Logaritmet: shembuj dhe zgjidhje. Shprehjet logaritmike. shembuj

Logaritmi i një numri N nga arsyeja a quhet eksponent X , për të cilën ju duhet të ngrini a për të marrë numrin N

Me kusht që
,
,

Nga përkufizimi i logaritmit rezulton se
, d.m.th.
- kjo barazi është identiteti bazë logaritmik.

Logaritmet me bazën 10 quhen logaritme dhjetore. Në vend të
shkruaj
.

logaritmet bazë e quhen natyrore dhe shënohen
.

Vetitë themelore të logaritmeve.

Logaritmi i unitetit për çdo bazë është zero

Logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve.

3) Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën e logaritmeve

Faktori
quhet moduli i kalimit nga logaritmet në bazë a te logaritmet në bazë b .

Duke përdorur vetitë 2-5, shpesh është e mundur të reduktohet logaritmi i një shprehjeje komplekse në rezultatin e veprimeve të thjeshta aritmetike në logaritme.

Për shembull,

Shndërrime të tilla të logaritmit quhen logaritme. Shndërrimet reciproke të logaritmeve quhen fuqizim.

Kapitulli 2. Elementet e matematikës së lartë.

1. Kufijtë

kufiri i funksionit
është një numër i kufizuar A nëse, kur përpiqemi xx 0 për çdo të paracaktuar
, ka një numër
që sapo
, pastaj
.

Një funksion që ka një kufi ndryshon prej tij me një sasi infinite të vogël:
, ku - b.m.w., d.m.th.
.

Shembull. Merrni parasysh funksionin
.

Kur përpiqet
, funksion y shkon në zero:

1.1. Teorema themelore rreth kufijve.

Kufiri i një vlere konstante është i barabartë me këtë vlerë konstante

.

Kufiri i shumës (diferencës) i një numri të fundëm funksionesh është i barabartë me shumën (diferencën) e kufijve të këtyre funksioneve.

Kufiri i një produkti të një numri të kufizuar funksionesh është i barabartë me produktin e kufijve të këtyre funksioneve.

Kufiri i herësit të dy funksioneve është i barabartë me herësin e kufijve të këtyre funksioneve nëse kufiri i emëruesit nuk është i barabartë me zero.

Kufij të shquar

,
, ku

1.2. Shembuj të llogaritjes së kufirit

Sidoqoftë, jo të gjitha kufijtë llogariten kaq lehtë. Më shpesh, llogaritja e kufirit reduktohet në zbulimin e pasigurisë së llojit: ose .

.

2. Derivat i një funksioni

Le të kemi një funksion
, e vazhdueshme në segment
.

Argumenti mori një nxitje
. Pastaj funksioni do të rritet
.

Vlera e argumentit korrespondon me vlerën e funksionit
.

Vlera e argumentit
korrespondon me vlerën e funksionit.

Prandaj, .

Le të gjejmë kufirin e kësaj lidhjeje në
. Nëse ky kufi ekziston, atëherë ai quhet derivat i funksionit të dhënë.

Përkufizimi i 3 derivatit të një funksioni të caktuar
me argument quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, kur rritja e argumentit tenton arbitrarisht në zero.

Derivati ​​i funksionit
mund të shënohet si më poshtë:

; ; ; .

Përkufizimi 4Veprimi i gjetjes së derivatit të një funksioni quhet diferencimi.

2.1. Kuptimi mekanik i derivatit.

Merrni parasysh lëvizjen drejtvizore të një trupi të ngurtë ose një pike materiale.

Lëreni në një moment në kohë pikë lëvizëse
ishte në distancë nga pozicioni i fillimit
.

Pas një periudhe kohe
ajo lëvizi një distancë
. Qëndrimi =- Shpejtësia mesatare pikë materiale
. Le të gjejmë kufirin e këtij raporti, duke marrë parasysh atë
.

Rrjedhimisht, përcaktimi i shpejtësisë së menjëhershme të një pike materiale reduktohet në gjetjen e derivatit të shtegut në lidhje me kohën.

2.2. Vlera gjeometrike e derivatit

Supozoni se kemi një funksion të përcaktuar grafikisht
.

Oriz. 1. Kuptimi gjeometrik i derivatit

Nese nje
, pastaj pika
, do të lëvizë përgjatë kurbës, duke iu afruar pikës
.

Prandaj
, d.m.th. vlera e derivatit duke pasur parasysh vlerën e argumentit numerikisht është e barabartë me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja në një pikë të caktuar me drejtimin pozitiv të boshtit
.

2.3. Tabela e formulave bazë të diferencimit.

Funksioni i fuqisë

Funksioni eksponencial

funksioni logaritmik

funksioni trigonometrik

Funksioni trigonometrik i anasjelltë

2.4. Rregullat e diferencimit.

Derivat i

Derivati ​​i shumës (diferencës) së funksioneve

Derivat i prodhimit të dy funksioneve

Derivati ​​i herësit të dy funksioneve

2.5. Derivat i funksion kompleks.

Lëreni funksionin
e tillë që mund të përfaqësohet si

dhe
, ku ndryshorja është një argument i ndërmjetëm, pra

Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të funksionit të dhënë në lidhje me argumentin e ndërmjetëm nga derivati ​​i argumentit të ndërmjetëm në lidhje me x.

Shembull 1.

Shembulli 2.

3. Diferenciali i funksionit.

Le të ketë
, i diferencueshëm në një interval
le të shkojë në ky funksion ka një derivat

,

atëherë mund të shkruani

(1),

ku - një sasi pafundësisht e vogël,

sepse në

Duke shumëzuar të gjitha kushtet e barazisë (1) me
ne kemi:

ku
- b.m.v. rendit më të lartë.

Vlera
quhet diferencial i funksionit
dhe shënohet

.

3.1. Vlera gjeometrike e diferencialit.

Lëreni funksionin
.

Fig.2. Kuptimi gjeometrik i diferencialit.

.

Natyrisht, diferenciali i funksionit
është e barabartë me shtimin e ordinatës së tangjentes në pikën e dhënë.

3.2. Derivatet dhe diferencialet e rendeve te ndryshme.

Nëse atje
, pastaj
quhet derivati ​​i parë.

Derivati ​​i derivatit të parë quhet derivat i rendit të dytë dhe shkruhet
.

Derivat i rendit të n-të të funksionit
quhet derivat i rendit (n-1) dhe shkruhet:

.

Diferenciali i diferencialit të një funksioni quhet diferencial i dytë ose diferencial i rendit të dytë.

.

.

3.3 Zgjidhja e problemeve biologjike duke përdorur diferencimin.

Detyra 1. Studimet kanë treguar se rritja e një kolonie mikroorganizmash i bindet ligjit
, ku N - numri i mikroorganizmave (në mijëra), t – koha (ditë).

b) A do të rritet apo ulet popullsia e kolonisë gjatë kësaj periudhe?

Përgjigju. Kolonia do të rritet në madhësi.

Detyra 2. Uji në liqen testohet periodikisht për të kontrolluar përmbajtjen e baktereve patogjene. përmes t ditë pas testimit, përqendrimi i baktereve përcaktohet nga raporti

.

Kur do të vijë përqendrimi minimal i baktereve në liqen dhe do të jetë e mundur të notosh në të?

Zgjidhje Një funksion arrin max ose min kur derivati ​​i tij është zero.

,

Le të përcaktojmë se maksimumi ose min do të jetë në 6 ditë. Për ta bërë këtë, marrim derivatin e dytë.

Përgjigje: Pas 6 ditësh do të ketë një përqendrim minimal të baktereve.

Siç e dini, kur shumëzoni shprehjet me fuqi, eksponentët e tyre gjithmonë mblidhen (a b * a c = a b + c). Ky ligj matematik u nxor nga Arkimedi, dhe më vonë, në shekullin e 8-të, matematikani Virasen krijoi një tabelë të treguesve të numrave të plotë. Ishin ata që shërbyen për zbulimin e mëtejshëm të logaritmeve. Shembuj të përdorimit të këtij funksioni mund të gjenden pothuajse kudo ku kërkohet thjeshtimi i shumëzimit të rëndë në mbledhje të thjeshtë. Nëse kaloni 10 minuta duke lexuar këtë artikull, ne do t'ju shpjegojmë se çfarë janë logaritmet dhe si të punoni me to. Gjuhë e thjeshtë dhe e arritshme.

Përkufizimi në matematikë

Logaritmi është shprehje e formës vijuese: log a b=c, pra logaritmi i çdo numri jonegativ (d.m.th. çdo pozitiv) "b" me bazën e tij "a" konsiderohet fuqia e "c" , në të cilën duhet të ngrihet baza "a", në mënyrë që në fund të merret vlera "b". Le të analizojmë logaritmin duke përdorur shembuj, le të themi se ka një shprehje log 2 8. Si të gjejmë përgjigjen? Është shumë e thjeshtë, duhet të gjesh një shkallë të tillë që nga 2 në shkallën e kërkuar të marrësh 8. Pasi të kemi bërë disa llogaritje në mendjen tënde, marrim numrin 3! Dhe me të drejtë, sepse 2 në fuqinë e 3 jep numrin 8 në përgjigje.

Varietetet e logaritmeve

Për shumë nxënës dhe studentë, kjo temë duket e ndërlikuar dhe e pakuptueshme, por në fakt, logaritmet nuk janë aq të frikshme, gjëja kryesore është të kuptoni kuptimin e tyre të përgjithshëm dhe të mbani mend vetitë e tyre dhe disa rregulla. Janë tre lloje të caktuara shprehjet logaritmike:

1. Logaritmi natyror ln a, ku baza është numri i Euler-it (e = 2.7).
2. Dhjetor a, ku baza është 10.
3. Logaritmi i çdo numri b në bazën a>1.

Secila prej tyre është e vendosur në mënyrë standarde, i cili përfshin thjeshtimin, reduktimin dhe reduktimin pasues në një logaritëm duke përdorur teorema logaritmike. Për të marrë vlerat e sakta të logaritmeve, duhet të mbani mend vetitë e tyre dhe rendin e veprimeve në vendimet e tyre.

Rregulla dhe disa kufizime

Në matematikë ka disa rregulla-kufizime që pranohen si aksiomë, pra nuk janë objekt diskutimi dhe janë të vërteta. Për shembull, ju nuk mund t'i ndani numrat me zero, dhe është gjithashtu e pamundur të merrni një rrënjë të barabartë nga numrat negativë. Logaritmet gjithashtu kanë rregullat e tyre, duke ndjekur të cilat lehtë mund të mësoni se si të punoni edhe me shprehje logaritmike të gjata dhe të mëdha:

• baza "a" duhet të jetë gjithmonë më e madhe se zero, dhe në të njëjtën kohë të mos jetë e barabartë me 1, përndryshe shprehja do të humbasë kuptimin e saj, sepse "1" dhe "0" në çdo shkallë janë gjithmonë të barabarta me vlerat e tyre;
• nëse a > 0, atëherë a b > 0, rezulton se "c" duhet të jetë më e madhe se zero.

Si të zgjidhni logaritmet?

Për shembull, duke u dhënë detyrën për të gjetur përgjigjen e ekuacionit 10 x \u003d 100. Është shumë e lehtë, ju duhet të zgjidhni një fuqi të tillë duke ngritur numrin dhjetë në të cilin marrim 100. Kjo, natyrisht, është 10 2 \u003d 100.

Tani le ta paraqesim këtë shprehje si një logaritmike. Marrim log 10 100 = 2. Kur zgjidhim logaritme, të gjitha veprimet praktikisht konvergojnë në gjetjen e shkallës në të cilën duhet të futet baza e logaritmit për të marrë një numër të caktuar.

Për të përcaktuar me saktësi vlerën e një shkalle të panjohur, duhet të mësoni se si të punoni me një tabelë gradash. Duket kështu:

Siç mund ta shihni, disa eksponentë mund të merren me mend në mënyrë intuitive nëse keni një mentalitet teknik dhe njohuri për tabelën e shumëzimit. Megjithatë, për vlera të mëdha ju duhet një tabelë me gradë. Mund të përdoret edhe nga ata që nuk kuptojnë asgjë në tema komplekse matematikore. Kolona e majtë përmban numra (baza a), rreshti i sipërm i numrave është vlera e fuqisë c, në të cilën është ngritur numri a. Në kryqëzimin në qeliza, përcaktohen vlerat e numrave, të cilët janë përgjigja (a c =b). Le të marrim, për shembull, qelizën e parë me numrin 10 dhe ta katrorojmë atë, marrim vlerën 100, e cila tregohet në kryqëzimin e dy qelizave tona. Gjithçka është aq e thjeshtë dhe e lehtë sa që edhe humanisti më i vërtetë do ta kuptojë!

Ekuacionet dhe pabarazitë

Rezulton se në kushte të caktuara eksponenti është logaritmi. Prandaj, çdo shprehje numerike matematikore mund të shkruhet si një ekuacion logaritmik. Për shembull, 3 4 = 81 mund të shkruhet si logaritmi i 81 në bazën 3, që është katër (log 3 81 = 4). Për fuqitë negative, rregullat janë të njëjta: 2 -5 = 1/32 shkruajmë si logaritëm, marrim log 2 (1/32) = -5. Një nga seksionet më tërheqëse të matematikës është tema e "logaritmeve". Ne do t'i shqyrtojmë shembujt dhe zgjidhjet e ekuacioneve pak më të ulëta, menjëherë pasi të studiojmë vetitë e tyre. Tani le të shohim se si duken pabarazitë dhe si t'i dallojmë ato nga ekuacionet.

Jepet një shprehje e formës së mëposhtme: log 2 (x-1) > 3 - është një pabarazi logaritmike, pasi vlera e panjohur "x" është nën shenjën e logaritmit. Dhe gjithashtu në shprehjen krahasohen dy madhësi: logaritmi i numrit të dëshiruar në bazën dy është më i madh se numri tre.

Dallimi më i rëndësishëm midis ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive është se ekuacionet me logaritme (për shembull, logaritmi 2 x = √9) nënkuptojnë një ose më shumë vlera numerike specifike në përgjigje, ndërsa kur zgjidhen pabarazitë përcaktohen si zonë. vlerat e lejuara, dhe pikat e ndërprerjes së këtij funksioni. Si pasojë, përgjigja nuk është një grup i thjeshtë numrash individualë, si në përgjigjen e ekuacionit, por një seri e vazhdueshme ose grup numrash.

Teorema themelore rreth logaritmeve

Kur zgjidhni detyra primitive për gjetjen e vlerave të logaritmit, vetitë e tij mund të mos dihen. Megjithatë, kur bëhet fjalë për ekuacionet logaritmike ose pabarazitë, para së gjithash, është e nevojshme të kuptohen qartë dhe të zbatohen në praktikë të gjitha vetitë themelore të logaritmeve. Me shembuj ekuacionesh do të njihemi më vonë, le të analizojmë së pari secilën veti më në detaje.

1. Identiteti bazë duket kështu: a logaB =B. Zbatohet vetëm nëse a është më e madhe se 0, jo e barabartë me një, dhe B është më e madhe se zero.
2. Logaritmi i produktit mund të përfaqësohet në formulën e mëposhtme: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Për më tepër, parakushtështë: d, s 1 dhe s 2 > 0; a≠1. Ju mund të jepni një provë për këtë formulë logaritmesh, me shembuj dhe një zgjidhje. Le të log a s 1 = f 1 dhe log a s 2 = f 2 , pastaj a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Marrim se s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vetitë e shkallës ), dhe më tej sipas përkufizimit: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, që duhej vërtetuar.
3. Logaritmi i herësit duket kështu: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema në formën e një formule merr formën e mëposhtme: log a q b n = n/q log a b.

Kjo formulë quhet "vetia e shkallës së logaritmit". Ajo ngjan me vetitë e shkallëve të zakonshme dhe nuk është për t'u habitur, sepse e gjithë matematika mbështetet në postulate të rregullta. Le të shohim provën.

Le të regjistrohet një b \u003d t, rezulton një t \u003d b. Nëse i ngrini të dyja pjesët në fuqinë m: a tn = b n ;

por meqenëse a tn = (a q) nt/q = b n , pra log a q b n = (n*t)/t, atëherë log a q b n = n/q log a b. Teorema është vërtetuar.

Shembuj të problemeve dhe pabarazive

Llojet më të zakonshme të problemeve të logaritmit janë shembuj të ekuacioneve dhe pabarazive. Ato gjenden pothuajse në të gjitha librat me problematika, si dhe përfshihen edhe në pjesën e detyrueshme të provimeve në matematikë. Për të hyrë në një universitet ose për të kaluar testet e hyrjes në matematikë, duhet të dini se si t'i zgjidhni saktë detyra të tilla.

Fatkeqësisht, nuk ka asnjë plan ose skemë të vetme për zgjidhjen dhe përcaktimin e vlerës së panjohur të logaritmit, megjithatë, disa rregulla mund të zbatohen për çdo pabarazi matematikore ose ekuacion logaritmik. Para së gjithash, duhet të zbuloni nëse shprehja mund të thjeshtohet ose reduktohet në pamje e përgjithshme. Thjeshtoni gjatë shprehjet logaritmike Ju mundeni, nëse i përdorni saktë pronat e tyre. Le t'i njohim së shpejti.

Kur vendoset ekuacionet logaritmike, është e nevojshme të përcaktojmë se çfarë lloj logaritmi kemi përpara: një shembull i një shprehjeje mund të përmbajë një logaritëm natyror ose një dhjetor.

Këtu janë shembuj ln100, ln1026. Zgjidhja e tyre zbret në faktin se ju duhet të përcaktoni shkallën në të cilën baza 10 do të jetë e barabartë me 100 dhe 1026, përkatësisht. Për zgjidhje logaritmet natyrore duhet të aplikohen identitetet logaritmike ose vetitë e tyre. Le të shohim shembuj të zgjidhjes së problemeve logaritmike të llojeve të ndryshme.

Si të përdorni formulat e logaritmit: me shembuj dhe zgjidhje

Pra, le të shohim shembuj të përdorimit të teoremave kryesore në logaritme.

1. Vetia e logaritmit të produktit mund të përdoret në detyrat ku është e nevojshme të zgjerohet rëndësi të madhe numrat b në faktorë më të thjeshtë. Për shembull, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Përgjigja është 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - siç mund ta shihni, duke zbatuar vetinë e katërt të shkallës së logaritmit, arritëm të zgjidhim në shikim të parë një shprehje komplekse dhe të pazgjidhshme. Është e nevojshme vetëm të faktorizohet baza dhe më pas të merren vlerat e eksponentit nga shenja e logaritmit.

Detyrat nga provimi

Logaritmet gjenden shpesh në provimet pranuese, veçanërisht shumë probleme logaritmike në Provimin e Unifikuar të Shtetit (provim shtetëror për të gjithë maturantët). Zakonisht këto detyra janë të pranishme jo vetëm në pjesën A (pjesa më e lehtë testuese e provimit), por edhe në pjesën C (detyrat më të vështira dhe më voluminoze). Provimi nënkupton njohje të saktë dhe të përsosur të temës “Logaritmet natyrore”.

Shembujt dhe zgjidhja e problemeve janë marrë nga versionet zyrtare të provimit. Le të shohim se si zgjidhen detyra të tilla.

Jepet log 2 (2x-1) = 4. Zgjidhje:
le ta rishkruajmë shprehjen, duke e thjeshtuar pak log 2 (2x-1) = 2 2 , me përcaktimin e logaritmit marrim se 2x-1 = 2 4 , pra 2x = 17; x = 8,5.

• Të gjitha logaritmet reduktohen më së miri në të njëjtën bazë në mënyrë që zgjidhja të mos jetë e rëndë dhe konfuze.
• Të gjitha shprehjet nën shenjën e logaritmit tregohen si pozitive, prandaj, kur nxjerrim eksponentin e eksponentit të shprehjes, i cili është nën shenjën e logaritmit dhe si bazë e tij, shprehja e mbetur nën logaritëm duhet të jetë pozitive.

Me zhvillimin e shoqërisë, kompleksitetin e prodhimit, u zhvillua edhe matematika. Lëvizja nga e thjeshta në komplekse. Nga metoda e zakonshme e kontabilitetit të mbledhjes dhe zbritjes, me përsëritjen e tyre të përsëritur, ata arritën në konceptin e shumëzimit dhe pjesëtimit. Reduktimi i operacionit të shumëfishuar u bë koncepti i fuqizimit. Tabelat e para të varësisë së numrave nga baza dhe numri i fuqisë u përpiluan në shekullin e 8-të nga matematikani indian Varasena. Prej tyre mund të numëroni kohën e shfaqjes së logaritmeve.

Skicë historike

Ringjallja e Evropës në shekullin e 16-të stimuloi gjithashtu zhvillimin e mekanikës. T kërkonte një sasi të madhe llogaritjeje lidhur me shumëzimin dhe pjesëtimin numra shumëshifrorë. Tavolinat e lashta bënë një shërbim të madh. Ata lejuan të zëvendësonin operacione komplekse tek ato më të thjeshtat - mbledhje dhe zbritje. hap i madh përpara ishte puna e matematikanit Michael Stiefel, e botuar në 1544, në të cilën ai realizoi idenë e shumë matematikanëve. Kjo bëri të mundur përdorimin e tabelave jo vetëm për gradë në formë numrat e thjeshtë, por edhe për ato racionale arbitrare.

Në 1614, skocezi John Napier, duke zhvilluar këto ide, prezantoi për herë të parë term i ri"logaritmi i një numri". U përpiluan tabela të reja komplekse për llogaritjen e logaritmeve të sinuseve dhe kosinuseve, si dhe tangjentet. Kjo reduktoi shumë punën e astronomëve.

Filluan të shfaqen tabela të reja, të cilat u përdorën me sukses nga shkencëtarët për tre shekuj. U desh shumë kohë më parë operacion i ri në algjebër mori formën e saj të përfunduar. Është përcaktuar logaritmi dhe janë studiuar vetitë e tij.

Vetëm në shekullin e 20-të, me ardhjen e makinës llogaritëse dhe kompjuterit, njerëzimi braktisi tabelat e lashta që kishin funksionuar me sukses gjatë shekujve të 13-të.

Sot e quajmë logaritmin e b për të bazuar a numrin x, që është fuqia e a, për të marrë numrin b. Kjo shkruhet si formulë: x = log a(b).

Për shembull, log 3(9) do të jetë i barabartë me 2. Kjo është e qartë nëse ndiqni përkufizimin. Nëse ngremë 3 në fuqinë e 2, marrim 9.

Kështu, përkufizimi i formuluar vendos vetëm një kufizim, numrat a dhe b duhet të jenë real.

Varietetet e logaritmeve

Përkufizimi klasik quhet logaritmi real dhe në fakt është një zgjidhje e ekuacionit a x = b. Opsioni a = 1 është kufitar dhe nuk paraqet interes. Shënim: 1 për çdo fuqi është 1.

Vlera reale e logaritmit definohet vetëm nëse baza dhe argumenti është më i madh se 0, dhe baza nuk duhet të jetë e barabartë me 1.

Vend të veçantë në fushën e matematikës luani logaritme, të cilat do të emërtohen në varësi të vlerës së bazës së tyre:

Rregullat dhe kufizimet

Vetia themelore e logaritmeve është rregulli: logaritmi i një produkti është i barabartë me shumën logaritmike. log abp = log a(b) + log a(p).

Si një variant i kësaj deklarate, do të jetë: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funksioni koeficient është i barabartë me ndryshimin e funksioneve.

Është e lehtë të shihet nga dy rregullat e mëparshme se: log a(b p) = p * log a(b).

Prona të tjera përfshijnë:

Komentoni. Mos bëni një gabim të zakonshëm - logaritmi i shumës nuk është i barabartë me shumën e logaritmeve.

Për shumë shekuj, operacioni i gjetjes së logaritmit ishte një detyrë mjaft e gjatë. Matematikanët përdorën formulën e njohur të teorisë logaritmike të zgjerimit në një polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), ku n është numri natyror më e madhe se 1, e cila përcakton saktësinë e llogaritjes.

Logaritmet me baza të tjera janë llogaritur duke përdorur teoremën mbi kalimin nga një bazë në tjetrën dhe vetinë e logaritmit të produktit.

Meqenëse kjo metodë është shumë e mundimshme dhe gjatë zgjidhjes së problemeve praktike të vështira për t'u zbatuar, ata përdorën tabela të përpiluara paraprakisht të logaritmeve, të cilat e përshpejtuan shumë të gjithë punën.

Në disa raste, u përdorën grafikë të përpiluar posaçërisht të logaritmeve, të cilat dhanë më pak saktësi, por shpejtuan ndjeshëm kërkimin për vlerën e dëshiruar. Kurba e funksionit y = log a(x), e ndërtuar në disa pika, lejon përdorimin e vizores së zakonshme për të gjetur vlerat e funksionit në çdo pikë tjetër. Për një kohë të gjatë, inxhinierët përdorën të ashtuquajturën letër grafik për këto qëllime.

Në shekullin e 17-të, u shfaqën kushtet e para ndihmëse të llogaritjes analoge, të cilat për shekulli XIX fitoi një pamje të përfunduar. Pajisja më e suksesshme u quajt rregulli i rrëshqitjes. Megjithë thjeshtësinë e pajisjes, pamja e saj përshpejtoi ndjeshëm procesin e të gjitha llogaritjeve inxhinierike, dhe kjo është e vështirë të mbivlerësohet. Aktualisht, pak njerëz janë të njohur me këtë pajisje.

Ardhja e kalkulatorëve dhe kompjuterëve e bëri të pakuptimtë përdorimin e çdo pajisjeje tjetër.

Ekuacionet dhe pabarazitë

Formulat e mëposhtme përdoren për të zgjidhur ekuacione dhe pabarazi të ndryshme duke përdorur logaritme:

• Kalimi nga një bazë në tjetrën: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Si pasojë e versionit të mëparshëm: log a(b) = 1 / log b(a).

Për të zgjidhur pabarazitë, është e dobishme të dini:

• Vlera e logaritmit do të jetë pozitive vetëm nëse baza dhe argumenti janë të dyja më të mëdha se ose më pak se një; nëse shkelet të paktën një kusht, vlera e logaritmit do të jetë negative.
• Nëse funksioni i logaritmit zbatohet në anën e djathtë dhe të majtë të mosbarazimit, dhe baza e logaritmit është më e madhe se një, atëherë shenja e pabarazisë ruhet; përndryshe, ndryshon.

Shembuj detyrash

Konsideroni disa opsione për përdorimin e logaritmeve dhe vetive të tyre. Shembuj me zgjidhjen e ekuacioneve:

Merrni parasysh opsionin e vendosjes së logaritmit në shkallë:

• Detyra 3. Llogarit 25^log 5(3). Zgjidhja: në kushtet e problemit, shënimi është i ngjashëm me sa vijon (5^2)^log5(3) ose 5^(2 * log 5(3)). Le ta shkruajmë ndryshe: 5^log 5(3*2), ose katrori i një numri si argument funksioni mund të shkruhet si katrori i vetë funksionit (5^log 5(3))^2. Duke përdorur vetitë e logaritmeve, kjo shprehje është 3^2. Përgjigje: si rezultat i llogaritjes marrim 9.

Përdorimi praktik

Duke qenë një mjet thjesht matematikor, duket larg jeta reale që logaritmi papritmas mori një rëndësi të madhe në përshkrimin e objekteve botën reale. Është e vështirë të gjesh një shkencë ku nuk përdoret. Kjo vlen plotësisht jo vetëm për fushat e dijes natyrore, por edhe për shkencat humane.

Varësitë logaritmike

Këtu janë disa shembuj të varësive numerike:

Mekanika dhe fizika

Historikisht, mekanika dhe fizika janë zhvilluar gjithmonë duke përdorur metoda kërkimore matematikore dhe në të njëjtën kohë kanë shërbyer si një nxitje për zhvillimin e matematikës, duke përfshirë logaritmet. Teoria e shumicës së ligjeve të fizikës është shkruar në gjuhën e matematikës. Ne japim vetëm dy shembuj të përshkrimit të ligjeve fizike duke përdorur logaritmin.

Është e mundur të zgjidhet problemi i llogaritjes së një sasie kaq komplekse si shpejtësia e një rakete duke përdorur formulën Tsiolkovsky, e cila hodhi themelet për teorinë e eksplorimit të hapësirës:

V = I * ln(M1/M2), ku

• V është shpejtësia përfundimtare e avionit.
• Unë jam impulsi specifik i motorit.
• M 1 është masa fillestare e raketës.
• M 2 - masa përfundimtare.

Një shembull tjetër i rëndësishëm- ky është përdorimi në formulën e një tjetër shkencëtari të madh, Max Planck, i cili shërben për të vlerësuar gjendjen e ekuilibrit në termodinamikë.

S = k * ln (Ω), ku

• S është një veti termodinamike.
• k është konstanta e Boltzmann-it.
• Ω është pesha statistikore e gjendjeve të ndryshme.

Kimia

Më pak e dukshme do të ishte përdorimi i formulave në kimi që përmbajnë raportin e logaritmeve. Këtu janë vetëm dy shembuj:

• Ekuacioni i Nernst-it, gjendja e potencialit redoks të mediumit në lidhje me aktivitetin e substancave dhe konstanten e ekuilibrit.
• Llogaritja e konstantave të tilla si indeksi i autoprolizës dhe aciditeti i tretësirës gjithashtu nuk është i plotë pa funksionin tonë.

Psikologjia dhe biologjia

Dhe është krejtësisht e pakuptueshme se çfarë ka të bëjë psikologjia me të. Rezulton se forca e ndjeshmërisë përshkruhet mirë nga ky funksion si raport i kundërt i vlerës së intensitetit të stimulit me vlerën e intensitetit më të ulët.

Pas shembujve të mësipërm, nuk është më për t'u habitur që tema e logaritmeve përdoret gjerësisht edhe në biologji. Vëllime të tëra mund të shkruhen për forma biologjike që korrespondojnë me spirale logaritmike.

Zonat e tjera

Duket se ekzistenca e botës është e pamundur pa lidhje me këtë funksion, dhe ajo rregullon të gjitha ligjet. Sidomos kur ligjet e natyrës lidhen me progresion gjeometrik. Ia vlen t'i referohemi faqes së internetit MatProfi dhe ka shumë shembuj të tillë në fushat e mëposhtme të aktivitetit:

Lista mund të jetë e pafund. Pasi të keni zotëruar ligjet bazë të këtij funksioni, mund të zhyteni në botën e mençurisë së pafund.

Ne vazhdojmë të studiojmë logaritmet. Në këtë artikull do të flasim për llogaritja e logaritmeve, ky proces quhet logaritmi. Së pari, do të merremi me llogaritjen e logaritmeve sipas përkufizimit. Më pas, merrni parasysh se si gjenden vlerat e logaritmeve duke përdorur vetitë e tyre. Pas kësaj, ne do të ndalemi në llogaritjen e logaritmeve përmes vlerave të dhëna fillimisht të logaritmeve të tjera. Së fundi, le të mësojmë se si të përdorim tabelat e logaritmeve. E gjithë teoria jepet me shembuj me zgjidhje të detajuara.

Navigimi i faqes.

Llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit

Në rastet më të thjeshta, është e mundur të kryhet shpejt dhe lehtë gjetja e logaritmit sipas definicionit. Le të hedhim një vështrim më të afërt se si zhvillohet ky proces.

Thelbi i tij është të përfaqësojë numrin b në formën a c, nga ku, sipas përcaktimit të logaritmit, numri c është vlera e logaritmit. Kjo do të thotë, gjetja e logaritmit sipas përkufizimit korrespondon me zinxhirin e mëposhtëm të barazive: log a b=log a a c =c .

Pra, llogaritja e logaritmit, sipas përkufizimit, zbret në gjetjen e një numri të tillë c që a c \u003d b, dhe vetë numri c është vlera e dëshiruar e logaritmit.

Duke pasur parasysh informacionin e paragrafëve të mëparshëm, kur numri nën shenjën e logaritmit jepet nga një shkallë e bazës së logaritmit, atëherë mund të tregoni menjëherë se me çfarë logaritmi është i barabartë - është i barabartë me eksponentin. Le të tregojmë shembuj.

Shembull.

Gjeni log 2 2 −3, dhe llogaritni gjithashtu logaritmin natyror të e 5.3.

Vendimi.

Përkufizimi i logaritmit na lejon të themi menjëherë se log 2 2 −3 = −3. Në të vërtetë, numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën 2 me fuqinë -3.

Në mënyrë të ngjashme, gjejmë logaritmin e dytë: lne 5.3 =5.3.

Përgjigje:

log 2 2 −3 = −3 dhe lne 5.3 =5.3 .

Nëse numri b nën shenjën e logaritmit nuk jepet si fuqia e bazës së logaritmit, atëherë duhet të konsideroni me kujdes nëse është e mundur të dilni me një paraqitje të numrit b në formën a c. Shpesh kjo paraqitje është mjaft e dukshme, veçanërisht kur numri nën shenjën e logaritmit është i barabartë me bazën me fuqinë 1, ose 2, ose 3, ...

Shembull.

Llogarit login e logaritmeve 5 25 , dhe .

Vendimi.

Është e lehtë të shihet se 25=5 2 , kjo ju lejon të llogaritni logaritmin e parë: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Ne vazhdojmë me llogaritjen e logaritmit të dytë. Një numër mund të përfaqësohet si një fuqi prej 7: (shiko nëse është e nevojshme). Prandaj, .

Le të rishkruajmë logaritmin e tretë në formën e mëposhtme. Tani mund ta shihni atë , prej nga arrijmë në përfundimin se . Prandaj, sipas përkufizimit të logaritmit .

Shkurtimisht, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë:

Përgjigje:

log 5 25=2 , dhe .

Kur një numër mjaft i madh natyror është nën shenjën e logaritmit, atëherë nuk është e dëmshme ta zbërthehet në faktorët kryesorë. Shpesh ndihmon për të përfaqësuar një numër të tillë si një fuqi e bazës së logaritmit, dhe për këtë arsye për të llogaritur këtë logaritëm sipas përkufizimit.

Shembull.

Gjeni vlerën e logaritmit.

Vendimi.

Disa veti të logaritmeve ju lejojnë të specifikoni menjëherë vlerën e logaritmeve. Këto veti përfshijnë vetinë e logaritmit të një dhe vetinë e logaritmit të një numri të barabartë me bazën: log 1 1=log a a 0 =0 dhe log a a=log a 1 =1 . Pra, kur numri 1 ose numri a është nën shenjën e logaritmit, i barabartë me bazën e logaritmit, atëherë në këto raste logaritmet janë përkatësisht 0 dhe 1.

Shembull.

Cilat janë logaritmet dhe lg10?

Vendimi.

Meqenëse , rrjedh nga përkufizimi i logaritmit .

Në shembullin e dytë, numri 10 nën shenjën e logaritmit përkon me bazën e tij, pra logaritmi dhjetor i dhjetë është i barabartë me një, pra lg10=lg10 1 =1 .

Përgjigje:

Dhe lg10=1.

Vini re se llogaritja e logaritmeve sipas përkufizimit (të cilën e diskutuam në paragrafin e mëparshëm) nënkupton përdorimin e logit të barazisë a a p =p, që është një nga vetitë e logaritmeve.

Në praktikë, kur numri nën shenjën e logaritmit dhe baza e logaritmit përfaqësohen lehtësisht si një fuqi e një numri, është shumë e përshtatshme të përdoret formula , e cila korrespondon me një nga vetitë e logaritmeve. Konsideroni një shembull të gjetjes së logaritmit, duke ilustruar përdorimin e kësaj formule.

Shembull.

Llogaritni logaritmin e .

Vendimi.

Përgjigje:

.

Në llogaritje përdoren edhe vetitë e logaritmeve që nuk janë përmendur më lart, por për këtë do të flasim në paragrafët në vijim.

Gjetja e logaritmeve në terma të logaritmeve të tjera të njohura

Informacioni në këtë paragraf vazhdon temën e përdorimit të vetive të logaritmeve në llogaritjen e tyre. Por këtu ndryshimi kryesor është se vetitë e logaritmeve përdoren për të shprehur logaritmin origjinal në termat e një logaritmi tjetër, vlera e të cilit dihet. Le të marrim një shembull për sqarim. Le të themi se e dimë se log 2 3≈1.584963 , atëherë mund të gjejmë, për shembull, log 2 6 duke bërë një transformim të vogël duke përdorur vetitë e logaritmit: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Në shembullin e mësipërm, na mjaftoi të përdornim vetinë e logaritmit të produktit. Sidoqoftë, shumë më shpesh ju duhet të përdorni një arsenal më të gjerë të vetive të logaritmeve për të llogaritur logaritmin origjinal në terma të atyre të dhënë.

Shembull.

Llogaritni logaritmin e 27 në bazën 60 nëse dihet se log 60 2=a dhe log 60 5=b .

Vendimi.

Pra, ne duhet të gjejmë log 60 27 . Është e lehtë të shihet se 27=3 3 , dhe logaritmi origjinal, për shkak të vetive të logaritmit të shkallës, mund të rishkruhet si 3·log 60 3 .

Tani le të shohim se si mund të shprehet log 60 3 në terma të logaritmeve të njohura. Vetia e logaritmit të një numri të barabartë me bazën ju lejon të shkruani regjistrin e barazisë 60 60=1. Nga ana tjetër, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Kështu, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Prandaj, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Së fundi, ne llogarisim logaritmin origjinal: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Përgjigje:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Më vete, vlen të përmendet kuptimi i formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit të formës . Ju lejon të kaloni nga logaritmet me çdo bazë në logaritme me një bazë specifike, vlerat e të cilave dihen ose është e mundur t'i gjeni. Zakonisht, nga logaritmi origjinal, sipas formulës së tranzicionit, kalojnë në logaritme në njërën nga bazat 2, e ose 10, pasi për këto baza ekzistojnë tabela logaritmesh që lejojnë llogaritjen e vlerave të tyre me një shkallë të caktuar. e saktësisë. Në pjesën tjetër, ne do të tregojmë se si bëhet kjo.

Tabelat e logaritmeve, përdorimi i tyre

Për një llogaritje të përafërt të vlerave të logaritmeve, mund të përdoret tabelat e logaritmit. Më së shpeshti përdoren tabela e logaritmit bazë 2, tabela e logaritmit natyror dhe tabela e logaritmit dhjetor. Kur punoni në sistemin e numrave dhjetorë, është e përshtatshme të përdorni një tabelë logaritmesh për bazën e dhjetë. Me ndihmën e tij, ne do të mësojmë të gjejmë vlerat e logaritmeve.

Tabela e paraqitur lejon, me një saktësi prej një të dhjetëmijtë, të gjenden vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave nga 1.000 në 9.999 (me tre shifra dhjetore). Parimi i gjetjes së vlerës së logaritmit duke përdorur tabelën e logaritmeve dhjetore do të analizohet në shembull specifik- shumë më e qartë. Le të gjejmë lg1,256.

Në kolonën e majtë të tabelës së logaritmeve dhjetore gjejmë dy shifrat e para të numrit 1.256, domethënë gjejmë 1.2 (ky numër është rrethuar me blu për qartësi). Shifra e tretë e numrit 1.256 (numri 5) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të majtë të vijës dyshe (ky numër është i rrethuar me të kuqe). Shifra e katërt e numrit origjinal 1.256 (numri 6) gjendet në rreshtin e parë ose të fundit në të djathtë të vijës së dyfishtë (ky numër është i rrethuar me të gjelbër). Tani gjejmë numrat në qelizat e tabelës së logaritmeve në kryqëzimin e rreshtit të shënuar dhe kolonave të shënuara (këta numra janë theksuar portokalli). Shuma e numrave të shënuar jep vlerën e dëshiruar të logaritmit dhjetor deri në shenja e katërt pas presjes, d.m.th. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

A është e mundur, duke përdorur tabelën e mësipërme, të gjejmë vlerat e logaritmeve dhjetore të numrave që kanë më shumë se tre shifra pas presjes dhjetore dhe gjithashtu shkojnë përtej kufijve nga 1 në 9.999? Po ti mundesh. Le të tregojmë se si bëhet kjo me një shembull.

Le të llogarisim lg102.76332. Së pari ju duhet të shkruani numri në formë standarde : 102.76332=1.0276332 10 2 . Pas kësaj, mantisa duhet të rrumbullakoset deri në numrin e tretë dhjetor, kemi 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, ndërsa logaritmi dhjetor fillestar është përafërsisht i barabartë me logaritmin e numrit që rezulton, pra marrim lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Tani aplikoni vetitë e logaritmit: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Në fund vlerën e logaritmit lg1.028 e gjejmë sipas tabelës së logaritmeve dhjetore lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Si rezultat, i gjithë procesi i llogaritjes së logaritmit duket si ky: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Si përfundim, vlen të përmendet se duke përdorur tabelën e logaritmeve dhjetore, mund të llogaritni vlerën e përafërt të çdo logaritmi. Për ta bërë këtë, mjafton të përdorni formulën e tranzicionit për të shkuar në logaritme dhjetore, për të gjetur vlerat e tyre në tabelë dhe për të kryer llogaritjet e mbetura.

Për shembull, le të llogarisim regjistrin 2 3 . Sipas formulës për kalimin në një bazë të re të logaritmit, kemi . Nga tabela e logaritmeve dhjetore gjejmë lg3≈0.4771 dhe lg2≈0.3010. Kështu, .

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera.Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10-11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për aplikantët në shkollat ​​teknike).

Le të fillojmë me vetitë e logaritmit të unitetit. Formulimi i tij është si më poshtë: logaritmi i unitetit është i barabartë me zero, d.m.th. log a 1=0 për çdo a>0, a≠1. Vërtetimi është i drejtpërdrejtë: meqenëse a 0 =1 për çdo a që plotëson kushtet e mësipërme a>0 dhe a≠1, atëherë logi i vërtetuar i barazisë a 1=0 rrjedh menjëherë nga përkufizimi i logaritmit.

Le të japim shembuj të zbatimit të vetive të shqyrtuara: log 3 1=0 , lg1=0 dhe .

Le të kalojmë në pronën tjetër: logaritmi i një numri të barabartë me bazën është i barabartë me një, d.m.th. log a a=1 për a>0, a≠1. Në të vërtetë, meqenëse a 1 =a për çdo a , atëherë sipas përkufizimit të logaritmit log a a=1 .

Shembuj të përdorimit të kësaj vetie të logaritmeve janë log 5 5=1 , log 5.6 5.6 dhe lne=1 .

Për shembull, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 dhe .

Logaritmi i prodhimit të dy numra pozitiv x dhe y është e barabartë me prodhimin e logaritmeve të këtyre numrave: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Le të vërtetojmë vetinë e logaritmit të produktit. Për shkak të vetive të shkallës a log a x+log a y =a log a x a log a y, dhe meqenëse sipas identitetit logaritmik kryesor a log a x =x dhe një log a y =y , atëherë një log a x a log a y =x y . Kështu, a log a x+log a y =x y, nga ku barazia e kërkuar pasohet nga përkufizimi i logaritmit.

Le të tregojmë shembuj të përdorimit të vetive të logaritmit të produktit: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dhe .

Vetia e logaritmit të produktit mund të përgjithësohet në produktin e një numri të fundëm n të numrave pozitivë x 1 , x 2 , …, x n si log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Kjo barazi vërtetohet lehtësisht.

Për shembull, logaritmi natyror i një produkti mund të zëvendësohet me shumën e tre logaritmeve natyrore të numrave 4 , e , dhe .

Logaritmi i herësit të dy numrave pozitivë x dhe y është e barabartë me diferencën ndërmjet logaritmeve të këtyre numrave. Vetia e logaritmit koeficient i korrespondon një formule të formës , ku a>0 , a≠1 , x dhe y janë disa numra pozitivë. Vlefshmëria e kësaj formule vërtetohet si formula për logaritmin e produktit: pasi , pastaj me përcaktimin e logaritmit .

Këtu është një shembull i përdorimit të kësaj vetie të logaritmit: .

Le të kalojmë në veti e logaritmit të shkallës. Logaritmi i një shkalle është i barabartë me prodhimin e eksponentit dhe logaritmit të modulit të bazës së kësaj shkalle. Këtë veti të logaritmit të shkallës e shkruajmë në formën e një formule: log a b p =p log a |b|, ku a>0, a≠1, b dhe p janë numra të tillë që shkalla e b p ka kuptim dhe b p >0.

Së pari vërtetojmë këtë veti për b pozitive. Identiteti bazë logaritmik na lejon të paraqesim numrin b si një log a b , pastaj b p =(a log a b) p , dhe shprehja që rezulton, për shkak të vetive të fuqisë, është e barabartë me një p log a b . Pra, arrijmë te barazia b p =a p log a b , nga e cila, me përcaktimin e logaritmit, arrijmë në përfundimin se log a b p =p log a b .

Mbetet të vërtetohet kjo veti për b negative. Këtu vërejmë se shprehja log a b p për negativin b ka kuptim vetëm për eksponentët çift p (pasi vlera e shkallës b p duhet të jetë më e madhe se zero, përndryshe logaritmi nuk do të ketë kuptim), dhe në këtë rast b p =|b| fq . Pastaj b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, prej nga log a b p =p log a |b| .

Për shembull, dhe ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Kjo rrjedh nga prona e mëparshme veti e logaritmit nga rrënja: logaritmi i rrënjës së shkallës së n-të është i barabartë me prodhimin e thyesës 1/n dhe logaritmin e shprehjes rrënjësore, d.m.th. , ku a>0 , a≠1 , n është një numër natyror më i madh se një, b>0 .

Vërtetimi bazohet në barazinë (shih ), e cila është e vlefshme për çdo b pozitive, dhe vetinë e logaritmit të shkallës: .

Këtu është një shembull i përdorimit të kësaj prone: .

Tani le të provojmë formula e konvertimit në bazën e re të logaritmit lloj . Për ta bërë këtë, mjafton të vërtetohet vlefshmëria e logit të barazisë c b=log a b log c a . Identiteti bazë logaritmik na lejon të paraqesim numrin b si log a b , pastaj log c b=log c a log a b . Mbetet të përdoret vetia e logaritmit të shkallës: log c a log a b = log a b log c a. Kështu, vërtetohet log i barazisë c b=log a b log c a, që do të thotë se vërtetohet edhe formula e kalimit në një bazë të re të logaritmit.

Le të tregojmë disa shembuj të zbatimit të kësaj vetie të logaritmeve: dhe .

Formula për kalimin në një bazë të re ju lejon të kaloni në punën me logaritme që kanë një bazë "të përshtatshme". Për shembull, mund të përdoret për të kaluar në logaritme natyrore ose dhjetore në mënyrë që të mund të llogarisni vlerën e logaritmit nga tabela e logaritmeve. Formula për kalimin në një bazë të re të logaritmit gjithashtu lejon në disa raste gjetjen e vlerës së një logaritmi të caktuar, kur dihen vlerat e disa logaritmeve me baza të tjera.

Përdoret shpesh rast i veçantë formulat për kalimin në një bazë të re të logaritmit për c=b të formës . Kjo tregon se log a b dhe log b a – . Për shembull, .

Gjithashtu shpesh përdoret formula , e cila është e dobishme për gjetjen e vlerave të logaritmit. Për të konfirmuar fjalët tona, ne do të tregojmë se si llogaritet vlera e logaritmit të formularit duke përdorur atë. Ne kemi . Për të vërtetuar formulën mjafton të përdorim formulën e kalimit në bazën e re të logaritmit a: .

Mbetet për të vërtetuar vetitë e krahasimit të logaritmeve.

Le të vërtetojmë se për çdo numër pozitiv b 1 dhe b 2 , b 1 log a b 2, dhe për a>1, pabarazia log a b 1

Më në fund, mbetet të vërtetojmë të fundit nga vetitë e listuara të logaritmeve. Kufizohemi në vërtetimin e pjesës së parë të saj, pra vërtetojmë se nëse a 1 >1 , a 2 >1 dhe a 1 1 është e vërtetë log a 1 b>log a 2 b . Pohimet e mbetura të kësaj vetie të logaritmeve vërtetohen me një parim të ngjashëm.

Le të përdorim metodën e kundërt. Supozoni se për një 1 >1 , a 2 >1 dhe a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b është e vërtetë. Nga vetitë e logaritmeve, këto pabarazi mund të rishkruhen si dhe përkatësisht, dhe prej tyre rrjedh se përkatësisht log b a 1 ≤log b a 2 dhe log b a 1 ≥log b a 2. Pastaj, sipas vetive të fuqive me baza të njëjta, duhet të plotësohen barazitë b log b a 1 ≥b log b a 2 dhe b log b a 1 ≥b log b a 2, pra a 1 ≥a 2 . Kështu, kemi arritur në një kontradiktë me kushtin a 1

Bibliografi.