Multiplicación de fracciones ordinarias
Considere un ejemplo.
Que haya $\frac(1)(3)$ parte de una manzana en el plato. Necesitamos encontrar la parte $\frac(1)(2)$. La parte requerida es el resultado de multiplicar las fracciones $\frac(1)(3)$ y $\frac(1)(2)$. El resultado de multiplicar dos fracciones comunes es una fracción común.
Multiplicar dos fracciones comunes
Regla para multiplicar fracciones ordinarias:
El resultado de multiplicar una fracción por otra fracción es una fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores de las fracciones multiplicadas, y el denominador es igual al producto de los denominadores:
Ejemplo 1
Multiplica las fracciones ordinarias $\frac(3)(7)$ y $\frac(5)(11)$.
Decisión.
Usemos la regla de la multiplicación de fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Responder:$\frac(15)(77)$
Si como resultado de la multiplicación de fracciones se obtiene una fracción cancelable o impropia, entonces es necesario simplificarla.
Ejemplo 2
Multiplica las fracciones $\frac(3)(8)$ y $\frac(1)(9)$.
Decisión.
Usamos la regla para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Como resultado, obtuvimos una fracción reducible (sobre la base de la división por $3$. Dividiendo el numerador y el denominador de la fracción por $3$, obtenemos:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Solución corta:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Responder:$\frac(1)(24).$
Al multiplicar fracciones, puedes reducir los numeradores y denominadores para encontrar su producto. En este caso, el numerador y el denominador de la fracción se descomponen en factores primos, después de lo cual se reducen los factores repetidos y se encuentra el resultado.
Ejemplo 3
Calcula el producto de las fracciones $\frac(6)(75)$ y $\frac(15)(24)$.
Decisión.
Usemos la fórmula para multiplicar fracciones ordinarias:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Obviamente, el numerador y el denominador contienen números que se pueden reducir en pares por los números $2$, $3$ y $5$. Descomponemos el numerador y el denominador en factores simples y hacemos la reducción:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Responder:$\frac(1)(20).$
Al multiplicar fracciones, se puede aplicar la ley conmutativa:
Multiplicar una fracción por un número natural
regla de multiplicación fracción común para un número natural:
El resultado de multiplicar una fracción por un número natural es una fracción en la que el numerador es igual al producto del numerador de la fracción multiplicada por el número natural, y el denominador es igual al denominador de la fracción multiplicada:
donde $\frac(a)(b)$ es una fracción común, $n$ es un número natural.
Ejemplo 4
Multiplica la fracción $\frac(3)(17)$ por $4$.
Decisión.
Usemos la regla de multiplicar una fracción ordinaria por un número natural:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Responder:$\frac(12)(17).$
No olvide comprobar el resultado de la multiplicación para la contractibilidad de una fracción o para fracción impropia.
Ejemplo 5
Multiplica la fracción $\frac(7)(15)$ por $3$.
Decisión.
Usemos la fórmula para multiplicar una fracción por un número natural:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Por el criterio de división por el número $3$), se puede determinar que la fracción resultante se puede reducir:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
El resultado es una fracción impropia. Tomemos la parte entera:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Solución corta:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
También fue posible reducir fracciones reemplazando los números en el numerador y el denominador con sus expansiones en factores primos. En este caso, la solución podría escribirse de la siguiente manera:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Responder:$1\frac(2)(5).$
Al multiplicar una fracción por un número natural, puedes usar la ley conmutativa:
División de fracciones ordinarias
La operación de división es la inversa de la multiplicación y su resultado es una fracción por la que debes multiplicar una fracción conocida para obtener un producto conocido de dos fracciones.
División de dos fracciones comunes
La regla para dividir fracciones ordinarias: Obviamente, el numerador y el denominador de la fracción resultante se pueden descomponer en factores simples y reducir:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Como resultado, obtuvimos una fracción impropia, de la cual seleccionamos la parte entera:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Responder:$1\frac(5)(9).$
Los números fraccionarios ordinarios se encuentran por primera vez con los escolares en el quinto grado y los acompañan durante toda su vida, ya que en la vida cotidiana a menudo es necesario considerar o usar algún objeto no en su totalidad, sino en piezas separadas. El comienzo del estudio de este tema - compartir. Las acciones son partes iguales en que se divide un objeto. Después de todo, no siempre es posible expresar, por ejemplo, la longitud o el precio de un producto como un número entero, se deben tener en cuenta partes o partes de cualquier medida. Formado a partir del verbo "aplastar", dividir en partes y tener raíces árabes, en el siglo VIII apareció en ruso la palabra "fracción".
Las expresiones fraccionarias se han considerado durante mucho tiempo la sección más difícil de las matemáticas. En el siglo XVII, cuando aparecieron los primeros libros de texto de matemáticas, se los llamó "números rotos", lo que era muy difícil de mostrar en la comprensión de las personas.
aspecto moderno los residuos fraccionarios simples, partes de las cuales están separadas precisamente por una línea horizontal, fueron aportados por primera vez a Fibonacci, Leonardo de Pisa. Sus escritos están fechados en 1202. Pero el propósito de este artículo es explicar de manera simple y clara al lector cómo la multiplicación de fracciones mixtas con diferentes denominadores.
Multiplicar fracciones con diferente denominador
Inicialmente, es necesario determinar variedades de fracciones:
- correcto;
- equivocado;
- mezclado.
A continuación, debe recordar cómo se multiplican los números fraccionarios con los mismos denominadores. La regla misma de este proceso es fácil de formular de forma independiente: el resultado de la multiplicación fracciones simples con los mismos denominadores es una expresión fraccionaria, cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Es decir, de hecho, el nuevo denominador es el cuadrado de uno de los existentes inicialmente.
al multiplicar fracciones simples con diferentes denominadores para dos o más factores, la regla no cambia:
un/b * C/d = a*c / b*d.
La única diferencia es que el número formado debajo de la barra fraccionaria será el producto de diferentes números y, naturalmente, no puede llamarse el cuadrado de una expresión numérica.
Vale la pena considerar la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores usando ejemplos:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Los ejemplos usan formas de reducir expresiones fraccionarias. Solo puedes reducir los números del numerador con los números del denominador; los factores adyacentes por encima o por debajo de la barra fraccionaria no se pueden reducir.
Junto con los números fraccionarios simples, existe el concepto de fracciones mixtas. Un número mixto consta de un entero y una parte fraccionaria, es decir, es la suma de estos números:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
¿Cómo funciona la multiplicación?
Se proporcionan varios ejemplos para su consideración.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
El ejemplo utiliza la multiplicación de un número por parte fraccionaria ordinaria, puede escribir la regla para esta acción mediante la fórmula:
un* b/C = a*b /C.
De hecho, tal producto es la suma de restos fraccionarios idénticos, y el número de términos indica este número natural. caso especial:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Hay otra opción para resolver la multiplicación de un número por un resto fraccionario. Solo necesitas dividir el denominador por este número:
d* mi/F = mi/f: re.
Es útil usar esta técnica cuando el denominador se divide por un número natural sin resto o, como se suele decir, completamente.
Convierte números mixtos a fracciones impropias y obtén el producto de la forma descrita anteriormente:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Este ejemplo implica una forma de representar una fracción mixta como una fracción impropia, también se puede representar como una fórmula general:
un bC = a*b+ c/c, donde el denominador de la nueva fracción se forma multiplicando la parte entera con el denominador y sumándolo al numerador del resto fraccionario original, y el denominador sigue siendo el mismo.
Este proceso también funciona a la inversa. Para seleccionar la parte entera y el resto fraccionario, debe dividir el numerador de una fracción impropia por su denominador con una "esquina".
Multiplicación de fracciones impropias producido de la manera habitual. Cuando la entrada pasa por debajo de una sola línea fraccionaria, según sea necesario, debe reducir las fracciones para reducir los números usando este método y es más fácil calcular el resultado.
Hay muchos ayudantes en Internet para resolver incluso problemas complejos. problemas de matematicas en varios programas. Un número suficiente de tales servicios ofrecen su ayuda en el conteo de la multiplicación de fracciones con números diferentes en denominadores: las llamadas calculadoras en línea para calcular fracciones. Son capaces no solo de multiplicar, sino también de realizar todas las demás operaciones aritméticas simples con fracciones ordinarias y Numeros mezclados. Es fácil trabajar con él, los campos correspondientes se completan en la página del sitio, se selecciona el letrero acción matemática y haga clic en "calcular". El programa cuenta automáticamente.
Asunto operaciones aritmeticas con números fraccionarios es relevante a lo largo de la educación de los escolares de secundaria y preparatoria. En la escuela secundaria, ya no están considerando las especies más simples, sino expresiones fraccionarias enteras, pero el conocimiento de las reglas para la transformación y los cálculos, obtenido anteriormente, se aplica en su forma original. El conocimiento básico bien aprendido da plena confianza en Buena decisión la mayoría tareas desafiantes.
Para concluir, tiene sentido citar las palabras de León Tolstoi, quien escribió: “El hombre es una fracción. No está en el poder del hombre aumentar su numerador - sus propios méritos, pero cualquiera puede disminuir su denominador - su opinión de sí mismo, y por esta disminución acercarse a su perfección.
Contenido de la lección
Sumar fracciones con los mismos denominadores
La suma de fracciones es de dos tipos:
- Sumar fracciones con los mismos denominadores
- Sumar fracciones con diferente denominador
Comencemos con la suma de fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, vamos a sumar las fracciones y . Sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si le agregas pizza a la pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 2 Sumar fracciones y .
La respuesta es una fracción impropia. Si llega el final de la tarea, es costumbre deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella. En nuestro caso, la parte entera se asigna fácilmente: dos dividido por dos es igual a uno:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en dos partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene una pizza entera:
Ejemplo 3. Sumar fracciones y .
Nuevamente, agregue los numeradores y deje el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene pizzas:
Ejemplo 4 Encontrar el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.
Como puedes ver, sumar fracciones con los mismos denominadores no es difícil. Es suficiente entender las siguientes reglas:
- Para sumar fracciones con el mismo denominador, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios;
Sumar fracciones con diferente denominador
Ahora vamos a aprender a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de esas fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.
Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.
Pero las fracciones no se pueden sumar a la vez, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy consideraremos solo uno de ellos, ya que el resto de los métodos pueden parecer complicados para un principiante.
La esencia de este método radica en que se busca el primero (MCM) de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional. Hacen lo mismo con la segunda fracción: se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene el segundo factor adicional.
Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, las fracciones que tenían distintos denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones.
Ejemplo 1. suma fracciones y
En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6
MCM (2 y 3) = 6
Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción y obtenemos el primer factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 6 entre 3, obtenemos 2.
El número resultante 2 es el primer factor adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Divida 6 entre 2, obtenemos 3.
El número resultante 3 es el segundo factor adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:
Ahora estamos listos para agregar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales:
Fíjate bien a lo que hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:
Así termina el ejemplo. Para agregar resulta.
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si le agregas pizzas a una pizza, obtienes una pizza entera y otro sexto de pizza:
La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar usando una imagen. Llevando las fracciones y a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por las mismas rebanadas de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).
El primer dibujo muestra una fracción (cuatro piezas de seis) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de seis). Juntando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es incorrecta, por lo que hemos resaltado la parte entera en ella. El resultado fue (una pizza entera y otra sexta pizza).
Tenga en cuenta que hemos pintado ejemplo dado demasiado detallado EN Instituciones educacionales no se acostumbra escribir de manera tan detallada. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Estando en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:
Pero también está la otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces las preguntas del tipo “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.
Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puede usar las siguientes instrucciones paso a paso:
- Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
- Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción;
- Multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
- Suma fracciones que tienen los mismos denominadores;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;
Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. 
.
Usemos las instrucciones anteriores.
Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones
Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4
Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción
Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2, obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la primera fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 por 3, obtenemos 4. Obtuvimos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4, obtenemos 3. Obtuvimos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la tercera fracción:
Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por tus factores adicionales
Multiplicamos los numeradores y denominadores por nuestros factores adicionales:
Paso 4. Suma fracciones que tienen el mismo denominador
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Queda por sumar estas fracciones. Agregar:
La suma no cabía en una línea, así que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se traslada a la línea siguiente y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio. nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que esta es una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.
Paso 5. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione la parte entera en ella
Nuestra respuesta es una fracción impropia. Debemos destacar toda la parte de ella. Resaltamos:
tengo una respuesta
Resta de fracciones con el mismo denominador
Hay dos tipos de resta de fracciones:
- Resta de fracciones con el mismo denominador
- Resta de fracciones con diferente denominador
Primero, aprendamos a restar fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual.
Por ejemplo, busquemos el valor de la expresión . Para resolver este ejemplo, es necesario restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagámoslo:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 2 Halla el valor de la expresión.
Nuevamente, del numerador de la primera fracción, reste el numerador de la segunda fracción y deje el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción, debe restar los numeradores de las fracciones restantes:
Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Es suficiente entender las siguientes reglas:
- Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, entonces debe seleccionar la parte completa.
Resta de fracciones con diferente denominador
Por ejemplo, una fracción se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen los mismos denominadores. Pero una fracción no se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
El denominador común se encuentra de acuerdo con el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe sobre la primera fracción. De igual forma, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, el cual se escribe sobre la segunda fracción.
Luego, las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, las fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones.
Ejemplo 1 Encuentra el valor de una expresión:
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes llevarlas al mismo denominador (común).
Primero, encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12
MCM (3 y 4) = 12
Ahora volvamos a las fracciones y
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 12 entre 3, obtenemos 4. Escribimos el cuatro sobre la primera fracción:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divida 12 entre 4, obtenemos 3. Escriba un triple sobre la segunda fracción:
Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:
tengo una respuesta
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas.
Esta es la versión detallada de la solución. Estando en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo de una manera más corta. Tal solución se vería así:
La reducción de fracciones ya un denominador común también se puede representar usando una imagen. Llevando estas fracciones a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez estarán divididas en las mismas fracciones (reducidas al mismo denominador):
El primer dibujo muestra una fracción (ocho piezas de doce), y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.
Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. 
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes llevarlas al mismo denominador (común).
Encuentra el MCM de los denominadores de estas fracciones.
Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de cada fracción.
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la primera fracción es el número 10. Divida 30 entre 10, obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la primera fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Al dividir 30 entre 3, obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividiendo 30 entre 5, obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la tercera fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Terminemos este ejemplo.
La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que movemos la continuación a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:
La respuesta resultó ser una fracción correcta, y todo parece encajarnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más fácil. ¿Qué se puede hacer? Puedes reducir esta fracción.
Para reducir una fracción, necesitas dividir su numerador y denominador por (mcd) los números 20 y 30.
Entonces, encontramos el MCD de los números 20 y 30:
Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y el denominador de la fracción por el MCD encontrado, es decir, por 10
tengo una respuesta
Multiplicar una fracción por un número
Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por este número y dejar el mismo denominador.
Ejemplo 1. Multiplica la fracción por el número 1.
Multiplica el numerador de la fracción por el número 1
La entrada puede entenderse como tomando la mitad 1 vez. Por ejemplo, si tomas pizza 1 vez, obtienes pizza
De las leyes de la multiplicación, sabemos que si el multiplicando y el multiplicador se intercambian, entonces el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:
Esta entrada puede entenderse como tomando la mitad de la unidad. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y tomamos la mitad, entonces tendremos pizza:
Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la fracción por 4
La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:
La expresión se puede entender como tomando dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas pizzas 4 veces, obtienes dos pizzas enteras.
Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador en lugares, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta es una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella.
Ejemplo 1 Halla el valor de la expresión.
Obtuve una respuesta. Es deseable reducir fracción dada. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:
La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:
¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:
Y toma dos de estas tres piezas:
Conseguiremos pizza. Recuerda cómo se ve una pizza dividida en tres partes:
Una rebanada de esta pizza y las dos rebanadas que tomamos tendrán las mismas dimensiones:
En otras palabras, estamos hablando del mismo tamaño de pizza. Por lo tanto, el valor de la expresión es
Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:
Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta resultó ser una fracción correcta, pero será buena si se reduce. Para reducir esta fracción, necesitas dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el mayor común divisor(gcd) números 105 y 450.
Entonces, encontremos el MCD de los números 105 y 450:
Ahora dividimos el numerador y el denominador de nuestra respuesta al MCD que ahora hemos encontrado, es decir, por 15
Representar un número entero como una fracción
Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como . De esto, cinco no cambiará su significado, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y esto, como sabes, es igual a cinco:
números inversos
Ahora nos familiarizaremos con un tema muy interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".
Definición. Invertir al númeroun es el número que, cuando se multiplica porun da una unidad.
Sustituyamos en esta definición en lugar de una variable un número 5 e intenta leer la definición:
Invertir al número 5 es el número que, cuando se multiplica por 5 da una unidad.
¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé como resultado uno? Resulta que puedes. Representemos cinco como una fracción:
Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, solo que invertida:
¿Cuál será el resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:
Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número, ya que al multiplicar 5 por uno se obtiene uno.
El recíproco también se puede encontrar para cualquier otro número entero.
También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, es suficiente darle la vuelta.
División de una fracción por un número
Digamos que tenemos media pizza:
Dividámoslo a partes iguales entre dos. ¿Cuántas pizzas recibirá cada uno?
Se puede observar que después de dividir la mitad de la pizza, se obtuvieron dos porciones iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.
La división de fracciones se realiza mediante recíprocos. Los recíprocos te permiten reemplazar la división con la multiplicación.
Para dividir una fracción por un número, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor.
Usando esta regla, escribiremos la división de nuestra mitad de la pizza en dos partes.
Entonces, necesitas dividir la fracción por el número 2. Aquí el dividendo es una fracción y el divisor es 2.
Para dividir una fracción por el número 2, debes multiplicar esta fracción por el recíproco del divisor 2. El recíproco del divisor 2 es una fracción. entonces tienes que multiplicar por
En el curso de secundaria y preparatoria, los estudiantes estudiaron el tema "Fracciones". Sin embargo, este concepto es mucho más amplio que el dado en el proceso de aprendizaje. Hoy en día, el concepto de fracción se encuentra con bastante frecuencia, y no todos pueden calcular cualquier expresión, por ejemplo, multiplicando fracciones.
¿Qué es una fracción?
Sucedió históricamente que los números fraccionarios aparecieron por la necesidad de medir. Como muestra la práctica, a menudo hay ejemplos para determinar la longitud de un segmento, el volumen de un rectángulo rectangular.
Inicialmente, a los estudiantes se les presenta un concepto como una acción. Por ejemplo, si divides una sandía en 8 partes, cada una obtendrá una octava parte de una sandía. Esta parte de ocho se llama acción.
La parte igual a la mitad de cualquier valor se llama mitad; ⅓ - tercero; ¼ - un cuarto. Las entradas como 5/8, 4/5, 2/4 se llaman fracciones comunes. Una fracción ordinaria se divide en un numerador y un denominador. Entre ellos hay una línea fraccionaria, o línea fraccionaria. Una barra fraccionaria se puede dibujar como una línea horizontal o inclinada. En este caso, representa el signo de división.
El denominador representa en cuántas partes iguales se divide el valor del objeto; y el numerador es cuántas partes iguales se toman. El numerador se escribe encima de la barra fraccionaria, el denominador debajo.
Es más conveniente mostrar fracciones ordinarias en haz de coordenadas. Si divide un solo segmento en 4 partes iguales, designe cada parte con una letra latina y, como resultado, puede obtener una excelente ayuda visual. Entonces, el punto A muestra una participación igual a 1/4 de todo el segmento unitario, y el punto B marca 2/8 de este segmento.
Variedades de fracciones.
Las fracciones son números comunes, decimales y mixtos. Además, las fracciones se pueden dividir en propias e impropias. Esta clasificación es más adecuada para fracciones ordinarias.
Por debajo fracción propia entender un número cuyo numerador es menor que el denominador. En consecuencia, una fracción impropia es un número cuyo numerador es mayor que el denominador. El segundo tipo generalmente se escribe como un número mixto. Tal expresión consta de una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo, 1½. 1 - parte entera, ½ - fraccionario. Sin embargo, si necesita realizar algunas manipulaciones con la expresión (dividir o multiplicar fracciones, reducirlas o convertirlas), el número mixto se convierte en una fracción impropia.
Una expresión fraccionaria correcta siempre es menor que uno, y una incorrecta siempre es mayor o igual a 1.
En cuanto a esta expresión, entienden un registro en el que se representa cualquier número, cuyo denominador de la expresión fraccionaria puede expresarse mediante uno con varios ceros. Si la fracción es correcta, entonces la parte entera en la notación decimal será cero.
Para escribir un decimal, primero debes escribir la parte entera, separarla de la fraccionaria con una coma y luego escribir la expresión fraccionaria. Hay que recordar que después de la coma el numerador debe contener tantos caracteres numéricos como ceros haya en el denominador.
Ejemplo. Representa la fracción 7 21 / 1000 en notación decimal.
Algoritmo para convertir una fracción impropia a un número mixto y viceversa
Es incorrecto escribir una fracción impropia en la respuesta del problema, por lo que debe convertirse a un número mixto:
- dividir el numerador por el denominador existente;
- en ejemplo específico cociente incompleto - entero;
- y el resto es el numerador de la parte fraccionaria, permaneciendo el denominador sin cambios.
Ejemplo. Convertir fracción impropia a número mixto: 47 / 5 .
Decisión. 47: 5. El cociente incompleto es 9, el resto = 2. Por lo tanto, 47/5 = 9 2/5.
A veces necesitas representar un número mixto como una fracción impropia. Entonces necesitas usar el siguiente algoritmo:
- la parte entera se multiplica por el denominador de la expresión fraccionaria;
- el producto resultante se suma al numerador;
- el resultado se escribe en el numerador, el denominador permanece sin cambios.
Ejemplo. Expresar el número en forma mixta como fracción impropia: 9 8 / 10 .
Decisión. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 es el numerador.
Responder: 98 / 10.
Multiplicación de fracciones ordinarias
Puede realizar varias operaciones algebraicas en fracciones ordinarias. Para multiplicar dos números, necesitas multiplicar el numerador con el numerador y el denominador con el denominador. Además, la multiplicación de fracciones con diferentes denominadores no difiere del producto de números fraccionarios con los mismos denominadores.
Sucede que después de encontrar el resultado, necesitas reducir la fracción. EN sin fallar la expresión resultante debe simplificarse tanto como sea posible. Por supuesto, no se puede decir que una fracción impropia en la respuesta sea un error, pero también es difícil llamarla la respuesta correcta.
Ejemplo. Encuentra el producto de dos fracciones ordinarias: ½ y 20/18.
Como se puede ver en el ejemplo, después de encontrar el producto, se obtiene una notación fraccionaria reducible. Tanto el numerador como el denominador en este caso son divisibles por 4, y el resultado es la respuesta 5/9.
Multiplicar fracciones decimales
El producto de fracciones decimales es bastante diferente del producto de fracciones ordinarias en su principio. Entonces, la multiplicación de fracciones es la siguiente:
- dos fracciones decimales deben escribirse una debajo de la otra para que los dígitos más a la derecha estén uno debajo del otro;
- necesita multiplicar los números escritos, a pesar de las comas, es decir, como números naturales;
- cuente el número de dígitos después de la coma en cada uno de los números;
- en el resultado obtenido después de la multiplicación, debe contar tantos caracteres digitales a la derecha como están contenidos en la suma en ambos factores después del punto decimal, y colocar un signo de separación;
- si hay menos dígitos en el producto, entonces se deben escribir tantos ceros delante de ellos para cubrir este número, poner una coma y asignar una parte entera igual a cero.
Ejemplo. Calcula el producto de dos decimales: 2,25 y 3,6.
Decisión.
Multiplicación de fracciones mixtas
Para calcular el producto de dos fracciones mixtas, debe usar la regla para multiplicar fracciones:
- convertir números mixtos a fracciones impropias;
- encontrar el producto de los numeradores;
- encontrar el producto de los denominadores;
- anote el resultado;
- Simplifique la expresión tanto como sea posible.
Ejemplo. Encuentra el producto de 4½ y 6 2 / 5.
Multiplicar un número por una fracción (fracciones por un número)
Además de encontrar el producto de dos fracciones, números mixtos, hay tareas en las que necesitas multiplicar por una fracción.
Entonces, para encontrar el producto de una fracción decimal y un número natural, necesitas:
- escriba el número debajo de la fracción para que los dígitos más a la derecha estén uno encima del otro;
- encontrar el trabajo, a pesar de la coma;
- en el resultado obtenido, separe la parte entera de la parte fraccionaria mediante una coma, contando a la derecha el número de caracteres que hay después del punto decimal en la fracción.
Para multiplicar una fracción ordinaria por un número, debes encontrar el producto del numerador y el factor natural. Si la respuesta es una fracción reducible, debe convertirse.
Ejemplo. Calcula el producto de 5/8 y 12.
Decisión. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Responder: 7 1 / 2.
Como puede ver en el ejemplo anterior, era necesario reducir el resultado resultante y convertir la expresión fraccionaria incorrecta en un número mixto.
Además, la multiplicación de fracciones también se aplica para encontrar el producto de un número en forma mixta y un factor natural. Para multiplicar estos dos números, debes multiplicar la parte entera del factor mixto por el número, multiplicar el numerador por el mismo valor y dejar el denominador sin cambios. Si es necesario, debe simplificar el resultado tanto como sea posible.
Ejemplo. Encuentra el producto de 9 5 / 6 y 9.
Decisión. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.
Responder: 88 1 / 2.
Multiplicación por factores 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0.001
Se sigue del párrafo anterior siguiente regla. Para multiplicar una fracción decimal por 10, 100, 1000, 10000, etc., debe mover la coma a la derecha tantos dígitos como ceros haya en el multiplicador después de uno.
Ejemplo 1. Encuentra el producto de 0.065 y 1000.
Decisión. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Responder: 65.
Ejemplo 2. Encuentra el producto de 3.9 y 1000.
Decisión. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Responder: 3900.
Si necesitas multiplicar un número natural y 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001, etc., debe mover la coma a la izquierda en el producto resultante tantos dígitos como ceros hay antes del uno. Si es necesario, se escribe un número suficiente de ceros delante de un número natural.
Ejemplo 1. Encuentra el producto de 56 y 0.01.
Decisión. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Responder: 0,56.
Ejemplo 2. Encuentra el producto de 4 y 0.001.
Decisión. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Responder: 0,004.
Entonces, encontrar un producto varias fracciones no debe causar dificultades, excepto para el cálculo del resultado; En este caso, simplemente no puede prescindir de una calculadora.
En este artículo analizaremos multiplicacion de numeros mixtos. Primero, expresaremos la regla para multiplicar números mixtos y consideraremos la aplicación de esta regla al resolver ejemplos. A continuación, hablaremos de la multiplicación de un número mixto y un número natural. Finalmente, aprenderemos a multiplicar un número mixto y una fracción ordinaria.
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Multiplicación de números mixtos.
Multiplicación de números mixtos puede reducirse a multiplicar fracciones ordinarias. Para hacer esto, basta con convertir números mixtos en fracciones impropias.
vamos a escribir regla de multiplicacion para numeros mixtos:
- Primero, los números mixtos a multiplicar deben ser reemplazados por fracciones impropias;
- En segundo lugar, debe usar la regla de multiplicar una fracción por una fracción.
Considere ejemplos de la aplicación de esta regla al multiplicar un número mixto por un número mixto.
Realiza multiplicaciones de números mixtos y .
Primero, representamos los números mixtos multiplicados como fracciones impropias: 
y 
. Ahora podemos reemplazar la multiplicación de números mixtos con la multiplicación de fracciones ordinarias: 
. Aplicando la regla de la multiplicación de fracciones, obtenemos 
. La fracción resultante es irreducible (ver fracciones reducibles e irreducibles), pero es incorrecta (ver fracciones regulares e impropias), por lo tanto, para obtener la respuesta final, resta extraer la parte entera de la fracción impropia: .
Escribamos la solución completa en una línea: .
.
Para consolidar las habilidades de multiplicar números mixtos, considere la solución de otro ejemplo.
Haz la multiplicación.
Números divertidos y son iguales a las fracciones 13/5 y 10/9, respectivamente. Entonces 
. En esta etapa, es hora de recordar acerca de la reducción de fracciones: reemplazaremos todos los números en la fracción con sus desarrollos en factores primos y realizaremos la reducción de los mismos factores.
Multiplicación de un número mixto y un número natural
Después de reemplazar el número mixto con una fracción impropia, multiplicar un numero mixto y un numero natural se reduce a la multiplicación de una fracción ordinaria y un número natural.
Multiplica el número mixto y el número natural 45 .
Un número mixto es una fracción, entonces 
. Reemplacemos los números en la fracción resultante con sus desarrollos en factores primos, hagamos una reducción, después de lo cual seleccionamos la parte entera: .
.
La multiplicación de un número mixto y un número natural a veces se hace convenientemente usando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. En este caso, el producto de un número mixto y un número natural es igual a la suma de los productos de la parte entera por el número natural dado y la parte fraccionaria por el número natural dado, es decir, 
.
Calcular el producto.
Reemplazamos el número mixto con la suma de las partes entera y fraccionaria, después de lo cual aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación: .
Multiplicar un número mixto y una fracción común lo más conveniente es reducir a la multiplicación de fracciones ordinarias, representando el número mixto multiplicado como una fracción impropia.
Multiplica el número mixto por la fracción común 4/15.
Sustituyendo el número mixto por una fracción, obtenemos 
.
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Multiplicación de números fraccionarios
§ 140. Definiciones. 1) La multiplicación de un número fraccionario por un número entero se define de la misma manera que la multiplicación de números enteros, a saber: multiplicar un número (multiplicador) por un número entero (multiplicador) significa hacer una suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando, y el número de términos es igual al multiplicador.
Así que multiplicar por 5 significa encontrar la suma:
2) Multiplicar algún número (multiplicador) por una fracción (multiplicador) significa encontrar esta fracción del multiplicando.
Así, al encontrar una fracción de un número dado, que consideramos antes, ahora llamaremos multiplicación por una fracción.
3) Multiplicar un número (multiplicador) por un número mixto (factor) significa multiplicar el multiplicador primero por el número entero del factor, luego por la fracción del factor, y sumar los resultados de estas dos multiplicaciones.
Por ejemplo:
El número obtenido después de la multiplicación se llama en todos estos casos trabaja, es decir, de la misma forma que cuando se multiplican números enteros.
De estas definiciones queda claro que la multiplicación de números fraccionarios es una acción que siempre es posible y siempre sin ambigüedades.
§ 141. Oportunidad de estas definiciones. Para comprender la conveniencia de introducir las dos últimas definiciones de multiplicación en la aritmética, tomemos el siguiente problema:
Tarea. El tren, moviéndose uniformemente, viaja a 40 km por hora; ¿Cómo saber cuántos kilómetros recorrerá este tren en un número determinado de horas?
Si nos hubiésemos quedado con aquella única definición de multiplicación, que se indica en la aritmética de los números enteros (suma de términos iguales), entonces nuestro problema tendría tres soluciones diferentes, a saber:
Si el número de horas dado es un número entero (por ejemplo, 5 horas), entonces para resolver el problema, se deben multiplicar 40 km por este número de horas.
Si un número dado de horas se expresa como una fracción (por ejemplo, horas), entonces tendrás que encontrar el valor de esta fracción a partir de 40 km.
Finalmente, si el número dado de horas es mixto (por ejemplo, horas), entonces será necesario multiplicar 40 km por un número entero contenido en el número mixto, y agregar al resultado una fracción de 40 km como está en el numero mixto.
Las definiciones que hemos dado nos permiten dar una respuesta general a todos estos casos posibles:
Hay que multiplicar 40 km por el número de horas dado, cualquiera que sea.
Así, si la tarea se presenta en vista general Asi que:
Un tren que se mueve uniformemente recorre v km por hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el tren en t horas?
entonces, cualesquiera que sean los números vyt, podemos expresar una respuesta: el número deseado se expresa mediante la fórmula v · t.
Nota. Encontrar alguna fracción de un número dado, según nuestra definición, significa lo mismo que multiplicar un número dado por esta fracción; por lo tanto, por ejemplo, encontrar el 5% (es decir, cinco centésimas) de un número dado significa lo mismo que multiplicar el número dado por o por; encontrar el 125% de un número dado es lo mismo que multiplicar ese número por o por, etc.
§ 142. Una nota sobre cuándo un número aumenta y cuándo disminuye a partir de la multiplicación.
De la multiplicación por una fracción propia, el número decrece, y de la multiplicación por una fracción impropia, el número aumenta si esta fracción impropia es mayor que uno, y permanece invariable si es igual a uno.
Comentario. Al multiplicar números fraccionarios, así como enteros, el producto se toma igual a cero si alguno de los factores es igual a cero, entonces,.
§ 143. Derivación de reglas de multiplicación.
1) Multiplicar una fracción por un número entero. Que la fracción se multiplique por 5. Esto significa aumentar por 5 veces. Para aumentar una fracción en 5, basta con aumentar su numerador o disminuir su denominador 5 veces (§ 127).
Asi que:
Regla 1. Para multiplicar una fracción por un entero, debes multiplicar el numerador por este entero, y dejar igual el denominador; en su lugar, también puedes dividir el denominador de la fracción por el entero dado (si es posible) y dejar el numerador igual.
Comentario. El producto de una fracción y su denominador es igual a su numerador.
Asi que:
regla 2 Para multiplicar un número entero por una fracción, debe multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de la fracción dada como denominador.
Regla 3. Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.
Comentario. Esta regla también se puede aplicar a la multiplicación de una fracción por un entero y un entero por una fracción, si sólo consideramos el entero como una fracción con denominador uno. Asi que:
Por lo tanto, las tres reglas ahora enunciadas están contenidas en una, que puede expresarse en forma general de la siguiente manera:
4) Multiplicación de números mixtos.
Regla 4. Para multiplicar números mixtos, debe convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con las reglas para multiplicar fracciones. Por ejemplo:
§ 144. Reducción en la multiplicación. Al multiplicar fracciones, si es posible, se debe hacer una reducción preliminar, como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Tal reducción se puede hacer porque el valor de la fracción no cambiará si el numerador y el denominador se reducen en el mismo numero una vez.
§ 145. Cambio de producto con cambio de factores. Cuando los factores cambian, el producto de números fraccionarios cambiará exactamente de la misma manera que el producto de números enteros (§ 53), es decir: si aumenta (o disminuye) cualquier factor varias veces, entonces el producto aumentará (o disminuirá) por la misma cantidad.
Entonces, si en el ejemplo:
para multiplicar varias fracciones es necesario multiplicar sus numeradores entre sí y los denominadores entre sí y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador del producto.
Comentario. Esta regla también se puede aplicar a aquellos productos en los que algunos factores del número son enteros o mixtos, si consideramos el número entero como una fracción cuyo denominador es uno, y convertimos los números mixtos en fracciones impropias. Por ejemplo:
§ 147. Propiedades básicas de la multiplicación. Esas propiedades de la multiplicación que indicamos para los números enteros (§ 56, 57, 59) también pertenecen a la multiplicación de números fraccionarios. Especifiquemos estas propiedades.
1) El producto no cambia al cambiar los lugares de los factores.
Por ejemplo:
En efecto, según la regla del párrafo anterior, el primer producto es igual a la fracción y el segundo es igual a la fracción. Pero estas fracciones son iguales, porque sus términos difieren solo en el orden de los factores enteros, y el producto de los números enteros no cambia cuando cambian los lugares de los factores.
2) El producto no cambiará si cualquier grupo de factores es reemplazado por su producto.
Por ejemplo:
Los resultados son los mismos.
De esta propiedad de la multiplicación, podemos deducir la siguiente conclusión:
para multiplicar un número por un producto, puedes multiplicar este número por el primer factor, multiplicar el número resultante por el segundo, y así sucesivamente.
Por ejemplo:
3) La ley distributiva de la multiplicación (con respecto a la suma). Para multiplicar la suma por algún número, puedes multiplicar cada término por este número por separado y sumar los resultados.
Esta ley ha sido explicada por nosotros (§ 59) aplicada a números enteros. Sigue siendo cierto sin ningún cambio para los números fraccionarios.
Demostremos, de hecho, que la igualdad
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la suma) sigue siendo verdadera incluso cuando las letras significan números fraccionarios. Consideremos tres casos.
1) Suponga primero que el factor m es un número entero, por ejemplo m = 3 (a, b, c son números cualesquiera). De acuerdo con la definición de multiplicación por un número entero, uno puede escribir (limitado por simplicidad a tres términos):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Sobre la base de la ley asociativa de la suma, podemos omitir todos los corchetes del lado derecho; aplicando la ley conmutativa de la suma, y luego nuevamente la ley de la combinación, obviamente podemos reescribir el lado derecho de la siguiente manera:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Por tanto, se confirma la ley distributiva en este caso.
Multiplicación y división de fracciones
La última vez aprendimos a sumar y restar fracciones (ver la lección "Sumar y restar fracciones"). El momento más difícil de esas acciones fue llevar fracciones a un denominador común.
Ahora es el momento de lidiar con la multiplicación y la división. La buena noticia es que estas operaciones son incluso más fáciles que la suma y la resta. Para empezar, considere el caso más simple, cuando hay dos fracciones positivas sin una parte entera distinguida.
Para multiplicar dos fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores por separado. El primer número será el numerador de la nueva fracción y el segundo será el denominador.
Para dividir dos fracciones, necesitas multiplicar la primera fracción por el segundo "invertido".
De la definición se sigue que la división de fracciones se reduce a la multiplicación. Para voltear una fracción, simplemente intercambia el numerador y el denominador. Por lo tanto, toda la lección consideraremos principalmente la multiplicación.
Como resultado de la multiplicación, puede surgir una fracción reducida (y a menudo surge), por supuesto, debe reducirse. Si, después de todas las reducciones, la fracción resultara incorrecta, deberá distinguirse en ella la parte entera. Pero lo que definitivamente no sucederá con la multiplicación es la reducción a un denominador común: sin métodos cruzados, factores máximos y mínimos comunes múltiplos.
Por definición tenemos:
Multiplicación de fracciones con parte entera y fracciones negativas
Si hay una parte entera en las fracciones, deben convertirse en impropias, y solo luego multiplicarse de acuerdo con los esquemas descritos anteriormente.
Si hay un signo menos en el numerador de una fracción, en el denominador o delante de él, se puede sacar de los límites de la multiplicación o eliminarlo por completo de acuerdo con las siguientes reglas:
- Más veces menos da menos;
- Dos negativos hacen un afirmativo.
Hasta ahora, estas reglas solo se han encontrado al sumar y restar fracciones negativas, cuando se requería deshacerse de la parte entera. Para un producto, se pueden generalizar para "quemar" varias desventajas a la vez:
- Tachamos los menos en pares hasta que desaparezcan por completo. En un caso extremo, uno menos puede sobrevivir: el que no encontró una coincidencia;
- Si no quedan menos, la operación está completa; puede comenzar a multiplicar. Si el último menos no está tachado, ya que no encontró un par, lo sacamos de los límites de la multiplicación. Obtienes una fracción negativa.
Tarea. Encuentre el valor de la expresión:
Traducimos todas las fracciones a impropias y luego sacamos los menos fuera de los límites de la multiplicación. Lo que queda se multiplica según las reglas habituales. Obtenemos:
Permíteme recordarte una vez más que el signo menos que precede a una fracción con una parte entera resaltada se refiere específicamente a la fracción completa, y no solo a su parte entera (esto se aplica a los dos últimos ejemplos).
También presta atención a números negativos: Cuando se multiplican, se encierran entre paréntesis. Esto se hace para separar los signos menos de los signos de multiplicación y hacer que toda la notación sea más precisa.
Reducir fracciones sobre la marcha
La multiplicación es una operación muy laboriosa. Los números aquí son bastante grandes y, para simplificar la tarea, puede intentar reducir la fracción aún más. antes de la multiplicación. De hecho, en esencia, los numeradores y los denominadores de las fracciones son factores ordinarios y, por lo tanto, se pueden reducir utilizando la propiedad básica de una fracción. Echa un vistazo a los ejemplos:
Tarea. Encuentre el valor de la expresión:
Por definición tenemos:
En todos los ejemplos, los números que se han reducido y lo que queda de ellos están marcados en rojo.
Tenga en cuenta: en el primer caso, los multiplicadores se redujeron por completo. Las unidades permanecieron en su lugar, lo que, en general, puede omitirse. En el segundo ejemplo, no fue posible lograr una reducción completa, pero la cantidad total de cálculos aún disminuyó.
Sin embargo, ¡en ningún caso no utilice esta técnica al sumar y restar fracciones! Sí, a veces hay números similares que solo quieres reducir. Aquí, mira:
¡No puedes hacer eso!
El error ocurre debido a que al sumar una fracción, en el numerador de una fracción aparece la suma, y no el producto de números. Por lo tanto, es imposible aplicar la propiedad principal de una fracción, ya que esta propiedad se ocupa específicamente de la multiplicación de números.
Simplemente no hay otra razón para reducir fracciones, así que solucion correcta la tarea anterior se ve así:
Como puede ver, la respuesta correcta resultó no ser tan hermosa. En general, tenga cuidado.
Multiplicación de fracciones.
Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas saber reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicar una fracción por una fracción.
Para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
Considere un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción.
Multiplicar una fracción por un número.
Empecemos con la regla cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac \) .
Usemos esta regla para la multiplicación.
La fracción impropia \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) se convirtió en una fracción mixta.
En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplique el número por el numerador y deje el denominador sin cambios. Ejemplo:
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de la multiplicación. El numerador se multiplica por el numerador, el denominador se multiplica por el denominador.
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: el producto de fracciones ordinarias es la multiplicación del numerador con el numerador, el denominador con el denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.
¿Cómo multiplicar fracciones con diferente denominador?
Respuesta: no importa si los denominadores de las fracciones son iguales o diferentes, la multiplicación ocurre de acuerdo con la regla para encontrar el producto del numerador con el numerador, el denominador con el denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: en primer lugar, debe convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: Multiplicamos el número por el numerador, y dejamos igual el denominador.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
Ejemplo #2:
Calcular el producto de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
Ejemplo #3:
Escribe el recíproco de la fracción \(\frac \)?
Respuesta: \(\frac = 3\)
Ejemplo #4:
Calcular el producto de dos recíprocos: a) \(\frac \times \frac \)
Ejemplo #5:
Las fracciones mutuamente inversas pueden ser:
a) ambas fracciones propias;
b) simultáneamente fracciones impropias;
c) números naturales al mismo tiempo?
Decisión:
a) Usemos un ejemplo para responder la primera pregunta. La fracción \(\frac \) es correcta, su recíproco será igual a \(\frac \) - una fracción impropia. Respuesta: no.
b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser fracción impropia al mismo tiempo. Por ejemplo, la fracción impropia es \(\frac \) , su recíproco es \(\frac \). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son los números que usamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3, .... Si tomamos el número \(3 = \frac \), entonces su recíproco será \(\frac \). La fracción \(\frac \) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco siempre es una fracción, excepto el 1. Si tomamos el número 1, entonces su recíproco será \(\frac = \frac = 1\). El número 1 es un número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales solo en un caso, si este número es 1.
Ejemplo #6:
Realiza el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
Decisión:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
Ejemplo #7:
¿Pueden dos mutuamente recíprocos ser simultáneamente números mixtos?
Veamos un ejemplo. Toma una fracción mixta \(1\frac \), encuéntrala recíproco, para ello lo traducimos a una fracción impropia \(1\frac = \frac \) . Su recíproco será igual a \(\frac \) . La fracción \(\frac \) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Multiplicar un decimal por un número natural
Presentación para la lección
¡Atención! La vista previa de la diapositiva es solo para fines informativos y es posible que no represente la extensión total de la presentación. Si estás interesado este trabajo por favor descargue la versión completa.
- De una manera divertida, presente a los estudiantes la regla de multiplicar una fracción decimal por un número natural, por una unidad de bit y la regla de expresar una fracción decimal como un porcentaje. Desarrollar la capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ejemplos y problemas.
- Desarrollar y activar el pensamiento lógico de los estudiantes, la capacidad de identificar patrones y generalizarlos, fortalecer la memoria, la capacidad de cooperar, brindar asistencia, evaluar su trabajo y el trabajo de los demás.
- Cultivar el interés por las matemáticas, la actividad, la movilidad, la capacidad de comunicación.
Equipo: pizarra interactiva, un cartel con un cyphergram, carteles con declaraciones de matemáticos.
- Organizando el tiempo.
- El conteo oral es una generalización de material previamente estudiado, preparación para el estudio de material nuevo.
- Explicación del nuevo material.
- Asignación de tareas.
- Educación física matemática.
- Generalización y sistematización de los conocimientos adquiridos de forma lúdica con la ayuda de un ordenador.
- calificación
2. Chicos, nuestra lección de hoy será algo inusual, porque no la pasaré solo, sino con mi amigo. Y mi amigo también es inusual, ahora lo verás. (Aparece una computadora de dibujos animados en la pantalla). Mi amigo tiene un nombre y puede hablar. ¿Cuál es tu nombre, amigo? Komposha responde: "Mi nombre es Komposha". ¿Estás listo para ayudarme hoy? ¡SÍ! Bueno, entonces, comencemos la lección.
Hoy recibí un cyphergram encriptado, muchachos, que debemos resolver y descifrar juntos. (Se publica un cartel en la pizarra con una cuenta oral para sumar y restar fracciones decimales, como resultado de lo cual los muchachos obtienen el siguiente código 523914687. )
Komposha ayuda a descifrar el código recibido. Como resultado de la decodificación, se obtiene la palabra MULTIPLICACIÓN. La multiplicación es la palabra clave del tema de la lección de hoy. El tema de la lección se muestra en el monitor: "Multiplicar una fracción decimal por un número natural"
Chicos, sabemos cómo se hace la multiplicación. números naturales. Hoy vamos a ver la multiplicación. numeros decimales a un número natural. La multiplicación de una fracción decimal por un número natural puede considerarse como la suma de términos, cada uno de los cuales es igual a esta fracción decimal, y el número de términos es igual a este número natural. Por ejemplo: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Entonces 5,21 3 = 15,63. Representando 5.21 como una fracción ordinaria de un número natural, obtenemos
Y en este caso, obtuvimos el mismo resultado de 15,63. Ahora, ignorando la coma, tomemos el número 521 en lugar del número 5.21 y multipliquemos por el número natural dado. Aquí debemos recordar que en uno de los factores la coma se mueve dos lugares a la derecha. Al multiplicar los números 5, 21 y 3, obtenemos un producto igual a 15,63. Ahora, en este ejemplo, moveremos la coma dos dígitos hacia la izquierda. Por lo tanto, por cuántas veces se incrementó uno de los factores, el producto se redujo tantas veces. Con base en los puntos similares de estos métodos, sacamos una conclusión.
Para multiplicar un decimal por un número natural, necesitas:
1) ignorando la coma, realiza la multiplicación de números naturales;
2) en el producto resultante, separar con una coma a la derecha tantos caracteres como hay en una fracción decimal.
En el monitor se muestran los siguientes ejemplos, que analizamos junto con Komposha y los chicos: 5,21 3 = 15,63 y 7,624 15 = 114,34. Después de mostrar la multiplicación por número redondeado 12,6 50 = 630. A continuación, paso a la multiplicación de una fracción decimal por una unidad de bit. Muestro los siguientes ejemplos: 7.423 100 \u003d 742.3 y 5.2 1000 \u003d 5200. Entonces, presento la regla para multiplicar una fracción decimal por una unidad de bit:
Para multiplicar una fracción decimal por las unidades de bit 10, 100, 1000, etc., es necesario desplazar la coma hacia la derecha en esta fracción tantos dígitos como ceros haya en el registro de unidad de bit.
Termino la explicación con la expresión de una fracción decimal como porcentaje. Entro en la regla:
Para expresar un decimal como porcentaje, multiplícalo por 100 y agrega el signo %.
Doy un ejemplo en una computadora 0.5 100 = 50 o 0.5 = 50%.
4. Al final de la explicación, les doy a los chicos tarea, que también se muestra en el monitor de la computadora: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Para que los chicos descansen un poco, para consolidar el tema, hacemos una sesión de educación física matemática junto con Komposha. Todos se ponen de pie, muestran a la clase los ejemplos resueltos y deben responder si el ejemplo es correcto o incorrecto. Si el ejemplo se resuelve correctamente, levantan las manos por encima de la cabeza y aplauden. Si el ejemplo no se resuelve correctamente, los chicos estiran los brazos hacia los lados y amasan los dedos.
6. Y ahora que tienes un pequeño descanso, puedes resolver las tareas. Abre tu libro de texto en la página 205, № 1029. en esta tarea es necesario calcular el valor de las expresiones:
Las tareas aparecen en la computadora. A medida que se resuelven, aparece un cuadro con la imagen de un barco que, cuando está completamente ensamblado, zarpa.
Resolviendo esta tarea en una computadora, el cohete se desarrolla gradualmente, resolviendo el último ejemplo, el cohete se va volando. El profesor da una pequeña información a los alumnos: “Todos los años desde la tierra kazaja desde el cosmódromo de Baikonur despega hacia las estrellas naves espaciales. Cerca de Baikonur, Kazajstán está construyendo su propia nuevo puerto espacial Baiterek.
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