Všetky pravidlá so zlomkami a celými číslami. Aké užitočné sú desatinné čísla. Aritmetické operácie s desatinnými zlomkami

Kalkulačka zlomkov vytvorené pre rýchly výpočet operácie so zlomkami, vám pomôžu ľahko sčítať, násobiť, deliť či odčítať zlomky.

Moderní školáci začínajú študovať zlomky už v 5. ročníku a cvičenia s nimi sú každým rokom komplikovanejšie. Matematické pojmy a veličiny, ktoré sa učíme v škole, sú nám v dospelosti málokedy užitočné. Zlomky, na rozdiel od logaritmov a stupňov, sú však v každodennom živote celkom bežné (meranie vzdialenosti, váženie tovaru atď.). Naša kalkulačka je navrhnutá pre rýchle operácie so zlomkami.

Najprv si definujme, čo sú zlomky a čo sú. Zlomky sú pomerom jedného čísla k druhému; je to číslo pozostávajúce z celého počtu zlomkov jednotky.

Typy frakcií:

• Obyčajný
• Desatinné čísla
• zmiešané

Príklad obyčajné zlomky:

Najvyššia hodnota je čitateľ, dolná je menovateľ. Pomlčka nám ukazuje, že horné číslo je deliteľné spodným číslom. Namiesto podobného formátu písania, keď je pomlčka vodorovná, môžete písať inak. Môžete umiestniť šikmú čiaru, napríklad:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Desatinné čísla sú najpopulárnejším typom zlomkov. Pozostávajú z celočíselnej časti a zlomkovej časti, oddelené čiarkou.

Desatinný príklad:

0,2 alebo 6,71 alebo 0,125

Skladá sa z celého čísla a zlomkovej časti. Ak chcete zistiť hodnotu tohto zlomku, musíte pridať celé číslo a zlomok.

Príklad zmiešaných frakcií:

Kalkulačka zlomkov na našej webovej stránke je schopná rýchlo vykonávať akékoľvek matematické operácie so zlomkami online:

• Doplnenie
• Odčítanie
• Násobenie
• divízie

Ak chcete vykonať výpočet, musíte zadať čísla do polí a vybrať akciu. Pri zlomkoch je potrebné vyplniť čitateľa a menovateľa, celé číslo sa nesmie písať (ak je zlomok obyčajný). Nezabudnite kliknúť na tlačidlo „rovná sa“.

Je vhodné, aby kalkulačka okamžite poskytla proces riešenia príkladu so zlomkami, a nie iba hotovú odpoveď. Práve vďaka podrobnému riešeniu môžete tento materiál využiť pri riešení školských úloh a pre lepšie zvládnutie preberanej látky.

Musíte vypočítať príklad:

Po zadaní ukazovateľov do polí formulára dostaneme:

Ak chcete vykonať nezávislý výpočet, zadajte údaje do formulára.

Kalkulačka zlomkov

súvisiace sekcie.

Príklady so zlomkami sú jedným zo základných prvkov matematiky. Je ich veľa odlišné typy rovnice so zlomkami. Nižšie je podrobné pokyny riešením príkladov tohto typu.

Ako riešiť príklady so zlomkami – všeobecné pravidlá

Na riešenie príkladov so zlomkami akéhokoľvek typu, či už ide o sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie, musíte poznať základné pravidlá:

• Ak chcete pridať zlomkové výrazy s rovnakým menovateľom (menovateľ je číslo v spodnej časti zlomku, čitateľ navrchu), musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať rovnaký.
• Aby ste od jedného zlomkového výrazu odčítali druhý (s rovnakým menovateľom), musíte odpočítať ich čitateľov a menovateľa ponechať rovnaký.
• Ak chcete pridať alebo odčítať zlomkové výrazy pomocou rôznych menovateľov, musíme nájsť najmenšieho spoločného menovateľa.
• Ak chcete nájsť zlomkový produkt, musíte vynásobiť čitateľov a menovateľov, a ak je to možné, znížiť ich.
• Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť prvý zlomok prevrátenou sekundou.

Ako riešiť príklady so zlomkami – precvičenie

Pravidlo 1, príklad 1:

Vypočítajte 3/4 + 1/4.

Podľa pravidla 1, ak majú zlomky dvoch (alebo viacerých) rovnakého menovateľa, stačí pridať ich čitateľov. Dostaneme: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ak má zlomok rovnaký čitateľ aj menovateľ, zlomok bude 1.

Odpoveď: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Pravidlo 2, príklad 1:

Vypočítajte: 3/4 - 1/4

Pomocou pravidla číslo 2 na vyriešenie tejto rovnice musíte odpočítať 1 od 3 a menovateľa ponechať rovnaký. Získame 2/4. Keďže dve 2 a 4 sa dajú zmenšiť, zredukujeme a dostaneme 1/2.

Odpoveď: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.

Pravidlo 3, príklad 1

Vypočítajte: 3/4 + 1/6

Riešenie: Pomocou 3. pravidla nájdeme najmenšieho spoločného menovateľa. Najmenší spoločný menovateľ je číslo, ktoré je deliteľné menovateľmi všetkých zlomkových výrazov v príklade. Potrebujeme teda nájsť také minimálne číslo, ktoré bude deliteľné 4 aj 6. Toto číslo je 12. Ako menovateľ napíšeme 12. 12 delíme menovateľom prvého zlomku, dostaneme 3, vynásobíme 3 zapíšeme 3 do čitateľa *3 a znamienko +. Delíme 12 menovateľom druhého zlomku, dostaneme 2, 2 vynásobíme 1, do čitateľa napíšeme 2 * 1. Takže sme dostali nový zlomok s menovateľom rovným 12 a čitateľom rovným 3*3+2*1=11. 11/12.

Odpoveď: 11.12

Pravidlo 3, príklad 2:

Vypočítajte 3/4 - 1/6. Tento príklad je veľmi podobný predchádzajúcemu. Robíme všetky rovnaké akcie, ale v čitateli namiesto znamienka + napíšeme znamienko mínus. Dostaneme: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Odpoveď: 7/12

Pravidlo 4, príklad 1:

Vypočítajte: 3/4 * 1/4

Pomocou štvrtého pravidla vynásobíme menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého. 3*1/4*4 = 3/16.

Odpoveď: 3/16

Pravidlo 4, Príklad 2:

Vypočítajte 2/5 * 10/4.

Táto frakcia sa môže znížiť. Pri súčine sa zmenšuje čitateľ prvého zlomku a menovateľ druhého zlomku a čitateľ druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku.

2 sa zmenší zo 4. 10 sa zmenší z 5. dostaneme 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.

Odpoveď: 2/5 * 10/4 = 1

Pravidlo 5, príklad 1:

Vypočítajte: 3/4: 5/6

Pomocou 5. pravidla dostaneme: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Zlomok zredukujeme podľa princípu predchádzajúceho príkladu a dostaneme 9/10.

Odpoveď: 9/10.

Ako riešiť príklady zlomkov – zlomkové rovnice

Zlomkové rovnice sú príklady, kde menovateľ obsahuje neznámu. Na vyriešenie takejto rovnice musíte použiť určité pravidlá.

Zvážte príklad:

Vyriešte rovnicu 15/3x+5 = 3

Pripomeňme, že nemôžete deliť nulou, t.j. hodnota menovateľa nesmie byť nula. Pri riešení takýchto príkladov to treba uviesť. K tomu je tu ODZ (rozsah prijateľných hodnôt).

Takže 3x+5 ≠ 0.
Preto: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Pre x = 5/3 rovnica jednoducho nemá riešenie.

Uvedením ODZ, najlepším možným spôsobom vyriešením tejto rovnice sa zbavíte zlomkov. Aby sme to dosiahli, najprv zadáme všetky nezlomkové hodnoty ako zlomok, v tomto prípade číslo 3. Dostaneme: 15/(3x+5) = 3/1. Aby ste sa zbavili zlomkov, musíte každý z nich vynásobiť najmenším spoločným menovateľom. V tomto prípade by to bolo (3x+5)*1. Sekvenovanie:

1. Vynásobte 15/(3x+5) číslom (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Rozbaľte zátvorky: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. To isté urobíme s pravou stranou rovnice: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Prirovnajte ľavú a pravú stranu: 45x + 75 = 9x +15
5. Presuňte x doľava, čísla doprava: 36x = -50
6. Nájdite x: x = -50/36.
7. Znižujeme: -50/36 = -25/18

Odpoveď: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Ako riešiť príklady so zlomkami - zlomkové nerovnice

Pomocou číselnej osi sa riešia zlomkové nerovnosti typu (3x-5)/(2-x)≥0. Zvážte uvedený príklad.

Sekvenovanie:

• Priraďte čitateľa a menovateľa k nule: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Nakreslíme číselnú os a nakreslíme na ňu výsledné hodnoty.
• Nakreslite kruh pod hodnotou. Kruh je dvojakého druhu – vyplnený a prázdny. Vyplnený kruh znamená, že táto hodnota je zahrnutá v rozsahu riešení. Prázdny kruh znamená, že táto hodnota nie je zahrnutá v rozsahu riešení.
• Keďže menovateľ nemôže byť nula, pod 2. bude prázdny kruh.

• Na určenie znamienok dosadíme do rovnice ľubovoľné číslo väčšie ako dva, napríklad 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. hodnota je záporná, preto zapíšeme mínus nad oblasťou za dvojkou. Potom namiesto x dosadíme ľubovoľnú hodnotu intervalu od 5/3 do 2, napríklad 1. Hodnota je opäť záporná. Píšeme mínus. To isté opakujeme s plochou do 5/3. Dosadíme ľubovoľné číslo menšie ako 5/3, napríklad 1. Opäť mínus.

• Keďže nás zaujímajú hodnoty x, pri ktorých bude výraz väčší alebo rovný 0 a takéto hodnoty neexistujú (všade zápory), táto nerovnosť nemá riešenie, t.j. x = Ø (prázdna množina).

Odpoveď: x = Ø

V článku si ukážeme ako riešiť zlomky s jednoduchými jasnými príkladmi. Poďme pochopiť, čo je zlomok a zvážiť riešenie zlomkov!

koncepcie zlomky sa zavádza do predmetu matematiky od 6. ročníka strednej školy.

Zlomky vyzerajú takto: ±X / Y, kde Y je menovateľ, hovorí, na koľko častí bol celok rozdelený, a X je čitateľ, hovorí, koľko takýchto častí bolo prevzatých. Pre prehľadnosť si uveďme príklad s koláčom:

V prvom prípade sa torta prekrojila rovnako a odobrala sa jedna polovica, t.j. 1/2. V druhom prípade sa torta rozrezala na 7 častí, z ktorých sa odobrali 4 časti, t.j. 7. 4.

Ak časť delenia jedného čísla druhým nie je celé číslo, zapíše sa ako zlomok.

Napríklad výraz 4:2 \u003d 2 dáva celé číslo, ale 4:7 nie je úplne deliteľné, takže tento výraz je napísaný ako zlomok 4/7.

Inými slovami zlomok je výraz, ktorý označuje delenie dvoch čísel alebo výrazov a ktorý sa píše s lomkou.

Ak je čitateľ menší ako menovateľ, zlomok je správny, ak naopak, je nesprávny. Zlomok môže obsahovať celé číslo.

Napríklad 5 celých 3/4.

Tento záznam znamená, že na získanie celých 6 nestačí jedna časť zo štyroch.

Ak si chcete zapamätať ako riešiť zlomky pre 6. ročník musíš tomu rozumieť riešenie zlomkov v podstate ide o pochopenie niekoľkých jednoduchých vecí.

• Zlomok je v podstate výraz pre zlomok. Teda číselné vyjadrenie toho, aká časť je daná hodnota z jedného celku. Napríklad zlomok 3/5 vyjadruje, že ak niečo celé rozdelíme na 5 častí a počet častí alebo častí tohto celku je tri.
• Zlomok môže byť menší ako 1, napríklad 1/2 (alebo v podstate polovica), potom je to správne. Ak je zlomok väčší ako 1, napríklad 3/2 (tri polovice alebo jeden a pol), tak je to nesprávne a pre zjednodušenie riešenia je pre nás lepšie vybrať celú časť 3/2= 1 celok 1 /2.
• Zlomky sú rovnaké čísla ako 1, 3, 10 a dokonca aj 100, len čísla nie sú celé, ale zlomkové. S nimi môžete vykonávať všetky rovnaké operácie ako s číslami. Počítanie zlomkov nie je zložitejšie a ďalej konkrétne príklady ukážeme to.

Ako riešiť zlomky. Príklady.

Na zlomky sa dajú použiť rôzne aritmetické operácie.

Privedenie zlomku k spoločnému menovateľovi

Napríklad musíte porovnať zlomky 3/4 a 4/5.

Na vyriešenie problému najprv nájdeme najnižšieho spoločného menovateľa, t.j. najmenšie číslo, ktorý je bezo zvyšku deliteľný každým z menovateľov zlomkov

Najmenší spoločný menovateľ (4,5) = 20

Potom sa menovateľ oboch zlomkov zredukuje na najmenší spoločný menovateľ

Odpoveď: 15/20

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Ak je potrebné vypočítať súčet dvoch zlomkov, najskôr sa privedú k spoločnému menovateľovi, potom sa pridajú čitatelia, pričom menovateľ zostáva nezmenený. Rozdiel zlomkov sa zvažuje podobným spôsobom, jediný rozdiel je v tom, že čitatelia sa odčítajú.

Napríklad musíte nájsť súčet zlomkov 1/2 a 1/3

Teraz nájdite rozdiel medzi zlomkami 1/2 a 1/4

Násobenie a delenie zlomkov

Tu je riešenie zlomkov jednoduché, tu je všetko celkom jednoduché:

• Násobenie – čitatelia a menovatelia zlomkov sa medzi sebou násobia;
• Delenie - najprv dostaneme zlomok, prevrátenú druhú zlomok, t.j. zameníme jeho čitateľa a menovateľa, po čom výsledné zlomky vynásobíme.

Napríklad:

Na tomto o ako riešiť zlomky, všetky. Ak máte akékoľvek otázky týkajúce sa riešenie zlomkov, niečo nie je jasné, napíšte do komentárov a my vám odpovieme.

Ak ste učiteľ, je možné si prezentáciu stiahnuť pre Základná škola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) príde vhod.

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Sčítanie zlomkov je dvoch typov:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Začnime sčítaním zlomkov s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridáme čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď sa ukázala nie správny zlomok. Ak príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nesprávnej frakcie, musíte v nej vybrať celú časť. V našom prípade je celá časť pridelená jednoducho - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pízz, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak pridáte pizzu na pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú a viac pizze.

Ako vidíte, pridávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je ťažké. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítaní zlomkov musia byť menovatelia týchto zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať naraz, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes zvážime iba jednu z nich, pretože ostatné metódy sa pre začiatočníka môžu zdať komplikované.

Podstata tejto metódy spočíva v tom, že sa najprv hľadajú (LCM) menovatele oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhým zlomkom - LCM sa vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor.

Potom sa čitatelia a menovatelia zlomkov vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajte frakcie a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz späť k zlomkom a . Najprv vydelíme LCM menovateľom prvého zlomku a získame prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným faktorom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobíme malú šikmú čiaru nad zlomkom a nad ním zapíšeme nájdený dodatočný faktor:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným faktorom. Napíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru nad druhým zlomkom a nad ňu napíšeme nájdený ďalší faktor:

Teraz sme všetci pripravení pridať. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Tým sa príklad končí. Ak chcete pridať, ukazuje sa.

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením zlomkov a do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými plátkami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý obrázok ukazuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Zložením týchto kúskov dostaneme (sedem kúskov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme v ňom zvýraznili celočíselnú časť. Výsledok bol (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Všimnite si, že sme tento príklad namaľovali príliš podrobne. AT vzdelávacie inštitúcie nebýva zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo znásobiť dodatočné faktory nájdené vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:

Je tu však aj druhá strana mince. Ak sa v prvých fázach štúdia matematiky nerobia podrobné poznámky, potom otázky tohto druhu "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok;
3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime vyššie uvedené pokyny.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. 12 vydelíme 3, dostaneme 4. Získame druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Získame tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov vašimi ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme našimi ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva pridať tieto zlomky. Sčítať:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, tak sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, prenesie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadka a na začiatok je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Nový riadok. Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa odpoveď ukázala ako nesprávny zlomok, vyberte v nej celú časť

Naša odpoveď je nesprávny zlomok. Musíme vyčleniť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostal som odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Na vyriešenie tohto príkladu je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa nezmenený. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:

Ako vidíte, pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
2. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Napríklad zlomok možno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Zlomok však nemožno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza podľa rovnakého princípu, aký sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez prvý zlomok. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez druhý zlomok.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz späť k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Štvorku napíšeme nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM delíme menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Cez druhý zlomok napíšeme trojku:

Teraz sme všetci pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Dostal som odpoveď

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak nakrájate pizzu z pizze, dostanete pizzu.

Toto je podrobná verzia riešenia. Byť v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov a na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením týchto zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké zlomky (redukované na rovnakého menovateľa):

Prvý obrázok ukazuje zlomok (osem kusov z dvanástich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy z dvanástich). Odrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich najprv musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 číslom 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok a zdá sa, že nám všetko vyhovuje, ale je príliš ťažkopádna a škaredá. Mali by sme to uľahčiť. čo sa dá robiť Tento zlomok môžete znížiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (gcd) číslami 20 a 30.

Nájdeme teda GCD čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným GCD, teda 10

Dostal som odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a menovateľa ponechať rovnaký.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Vstup možno chápať tak, že si vezmete polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu 1 krát, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene násobiteľa a násobiteľa, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako odber polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete pizzu 4-krát, dostanete dve celé pizze.

A ak miestami zameníme násobilku a násobiteľa, dostaneme výraz. Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak je odpoveďou nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostal som odpoveď. Je žiaduce znížiť daný zlomok. Zlomok možno zmenšiť o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu podobu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako odobrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kúskov:

Dáme si pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:

Jeden plátok z tejto pizze a dva plátky, ktoré sme odobrali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto je hodnota výrazu

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok, ale bude dobré, ak sa zníži. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločný deliteľ(gcd) čísla 105 a 450.

Takže nájdime GCD čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede na GCD, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . Z toho päť nezmení svoj význam, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako viete, sa rovná piatim:

Obrátené čísla

Teraz sa zoznámime s veľmi zaujímavou témou z matematiky. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jednotku.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že môžete. Predstavme päť ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, len prevrátený:

Aký bude výsledok? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo, pretože keď sa 5 vynásobí jednotkou, dostaneme jednotku.

Prevrátenú hodnotu možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu pre akýkoľvek iný zlomok. K tomu ho stačí otočiť.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Obrátené čísla umožňujú nahradiť delenie násobením.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.

Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.

Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Dividenda je tu zlomok a deliteľ je 2.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť