Zbrajanje dajemo razlomke općem. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka s različitim nazivnicima

Bilješka! Prije nego što napišete konačni odgovor, provjerite možete li smanjiti razlomak koji ste dobili.

Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima primjeri:

,

,

Oduzimanje pravilnog razlomka od jedan.

Ako je potrebno od jedinice oduzeti točan razlomak, jedinica se pretvara u oblik nepravilnog razlomka čiji je nazivnik jednak nazivniku oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja pravilnog razlomka od jedan:

Nazivnik razlomka koji treba oduzeti = 7 , tj. jedinicu predstavljamo kao nepravilan razlomak 7/7 i oduzimamo prema pravilu za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Oduzimanje pravilnog razlomka od cijelog broja.

Pravila za oduzimanje razlomaka - točno iz cijelog broja (prirodni broj):

• Zadane razlomke, koji sadrže cijeli broj, prevodimo u nepravilne. Dobivamo normalne uvjete (nije važno jesu li različitim nazivnicima), koje smatramo prema gore navedenim pravilima;
• Zatim izračunavamo razliku razlomaka koje smo dobili. Kao rezultat, gotovo ćemo pronaći odgovor;
• Izvodimo inverznu transformaciju, odnosno rješavamo se nepravilnog razlomka - odabiremo cijeli broj u razlomku.

Oduzmimo pravi razlomak od cijelog broja: predstavljamo prirodni broj kao mješoviti broj. Oni. uzmemo jedinicu u prirodnom broju i prevedemo je u oblik nepravilnog razlomka, nazivnik je isti kao i kod oduzetog razlomka.

Primjer oduzimanja razlomaka:

U primjeru smo jedinicu zamijenili nepravilnim razlomkom 7/7 i umjesto 3 zapisali smo mješoviti broj i od razlomka oduzeli razlomak.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Ili, drugačije rečeno, oduzimanje različitih razlomaka.

Pravilo za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. Da bismo oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, potrebno je te razlomke najprije dovesti na najmanji zajednički nazivnik (LCD), a tek nakon toga oduzeti kao kod razlomaka s istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik) prirodni brojevi koji su nazivnici zadanih razlomaka.

Pažnja! Ako u konačni razlomak brojnik i nazivnik imaju zajedničke faktore, tada se razlomak mora smanjiti. Nepravilan razlomak najbolje je predstaviti kao mješoviti razlomak. Ostavljanje rezultata oduzimanja bez smanjenja razlomka gdje je to moguće je nedovršeno rješenje primjera!

Postupak za oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

• pronaći LCM za sve nazivnike;
• stavite dodatne množitelje za sve razlomke;
• pomnožiti sve brojnike s dodatnim faktorom;
• rezultirajuće proizvode zapisujemo u brojnik, potpisujući zajednički nazivnik pod svim razlomcima;
• oduzmi brojnike razlomaka, potpisujući zajednički nazivnik ispod razlike.

Na isti način, zbrajanje i oduzimanje razlomaka provodi se uz prisutnost slova u brojniku.

Oduzimanje razlomaka, primjeri:

Oduzimanje mješovitih razlomaka.

Na oduzimanje miješane frakcije(brojevi) odvojeno, cijeli se dio oduzima od cijelog broja, a razlomak se oduzima od razlomka.

Prva opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Ako su razlomci isto nazivnici i brojnik razlomkog dijela minuenda (oduzimamo od njega) ≥ brojnik razlomkog dijela oduzetog (oduzimamo ga).

Na primjer:

Druga opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Kada su razlomci razne nazivnici. Za početak, razlomke svedemo na zajednički nazivnik, a zatim od cijelog broja oduzmemo cijeli broj, a razlomak od razlomka.

Na primjer:

Treća opcija je oduzimanje mješovitih razlomaka.

Razlomački dio minuenda manji je od razlomka oduzetog.

Primjer:

Jer razlomci imaju različite nazivnike, što znači, kao i u drugoj opciji, najprije obične razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika.

Brojnik razlomčkog dijela minuenda manji je od brojnika razlomka oduzetog.3 < 14. Dakle, uzimamo jedinicu iz cijelog broja i dovodimo ovu jedinicu u oblik nepravilnog razlomka s istim nazivnikom i brojnikom = 18.

U brojnik s desne strane upisujemo zbroj brojnika, zatim otvaramo zagrade u brojniku s desne strane, odnosno sve množimo i dajemo slične. Ne otvaramo zagrade u nazivniku. Uobičajeno je da se proizvod ostavi u nazivnicima. dobivamo:

Sljedeća radnja koja se može izvesti s običnim razlomcima je oduzimanje. U sklopu ovog materijala razmotrit ćemo kako pravilno izračunati razliku razlomaka s istim i različitim nazivnicima, kako oduzeti razlomak od prirodnog broja i obrnuto. Svi primjeri bit će ilustrirani zadacima. Unaprijed pojašnjavamo da ćemo analizirati samo slučajeve u kojima razlika razlomaka rezultira pozitivnim brojem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kako pronaći razliku razlomaka s istim nazivnikom

Krenimo odmah s dobar primjer: recimo da imamo jabuku koja je podijeljena na osam dijelova. Ostavimo pet dijelova na tanjuru i uzmimo dva. Ova se radnja može napisati ovako:

Na kraju imamo 3 osmine jer je 5 − 2 = 3 . Ispada da je 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Na ovom jednostavnom primjeru vidjeli smo kako točno funkcionira pravilo oduzimanja za razlomke s istim nazivnicima. Hajdemo to formulirati.

Definicija 1

Da biste pronašli razliku između razlomaka s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik jednog od brojnika drugog, a nazivnik ostaviti isti. Ovo pravilo se može zapisati kao a b - c b = a - c b .

Ovu formulu ćemo koristiti u nastavku.

Uzmimo konkretne primjere.

Primjer 1

Od razlomka 24 15 oduzmite obični razlomak 17 15 .

Odluka

Vidimo da ti razlomci imaju iste nazivnike. Dakle, sve što trebamo učiniti je oduzeti 17 od 24. Dobijemo 7 i dodamo mu nazivnik, dobijemo 7 15 .

Naši se izračuni mogu napisati ovako: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

Ako je potrebno, možete skratiti složena frakcija ili odaberite cijeli dio s pogrešnog kako bi ga bilo prikladnije brojati.

Primjer 2

Nađi razliku 37 12 - 15 12 .

Odluka

Upotrijebimo gore opisanu formulu i izračunajmo: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Lako je vidjeti da se brojnik i nazivnik mogu podijeliti s 2 (o tome smo već govorili ranije kada smo analizirali znakove djeljivosti). Smanjivanjem odgovora dobivamo 11 6 . Ovo je nepravilan razlomak iz kojeg ćemo odabrati cijeli dio: 11 6 \u003d 1 5 6.

Kako pronaći razliku između razlomaka s različitim nazivnicima

Takvu matematičku operaciju možemo svesti na ono što smo već opisali. Da biste to učinili, jednostavno dovedite željene razlomke na isti nazivnik. Formulirajmo definiciju:

Definicija 2

Da biste pronašli razliku između razlomaka koji imaju različite nazivnike, trebate ih svesti na isti nazivnik i pronaći razliku između brojnika.

Pogledajmo primjer kako se to radi.

Primjer 3

Oduzmite 1 15 od 2 9 .

Odluka

Nazivnici su različiti, a trebate ih svesti na najmanju zdrav razum. U ovom slučaju, LCM je 45. Za prvi razlomak potreban je dodatni faktor 5, a za drugi - 3.

Izračunajmo: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Dobili smo dva razlomka s istim nazivnikom, a sada lako možemo pronaći njihovu razliku koristeći prethodno opisani algoritam: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Kratak zapis rješenja izgleda ovako: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Nemojte zanemariti smanjenje rezultata ili odabir cijelog dijela iz njega, ako je potrebno. NA ovaj primjer ne moramo to činiti.

Primjer 4

Nađi razliku 19 9 - 7 36 .

Odluka

Razlomke navedene u uvjetu dovodimo do najnižeg zajedničkog nazivnika 36 i dobivamo 76 9 odnosno 7 36.

Razmatramo odgovor: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

Rezultat se može smanjiti za 3 da dobijete 23 12 . Brojnik je veći od nazivnika, što znači da možemo izdvojiti cijeli dio. Konačni odgovor je 1 11 12 .

Sažetak cijelog rješenja je 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

Kako od običnog razlomka oduzeti prirodni broj

Ova se radnja također može lako svesti na jednostavno oduzimanje obični razlomci. To se može učiniti predstavljanjem prirodnog broja kao razlomkom. Pokažimo primjer.

Primjer 5

Nađi razliku 83 21 - 3 .

Odluka

3 je isto što i 3 1 . Tada možete izračunati ovako: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Ako je u uvjetu potrebno od nepravilnog razlomka oduzeti cijeli broj, prikladnije je najprije iz njega izdvojiti cijeli broj, zapisujući ga kao mješoviti broj. Tada se prethodni primjer može riješiti drugačije.

Od razlomka 83 21, kada odaberete cijeli broj, dobijete 83 21 = 3 20 21.

Sada samo oduzmite 3 od toga: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Kako od prirodnog broja oduzeti razlomak

Ova radnja se izvodi slično prethodnoj: prepisujemo prirodni broj kao razlomak, dovodimo oboje do zajedničkog nazivnika i nalazimo razliku. Ilustrirajmo to primjerom.

Primjer 6

Pronađite razliku: 7 - 5 3 .

Odluka

Neka 7 bude razlomak 7 1 . Izvodimo oduzimanje i transformiramo konačni rezultat, izdvajajući iz njega cijeli broj: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Postoji još jedan način izračunavanja. Ima neke prednosti koje se mogu koristiti u slučajevima kada su brojnici i nazivnici razlomaka u zadatku veliki brojevi.

Definicija 3

Ako je razlomak koji treba oduzeti ispravan, tada se prirodni broj od kojeg oduzimamo mora prikazati kao zbroj dva broja od kojih je jedan jednak 1. Nakon toga, trebate oduzeti željeni razlomak od jedinice i dobiti odgovor.

Primjer 7

Izračunaj razliku 1 065 - 13 62 .

Odluka

Razlomak koji treba oduzeti je točan, jer mu je brojnik manji od nazivnika. Stoga moramo od 1065 oduzeti jedan i od njega oduzeti željeni razlomak: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

Sada moramo pronaći odgovor. Koristeći svojstva oduzimanja, rezultirajući izraz može se zapisati kao 1064 + 1 - 13 62 . Izračunajmo razliku u zagradama. Da bismo to učinili, jedinicu predstavljamo kao razlomak 1 1 .

Ispada da je 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

Sada se prisjetimo oko 1064 i formulirajmo odgovor: 1064 49 62 .

Koristimo stari način dokazati da je manje zgodno. Evo izračuna koje bismo dobili:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064

Odgovor je isti, ali su izračuni očito glomazniji.

Razmotrili smo slučaj kada trebate oduzeti točan razlomak. Ako nije u redu, zamijenit ćemo ga. mješoviti broj i izvodi oduzimanje prema poznatim pravilima.

Primjer 8

Izračunaj razliku 644 - 73 5 .

Odluka

Drugi razlomak je neispravan, a od njega se mora odvojiti cijeli dio.

Sada izračunavamo slično kao u prethodnom primjeru: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Svojstva oduzimanja pri radu s razlomcima

Svojstva koja posjeduje oduzimanje prirodnih brojeva vrijede i za slučajeve oduzimanja običnih razlomaka. Pogledajmo kako ih koristiti pri rješavanju primjera.

Primjer 9

Pronađite razliku 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Odluka

Slične primjere već smo rješavali kada smo analizirali oduzimanje zbroja od broja, pa postupamo po već poznatom algoritmu. Prvo izračunamo razliku 25 4 - 3 2, a zatim od nje oduzmemo posljednji razlomak:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Transformirajmo odgovor tako što ćemo iz njega izdvojiti cijeli broj. Rezultat je 3 11 12.

Kratak sažetak cijelog rješenja:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Ako izraz sadrži i razlomke i prirodne brojeve, preporuča se grupirati po vrstama prilikom izračunavanja.

Primjer 10

Nađi razliku 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Odluka

Poznavajući osnovna svojstva oduzimanja i zbrajanja, možemo grupirati brojeve na sljedeći način: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Dovršimo izračune: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ova lekcija će pokriti zbrajanje i oduzimanje. algebarski razlomci s različitim nazivnicima. Već znamo kako zbrajati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispada da algebarski razlomci slijede ista pravila. Istodobno, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima jedno je od najvažnijih i teške teme u 8. razredu. Štoviše, ova će se tema naći u mnogim temama tečaja algebre, koje ćete proučavati u budućnosti. U sklopu lekcije proučit ćemo pravila za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, kao i analizirati niz tipičnih primjera.

Smatrati najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1 Dodaj razlomke: .

Odluka:

Zapamtite pravilo za zbrajanje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) izvornih nazivnika.

Definicija

Najmanji prirodni broj koji je djeljiv s oba broja i .

Da bismo pronašli LCM, potrebno je nazivnike proširiti u primarni čimbenici, a zatim odaberite sve proste faktore koji su uključeni u ekspanziju oba nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora sadržavati dvije 2 i dvije 3: .

Nakon pronalaženja zajedničkog nazivnika potrebno je pronaći dodatni faktor za svaki od razlomaka (zapravo podijeliti zajednički nazivnik s nazivnikom odgovarajućeg razlomka).

Zatim se svaki razlomak množi s rezultirajućim dodatnim faktorom. Dobivamo razlomke s istim nazivnicima, koje smo naučili zbrajati i oduzimati u prethodnim lekcijama.

dobivamo: .

Odgovor:.

Razmotrimo sada zbrajanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Najprije razmotrimo razlomke čiji su nazivnici brojevi.

Primjer 2 Dodaj razlomke: .

Odluka:

Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički nazivnik za te razlomke: i dodatne faktore za svaki od njih.

.

Odgovor:.

Pa idemo formulirati algoritam za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima:

1. Nađi najmanji zajednički nazivnik razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički nazivnik nazivnikom ovog razlomka).

3. Pomnožite brojnike s odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Zbrajajte ili oduzimajte razlomke koristeći pravila za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima u nazivniku kojih se nalaze doslovni izrazi.

Primjer 3 Dodaj razlomke: .

Odluka:

Budući da su doslovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički nazivnik će izgledati ovako: . Dakle, rješenje za ovaj primjer je:

Odgovor:.

Primjer 4 Oduzmite razlomke: .

Odluka:

Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga faktorizirati ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.

Odgovor:.

Općenito, prilikom odlučivanja slični primjeri, najteži zadatak je pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5 Pojednostavite: .

Odluka:

Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati razložiti nazivnike izvornih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički nazivnik).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički nazivnik: .

Određujemo dodatne čimbenike i rješavamo ovaj primjer:

Odgovor:.

Sada ćemo popraviti pravila za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Primjer 6 Pojednostavite: .

Odluka:

Odgovor:.

Primjer 7 Pojednostavite: .

Odluka:

.

Odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila za zbrajanje i oduzimanje za više razlomci ostaju isti).

Primjer 8 Pojednostavite: .

vaše dijete donijelo domaća zadaća iz škole i ne znaš kako to riješiti? Onda je ovaj mini vodič za vas!

Kako zbrajati decimale

Prikladnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu. Za izvođenje zbrajanja decimalni razlomci morate slijediti jedno jednostavno pravilo:

• Znamenka mora biti ispod znamenke, zarez ispod zareza.

Kao što možete vidjeti u primjeru, cijele jedinice su jedna ispod druge, desetine i stotinke su jedna ispod druge. Sada zbrajamo brojeve, zanemarujući zarez. Što učiniti sa zarezom? Zarez se prenosi na mjesto gdje je stajao u pražnjenju cijelih brojeva.

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Da biste izvršili zbrajanje sa zajedničkim nazivnikom, trebate zadržati nazivnik nepromijenjen, pronaći zbroj brojnika i dobiti razlomak, koji će biti ukupan zbroj.

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima pronalaženjem zajedničkog višekratnika

Prvo na što treba obratiti pažnju su nazivnici. Nazivnici su različiti, zar nisu djeljivi jedan s drugim, zar ne primarni brojevi. Prvo morate dovesti do jednog zajedničkog nazivnika, postoji nekoliko načina da to učinite:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, da bismo riješili ovaj primjer, moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik (LCM) koji će biti djeljiv s 2 nazivnika. Za označavanje najmanjeg višekratnika a i b - LCM (a; b). U ovom primjeru LCM (3;4)=12. Provjera: 12:3=4; 12:4=3.
• Pomnožimo faktore i izvršimo zbrajanje rezultirajućih brojeva, dobijemo 13/12 - nepravilan razlomak.

• Da bismo nepravilan razlomak pretvorili u pravi, brojnik podijelimo nazivnikom, dobijemo cijeli broj 1, ostatak 1 je brojnik, a 12 nazivnik.

Zbrajanje razlomaka pomoću križnog množenja

Za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima postoji još jedan način prema formuli "križ po križ". Ovo je zajamčeni način za izjednačavanje nazivnika, za to morate pomnožiti brojnike s nazivnikom jednog razlomka i obrnuto. Ako ste samo na početno stanje učenje razlomaka, onda je ova metoda najlakša i najtočnija, kako dobiti pravi rezultat pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima.

Recimo, Ahilej trči deset puta brže od kornjače i tisuću koraka je iza nje. Tijekom vremena tijekom kojeg Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve sljedeće generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju u današnje vrijeme, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, nova fizička i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali nitko ne razumije u čemu je obmana.

S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. S fizičke točke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči stalnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u stalnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči tisuću koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup primjereno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nepremostivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, preispitati i riješiti. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strijela je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku, uvijek miruje.

U ovoj se aporiji vrlo jednostavno prevladava logički paradoks – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje na različitim točkama prostora, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim trenucima, ali se njima ne može odrediti udaljenost. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene različite točke prostor u jednom trenutku, ali iz njih je nemoguće utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Na što se želim usredotočiti Posebna pažnja, jest da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane u Wikipediji. Mi gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu logiku apsurda. Ovo je razina govornih papiga i dresiranih majmuna, u kojoj um nema riječi "potpuno". Matematičari djeluju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most tijekom ispitivanja mosta bili u čamcu ispod mosta. Ako se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze “pamet, ja sam u kući”, odnosno “matematika proučava apstraktne pojmove”, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija skupova samim matematičarima.

Matematiku smo jako dobro učili i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plaće. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i složimo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim sa svake hrpe uzimamo po jedan račun i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Pojašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će zastupnička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Nadalje, počet će uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa mi računamo plaću u kovanicama – na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi grčevito prisjećati fizike: na različitim novčićima postoji različit iznos prljavština, kristalna struktura i atomski raspored svakog novčića je jedinstven...

A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanosti ovdje nema ni blizu.

Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobivamo puno, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višeskup u isto vrijeme. Kako ispravno? I tu matematičar-šaman-šuller vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multisetu. U svakom slučaju, uvjerit će nas da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvog "zamislivog kao niti jedne cjeline" ili "nezamislivog kao jedinstvene cjeline".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i koristiti ga, ali oni su šamani za to, da podučavaju svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbroj znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Što treba učiniti da bismo pronašli zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže zasebne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. E sad to je matematika.

Zbroj znamenki broja 12345 je 15. To su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

S gledišta matematike nije bitno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima računajući, zbroj znamenki istog broja bit će različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks desno od broja. S veliki broj 12345 Ne želim zavaravati glavu, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to učinili. Pogledajmo rezultat.

Kao što možete vidjeti, u različitim brojevnim sustavima, zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da biste dobili potpuno drugačije rezultate pri određivanju površine pravokutnika u metrima i centimetrima.

Nula u svim brojevnim sustavima izgleda isto i nema zbroj znamenki. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Što, za matematičare, ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dopustiti, ali za znanstvenike ne. Stvarnost nije samo u brojevima.

Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo uspoređivati ​​brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih usporedim, onda to nema veze s matematikom.

Što je prava matematika? Ovo je kada je rezultat matematička radnja ne ovisi o vrijednosti broja, korištenoj jedinici mjere i o tome tko izvodi ovu radnju.

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?

Žensko... Aureola na vrhu i strelica dolje je muško.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sustavu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sustavu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.