A është çdo thyesë e zakonshme një numër racional? Cilat janë numrat racionalë? Cilat janë të tjerat

Në këtë nënseksion ne japim disa përkufizime të numrave racionalë. Pavarësisht ndryshimeve në formulim, të gjitha këto përkufizime kanë të njëjtin kuptim: numrat racional kombinojnë numra të plotë dhe numra thyesorë, ashtu si kombinohen numrat e plotë. numra të plotë, numrat e tyre të kundërt dhe numri zero. Me fjalë të tjera, numrat racional përgjithësojnë numrat e plotë dhe ata thyesorë.

Le të fillojmë me përkufizimet e numrave racionalë e cila perceptohet si më e natyrshme.

Përkufizimi.

Numrat racionalë janë numra që mund të shkruhen si një thyesë e zakonshme pozitive, një thyesë e zakonshme negative ose si numër zero.

Nga përkufizimi i tingëlluar rrjedh se një numër racional është:

çdo numër natyror n. Në të vërtetë, çdo numër natyror mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme, për shembull, 3=3/1 .

· Çdo numër i plotë, në veçanti, numri zero. Në të vërtetë, çdo numër i plotë mund të shkruhet ose si një fraksion i përbashkët pozitiv, si një thyesë e zakonshme negative ose si zero. Për shembull, 26=26/1 , .

Çdo thyesë e zakonshme(pozitive ose negative). Kjo shprehet drejtpërdrejt nga përkufizimi i dhënë i numrave racionalë.

Çdo numër i përzier. Në të vërtetë, është gjithmonë e mundur të përfaqësohet një numër i përzier si një thyesë e zakonshme e papërshtatshme. Për shembull, dhe.

ndonjë finale dhjetore ose një thyesë periodike të pafundme. Kjo është kështu sepse thyesat dhjetore të specifikuara konvertohen në thyesa të zakonshme. Për shembull, a 0,(3)=1/3 .

Është gjithashtu e qartë se çdo dhjetore e pafundme që nuk përsëritet NUK është një numër racional, pasi nuk mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme.

Tani mund të sjellim lehtësisht shembuj të numrave racionalë. Numrat 4 ,903 , 100 321 janë numra racionalë, pasi janë numra natyrorë. Numrat e plotë 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 janë edhe shembuj të numrave racionalë. Thyesat e zakonshme 4/9 , 99/3 , janë gjithashtu shembuj të numrave racionalë. Numrat racional janë gjithashtu numra.

Nga shembujt e mësipërm mund të shihet se ka numra racionalë pozitivë dhe negativë, dhe numri racional zero nuk është as pozitiv as negativ.

Përkufizimi i mësipërm i numrave racionalë mund të formulohet në një formë më të shkurtër.

Përkufizimi.

Numrat racionalë emërtoni një numër që mund të shkruhet si thyesë z/n, ku zështë një numër i plotë, dhe n- numri natyror.

Le të vërtetojmë se ky përkufizim i numrave racional është i barabartë me përkufizimin e mëparshëm. Dimë se shiritin e thyesës mund ta konsiderojmë si shenjë pjesëtimi, pastaj nga vetitë e pjesëtimit të numrave të plotë dhe rregullat për pjesëtimin e numrave të plotë rrjedh vlefshmëria e barazive të mëposhtme dhe. Pra, kjo është prova.

Ne japim shembuj të numrave racional bazuar në këtë përkufizim. Numrat −5 , 0 , 3 , dhe janë numra racionalë, pasi mund të shkruhen si thyesa me numërues të plotë dhe emërues natyror të formës dhe përkatësisht.

Përkufizimi i numrave racional mund të jepet edhe në formulimin e mëposhtëm.

Përkufizimi.

Numrat racionalë janë numra që mund të shkruhen si thyesë dhjetore periodike të fundme ose të pafundme.

Ky përkufizim është gjithashtu ekuivalent me përkufizimin e parë, pasi çdo thyesë e zakonshme i korrespondon një thyese dhjetore të fundme ose periodike dhe anasjelltas, dhe çdo numër i plotë mund të shoqërohet me një thyesë dhjetore me zero pas presjes dhjetore.

Për shembull, numrat 5 , 0 , −13 , janë shembuj të numrave racionalë, pasi mund të shkruhen si thyesat dhjetore të mëposhtme 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 dhe −7,(18) .

Ne e përfundojmë teorinë e këtij seksioni me pohimet e mëposhtme:

numrat e plotë dhe thyesorë (pozitiv dhe negativ) përbëjnë bashkësinë e numrave racionalë;

Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë me një numërues të plotë dhe një emërues natyror, dhe çdo thyesë e tillë është një numër racional;

Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme, dhe çdo thyesë e tillë përfaqëson një numër racional.

Në krye të faqes

Shtimi i numrave racionalë pozitivë është komutativ dhe asociativ,

("a, b н Q +) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b)+ c = a + (b+ c)

Para se të formuloni përkufizimin e shumëzimit të numrave racionalë pozitivë, merrni parasysh problemin e mëposhtëm: dihet se gjatësia e segmentit X shprehet si fraksion në njësinë e gjatësisë E, dhe gjatësia e segmentit njësi matet duke përdorur njësinë E 1. dhe shprehet si thyesë. Si të gjeni numrin që do të përfaqësojë gjatësinë e segmentit X, nëse e matni duke përdorur njësinë e gjatësisë E 1?

Meqenëse X=E, atëherë nX=mE, dhe nga fakti që E =E 1 del se qE=pE 1 . Barazimin e parë të marrë e shumëzojmë me q, dhe të dytin me m. Pastaj (nq)X \u003d (mq)E dhe (mq)E \u003d (mp)E 1, prej nga (nq)X \u003d (mp)E 1. Kjo barazi tregon se gjatësia e segmentit x në gjatësinë e njësisë shprehet si thyesë, dhe për këtë arsye , =, d.m.th. shumëzimi i thyesave shoqërohet me kalimin nga një njësi gjatësie në tjetrën kur matet gjatësia e të njëjtit segment.

Përkufizim Nëse një numër pozitiv a përfaqësohet me një thyesë, dhe një numër racional pozitiv b me një thyesë, atëherë prodhimi i tyre quhet numri a b, i cili përfaqësohet me një thyesë.

Shumëzimi i numrave racionalë pozitivë komutativ, asociativ dhe shpërndarës në lidhje me mbledhjen dhe zbritjen. Vërtetimi i këtyre vetive bazohet në përkufizimin e shumëzimit dhe mbledhjes së numrave racionalë pozitivë, si dhe në vetitë përkatëse të mbledhjes dhe shumëzimit të numrave natyrorë.

46. Siç e dini zbritjeështë e kundërta e shtimit.

Nese nje a dhe b - numra pozitiv, pastaj zbritja e numrit b nga numri a do të thotë gjetja e një numri c që, kur i shtohet numrit b, jep numrin a.
a - b = c ose c + b = a
Përkufizimi i zbritjes vlen për të gjithë numrat racionalë. Kjo do të thotë, zbritja e numrave pozitivë dhe negativë mund të zëvendësohet me mbledhje.
Për të zbritur një tjetër nga një numër, duhet të shtoni numrin e kundërt në minuend.
Ose, në një mënyrë tjetër, mund të themi se zbritja e numrit b është e njëjta mbledhje, por me numër të kundërt me numrin b.
a - b = a + (- b)
Shembull.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Shembull.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Vlen të kujtohen shprehjet e mëposhtme.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Rregullat për zbritjen e numrave negativë
Zbritja e numrit b është mbledhja me numrin e kundërt me numrin b.
Ky rregull ruhet jo vetëm kur zbritet një numër më i vogël nga një numër më i madh, por gjithashtu lejon zbritjen nga një numër më i vogël. më shumë, domethënë, gjithmonë mund të gjesh ndryshimin e dy numrave.
Dallimi mund të jetë një numër pozitiv, një numër negativ ose zero.
Shembuj të zbritjes së numrave negativë dhe pozitivë.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Është e përshtatshme të mbani mend rregullin e shenjës, i cili ju lejon të zvogëloni numrin e kllapave.
Shenja plus nuk e ndryshon shenjën e numrit, kështu që nëse ka një plus përpara kllapës, shenja në kllapa nuk ndryshon.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Shenja minus përpara kllapave e kthen mbrapsht shenjën e numrit në kllapa.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Nga barazitë shihet se nëse ka shenja identike para dhe brenda kllapave, atëherë marrim "+", dhe nëse shenjat janë të ndryshme, atëherë marrim "-".
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Rregulli i shenjave ruhet gjithashtu nëse nuk ka një numër në kllapa, por një shumë algjebrike numrash.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Ju lutemi vini re se nëse ka disa numra në kllapa dhe ka një shenjë minus para kllapave, atëherë shenjat përpara të gjithë numrave në këto kllapa duhet të ndryshojnë.
Për të kujtuar rregullin e shenjave, mund të bëni një tabelë për përcaktimin e shenjave të një numri.
Rregulli i shenjës për numrat + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Ose mësoni një rregull të thjeshtë.
Dy negative bëjnë një pohuese,
Plus herë minus është i barabartë me minus.

Rregullat për pjesëtimin e numrave negativë.
Për të gjetur modulin e herësit, duhet të ndani modulin e dividendit me modulin e pjesëtuesit.
Pra, për të ndarë dy numra me të njëjtat shenja, ju duhet:

Të pjesëtohet moduli i dividendit me modulin e pjesëtuesit;

Vendosni një shenjë "+" përpara rezultatit.

Shembuj të pjesëtimit të numrave me shenja të ndryshme:

Ju gjithashtu mund të përdorni tabelën e mëposhtme për të përcaktuar shenjën e herësit.
Rregulli i shenjave gjatë ndarjes
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Gjatë llogaritjes së shprehjeve "të gjata", në të cilat shfaqen vetëm shumëzimi dhe pjesëtimi, është shumë i përshtatshëm të përdoret rregulli i shenjës. Për shembull, për të llogaritur një fraksion
Mund t'i kushtoni vëmendje që në numërues ka 2 shenja "minus", të cilat, kur shumëzohen, do të japin një "plus". Ka edhe tre shenja minus në emërues, të cilat, kur shumëzohen, japin një minus. Prandaj, në fund, rezultati do të jetë me një shenjë minus.
Reduktimi i fraksionit ( veprime të mëtejshme me module numrash) kryhet në të njëjtën mënyrë si më parë:
Herësi i pjesëtimit të zeros me një numër jozero është zero.
0: a = 0, a ≠ 0
MOS ndani me zero!
Të gjitha rregullat e njohura më parë për pjesëtimin me një vlejnë edhe për grupin e numrave racionalë.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, ku a është çdo numër racional.
Varësia midis rezultateve të shumëzimit dhe pjesëtimit, të njohura për numrat pozitivë, ruhen gjithashtu për të gjithë numrat racionalë (përveç numrit zero):
nëse a × b = c; a = c: b; b = c: a;
nëse a: b = c; a = c × b; b=a:c
Këto varësi përdoren për të gjetur shumëzues i panjohur, divident dhe pjesëtues (gjatë zgjidhjes së ekuacioneve), si dhe për të kontrolluar rezultatet e shumëzimit dhe pjesëtimit.
Një shembull i gjetjes së të panjohurës.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x=-2

Informacione të ngjashme.

Në këtë artikull, ne do të fillojmë të studiojmë numrat racionalë. Këtu japim përkufizime të numrave racionalë, japim shpjegimet e nevojshme dhe japim shembuj të numrave racionalë. Pas kësaj, ne do të fokusohemi se si të përcaktojmë nëse një numër i caktuar është racional apo jo.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi dhe shembuj të numrave racionalë

Në këtë nënseksion ne japim disa përkufizime të numrave racionalë. Pavarësisht dallimeve në formulim, të gjitha këto përkufizime kanë të njëjtin kuptim: numrat racional bashkojnë numrat e plotë dhe numrat thyesorë, ashtu si numrat e plotë bashkojnë numrat natyrorë, numrat e tyre të kundërt dhe numrin zero. Me fjalë të tjera, numrat racional përgjithësojnë numrat e plotë dhe të pjesshëm.

Le të fillojmë me përkufizimet e numrave racionalë e cila perceptohet si më e natyrshme.

Nga përkufizimi i tingëlluar rrjedh se një numër racional është:

Çdo numër natyror n. Në të vërtetë, çdo numër natyror mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme, për shembull, 3=3/1.
Çdo numër i plotë, në veçanti numri zero. Në të vërtetë, çdo numër i plotë mund të shkruhet ose si një fraksion i përbashkët pozitiv, si një thyesë e zakonshme negative ose si zero. Për shembull, 26=26/1, .
Çdo thyesë e zakonshme (pozitive ose negative). Kjo shprehet drejtpërdrejt nga përkufizimi i dhënë i numrave racionalë.
Çdo numër i përzier. Në të vërtetë, është gjithmonë e mundur të përfaqësohet një numër i përzier si një thyesë e zakonshme e papërshtatshme. Për shembull, dhe.
Çdo thyesë e fundme dhjetore ose e pafundme periodike. Kjo është kështu sepse thyesat dhjetore të specifikuara konvertohen në thyesa të zakonshme. Për shembull, dhe 0,(3)=1/3.

Është gjithashtu e qartë se çdo dhjetore e pafundme që nuk përsëritet NUK është një numër racional, pasi nuk mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme.

Tani mund të sjellim lehtësisht shembuj të numrave racionalë. Numrat 4, 903, 100,321 janë numra racionalë, pasi janë numra natyrorë. Numrat e plotë 58 , −72 , 0 , −833 333 333 janë gjithashtu shembuj të numrave racionalë. Thyesat e zakonshme 4/9, 99/3, janë gjithashtu shembuj të numrave racionalë. Numrat racional janë gjithashtu numra.

Nga shembujt e mësipërm mund të shihet se ka numra racionalë pozitivë dhe negativë, dhe numri racional zero nuk është as pozitiv as negativ.

Përkufizimi i mësipërm i numrave racionalë mund të formulohet në një formë më të shkurtër.

Përkufizimi.

Numrat racionalë telefononi numrat që mund të shkruhen si thyesë z/n, ku z është një numër i plotë dhe n është një numër natyror.

Le të vërtetojmë se ky përkufizim i numrave racional është i barabartë me përkufizimin e mëparshëm. Dimë që shiritin e një thyese mund ta konsiderojmë si shenjë pjesëtimi, pastaj nga vetitë e pjesëtimit të numrave të plotë dhe rregullat për pjesëtimin e numrave të plotë, vijojnë barazitë e mëposhtme dhe . Kështu, cila është prova.

Ne japim shembuj të numrave racional bazuar në këtë përkufizim. Numrat −5 , 0 , 3 dhe janë numra racionalë, pasi mund të shkruhen si thyesa me numërues të plotë dhe emërues natyror të formës dhe përkatësisht.

Përkufizimi i numrave racional mund të jepet edhe në formulimin e mëposhtëm.

Përkufizimi.

Numrat racionalë janë numra që mund të shkruhen si thyesë dhjetore periodike të fundme ose të pafundme.

Për shembull, numrat 5 , 0 , −13 , janë shembuj të numrave racional sepse mund të shkruhen si dhjetoret e mëposhtme 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 dhe −7,(18) .

Ne e përfundojmë teorinë e këtij seksioni me pohimet e mëposhtme:

numrat e plotë dhe thyesorë (pozitiv dhe negativ) përbëjnë bashkësinë e numrave racionalë;
çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë me një numërues të plotë dhe një emërues natyror, dhe çdo thyesë e tillë është një numër racional;
çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore periodike e fundme ose e pafundme, dhe çdo thyesë e tillë përfaqëson një numër racional.

A është racional ky numër?

Në paragrafin e mëparshëm, zbuluam se çdo numër natyror, çdo numër i plotë, çdo thyesë e zakonshme, çdo numër i përzier, çdo thyesë dhjetore përfundimtare, si dhe çdo thyesë dhjetore periodike është një numër racional. Kjo njohuri na lejon të "njohim" numrat racionalë nga grupi i numrave të shkruar.

Por çka nëse numri jepet si disa , ose si , etj., si t'i përgjigjemi pyetjes, a është racional numri i dhënë? Në shumë raste, është shumë e vështirë t'i përgjigjesh. Le të theksojmë disa drejtime për rrjedhën e mendimit.

Nëse një numër specifikohet si shprehje numerike që përmban vetëm numra racional dhe shenja aritmetike (+, −, · dhe:), atëherë vlera e kësaj shprehjeje është një numër racional. Kjo rrjedh nga mënyra se si përcaktohen veprimet mbi numrat racional. Për shembull, pasi të kemi kryer të gjitha veprimet në shprehje, marrim një numër racional 18 .

Ndonjëherë, pas thjeshtimit të shprehjeve dhe më shumë lloj kompleks, bëhet e mundur të përcaktohet nëse një numër i caktuar është racional.

Le të shkojmë më tej. Numri 2 është një numër racional, pasi çdo numër natyror është racional. Po numri? A është racionale? Rezulton se jo, nuk është një numër racional, është një numër irracional (vërtetimi i këtij fakti me kontradiktë është dhënë në tekstin e algjebrës së klasës së 8-të të renditur më poshtë në listën e referencave). Është vërtetuar gjithashtu se Rrenja katrore nga një numër natyror është një numër racional vetëm në ato raste kur rrënja është një numër që është katrori i përsosur i ndonjë numri natyror. Për shembull, dhe janë numra racional, pasi 81=9 2 dhe 1 024=32 2 , dhe numrat dhe nuk janë racionalë, pasi numrat 7 dhe 199 nuk janë katrorë të përsosur të numrave natyrorë.

A është numri racional apo jo? Në këtë rast, është e lehtë të shihet se, prandaj, ky numër është racional. A është numri racional? Është vërtetuar se rrënja k e një numri të plotë është një numër racional vetëm nëse numri nën shenjën e rrënjës është fuqia kth e një numri të plotë. Prandaj, nuk është një numër racional, pasi nuk ka asnjë numër të plotë, fuqia e pestë e të cilit është 121.

Metoda e kontradiktës na lejon të vërtetojmë se logaritmet e disa numrave, për disa arsye, nuk janë numra racionalë. Për shembull, le të vërtetojmë se - nuk është një numër racional.

Supozoni të kundërtën, pra supozoni se është një numër racional dhe mund të shkruhet si një thyesë e zakonshme m/n. Pastaj dhe jepni barazitë e mëposhtme: . Barazia e fundit është e pamundur, pasi në anën e majtë ka numër i rastësishëm 5 n , dhe në anën e djathtë ka një numër çift 2 m . Prandaj, supozimi ynë është i gabuar, pra nuk është një numër racional.

Si përfundim, vlen të theksohet se kur sqarohet racionaliteti ose irracionaliteti i numrave, duhet të përmbahen nga përfundimet e papritura.

Për shembull, nuk duhet të pohohet menjëherë se produkti i numrave irracional π dhe e është një numër irracional, ky është "sikur i dukshëm", por jo i provuar. Kjo ngre pyetjen: "Pse produkti do të ishte një numër racional"? Dhe pse jo, sepse mund të jepni një shembull të numrave irracionalë, prodhimi i të cilëve jep një numër racional:.

Nuk dihet gjithashtu nëse numrat dhe shumë numra të tjerë janë racionalë apo jo. Për shembull, ka numra irracionalë, shkallë irracionale që është një numër racional. Për ta ilustruar, le të japim një shkallë të formës, baza e kësaj shkalle dhe eksponenti nuk janë numra racionalë, por , dhe 3 është një numër racional.

Bibliografi.

Matematika. Klasa 6: tekst shkollor. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algjebra: teksti shkollor për 8 qeliza. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Botimi i 16-të. - M. : Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematikë (një manual për aplikantët në shkollat teknike): Proc. shtesa.- M.; Më e lartë shkolla, 1984.-351 f., ill.

) janë numra me shenjë pozitive ose negative (numër të plotë dhe thyesor) dhe zero. Një koncept më i saktë i numrave racional tingëllon si ky:

numër racional- një numër që përfaqësohet me një thyesë të thjeshtë m/n, ku numëruesi m janë numra të plotë dhe emëruesi n- numra të plotë, për shembull 2/3.

Thyesat e pafundme jo periodike NUK përfshihen në bashkësinë e numrave racionalë.

a/b, ku a∈ Z (a i përket numrave të plotë) b∈ N (b i përket numrave natyrorë).

Përdorimi i numrave racionalë në jetën reale.

AT jeta reale grupi i numrave racionalë përdoret për të numëruar pjesët e disa objekteve të plotpjestueshëm, Për shembull, ëmbëlsira ose ushqime të tjera që priten në copa para konsumimit, ose për një vlerësim të përafërt të marrëdhënieve hapësinore të objekteve të zgjeruara.

Vetitë e numrave racionalë.

Vetitë themelore të numrave racionalë.

1. rregullsia a dhe b ekziston një rregull që ju lejon të identifikoni në mënyrë unike midis tyre 1-por dhe vetëm një nga 3 marrëdhëniet: "<», «>" ose "=". Ky rregull është - rregulli i renditjes dhe formulojeni kështu:

2 numra pozitiv a=m a /n a dhe b=m b /n b të lidhura me të njëjtën lidhje si 2 numra të plotë m a⋅ nb dhe m b⋅ n a;
2 numrat negativë a dhe b lidhur me të njëjtën lidhje me 2 numra pozitivë |b| dhe |a|;
kur a pozitive, dhe b- negative, atëherë a>b.

∀ a,b∈ P(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operacioni i shtimit. Për të gjithë numrat racionalë a dhe b ka rregulli i përmbledhjes, që i vendos ato në korrespondencë me një numër të caktuar racional c. Megjithatë, vetë numri c- Kjo shuma numrat a dhe b dhe referohet si (a+b) përmbledhje.

Rregulli i përmbledhjes duket kështu:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ P∃ !(a+b)∈ P

3. operacioni i shumëzimit. Për të gjithë numrat racionalë a dhe b ka rregulli i shumëzimit, i lidh me një numër të caktuar racional c. Numri c quhet puna numrat a dhe b dhe shënojnë (a⋅b), dhe quhet procesi i gjetjes së këtij numri shumëzimi.

rregulli i shumëzimit duket kështu: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Kalueshmëria e relacionit të rendit. Për çdo tre numra racionalë a, b dhe c nëse a më të vogla b dhe b më të vogla c, pastaj a më të vogla c, dhe nëse a barazohet b dhe b barazohet c, pastaj a barazohet c.

∀ a,b,c∈ P(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutativiteti i mbledhjes. Nga një ndryshim në vendet e termave racionalë, shuma nuk ndryshon.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asociativiteti i shtimit. Rendi i mbledhjes së 3 numrave racionalë nuk ndikon në rezultatin.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prania e zeros. Ekziston një numër racional 0, ai ruan çdo numër tjetër racional kur shtohet.

∃ 0 ∈ P∀ a∈ Qa+0=a

8. Disponueshmëria numra të kundërt . Çdo numër racional ka një numër racional të kundërt, duke i mbledhur së bashku rezulton 0.

∀ a∈ P∃ (−a)∈ Qa+(−a)=0

9. Komutativiteti i shumëzimit. Duke ndryshuar vendet e faktorëve racional, produkti nuk ndryshon.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ a

10. Asociativiteti i shumëzimit. Rendi i shumëzimit të 3 numrave racionalë nuk ndikon në rezultatin.

∀ a,b,c∈ P(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Disponueshmëria e një njësie. Ekziston një numër racional 1, ai ruan çdo numër tjetër racional në procesin e shumëzimit.

∃ 1 ∈ P∀ a∈ Qa⋅ 1=a

12. Disponueshmëria numrat reciprokë . Çdo numër racional i ndryshëm nga zero ka një numër racional të anasjelltë, duke shumëzuar me të cilin marrim 1 .

∀ a∈ P∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen. Operacioni i shumëzimit lidhet me mbledhjen duke përdorur ligjin e shpërndarjes:

∀ a,b,c∈ P(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Lidhja e relacionit të porosisë me operacionin e mbledhjes. I njëjti numër racional i shtohet anës së majtë dhe të djathtë të një pabarazie racionale.

∀ a,b,c∈ P a ⇒ a+c

15. Lidhja e relacionit të rendit me veprimin e shumëzimit. Ana e majtë dhe e djathtë e një pabarazie racionale mund të shumëzohen me të njëjtin numër racional jo negativ.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c