Në praktikë, është mjaft e zakonshme të përdoret derivati për të llogaritur vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni. Ne e kryejmë këtë veprim kur kuptojmë se si të minimizojmë kostot, të rrisim fitimet, të llogarisim ngarkesën optimale në prodhim, etj., domethënë në ato raste kur është e nevojshme të përcaktohet vlera optimale e një parametri. Për të zgjidhur në mënyrë korrekte probleme të tilla, duhet të keni një kuptim të mirë të vlerës më të madhe dhe më të vogël të një funksioni.
Zakonisht këto vlera i përcaktojmë brenda një intervali x, i cili nga ana tjetër mund të korrespondojë me të gjithë fushëveprimin e funksionit ose një pjesë të tij. Mund të jetë ose një segment [a; b ] , dhe intervali i hapur (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , intervali i pafund (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) ose intervali i pafund - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
Në këtë artikull, ne do të përshkruajmë se si llogaritet vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni të dhënë në mënyrë eksplicite me një ndryshore y=f(x) y = f (x).
Përkufizimet bazë
Ne fillojmë, si gjithmonë, me formulimin e përkufizimeve kryesore.
Përkufizimi 1
Vlera më e madhe e funksionit y = f (x) në një interval x është vlera m a x y = f (x 0) x ∈ X , e cila, për çdo vlerë x x ∈ X , x ≠ x 0, bën pabarazinë f (x ) ≤ f (x 0) .
Përkufizimi 2
Vlera më e vogël e funksionit y = f (x) në një interval x është vlera m i n x ∈ X y = f (x 0) , e cila, për çdo vlerë x ∈ X , x ≠ x 0, bën pabarazinë f(X f (x) ≥ f(x0) .
Këto përkufizime janë mjaft të qarta. Mund të jetë edhe më e thjeshtë të thuash këtë: vlera më e madhe e një funksioni është vlera më e madhe e tij në një interval të njohur në abshissa x 0, dhe më e vogla është vlera më e vogël e pranuar në të njëjtin interval në x 0.
Përkufizimi 3
Pikat stacionare janë vlera të tilla të argumentit të funksionit në të cilin derivati i tij bëhet 0.
Pse duhet të dimë se cilat janë pikat e palëvizshme? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet të kujtojmë teoremën e Fermatit. Nga kjo rrjedh se një pikë e palëvizshme është një pikë në të cilën ndodhet ekstremi i një funksioni të diferencueshëm (d.m.th., minimumi ose maksimumi i tij lokal). Rrjedhimisht, funksioni do të marrë vlerën më të vogël ose më të madhe në një interval të caktuar pikërisht në një nga pikat e palëvizshme.
Një funksion tjetër mund të marrë vlerën më të madhe ose më të vogël në ato pika në të cilat vetë funksioni është i përcaktuar dhe derivati i tij i parë nuk ekziston.
Pyetja e parë që lind gjatë studimit të kësaj teme është: në të gjitha rastet, a mund të përcaktojmë vlerën maksimale ose minimale të një funksioni në një interval të caktuar? Jo, nuk mund ta bëjmë këtë kur kufijtë e intervalit të dhënë do të përkojnë me kufijtë e fushës së përkufizimit, ose nëse kemi të bëjmë me një interval të pafund. Ndodh gjithashtu që një funksion në një interval të caktuar ose në pafundësi të marrë vlera pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha. Në këto raste, nuk është e mundur të përcaktohet vlera më e madhe dhe/ose më e vogël.
Këto momente do të bëhen më të kuptueshme pas imazhit në grafikët:
Figura e parë na tregon një funksion që merr vlerat më të mëdha dhe më të vogla (m a x y dhe m i n y) në pikat stacionare të vendosura në intervalin [ - 6 ; 6].
Le të shqyrtojmë në detaje rastin e treguar në grafikun e dytë. Le të ndryshojmë vlerën e segmentit në [1; 6] dhe marrim se vlera më e madhe e funksionit do të arrihet në pikën me abshisën në kufirin e djathtë të intervalit, dhe më e vogla - në pikën e palëvizshme.
Në figurën e tretë, abshisat e pikave përfaqësojnë pikat kufitare të segmentit [-3; 2]. Ato korrespondojnë me vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit të dhënë.
Tani le të shohim foton e katërt. Në të, funksioni merr m a x y (vlera më e madhe) dhe m i n y (vlera më e vogël) në pika të palëvizshme në intervalin e hapur (- 6 ; 6) .
Nëse marrim intervalin [1; 6), atëherë mund të themi se vlera më e vogël e funksionit në të do të arrihet në një pikë të palëvizshme. Ne nuk do ta dimë vlerën maksimale. Funksioni mund të marrë vlerën më të madhe në x të barabartë me 6 nëse x = 6 i përkiste intervalit. Është ky rast që tregohet në Figurën 5.
Në grafikun 6, ky funksion fiton vlerën më të vogël në kufirin e djathtë të intervalit (- 3 ; 2 ] , dhe nuk mund të nxjerrim përfundime të caktuara për vlerën më të madhe.
Në figurën 7, shohim se funksioni do të ketë m a x y në pikën e palëvizshme, duke pasur një abshisë të barabartë me 1. Funksioni arrin vlerën e tij minimale në kufirin e intervalit në anën e djathtë. Në minus pafundësi, vlerat e funksionit do të afrohen asimptotikisht y = 3.
Nëse marrim një interval x ∈ 2 ; + ∞ , atëherë do të shohim që funksioni i dhënë nuk do të marrë as vlerën më të vogël as vlerën më të madhe. Nëse x tenton në 2, atëherë vlerat e funksionit do të priren në minus pafundësi, pasi vija e drejtë x = 2 është një asimptotë vertikale. Nëse abshisa tenton në plus pafundësi, atëherë vlerat e funksionit do t'i afrohen asimptotikisht y = 3. Ky është rasti i paraqitur në Figurën 8.
Në këtë paragraf, ne do të japim një sekuencë veprimesh që duhet të kryhen për të gjetur vlerën më të madhe ose më të vogël të një funksioni në një interval të caktuar.
- Së pari, le të gjejmë domenin e funksionit. Le të kontrollojmë nëse segmenti i specifikuar në kusht përfshihet në të.
- Tani le të llogarisim pikat që përmban ky segment në të cilin derivati i parë nuk ekziston. Më shpesh, ato mund të gjenden në funksione, argumenti i të cilëve është shkruar nën shenjën e modulit, ose në funksionet e fuqisë, eksponenti i të cilave është një numër racional thyesor.
- Më pas, zbulojmë se cilat pika të palëvizshme bien në një segment të caktuar. Për ta bërë këtë, duhet të llogaritni derivatin e funksionit, më pas ta barazoni me 0 dhe të zgjidhni ekuacionin që rezulton, dhe më pas të zgjidhni rrënjët e duhura. Nëse nuk marrim një pikë të vetme të palëvizshme ose ato nuk bien në një segment të caktuar, atëherë vazhdojmë në hapin tjetër.
- Le të përcaktojmë se çfarë vlerash do të marrë funksioni në pikat e dhëna stacionare (nëse ka), ose në ato pika ku derivati i parë nuk ekziston (nëse ka), ose ne llogarisim vlerat për x = a dhe x = b.
- 5. Kemi një sërë vlerash funksioni, nga të cilat tani duhet të zgjedhim më të madhin dhe më të voglin. Këto do të jenë vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit që duhet të gjejmë.
Le të shohim se si ta zbatojmë saktë këtë algoritëm kur zgjidhim probleme.
Shembulli 1
Kushti: jepet funksioni y = x 3 + 4 x 2. Përcaktoni vlerën e tij më të madhe dhe më të vogël në segmentet [1; 4 ] dhe [ - 4 ; - një ] .
Vendimi:
Le të fillojmë duke gjetur domenin e këtij funksioni. Në këtë rast, do të jetë bashkësia e të gjithë numrave realë përveç 0. Me fjalë të tjera, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Të dy segmentet e specifikuar në kusht do të jenë brenda zonës së përkufizimit.
Tani llogarisim derivatin e funksionit sipas rregullit të diferencimit të një thyese:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Mësuam se derivati i funksionit do të ekzistojë në të gjitha pikat e segmenteve [1; 4 ] dhe [ - 4 ; - një ] .
Tani duhet të përcaktojmë pikat stacionare të funksionit. Le ta bëjmë këtë me ekuacionin x 3 - 8 x 3 = 0. Ajo ka vetëm një rrënjë të vërtetë, e cila është 2. Do të jetë një pikë e palëvizshme e funksionit dhe do të bjerë në segmentin e parë [1; 4 ] .
Le të llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit të parë dhe në pikën e dhënë, d.m.th. për x = 1, x = 2 dhe x = 4:
y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Kemi përftuar se vlera më e madhe e funksionit m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 do të arrihet në x = 1, dhe m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – në x = 2 .
Segmenti i dytë nuk përfshin asnjë pikë të palëvizshme, kështu që ne duhet të llogarisim vlerat e funksionit vetëm në skajet e segmentit të caktuar:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Prandaj, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Përgjigje: Për segmentin [1; 4 ] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, për segmentin [-4; - 1 ] - m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Shihni foton:
Para se të mësoni këtë metodë, ju këshillojmë të rishikoni se si të llogarisni saktë kufirin e njëanshëm dhe kufirin në pafundësi, si dhe të mësoni metodat themelore për gjetjen e tyre. Për të gjetur vlerën më të madhe dhe/ose më të vogël të një funksioni në një interval të hapur ose të pafund, ne kryejmë hapat e mëposhtëm me radhë.
- Së pari ju duhet të kontrolloni nëse intervali i dhënë do të jetë një nëngrup i domenit të funksionit të dhënë.
- Le të përcaktojmë të gjitha pikat që përmbahen në intervalin e kërkuar dhe në të cilat derivati i parë nuk ekziston. Zakonisht ato ndodhin në funksione ku argumenti është i mbyllur në shenjën e modulit, dhe në funksionet e fuqisë me një eksponent racional fraksional. Nëse këto pika mungojnë, atëherë mund të vazhdoni në hapin tjetër.
- Tani përcaktojmë se cilat pika të palëvizshme bien në një interval të caktuar. Së pari, barazojmë derivatin me 0, zgjidhim ekuacionin dhe gjejmë rrënjët e përshtatshme. Nëse nuk kemi një pikë të vetme të palëvizshme ose ato nuk bien brenda intervalit të specifikuar, atëherë ne vazhdojmë menjëherë me veprime të mëtejshme. Ato përcaktohen nga lloji i intervalit.
- Nëse intervali duket si [a; b) , atëherë duhet të llogarisim vlerën e funksionit në pikën x = a dhe kufirin e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) .
- Nëse intervali ka formën (a ; b ] , atëherë duhet të llogarisim vlerën e funksionit në pikën x = b dhe kufirin e njëanshëm lim x → a + 0 f (x) .
- Nëse intervali ka formën (a ; b) , atëherë duhet të llogarisim kufijtë e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
- Nëse intervali duket si [a; + ∞) , atëherë është e nevojshme të llogaritet vlera në pikën x = a dhe kufiri në plus pafundësi lim x → + ∞ f (x) .
- Nëse intervali duket si (- ∞ ; b ] , ne llogarisim vlerën në pikën x = b dhe kufirin në minus pafundësi lim x → - ∞ f (x) .
- Nëse - ∞ ; b , atëherë konsiderojmë kufirin e njëanshëm lim x → b - 0 f (x) dhe kufirin në minus pafundësi lim x → - ∞ f (x)
- Nëse - ∞ ; + ∞ , atëherë konsiderojmë kufijtë në minus dhe plus pafundësi lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- Në fund, duhet të nxirrni një përfundim bazuar në vlerat e marra të funksionit dhe kufijve. Këtu ka shumë opsione. Pra, nëse kufiri i njëanshëm është i barabartë me minus pafundësi ose plus pafundësi, atëherë është menjëherë e qartë se asgjë nuk mund të thuhet për vlerën më të vogël dhe më të madhe të funksionit. Më poshtë do të shqyrtojmë një shembull tipik. Përshkrimet e hollësishme do t'ju ndihmojnë të kuptoni se çfarë është ajo. Nëse është e nevojshme, mund të ktheheni te figurat 4 - 8 në pjesën e parë të materialit.
Kushti: jepet një funksion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Llogaritni vlerën e tij më të madhe dhe më të vogël në intervalet - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞, [4; +∞) .
Vendimi
Para së gjithash, gjejmë domenin e funksionit. Emëruesi i thyesës është një trinom katror, i cili nuk duhet të shkojë në 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Ne kemi marrë shtrirjen e funksionit, të cilit i përkasin të gjitha intervalet e specifikuara në kusht.
Tani le të dallojmë funksionin dhe të marrim:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Rrjedhimisht, derivatet e një funksioni ekzistojnë në të gjithë domenin e përkufizimit të tij.
Le të kalojmë në gjetjen e pikave të palëvizshme. Derivati i funksionit bëhet 0 në x = - 1 2 . Kjo është një pikë e palëvizshme që është në intervalet (- 3 ; 1 ] dhe (- 3 ; 2) .
Le të llogarisim vlerën e funksionit në x = - 4 për intervalin (- ∞ ; - 4 ] , si dhe kufirin në minus pafundësi:
y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Meqenëse 3 e 1 6 - 4 > - 1 , atëherë m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Kjo nuk na lejon të përcaktojmë në mënyrë unike vlerën më të vogël të funksionit. Mund të konkludojmë vetëm se ekziston një kufi nën - 1, pasi është pikërisht kjo vlerë që funksioni afrohet në mënyrë asimptotike në minus pafundësi.
Një tipar i intervalit të dytë është se ai nuk ka një pikë të vetme të palëvizshme dhe asnjë kufi të vetëm të rreptë. Prandaj, ne nuk mund të llogarisim as vlerën më të madhe dhe as më të vogël të funksionit. Duke përcaktuar kufirin në minus pafundësi dhe ndërsa argumenti tenton në - 3 në anën e majtë, marrim vetëm gamën e vlerave:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Kjo do të thotë që vlerat e funksionit do të vendosen në intervalin - 1; +∞
Për të gjetur vlerën maksimale të funksionit në intervalin e tretë, ne përcaktojmë vlerën e tij në pikën stacionare x = - 1 2 nëse x = 1 . Ne gjithashtu duhet të dimë kufirin e njëanshëm për rastin kur argumenti priret në - 3 në anën e djathtë:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Doli se funksioni do të marrë vlerën më të madhe në një pikë stacionare m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Sa i përket vlerës më të vogël, ne nuk mund ta përcaktojmë atë. Gjithçka që ne di , është prania e një kufiri më të ulët në - 4 .
Për intervalin (- 3 ; 2), le të marrim rezultatet e llogaritjes së mëparshme dhe të llogarisim edhe një herë se me çfarë kufiri i njëanshëm është i barabartë kur priremi në 2 nga ana e majtë:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Prandaj, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , dhe vlera më e vogël nuk mund të përcaktohet, dhe vlerat e funksionit kufizohen nga poshtë me numrin - 4 .
Bazuar në atë që bëmë në dy llogaritjet e mëparshme, mund të pohojmë se në intervalin [1; 2) funksioni do të marrë vlerën më të madhe në x = 1, dhe është e pamundur të gjendet më e vogla.
Në intervalin (2 ; + ∞), funksioni nuk do të arrijë as vlerën më të madhe dhe as vlerën më të vogël, d.m.th. do të marrë vlera nga intervali - 1; +∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Pasi kemi llogaritur se sa do të jetë vlera e funksionit të barabartë me x = 4 , zbulojmë se m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , dhe funksioni i dhënë në plus pafundësi do t'i afrohet asimptotikisht drejtëzës y = - 1 .
Le të krahasojmë atë që kemi marrë në çdo llogaritje me grafikun e funksionit të dhënë. Në figurë, asimptotat tregohen me vija me pika.
Kjo është gjithçka që donim të flisnim për gjetjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël të një funksioni. Ato sekuenca veprimesh që kemi dhënë do t'ju ndihmojnë të bëni llogaritjet e nevojshme sa më shpejt dhe thjesht. Por mbani mend se shpesh është e dobishme që fillimisht të zbuloni se në cilat intervale funksioni do të ulet dhe në cilat intervale do të rritet, pas së cilës mund të nxirren përfundime të mëtejshme. Kështu që ju mund të përcaktoni më saktë vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit dhe të justifikoni rezultatet.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Le të shohim se si të eksplorojmë një funksion duke përdorur një grafik. Rezulton se duke parë grafikun, mund të zbuloni gjithçka që na intereson, përkatësisht:
- fushëveprimi i funksionit
- diapazoni i funksionit
- funksioni zero
- periudhat e rritjes dhe uljes
- pikat e larta dhe të ulëta
- vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit në interval.
Le të sqarojmë terminologjinë:
Abshisaështë koordinata horizontale e pikës.
Ordinator- koordinata vertikale.
abshisë- boshti horizontal, më shpesh i quajtur bosht.
boshti Y- bosht vertikal, ose bosht.
Argumentiështë një variabël i pavarur nga i cili varen vlerat e funksionit. Më shpesh tregohet.
Me fjalë të tjera, ne vetë zgjedhim , zëvendësojmë në formulën e funksionit dhe marrim .
Domeni funksionet - grupi i atyre (dhe vetëm atyre) vlerave të argumentit për të cilin ekziston funksioni.
Shënohet: ose .
Në figurën tonë, domeni i funksionit është një segment. Pikërisht në këtë segment vizatohet grafiku i funksionit. Vetëm këtu ekziston ky funksion.
Gama e funksionitështë grupi i vlerave që merr ndryshorja. Në figurën tonë, ky është një segment - nga vlera më e ulët në atë më të lartë.
Funksioni zero- pikat ku vlera e funksionit është e barabartë me zero, d.m.th. Në figurën tonë, këto janë pikat dhe .
Vlerat e funksionit janë pozitive ku . Në figurën tonë, këto janë intervalet dhe .
Vlerat e funksionit janë negative ku . Kemi këtë interval (ose interval) nga në.
Konceptet më të rëndësishme - funksion në rritje dhe në ulje në disa set. Si grup, mund të merrni një segment, një interval, një bashkim intervalesh ose të gjithë vijën numerike.
Funksioni rritet
Me fjalë të tjera, sa më shumë, aq më shumë, domethënë, grafiku shkon djathtas dhe lart.
Funksioni në rënie në bashkësinë nëse për ndonjë dhe që i përket grupit pabarazia nënkupton pabarazinë .
Për një funksion në rënie, një vlerë më e madhe korrespondon me një vlerë më të vogël. Grafiku shkon djathtas dhe poshtë.
Në figurën tonë, funksioni rritet në interval dhe zvogëlohet në intervalet dhe .
Le të përcaktojmë se çfarë është pikët maksimale dhe minimale të funksionit.
Pika maksimale- kjo është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e madhe se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Me fjalë të tjera, pika maksimale është një pikë e tillë, vlera e funksionit në të cilën më shumë sesa në ato fqinje. Kjo është një "kodër" lokale në tabelë.
Në figurën tonë - pika maksimale.
Pika e ulët- një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit, e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në të gjitha pikat mjaft afër tij.
Kjo do të thotë, pika minimale është e tillë që vlera e funksionit në të është më e vogël se në ato fqinje. Në grafik, kjo është një "vrimë" lokale.
Në figurën tonë - pika minimale.
Pika është kufiri. Nuk është një pikë e brendshme e fushës së përkufizimit dhe për këtë arsye nuk i përshtatet përkufizimit të një pike maksimale. Në fund të fundit, ajo nuk ka fqinjë në të majtë. Në të njëjtën mënyrë, nuk mund të ketë asnjë pikë minimale në grafikun tonë.
Pikët maksimale dhe minimale quhen kolektivisht pikat ekstreme të funksionit. Në rastin tonë, kjo është dhe .
Por çfarë nëse duhet të gjesh, për shembull, funksioni minimal në prerje? Në këtë rast, përgjigja është: sepse funksioni minimalështë vlera e tij në pikën minimale.
Në mënyrë të ngjashme, maksimumi i funksionit tonë është . Është arritur në pikën.
Mund të themi se ekstremet e funksionit janë të barabarta me dhe .
Ndonjëherë në detyra duhet të gjesh vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit në një segment të caktuar. Ato nuk përkojnë domosdoshmërisht me ekstremet.
Në rastin tonë vlera më e vogël e funksionit në interval është i barabartë dhe përkon me minimumin e funksionit. Por vlera e tij më e madhe në këtë segment është e barabartë me . Ajo arrihet në skajin e majtë të segmentit.
Në çdo rast, vlerat më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në një segment arrihen ose në pikat ekstreme ose në skajet e segmentit.
Ndonjëherë në problemet B15 ka funksione "të këqija" për të cilat është e vështirë të gjendet derivati. Më parë, kjo ishte vetëm në sonda, por tani këto detyra janë aq të zakonshme sa nuk mund të injorohen më gjatë përgatitjes për këtë provim.
Në këtë rast, truket e tjera funksionojnë, njëra prej të cilave është - monotone.
Funksioni f (x) quhet monoton në rritje në segment nëse për çdo pikë x 1 dhe x 2 të këtij segmenti është e vërtetë:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).
Funksioni f (x) quhet monoton në rënie në segment nëse për çdo pikë x 1 dhe x 2 të këtij segmenti është e vërtetë:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).
Me fjalë të tjera, për një funksion në rritje, sa më i madh të jetë x, aq më i madh është f(x). Për një funksion në rënie, e kundërta është e vërtetë: sa më shumë x , aq më të vogla f(x).
Për shembull, logaritmi rritet në mënyrë monotonike nëse baza a > 1 dhe zvogëlohet monotonisht nëse 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Rrënja katrore aritmetike (dhe jo vetëm katrore) rritet në mënyrë monotone në të gjithë domenin e përkufizimit:
Funksioni eksponencial sillet në mënyrë të ngjashme me logaritmin: rritet për një > 1 dhe zvogëlohet për 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Së fundi, gradë me një eksponent negativ. Mund t'i shkruani si thyesë. Ata kanë një pikë pushimi ku prishet monotonia.
Të gjitha këto funksione nuk gjenden kurrë në formën e tyre të pastër. Atyre u shtohen polinome, thyesa dhe marrëzi të tjera, për shkak të të cilave bëhet e vështirë të llogaritet derivati. Çfarë ndodh në këtë rast - tani do të analizojmë.
Koordinatat e kulmit të parabolës
Më shpesh, argumenti i funksionit zëvendësohet me trinomi katror të formës y = ax 2 + bx + c . Grafiku i tij është një parabolë standarde, në të cilën ne jemi të interesuar:
- Degët e parabolës - mund të shkojnë lart (për një > 0) ose poshtë (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Kulmi i një parabole është pika ekstreme e një funksioni kuadratik, në të cilën ky funksion merr më të voglin (për një > 0) ose më të madhin (a< 0) значение.
Me interesin më të madh është maja e një parabole, abshisa e së cilës llogaritet me formulën:
Pra, kemi gjetur pikën ekstreme të funksionit kuadratik. Por nëse funksioni origjinal është monoton, për të pika x 0 do të jetë gjithashtu një pikë ekstreme. Kështu, ne formulojmë rregullin kryesor:
Pikat ekstreme të trinomit katror dhe funksioni kompleks në të cilin hyn përkojnë. Prandaj, mund të kërkoni x 0 për një trinom katror dhe të harroni funksionin.
Nga arsyetimi i mësipërm, mbetet e paqartë se çfarë lloj pike marrim: një maksimum apo një minimum. Sidoqoftë, detyrat janë krijuar posaçërisht në mënyrë që të mos ketë rëndësi. Gjykojeni vetë:
- Nuk ka asnjë segment në gjendjen e problemit. Prandaj, nuk kërkohet të llogaritet f(a) dhe f(b). Mbetet të merren parasysh vetëm pikat ekstreme;
- Por ekziston vetëm një pikë e tillë - kjo është maja e parabolës x 0, koordinatat e së cilës llogariten fjalë për fjalë gojarisht dhe pa asnjë derivat.
Kështu, zgjidhja e problemit thjeshtohet shumë dhe reduktohet në vetëm dy hapa:
- Shkruani ekuacionin e parabolës y = ax 2 + bx + c dhe gjeni kulmin e saj duke përdorur formulën: x 0 = −b /2a;
- Gjeni vlerën e funksionit origjinal në këtë pikë: f (x 0). Nëse nuk ka kushte shtesë, kjo do të jetë përgjigja.
Në pamje të parë, ky algoritëm dhe justifikimi i tij mund të duket i ndërlikuar. Unë qëllimisht nuk postoj një skemë zgjidhjeje "të zhveshur", pasi zbatimi i pamenduar i rregullave të tilla është i mbushur me gabime.
Konsideroni detyrat reale nga provimi provues në matematikë - këtu është më e zakonshme kjo teknikë. Në të njëjtën kohë do të sigurohemi që në këtë mënyrë shumë probleme të B15 të bëhen pothuajse verbale.
Nën rrënjë është një funksion kuadratik y \u003d x 2 + 6x + 13. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë me degë lart, pasi koeficienti a \u003d 1\u003e 0.
Maja e parabolës:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3
Meqenëse degët e parabolës janë të drejtuara lart, në pikën x 0 \u003d −3, funksioni y \u003d x 2 + 6x + 13 merr vlerën më të vogël.
Rrënja është në rritje monotonike, kështu që x 0 është pika minimale e të gjithë funksionit. Ne kemi:
Detyrë. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Nën logaritëm është përsëri një funksion kuadratik: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafiku është një parabolë me degë lart, sepse a = 1 > 0.
Maja e parabolës:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1
Pra, në pikën x 0 = −1, funksioni kuadratik merr vlerën më të vogël. Por funksioni y = log 2 x është monoton, kështu që:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponenti është një funksion kuadratik y = 1 − 4x − x 2 . Le ta rishkruajmë në formë normale: y = −x 2 − 4x + 1.
Natyrisht, grafiku i këtij funksioni është një parabolë, e degëzuar poshtë (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2
Funksioni origjinal është eksponencial, është monoton, kështu që vlera më e madhe do të jetë në pikën e gjetur x 0 = −2:
Një lexues i vëmendshëm me siguri do të vërejë se ne nuk kemi shkruar zonën e vlerave të lejuara të rrënjës dhe logaritmit. Por kjo nuk kërkohej: brenda ka funksione, vlerat e të cilave janë gjithmonë pozitive.
Pasojat nga fushëveprimi i një funksioni
Ndonjëherë, për të zgjidhur problemin B15, nuk mjafton vetëm gjetja e kulmit të parabolës. Vlera e dëshiruar mund të qëndrojë në fund të segmentit, por jo në pikën ekstreme. Nëse detyra nuk specifikon fare një segment, shikoni diapazoni i tolerancës funksioni origjinal. Gjegjësisht:
Kushtojini vëmendje përsëri: zeroja mund të jetë fare mirë nën rrënjë, por kurrë në logaritëm ose emërues të një thyese. Le të shohim se si funksionon me shembuj specifik:
Detyrë. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit:
Nën rrënjë është përsëri një funksion kuadratik: y \u003d 3 - 2x - x 2. Grafiku i saj është një parabolë, por degëzohet poshtë që nga a = -1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Ne shkruajmë zonën e vlerave të lejuara (ODZ):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; një]
Tani gjeni kulmin e parabolës:
x 0 = −b /(2a) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1
Pika x 0 = -1 i përket segmentit ODZ - dhe kjo është mirë. Tani marrim parasysh vlerën e funksionit në pikën x 0, si dhe në skajet e ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Pra, morëm numrat 2 dhe 0. Na kërkohet të gjejmë më të madhin - ky është numri 2.
Detyrë. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit:
y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)
Brenda logaritmit ekziston një funksion kuadratik y \u003d 6x - x 2 - 5. Kjo është një parabolë me degë poshtë, por nuk mund të ketë numra negativë në logaritëm, kështu që ne shkruajmë ODZ:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Ju lutemi vini re: pabarazia është e rreptë, kështu që skajet nuk i përkasin ODZ. Në këtë mënyrë logaritmi ndryshon nga rrënja, ku skajet e segmentit na përshtaten mjaft mirë.
Duke kërkuar kulmin e parabolës:
x 0 = −b /(2a) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3
Pjesa e sipërme e parabolës përshtatet përgjatë ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Por meqenëse skajet e segmentit nuk na interesojnë, ne e konsiderojmë vlerën e funksionit vetëm në pikën x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
\(\blacktriangleright\) Për të gjetur vlerën më të madhe/më të vogël të një funksioni në segmentin \(\) , është e nevojshme që në mënyrë skematike të paraqitet grafiku i funksionit në këtë segment.
Në problemet nga kjo nëntemë, kjo mund të bëhet duke përdorur derivatin: gjeni intervalet e rritjes (\(f">0\) ) dhe zvogëlimit (\(f"<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktriangleright\) Mos harroni se funksioni mund të marrë vlerën maksimale/më të vogël jo vetëm në pikat e brendshme të segmentit \(\) , por edhe në skajet e tij.
\(\blacktreangleright\) Vlera maksimale/më e vogël e funksionit është vlera e koordinatës \(y=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\) Derivati i një funksioni kompleks \(f(t(x))\) kërkohet sipas rregullit: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivative) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(array) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Function ) f(x) & \text(Derivativ ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \fund(array)\]
Detyra 1 #2357
Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit
Gjeni vlerën më të vogël të funksionit \(y = e^(x^2 - 4)\) në intervalin \([-10; -2]\) .
ODZ: \(x\) - arbitrare.
1) \
\ Pra \(y" = 0\) kur \(x = 0\) .
3) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante \(y"\) në segmentin e konsideruar \([-10; -2]\) :
4) Skica e grafikut në segmentin \([-10; -2]\) :
Kështu, funksioni arrin vlerën e tij më të vogël në \([-10; -2]\) në \(x = -2\) .
\ Total: \(1\) është vlera më e vogël e funksionit \(y\) në \([-10; -2]\) .
Përgjigje: 1
Detyra 2 #2355
Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) në segmentin \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) - arbitrare.
1) \
Le të gjejmë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të domenit të funksionit, në të cilat derivati i tij është i barabartë me \(0\) ose nuk ekziston): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Shigjeta e majta e djathta\qquad x = 0\,.\] Derivati ekziston për çdo \(x\) .
2) Gjeni intervalet e shenjës konstante \(y"\):
3) Le të gjejmë intervalet e shenjës konstante \(y"\) në segmentin e konsideruar \([-1; 1]\) :
4) Skica e grafikut në segmentin \([-1; 1]\) :
Kështu, funksioni arrin vlerën e tij maksimale në \([-1; 1]\) në \(x = -1\) ose në \(x = 1\) . Le të krahasojmë vlerat e funksionit në këto pika.
\ Total: \(2\) është vlera më e madhe e funksionit \(y\) në \([-1; 1]\) .
Përgjigje: 2
Detyra 3 #2356
Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit
Gjeni vlerën më të vogël të funksionit \(y = \cos 2x\) në intervalin \(\) .
ODZ: \(x\) - arbitrare.
1) \
Le të gjejmë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të domenit të funksionit, në të cilat derivati i tij është i barabartë me \(0\) ose nuk ekziston): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Derivati ekziston për çdo \(x\) .
2) Gjeni intervalet e shenjës konstante \(y"\):
(këtu ka një numër të pafund boshllëqesh në të cilat alternojnë shenjat e derivatit).
3) Le të gjejmë intervalet e qëndrueshmërisë \(y"\) në segmentin e konsideruar \(\) :
4) Skica e grafikut në segmentin \(\) :
Kështu, funksioni arrin vlerën e tij më të vogël në \(\) në \(x = \dfrac(\pi)(2)\) .
\ Total: \(-1\) është vlera më e vogël e funksionit \(y\) në \(\) .
Përgjigje: -1
Detyra 4 #915
Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit
Gjeni vlerën më të madhe të një funksioni
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Le të vendosim për ODZ:
1) Shënoni \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , pastaj \(y(t)=-\log_(17)t\) .
Le të gjejmë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të domenit të funksionit, në të cilat derivati i tij është i barabartë me \(0\) ose nuk ekziston): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\shigjeta e majta djathtas\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– në ODZ, nga ku gjejmë rrënjën \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . Derivati i funksionit \(y\) nuk ekziston për \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) , por ky ekuacion ka një diskriminues negativ, prandaj nuk ka zgjidhje. Për të gjetur vlerën më të madhe / më të vogël të një funksioni, duhet të kuptoni se si duket skematikisht grafiku i tij.
2) Gjeni intervalet e shenjës konstante \(y"\):
3) Skicë grafike:
Kështu, funksioni arrin vlerën e tij maksimale në \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\):
\(y\majtas(\dfrac(\sqrt(2))(2)\djathtas) = -\log_(17)1 = 0\),
Total: \(0\) është vlera më e madhe e funksionit \(y\) .
Përgjigje: 0
Detyra 5 #2344
Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit
Gjeni vlerën më të vogël të një funksioni
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Le të vendosim për ODZ:
1) Shënoni \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , pastaj \(y(t)=\log_(3)t\) .
Le të gjejmë pikat kritike (d.m.th., pikat e brendshme të domenit të funksionit, në të cilat derivati i tij është i barabartë me \(0\) ose nuk ekziston): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Shigjeta majtas djathtas\qquad 2x+8 = 0\]- në ODZ, nga ku gjejmë rrënjën \ (x \u003d -4 \) . Derivati i funksionit \(y\) nuk ekziston për \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , por ky ekuacion ka një diskriminues negativ, prandaj nuk ka zgjidhje. Për të gjetur vlerën më të madhe / më të vogël të një funksioni, duhet të kuptoni se si duket skematikisht grafiku i tij.
2) Gjeni intervalet e shenjës konstante \(y"\):
3) Skicë grafike:
Kështu, \(x = -4\) është pika minimale e funksionit \(y\) dhe në të arrihet vlera më e vogël:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Total: \(1\) është vlera më e vogël e funksionit \(y\) .
Përgjigje: 1
Detyra 6 #917
Niveli i detyrës: Më i vështirë se provimi
Gjeni vlerën më të madhe të një funksioni
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Nga pikëpamja praktike, më interesant është përdorimi i derivatit për të gjetur vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni. Me çfarë lidhet? Maksimizimi i fitimeve, minimizimi i kostove, përcaktimi i ngarkesës optimale të pajisjeve... Me fjalë të tjera, në shumë fusha të jetës duhet zgjidhur problemi i optimizimit të disa parametrave. Dhe ky është problemi i gjetjes së vlerave më të mëdha dhe më të vogla të funksionit.
Duhet të theksohet se vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni zakonisht kërkohet në një interval X, i cili është ose i gjithë domeni i funksionit ose pjesë e domenit. Vetë intervali X mund të jetë një segment vije, një interval i hapur 
, një interval i pafund .
Në këtë artikull, ne do të flasim për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të dhënë në mënyrë eksplicite të një ndryshoreje y=f(x).
Navigimi i faqes.
Vlera më e madhe dhe më e vogël e një funksioni - përkufizime, ilustrime.
Le të ndalemi shkurtimisht në përkufizimet kryesore.
Vlera më e madhe e funksionit 
, e cila për çdo 
pabarazia është e vërtetë.
Vlera më e vogël e funksionit y=f(x) në intervalin X quhet vlerë e tillë 
, e cila për çdo pabarazia është e vërtetë.
Këto përkufizime janë intuitive: vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni është vlera më e madhe (më e vogël) e pranuar në intervalin në shqyrtim me abshisën.
Pikat e palëvizshme janë vlerat e argumentit në të cilin derivati i funksionit zhduket.
Pse na duhen pikat stacionare kur gjejmë vlerat më të mëdha dhe më të vogla? Përgjigjen për këtë pyetje e jep teorema e Fermatit. Nga kjo teoremë rrjedh se nëse një funksion i diferencueshëm ka një ekstrem (minimum lokal ose maksimum lokal) në një pikë, atëherë kjo pikë është e palëvizshme. Kështu, funksioni shpesh merr vlerën e tij maksimale (më të vogël) në intervalin X në një nga pikat e palëvizshme nga ky interval.
Gjithashtu, një funksion shpesh mund të marrë vlerat më të mëdha dhe më të vogla në pikat ku derivati i parë i këtij funksioni nuk ekziston dhe vetë funksioni është i përcaktuar.
Le t'i përgjigjemi menjëherë një prej pyetjeve më të zakonshme në këtë temë: "A është gjithmonë e mundur të përcaktohet vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni"? Jo jo gjithmonë. Ndonjëherë kufijtë e intervalit X përkojnë me kufijtë e domenit të funksionit, ose intervali X është i pafund. Dhe disa funksione në pafundësi dhe në kufijtë e fushës së përkufizimit mund të marrin vlera pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla. Në këto raste, nuk mund të thuhet asgjë për vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit.
Për qartësi, ne japim një ilustrim grafik. Shikoni fotot - dhe shumë gjëra do të bëhen të qarta.
Në segmentin
Në figurën e parë, funksioni merr vlerat më të mëdha (max y) dhe më të vogla (min y) në pikat stacionare brenda segmentit [-6;6].
Merrni parasysh rastin e treguar në figurën e dytë. Ndrysho segmentin në . Në këtë shembull, vlera më e vogël e funksionit arrihet në një pikë të palëvizshme, dhe më e madhja - në një pikë me një abshisë që korrespondon me kufirin e djathtë të intervalit.
Në figurën nr. 3, pikat kufitare të segmentit [-3; 2] janë abshisat e pikave që korrespondojnë me vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit.
Në gamë të hapur
Në figurën e katërt, funksioni merr vlerat më të mëdha (max y) dhe më të vogla (min y) në pikat stacionare brenda intervalit të hapur (-6;6).
Në intervalin , nuk mund të nxirren përfundime për vlerën më të madhe.
Në pafundësi
Në shembullin e paraqitur në figurën e shtatë, funksioni merr vlerën më të madhe (max y ) në një pikë të palëvizshme me x=1 abshisë, dhe vlera më e vogël (min y ) arrihet në kufirin e djathtë të intervalit. Në minus pafundësi, vlerat e funksionit i afrohen asimptotikisht y=3.
Në interval, funksioni nuk arrin as vlerën më të vogël as vlerën më të madhe. Ndërsa x=2 priret djathtas, vlerat e funksionit priren në minus pafundësi (vija e drejtë x=2 është një asimptotë vertikale), dhe ndërsa abshisa tenton në plus pafundësi, vlerat e funksionit i afrohen asimptotikisht y=3 . Një ilustrim grafik i këtij shembulli është paraqitur në Figurën 8.
Algoritmi për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni të vazhdueshëm në segment.
Ne shkruajmë një algoritëm që na lejon të gjejmë vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni në një segment.
- Gjejmë domenin e funksionit dhe kontrollojmë nëse ai përmban të gjithë segmentin.
- Gjejmë të gjitha pikat në të cilat derivati i parë nuk ekziston dhe të cilat gjenden në segment (zakonisht pika të tilla ndodhin në funksione me një argument nën shenjën e modulit dhe në funksionet e fuqisë me një eksponent thyesor-racional). Nëse nuk ka pika të tilla, atëherë shkoni në pikën tjetër.
- Ne përcaktojmë të gjitha pikat e palëvizshme që bien në segment. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë atë me zero, zgjidhim ekuacionin që rezulton dhe zgjedhim rrënjët e duhura. Nëse nuk ka pika të palëvizshme ose asnjëra prej tyre nuk bie në segment, atëherë shkoni në hapin tjetër.
- Ne llogarisim vlerat e funksionit në pikat stacionare të zgjedhura (nëse ka), në pikat ku derivati i parë nuk ekziston (nëse ka), dhe gjithashtu në x=a dhe x=b.
- Nga vlerat e marra të funksionit, ne zgjedhim më të madhin dhe më të voglin - ato do të jenë respektivisht vlerat maksimale të dëshiruara dhe më të vogla të funksionit.
Le të analizojmë algoritmin kur zgjidhim një shembull për gjetjen e vlerave më të mëdha dhe më të vogla të një funksioni në një segment.
Shembull.
Gjeni vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni
- në segment;
- në intervalin [-4;-1].
Vendimi.
Fusha e funksionit është tërësia e numrave realë, përveç zeros, domethënë . Të dy segmentet bien në domenin e përkufizimit.
Gjejmë derivatin e funksionit në lidhje me: 
Natyrisht, derivati i funksionit ekziston në të gjitha pikat e segmenteve dhe [-4;-1] .
Pikat e palëvizshme përcaktohen nga ekuacioni . Rrënja e vetme reale është x=2. Kjo pikë e palëvizshme bie në segmentin e parë.
Për rastin e parë, ne llogarisim vlerat e funksionit në skajet e segmentit dhe në një pikë të palëvizshme, domethënë për x=1, x=2 dhe x=4: 
Prandaj, vlera më e madhe e funksionit 
arrihet në x=1 , dhe vlera më e vogël 
– në x=2 .
Për rastin e dytë, ne llogarisim vlerat e funksionit vetëm në skajet e segmentit [-4;-1] (pasi nuk përmban një pikë të vetme të palëvizshme): 
Vendimi.
Le të fillojmë me shtrirjen e funksionit. Trinomi katror në emëruesin e një thyese nuk duhet të zhduket: 
Është e lehtë të kontrollohet se të gjitha intervalet nga gjendja e problemit i përkasin domenit të funksionit.
Le të dallojmë funksionin: 
Natyrisht, derivati ekziston në të gjithë domenin e funksionit.
Le të gjejmë pika të palëvizshme. Derivati zhduket në . Kjo pikë e palëvizshme bie brenda intervaleve (-3;1] dhe (-3;2) .
Dhe tani mund të krahasoni rezultatet e marra në secilën pikë me grafikun e funksionit. Vijat blu me pika tregojnë asimptotat.
Kjo mund të përfundojë me gjetjen e vlerës më të madhe dhe më të vogël të funksionit. Algoritmet e diskutuara në këtë artikull ju lejojnë të merrni rezultate me një minimum veprimesh. Megjithatë, mund të jetë e dobishme që fillimisht të përcaktohen intervalet e rritjes dhe uljes së funksionit dhe vetëm pas kësaj të nxirren përfundime për vlerën më të madhe dhe më të vogël të funksionit në çdo interval. Kjo jep një pamje më të qartë dhe një justifikim rigoroz të rezultateve.
