Velmyakina Kristina a Nikolaeva Evgenia
Táto výskumná práca je zameraná na štúdium používania kladných a záporných čísel v ľudskom živote.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
MBOU "Gymnázium č. 1" mestskej časti Kovylkinsky
Používanie kladných a záporných čísel v ľudskom živote
Výskum
Dokončené:
žiaci 6. triedy
Velmyakina Kristina a Nikolaeva Evgenia
Vedúci: učiteľ matematiky a informatiky
Sokolová Natalya Sergejevna
Kovylkino 2015
Úvod 2
1. História vzniku kladných a záporných čísel 4
2.Používanie kladných a záporných čísel 6
Záver 13
Zoznam použitej literatúry 14
Úvod
Zavedenie kladných a záporných čísel súviselo s potrebou rozvíjať matematiku ako vedu, ktorá dáva bežné spôsoby riešenie aritmetických úloh bez ohľadu na konkrétny obsah a počiatočné číselné údaje.
Skúmaním pozitívnych a záporné čísla na hodinách matematiky sme sa rozhodli zistiť, kde inde sa okrem matematiky tieto čísla používajú. A ukázalo sa, že kladné a záporné čísla majú celkom široké uplatnenie.
Toto výskumu je zameraný na štúdium používania kladných a záporných čísel v ľudskom živote.
Relevantnosť tejto témy spočíva v štúdiu používania kladných a záporných čísel.
Cieľ: Študovať používanie kladných a záporných čísel v ľudskom živote.
Predmet štúdia:Oblasti použitia kladných a záporných čísel v živote človeka.
Predmet štúdia:Kladné a záporné čísla.
Metóda výskumu:čítanie a analýza použitej literatúry a pozorovania.
Na dosiahnutie cieľa štúdie boli stanovené tieto úlohy:
1. Preštudujte si literatúru na túto tému.
2. Pochopiť podstatu kladných a záporných čísel v živote človeka.
3. Preskúmajte uplatnenie kladných a záporných čísel v rôznych oblastiach.
4. Vyvodiť závery.
- História kladných a záporných čísel
Kladné a záporné čísla sa prvýkrát objavili v r Staroveká Čína už asi pred 2100 rokmi.
V II storočí. pred Kr e. Čínsky učenec Zhang Can napísal Aritmetiku v deviatich kapitolách. Z obsahu knihy je zrejmé, že nejde o úplne samostatné dielo, ale o revíziu iných kníh napísaných dávno pred Zhang Canom. V tejto knihe sa po prvý raz vo vede stretávame s negatívnymi veličinami. Sú nimi chápané inak, ako ich chápeme a aplikujeme my. Nemá úplné a jasné pochopenie podstaty negatívnych a pozitívnych veličín a pravidiel práce s nimi. Každé záporné číslo chápal ako dlh a každé kladné číslo ako majetok. Operácie so zápornými číslami vykonával nie rovnakým spôsobom ako my, ale s použitím uvažovania o povinnosti. Ak napríklad k jednému dlhu pridáme ďalší dlh, výsledkom je dlh, nie majetok (t, teda podľa nášho (- a) + (- a) \u003d - 2a. Znamienko mínus nebolo známe potom, aby sa rozlíšili čísla vyjadrujúce dlh, ich Zhan Can napísal iným atramentom ako čísla vyjadrujúce bohatstvo (kladné). Kladné čísla sa v čínskej matematike nazývali „chen“ a zobrazovali sa červenou farbou a záporné čísla sa nazývali "fu" a zobrazené čiernou farbou. Tento spôsob zobrazovania sa používal v Číne až do polovice 12. storočia, keď Li Ye navrhol vhodnejší zápis záporných čísel - čísla, ktoré znázorňovali záporné čísla, boli prečiarknuté pomlčkou šikmo od sprava doľava. Hoci čínski učenci vysvetľovali záporné veličiny ako dlh a kladné ako majetok, stále sa vyhýbali ich širokému využívaniu, keďže sa tieto čísla zdali nepochopiteľné, akcie s nimi boli nejasné. Ak problém viedol k negatívnemu riešeniu, pokúsil nahradiť stav (ako Gréci), aby v ňom rozhodnutie bolo kladné. V 5. – 6. storočí sa objavujú záporné čísla a sú veľmi rozšírené v indický matematiky. Na rozdiel od Číny, v Indii už boli pravidlá násobenia a delenia známe. V Indii sa záporné čísla systematicky používali v podstate rovnakým spôsobom ako my teraz. Už v diele vynikajúceho indického matematika a astronóma Brahmaguptu (598 - asi 660) čítame: „majetok a majetok sú majetkom, súčet dvoch dlhov je dlh; súčet majetku a nula je majetok; súčet dvoch núl je nula... Dlh, ktorý sa odpočíta od nuly, sa stáva majetkom a majetok sa stáva dlhom. Ak je potrebné vziať majetok z dlhu a dlh z majetku, potom si vezmú svoju sumu.
Značky "+" a "-" boli široko používané v obchodovaní. Vinári dávajú na prázdne sudy znak „-“, čo znamená pokles. Ak bol sud naplnený, znak bol prečiarknutý a bolo prijaté znak „+“, čo znamená zisk. Tieto znaky zaviedol ako matematické Jan Widmann v XV.
V európskej vede sa záporné a kladné čísla konečne začali používať až od čias francúzskeho matematika R. Descarta (1596 - 1650), ktorý dal geometrickú interpretáciu kladných a záporných čísel ako smerovaných segmentov. V roku 1637 zaviedol „súradnicovú čiaru“.
V roku 1831 Gauss plne zdôvodnil, že záporné čísla sú z hľadiska práv absolútne ekvivalentné s kladnými a na skutočnosti, že ich nemožno použiť vo všetkých prípadoch, nezáleží.
História vzniku záporných a kladných čísel sa končí v 19. storočí, keď William Hamilton a Hermann Grassmann vytvorili kompletnú teóriu kladných a záporných čísel. Od tohto momentu sa začína história vývoja tohto matematického konceptu.
- Použitie kladných a záporných čísel
- Liek
Krátkozrakosť a ďalekozrakosť
Záporné čísla vyjadrujú patológiu oka. Krátkozrakosť (krátkozrakosť) sa prejavuje znížením zrakovej ostrosti. Aby oko pri krátkozrakosti jasne videlo vzdialené predmety, používajú sa difúzne (negatívne) šošovky.Krátkozrakosť (-), ďalekozrakosť (+).
Ďalekozrakosť (hypermetropia) je typ lomu oka, pri ktorom sa obraz objektu nezameriava na konkrétnu oblasť sietnice, ale na rovinu za ňou. Tento stav zrakového systému vedie k neostrosti obrazu, ktorý sietnica vníma.
Príčinou ďalekozrakosti môže byť skrátená očná buľva alebo slabá refrakčná sila optických médií oka. Jeho zvýšením je možné zabezpečiť, že lúče budú pri normálnom videní zaostrené tam, kde sú zaostrené.
S pribúdajúcim vekom sa videnie, najmä do blízka, čoraz viac zhoršuje v dôsledku zníženia akomodačnej schopnosti oka v dôsledku zmeny súvisiace s vekom v šošovke - elasticita šošovky klesá, svaly, ktoré ju držia, ochabujú a v dôsledku toho sa znižuje videnie. Pretovekom podmienená ďalekozrakosť (presbyopia ) je prítomný takmer u všetkých ľudí po 40-50 rokoch.
Pri malých stupňoch ďalekozrakosti sa zvyčajne udržiava dobré videnie do diaľky aj do blízka, ale môžu sa vyskytnúť sťažnosti na únavu, bolesť hlavy, závraty. Pri priemernom stupni hypermetropie zostáva videnie na diaľku dobré, ale videnie na blízko je ťažké. S vysokou ďalekozrakosťou - slabý zrak do diaľky aj do blízka, keďže všetky možnosti oka zaostriť na sietnicu obraz aj vzdialených predmetov sa vyčerpali.
Ďalekozrakosť, vrátane vekom podmienenej, sa dá zistiť iba dôkladným vyšetrením.diagnostické vyšetrenie (pri medicínskom rozšírení zrenice sa šošovka uvoľní a objaví sa skutočná refrakcia oka).
Krátkozrakosť - Ide o očné ochorenie, pri ktorom človek zle vidí predmety umiestnené ďaleko, ale dobre vidí tie predmety, ktoré sú blízko. Krátkozrakosť sa tiež nazýva krátkozrakosť.
Predpokladá sa, že krátkozrakosťou trpí asi osemsto miliónov ľudí. Každý môže trpieť krátkozrakosťou: dospelí aj deti.
Naše oči majú rohovku a šošovku. Tieto zložkové oči sú schopné prenášať lúče a lámať ich. A na sietnici sa objaví obraz. Potom sa tento obraz stáva nervovým impulzom a prenáša sa pozdĺž optického nervu do mozgu.
Ak rohovka a šošovka lámu lúče tak, že ohnisko je na sietnici, potom bude obraz jasný. Preto dobre uvidia ľudia bez akýchkoľvek očných ochorení.
Pri krátkozrakosti je obraz rozmazaný a neostrý. Môže sa to stať z nasledujúcich dôvodov:
- ak je oko značne predĺžené, potom sa sietnica vzdiali od stabilného miesta zaostrenia. Pri krátkozrakosti u ľudí oko dosahuje tridsať milimetrov. A u bežného zdravého človeka je veľkosť oka dvadsaťtri – dvadsaťštyri milimetrov – ak šošovka a rohovka príliš lámu lúče svetla.
Podľa štatistík každý tretí človek na zemi trpí krátkozrakosťou, teda krátkozrakosťou. Pre takýchto ľudí je ťažké vidieť predmety, ktoré sú od nich ďaleko. Ale zároveň, ak sa kniha alebo notebook nachádza v blízkosti očí osoby, ktorá trpí krátkozrakosťou, potom tieto predmety dobre uvidí..
2) Teplomery
Pozrime sa na stupnicu bežného vonkajšieho teplomera.
Má podobu zobrazenú na stupnici 1. Sú na nej vyznačené len kladné čísla, a preto pri uvádzaní číselnej hodnoty teploty je potrebné dodatočne vysvetliť 20 stupňov tepla (nad nulou). To je pre fyzikov nepohodlné - nemôžete dosadiť slová do vzorca! Preto sa vo fyzike používa stupnica so zápornými číslami (stupnica 2).
3) Zostatok v telefóne
Pri kontrole zostatku na telefóne alebo tablete môžete vidieť číslo so znamienkom (-), čo znamená, že tento účastník má dlh a nemôže volať, kým nedoplní svoj účet, zatiaľ čo číslo bez znamienka (-) znamená, že môžete zavolať alebo vytvoriť niektorú alebo inú funkciu.
- Hladina mora
Poďme sa pozrieť na fyzická mapa mier. Pozemky na ňom sú namaľované rôzne odtiene zelené a hnedá a moria a oceány sú natreté modrou a modrou farbou. Každá farba má svoju výšku (pre pevninu) alebo hĺbku (pre moria a oceány). Na mape je nakreslená mierka hĺbok a výšok, ktorá ukazuje, akú výšku (hĺbku) tá či oná farba znamená, napríklad toto:
Stupnica hĺbky a výšky v metroch
Hlbšie 5000 2000 200 0 200 1000 2000 4000 vyššie
Na tejto stupnici vidíme len kladné čísla a nulu. Nula je výška (a tiež hĺbka), v ktorej sa nachádza povrch vody vo Svetovom oceáne. Používanie iba nezáporných čísel v tejto škále je pre matematika alebo fyzika nepohodlné. Fyzik dostane takúto stupnicu.
Výšková stupnica v metroch
Menej ako -5 000 - 2 000 - 200 0 200 1 000 2 000 4 000 viac
Pomocou takejto stupnice stačí uviesť číslo bez akýchkoľvek ďalších slov: kladné čísla zodpovedajú rôznym miestam na súši, ktoré sú nad hladinou mora; záporné čísla zodpovedajú bodom pod morskou hladinou.
V nami uvažovanej škále výšok sa výška vodnej hladiny vo Svetovom oceáne berie ako nula. Táto mierka sa používa v geodézii a kartografii.
Naproti tomu v bežnom živote väčšinou berieme výšku zemského povrchu (v mieste, kde sa nachádzame) ako nulovú výšku.
5) Vlastnosti človeka
Každý človek je individuálny a jedinečný! Nie vždy sa však zamýšľame nad tým, aké charakterové vlastnosti nás ako človeka definujú, čo na nás ľudí priťahuje a čo nás odpudzuje. Vyzdvihnite pozitívne a negatívne vlastnosti človeka. Napríklad, pozitívne vlastnosti aktivita, ušľachtilosť, dynamika, odvaha, podnikavosť, rozhodnosť, nezávislosť, odvaha, čestnosť, ráznosť, negatívny, agresivita, vznetlivosť, súťaživosť, kritickosť, tvrdohlavosť, sebectvo.
6) Fyzika a hrebeň
Na stôl položte niekoľko malých kúskov tenkého papiera. Vezmite čistý, suchý plastový hrebeň a prejdite si ním 2-3 krát vlasy. Pri česaní vlasov by ste mali počuť jemné praskanie. Potom pomaly približujte hrebeň k útržkom papiera. Uvidíte, že ich hrebeň najprv priťahuje a potom od neho odpudzuje.
Rovnaký hrebeň môže priťahovať vodu. Takáto príťažlivosť je ľahko pozorovateľná, ak hrebeň privediete k tenkému prúdu vody, ktorý pokojne tečie z kohútika. Uvidíte, že pramienok je výrazne zakrivený.
Teraz vyvaľkajte z tenkého papiera (najlepšie hodvábneho papiera) dve rúrky dlhé 2-3 cm. a 0,5 cm v priemere. Zaveste ich vedľa seba (tak, aby sa zľahka dotýkali) na hodvábne nite. Po česaní vlasov sa dotknite hrebeňa papierových rúrok - okamžite sa rozptýlia do strán a zostanú v tejto polohe (to znamená, že vlákna budú odmietnuté). Vidíme, že rúrky sa navzájom odpudzujú.
Ak máte sklenenú tyčinku (alebo skúmavku, alebo skúmavku) a kúsok hodvábnej látky, potom môžete v experimentoch pokračovať.
Driete tyčinku o hodváb a približujte ju k útržkom papiera - začnú po tyčinke „skákať“ rovnako ako na hrebeni a potom sa z nej zošmyknú. Pramienok vody odchýli aj sklenená tyčinka a papierové rúrky, ktorých sa dotknete palicou, sa navzájom odpudzujú.
Teraz vezmite jednu palicu, ktorej ste sa dotkli hrebeňom, a druhú tubu a priveďte ju k sebe. Uvidíte, že sa k sebe priťahujú. Takže v týchto experimentoch sa prejavujú sily príťažlivosti a sily odpudzovania. V experimentoch sme videli, že nabité objekty (fyzici hovoria, že nabité telesá) sa môžu navzájom priťahovať, alebo sa môžu odpudzovať. Vysvetľuje to skutočnosť, že existujú dva typy, dva typy elektrických nábojov a náboje rovnakého typu sa navzájom odpudzujú a náboje odlišné typy sú priťahovaní.
7) Počítanie času
AT rozdielne krajiny inak. Napríklad v Staroveký Egypt vždy, keď som začal vládnuť nového kráľa, počítanie rokov začalo odznova. Prvý rok panovania kráľa bol považovaný za prvý rok, druhý - druhý atď. Keď tento kráľ zomrel a k moci sa dostal nový, prišiel opäť prvý rok, potom druhý, tretí. Počet rokov, ktoré používali obyvatelia jedného z najstarších miest sveta, Ríma, bol iný. Rimania považovali rok založenia svojho mesta za prvý, ďalší - druhý atď.
Počet rokov, ktoré používame, vznikol už dávno a súvisí s úctou k Ježišovi Kristovi, zakladateľovi kresťanského náboženstva. Počítanie rokov od narodenia Ježiša Krista sa postupne udomácnilo v rôznych krajinách, u nás ho zaviedol pred tristo rokmi cár Peter Veľký. Čas počítaný od Narodenia Krista nazývame NAŠE OBDOBIE (a píšeme skrátene SV). Naša éra trvá už dvetisíc rokov. Zvážte „časovú os“ na obrázku.
Začiatok založenia Prvá zmienka o Moskve Narodenie A. S. Puškina
rímske povstanie
Spartakus
Záver
Prácou s rôznymi zdrojmi a skúmaním rôznych javov a procesov sme zistili, že negatíva a pozitíva sa využívajú v medicíne, fyzike, geografii, histórii, v r. modernými prostriedkami komunikácie, pri skúmaní ľudských vlastností a iných oblastiach ľudskej činnosti. Táto téma je relevantná a je široko používaná a aktívne využívaná človekom.
Táto práca môže byť použitá na hodinách matematiky a motivuje študentov k štúdiu kladných a záporných čísel.
Bibliografia
- Vigasin A.A., Goder G.I., „História staroveký svet“, učebnica 5. ročníka, 2001.
- Vygovskaya V.V. "Pourochnye rozvoj v matematike: ročník 6" - M.: VAKO, 2008.
- Noviny "Matematika" №4, 2010
- Gelfman E.G. "kladné a záporné čísla" tutoriál z matematiky pre 6. ročník, 2001.
Teraz budeme analyzovať kladné a záporné čísla. Najprv uvádzame definície, zavádzame notáciu, po ktorej uvádzame príklady kladných a záporných čísel. Pozastavíme sa aj pri sémantickej záťaži, ktorú nesú kladné a záporné čísla.
Navigácia na stránke.
Kladné a záporné čísla – definície a príklady
Dať určenie kladných a záporných čísel nám pomôže. Pre pohodlie budeme predpokladať, že je umiestnený horizontálne a smeruje zľava doprava.
Definícia.
Zavolajú sa čísla, ktoré zodpovedajú bodom súradnicovej čiary ležiacej napravo od počiatku pozitívne.
Definícia.
Zavolajú sa čísla, ktoré zodpovedajú bodom súradnicovej čiary ležiacej naľavo od počiatku negatívne.
Číslo nula zodpovedajúce pôvodu nie je ani kladné, ani záporné.
Z definície záporných a kladných čísel vyplýva, že množina všetkých záporných čísel je množina čísel, ktoré sú opačné ku všetkým kladným číslam (v prípade potreby si pozrite článok opačné čísla). Preto sa záporné čísla vždy píšu so znamienkom mínus.
Teraz, keď poznáme definície kladných a záporných čísel, môžeme ľahko písať príklady kladných a záporných čísel. Príkladmi kladných čísel sú prirodzené čísla 5 , 792 a 101 330 a skutočne každé prirodzené číslo je kladné. Príkladmi kladných racionálnych čísel sú čísla 4,67 a 0,(12)=0,121212... a zápornými číslami sú čísla −11, −51.51 a −3,(3) . Ako príklady kladných iracionálnych čísel je možné uviesť číslo pi, číslo e a nekonečný neperiodický desatinný zlomok 809.030030003 ... a príklady záporného ir racionálne čísla sú čísla mínus pi, mínus e a číslo rovné . Treba poznamenať, že v poslednom príklade nie je v žiadnom prípade zrejmé, že hodnota výrazu je záporné číslo. Aby ste to s istotou zistili, musíte získať hodnotu tohto výrazu vo formulári desatinný zlomok a ako sa to robí, povieme v článku porovnanie reálnych čísel.
Niekedy sú pred kladnými číslami znamienko plus, rovnako ako pred zápornými číslami znamienko mínus. V týchto prípadoch by ste mali vedieť, že +5=5, 
atď. To znamená +5 a 5 atď. je rovnaké číslo, ale inak označené. Okrem toho môžete nájsť definíciu kladných a záporných čísel na základe znamienka plus alebo mínus.
Definícia.
Volajú sa čísla so znamienkom plus pozitívne a so znamienkom mínus - negatívne.
Existuje ďalšia definícia kladných a záporných čísel na základe porovnávania čísel. Aby sme dali túto definíciu, stačí si zapamätať, že bod na súradnicovej čiare zodpovedajúci väčšiemu číslu leží napravo od bodu zodpovedajúceho menšiemu číslu.
Definícia.
kladné čísla sú čísla väčšie ako nula a záporné čísla sú čísla menšie ako nula.
Nula teda oddeľuje kladné čísla od záporných.
Samozrejme, mali by sme sa pozastaviť aj nad pravidlami čítania kladných a záporných čísel. Ak je číslo napísané so znamienkom + alebo -, potom sa vysloví názov znamienka, po ktorom sa vysloví číslo. Napríklad +8 sa číta ako plus osem a ako mínus jedna bodka dve pätiny. Názvy znamienka + a − sa nerozlišujú veľkosťou písmen. Príklad správna výslovnosť je fráza „a rovná sa mínus tri“ (nie mínus tri).
Interpretácia kladných a záporných čísel
Kladné a záporné čísla popisujeme už pomerne dlho. Bolo by však pekné vedieť, aký význam v sebe nesú? Poďme sa zaoberať touto otázkou.
Kladné čísla možno interpretovať ako príjem, ako prírastok, ako prírastok nejakej hodnoty a podobne. Záporné čísla zase znamenajú presný opak – výdavok, nedostatok, dlh, pokles nejakej hodnoty atď. Vyrovnajme sa s tým na príkladoch.
Dá sa povedať, že máme 3 položky. Tu kladné číslo 3 označuje počet položiek, ktoré máme. Ako môžete interpretovať záporné číslo -3? Napríklad číslo -3 by mohlo znamenať, že niekomu musíme dať 3 položky, ktoré ani nemáme na sklade. Podobne môžeme povedať, že v pokladni nám dali 3,45 tisíc rubľov. To znamená, že číslo 3,45 je spojené s naším príchodom. Záporné číslo -3,45 bude zase znamenať úbytok peňazí v pokladni, ktorá nám tieto peniaze vydala. To znamená, že −3,45 sú náklady. Ďalší príklad: zvýšenie teploty o 17,3 stupňa možno opísať ako kladné číslo +17,3 a zníženie teploty o 2,4 pomocou záporného čísla ako zmenu teploty o -2,4 stupňa.
Kladné a záporné čísla sa často používajú na opis hodnôt akýchkoľvek množstiev v rôznych meracie prístroje. Najdostupnejším príkladom je prístroj na meranie teplôt - teplomer - so stupnicou, na ktorej sa píšu kladné aj záporné čísla. Záporné čísla sú často zobrazené modrou farbou (symbolizuje sneh, ľad a pri teplotách pod nula stupňov Celzia voda začína zamŕzať) a kladné čísla sú napísané červenou farbou (farba ohňa, slnka, pri teplotách nad nulou začína ľad. topiť). Zápis kladných a záporných čísel červenou a modrou farbou sa používa aj v iných prípadoch, keď je potrebné zdôrazniť znamienko čísel.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
Záporné čísla sú umiestnené naľavo od nuly. Pre ne, rovnako ako pre kladné čísla, je definovaný poradový vzťah, ktorý umožňuje porovnávať jedno celé číslo s druhým.
Pre každé prirodzené číslo n existuje iba jedno záporné číslo označené ako -n, ktorý dopĺňa n na nulu: n + (− n) = 0 . Volajú sa obe čísla opak jeden pre druhého. Odčítanie celého čísla a je ekvivalentné pridania k jeho opaku: -a.
Vlastnosti záporných čísel
Záporné čísla sa riadia takmer rovnakými pravidlami ako prirodzené čísla, ale majú určité zvláštnosti.
Historický náčrt
Literatúra
- Vygodsky M. Ya. Príručka elementárna matematika. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
- Glazer G.I. História matematiky v škole. - M.: Osveta, 1964. - 376 s.
Odkazy
Nadácia Wikimedia. 2010.
- Negatívne tvary terénu
- Záporná a kladná nula
Pozrite si, čo sú „záporné čísla“ v iných slovníkoch:
Záporné čísla- reálne čísla menšie ako nula, napríklad 2; 0,5; π atď. Pozri číslo... Veľká sovietska encyklopédia
Kladné a záporné čísla- (hodnoty). Výsledok postupných sčítaní alebo odčítaní nezávisí od poradia, v ktorom sa tieto operácie vykonávajú. Napr. 10 5 + 2 \u003d 10 +2 5. Tu sú permutované nielen čísla 2 a 5, ale aj znaky pred týmito číslami. Dohodnuté...... encyklopedický slovník F. Brockhaus a I.A. Efron
čísla sú záporné- Čísla v účtovníctve, ktoré sú písané červenou ceruzkou alebo červeným atramentom. Účtovné témy... Technická príručka prekladateľa
ZÁPORNÉ ČÍSLA- čísla v účtovníctve, ktoré sú napísané červenou ceruzkou alebo červeným atramentom ... Veľký účtovný slovník
Celé čísla- Množina celých čísel je definovaná ako uzavretie množiny prirodzených čísel vzhľadom na aritmetické operácie sčítania (+) a odčítania (). Súčet, rozdiel a súčin dvoch celých čísel sú teda opäť celé čísla. Pozostáva z ... ... Wikipédie
Celé čísla- čísla, ktoré prirodzene vznikajú pri počítaní (v zmysle enumerácie aj v zmysle kalkulu). Existujú dva prístupy k určovaniu prirodzených čísel čísla používaného v: enumerácii (číslovaní) objektov (prvý, druhý, ... ... Wikipedia
ČÍSLA EULEROV sú koeficienty E n v rozklade. Rekurzívny vzorec pre E. h. má tvar , E4n+2 záporné celé čísla pre všetky n=0, 1,...; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385… Matematická encyklopédia
Záporné číslo- Záporné číslo je prvok množiny záporných čísel, ktorý sa (spolu s nulou) objavil v matematike pri rozširovaní množiny prirodzených čísel. Účelom rozšírenia je poskytnúť operáciu odčítania pre ľubovoľné čísla. Výsledkom je ... ... Wikipedia
História aritmetiky- Aritmetika. Obraz od Pinturicchio. Apartmány Borgia. 1492 1495. Rím, Vatikánske paláce ... Wikipedia
Aritmetika- Hans Sebald Beham. Aritmetika. Aritmetika zo 16. storočia (iná grécka ἀ ... Wikipedia
knihy
- Matematika. 5. ročník Náučná kniha a workshop. V 2 častiach. Časť 2. Kladné a záporné čísla, . Učebnica a workshop pre 5. ročník sú súčasťou učebných materiálov pre matematiku pre 5. – 6. ročník, ktoré vypracoval kolektív autorov pod vedením E. G. Gelfmana a M. A. Kholodnaya v rámci ...
Chalina Irina
Prezentácia o histórii záporných čísel.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet ( účtu) Google a prihláste sa: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Záporné čísla Chalina Irina
Matematika - vivat! Sláva, sláva, sláva! Nekričte na ňu, nekričte na ňu bravo. Boli raz 2 čísla, Žil, nesmútil. Jedno je mínus, druhé plus, boli sme kamaráti veselo. Znaky sa vo všetkom líšia, ale môžete pridať číslo, ktoré by malo byť. Plus k plusu - dostaneme plus, Plus k mínusu - bude mínus. No, ak pridáme (-20) (-8), tak nakoniec dostaneme číslo (-28).
Záporné číslo Záporné číslo je prvok množiny záporných čísel, ktorý sa (spolu s nulou) objavil v matematike pri rozšírení množiny prirodzených čísel. Účelom rozšírenia je poskytnúť operáciu odčítania pre ľubovoľné čísla. V dôsledku expanzie sa získa množina (kruh) celých čísel, pozostávajúca z kladných (prirodzených) čísel, záporných čísel a nuly. Všetky záporné čísla a iba oni sú menšie ako nula. Na číselnej osi sú záporné čísla umiestnené naľavo od nuly. Pre ne, rovnako ako pre kladné čísla, je definovaný poradový vzťah, ktorý umožňuje porovnávať jedno celé číslo s druhým.
Historický odkaz História hovorí, že ľudia si dlho nevedeli zvyknúť na záporné čísla. Záporné čísla sa im zdali nepochopiteľné, nepoužívali sa, jednoducho v nich nevideli zmysel. Pozitívne čísla boli interpretované ako "zisk" a negatívne - ako "dlh", "strata". V starovekom Egypte, Babylone a Staroveké Grécko nepoužívali záporné čísla a ak sa získali záporné korene rovníc (pri odčítaní), boli zamietnuté ako nemožné. Po prvýkrát boli záporné čísla čiastočne legalizované v Číne a potom (približne od 7. storočia) v Indii, kde boli interpretované ako dlhy (nedostatok), alebo uznané ako medzistupeň, užitočný na výpočet konečného, pozitívny výsledok. Ale v staroveku neexistovali žiadne znamienka + alebo - ani pre čísla, ani pre akcie. Pravda, násobenie a delenie pre záporné čísla ešte nebolo definované. Gréci tiež spočiatku nepoužívali znaky, až kým Diophantus Alexandrijský v 3. storočí nezačal pri riešení používať znak „-“. lineárne rovnice. Znamienko „+“ sa objavilo ako výsledok opačnej akcie ako znamienko „-“ preškrtnutím mínusu. Bolo to veľmi podobné plusu, ktoré používame teraz. Poznal už pravidlo znamení a vedel násobiť záporné čísla. Považoval ich však len za dočasné hodnoty.
Užitočnosť a zákonnosť záporných čísel sa zisťovala postupne. Už indický matematik Brahmagupta (7. storočie) ich považoval za rovnocenné s kladnými. V Európe prišlo uznanie o tisíc rokov neskôr a aj potom sa záporné čísla dlho nazývali „falošné“, „imaginárne“ alebo „absurdné“. Dokonca aj Pascal si myslel, že 0 − 4 = 0, pretože nič nemôže byť menej ako nič. Bombelli a Girard naopak považovali záporné čísla za celkom prijateľné a užitočné, najmä na označenie nedostatku niečoho. Ozvenou tých čias je skutočnosť, že v modernej aritmetike sú operácie odčítania a znamienka záporných čísel označené rovnakým symbolom (mínus), hoci algebraicky ide o úplne odlišné pojmy. V 17. storočí, s príchodom analytickej geometrie, dostali záporné čísla vizuálne geometrické znázornenie na číselnej osi. Od tohto momentu prichádza ich úplná rovnosť. Napriek tomu bola teória záporných čísel dlho v plienkach. Napríklad sa aktívne diskutovalo o podivnom pomere 1: (-1) = (-1): 1 - v ňom je prvý výraz vľavo väčší ako druhý a vpravo - naopak, a ukázalo sa, že väčšie sa rovná menšiemu („Arnaudov paradox“). Taktiež nebolo jasné, aký význam má násobenie záporných čísel a prečo je súčin záporných čísel kladný; na túto tému sa viedli búrlivé diskusie. Kompletnú a dosť rigoróznu teóriu záporných čísel vytvorili až v 19. storočí William Hamilton a Hermann Grassmann.
Vlastnosti záporných čísel Záporné čísla podliehajú takmer rovnako algebraické pravidlá, ktoré sú prirodzené, no majú niektoré vlastnosti. Ak je ľubovoľná množina kladných čísel ohraničená nižšie, potom je ľubovoľná množina záporných čísel ohraničená vyššie. Pri násobení celých čísel platí pravidlo znamienka: súčin čísel s rôzne znamenia negatívny, s rovnakým - pozitívny. Keď sa obe strany nerovnosti vynásobia záporným číslom, znamienko nerovnosti sa obráti. Napríklad vynásobením nerovnosti 3 −10. Pri delení zvyškom môže mať podiel ľubovoľné znamienko, ale zvyšok je podľa konvencie vždy nezáporný (inak nie je jednoznačne určený). Ku každému prirodzenému číslu (n) pripadá len jedno záporné číslo označené (-n), ktoré dopĺňa n až nule: Obe čísla sa nazývajú protiklady. Odčítanie celého čísla (a) od iného celého čísla (b) je ekvivalentné sčítaniu b s opačným znamienkom ako a: (b)+ (-a)
Základné pravidlá Pravidlo 1. Súčet dvoch záporných čísel je záporné číslo, ktoré sa rovná súčtu modulov týchto čísel. Príklad - Súčet čísel (-3) a (-8) sa rovná mínus 11. Pravidlo 2. Súčin dvoch čísel s rôznymi znamienkami je záporné číslo, ktorého modul sa rovná súčinu modulov faktorov. Príklad - Súčin mínus tri a päť sa rovná mínus pätnásť, pretože pri vynásobení dvoch čísel s rôznymi znamienkami sa získa záporné číslo a jeho modul sa rovná súčinu modulov faktorov, tj tri a päť. . Pravidlo 3. Ak chcete označiť záporné čísla, súradnicový lúč doplňte ho lúčom oproti nemu a umiestnite naň zodpovedajúce súradnice. Príklad. Čísla umiestnené na súradnicovej čiare vpravo od nuly sa nazývajú kladné a vľavo záporné.
Modul záporného čísla Vzdialenosť od bodu A(a) k počiatku, t.j. do bodu O(o), sa nazýva modul čísla a a označuje sa /a/ Modul záporného čísla sa rovná číslu, jeho opak. Modul, ktorý nerobí nič s kladnými číslami a nulou, odoberá záporným číslam znamienko mínus. Modul je označený zvislými čiarami, ktoré sú napísané na oboch stranách čísla. Napríklad / -3 / = 3; /-2,3/ = 2,3; / -526/7 / = 526/7. Z dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší, a menšie číslo, ktorého modul je väčší. (Pri tejto príležitosti sa zvyčajne vtipkuje, že záporné čísla nie sú ako ľudia, práve naopak)
Záver Záporné čísla sú v dnešnej dobe bežné: používajú sa napríklad na vyjadrenie teplôt pod nulou. Preto sa zdá prekvapujúce, že pred niekoľkými storočiami neexistovala žiadna špecifická interpretácia záporných čísel a záporné čísla, ktoré sa objavili v priebehu výpočtov, sa nazývali „imaginárne“. Záporné čísla sú potrebné nielen pri meraní teploty. Napríklad, ak podnik dostal príjem 1 milión rubľov, alebo naopak utrpel stratu 1 milión rubľov, ako by sa to malo prejaviť vo finančných dokumentoch? V prvom prípade sa zaznamená 1 000 000 rubľov. alebo + 1 000 000 rubľov. A v druhom prípade (- 1 000 000 rubľov).
Ďakujem za tvoju pozornosť! -
Povedzme, že Denis má veľa sladkostí - celú veľkú krabicu. Najprv Denis zjedol 3 sladkosti. Potom dal otec Denisovi 5 sladkostí. Potom dal Denis Matveymu 9 sladkostí. Nakoniec mama dala Denisovi 6 sladkostí. Otázka: Mal Denis nakoniec viac alebo menej sladkostí ako na začiatku? Ak viac, o koľko viac? Ak menej, o koľko menej?
Aby ste sa s touto úlohou nezamieňali, je vhodné použiť jeden trik. Vypíšme všetky čísla z podmienky za sebou. Zároveň dáme znamienko „+“ pred čísla, ktoré označujú, o koľko cukríkov Denis zvýšil, a znamienko „-“ pred čísla, ktoré označujú, o koľko sa Denisovi cukríky znížili. Potom bude celá podmienka napísaná veľmi stručne:
− 3 + 5 − 9 + 6.
Tento záznam sa dá prečítať napríklad takto: „Najskôr dostal Denis mínus tri cukríky. Potom plus päť sladkostí. Potom mínus deväť cukríkov. A na záver plus šesť sladkostí. Slovo „mínus“ mení význam slovného spojenia na presný opak. Keď poviem: „Denis dostal mínus tri cukríky,“ v skutočnosti to znamená, že Denis stratil tri cukríky. Slovo „plus“ naopak potvrdzuje význam frázy. „Denis dostal plus päť cukríkov“ znamená to isté ako jednoducho „Denis dostal päť cukríkov“.
Takže najprv Denis dostal mínus tri cukríky. To znamená, že Denis má o mínus tri cukríky viac, ako mal na začiatku. Pre stručnosť môžeme povedať: Denis má mínus tri cukríky.
Potom Denis dostal plus päť sladkostí. Je ľahké zistiť, že Denis mal plus dve sladkosti. znamená,
− 3 + 5 = + 2.
Potom Denis dostal mínus deväť cukríkov. A tu je, koľko cukríkov dostal:
− 3 + 5 − 9 = + 2 − 9 = − 7.
Nakoniec Denis dostal +6 ďalších cukríkov. A všetky cukríky sa stali:
− 3 + 5 − 9 + 6 = + 2 − 9 + 6 = − 7 + 6 = − 1.
V bežnom jazyku to znamená, že Denis mal nakoniec o jeden cukrík menej ako na začiatku. Problém je vyriešený.
Trik so znamienkami „+“ alebo „-“ je veľmi využívaný. Volajú sa čísla so znamienkom „+“. pozitívne. Volajú sa čísla so znamienkom „−“. negatívne. Číslo 0 (nula) nie je ani kladné, ani záporné, pretože +0 sa nelíši od −0. Máme teda do činenia s číslami zo série
..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...
Takéto čísla sa nazývajú celé čísla. A volajú sa tie čísla, ktoré nemajú vôbec žiadne znamienko a s ktorými sme sa doteraz zaoberali prirodzené čísla(iba nula neplatí pre prirodzené čísla).
Celé čísla si možno predstaviť ako priečky na rebríku. Číslo nula je pristátie umiestnený v jednej rovine s ulicou. Odtiaľto môžete krok za krokom vyliezť na vyššie poschodia, alebo môžete zísť dolu do suterénu. Pokiaľ nemusíme ísť dnu, vystačíme si so samotnými prirodzenými číslami a nulou. Prirodzené čísla sú v podstate rovnaké ako kladné celé čísla.
Presne povedané, celé číslo nie je číslo kroku, ale príkaz na pohyb po schodoch. Napríklad +3 znamená ísť o tri kroky hore a -5 znamená ísť o päť krokov dole. Ide len o to, že číslo kroku sa berie ako príkaz, ktorý nás posúva k tomuto kroku, ak sa začneme pohybovať z nulovej úrovne.
Celočíselné výpočty sa dajú ľahko robiť jednoduchým mentálnym skokom nahor alebo nadol po schodoch - pokiaľ samozrejme nepotrebujete robiť príliš veľké skoky. Ale čo keď musíte skočiť sto alebo viac krokov? Veď také dlhé schodisko nenakreslíme!
A predsa, prečo nie? Môžeme nakresliť dlhé schodisko z takej vzdialenosti, že už nie sú viditeľné jednotlivé stupne. Potom sa naše schodisko zmení len na jednu priamku. A aby bolo pohodlnejšie ho umiestniť na stránku, nakreslíme ho bez naklonenia a samostatne označíme polohu kroku 0.
Najprv sa naučme, ako skákať po takejto priamke na príklade výrazov, ktorých hodnoty sme už dlho dokázali vypočítať. Nech sa vyžaduje nájsť
Presne povedané, keďže máme do činenia s celými číslami, mali by sme písať
Ale kladné číslo na začiatku riadku zvyčajne nemá znamienko „+“. Skákanie po rebríku vyzerá asi takto:
Namiesto dvoch veľkých skokov nakreslených nad čiarou (+42 a +53) môžete urobiť jeden skok nakreslený pod čiarou, pričom dĺžka tohto skoku je samozrejme
Takéto kresby v matematickom jazyku sa zvyčajne nazývajú diagramy. Takto vyzerá graf pre náš obvyklý príklad odčítania.
Najprv sme urobili veľký skok doprava, potom menší skok doľava. V dôsledku toho sme zostali napravo od nuly. Ale je možná aj iná situácia, ako napríklad v prípade výrazu
Tentoraz sa ukázal skok doprava kratší ako skok doľava: preleteli sme nulu a skončili sme v „suteréne“ – kde sa nachádzajú schodíky so zápornými číslami. Pozrime sa bližšie na náš skok doľava. Celkovo sme zdolali 95 schodov. Keď sme zdolali 53 schodov, dobehli sme známku 0. Koľko schodov sme potom zdolali? No, samozrejme
Takto sme raz na kroku 0 zišli o ďalších 42 schodov, čo znamená, že sme sa nakoniec dostali ku kroku číslo -42. takze
53 − 95 = −(95 − 53) = −42.
Podobne je to ľahké zistiť pomocou kreslenia diagramov
−42 − 53 = −(42 + 53) = −95;
−95 + 53 = −(95 − 53) = −42;
a nakoniec
−53 + 95 = 95 − 53 = 42.
Takto sme sa naučili voľne cestovať po celom rebríčku celých čísel.
Zvážte teraz takýto problém. Denis a Matvey si vymenia obaly od cukríkov. Najprv dal Denis Matveymu 3 obaly od cukríkov a potom si od neho zobral 5 obalov od cukríkov. Koľko obalov od cukríkov nakoniec dostal Matvey?
Ale keďže Denis dostal 2 obaly od cukríkov, tak Matvey dostal -2 obaly od cukríkov. Denisovmu zisku sme pripísali mínus a dostali sme Matveyho zisk. Naše riešenie môže byť napísané ako jeden výraz
−(−3 + 5) = −2.
Všetko je tu jednoduché. Ale poďme trochu upraviť stav problému. Nech Denis najprv dá Matveymu 5 obalov od cukríkov a potom si od neho vezme 3 obaly od cukríkov. Otázkou opäť je, koľko obalov od cukríkov mal Matvey nakoniec?
Opäť najskôr vypočítame „zisk“ Denisa:
−5 + 3 = −2.
Takže Matvey dostal 2 obaly od cukríkov. Ale ako teraz môžeme napísať naše riešenie ako jeden výraz? Čo by ste pridali k zápornému číslu −2, aby ste dostali kladné číslo 2? Ukazuje sa, že tentoraz je potrebné priradiť aj znamienko mínus. Matematici majú veľmi radi uniformitu. Usilujú sa o to, aby riešenie podobných problémov bolo napísané vo forme podobných výrazov. V tomto prípade riešenie vyzerá takto:
−(−5 + 3) = −(−2) = +2.
Matematici sa teda zhodli: ak kladné číslo Ak pridáte mínus, potom bude záporné, a ak pridáte mínus k zápornému číslu, bude kladné. To je veľmi logické. Koniec koncov, ísť dole mínus dva kroky je to isté ako ísť hore plus dva kroky. takze
−(+2) = −2;
−(−2) = +2.
Aby sme obraz doplnili, poznamenávame aj to
+(+2) = +2;
+(−2) = −2.
To nám dáva príležitosť znovu sa pozrieť na dlho známe veci. Nechajte výraz
Význam tohto vstupu si možno predstaviť rôznymi spôsobmi. Starým spôsobom môžete uvažovať o tom, že kladné číslo +3 sa odpočítava od kladného čísla +5:
V tomto prípade sa volá +5 znížený, +3 - odpočítateľné a celý výraz rozdiel. Takto sa učia v škole. Slová „znížené“ a „odčítané“ sa však nikde okrem školy nepoužívajú a po záverečnej sa dajú zabudnúť. kontrolná práca. O tom istom zázname môžeme povedať, že k kladnému číslu +5 sa pridá záporné číslo -3:
Volajú sa čísla +5 a -3 podmienky a celý výraz súčet. Tento súčet má iba dva členy, ale vo všeobecnosti môže súčet pozostávať z ľubovoľného počtu členov. Rovnako aj výraz
možno považovať s rovnakým právom za súčet dvoch kladných čísel:
a ako rozdiel medzi kladnými a zápornými číslami:
(+5) − (−3).
Keď sme sa zoznámili s celými číslami, určite si musíme ujasniť pravidlá otvárania zátvoriek. Ak je pred zátvorkami znamienko „+“, tieto zátvorky možno jednoducho vymazať a všetky čísla v nich si zachovajú svoje znamienka, napríklad:
+(+2) = +2;
+(−2) = −2;
+(−3 + 5) = −3 + 5;
+(−3 − 5) = −3 − 5;
+(5 − 3) = 5 − 3
atď.
Ak je pred zátvorkami znak „-“, potom vymazaním zátvorky musíme zmeniť aj znamienka všetkých čísel v nej:
−(+2) = −2;
−(−2) = +2;
−(−3 + 5) = +3 − 5 = 3 − 5;
−(−3 − 5) = +3 + 5 = 3 + 5;
−(5 − 3) = −(+5 − 3) = −5 + 3;
atď.
Zároveň je užitočné mať na pamäti problém výmeny obalov od cukríkov medzi Denisom a Matveym. Napríklad posledný riadok možno získať takto. Veríme, že Denis si od Matveyho najskôr zobral 5 obalov od cukríkov a potom ďalšie -3. Celkovo dostal Denis 5 - 3 obaly na sladkosti a Matvey - rovnaký počet, ale s opačné znamenie, teda −(5 − 3) obaly od cukríkov. Ale koniec koncov, ten istý problém sa dá vyriešiť aj inak, berúc do úvahy, že kedykoľvek Denis dostane, Matvey dá. To znamená, že Matvey najprv dostal -5 obalov od cukríkov a potom ďalšie +3, čo nakoniec dáva -5 + 3.
Podobne ako prirodzené čísla, aj celé čísla možno navzájom porovnávať. Položme si napríklad otázku: ktoré číslo je väčšie: -3 alebo -1? Pozrime sa na schodisko s celými číslami a okamžite bude jasné, že -1 je väčšie ako -3, a preto -3 je menšie ako -1:
−1 > −3;
−3 < −1.
Teraz si ujasnime: o koľko viac je -1 ako -3? Inými slovami, koľko schodov musíte prejsť, aby ste sa dostali z kroku -3 na krok -1? Odpoveď na túto otázku možno napísať ako rozdiel medzi číslami -1 a -3:
− 1 − (−3) = −1 + 3 = 3 − 1 = 2.
Keď vyskočíte po schodoch, je ľahké skontrolovať, či je to tak. A tu je ďalšia zvedavá otázka: koľko je číslo 3 ďalšie číslo 5? Alebo, čo je to isté: koľko schodov musíte prejsť, aby ste sa dostali z kroku 5 na krok 3? Donedávna by nás táto otázka mátla. Ale teraz môžeme ľahko napísať odpoveď:
3 − 5 = − 2.
V skutočnosti, ak sme na kroku 5 a vystúpime o ďalšie −2 kroky, ocitneme sa na kroku 3.
Úlohy
2.3.1. Aký je význam nasledujúcich fráz?
Denis dal otcovi mínus tri sladkosti.
Matvey je starší ako Denis o mínus dva roky.
Aby ste sa dostali do nášho bytu, musíte zísť o mínus dve poschodia nižšie.
2.3.2. Majú takéto frázy zmysel?
Denis má mínus tri cukríky.
Na lúke sa pasú mínus dve kravy.
Komentujte. Tento problém nemá jedinečné riešenie. Samozrejme, nebolo by zlé povedať, že tieto vyhlásenia sú nezmyselné. A zároveň im možno dať veľmi jasný význam. Predpokladajme, že Denis má veľkú krabicu naplnenú až po vrch sladkosťami, ale obsah tejto krabice sa nepočíta. Alebo si predstavte, že dve kravy zo stáda nešli pásť na lúku, ale z nejakého dôvodu zostali v maštali. Treba mať na pamäti, že aj tie najznámejšie frázy môžu byť nejednoznačné:
Denis má tri sladkosti.
Toto tvrdenie nevylučuje, že Denis má niekde inde ukrytú obrovskú škatuľu sladkostí, no o tých sladkostiach jednoducho mlčia. Rovnakým spôsobom, keď poviem: „Mám päť rubľov“, nemyslím tým, že je to celé moje bohatstvo.
2.3.3. Kobylka vyskočí po schodoch, pričom vychádza z poschodia, kde sa nachádza Denisov byt. Najprv skočil 2 kroky dole, potom 5 krokov hore a nakoniec 7 krokov dole. Koľko krokov a akým smerom sa kobylka pohla?
2.3.4. Nájsť hodnoty výrazu:
− 6 + 10;
− 28 + 76;
atď.
− 6 + 10 = 10 − 6 = 4.
2.3.5. Nájsť hodnoty výrazu:
8 − 20;
34 − 98;
atď.
8 − 20 = − (20 − 8) = − 12.
2.3.6. Nájsť hodnoty výrazu:
− 4 − 13;
− 48 − 53;
atď.
− 4 − 13 = − (4 + 13) = − 17.
2.3.7. Pre nasledujúce výrazy nájdite hodnoty vykonaním výpočtov v poradí uvedenom v zátvorkách. Potom otvorte zátvorky a uistite sa, že významy výrazov zostávajú rovnaké. Vymyslite si takto riešené problémy o sladkostiach.
25 − (−10 + 4);
25 + (− 4 + 10);
atď.
25 − (− 10 + 4) = 25 − (−(10 − 4)) = 25 − (−6) = 25 + 6 = 31.
25 − (− 10 + 4) = 25 + 10 − 4 = 35 − 4 = 31.
„Denis mal 25 sladkostí. Dal otcovi mínus desať cukríkov a štyri cukríky Matveymu. Koľko mal cukríkov?
