Logaritmi i një numri pozitiv b për bazën a (a>0, a nuk është i barabartë me 1) është një numër c i tillë që a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Vini re se logaritmi i një numri jo pozitiv nuk është i përcaktuar. Përveç kësaj, baza e logaritmit duhet të jetë numër pozitiv, i cili nuk është i barabartë me 1. Për shembull, nëse vendosim në katror -2, marrim numrin 4, por kjo nuk do të thotë se logaritmi bazë -2 i 4 është 2.
Identiteti bazë logaritmik
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Është e rëndësishme që domenet e përcaktimit të pjesës së djathtë dhe të majtë të kësaj formule të jenë të ndryshme. Ana e majtë është përcaktuar vetëm për b>0, a>0 dhe a ≠ 1. Ana e djathtë është përcaktuar për çdo b dhe nuk varet fare nga a. Kështu, aplikimi i "identitetit" bazë logaritmik në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive mund të çojë në një ndryshim në DPV.
Dy pasoja të dukshme të përkufizimit të logaritmit
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Në të vërtetë, kur e ngremë numrin a në fuqinë e parë, marrim të njëjtin numër, dhe kur e ngremë atë në fuqinë zero, marrim një.
Logaritmi i prodhimit dhe logaritmi i herësit
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Dëshiroj t'i paralajmëroj nxënësit e shkollave kundër përdorimit të pamenduar të këtyre formulave kur zgjidhin ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë. Kur ato përdoren "nga e majta në të djathtë", ODZ ngushtohet dhe kur lëviz nga shuma ose diferenca e logaritmeve në logaritmin e produktit ose koeficientit, ODZ zgjerohet.
Në të vërtetë, shprehja log a (f (x) g (x)) përcaktohet në dy raste: kur të dy funksionet janë rreptësisht pozitive ose kur f(x) dhe g(x) janë të dy më pak se zero.
Duke e shndërruar këtë shprehje në shumën log a f (x) + log a g (x) , ne jemi të detyruar të kufizohemi vetëm në rastin kur f(x)>0 dhe g(x)>0. Ka një ngushtim të zonës vlerat e lejuara, dhe kjo është kategorikisht e papranueshme, sepse mund të çojë në humbje të zgjidhjeve. Një problem i ngjashëm ekziston për formulën (6).
Shkalla mund të hiqet nga shenja e logaritmit
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Dhe përsëri do të doja të bëja thirrje për saktësi. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm:
Regjistro a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Ana e majtë e barazisë është e përcaktuar qartë për të gjitha vlerat e f(x) përveç zeros. Ana e djathtë është vetëm për f(x)>0! Duke hequr fuqinë nga logaritmi, ne përsëri ngushtojmë ODZ-në. Procedura e kundërt çon në një zgjerim të gamës së vlerave të pranueshme. Të gjitha këto vërejtje vlejnë jo vetëm për fuqinë e 2, por edhe për çdo fuqi të barabartë.
Formula për të kaluar në një bazë të re
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ai rast i rrallë kur ODZ nuk ndryshon gjatë konvertimit. Nëse e keni zgjedhur bazën c me mençuri (pozitive dhe jo e barabartë me 1), formula për të kaluar në një bazë të re është krejtësisht e sigurt.
Nëse zgjedhim numrin b si bazë të re c, marrim një të rëndësishme rast i veçantë formulat (8):
Regjistri a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Disa shembuj të thjeshtë me logaritme
Shembulli 1 Llogaritni: lg2 + lg50.
Vendimi. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Ne kemi përdorur formulën për shumën e logaritmeve (5) dhe përkufizimin e logaritmit dhjetor.
Shembulli 2 Llogaritni: lg125/lg5.
Vendimi. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Ne përdorëm formulën e re të tranzicionit bazë (8).
Tabela e formulave që lidhen me logaritmet
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
\(a^(b)=c\) \(\Shigjeta majtas\) \(\log_(a)(c)=b\)
Le ta shpjegojmë më lehtë. Për shembull, \(\log_(2)(8)\) është e barabartë me fuqinë që \(2\) duhet të rritet për të marrë \(8\). Nga kjo është e qartë se \(\log_(2)(8)=3\).
|
Shembuj: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
sepse \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
sepse \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
sepse \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argumenti dhe baza e logaritmit
Çdo logaritëm ka "anatominë" e mëposhtme:
Argumenti i logaritmit zakonisht shkruhet në nivelin e tij, dhe baza shkruhet në nënshkrim më afër shenjës së logaritmit. Dhe kjo hyrje lexohet kështu: "logaritmi i njëzet e pesë në bazën e pesë".
Si të llogarisni logaritmin?
Për të llogaritur logaritmin, duhet t'i përgjigjeni pyetjes: deri në çfarë shkalle duhet të ngrihet baza për të marrë argumentin?
për shembull, njehso logaritmin: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(4\) për të marrë \(16\)? Natyrisht e dyta. Kështu që:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(\sqrt(5)\) për të marrë \(1\)? Dhe cila shkallë e bën çdo numër njësi? Zero, sigurisht!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(\sqrt(7)\) për të marrë \(\sqrt(7)\)? Në të parën - çdo numër në shkallën e parë është i barabartë me vetveten.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(3\) për të marrë \(\sqrt(3)\)? Nga ne e dimë se është një fuqi thyesore, që do të thotë Rrenja katroreështë shkalla \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Shembull : Llogaritni logaritmin \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Vendimi :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Duhet të gjejmë vlerën e logaritmit, le ta shënojmë si x. Tani le të përdorim përkufizimin e logaritmit: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Çfarë lidhjesh \(4\sqrt(2)\) dhe \(8\)? Dy, sepse të dy numrat mund të përfaqësohen me dy: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Në të majtë, ne përdorim vetitë e shkallës: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dhe \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Bazat janë të barabarta, kalojmë në barazinë e treguesve |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Rrënja që rezulton është vlera e logaritmit |
Përgjigju : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Pse u shpik logaritmi?
Për ta kuptuar këtë, le të zgjidhim ekuacionin: \(3^(x)=9\). Thjesht përputhni \(x\) për të funksionuar barazinë. Sigurisht, \(x=2\).
Tani zgjidhni ekuacionin: \(3^(x)=8\) Me çfarë është x? Kjo është pika.
Më i zgjuari do të thotë: "X është pak më pak se dy". Si duhet të shkruhet saktësisht ky numër? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, ata dolën me logaritmin. Falë tij, përgjigja këtu mund të shkruhet si \(x=\log_(3)(8)\).
Dua të theksoj se \(\log_(3)(8)\), si dhe çdo logaritëm është vetëm një numër. Po, duket e pazakontë, por është e shkurtër. Sepse po të donim ta shkruanim në formë thyesë dhjetore, atëherë do të dukej kështu: \(1.892789260714.....\)
Shembull : Zgjidheni ekuacionin \(4^(5x-4)=10\)
Vendimi :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) dhe \(10\) nuk mund të reduktohen në të njëjtën bazë. Pra, këtu nuk mund të bëni pa logaritmin. Le të përdorim përkufizimin e logaritmit: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Kthejeni ekuacionin që x të jetë në të majtë |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Para nesh. Lëvizni \(4\) në të djathtë. Dhe mos kini frikë nga logaritmi, trajtojeni atë si një numër të rregullt. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Pjestojeni ekuacionin me 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Këtu është rrënja jonë. Po, duket e pazakontë, por përgjigja nuk është zgjedhur. |
Përgjigju : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Logaritmet dhjetore dhe natyrore
Siç thuhet në përkufizimin e logaritmit, baza e tij mund të jetë çdo numër pozitiv përveç një \((a>0, a\neq1)\). Dhe midis të gjitha bazave të mundshme, ka dy që ndodhin aq shpesh sa u shpik një shënim i veçantë i shkurtër për logaritmet me to:
Logaritmi natyror: një logaritëm baza e të cilit është numri i Euler-it \(e\) (i barabartë me afërsisht \(2.7182818…\)), dhe logaritmi shkruhet si \(\ln(a)\).
dmth, \(\ln(a)\) është e njëjtë me \(\log_(e)(a)\)
Logaritmi dhjetor: Një logaritëm baza e të cilit është 10 shkruhet \(\lg(a)\).
dmth, \(\lg(a)\) është i njëjtë me \(\log_(10)(a)\), ku \(a\) është një numër.
Identiteti bazë logaritmik
Logaritmet kanë shumë veti. Njëri prej tyre quhet "Identiteti bazë logaritmik" dhe duket kështu:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi. Le të shohim se si u shfaq saktësisht kjo formulë.
Kujtoni përkufizimin e shkurtër të logaritmit:
nëse \(a^(b)=c\), atëherë \(\log_(a)(c)=b\)
Kjo do të thotë, \(b\) është e njëjtë me \(\log_(a)(c)\). Atëherë mund të shkruajmë \(\log_(a)(c)\) në vend të \(b\) në formulën \(a^(b)=c\) . Doli \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identiteti kryesor logaritmik.
Ju mund të gjeni pjesën tjetër të vetive të logaritmeve. Me ndihmën e tyre, ju mund të thjeshtoni dhe llogaritni vlerat e shprehjeve me logaritme, të cilat janë të vështira për t'u llogaritur drejtpërdrejt.
Shembull : Gjeni vlerën e shprehjes \(36^(\log_(6)(5))\)
Vendimi :
Përgjigju : \(25\)
Si të shkruani një numër si logaritëm?
Siç u përmend më lart, çdo logaritëm është vetëm një numër. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo numër mund të shkruhet si logaritëm. Për shembull, ne e dimë se \(\log_(2)(4)\) është e barabartë me dy. Pastaj mund të shkruani \(\log_(2)(4)\) në vend të dy.
Por \(\log_(3)(9)\) është gjithashtu e barabartë me \(2\), kështu që mund të shkruani gjithashtu \(2=\log_(3)(9)\) . Në mënyrë të ngjashme me \(\log_(5)(25)\), dhe me \(\log_(9)(81)\), etj. Kjo është, rezulton
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Kështu, nëse kemi nevojë, mund t'i shkruajmë të dy si një logaritëm me çdo bazë kudo (edhe në një ekuacion, qoftë edhe në një shprehje, qoftë edhe në një pabarazi) - thjesht shkruajmë bazën në katror si argument.
Është e njëjta gjë me një treshe - mund të shkruhet si \(\log_(2)(8)\), ose si \(\log_(3)(27)\), ose si \(\log_(4)( 64) \) ... Këtu shkruajmë bazën në kub si argument:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Dhe me katër:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Dhe me minus një:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
Dhe me një të tretën:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Çdo numër \(a\) mund të përfaqësohet si një logaritëm me bazën \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Shembull : Gjeni vlerën e një shprehjeje \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Vendimi :
Përgjigju : \(1\)
Siç e dini, kur shumëzoni shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a b * a c = a b + c). Ky ligj matematik u nxor nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë të treguesve të numrave të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku kërkohet thjeshtimi i shumëzimit të rëndë në mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Gjuhë e thjeshtë dhe e arritshme.
Përkufizimi në matematikë
Logaritmi është shprehje e formës vijuese: log a b=c, pra logaritmi i çdo numri jonegativ (domethënë çdo pozitiv) "b" me bazën e tij "a" konsiderohet fuqia e "c" , në të cilën duhet të ngrihet baza "a", në mënyrë që në fund të merret vlera "b". Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ka një shprehje log 2 8. Si të gjejmë përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, duhet të gjesh një shkallë të tillë që nga 2 në shkallën e kërkuar të marrësh 8. Pasi të kemi bërë disa llogaritje në mendjen tënde, marrim numrin 3! Dhe me të drejtë, sepse 2 në fuqinë e 3 jep numrin 8 në përgjigje.
Varietetet e logaritmeve
Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt, logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Janë tre lloje të caktuara shprehjet logaritmike:
- Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e = 2.7).
- Dhjetor a, ku baza është 10.
- Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.
Secila prej tyre është e vendosur në mënyrë standarde, i cili përfshin thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe rendin e veprimeve në vendimet e tyre.
Rregulla dhe disa kufizime
Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë objekt diskutimi dhe janë të vërteta. Për shembull, ju nuk mund t'i ndani numrat me zero, dhe është gjithashtu e pamundur të merrni një rrënjë të barabartë nga numrat negativë. Logaritmet gjithashtu kanë rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni se si të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:
- baza "a" duhet të jetë gjithmonë më e madhe se zero, dhe në të njëjtën kohë të mos jetë e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë të barabarta me vlerat e tyre;
- nëse a > 0, atëherë a b > 0, rezulton se "c" duhet të jetë më e madhe se zero.
Si të zgjidhni logaritmet?
Për shembull, u dha detyra për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10 x \u003d 100. Është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi të tillë, duke ngritur numrin dhjetë në të cilin marrim 100. Kjo, natyrisht, është 10 2 \u003d 100.
Tani le ta paraqesim këtë shprehje si një logaritmike. Marrim log 10 100 = 2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë në gjetjen e shkallës në të cilën duhet të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.
Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me një tabelë gradash. Duket kështu:
Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mentalitet teknik dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Megjithatë, për vlera të mëdha ju duhet një tabelë me gradë. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk kuptojnë asgjë në tema komplekse matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c, në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzimin në qeliza, përcaktohen vlerat e numrave, të cilët janë përgjigja (a c =b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa që edhe humanisti më i vërtetë do ta kuptojë!
Ekuacionet dhe pabarazitë
Rezulton se në kushte të caktuara, eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo shprehje numerike matematikore mund të shkruhet si një ekuacion logaritmik. Për shembull, 3 4 = 81 mund të shkruhet si logaritmi i 81 në bazën 3, që është katër (log 3 81 = 4). Për fuqitë negative, rregullat janë të njëjta: 2 -5 = 1/32 shkruajmë si logaritëm, marrim log 2 (1/32) = -5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Ne do t'i shqyrtojmë shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve pak më të ulëta, menjëherë pasi të studiojmë vetitë e tyre. Tani le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.
Jepet një shprehje e formës së mëposhtme: log 2 (x-1) > 3 - është një pabarazi logaritmike, pasi vlera e panjohur "x" është nën shenjën e logaritmit. Dhe gjithashtu në shprehjen krahasohen dy madhësi: logaritmi i numrit të dëshiruar në bazën dy është më i madh se numri tre.
Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (për shembull, logaritmi prej 2 x = √9) nënkuptojnë një ose më shumë vlera numerike specifike në përgjigje, ndërsa kur zgjidhet pabarazia, të dy diapazoni i vlerat e pranueshme dhe pikat që thyejnë këtë funksion. Si pasojë, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e ekuacionit, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.
Teorema themelore rreth logaritmeve
Kur zgjidhni detyra primitive për gjetjen e vlerave të logaritmit, vetitë e tij mund të mos dihen. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Me shembuj ekuacionesh do të njihemi më vonë, le të analizojmë së pari secilën veti më në detaje.
- Identiteti bazë duket kështu: a logaB =B. Zbatohet vetëm nëse a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.
- Logaritmi i produktit mund të përfaqësohet në formulën e mëposhtme: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Për më tepër, parakushtështë: d, s 1 dhe s 2 > 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmesh, me shembuj dhe një zgjidhje. Le të log a s 1 = f 1 dhe log a s 2 = f 2 , pastaj a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Marrim se s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vetitë e shkallës ), dhe më tej sipas përkufizimit: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, që duhej vërtetuar.
- Logaritmi i herësit duket kështu: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema në formën e një formule merr formën e mëposhtme: log a q b n = n/q log a b.
Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". Ajo ngjan me vetitë e shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika mbështetet në postulate të rregullta. Le të shohim provën.
Le të regjistrohet një b \u003d t, rezulton një t \u003d b. Nëse i ngrini të dyja pjesët në fuqinë m: a tn = b n ;
por meqenëse a tn = (a q) nt/q = b n , pra log a q b n = (n*t)/t, atëherë log a q b n = n/q log a b. Teorema është vërtetuar.
Shembuj të problemeve dhe pabarazive
Llojet më të zakonshme të problemeve të logaritmit janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjitha librat me problematika, si dhe përfshihen edhe në pjesën e detyrueshme të provimeve në matematikë. Për të hyrë në një universitet ose për të kaluar testet e hyrjes në matematikë, duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë detyra të tilla.
Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan ose skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, megjithatë, disa rregulla mund të zbatohen për çdo pabarazi matematikore ose ekuacion logaritmik. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose reduktohet në pamje e përgjithshme. Ju mund të thjeshtoni shprehjet e gjata logaritmike nëse përdorni saktë vetitë e tyre. Le t'i njohim së shpejti.
Gjatë zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike, është e nevojshme të përcaktohet se çfarë lloj logaritmi kemi përpara: një shembull i një shprehjeje mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.
Këtu janë shembuj ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ju duhet të përcaktoni shkallën në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, përkatësisht. Për zgjidhje logaritmet natyrore duhet të aplikohen identitetet logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve logaritmike të llojeve të ndryshme.
Si të përdorni formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje
Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave kryesore në logaritme.
- Vetia e logaritmit të produktit mund të përdoret në detyrat ku është e nevojshme të zgjerohet rëndësi të madhe numrat b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Përgjigja është 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - siç mund ta shihni, duke zbatuar vetinë e katërt të shkallës së logaritmit, arritëm të zgjidhim në shikim të parë një shprehje komplekse dhe të pazgjidhshme. Është e nevojshme vetëm të faktorizohet baza dhe më pas të merren vlerat e eksponentit nga shenja e logaritmit.
Detyrat nga provimi
Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit (provim shtetëror për të gjithë maturantët). Zakonisht këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (pjesa më e lehtë testuese e provimit), por edhe në pjesën C (detyrat më të vështira dhe më voluminoze). Provimi nënkupton njohje të saktë dhe të përsosur të temës “Logaritmet natyrore”.
Shembujt dhe zgjidhja e problemeve janë marrë nga versionet zyrtare të provimit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.
Jepet log 2 (2x-1) = 4. Zgjidhje:
le ta rishkruajmë shprehjen, duke e thjeshtuar pak log 2 (2x-1) = 2 2 , me përcaktimin e logaritmit marrim se 2x-1 = 2 4 , pra 2x = 17; x = 8,5.
- Të gjitha logaritmet reduktohen më së miri në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
- Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, prandaj, kur nxjerrim eksponentin e eksponentit të shprehjes, i cili është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e tij, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.
Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe konvertohen në çdo mënyrë të mundshme. Por meqenëse logaritmet nuk janë numra krejt të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë themelore.
Këto rregulla duhet të dihen - asnjë problem serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet pa to. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - gjithçka mund të mësohet brenda një dite. Pra, le të fillojmë.
Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve
Konsideroni dy logaritme me të njëjtën bazë: log a x dhe log a y. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:
- log a x+log a y= log a (x · y);
- log a x−log a y= log a (x : y).
Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe ndryshimi është logaritmi i herësit. Shënim: moment kyç këtu - baza të njëjta. Nëse bazat janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!
Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni shprehje logaritmike edhe kur pjesët individuale të tij nuk merren parasysh (shih mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:
regjistri 6 4 + regjistri 6 9.
Meqenëse bazat e logaritmeve janë të njëjta, ne përdorim formulën e shumës:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 2 48 − log 2 3.
Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 3 135 − log 3 5.
Përsëri, bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk konsiderohen veçmas. Por pas transformimeve dalin numra mjaft normalë. Bazuar në këtë fakt, shumë letrat e testimit. Po, kontrolli - shprehje të ngjashme me gjithë seriozitetin (nganjëherë - praktikisht pa ndryshime) ofrohen në provim.
Heqja e eksponentit nga logaritmi
Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur të ketë një shkallë në bazën ose argumentin e logaritmit? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:
Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parat e tyre. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.
Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet logaritmi ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas, d.m.th. mund të futni numrat para shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 7 49 6 .
Le të heqim qafe shkallën në argument sipas formulës së parë:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:
[Titulli i figurës]
Vini re se emëruesi është një logaritëm baza dhe argumenti i të cilit janë fuqi të sakta: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ne kemi:
[Titulli i figurës] Mendoj se shembulli i fundit ka nevojë për sqarim. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit, ne punojmë vetëm me emëruesin. Ata paraqitën bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e shkallëve dhe nxorën treguesit - morën një fraksion "trekatësh".
Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtin numër: log 2 7. Meqenëse log 2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që u bë. Rezultati është përgjigja: 2.
Kalimi në një themel të ri
Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po sikur bazat të jenë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?
Formulat për kalimin në një bazë të re vijnë në shpëtim. Ne i formulojmë ato në formën e një teoreme:
Lëreni logaritmin të regjistrohet a x. Pastaj për çdo numër c sikurse c> 0 dhe c≠ 1, barazia është e vërtetë:
[Titulli i figurës]
Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:
[Titulli i figurës]
Nga formula e dytë rezulton se është e mundur të ndërrohet baza dhe argumenti i logaritmit, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi është në emërues.
Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.
Megjithatë, ka detyra që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shqyrtojmë disa nga këto:
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 5 16 log 2 25.
Vini re se argumentet e të dy logaritmave janë eksponentë të saktë. Le të nxjerrim treguesit: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Tani le të kthejmë logaritmin e dytë:
[Titulli i figurës]Meqenëse produkti nuk ndryshon nga ndërrimi i faktorëve, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas kuptuam logaritmet.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 9 100 lg 3.
Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë dhe të heqim qafe treguesit:
[Titulli i figurës]Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:
[Titulli i figurës]Identiteti bazë logaritmik
Shpesh në procesin e zgjidhjes kërkohet të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat do të na ndihmojnë:
Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent i argumentit. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm vlera e logaritmit.
Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Quhet identiteti bazë logaritmik.
Në të vërtetë, çfarë do të ndodhë nëse numri b të ngrihet në pushtet në mënyrë që b në këtë masë jep një numër a? Është e drejtë: ky është i njëjti numër a. Lexoni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz "varen" në të.
Ashtu si formulat e reja të konvertimit të bazës, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë e vetmja zgjidhje e mundshme.
Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes:
[Titulli i figurës]
Vini re se log 25 64 = log 5 8 - sapo nxorri katrorin nga baza dhe argumentin e logaritmit. Duke pasur parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:
[Titulli i figurës]Nëse dikush nuk është në dijeni, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga provimi :)
Njësia logaritmike dhe zero logaritmike
Si përfundim, unë do të jap dy identitete që është e vështirë të quhen veti - përkundrazi, këto janë pasoja nga përkufizimi i logaritmit. Gjenden vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për nxënësit “të avancuar”.
- log a a= 1 është njësia logaritmike. Mos harroni një herë e përgjithmonë: logaritmin për çdo bazë a nga kjo bazë vetë është e barabartë me një.
- log a 1 = 0 është zero logaritmike. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti është një, logaritmi është zero! sepse a 0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.
Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.
Ne vazhdojmë të studiojmë logaritmet. Në këtë artikull do të flasim për llogaritja e logaritmeve, ky proces quhet logaritmi. Së pari, do të merremi me llogaritjen e logaritmeve sipas përkufizimit. Më pas, merrni parasysh se si gjenden vlerat e logaritmeve duke përdorur vetitë e tyre. Pas kësaj, ne do të ndalemi në llogaritjen e logaritmeve përmes vlerave të dhëna fillimisht të logaritmeve të tjera. Së fundi, le të mësojmë se si të përdorim tabelat e logaritmeve. E gjithë teoria jepet me shembuj me zgjidhje të detajuara.
Navigimi i faqes.
Llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit
Në rastet më të thjeshta, është e mundur të kryhet shpejt dhe lehtë gjetja e logaritmit sipas definicionit. Le të hedhim një vështrim më të afërt se si zhvillohet ky proces.
Thelbi i tij është të përfaqësojë numrin b në formën a c, nga ku, sipas përcaktimit të logaritmit, numri c është vlera e logaritmit. Kjo do të thotë, gjetja e logaritmit sipas përkufizimit korrespondon me zinxhirin e mëposhtëm të barazive: log a b=log a a c =c .
Pra, llogaritja e logaritmit, sipas përkufizimit, zbret në gjetjen e një numri të tillë c që a c \u003d b, dhe vetë numri c është vlera e dëshiruar e logaritmit.
Duke pasur parasysh informacionin e paragrafëve të mëparshëm, kur numri nën shenjën e logaritmit jepet nga një shkallë e bazës së logaritmit, atëherë mund të tregoni menjëherë se me çfarë logaritmi është i barabartë - është i barabartë me eksponentin. Le të tregojmë shembuj.
Shembull.
Gjeni log 2 2 −3, dhe llogaritni gjithashtu logaritmin natyror të e 5.3.
Vendimi.
Përkufizimi i logaritmit na lejon të themi menjëherë se log 2 2 −3 = −3. Në të vërtetë, numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën 2 me fuqinë -3.
Në mënyrë të ngjashme, gjejmë logaritmin e dytë: lne 5.3 =5.3.
Përgjigje:
log 2 2 −3 = −3 dhe lne 5.3 =5.3 .
Nëse numri b nën shenjën e logaritmit nuk jepet si fuqia e bazës së logaritmit, atëherë duhet të konsideroni me kujdes nëse është e mundur të dilni me një paraqitje të numrit b në formën a c. Shpesh kjo paraqitje është mjaft e dukshme, veçanërisht kur numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën me fuqinë 1, ose 2, ose 3, ...
Shembull.
Llogarit login e logaritmeve 5 25 , dhe .
Vendimi.
Është e lehtë të shihet se 25=5 2, kjo ju lejon të llogaritni logaritmin e parë: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Ne vazhdojmë me llogaritjen e logaritmit të dytë. Një numër mund të përfaqësohet si një fuqi prej 7: 
(shiko nëse është e nevojshme). Prandaj, 
.
Le të rishkruajmë logaritmin e tretë në formën e mëposhtme. Tani mund ta shihni atë 
, prej nga konkludojmë se 
. Prandaj, sipas përkufizimit të logaritmit 
.
Shkurtimisht, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë:
Përgjigje:
log 5 25=2 , 
dhe .
Kur ka një vlerë mjaft të madhe nën shenjën e logaritmit numri natyror, atëherë nuk bën dëm për ta zbërthyer në faktorët kryesorë. Shpesh ndihmon për të përfaqësuar një numër të tillë si një fuqi e bazës së logaritmit, dhe për këtë arsye, për të llogaritur këtë logaritëm sipas përkufizimit.
Shembull.
Gjeni vlerën e logaritmit.
Vendimi.
Disa veti të logaritmeve ju lejojnë të specifikoni menjëherë vlerën e logaritmeve. Këto veti përfshijnë vetinë e logaritmit të një dhe vetinë e logaritmit të një numri të barabartë me bazën: log 1 1=log a a 0 =0 dhe log a a=log a 1 =1 . Pra, kur numri 1 ose numri a është nën shenjën e logaritmit, i barabartë me bazën e logaritmit, atëherë në këto raste logaritmet janë përkatësisht 0 dhe 1.
Shembull.
Cilat janë logaritmet dhe lg10?
Vendimi.
Meqenëse , rrjedh nga përkufizimi i logaritmit 
.
Në shembullin e dytë, numri 10 nën shenjën e logaritmit përkon me bazën e tij, pra logaritmi dhjetor i dhjetë është i barabartë me një, pra lg10=lg10 1 =1 .
Përgjigje:
Dhe lg10=1.
Vini re se llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit (të cilën e diskutuam në paragrafin e mëparshëm) nënkupton përdorimin e logit të barazisë a a p =p, që është një nga vetitë e logaritmeve.
Në praktikë, kur numri nën shenjën e logaritmit dhe baza e logaritmit përfaqësohen lehtësisht si një fuqi e një numri, është shumë e përshtatshme të përdoret formula 
, e cila korrespondon me një nga vetitë e logaritmeve. Konsideroni një shembull të gjetjes së logaritmit, duke ilustruar përdorimin e kësaj formule.
Shembull.
Llogaritni logaritmin e .
Vendimi.
Përgjigje:
.
Në llogaritje përdoren edhe vetitë e logaritmeve që nuk janë përmendur më lart, por për këtë do të flasim në paragrafët në vijim.
Gjetja e logaritmeve në terma të logaritmeve të tjera të njohura
Informacioni në këtë paragraf vazhdon temën e përdorimit të vetive të logaritmeve në llogaritjen e tyre. Por këtu ndryshimi kryesor është se vetitë e logaritmeve përdoren për të shprehur logaritmin origjinal në termat e një logaritmi tjetër, vlera e të cilit dihet. Le të marrim një shembull për sqarim. Le të themi se e dimë se log 2 3≈1.584963 , atëherë mund të gjejmë, për shembull, log 2 6 duke bërë një transformim të vogël duke përdorur vetitë e logaritmit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Në shembullin e mësipërm, na mjaftoi të përdornim vetinë e logaritmit të produktit. Sidoqoftë, shumë më shpesh ju duhet të përdorni një arsenal më të gjerë të vetive të logaritmeve për të llogaritur logaritmin origjinal në terma të atyre të dhënë.
Shembull.
Llogaritni logaritmin e 27 në bazën 60 nëse dihet se log 60 2=a dhe log 60 5=b.
Vendimi.
Pra, ne duhet të gjejmë log 60 27 . Është e lehtë të shihet se 27=3 3 , dhe logaritmi origjinal, për shkak të vetive të logaritmit të shkallës, mund të rishkruhet si 3·log 60 3 .
Tani le të shohim se si mund të shprehet log 60 3 në terma të logaritmeve të njohura. Vetia e logaritmit të një numri të barabartë me bazën ju lejon të shkruani regjistrin e barazisë 60 60=1. Nga ana tjetër, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Kështu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prandaj, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.
Së fundi, ne llogarisim logaritmin origjinal: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Përgjigje:
log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Më vete, vlen të përmendet kuptimi i formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit të formës 
. Ju lejon të kaloni nga logaritmet me çdo bazë në logaritme me një bazë specifike, vlerat e të cilave dihen ose është e mundur t'i gjeni. Zakonisht, nga logaritmi origjinal, sipas formulës së tranzicionit, ata kalojnë në logaritme në njërën nga bazat 2, e ose 10, pasi për këto baza ekzistojnë tabela logaritmesh që lejojnë llogaritjen e vlerave të tyre me një shkallë të caktuar. e saktësisë. Në pjesën tjetër, ne do të tregojmë se si bëhet kjo.
Tabelat e logaritmeve, përdorimi i tyre
Për një llogaritje të përafërt të vlerave të logaritmeve, mund të përdoret tabelat e logaritmit. Më të përdorurat janë tabela e logaritmit bazë 2, tabela e logaritmit natyror dhe tabela e logaritmit dhjetor. Kur punoni në sistemin e numrave dhjetorë, është e përshtatshme të përdorni një tabelë logaritmesh për bazën e dhjetë. Me ndihmën e tij, ne do të mësojmë të gjejmë vlerat e logaritmeve.
Tabela e paraqitur lejon, me një saktësi prej një të dhjetëmijtë, të gjenden vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave nga 1.000 në 9.999 (me tre shifra dhjetore). Parimi i gjetjes së vlerës së logaritmit duke përdorur tabelën e logaritmeve dhjetore do të analizohet në shembull specifik- shumë më e qartë. Le të gjejmë lg1,256.
Në kolonën e majtë të tabelës së logaritmeve dhjetore gjejmë dy shifrat e para të numrit 1.256, domethënë gjejmë 1.2 (ky numër është rrethuar me blu për qartësi). Shifra e tretë e numrit 1.256 (numri 5) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të majtë të vijës dyshe (ky numër është i rrethuar me të kuqe). Shifra e katërt e numrit origjinal 1.256 (numri 6) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të djathtë të vijës së dyfishtë (ky numër është i rrethuar me të gjelbër). Tani gjejmë numrat në qelizat e tabelës së logaritmeve në kryqëzimin e rreshtit të shënuar dhe kolonave të shënuara (këta numra janë theksuar portokalli). Shuma e numrave të shënuar jep vlerën e dëshiruar të logaritmit dhjetor deri në shenja e katërt pas presjes, d.m.th. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
A është e mundur, duke përdorur tabelën e mësipërme, të gjejmë vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave që kanë më shumë se tre shifra pas presjes dhjetore dhe gjithashtu shkojnë përtej kufijve nga 1 në 9.999? Po ti mundesh. Le të tregojmë se si bëhet kjo me një shembull.
Le të llogarisim lg102.76332. Së pari ju duhet të shkruani numri në formë standarde : 102.76332=1.0276332 10 2 . Pas kësaj, mantisa duhet të rrumbullakoset deri në numrin e tretë dhjetor, kemi 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, ndërsa logaritmi dhjetor fillestar është përafërsisht i barabartë me logaritmin e numrit që rezulton, pra marrim lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Tani aplikoni vetitë e logaritmit: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Në fund vlerën e logaritmit lg1.028 e gjejmë sipas tabelës së logaritmeve dhjetore lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Si rezultat, i gjithë procesi i llogaritjes së logaritmit duket si ky: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.
Si përfundim, vlen të përmendet se duke përdorur tabelën e logaritmeve dhjetore, mund të llogaritni vlerën e përafërt të çdo logaritmi. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën e tranzicionit për të shkuar në logaritme dhjetore, për të gjetur vlerat e tyre në tabelë dhe për të kryer llogaritjet e mbetura.
Për shembull, le të llogarisim regjistrin 2 3 . Sipas formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit, kemi . Nga tabela e logaritmeve dhjetore gjejmë lg3≈0.4771 dhe lg2≈0.3010. Kështu, 
.
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për aplikantët në shkollat teknike).
