V tomto článku budeme hovoriť o prídavok záporné čísla . Najprv dáme pravidlo na sčítanie záporných čísel a dokážeme ho. Potom budeme analyzovať charakteristické príklady sčítanie záporných čísel.
Navigácia na stránke.
Pravidlo negatívneho sčítania
Predtým, ako uvedieme formuláciu pravidla pre sčítanie záporných čísel, vráťme sa k materiálu článku kladné a záporné čísla. Tam sme spomínali, že záporné čísla možno vnímať ako dlh a v tomto prípade určuje výšku tohto dlhu. Preto súčet dvoch záporných čísel je súčet dvoch dlhov.
Tento záver umožňuje pochopiť pravidlo negatívneho sčítania. Ak chcete pridať dve záporné čísla, potrebujete:
- stohovať ich moduly;
- dajte pred prijatú sumu znamienko mínus.
Zapíšme si pravidlo na sčítanie záporných čísel −a a −b v doslovnom tvare: (−a)+(−b)=−(a+b).
Je jasné, že vyslovené pravidlo redukuje sčítanie záporných čísel na sčítanie kladných čísel (modul záporného čísla je kladné číslo). Je tiež jasné, že výsledkom sčítania dvoch záporných čísel je záporné číslo, čo dokazuje znamienko mínus, ktoré je umiestnené pred súčtom modulov.
Pravidlo na sčítanie záporných čísel možno dokázať na základe vlastnosti akcií s reálnymi číslami(alebo rovnaké vlastnosti operácií s racionálnymi alebo celými číslami). Na to stačí ukázať, že rozdiel medzi ľavou a pravou časťou rovnosti (−a)+(−b)=−(a+b) je rovný nule.
Keďže odčítanie čísla je rovnaké ako pričítanie opačného čísla (pozri pravidlo pre odčítanie celých čísel), potom (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Na základe komutatívnych a asociatívnych vlastností sčítania máme (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Keďže súčet opačných čísel sa rovná nule, potom (−a+a)+(−b+b)=0+0 a 0+0=0 kvôli vlastnosti pridania čísla k nule. To dokazuje rovnosť (−a)+(−b)=−(a+b) , a teda pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
Zostáva len naučiť sa, ako aplikovať pravidlo sčítania záporných čísel v praxi, čo urobíme v nasledujúcom odseku.
Príklady sčítania záporných čísel
Poďme analyzovať príklady sčítania záporných čísel. Začnime s najjednoduchším prípadom - sčítanie záporných celých čísel, sčítanie sa uskutoční podľa pravidla uvedeného v predchádzajúcom odseku.
Príklad.
Pridajte záporné čísla -304 a -18007 .
rozhodnutie.
Dodržujme všetky kroky pravidla sčítania záporných čísel.
Najprv nájdeme moduly pridaných čísel: a 
. Teraz musíte pridať výsledné čísla, tu je vhodné vykonať sčítanie stĺpcov: 
Teraz dáme pred výsledné číslo znamienko mínus, výsledkom je −18 311 .
Zapíšeme celé riešenie krátka forma: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
odpoveď:
−18 311 .
Pridanie záporu racionálne čísla v závislosti od samotných čísel sa môže redukovať buď na sčítanie prirodzených čísel, alebo na sčítanie obyčajných zlomkov, alebo na sčítanie desatinných zlomkov.
Príklad.
Pridajte záporné číslo a záporné číslo −4,(12) .
rozhodnutie.
Podľa pravidla sčítania záporných čísel musíte najskôr vypočítať súčet modulov. Moduly pridaných záporných čísel sú 2/5 a 4,(12). Sčítanie získaných čísel možno zredukovať na sčítanie bežné zlomky. Aby sme to dosiahli, preložíme periodický desatinný zlomok na obyčajný zlomok:. Takže 2/5+4,(12)=2/5+136/33 . Teraz poďme popraviť
Záporné čísla sú čísla so znamienkom mínus (-), napríklad -1, -2, -3. Číta sa ako: mínus jeden, mínus dva, mínus tri.
Príklad aplikácie záporné čísla je teplomer ukazujúci teplotu tela, vzduchu, pôdy alebo vody. AT zimný čas keď je vonku veľmi chladno, teplota je negatívna (alebo, ako sa hovorí, „mínus“).
Napríklad -10 stupňov chladu:
Zvyčajné čísla, ktoré sme uvažovali skôr, ako napríklad 1, 2, 3, sa nazývajú kladné. Kladné čísla sú čísla so znamienkom plus (+).
Pri písaní kladných čísel sa znamienko + nezapisuje, preto vidíme nám známe čísla 1, 2, 3. Treba však mať na pamäti, že tieto kladné čísla vyzerajú takto: +1, + 2, +3.
Obsah lekcieToto je priamka, na ktorej sú umiestnené všetky čísla: záporné aj kladné. Nasledovne:
Tu sú zobrazené čísla od -5 do 5. V skutočnosti je súradnicová čiara nekonečná. Na obrázku je zobrazený len jeho malý fragment.
Čísla na súradnicovej čiare sú označené ako bodky. Na obrázku mastná čierna bodka je východiskovým bodom. Odpočítavanie začína od nuly. Naľavo od referenčného bodu sú označené záporné čísla a napravo kladné čísla.
Súradnicová čiara pokračuje neobmedzene na oboch stranách. Nekonečno sa v matematike označuje symbolom ∞. Záporný smer bude označený symbolom −∞ a pozitívny symbol+∞. Potom môžeme povedať, že všetky čísla od mínus nekonečna do plus nekonečna sa nachádzajú na súradnicovej čiare:
Každý bod na súradnicovej čiare má svoj vlastný názov a súradnicu. názov je akékoľvek latinské písmeno. Koordinovať je číslo, ktoré udáva polohu bodu na tejto priamke. Jednoducho povedané, súradnica je rovnaké číslo, ktoré chceme označiť na súradnicovej čiare.
Napríklad bod A(2) znie ako "bod A so súradnicou 2" a bude označený na súradnicovej čiare takto:
Tu A je názov bodu, 2 je súradnica bodu A.
Príklad 2 Bod B(4) znie takto "bod B na súradnici 4"
Tu B je názov bodu, 4 je súradnica bodu b.
Príklad 3 Bod M(−3) sa číta ako "bod M so súradnicou mínus tri" a bude označený na súradnicovej čiare takto:
Tu M je názov bodu, −3 je súradnica bodu M .
Body môžu byť označené ľubovoľnými písmenami. Je však všeobecne akceptované označovať ich veľkými latinskými písmenami. Navyše začiatok správy, ktorá sa inak nazýva pôvodu zvyčajne sa označuje veľkým písmenom O
Je ľahké vidieť, že záporné čísla ležia naľavo od počiatku a kladné čísla napravo.
Existujú frázy ako "čím viac doľava, tým menej" a "čím viac vpravo, tým viac". Pravdepodobne ste už uhádli, o čom hovoríme. S každým krokom doľava sa číslo bude znižovať smerom nadol. A s každým krokom doprava sa číslo bude zvyšovať. Šípka smerujúca doprava označuje kladný smer počítania.
Porovnanie kladných a záporných čísel
Pravidlo 1 Akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo.
Napríklad porovnajme dve čísla: −5 a 3. Mínus päť menšie ako tri, napriek tomu, že päťka upúta na prvom mieste ako číslo väčšie ako tri.
Je to preto, že −5 je záporné a 3 kladné. Na súradnicovej čiare môžete vidieť, kde sa nachádzajú čísla −5 a 3
Je vidieť, že −5 leží vľavo a 3 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo. Z toho teda vyplýva
−5 < 3
"Mínus päť je menej ako tri"
Pravidlo 2 Z dvoch záporných čísel je menšie to, ktoré sa nachádza vľavo na súradnicovej čiare.
Napríklad porovnajme čísla -4 a -1. mínus štyri menšie ako mínus jedna.
Je to opäť spôsobené tým, že na súradnicovej čiare −4 sa nachádza viac vľavo ako −1
Je vidieť, že -4 leží vľavo a -1 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že z dvoch záporných čísel je to, ktoré sa nachádza vľavo na súradnicovej čiare, menšie. Z toho teda vyplýva
Mínus štyri je menej ako mínus jedna
Pravidlo 3 Nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo.
Napríklad porovnajme 0 a -3. nula viac ako mínus tri. Je to spôsobené tým, že na súradnicovej čiare je 0 umiestnená vpravo ako -3
Je vidieť, že 0 leží vpravo a −3 vľavo. A to sme povedali "čím viac vpravo, tým viac" . A pravidlo hovorí, že nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo. Z toho teda vyplýva
Nula je väčšia ako mínus tri
Pravidlo 4 Nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo.
Napríklad porovnajte 0 a 4. Nula menšie ako 4. V zásade je to jasné a pravdivé. Ale skúsime to vidieť na vlastné oči, opäť na súradnicovej čiare:
Je vidieť, že na súradnicovej čiare je 0 umiestnená vľavo a 4 vpravo. A to sme povedali "čím viac doľava, tým menej" . A pravidlo hovorí, že nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo. Z toho teda vyplýva
Nula je menšia ako štyri
Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie
Sčítanie záporných čísel.
Súčet záporných čísel je záporné číslo. Modul súčtu sa rovná súčtu modulov pojmov.
Pozrime sa, prečo súčet záporných čísel bude tiež záporným číslom. Pomôže nám k tomu súradnicová čiara, na ktorej vykonáme sčítanie čísel -3 a -5. Označme bod na súradnicovej čiare zodpovedajúci číslu -3.
K číslu -3 musíme pridať číslo -5. Kam pôjdeme z bodu zodpovedajúceho číslu -3? To je vpravo, vľavo! Pre 5 jednotlivých segmentov. Bod označíme a napíšeme k nemu zodpovedajúce číslo. Toto číslo je -8.
Takže pri sčítaní záporných čísel pomocou súradnicovej čiary sme vždy vľavo od referenčného bodu, preto je jasné, že výsledkom sčítania záporných čísel je aj záporné číslo.
Poznámka. Sčítali sme čísla -3 a -5, t.j. našiel hodnotu výrazu -3+(-5). Zvyčajne pri sčítaní racionálnych čísel jednoducho zapíšu tieto čísla so svojimi znamienkami, ako keby vypisovali všetky čísla, ktoré je potrebné sčítať. Takýto zápis sa nazýva algebraický súčet. Použite (v našom príklade) záznam: -3-5=-8.
Príklad. Nájdite súčet záporných čísel: -23-42-54. (Súhlasíte s tým, že tento záznam je kratší a pohodlnejší takto: -23+(-42)+(-54))?
My rozhodujeme podľa pravidla sčítania záporných čísel: sčítame moduly výrazov: 23+42+54=119. Výsledok bude so znamienkom mínus.
Zvyčajne to zapisujú takto: -23-42-54 \u003d -119.
Pridávanie čísel pomocou rôzne znamenia.
Súčet dvoch čísel s rôznymi znamienkami má znamienko sčítanky s veľkým modulom. Ak chcete nájsť modul súčtu, musíte odpočítať menší modul od väčšieho modulu.
Vykonajte sčítanie čísel s rôznymi znamienkami pomocou súradnicovej čiary.
1) -4+6. K číslu 6 je potrebné pridať číslo -4. Číslo -4 označíme bodkou na súradnicovej čiare. Číslo 6 je kladné, čo znamená, že od bodu so súradnicou -4 musíme ísť doprava o 6 segmentov jednotky. Skončili sme napravo od začiatku (od nuly) o 2 jednotkové segmenty.
Výsledkom súčtu čísel -4 a 6 je kladné číslo 2:
— 4+6=2. Ako ste mohli získať číslo 2? Odpočítajte 4 od 6, t.j. odpočítať menšie od väčšieho. Výsledok má rovnaké znamienko ako výraz s veľkým modulom.
2) Vypočítajme: -7+3 pomocou súradnicovej čiary. Označíme bod zodpovedajúci číslu -7. Ideme doprava o 3 segmenty jednotiek a získame bod so súradnicou -4. Boli sme a zostali sme naľavo od pôvodu: odpoveď je záporné číslo.
— 7+3=-4. Tento výsledok by sme mohli dostať nasledovne: od väčšieho modulu sme odčítali menší, t.j. 7-3=4. V dôsledku toho bolo znamienko výrazu s väčším modulom nastavené: |-7|>|3|.
Príklady. Vypočítať: a) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.
Pravidlo negatívneho sčítania
Ak si spomeniete na lekciu matematiky a tému „Sčítanie a odčítanie čísel s rôznymi znamienkami“, potom na pridanie dvoch záporných čísel potrebujete:
- vykonať pridanie ich modulov;
- k prijatej sume pridajte znamienko „-“.
Podľa pravidla sčítania môžeme písať:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Pravidlo záporného sčítania platí pre záporné celé čísla, racionálne čísla a reálne čísla.
Príklad 1
Pridajte záporné čísla $-185$ a $-23 \ 789,$
rozhodnutie.
Využime pravidlo sčítania záporných čísel.
Poďme nájsť moduly týchto čísel:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Pridajme výsledné čísla:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Pred nájdené číslo dáme znak $"–"$ a dostaneme $-23 \ 974$.
Stručné riešenie: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.
Odpoveď: $−23 \ 974$.
Pri sčítaní záporných racionálnych čísel ich treba previesť do tvaru prirodzené čísla, obyčajný príp desatinné zlomky.
Príklad 2
Pridajte záporné čísla $-\frac(1)(4)$ a $-7,15$.
rozhodnutie.
Podľa pravidla sčítania záporných čísel musíte najskôr nájsť súčet modulov:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Získané hodnoty je vhodné zredukovať na desatinné zlomky a vykonať ich sčítanie:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Pred prijatú hodnotu dáme znak $"-"$ a dostaneme $-7,4$.
Zhrnutie riešenia:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4$.
Pridanie kladných a záporných čísel:
- vypočítať moduly čísel;
- ak sú rovnaké, pôvodné čísla sú opačné a ich súčet sa rovná nule;
- ak nie sú rovnaké, musíte si zapamätať znamienko čísla, ktorého modul je väčší;
odpočítať menšie od väčšieho;
- pred prijatú hodnotu uveďte znamienko čísla, ktorého modul je väčší.
porovnajte prijaté čísla:
Pridávanie čísel pomocou opačné znamenia sa redukuje na odčítanie od väčšieho kladného čísla menšieho záporného čísla.
Pravidlo sčítania čísel s opačnými znamienkami sa vykonáva pre celé čísla, racionálne a reálne čísla.
Príklad 3
Pridajte čísla $4$ a $-8$.
rozhodnutie.
Musíte pridať čísla s opačnými znamienkami. Použime vhodné pravidlo sčítania.
Poďme nájsť moduly týchto čísel:
Modul čísla $−8$ je väčší ako modul čísla $4$, t.j. zapamätajte si znak $"-"$.
Pred výsledné číslo dáme znak $"–"$, ktorý sme si zapamätali, a dostaneme $-4,$
Zhrnutie riešenia:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Odpoveď: $4+(−8)=−4$.
Na sčítanie racionálnych čísel s opačnými znamienkami je vhodné ich reprezentovať ako obyčajné alebo desatinné zlomky.
Odčítanie čísel s rôznymi a zápornými znamienkami
Pravidlo na odčítanie záporných čísel:
Na odčítanie záporného čísla $b$ od čísla $a$ je potrebné pripočítať k minuendu $a$ číslo $−b$, ktoré je opakom odčítaného $b$.
Podľa pravidla odčítania môžeme písať:
$a−b=a+(−b)$.
Toto pravidlo platí pre celé čísla, racionálne a reálne čísla. Pravidlo možno použiť pri odčítaní záporného čísla od kladného čísla, od záporného čísla a od nuly.
Príklad 4
Od záporného čísla $−28$ odpočítajte záporné číslo $−5$.
rozhodnutie.
Opačné číslo pre číslo $–5$ je číslo $5$.
Podľa pravidla na odčítanie záporných čísel dostaneme:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Sčítajme čísla s opačnými znamienkami:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odpoveď: $(−28)−(−5)=−23$.
Pri odčítaní záporných zlomkových čísel je potrebné čísla previesť do tvaru obyčajných zlomkov, zmiešané čísla alebo desatinné miesta.
Sčítanie a odčítanie čísel s rôznymi znamienkami
Pravidlo pre odčítanie čísel s opačnými znamienkami je rovnaké ako pravidlo pre odčítanie záporných čísel.
Príklad 5
Odčítajte kladné číslo $7$ od záporného čísla $−11$.
rozhodnutie.
Opačné číslo k číslu $7$ je číslo $–7$.
Podľa pravidla na odčítanie čísel s opačnými znamienkami dostaneme:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Pridajme záporné čísla:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Stručné riešenie: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odpoveď: $(−11)−7=−18$.
Pri odčítaní zlomkových čísel s rôznymi znamienkami je potrebné čísla previesť do tvaru obyčajných alebo desatinných zlomkov.
Teraz sa poďme zaoberať násobenie a delenie.
Predpokladajme, že musíme vynásobiť +3 -4. Ako to spraviť?
Uvažujme o takomto prípade. Traja ľudia sa zadĺžili a každý má dlh 4 doláre. Aký je celkový dlh? Aby ste ho našli, musíte zrátať všetky tri dlhy: $ 4 + $ 4 + $ 4 = $ 12. Rozhodli sme sa, že sčítanie troch čísel 4 sa označí ako 3 × 4. Keďže v tomto prípade hovoríme o dlhu, pred 4 je znak „-“. Vieme, že celkový dlh je 12 USD, takže teraz je náš problém 3x(-4)=-12.
Rovnaký výsledok dostaneme, ak podľa stavu problému má každý zo štyroch ľudí dlh 3 doláre. Inými slovami, (+4)x(-3)=-12. A keďže na poradí faktorov nezáleží, dostaneme (-4)x(+3)=-12 a (+4)x(-3)=-12.
Zhrňme si výsledky. Pri vynásobení jedného kladného a jedného záporného čísla bude výsledkom vždy záporné číslo. Číselná hodnota odpovede bude rovnaká ako v prípade kladných čísel. Produkt (+4)x(+3)=+12. Prítomnosť znamienka „-“ ovplyvňuje iba znamienko, ale nemá vplyv na číselnú hodnotu.
Ako vynásobíte dve záporné čísla?
Žiaľ, prísť na vhodný príklad zo života na túto tému je veľmi ťažké. Je ľahké si predstaviť dlh 3 alebo 4 doláre, ale je úplne nemožné si predstaviť, že by sa -4 alebo -3 ľudia dostali do dlhu.
Možno pôjdeme inou cestou. Pri násobení sa zmenou znamienka jedného z faktorov zmení znamienko súčinu. Ak zmeníme znamienka oboch faktorov, musíme znamienka zmeniť dvakrát značka produktu, najprv z pozitívneho na negatívny a potom naopak, z negatívneho na pozitívny, to znamená, že produkt bude mať svoje pôvodné znamenie.
Preto je celkom logické, aj keď trochu zvláštne, že (-3)x(-4)=+12.
Pozícia znaku po vynásobení sa to zmení takto:
- kladné číslo x kladné číslo = kladné číslo;
- záporné číslo x kladné číslo = záporné číslo;
- kladné číslo x záporné číslo = záporné číslo;
- záporné číslo x záporné číslo = kladné číslo.
Inými slovami, vynásobením dvoch čísel rovnakým znamienkom dostaneme kladné číslo. Vynásobením dvoch čísel s rôznymi znamienkami dostaneme záporné číslo.
Rovnaké pravidlo platí aj pre dej opačný ako násobenie – pre.
Môžete si to ľahko overiť spustením operácie inverzného násobenia. Ak v každom z vyššie uvedených príkladov vynásobíte podiel deliteľom, dostanete dividendu a uistite sa, že má rovnaké znamienko, napríklad (-3)x(-4)=(+12).
Keďže sa blíži zima, je čas popremýšľať, do čoho prezliecť svojho železného koňa, aby sa na ľade nešmýkal a na zimných cestách sa cítil sebavedomo. Pneumatiky Yokohama si môžete zobrať napríklad na stránke: mvo.ru alebo nejaké iné, hlavná vec je, že budú kvalitné, viac informácií a ceny nájdete na stránke Mvo.ru.
