit në lidhje me mbledhjen, pasi 2x + 3x = 5x).

Merrni parasysh tani shprehjet 3x + 2y dhe 5xy. Nëse x \u003d 1 dhe b \u003d 1, atëherë vlerat përkatëse të këtyre shprehjeve janë të barabarta me njëra-tjetrën:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Sidoqoftë, mund të specifikoni vlerat x dhe y për të cilat vlerat e këtyre shprehjeve nuk do të jenë të barabarta me njëra-tjetrën. Për shembull, nëse x = 2; y = 0, atëherë

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Rrjedhimisht, ekzistojnë vlera të tilla të variablave për të cilat vlerat përkatëse të shprehjeve 3x + 2y dhe 5xy nuk janë të barabarta me njëra-tjetrën. Prandaj, shprehjet 3x + 2y dhe 5xy nuk janë identike të barabarta.

Bazuar në sa më sipër, identitetet, në veçanti, janë barazi: 2(x - 1) = 2x - 2 dhe 2x + 3x = 5x.

Një identitet është çdo barazi që regjistron vetitë e njohura të veprimeve në numra. Për shembull,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Ekzistojnë gjithashtu barazi të tilla si identitetet:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Nëse zvogëlojmë terma të ngjashëm në shprehjen -5x + 2x - 9, marrim se 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Në këtë rast, ata thonë se shprehja 5x + 2x - 9 u zëvendësua me shprehjen 7x - 9, e cila është identike me të.

Shndërrimet identike të shprehjeve me variabla kryhen duke zbatuar vetitë e veprimeve në numra. Në veçanti, transformime identike me hapjen e kllapave, ndërtimin e termave të ngjashëm dhe të ngjashme.

Shndërrime identike duhet të kryhen gjatë thjeshtimit të shprehjes, domethënë zëvendësimit të një shprehjeje me një shprehje që është identike e barabartë me të, e cila duhet të jetë më e shkurtër.

Shembulli 1. Thjeshtoni shprehjen:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Për të vërtetuar se barazia është një identitet (me fjalë të tjera, për të vërtetuar identitetin, përdoret transformimi identitar i shprehjeve.

Ju mund ta vërtetoni identitetin në një nga mënyrat e mëposhtme:

• kryejnë transformime identike të anës së majtë, duke e reduktuar atë në formën e anës së djathtë;
• të kryejë transformime identike të anës së tij të djathtë, duke e reduktuar atë në formën e anës së majtë;
• kryejnë transformime identike të të dy pjesëve të tij, duke i ngritur kështu të dyja pjesët në të njëjtat shprehje.

Shembulli 2. Vërtetoni identitetin:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Zhvillimi

1) Le të transformojmë anën e majtë të kësaj barazie:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Me transformime identike, shprehja në anën e majtë të barazisë u reduktua në formën e anës së djathtë dhe në këtë mënyrë vërtetoi se kjo barazi është një identitet.

2) Le të transformojmë anën e djathtë të kësaj barazie:

5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b) = 10 a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Me transformime identike, ana e djathtë e barazisë u reduktua në formën e anës së majtë dhe kështu u vërtetua se kjo barazi është një identitet.

3) Në këtë rast, është e përshtatshme të thjeshtohen të dyja pjesët e majta dhe të djathta të barazisë dhe të krahasohen rezultatet:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Me shndërrime identike, pjesa e majtë dhe e djathtë e barazisë u reduktuan në të njëjtën formë: 26x - 44. Prandaj, kjo barazi është një identitet.

Cilat shprehje quhen identike? Jepni një shembull të shprehjeve identike. Çfarë barazie quhet identitet? Jepni një shembull të identitetit. Si quhet transformimi identitar i një shprehjeje? Si të vërtetohet identiteti?

1. (Me gojë) Ose ka shprehje identike të barabarta:

1) 2a + a dhe 3a;

2) 7x + 6 dhe 6 + 7x;

3) x + x + x dhe x 3;

4) 2 (x - 2) dhe 2x - 4;

5) m - n dhe n - m;

6) 2a ∙ r dhe 2p ∙ a?

1. A janë shprehjet në mënyrë identike të barabarta:

1) 7x - 2x dhe 5x;

2) 5a - 4 dhe 4 - 5a;

3) 4m + n dhe n + 4m;

4) a + a dhe a 2;

5) 3 (a - 4) dhe 3a - 12;

6) 5m ∙ n dhe 5m + n?

1. (Me gojë) Është identiteti i barazisë:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Hap kllapa:

1. Hap kllapa:

1. Zvogëlo termat e pëlqyer:

1. Emërtoni disa shprehje shprehje identike 2a + 3a.
2. Thjeshtoni shprehjen duke përdorur vetitë ndërruese dhe lidhore të shumëzimit:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Thjeshtoni shprehjen:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Folje) Thjeshtoni shprehjen:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Zvogëlo termat e pëlqyer:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Hapni kllapat dhe zvogëloni termat e ngjashëm:

1) 3 (8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6x + 0,4 (x - 20) nëse x = 2,4;

2) 1.3 (2a - 1) - 16.4 nëse a = 10;

3) 1.2 (m - 5) - 1.8 (10 - m), nëse m = -3.7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y nëse x = -1, y = 1.

1. Thjeshtoni shprehjen dhe gjeni vlerën e saj:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4) nëse x = -0,7;

2) 1.7 (y - 11) - 16.3, nëse v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), nëse a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n nëse m = 1,8; n = -0,9.

1. Provoni identitetin:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Provoni identitetin:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

1. Gjatësia e njërës nga brinjët e trekëndëshit është një cm, dhe gjatësia e secilës nga dy brinjët e tjera është 2 cm më shumë se ajo. Shkruani perimetrin e trekëndëshit si shprehje dhe thjeshtoni shprehjen.
2. Gjerësia e drejtkëndëshit është x cm dhe gjatësia është 3 cm më shumë se gjerësia. Shkruani perimetrin e drejtkëndëshit si shprehje dhe thjeshtoni shprehjen.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Zgjeroni kllapat dhe thjeshtoni shprehjen:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1 a - 2.8 b) - (1a - 1b).

1. Provoni identitetin:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

1. Provoni identitetin:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Vërtetoni se vlera e shprehjes

1.8(m - 2) + 1.4(2 - m) + 0.2(1.7 - 2m) nuk varet nga vlera e ndryshores.

1. Vërtetoni se për çdo vlerë të ndryshores, vlera e shprehjes

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

është i njëjti numër.

1. Vërtetoni se shuma e tre numrave çift të njëpasnjëshëm është e pjesëtueshme me 6.
2. Vërtetoni se nëse n është numër natyror, atëherë vlera e shprehjes -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) është numër çift.

Ushtrime për të përsëritur

1. Një aliazh që peshon 1.6 kg përmban 15% bakër. Sa kg bakër përmban kjo aliazh?
2. Sa përqind është numri 20 i tij:

1) katror;

1. Turisti eci 2 orë në këmbë dhe 3 orë me biçikletë. Në total, turisti përshkoi 56 km. Gjeni shpejtësinë me të cilën turisti ka hipur në biçikletë nëse është 12 km/h më shumë se shpejtësia me të cilën ka ecur.

Detyra interesante për nxënësit dembelë

1. Në kampionatin e futbollit të qytetit marrin pjesë 11 skuadra. Secili ekip luan një ndeshje me të tjerët. Vërtetoni se në çdo moment të garës ka një ekip që ka luajtur një numër të barabartë ndeshjesh ose nuk ka luajtur ende asnjë.

Gjatë studimit të algjebrës, ne hasëm në konceptet e polinomit (për shembull ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ dhe kështu me radhë) dhe thyesës algjebrike (për shembull $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ etj.) Ngjashmëria e këtyre koncepteve është se si në polinome ashtu edhe në thyesat algjebrike ekzistojnë variablat dhe vlerat numerike, veprimet aritmetike: mbledhje, zbritje, shumëzim, fuqizim Dallimi midis këtyre koncepteve është se pjesëtimi me një ndryshore nuk kryhet në polinome, dhe pjesëtimi me një ndryshore mund të kryhet në thyesa algjebrike.

Edhe polinomet edhe thyesat algjebrike quhen shprehje racionale algjebrike në matematikë. Por polinomet janë shprehje racionale me numra të plotë, dhe shprehjet thyesore algjebrike janë shprehje racionale thyesore.

Është e mundur të merret një shprehje e tërë algjebrike nga një shprehje fraksionale racionale duke përdorur transformimin identik, i cili në këtë rast do të jetë vetia kryesore e një fraksioni - reduktimi i thyesave. Le ta kontrollojmë në praktikë:

Shembulli 1

Transformimi:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Vendimi: Ky ekuacion thyesor-racional mund të transformohet duke përdorur vetinë bazë të anulimit të fraksionit, d.m.th. pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit me të njëjtin numër ose shprehje të ndryshme nga $0$.

Kjo fraksion nuk mund të zvogëlohet menjëherë, është e nevojshme të konvertohet numëruesi.

Shprehjen e transformojmë në numëruesin e thyesës, për këtë përdorim formulën për katrorin e diferencës: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Thyesa ka formën

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\majtas(x-2\djathtas)(x-2))(x-2)\]

Tani shohim që ka një faktor të përbashkët në numëruesin dhe emëruesin - kjo është shprehja $x-2$, në të cilën do të zvogëlojmë thyesën

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\majtas(x-2\djathtas)(x-2))(x-2)=x-2\]

Pas reduktimit, kemi marrë se shprehja origjinale thyesore-racionale $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ është bërë një polinom $x-2$, d.m.th. krejt racionale.

Tani le t'i kushtojmë vëmendje faktit që shprehjet $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dhe $x-2\ $ mund të konsiderohen identike jo për të gjitha vlerat e ndryshores, sepse në mënyrë që të ekzistojë një shprehje thyesore-racionale dhe të jetë e mundur reduktimi me polinomin $x-2$, emëruesi i thyesës nuk duhet të jetë i barabartë me $0$ (si dhe faktori me të cilin zvogëlojmë. Në këtë shembull, emëruesi dhe faktori janë të njëjtë, por nuk është gjithmonë kështu).

Vlerat e ndryshueshme për të cilat do të ekzistojë fraksioni algjebrik quhen vlera të ndryshueshme të vlefshme.

Vendosim një kusht në emëruesin e thyesës: $x-2≠0$, pastaj $x≠2$.

Pra, shprehjet $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dhe $x-2$ janë identike për të gjitha vlerat e ndryshores përveç $2$.

Përkufizimi 1

identikisht të barabartë Shprehjet janë ato që janë të barabarta për të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores.

Shndërrim identik është çdo zëvendësim i shprehjes origjinale me një shprehje identike të barabartë.Të tilla shndërrime përfshijnë kryerjen e veprimeve: mbledhjen, zbritjen, shumëzimin, nxjerrjen e një faktori të përbashkët nga kllapa, sjelljen e thyesave algjebrike në një emërues të përbashkët, reduktimin e thyesave algjebrike, sjelljen si terma etj. Duhet të kihet parasysh se një sërë transformimesh, si reduktimi, zvogëlimi i termave të ngjashëm, mund të ndryshojnë vlerat e lejuara të ndryshores.

Teknikat e përdorura për të vërtetuar identitetin

Konvertoni anën e majtë të identitetit në anën e djathtë ose anasjelltas duke përdorur transformimet e identitetit

Reduktoni të dyja pjesët në të njëjtën shprehje duke përdorur transformime identike

Transferoni shprehjet në një pjesë të shprehjes në një tjetër dhe provoni se ndryshimi që rezulton është i barabartë me $0$

Cila nga metodat e mësipërme të përdoret për të vërtetuar një identitet të caktuar varet nga identiteti origjinal.

Shembulli 2

Vërtetoni identitetin $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Vendimi: Për të vërtetuar këtë identitet, ne përdorim të parën nga metodat e mësipërme, domethënë, do të transformojmë anën e majtë të identitetit derisa të jetë e barabartë me anën e djathtë.

Konsideroni anën e majtë të identitetit: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- është ndryshimi i dy polinomeve. Në këtë rast, polinomi i parë është katrori i shumës së tre anëtarëve.Për katrorin e shumës së disa anëtarëve përdorim formulën:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Për ta bërë këtë, ne duhet të shumëzojmë një numër me një polinom. Kujtojmë se për këtë duhet të shumëzojmë faktorin e përbashkët jashtë kllapave me çdo term të polinomit në kllapa. Pastaj marrim:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Tani kthehemi te polinomi origjinal, ai do të marrë formën:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Vini re se ka një shenjë "-" përpara kllapës, që do të thotë se kur hapen kllapat, të gjitha shenjat që ishin në kllapa kthehen mbrapsht.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Nëse sjellim terma të ngjashëm, atëherë marrim se monomët $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ dhe $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ anulojnë njëri-tjetrin, d.m.th. shuma e tyre është e barabartë me $0 $.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Pra, me transformime identike, kemi marrë shprehjen identike në anën e majtë të identitetit origjinal

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Vini re se shprehja që rezulton tregon se identiteti origjinal është i vërtetë.

Vini re se në identitetin origjinal lejohen të gjitha vlerat e ndryshores, që do të thotë se ne e kemi vërtetuar identitetin duke përdorur transformime identike dhe është e vërtetë për të gjitha vlerat e lejuara të ndryshores.

Duke pasur një ide për identitetet, është logjike të kalojmë në njohjen. Në këtë artikull, ne do t'i përgjigjemi pyetjes se cilat janë shprehjet identike të barabarta, dhe gjithashtu, duke përdorur shembuj, do të kuptojmë se cilat shprehje janë identike të barabarta dhe cilat jo.

Navigimi i faqes.

Cilat janë shprehjet identike të barabarta?

Përkufizimi i shprehjeve identikisht të barabarta jepet paralelisht me përkufizimin e identitetit. Kjo ndodh në klasën e algjebrës në klasën e 7-të. Në librin shkollor për algjebër për 7 klasa, autori Yu. N. Makarychev jep formulimin e mëposhtëm:

Përkufizimi.

janë shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta për çdo vlerë të variablave të përfshirë në to. Shprehjet numerike që korrespondojnë me të njëjtat vlera quhen gjithashtu identike të barabarta.

Ky përkufizim përdoret deri në klasën 8, është i vlefshëm për shprehjet me numra të plotë, pasi ato kanë kuptim për çdo vlerë të variablave të përfshirë në to. Dhe në klasën 8, specifikohet përkufizimi i shprehjeve identike të barabarta. Le të shpjegojmë se me çfarë lidhet.

Në klasën 8, fillon studimi i llojeve të tjera të shprehjeve, të cilat, ndryshe nga shprehjet me numra të plotë, mund të mos kenë kuptim për disa vlera të ndryshoreve. Kjo e bën të nevojshme futjen e përkufizimeve të vlerave të pranueshme dhe të pavlefshme të variablave, si dhe gamës së vlerave të pranueshme të ODV të një ndryshoreje, dhe si rezultat, të qartësohet përkufizimi i shprehjeve identike të barabarta.

Përkufizimi.

Quhen dy shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta për të gjitha vlerat e pranueshme të variablave të tyre shprehje identike të barabarta. Dy shprehje numerike që kanë të njëjtën vlerë thuhet gjithashtu se janë identike të barabarta.

Në këtë përkufizim të shprehjeve identike të barabarta, ia vlen të sqarohet kuptimi i frazës "për të gjitha vlerat e pranueshme të variablave të përfshirë në to". Ai nënkupton të gjitha vlerat e tilla të variablave për të cilat të dyja shprehjet identike të barabarta njëkohësisht kanë kuptim. Kjo ide do të sqarohet në pjesën tjetër duke shqyrtuar shembuj.

Përkufizimi i shprehjeve identike të barabarta në librin shkollor të A. G. Mordkovich është dhënë pak më ndryshe:

Përkufizimi.

Shprehje identike të barabarta janë shprehje në anën e majtë dhe të djathtë të identitetit.

Në kuptimin, ky dhe përkufizimet e mëparshme përkojnë.

Shembuj të shprehjeve identike të barabarta

Përkufizimet e paraqitura në nënseksionin e mëparshëm na lejojnë të sjellim shembuj të shprehjeve identike të barabarta.

Le të fillojmë me shprehje numerike identike të barabarta. Shprehjet numerike 1+2 dhe 2+1 janë identikisht të barabarta sepse korrespondojnë me vlera të barabarta 3 dhe 3. Shprehjet 5 dhe 30:6 janë gjithashtu identike të barabarta, siç janë shprehjet (2 2) 3 dhe 2 6 (vlerat e shprehjeve të fundit janë të barabarta për shkak të ). Por shprehjet numerike 3+2 dhe 3−2 nuk janë identike të barabarta, pasi ato korrespondojnë me vlerat 5 dhe 1, përkatësisht, por ato nuk janë të barabarta.

Tani japim shembuj të shprehjeve identike të barabarta me ndryshore. Këto janë shprehjet a+b dhe b+a. Në të vërtetë, për çdo vlerë të ndryshoreve a dhe b, shprehjet e shkruara marrin të njëjtat vlera (që rrjedhin nga numrat). Për shembull, me a=1 dhe b=2 kemi a+b=1+2=3 dhe b+a=2+1=3 . Për çdo vlerë tjetër të ndryshoreve a dhe b, do të marrim gjithashtu vlera të barabarta të këtyre shprehjeve. Shprehjet 0·x·y·z dhe 0 janë gjithashtu identikisht të barabarta për çdo vlerë të ndryshoreve x, y dhe z. Por shprehjet 2 x dhe 3 x nuk janë identike të barabarta, pasi, për shembull, në x=1 vlerat e tyre nuk janë të barabarta. Në të vërtetë, për x=1, shprehja 2 x është 2 1=2 , dhe shprehja 3 x është 3 1=3 .

Kur zonat e vlerave të lejueshme të variablave në shprehje përkojnë, si, për shembull, në shprehjet a+1 dhe 1+a, ose a b 0 dhe 0, ose dhe, dhe vlerat e këtyre shprehjeve janë të barabarta për të gjitha vlerat e variablave nga këto zona, atëherë këtu gjithçka është e qartë - këto shprehje janë identike të barabarta për të gjitha vlerat e pranueshme të variablave të përfshirë në to. Pra, a+1≡1+a për çdo a , shprehjet a b 0 dhe 0 janë identike të barabarta për çdo vlerë të ndryshoreve a dhe b , dhe shprehjet dhe janë identike të barabarta për të gjitha x nga ; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 17-të. - M. : Arsimi, 2008. - 240 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Pasi të jemi marrë me konceptin e identiteteve, mund të vazhdojmë me studimin e shprehjeve identike të barabarta. Qëllimi i këtij artikulli është të shpjegojë se çfarë është dhe të tregojë me shembuj se cilat shprehje do të jenë identike të barabarta me të tjerat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Shprehje identike të barabarta: Përkufizim

Koncepti i shprehjeve identike të barabarta zakonisht studiohet së bashku me vetë konceptin e identitetit në kuadrin e një kursi të algjebrës shkollore. Këtu është një përkufizim bazë i marrë nga një libër shkollor:

Përkufizimi 1

identikisht të barabartë Njëra-tjetra do të ketë shprehje të tilla, vlerat e të cilave do të jenë të njëjta për çdo vlerë të mundshme të variablave të përfshirë në përbërjen e tyre.

Gjithashtu, shprehje të tilla numerike konsiderohen identike të barabarta, të cilat do t'i korrespondojnë të njëjtave vlera.

Ky është një përkufizim mjaft i gjerë, i cili do të jetë i vërtetë për të gjitha shprehjet me numra të plotë, kuptimi i të cilave nuk ndryshon kur ndryshojnë vlerat e variablave. Megjithatë, më vonë bëhet i nevojshëm sqarimi i këtij përkufizimi, sepse përveç numrave të plotë, ka edhe lloje të tjera shprehjesh që nuk do të kenë kuptim me ndryshore të caktuara. Kjo lind konceptin e pranueshmërisë dhe papranueshmërisë së vlerave të caktuara të variablave, si dhe nevojën për të përcaktuar gamën e vlerave të pranueshme. Le të formulojmë një përkufizim të rafinuar.

Përkufizimi 2

Shprehje identike të barabarta janë ato shprehje, vlerat e të cilave janë të barabarta me njëra-tjetrën për çdo vlerë të vlefshme të variablave të përfshirë në përbërjen e tyre. Shprehjet numerike do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën, me kusht që vlerat të jenë të njëjta.

Fraza "për çdo vlerë të pranueshme të variablave" tregon të gjitha ato vlera të variablave për të cilat të dyja shprehjet do të kenë kuptim. Këtë pozicion do ta shpjegojmë më vonë, kur të japim shembuj të shprehjeve identike të barabarta.

Ju gjithashtu mund të specifikoni përkufizimin e mëposhtëm:

Përkufizimi 3

Shprehjet identike të barabarta janë shprehje të vendosura në të njëjtin identitet në anën e majtë dhe të djathtë.

Shembuj shprehjesh që janë identike të barabarta me njëra-tjetrën

Duke përdorur përkufizimet e dhëna më sipër, merrni parasysh disa shembuj të shprehjeve të tilla.

Le të fillojmë me shprehjet numerike.

Shembulli 1

Kështu, 2 + 4 dhe 4 + 2 do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën, pasi rezultatet e tyre do të jenë të barabarta me (6 dhe 6).

Shembulli 2

Në të njëjtën mënyrë, shprehjet 3 dhe 30 janë identike të barabarta: 10 , (2 2) 3 dhe 2 6 (për të llogaritur vlerën e shprehjes së fundit, duhet të dini vetitë e shkallës).

Shembulli 3

Por shprehjet 4 - 2 dhe 9 - 1 nuk do të jenë të barabarta, pasi vlerat e tyre janë të ndryshme.

Le të kalojmë te shembujt e shprehjeve fjalë për fjalë. A + b dhe b + a do të jenë identike të barabarta, dhe kjo nuk varet nga vlerat e variablave (barazia e shprehjeve në këtë rast përcaktohet nga vetia komutative e mbledhjes).

Shembulli 4

Për shembull, nëse a është 4 dhe b është 5, rezultatet do të jenë akoma të njëjta.

Një shembull tjetër i shprehjeve identike të barabarta me shkronja është 0 · x · y · z dhe 0. Sido që të jenë vlerat e variablave në këtë rast, kur shumëzohen me 0, ata do të japin 0. Shprehjet e pabarabarta janë 6 x dhe 8 x sepse ato nuk do të jenë të barabarta për asnjë x.

Në rast se vargjet e vlerave të lejueshme të variablave do të përkojnë, për shembull, në shprehjet a + 6 dhe 6 + a ose a b 0 dhe 0, ose x 4 dhe x, dhe vlerat e shprehjeve vetë do të jenë të barabartë për çdo variabël, atëherë shprehje të tilla konsiderohen identike të barabarta. Pra, a + 8 = 8 + a për çdo vlerë të a, dhe a · b · 0 = 0 gjithashtu, pasi shumëzimi i çdo numri me 0 rezulton në 0. Shprehjet x 4 dhe x do të jenë identike të barabarta për çdo x nga intervali [0, + ∞).

Por shtrirja e një vlere të vlefshme në një shprehje mund të ndryshojë nga shtrirja e një tjetre.

Shembulli 5

Për shembull, le të marrim dy shprehje: x − 1 dhe x - 1 · x x. Për të parën prej tyre, diapazoni i vlerave të pranueshme x do të jetë i gjithë grupi i numrave realë, dhe për të dytën, grupi i të gjithë numrave realë, përveç zeros, sepse atëherë do të marrim 0 në emërues, dhe një ndarje e tillë nuk është e përcaktuar. Këto dy shprehje kanë një gamë të përbashkët, të formuar nga kryqëzimi i dy vargjeve të veçanta. Mund të konkludohet se të dyja shprehjet x - 1 · x x dhe x − 1 do të kenë kuptim për çdo vlerë reale të variablave, përveç 0 .

Vetia themelore e thyesës na lejon gjithashtu të konkludojmë se x - 1 x x dhe x - 1 do të jenë të barabarta për çdo x që nuk është 0 . Kjo do të thotë se këto shprehje do të jenë identike të barabarta me njëra-tjetrën në gamën e përgjithshme të vlerave të pranueshme, dhe për çdo x real është e pamundur të flitet për barazi identike.

Nëse zëvendësojmë një shprehje me një tjetër që është identikisht e barabartë me të, atëherë ky proces quhet transformim identiteti. Ky koncept është shumë i rëndësishëm, dhe ne do të flasim për të në detaje në një artikull të veçantë.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter