3 në shkallë të ndryshme. Ngritja në një shkallë irracionale. Numri maksimal i nënshkruar

Në kanalin youtube të faqes sonë të faqes për t'u informuar për të gjitha mësimet e reja video.

Së pari, le të kujtojmë formulat bazë të shkallëve dhe vetitë e tyre.

Produkti i një numri a ndodh në vetvete n herë, këtë shprehje mund ta shkruajmë si a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = një nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Ekuacionet e fuqisë ose eksponenciale- Këto janë ekuacione në të cilat ndryshoret janë në fuqi (ose eksponentë), dhe baza është një numër.

Shembuj të ekuacioneve eksponenciale:

Në këtë shembull, numri 6 është baza, është gjithmonë në fund dhe ndryshorja x shkallë ose masë.

Le të japim më shumë shembuj të ekuacioneve eksponenciale.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet eksponenciale?

Le të marrim një ekuacion të thjeshtë:

2 x = 2 3

Një shembull i tillë mund të zgjidhet edhe në mendje. Mund të shihet se x=3. Në fund të fundit, në mënyrë që anët e majta dhe të djathta të jenë të barabarta, duhet të vendosni numrin 3 në vend të x.
Tani le të shohim se si duhet të merret ky vendim:

2 x = 2 3
x = 3

Për të zgjidhur këtë ekuacion, ne hoqëm baza të njëjta(dmth deuces) dhe shkruani atë që kishte mbetur, këto janë gradë. Morëm përgjigjen që kërkonim.

Tani le të përmbledhim zgjidhjen tonë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit eksponencial:
1. Duhet të kontrolloni e njëjta nëse bazat e ekuacionit në të djathtë dhe në të majtë. Nëse arsyet nuk janë të njëjta, ne po kërkojmë opsione për të zgjidhur këtë shembull.
2. Pasi bazat janë të njëjta, barazojnë shkallë dhe zgjidhni ekuacionin e ri që rezulton.

Tani le të zgjidhim disa shembuj:

Le të fillojmë thjesht.

Bazat në anën e majtë dhe të djathtë janë të barabarta me numrin 2, që do të thotë se ne mund ta hedhim bazën dhe të barazojmë shkallët e tyre.

x+2=4 Ka dalë ekuacioni më i thjeshtë.
x=4 - 2
x=2
Përgjigje: x=2

Në shembullin e mëposhtëm, mund të shihni se bazat janë të ndryshme, këto janë 3 dhe 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Për të filluar, ne transferojmë nëntë në anën e djathtë, marrim:

Tani ju duhet të bëni të njëjtat baza. Ne e dimë se 9=3 2 . Le të përdorim formulën e fuqisë (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Ne marrim 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 tani është e qartë se bazat në anën e majtë dhe të djathtë janë të njëjta dhe të barabarta me tre, që do të thotë se ne mund t'i hedhim ato dhe të barazojmë shkallët.

3x=2x+16 mori ekuacionin më të thjeshtë
3x-2x=16
x=16
Përgjigje: x=16.

Le të shohim shembullin e mëposhtëm:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Para së gjithash, ne shikojmë bazat, bazat janë të ndryshme dy dhe katër. Dhe ne duhet të jemi të njëjtë. Katërfishin e transformojmë sipas formulës (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dhe ne përdorim gjithashtu një formulë a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Shtoni në ekuacion:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ne dhamë një shembull për të njëjtat arsye. Por numrat e tjerë 10 dhe 24 na pengojnë.Çfarë të bëjmë me ta? Nëse shikoni nga afër, mund të shihni se në anën e majtë përsërisim 2 2x, këtu është përgjigja - mund të vendosim 2 2x jashtë kllapave:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Le të llogarisim shprehjen në kllapa:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Të gjithë ekuacionin e ndajmë me 6:

Imagjinoni 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 bazat janë të njëjta, hidhini ato dhe barazoni shkallët.
2x \u003d 2 doli të ishte ekuacioni më i thjeshtë. E ndajmë me 2, marrim
x = 1
Përgjigje: x = 1.

Le të zgjidhim ekuacionin:

9 x - 12 * 3 x +27 = 0

Le të transformojmë:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Ne marrim ekuacionin:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazat tona janë të njëjta, të barabarta me tre.Në këtë shembull, është e qartë se trefishi i parë ka një shkallë dy herë (2x) se i dyti (vetëm x). Në këtë rast, ju mund të vendosni metoda e zëvendësimit. Numri me shkallën më të vogël zëvendësohet me:

Pastaj 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Ne i zëvendësojmë të gjitha shkallët me x në ekuacionin me t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Ne marrim një ekuacion kuadratik. Ne zgjidhim përmes diskriminuesit, marrim:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Kthehu te Variabli x.

Ne marrim t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Kjo eshte,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

U gjet një rrënjë. Ne jemi duke kërkuar për të dytën, nga t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Përgjigje: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Në sit mundeni në seksionin NDIHMË TË VENDOSI të bëni pyetje me interes, ne patjetër do t'ju përgjigjemi.

Bashkohuni me një grup

synimi primar

Të njohë nxënësit me vetitë e gradave me tregues natyrorë dhe t'i mësojë ata të kryejnë veprime me gradë.

Tema “Diploma dhe vetitë e saj” përfshin tre pyetje:

• Përcaktimi i shkallës me një tregues natyror.
• Shumëzimi dhe pjesëtimi i fuqive.
• Përhapja e produktit dhe shkallës.

pyetjet e testit

1. Formuloni përkufizimin e një shkalle me një eksponent natyror më të madh se 1. Jepni një shembull.
2. Formuloni një përkufizim të shkallës me një tregues 1. Jepni një shembull.
3. Cila është rendi i veprimeve kur vlerësohet vlera e një shprehjeje që përmban fuqi?
4. Formuloni vetinë kryesore të gradës. Jep një shembull.
5. Formuloni një rregull për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë. Jep një shembull.
6. Formuloni një rregull për ndarjen e fuqive me të njëjtat baza. Jep një shembull.
7. Formuloni rregullin për fuqizimin e një produkti. Jep një shembull. Vërtetoni identitetin (ab) n = a n b n .
8. Formuloni një rregull për ngritjen e një shkalle në një fuqi. Jep një shembull. Vërtetoni identitetin (a m) n = a m n .

Përkufizimi i gradës.

shkalla e numrit a me një tregues natyror n, më i madh se 1, quhet prodhim i n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. shkalla e numrit a me eksponent 1 thirret vetë numri a.

Diplomë me bazë a dhe tregues nështë shkruar kështu: a n. lexohet " a në masën e n”; Fuqia n-të e një numri a ”.

Sipas përcaktimit të gradës:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Gjetja e vlerës së gradës quhet fuqizimi .

1. Shembuj të fuqizimit:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

opsioni 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Katror numrat:

3. Kubike numrat:

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Shumëzimi i fuqive.

Për çdo numër a dhe numra arbitrar m dhe n, sa vijon është e vërtetë:

a m a n = a m + n .

Dëshmi:

rregull : Kur shumëzohen fuqitë me të njëjtën bazë, bazat mbeten të njëjta dhe shtohen eksponentët.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

opsioni 1

1. Paraqisni si diplomë:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën në tabelë:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Ndarja e gradave.

Për çdo numër a0 dhe numra natyrorë arbitrar m dhe n të tillë që m>n, vlen sa vijon:

a m: a n = a m - n

Dëshmi:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

sipas përkufizimit të privatit:

a m: a n \u003d a m - n.

rregull: Kur pjesëtohen fuqitë me të njëjtën bazë, baza lihet e njëjtë dhe eksponenti i pjesëtuesit zbritet nga eksponenti i dividendit.

Përkufizimi: Shkalla e një numri jozero me një eksponent zero është e barabartë me një:

sepse a n: a n = 1 për a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

në)

G)

e)

opsioni 1

1. Shprehni herësin si fuqi:

2. Gjeni vlerat e shprehjeve:

Ngritja në fuqinë e një produkti.

Për çdo a dhe b dhe një numër natyror arbitrar n:

(ab) n = a n b n

Dëshmi:

Sipas përcaktimit të gradës

(ab) n =

Duke grupuar faktorët a dhe faktorët b veçmas, marrim:

=

Vetia e vërtetuar e shkallës së produktit shtrihet në shkallën e produktit të tre ose më shumë faktorëve.

Për shembull:

(a b c) n = a n b n c n ;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

rregull: Kur rritet një produkt në një fuqi, çdo faktor ngrihet në atë fuqi dhe rezultati shumëzohet.

1. Ngritja në një fuqi:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Gjeni vlerën e shprehjes:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000 = 90000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

opsioni 1

1. Ngritja në një fuqi:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Gjeni vlerën e shprehjes:

b) (5 7 20) 2

Eksponimi.

Për çdo numër a dhe numra natyrorë arbitrar m dhe n:

(a m) n = a m n

Dëshmi:

Sipas përcaktimit të gradës

(a m) n =

Rregulli: Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza lihet e njëjtë dhe eksponentët shumëzohen.

1. Ngritja në një fuqi:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

opsioni 1

1. Ngritja në një fuqi:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Thjeshtoni shprehjet:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Gjeni kuptimin e shprehjeve:

Shtojca

Përkufizimi i gradës.

Opsioni 2

1 Shkruani produktin në formën e një shkalle:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Katror numrat:

3. Kubike numrat:

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Opsioni 3

1. Shkruani produktin si një shkallë:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Paraqisni në formë katrori numrin: 100; 0,49; .

3. Kubike numrat:

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Opsioni 4

1. Shkruani produktin si një shkallë:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Katror numrat:

3. Kubike numrat:

4. Gjeni vlerat e shprehjes:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Shumëzimi i fuqive.

Opsioni 2

1. Paraqisni si diplomë:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën në tabelë:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Opsioni 3

1. Paraqisni si diplomë:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën në tabelë:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Opsioni 4

1. Paraqisni si diplomë:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Paraqisni si gradë dhe gjeni vlerën në tabelë:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Ndarja e gradave.

Opsioni 2

1. Shprehni herësin si fuqi:

2. Gjeni kuptimin e shprehjeve.

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose nxitje të ngjashme, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi ndaj palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Në rast se është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin gjyqësor, në procedurat ligjore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet shtetërore në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione rreth jush nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për arsye sigurie, zbatimi të ligjit ose arsye të tjera të interesit publik.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Ruajtja e privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Ne kuptuam se cila është shkalla e një numri në përgjithësi. Tani duhet të kuptojmë se si ta llogarisim saktë, d.m.th. ngriti numrat në fuqi. Në këtë material do të analizojmë rregullat bazë për llogaritjen e shkallës në rastin e një eksponenti të plotë, natyror, thyesor, racional dhe irracional. Të gjitha përkufizimet do të ilustrohen me shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncepti i fuqizimit

Le të fillojmë me formulimin e përkufizimeve bazë.

Përkufizimi 1

Eksponentimiështë llogaritja e vlerës së fuqisë së një numri.

Kjo do të thotë, fjalët "llogaritja e vlerës së shkallës" dhe "përhapja" nënkuptojnë të njëjtën gjë. Pra, nëse detyra është "Ngritni numrin 0, 5 në fuqinë e pestë", kjo duhet të kuptohet si "llogaritni vlerën e fuqisë (0, 5) 5 .

Tani japim rregullat bazë që duhet të ndiqen në llogaritjet e tilla.

Kujtoni se çfarë është fuqia e një numri me një eksponent natyror. Për një fuqi me bazë a dhe eksponent n, ky do të jetë prodhimi i numrit të n-të të faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a. Kjo mund të shkruhet kështu:

Për të llogaritur vlerën e shkallës, duhet të kryeni operacionin e shumëzimit, domethënë të shumëzoni bazat e shkallës me numrin e caktuar të herë. Vetë koncepti i një diplome me një tregues natyror bazohet në aftësinë për t'u shumëzuar shpejt. Le të japim shembuj.

Shembulli 1

Gjendja: Ngritja - 2 në fuqinë e 4 .

Vendimi

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, shkruajmë: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Më pas, na duhet vetëm të ndjekim këto hapa dhe të marrim 16 .

Le të marrim një shembull më të ndërlikuar.

Shembulli 2

Llogaritni vlerën 3 2 7 2

Vendimi

Kjo hyrje mund të rishkruhet si 3 2 7 · 3 2 7 . Më herët kemi parë se si të shumëzojmë saktë numrat e përzier të përmendur në kusht.

Kryeni këto hapa dhe merrni përgjigjen: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Nëse detyra tregon nevojën për të ngritur numrat irracionalë në një fuqi natyrore, do të duhet së pari të rrumbullakosim bazat e tyre në një shifër që do të na lejojë të marrim një përgjigje të saktësisë së dëshiruar. Le të marrim një shembull.

Shembulli 3

Kryeni katrorin e numrit π .

Vendimi

Së pari le ta rrumbullakojmë në të qindtat. Pastaj π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Nëse π ≈ 3 . 14159, atëherë do të marrim një rezultat më të saktë: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Vini re se nevoja për të llogaritur fuqitë e numrave irracionalë në praktikë lind relativisht rrallë. Më pas mund ta shkruajmë përgjigjen si vetë fuqinë (ln 6) 3 ose ta konvertojmë nëse është e mundur: 5 7 = 125 5 .

Më vete, duhet të tregohet se cila është fuqia e parë e një numri. Këtu thjesht mund të mbani mend se çdo numër i ngritur në fuqinë e parë do të mbetet vetë:

Kjo është e qartë nga të dhënat. .

Nuk varet nga shkalla.

Shembulli 4

Pra, (− 9) 1 = − 9 , dhe 7 3 e ngritur në fuqinë e parë mbetet e barabartë me 7 3 .

Për lehtësi, ne do të analizojmë tre raste veç e veç: nëse eksponenti është një numër i plotë pozitiv, nëse është zero dhe nëse është një numër i plotë negativ.

Në rastin e parë, kjo është njësoj si ngritja në një fuqi natyrore: në fund të fundit, numrat e plotë pozitiv i përkasin grupit të numrave natyrorë. Ne kemi përshkruar tashmë se si të punojmë me diploma të tilla më lart.

Tani le të shohim se si të ngrihet siç duhet në fuqinë zero. Me një bazë që nuk është zero, kjo llogaritje prodhon gjithmonë një dalje prej 1. Ne kemi shpjeguar më parë se fuqia 0 e a mund të përcaktohet për çdo numër real jo të barabartë me 0, dhe a 0 = 1.

Shembulli 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nuk është përcaktuar.

Na mbetet vetëm rasti i një shkalle me një eksponent negativ të numrit të plotë. Ne kemi diskutuar tashmë se shkallë të tilla mund të shkruhen si një thyesë 1 a z, ku a është çdo numër dhe z është një numër i plotë negativ. Ne shohim se emëruesi i kësaj thyese nuk është asgjë më shumë se një shkallë e zakonshme me një numër të plotë pozitiv, dhe ne kemi mësuar tashmë se si ta llogarisim atë. Le të japim shembuj të detyrave.

Shembulli 6

Ngrini 3 në fuqinë -2.

Vendimi

Duke përdorur përkufizimin e mësipërm, ne shkruajmë: 2 - 3 = 1 2 3

Ne llogarisim emëruesin e kësaj fraksioni dhe marrim 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Atëherë përgjigja është: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Shembulli 7

Ngrini 1, 43 në fuqinë -2.

Vendimi

Riformuloni: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Njehsojmë katrorin në emërues: 1,43 1,43. Dhjetorët mund të shumëzohen në këtë mënyrë:

Si rezultat, ne morëm (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 . Na mbetet ta shkruajmë këtë rezultat në formën e një fraksioni të zakonshëm, për të cilin është e nevojshme ta shumëzojmë me 10 mijë (shiko materialin për shndërrimin e fraksioneve).

Përgjigje: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Një rast i veçantë është ngritja e një numri në fuqinë e parë minus. Vlera e një shkalle të tillë është e barabartë me numrin e kundërt me vlerën origjinale të bazës: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Shembulli 8

Shembull: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Si të ngrihet një numër në një fuqi thyesore

Për të kryer një operacion të tillë, duhet të kujtojmë përkufizimin bazë të një shkalle me një eksponent thyesor: a m n \u003d a m n për çdo a pozitiv, numër të plotë m dhe n natyror.

Përkufizimi 2

Kështu, llogaritja e një shkalle thyesore duhet të kryhet në dy hapa: ngritja në një fuqi të plotë dhe gjetja e rrënjës së shkallës së n-të.

Kemi barazinë a m n = a m n , e cila, duke pasur parasysh vetitë e rrënjëve, zakonisht përdoret për zgjidhjen e problemeve në formën a m n = a n m . Kjo do të thotë që nëse e ngremë numrin a në një fuqi thyesore m / n, atëherë së pari nxjerrim rrënjën e shkallës së n-të nga a, pastaj e ngremë rezultatin në një fuqi me një eksponent numër të plotë m.

Le ta ilustrojmë me një shembull.

Shembulli 9

Llogaritni 8 - 2 3 .

Vendimi

Metoda 1. Sipas përkufizimit bazë, ne mund ta përfaqësojmë këtë si: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Tani le të llogarisim shkallën nën rrënjë dhe nxjerrim rrënjën e tretë nga rezultati: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Le të transformojmë barazinë bazë: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Pas kësaj, nxjerrim rrënjën 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dhe katrore rezultatin: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Ne shohim se zgjidhjet janë identike. Ju mund të përdorni çdo mënyrë që ju pëlqen.

Ka raste kur shkalla ka një tregues të shprehur si numër i përzier ose thyesë dhjetore. Për lehtësinë e llogaritjes, është më mirë ta zëvendësoni atë me një fraksion të zakonshëm dhe të numëroni siç tregohet më sipër.

Shembulli 10

Ngritni 44.89 në fuqinë 2.5.

Vendimi

Le ta kthejmë vlerën e treguesit në një fraksion të zakonshëm - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Dhe tani ne kryejmë të gjitha veprimet e treguara më sipër me rend: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 501 = 20 13 501, 25107

Përgjigje: 13501, 25107.

Nëse ka numra të mëdhenj në numëruesin dhe emëruesin e një eksponenti thyesor, atëherë llogaritja e eksponentëve të tillë me eksponentë racionalë është një punë mjaft e vështirë. Zakonisht kërkon teknologji kompjuterike.

Më vete, ne ndalemi në shkallën me një bazë zero dhe një eksponent thyesor. Një shprehje e formës 0 m n mund t'i jepet kuptimi i mëposhtëm: nëse m n > 0, atëherë 0 m n = 0 m n = 0 ; nëse m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Si të ngrini një numër në një fuqi joracionale

Nevoja për të llogaritur vlerën e shkallës, në treguesin e së cilës ka një numër irracional, nuk lind aq shpesh. Në praktikë, detyra zakonisht kufizohet në llogaritjen e një vlere të përafërt (deri në një numër të caktuar të numrave dhjetorë). Kjo zakonisht llogaritet në një kompjuter për shkak të kompleksitetit të llogaritjeve të tilla, kështu që ne nuk do të ndalemi në këtë në detaje, ne do të tregojmë vetëm dispozitat kryesore.

Nëse duhet të llogarisim vlerën e shkallës a me një eksponent irracional a , atëherë marrim përafrimin dhjetor të eksponentit dhe numërojmë prej tij. Rezultati do të jetë një përgjigje e përafërt. Sa më i saktë të jetë përafrimi dhjetor, aq më e saktë është përgjigja. Le të tregojmë me një shembull:

Shembulli 11

Llogaritni një vlerë të përafërt prej 21 , 174367 ....

Vendimi

Kufizohemi në përafrimin dhjetor a n = 1, 17. Le t'i bëjmë llogaritjet duke përdorur këtë numër: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Nëse marrim, për shembull, përafrimin a n = 1 , 1743 , atëherë përgjigja do të jetë pak më e saktë: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Kur numri shumëfishohet vetë per veten time, puna thirrur shkallë.

Pra, 2.2 = 4, katror ose fuqia e dytë e 2
2.2.2 = 8, kub ose fuqi e tretë.
2.2.2.2 = 16, shkalla e katërt.

Gjithashtu, 10.10 = 100, fuqia e dytë është 10.
10.10.10 = 1000, shkalla e tretë.
10.10.10.10 = 10000 shkalla e katërt.

Dhe a.a = aa, fuqia e dytë e a
a.a.a = aaa, fuqia e tretë e a
a.a.a.a = aaaa, fuqia e katërt e a

Telefonohet numri origjinal rrënjë shkallët e atij numri, sepse ky është numri nga i cili janë krijuar shkallët.

Megjithatë, nuk është shumë e përshtatshme, sidomos në rastin e fuqive të larta, të shënohen të gjithë faktorët që përbëjnë pushtetet. Prandaj, përdoret një metodë e shkurtuar e shënimit. Rrënja e shkallës shkruhet vetëm një herë, dhe në të djathtë dhe pak më lart pranë saj, por me një font pak më të vogël shkruhet sa herë. rrënja vepron si një faktor. Ky numër ose shkronjë quhet eksponent ose shkallë numrat. Pra, një 2 është e barabartë me a.a ose aa, sepse rrënja e a duhet të shumëzohet me vetveten dy herë për të marrë fuqinë e aa. Gjithashtu, një 3 do të thotë aaa, domethënë këtu a përsëritet tri herë si shumëzues.

Eksponenti i fuqisë së parë është 1, por zakonisht nuk shkruhet. Pra, një 1 shkruhet si a.

Nuk duhet të ngatërroni gradën me koeficientët. Koeficienti tregon se sa shpesh merret vlera pjesë e tërë. Eksponenti tregon se sa shpesh merret vlera faktor në punë.
Pra, 4a = a + a + a + a. Por a 4 = a.a.a.a

Shënimi eksponencial ka avantazhin e veçantë që na lejon të shprehemi i panjohur shkallë. Për këtë qëllim, në vend të një numri, shkruhet eksponenti letër. Në procesin e zgjidhjes së problemit, ne mund të marrim një vlerë që, siç e dimë, është disa shkallë e një madhësie tjetër. Por deri tani nuk e dimë nëse është një katror, ​​një kub apo një shkallë tjetër më e lartë. Pra, në shprehjen a x, eksponenti do të thotë që kjo shprehje ka disa shkallë, edhe pse jo e përcaktuar çfarë shkalle. Pra, b m dhe d n janë ngritur në fuqitë e m dhe n. Kur të gjendet eksponenti, numri zëvendësohet me një letër. Pra, nëse m=3, atëherë b m = b 3 ; por nëse m = 5 atëherë b m =b 5 .

Metoda e shkrimit të vlerave me eksponentë është gjithashtu një avantazh i madh gjatë përdorimit shprehjet. Kështu, (a + b + d) 3 është (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), domethënë kubi i trinomit (a + b + d) . Por nëse e shkruajmë këtë shprehje pas kubit, do të duket si
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Nëse marrim një seri fuqish, eksponentët e të cilëve rriten ose zvogëlohen me 1, gjejmë se produkti rritet me faktor i përbashkët ose reduktohet me pjesëtues i përbashkët, dhe ky faktor ose pjesëtues është numri origjinal që është ngritur në një fuqi.

Pra, në serialin aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ose a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a 1 ;
treguesit, nëse numërohen nga e djathta në të majtë, janë 1, 2, 3, 4, 5; dhe ndryshimi midis vlerave të tyre është 1. Nëse fillojmë në të djathtë shumohen në a, do të marrim me sukses vlera të shumta.

Pra a.a = a 2, termi i dytë. Dhe një 3.a = a 4
a 2 .a = a 3, termi i tretë. a 4 .a = a 5 .

Nëse fillojmë majtas ndajnë ne nje,
marrim një 5:a = a 4 dhe një 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Por një proces i tillë ndarjeje mund të vazhdojë më tej, dhe ne marrim një grup të ri vlerash.

Pra, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Rreshti i plotë do të jetë: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Ose një 5, një 4, një 3, një 2, një, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Këtu vlerat në të djathtë nga njësia është e kundërta vlerat në të majtë të njërës. Prandaj, këto gradë mund të quhen fuqitë e anasjellta a. Mund të thuhet gjithashtu se fuqitë në të majtë janë inversi i fuqive në të djathtë.

Pra, 1: (1/a) = 1.(a/1) = a. Dhe 1: (1/a 3) = a 3 .

Mund të zbatohet i njëjti plan regjistrimi polinomet. Pra, për a + b, marrim një grup,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Për lehtësi, përdoret një formë tjetër e shkrimit të fuqive inverse.

Sipas kësaj forme, 1/a ose 1/a 1 = a -1 . Dhe 1/aaa ose 1/a 3 = a -3 .
1/aa ose 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ose 1/a 4 = a -4 .

Dhe për të bërë eksponentët një seri të plotë me 1 si diferencë totale, a/a ose 1 konsiderohet si e tillë që nuk ka shkallë dhe shkruhet si 0 .

Pastaj, duke marrë parasysh fuqitë e drejtpërdrejta dhe të kundërta
në vend të aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
ju mund të shkruani një 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Ose a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

Dhe një seri diplomash të marra veçmas do të ketë formën:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Rrënja e shkallës mund të shprehet me më shumë se një shkronjë.

Kështu, aa.aa ose (aa) 2 është fuqia e dytë e aa.
Dhe aa.aa.aa ose (aa) 3 është fuqia e tretë e aa.

Të gjitha shkallët e numrit 1 janë të njëjta: 1.1 ose 1.1.1. do të jetë e barabartë me 1.

Shpejtësia është gjetja e vlerës së çdo numri duke e shumëzuar atë numër me vetveten. Rregulli i fuqizimit:

Shumëzojeni vlerën në vetvete aq herë sa tregohet në fuqinë e numrit.

Ky rregull është i përbashkët për të gjithë shembujt që mund të lindin në procesin e fuqizimit. Por do të jetë e saktë të shpjegohet se si zbatohet në raste të veçanta.

Nëse vetëm një term është ngritur në një fuqi, atëherë ai shumëzohet në vetvete aq herë sa tregon eksponenti.

Fuqia e katërt a është 4 ose aaaa. (Neni 195.)
Fuqia e gjashtë e y është y 6 ose yyyyyy.
Fuqia e n-të e x është x n ose xxx..... n herë përsëritet.

Nëse është e nevojshme të ngrihet një shprehje e disa termave në një fuqi, parimi që shkalla e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e këtyre faktorëve të ngritur në një fuqi.

Pra (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Por ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Pra, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Prandaj, në gjetjen e shkallës së një produkti, ne ose mund të operojmë në të gjithë produktin në të njëjtën kohë, ose mund të operojmë në secilin faktor veç e veç dhe më pas t'i shumëzojmë vlerat e tyre me gradë.

Shembulli 1. Fuqia e katërt e dhy është (dhy) 4 , ose d 4 h 4 y 4 .

Shembulli 2. Fuqia e tretë e 4b është (4b) 3 , ose 4 3 b 3 , ose 64b 3 .

Shembulli 3. Fuqia e n-të e 6ad është (6ad) n ose 6 n a n d n .

Shembulli 4. Fuqia e tretë e 3m.2y është (3m.2y) 3 , ose 27m 3 .8y 3 .

Shkalla e një binomi, i përbërë nga terma të lidhur me + dhe -, llogaritet duke shumëzuar termat e tij. Po,

(a + b) 1 = a + b, fuqia e parë.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, fuqia e dytë (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, shkalla e tretë.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, shkalla e katërt.

Sheshi a - b, ka një 2 - 2ab + b 2 .