Nga historia e ekuacioneve kuadratike. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1. Nga historia e shfaqjes ekuacionet kuadratike

Algjebra u ngrit në lidhje me zgjidhjen e problemeve të ndryshme duke përdorur ekuacione. Në mënyrë tipike, problemet kërkojnë gjetjen e një ose më shumë të panjohurave, ndërkohë që dihen rezultatet e disa veprimeve të kryera në sasitë e dëshiruara dhe të dhëna. Probleme të tilla zbresin në zgjidhjen e një ose një sistemi prej disa ekuacionesh, në gjetjen e atyre që kërkohen duke përdorur veprime algjebrike në sasi të dhëna. Algjebra studion vetitë e përgjithshme të veprimeve mbi sasitë.

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura 4000 vjet më parë në Babiloninë e Lashtë.

Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe tokave dhe punimet tokësore të natyrës ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Pavarësisht nivel të lartë zhvillimi i algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme i mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme zgjidhja e ekuacioneve kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një seri sistematike problemesh, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione. shkallë të ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 2. "Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96."

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre do të ishte i barabartë jo me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, pra 10 + x. Tjetra është më pak, pra 10 - x. Diferenca midis tyre është 2x. Prandaj ekuacioni:

(10+x)(10-x) =96,

Prandaj x = 2. Një nga numrat e kërkuar është 12, tjetri është 8. Zgjidhja x = - 2 nuk ekziston për Diofantin, pasi matematika greke e dinte vetëm numra pozitiv.

Nëse e zgjidhni këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, mund të arrini në një zgjidhje të ekuacionit:

Është e qartë se duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë.

Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi rregull i përgjithshëm zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

sëpatë 2 + bx = c, a> 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët mund të jenë gjithashtu negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Garat publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme në Indi. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ashtu si dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e tij në asambletë publike duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Zgjidhja e Bhaskara tregon se autori e dinte që rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera.

Ekuacioni që i korrespondon problemit 3 është:

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x = - 768

dhe, për të kompletuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, shton 32 2 në të dy anët, duke marrë më pas:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Ekuacionet kuadratike të Al-Huarizmit

Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 = bx.

2) "Katroret janë të barabartë me numrat", pra sëpatë 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. sëpatë = c.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", pra sëpatë 2 + c = bx.

5) "Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrin", pra sëpatë 2 + bx = c.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c == sëpatë 2.

Për Al-Kuarizmin, i cili shmangu konsumimin numra negativ, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa, jo të zbritshme. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat e al-xhabr dhe al-mukabal. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidh një ekuacion kuadratik jo të plotë të llojit të parë, Al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në praktikë specifike nuk ka rëndësi në detyra. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, Al-Khwarizmi përcakton rregullat e zgjidhjes duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas provat e tyre gjeometrike.

Le të japim një shembull.

Problemi 4. “Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën” (nënkupton rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhje: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vete, zbrisni 21 nga produkti, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5, merrni 3, kjo do të jetë rrënja që po kërkoni. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i Al-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton në mënyrë sistematike klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

Ekuacionet kuadratike në Evropë në shekujt 12-17.

Format për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të Al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202. Matematikani italian Leonard Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa të reja shembuj algjebrikë zgjidhjen e problemeve dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë.

Ky libër kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga ky libër u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 14-17. Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike x 2 + bх = с për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave dhe koeficientëve b, c u formulua në Evropë në 1544 nga M. Stiefel.

Nxjerrja e formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në pamje e përgjithshme Viet e ka atë, por Viet njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girard, Descartes, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr pamje moderne..

Origjina e metodave algjebrike për zgjidhjen e problemeve praktike është e lidhur me shkencën bota e lashtë. Siç dihet nga historia e matematikës, një pjesë e konsiderueshme e problemeve matematikore të zgjidhura nga skribët dhe llogaritësit egjiptianë, sumerianë dhe babilonas (shek. XX-VI p.e.s.) ishin të natyrës llogaritëse. Megjithatë, edhe atëherë, herë pas here, shfaqeshin probleme në të cilat vlera e dëshiruar e një sasie përcaktohej nga disa kushte indirekte që, nga këndvështrimi ynë modern, kërkonin përbërjen e një ekuacioni ose një sistemi ekuacionesh. Fillimisht, metodat aritmetike u përdorën për të zgjidhur probleme të tilla. Më pas, filluan të formohen fillimet e koncepteve algjebrike. Për shembull, llogaritësit babilonas ishin në gjendje të zgjidhnin probleme që mund të reduktohen nga pikëpamja klasifikimi modern te ekuacionet e shkallës së dytë. U krijua një metodë për zgjidhjen e problemeve me fjalë, e cila më vonë shërbeu si bazë për izolimin e komponentit algjebrik dhe studimin e tij të pavarur.

Ky studim u krye në një epokë tjetër, së pari nga matematikanët arabë (shek. VI-X pas Krishtit), të cilët identifikuan veprimet karakteristike me të cilat ekuacionet u reduktuan në pamje standarde duke sjellë terma të ngjashëm, duke transferuar terma nga një pjesë e ekuacionit në një tjetër me një ndryshim në shenjë. Dhe më pas nga matematikanët evropianë të Rilindjes, të cilët, si rezultat i një kërkimi të gjatë, krijuan gjuhën e algjebrës moderne, përdorimin e shkronjave, futjen e simboleve për veprimet aritmetike, kllapat, etj. Në fund të datës 16- shekulli i 17-të. Algjebra si pjesë specifike e matematikës, me lëndën, metodën dhe fushat e veta të zbatimit, tashmë ishte formuar. Zhvillimi i tij i mëtejshëm, deri në kohën tonë, konsistoi në përmirësimin e metodave, zgjerimin e fushës së zbatimit, sqarimin e koncepteve dhe lidhjet e tyre me konceptet e degëve të tjera të matematikës.

Pra, duke pasur parasysh rëndësinë dhe gjerësinë e materialit që lidhet me konceptin e një ekuacioni, studimi i tij në metodat moderne të matematikës lidhet me tre fusha kryesore të origjinës dhe funksionimit të tij.

HYRJE

Ekuacionet zënë një vend kryesor në kursin e algjebrës shkollore. Më shumë kohë i kushtohet studimit të tyre sesa çdo teme tjetër në kursin e matematikës shkollore. Fuqia e teorisë së ekuacioneve është se ajo jo vetëm që ka rëndësi teorike për njohjen e ligjeve natyrore, por shërben edhe për qëllime praktike specifike. Shumica e problemeve në lidhje me format hapësinore dhe marrëdhëniet sasiore në botën reale vijnë në zgjidhjen e llojeve të ndryshme të ekuacioneve. Duke zotëruar mënyrat për t'i zgjidhur ato, njerëzit gjejnë përgjigje për të pyetje të ndryshme nga shkenca dhe teknologjia (transporti, bujqësia, industria, komunikimet etj.). Gjithashtu, për zhvillimin e aftësisë për zgjidhjen e ekuacioneve, puna e pavarur e studentit gjatë mësimit të zgjidhjes së ekuacioneve ka një rëndësi të madhe. Gjatë studimit të çdo teme, ekuacionet mund të përdoren si një mjet efektiv për konsolidimin, thellimin, përsëritjen dhe zgjerimin e njohurive teorike, për zhvillimin e veprimtarisë krijuese matematikore të studentëve.

Në botën moderne, ekuacionet përdoren gjerësisht në degë të ndryshme të matematikës dhe në zgjidhjen e problemeve të rëndësishme të aplikuara. Kjo temë karakterizohet nga një thellësi e madhe e prezantimit dhe nga pasuria e lidhjeve të krijuara me ndihmën e saj në mësimdhënie dhe vlefshmëria logjike e prezantimit. Prandaj, ai zë një pozicion të jashtëzakonshëm në linjën e ekuacioneve. Studentët fillojnë të studiojnë temën "Trinomet katrore" pasi kanë grumbulluar tashmë njëfarë përvoje, duke zotëruar një rezervë mjaft të madhe të koncepteve, koncepteve dhe aftësive matematikore algjebrike dhe të përgjithshme. Në një masë të madhe, është në materialin e kësaj teme që është e nevojshme të sintetizohet materiali që lidhet me ekuacionet, të zbatohen parimet e historicizmit dhe aksesueshmërisë.

Rëndësia Tema është nevoja për të zbatuar parimet e historicizmit dhe pamjaftueshmëria e materialit për ta zbatuar këtë në temën "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike".

Problemi i kërkimit: identifikimi i materialit historik për mësimdhënien për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Qëllimi i punës: formimi i ideve për punën në ekuacionet kuadratike në mësimet e matematikës, përzgjedhja e një grupi mësimesh me elementë historicizmi me temën "Ekuacionet kuadratike".

Objekti i studimit: zgjidhja e ekuacioneve kuadratike në klasën e 8-të duke përdorur elemente të historicizmit.

Lënda e hulumtimit: ekuacionet kuadratike dhe zhvillimi i orëve mësimore për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur materiale historike.

Detyrat:

të kryejë një analizë të literaturës shkencore dhe metodologjike për problemin e kërkimit;

të analizojë tekstet shkollore dhe të evidentojë në to vendin e mësimdhënies për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike;

zgjidhni një grup mësimesh për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike duke përdorur materiale historike.

Metodat e kërkimit:

analiza e literaturës me temën “Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike”;

vëzhgimi i nxënësve gjatë një ore mësimi me temën “Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike”;

përzgjedhja e materialit: mësime me temën "Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike" duke përdorur informacionin historik.

§ 1. Nga historia e shfaqjes së ekuacioneve kuadratike

Disa teknika algjebrike për zgjidhjen e ekuacioneve lineare dhe kuadratike ishin të njohura 4000 vjet më parë në Babiloninë e Lashtë.

Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punë gërmimi të karakterit ushtarak, si dhe. si me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën. Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 2. "Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96."

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre do të ishte i barabartë jo me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th.
. Tjetri është më i vogël, d.m.th.
. Dallimi mes tyre
. Prandaj ekuacioni:

Nga këtu
. Njëri nga numrat e kërkuar është 12, tjetri është 8. Zgjidhje
sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhni këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, mund të arrini në një zgjidhje të ekuacionit:

Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

(1)

Në ekuacionin (1), koeficientët mund të jenë gjithashtu negativ. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Zgjidhja e Bhaskara tregon se autori e dinte që rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera.

Ekuacioni që i korrespondon problemit 3 është:

Bhaskara shkruan nën maskën:

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në katror, shton 322 në të dy anët, duke marrë më pas:

Ekuacionet kuadratike të Al-Huarizmit

Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

Për Al-Huarizmin, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa, jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat e al-xhabr dhe al-mukabal. Vendimi i tij, natyrisht, nuk përkon plotësisht me tonin. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidh një ekuacion kuadratik jo të plotë të llojit të parë, Al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët deri në shekullin e 17-të, nuk merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në praktikë specifike nuk ka rëndësi në detyra. Kur zgjidh ekuacionet e plota kuadratike, Al-Khwarizmi përcakton rregullat e zgjidhjes duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas provat e tyre gjeometrike.

Le të japim një shembull.

Problemi 4. “Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (që do të thotë rrënjën e ekuacionit
).

Traktati i Al-Huarizmit është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

Ekuacionet kuadratike në EvropëXII- XVIIV.

Format për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas modelit të Al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202. Matematikani italian Leonard Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë.

Ky libër kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga ky libër u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 14-17. Rregulla e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike
për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave dhe koeficientëve b, c, u formulua në Evropë në 1544 nga M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieth, por Vieth njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

Origjina e metodave algjebrike për zgjidhjen e problemeve praktike lidhet me shkencën e botës antike. Siç dihet nga historia e matematikës, një pjesë e konsiderueshme e problemeve matematikore të zgjidhura nga skribët dhe llogaritësit egjiptianë, sumerianë dhe babilonas (shek. XX-VI p.e.s.) ishin të natyrës llogaritëse. Megjithatë, edhe atëherë, herë pas here, shfaqeshin probleme në të cilat vlera e dëshiruar e një sasie përcaktohej nga disa kushte indirekte që, nga këndvështrimi ynë modern, kërkonin përbërjen e një ekuacioni ose një sistemi ekuacionesh. Fillimisht, metodat aritmetike u përdorën për të zgjidhur probleme të tilla. Më pas, filluan të formohen fillimet e koncepteve algjebrike. Për shembull, kalkulatorët babilonas ishin në gjendje të zgjidhnin probleme që, nga pikëpamja e klasifikimit modern, mund të reduktohen në ekuacione të shkallës së dytë. U krijua një metodë për zgjidhjen e problemeve me fjalë, e cila më vonë shërbeu si bazë për izolimin e komponentit algjebrik dhe studimin e tij të pavarur.

Ky studim u krye në një epokë tjetër, së pari nga matematikanët arabë (shek. VI-X pas Krishtit), të cilët identifikuan veprime karakteristike me të cilat ekuacionet u sollën në një formë standarde: sjellja e termave të ngjashëm, transferimi i termave nga një pjesë e ekuacionit në tjetrën me një ndryshim i shenjës. Dhe më pas nga matematikanët evropianë të Rilindjes, të cilët, si rezultat i një kërkimi të gjatë, krijuan gjuhën e algjebrës moderne, përdorimin e shkronjave, futjen e simboleve për veprimet aritmetike, kllapat, etj. Në fund të datës 16- shekulli i 17-të. Algjebra si pjesë specifike e matematikës, me lëndën, metodën dhe fushat e veta të zbatimit, tashmë ishte formuar. Zhvillimi i tij i mëtejshëm, deri në kohën tonë, konsistoi në përmirësimin e metodave, zgjerimin e fushës së zbatimit, sqarimin e koncepteve dhe lidhjet e tyre me konceptet e degëve të tjera të matematikës.

Kovalchuk Kirill

Projekti "Ekuacionet kuadratike nëpër shekuj dhe vende" i prezanton studentët me shkencëtarët matematikorë, zbulimet e të cilëve janë bazë përparimin shkencor dhe teknologjik, zhvillon interesin për matematikën si lëndë e bazuar në njohjen me materialin historik, zgjeron horizontet e nxënësve, stimulon veprimtarinë dhe krijimtarinë e tyre njohëse.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimit, krijoni një llogari për veten tuaj ( llogari) Google dhe identifikohu: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Puna e projektit e një nxënësi të klasës së 8-të të shkollës së mesme të institucionit arsimor komunal Nr. 17 në fshatin Borisovka Kirill Kovalchuk Mbikëqyrësi G.V

Ekuacionet kuadratike nëpër shekuj dhe vende

Qëllimi i projektit: Të njohë studentët me shkencëtarët e matematikës, zbulimet e të cilëve janë baza e përparimit shkencor dhe teknologjik. Tregoni rëndësinë e punimeve të shkencëtarëve për zhvillimin e gjeometrisë dhe fizikës.????????????? Të demonstrojë vizualisht zbatimin e zbulimeve shkencore në jetë. Zhvilloni interesin për matematikën si lëndë e bazuar në njohjen me materialin historik. Zgjeroni horizontet e studentëve, stimuloni aktivitetin dhe krijimtarinë e tyre njohëse

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të dytë, u shkaktua në kohët e lashta nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave, me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit. Rregullat për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve të përcaktuara në tekstet babilonase janë në thelb të njëjta me ato moderne, por këtyre teksteve u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

. (rreth 365 - 300 p.e.s.) - matematikan i lashtë grek, autor i traktateve të para teorike mbi matematikën që kanë arritur tek ne. Euklidi, ose Euklidi

Fillimet e Euklidit Aty ku Nili shkrihet me detin, Në tokën e lashtë të nxehtë të Piramidave jetoi matematikani grek - Euklidi i ditur, i urtë. Ka studiuar gjeometri, ka mësuar gjeometri. Ai shkroi një vepër të madhe. Emri i këtij libri është "Fillimet".

Euklidi shekulli III para Krishtit Euklidi zgjidhi ekuacionet kuadratike duke përdorur një metodë gjeometrike. Këtu është një nga problemet nga traktati i lashtë grek: "Ka një qytet me një kufi në formën e një sheshi me një anë me madhësi të panjohur, në qendër të çdo ane ka një portë. Nga porta veriore ndodhet një shtyllë në një distancë prej 20bu (1bu=1,6m). Nëse ecni drejt nga porta jugore 14bu, pastaj kthehuni në perëndim dhe shkoni një tjetër 1775bu, mund të shihni një shtyllë. Pyetja është: në cilën anë të kufirit të qytetit? »

Për të përcaktuar anën e panjohur të katrorit, marrim ekuacionin kuadratik x ² +(k+l)x-2kd =0. Në këtë rast, ekuacioni duket si x² +34x-71000=0, nga ku x=250bu l x d k

Ekuacionet kuadratike në Indi Probleme mbi ekuacionet kuadratike gjenden gjithashtu në traktatin astronomik "Aryabhattiam", i përpiluar në vitin 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta, vendosi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike: sëpatë ² +bx=c , a>0 Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike."

Një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të Bhaskara Një tufë majmunësh të gjallë, pasi kishin ngrënë me kënaqësi, u argëtuan. Pjesa e tetë e tyre në shesh po argëtohesha në kthinë. Dhe dymbëdhjetë në hardhi... Ata filluan të kërcejnë duke u varur... Sa majmunë kishte, më thuaj, në këtë tufë?

Zgjidhje. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, pastaj D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Përgjigje: Ishin 16 ose 48 majmunë.

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik është "rizbuluar" disa herë. Një nga derivimet e para të kësaj formule që ka mbijetuar deri më sot i përket matematikanit indian Brahmagupta. Shkencëtari i Azisë Qendrore al-Khwarizmi, në traktatin e tij "Kitab al-jerb wal-mukabala", e mori këtë formulë me metodën e izolimit të një katrori të plotë.

Si e zgjidhi al-Khorezmi këtë ekuacion? Ai shkroi: “Rregulli është ky: dyfishoni numrin e rrënjëve, x = 2x · 5 në këtë problem ju merrni pesë, shumëzoni 5 me këtë të barabartë me të, bëhet njëzet e pesë, 5 · 5 = 25 shtoni këtë në tridhjetë -nëntë, 25 + 39 bëhet gjashtëdhjetë e katër, 64 merr rrënjën nga kjo, do të jetë tetë, 8 dhe nga kjo gjysma zbres numri i rrënjëve, pra pesë, 8-5 do të mbeten tre - kjo dhe 3 do të jenë rrënja e sheshit që po kërkonit”. Po rrënja e dytë? Rrënja e dytë nuk u gjet, pasi numrat negativë nuk njiheshin. x 2 +10 x = 39

Ekuacionet kuadratike në Evropë 13-17 shekuj. Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të modeluara sipas al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në "Librin e Abacus", shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës nga të dy vendet islame dhe Greqia e lashtë, dallohet si nga plotësia ashtu edhe nga qartësia e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa zgjidhje të reja algjebrike për problemet dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 dhe 17. dhe pjesërisht 18.

Francois Viète - matematikani më i madh i shekullit të 16-të

Përpara F. Vieta, zgjidhja e një ekuacioni kuadratik kryhej sipas rregullave të veta në formën e argumenteve dhe përshkrimeve verbale shumë të gjata, veprimesh mjaft të rënda. Ata nuk mund të shkruanin as vetë ekuacionin, kjo kërkonte një përshkrim gojor mjaft të gjatë dhe kompleks. Ai shpiku termin "koeficient". Ai propozoi që sasitë e kërkuara të shënoheshin me zanore dhe të dhënat me bashkëtingëllore. Falë simbolikës së Vietës, ekuacionin kuadratik mund ta shkruajmë në formën: sëpatë 2 + bx + c =0. Teorema: Shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë të marrë nga shenjë e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë. Përkundër faktit se kjo teoremë quhet "Teorema e Vieta", ajo ishte e njohur para tij, dhe ai vetëm e shndërroi atë në formën e saj moderne. Vieta quhet "babai i algjebrës"

Njerëzimi ka bërë një rrugë të gjatë nga injoranca në dije, duke zëvendësuar vazhdimisht njohuritë e paplota dhe të papërsosura me njohuri gjithnjë e më të plota dhe të përsosura gjatë rrugës. Fjala e fundit

Ne që jetojmë në fillimi i XXI shekulli, tërheq antikitetin. Tek paraardhësit tanë, ne vërejmë para së gjithash atë që u mungon nga këndvështrimi modern dhe zakonisht nuk e vërejmë atë që na mungon neve në krahasim me ta.

Të mos harrojmë as ato...

Faleminderit për vëmendjen tuaj!

Nuk ka ende një version HTML të punës.

Dokumente të ngjashme

Historia e zhvillimit të formulave për rrënjët e ekuacioneve kuadratike. Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë. Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike nga Diofanti. Ekuacionet kuadratike në Indi, Khorezmia dhe Evropë në shekujt 13 - 17. Teorema e Vieta-s, shënimi algjebrik modern.

test, shtuar 27.11.2010

Historia e ekuacioneve kuadratike: ekuacionet në Babiloninë e Lashtë dhe Indinë. Formulat për koeficientin çift të x. Ekuacionet kuadratike të një natyre të veçantë. Teorema e Vietës për polinomet e shkallëve më të larta. Studimi i ekuacioneve bikuadratike. Thelbi i formulës Cordano.

abstrakt, shtuar 05/09/2009

Nxjerrja e formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në historinë e matematikës. Analiza krahasuese teknologjive në mënyra të ndryshme zgjidhje të ekuacioneve të shkallës së dytë, shembuj të zbatimit të tyre. Teori e shkurtër zgjidhja e ekuacioneve kuadratike, shkrimi i një libri problemash.

abstrakt, shtuar më 18.12.2012

Rëndësia e matematikës në jetën tonë. Historia e llogarisë. Zhvillimi aktual i metodave të matematikës llogaritëse. Përdorimi i matematikës në shkencat e tjera, roli i modelimit matematik. Gjendja e arsimit matematikor në Rusi.

artikull, shtuar 01/05/2010

matematika greke. Mesjeta dhe Rilindja. Fillimi i matematikës moderne. Matematika moderne. Matematika nuk bazohet në logjikë, por në intuitë të shëndoshë. Problemet e themeleve të matematikës janë filozofike.

abstrakt, shtuar 09/06/2006

Historia e zhvillimit të shkencës matematikore në Evropë në shekujt 6-14, përfaqësuesit dhe arritjet e saj. Zhvillimi i matematikës gjatë Rilindjes. Krijimi i llogaritjes së shkronjave, veprimtaria e Francois Vieta. Përmirësime në informatikë në fund të shekullit të 16-të dhe në fillim të shekullit të 16-të.

prezantim, shtuar 20.09.2015

Rishikimi i zhvillimit të matematikës evropiane në shekujt 17-18. Zhvillimi i pabarabartë i shkencës evropiane. Gjeometria analitike. Krijimi i analizës matematikore. Shkolla shkencore e Leibniz-it. Karakteristikat e përgjithshme shkencës në shekullin e 18-të Drejtimet e zhvillimit të matematikës.

prezantim, shtuar 20.09.2015

Periudha e lindjes së matematikës (para shekujve VII-V p.e.s.). Koha e matematikës së sasive konstante (shek. VII-V p.e.s. – shek. XVII pas Krishtit). Matematika e ndryshoreve (shek. XVII-XIX). Periudha moderne e zhvillimit të matematikës. Karakteristikat e matematikës kompjuterike.

prezantim, shtuar 20.09.2015

Arritjet e matematikanëve të lashtë grekë që jetuan midis shekullit të 6-të para Krishtit. dhe shekulli 5 pas Krishtit Karakteristikat e periudhës fillestare të zhvillimit të matematikës. Roli i shkollës së Pitagorës në zhvillimin e matematikës: Platoni, Eudoksi, Zenoni, Demokriti, Euklidi, Arkimedi, Apollonius.

test, shtuar 17.09.2010

Historia e zhvillimit të matematikës si shkencë. Periudha matematika elementare. Periudha e krijimit të matematikës së madhësive të ndryshueshme. Krijimi i gjeometrisë analitike, llogaritja diferenciale dhe integrale. Zhvillimi i matematikës në Rusi në shekujt 18-19.

Përfaqësues të qytetërimeve të ndryshme: Egjipti i lashtë, Babilonia e lashtë, Greqia e lashtë, India e lashtë, Kina e lashtë, Lindja mesjetare, Evropa zotëronte teknikat e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike.

Për herë të parë, matematikanët e Egjiptit të Lashtë ishin në gjendje të zgjidhnin një ekuacion kuadratik. Një nga papiruset matematikore përmban problemin e mëposhtëm:

"Gjeni anët e një fushe në formë drejtkëndëshi nëse sipërfaqja e saj është 12 dhe gjatësia e saj është e barabartë me gjerësinë e saj." "Gjatësia e fushës është 4", thuhet në papirus.

Kaluan mijëvjeçarë dhe numrat negativë hynë në algjebër. Duke zgjidhur ekuacionin x²= 16, marrim dy numra: 4, –4.

Natyrisht, në problemin egjiptian do të merrnim X = 4, pasi gjatësia e fushës mund të jetë vetëm një sasi pozitive.

Burimet që kanë arritur tek ne tregojnë se shkencëtarët e lashtë zotëronin disa teknikat e përgjithshme zgjidhjen e problemeve me sasi të panjohura. Rregulli për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të paraqitur në tekstet babilonase është në thelb i njëjtë me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit "arritën deri këtu". Por pothuajse në të gjitha tekstet e gjetura papirusi dhe kuneiform, jepen vetëm probleme me zgjidhje. Autorët vetëm herë pas here i kanë furnizuar llogaritjet e tyre numerike me komente të dobëta si: "Shiko!", "Bëje këtë!", "E gjete të duhurin!"

Matematikani grek Diofanti përpiloi dhe zgjidhi ekuacione kuadratike. Aritmetika e tij nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Problemet në hartimin e ekuacioneve kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aria-bhatiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta.

Një tjetër shkencëtar indian Brahmagupta (shekulli VII) përshkroi rregullin e përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të formës ax² + bx = c.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian për konkurse të tilla thotë si vijon: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët:

Një tufë majmunësh të gjallë

Pasi hëngra me kënaqësi, u argëtova.

Pjesa e tetë e tyre në shesh po argëtoheshin në kthinë.

Dhe dymbëdhjetë mbi hardhi... filluan të kërcejnë, duke u varur...

Sa majmunë kishte?

Më thuaj, në këtë paketë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera.

Tekstet më të lashta matematikore kineze që kanë ardhur deri tek ne datojnë në fund të shekullit të 1-të. para Krishtit Në shekullin II. para Krishtit Është shkruar Matematika në nëntë libra. Më vonë, në shekullin e VII, ai u përfshi në koleksionin "Dhjetë traktatet klasike", i cili u studiua për shumë shekuj. Traktati "Matematika në nëntë libra" shpjegon se si të nxjerrim rrënjë katrore duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy numrave.

Metoda u quajt "tian-yuan" (fjalë për fjalë "element qiellor") - kështu kinezët caktuan një sasi të panjohur.

Manuali i parë për zgjidhjen e problemeve që u bë i njohur gjerësisht ishte puna e shkencëtarit të Bagdadit të shekullit të 9-të. Muhamed bin Musa el-Kuarizmi. Fjala "al-jabr" me kalimin e kohës u shndërrua në fjalën e njohur "algjebër", dhe vetë puna e al-Khorezmi u bë pikënisja në zhvillimin e shkencës së zgjidhjes së ekuacioneve. Traktati algjebrik i Al-Khuarizmit jep një klasifikim të ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron gjashtë lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

-katrore rrënjë të barabarta, domethënë ah ² = bх;

-katrorë numër të barabartë, domethënë ah ² = s;

-rrënjët janë të barabarta me numrin, pra sëpatë = c;

-katrorët dhe numrat janë të barabartë me rrënjët, domethënë ah ²+ с = bх;

-katrorët dhe rrënjët janë të barabarta me numrin, domethënë ah ² + bх = с;

-rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë, pra bx + c = sëpatë ²;

Traktati i Al-Huarizmit është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të modeluara sipas al-Kuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që prezantoi numra negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga "Libri i Abacus" u përfshinë pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16-17. dhe pjesërisht të shekullit të 18-të.

Rregulla e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike x ² + bх = с, për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientëve b dhe с u formulua në Evropë vetëm në 1544 nga M. Stiefel.

Vieta ka një derivim të përgjithshëm të formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, por ai gjithashtu njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç rrënjëve pozitive dhe negative, ato merren parasysh. Vetëm në shekullin e 17-të, falë veprave të Girard, Descartes, Njuton dhe shkencëtarë të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike mori formën e saj moderne.