Našu úvahu o tejto téme začneme štúdiom pojmu zlomok ako celku, čo nám poskytne úplnejšie pochopenie významu obyčajného zlomku. Uveďme hlavné pojmy a ich definíciu, naštudujme si tému v geometrickom výklade, t.j. na súradnicovej čiare a tiež definujte zoznam základných akcií so zlomkami.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Akcie celku
Predstavte si predmet pozostávajúci z niekoľkých, úplne rovnakých častí. Môže to byť napríklad pomaranč pozostávajúci z niekoľkých rovnakých plátkov.
Definícia 1
Podiel celku alebo podiel je každá z rovnakých častí, ktoré tvoria celý objekt.
Je zrejmé, že podiely môžu byť rôzne. Na jasné vysvetlenie tohto tvrdenia si predstavte dve jablká, z ktorých jedno je nakrájané na dve rovnaké časti a druhé na štyri. Je jasné, že veľkosť výsledných podielov pre rôzne jablká sa bude líšiť.
Akcie majú svoje názvy, ktoré závisia od počtu akcií, ktoré tvoria celý subjekt. Ak má položka dve časti, potom každá z nich bude definovaná ako jedna druhá časť tejto položky; keď sa predmet skladá z troch častí, potom je každá z nich jedna tretina atď.
Definícia 2
Polovicu- jedna druhá časť predmetu.
Po tretie- jedna tretina predmetu.
Štvrťrok- jedna štvrtina predmetu.
Pre skrátenie záznamu bol zavedený tento zápis akcií: polovičný - 12 alebo 1/2; tretí - 1 3 alebo 1/3; jedna štvrtina podielu 1 4 alebo 1/4 a tak ďalej. Častejšie sa používajú záznamy s vodorovnou čiarou.
Pojem podiel sa prirodzene rozširuje od objektov k veličinám. Takže môžete použiť zlomky metra (jedna tretina alebo jedna stotina) na meranie malých predmetov ako jednu z jednotiek dĺžky. Podiely iných množstiev možno uplatniť podobným spôsobom.
Bežné zlomky, definícia a príklady
Na opis počtu podielov sa používajú obyčajné zlomky. Uvažujme o jednoduchom príklade, ktorý nám priblíži definíciu obyčajného zlomku.
Predstavte si pomaranč pozostávajúci z 12 plátkov. Každý podiel potom bude - jedna dvanástina alebo 1/12. Dva podiely - 2/12; tri podiely - 3/12 atď. Všetkých 12 častí alebo celé číslo by vyzeralo takto: 12/12 . Každý zo záznamov použitých v príklade je príkladom bežného zlomku.
Definícia 3
Bežný zlomok je záznam o tlačive m n alebo m / n , kde m a n sú ľubovoľné prirodzené čísla.
Podľa tejto definície môžu byť príkladmi obyčajných zlomkov položky: 4/9, 1134, 91754. A tieto záznamy: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 nie sú obyčajné zlomky.
Čitateľ a menovateľ
Definícia 4čitateľ spoločný zlomok m n alebo m / n je prirodzené číslo m .
menovateľ spoločný zlomok m n alebo m / n je prirodzené číslo n .
Tie. čitateľ je číslo nad čiarou obyčajného zlomku (alebo vľavo od lomky) a menovateľ je číslo pod čiarou (napravo od lomky).
Čo znamená čitateľ a menovateľ? Menovateľ obyčajného zlomku udáva, z koľkých podielov pozostáva jedna položka, a čitateľ nám dáva informáciu o tom, koľko takýchto podielov sa berie do úvahy. Napríklad bežný zlomok 7 54 nám naznačuje, že určitý predmet pozostáva z 54 akcií a za protihodnotu sme vzali 7 takýchto akcií.
Prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1
Menovateľ obyčajného zlomku sa môže rovnať jednej. V tomto prípade je možné povedať, že uvažovaný predmet (hodnota) je nedeliteľný, je niečím celistvým. Čitateľ v takomto zlomku bude udávať, koľko takýchto položiek sa vezme, t.j. obyčajný zlomok tvaru m 1 má význam prirodzeného čísla m . Toto tvrdenie slúži ako odôvodnenie rovnosti m 1 = m .
Poslednú rovnosť zapíšeme takto: m = m 1 . Dá nám to možnosť použiť akékoľvek prirodzené číslo v tvare obyčajného zlomku. Napríklad číslo 74 je obyčajný zlomok tvaru 74 1 .
Definícia 5
Akékoľvek prirodzené číslo m možno zapísať ako obyčajný zlomok, kde menovateľ je jedna: m 1 .
Na druhej strane, každý obyčajný zlomok tvaru m 1 môže byť reprezentovaný prirodzeným číslom m .
Zlomkový stĺpec ako deliaci znak
Vyššie uvedené znázornenie daného objektu ako n akcií nie je nič iné ako rozdelenie na n rovnakých častí. Keď je objekt rozdelený na n častí, máme možnosť rozdeliť ho rovným dielom medzi n ľudí – každý dostane svoj podiel.
V prípade, že na začiatku máme m identických objektov (každý rozdelený na n častí), potom týchto m objektov možno rovnomerne rozdeliť medzi n ľudí, pričom každému z nich pripadne jeden podiel z každého z m objektov. V tomto prípade bude mať každá osoba m podielov 1 n a m podielov 1 n dá obyčajný zlomok m n . Preto spoločný zlomok m n možno použiť na vyjadrenie rozdelenia m položiek medzi n ľudí.
Výsledný výrok vytvára spojenie medzi obyčajnými zlomkami a delením. A tento vzťah možno vyjadriť nasledovne : znakom delenia je možné myslieť čiaru zlomku, t.j. m/n=m:n.
Pomocou obyčajného zlomku vieme zapísať výsledok delenia dvojkou prirodzené čísla. Napríklad rozdelenie 7 jabĺk 10 ľuďmi bude napísané ako 7 10: každý dostane sedem desatín.
Rovné a nerovnaké spoločné zlomky
Logickým krokom je porovnávanie obyčajných zlomkov, pretože je zrejmé, že napríklad 1 8 jablka je iné ako 7 8 .
Výsledok porovnávania obyčajných zlomkov môže byť: rovnaký alebo nerovnaký.
Definícia 6
Rovné spoločné zlomky sú obyčajné zlomky a b a c d , pre ktoré platí rovnosť: a d = b c .
Nerovnaké bežné zlomky- obyčajné zlomky a b a c d , pre ktoré neplatí rovnosť: a · d = b · c.
Príklad rovnakých zlomkov: 1 3 a 4 12 - pretože rovnosť 1 12 \u003d 3 4 je pravdivá.
V prípade, že sa ukáže, že zlomky sa nerovnajú, treba väčšinou aj zistiť, ktorý z daných zlomkov je menší a ktorý väčší. Na zodpovedanie týchto otázok sa porovnávajú bežné zlomky tak, že sa privedú k spoločnému menovateľovi a potom sa porovnajú čitateľa.
Zlomkové čísla
Každý zlomok je záznamom zlomkového čísla, ktoré je v skutočnosti len „škrupinou“, vizualizáciou sémantického zaťaženia. Pre pohodlie však kombinujeme pojmy zlomok a zlomkové číslo, jednoducho povedané - zlomok.
Všetky zlomkové čísla, ako každé iné číslo, majú svoje vlastné jedinečné umiestnenie súradnicový lúč: medzi zlomkami a bodmi súradnicového lúča existuje zhoda jedna k jednej.
Aby sme našli bod na súradnicovom lúči, označujúci zlomok m n , je potrebné odložiť m segmentov v kladnom smere od začiatku súradníc, pričom dĺžka každého z nich bude 1 n zlomok jednotkového segmentu. Segmenty možno získať rozdelením jedného segmentu na n identických častí.
Ako príklad si označme bod M na súradnicovom lúči, ktorý zodpovedá zlomku 14 10 . Dĺžka úsečky, ktorej konce je bod O a najbližší bod označený malým ťahom, sa rovná 1 10 zlomkom jednotkovej úsečky. Bod zodpovedajúci zlomku 14 10 sa nachádza vo vzdialenosti od začiatku súradníc vo vzdialenosti 14 takýchto segmentov.
Ak sú zlomky rovnaké, t.j. zodpovedajú rovnakému zlomkovému číslu, potom tieto zlomky slúžia ako súradnice toho istého bodu na súradnicovom lúči. Napríklad súradnice vo forme rovnakých zlomkov 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 zodpovedajú rovnakému bodu na súradnicovom lúči, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti tretiny segmentu jednotky, odloženého od pôvod v pozitívnom smere.
Funguje tu rovnaký princíp ako pri celých číslach: na vodorovnom lúči súradníc nasmerovanom doprava bude bod, ktorému zodpovedá veľký zlomok, umiestnený napravo od bodu, ktorému zodpovedá menší zlomok. A naopak: bod, ktorého súradnica je menší zlomok, bude umiestnený naľavo od bodu, ktorý zodpovedá väčšej súradnici.
Vlastné a nevlastné zlomky, definície, príklady
Rozdelenie zlomkov na vlastné a nevlastné je založené na porovnaní čitateľa a menovateľa v rámci toho istého zlomku.
Definícia 7
Správny zlomok je obyčajný zlomok, v ktorom je čitateľ menší ako menovateľ. Teda ak nerovnosť m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.
Nesprávny zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi. To znamená, že ak je nedefinovaná nerovnosť pravdivá, potom obyčajný zlomok m n je nevlastný.
Tu je niekoľko príkladov: - správne zlomky:
Príklad 1
5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;
Nesprávne zlomky:
Príklad 2
13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .
Je tiež možné uviesť definíciu vlastných a nevlastných zlomkov na základe porovnania zlomku s jednotkou.
Definícia 8
Správny zlomok je bežný zlomok, ktorý je menší ako jedna.
Nesprávny zlomok je spoločný zlomok rovný alebo väčší ako jedna.
Správny je napríklad zlomok 8 12, pretože 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 a 1414 = 1.
Poďme trochu hlbšie do úvahy, prečo sa zlomky, v ktorých je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, nazývajú „nevlastné“.
Zoberme si nesprávny zlomok 8 8: hovorí nám, že sa vezme 8 častí objektu pozostávajúceho z 8 častí. Z dostupných ôsmich podielov teda môžeme poskladať celý objekt, t.j. daný zlomok 8 8 v podstate predstavuje celý objekt: 8 8 \u003d 1. Zlomky, v ktorých sú čitateľ a menovateľ rovnaký, plne nahrádzajú prirodzené číslo 1.
Zvážte aj zlomky, v ktorých čitateľ prevyšuje menovateľa: 11 5 a 36 3 . Je jasné, že zlomok 11 5 naznačuje, že z toho môžeme urobiť dva celé predmety a stále z toho bude jedna pätina. Tie. zlomok 11 5 sú 2 predmety a z toho ďalších 1 5. 36 3 je zlomok, čo v podstate znamená 12 celých predmetov.
Tieto príklady nám umožňujú dospieť k záveru nesprávne zlomky je možné nahradiť prirodzenými číslami (ak je čitateľ deliteľný menovateľom bezo zvyšku: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) alebo súčtom prirodzeného čísla a vlastného zlomku (ak čitateľ nie je deliteľné menovateľom bezo zvyšku: 11 5 \u003d 2 + 1 5). Pravdepodobne preto sa takéto zlomky nazývajú „nesprávne“.
Aj tu sa stretávame s jednou z najdôležitejších číselných zručností.
Definícia 9
Extrahovanie časti celého čísla z nesprávneho zlomku je nevlastný zlomok zapísaný ako súčet prirodzeného čísla a vlastného zlomku.
Všimnite si tiež, že medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami existuje úzky vzťah.
Pozitívne a negatívne zlomky
Vyššie sme povedali, že každý obyčajný zlomok zodpovedá kladnému zlomkovému číslu. Tie. obyčajné zlomky sú kladné zlomky. Napríklad zlomky 5 17 , 6 98 , 64 79 sú kladné a keď je potrebné zdôrazniť „kladnosť“ zlomku, zapíše sa pomocou znamienka plus: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .
Ak obyčajnému zlomku priradíme znamienko mínus, tak výsledný záznam bude záznamom záporného zlomkového čísla a v tomto prípade hovoríme o záporných zlomkoch. Napríklad - 8 17 , - 78 14 atď.
Kladné a záporné zlomky m n a - m n sú opačné čísla, napríklad zlomky 7 8 a - 7 8 sú opačné.
Kladné zlomky, ako všetky kladné čísla vo všeobecnosti, znamenajú sčítanie, zmenu smerom nahor. Záporné zlomky zase zodpovedajú spotrebe, čo je zmena v smere poklesu.
Ak vezmeme do úvahy súradnicovú čiaru, uvidíme, že záporné zlomky sa nachádzajú naľavo od referenčného bodu. Body, ktorým zodpovedajú zlomky, ktoré sú opačné (m n a - m n), sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od začiatku súradníc O, ale pozdĺž rôzne strany od nej.
Tu tiež samostatne hovoríme o zlomkoch písaných v tvare 0 n . Takýto zlomok sa rovná nule, t.j. 0 n = 0.
Zhrnutím všetkého vyššie uvedeného sme sa dostali k najdôležitejšiemu konceptu racionálnych čísel.
Definícia 10
Racionálne čísla je množina kladných zlomkov, záporných zlomkov a zlomkov tvaru 0 n .
Akcie so zlomkami
Uveďme si základné operácie so zlomkami. Vo všeobecnosti je ich podstata rovnaká ako zodpovedajúce operácie s prirodzenými číslami
- Porovnanie zlomkov – túto akciu sme rozobrali vyššie.
- Sčítanie zlomkov - výsledkom sčítania obyčajných zlomkov je obyčajný zlomok (v konkrétnom prípade zmenšený na prirodzené číslo).
- Odčítanie zlomkov je dej, opak sčítania, kedy sa z jedného známeho zlomku a daného súčtu zlomkov určí neznámy zlomok.
- Násobenie zlomkov – tento úkon možno opísať ako hľadanie zlomku zo zlomku. Výsledkom vynásobenia dvoch obyčajných zlomkov je obyčajný zlomok (v konkrétnom prípade rovný prirodzenému číslu).
- Delenie zlomkov - akcia, recipročné násobenie, kedy určíme zlomok, ktorým je potrebné daný vynásobiť, aby sme získali známy súčin dvoch zlomkov.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Časť jednotky alebo niekoľko jej častí sa nazýva jednoduchý alebo obyčajný zlomok. Počet rovnakých častí, na ktoré je jednotka rozdelená, sa nazýva menovateľ a počet prevzatých častí sa nazýva čitateľ. Zlomok sa zapisuje takto:
V tomto prípade a je čitateľ, b je menovateľ.
Ak je čitateľ menší ako menovateľ, potom je zlomok menší ako 1 a nazýva sa správny zlomok. Ak je čitateľ väčší ako menovateľ, potom je zlomok väčší ako 1, zlomok sa nazýva nesprávny zlomok.
Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku rovnajú, zlomok sa rovná.
1. Ak možno čitateľa deliť menovateľom, potom sa tento zlomok rovná podielu delenia:
Ak sa delenie vykoná so zvyškom, potom môže byť tento nesprávny zlomok reprezentovaný zmiešaným číslom, napríklad:
Potom 9 je neúplný kvocient (celočíselná časť zmiešaného čísla),
1 - zvyšok (čitateľ zlomkovej časti),
5 je menovateľ.
Ak chcete previesť zmiešané číslo na zlomok, vynásobte celú časť zmiešaného čísla menovateľom a pridajte čitateľa zlomkovej časti.
Získaný výsledok bude čitateľom obyčajného zlomku a menovateľ zostane rovnaký.
Akcie so zlomkami
Rozšírenie frakcie. Hodnota zlomku sa nemení, ak sa jeho čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým nenulovým číslom.
napríklad:
Zníženie frakcií. Hodnota zlomku sa nemení, ak je jeho čitateľ a menovateľ delený rovnakým nenulovým číslom.
napríklad: 
Porovnanie zlomkov. Z dvoch zlomkov s rovnakým čitateľom je väčší zlomok s menším menovateľom:
Z dvoch zlomkov s rovnakými menovateľmi je ten s väčším čitateľom väčší:
Na porovnanie zlomkov, ktoré majú rôznych čitateľov a menovateľov, je potrebné ich rozšíriť, to znamená priviesť ich k spoločnému menovateľovi. Zvážte napríklad tieto zlomky: 
Sčítanie a odčítanie zlomkov. Ak sú menovatelia zlomkov rovnaké, potom na sčítanie zlomkov je potrebné sčítať ich čitateľov a na odčítanie zlomkov je potrebné odčítať ich čitateľov. Výsledný súčet alebo rozdiel bude čitateľom výsledku, pričom menovateľ zostane rovnaký. Ak sú menovatelia zlomkov rozdielne, musíte zlomky najskôr zredukovať na spoločného menovateľa. Pri pridávaní zmiešaných čísel sa ich celočíselné a zlomkové časti pridávajú oddelene. Pri odčítaní zmiešaných čísel ich musíte najskôr previesť do tvaru nesprávnych zlomkov, potom odpočítať od seba a potom znova uviesť výsledok, ak je to potrebné, do tvaru zmiešaného čísla.
Násobenie zlomkov. Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene a rozdeliť prvý produkt druhým.
Delenie zlomkov. Ak chcete deliť číslo zlomkom, musíte toto číslo vynásobiť jeho prevrátenou hodnotou.
Desatinné je výsledkom delenia jedna desiatimi, stovkami, tisíckami atď. časti. Najprv sa napíše celá časť čísla, potom sa vpravo umiestni desatinná čiarka. Prvá číslica za desatinnou čiarkou znamená počet desatín, druhá - počet stotín, tretia - počet tisícin atď. Čísla za desatinnou čiarkou sa nazývajú desatinné miesta.
Napríklad: 
Desatinné vlastnosti
Vlastnosti:
- Desatinný zlomok sa nemení, ak sa vpravo pridajú nuly: 4,5 = 4,5000.
- Desatinný zlomok sa nezmení, ak sa odstránia nuly umiestnené na konci desatinného zlomku: 0,0560000 = 0,056.
- Desatinné číslo sa zvyšuje na 10, 100, 1000 atď. krát, ak posuniete desatinnú čiarku na jeden, dva, tri atď. pozície vpravo: 4,5 45 (zlomok sa zvýšil 10-krát).
- Desatinné číslo sa zníži o 10, 100, 1000 atď. krát, ak posuniete desatinnú čiarku na jeden, dva, tri atď. pozície vľavo: 4,5 0,45 (podiel sa znížil 10-krát).
Periodická desatinná čiarka obsahuje nekonečne sa opakujúcu skupinu číslic nazývanú bodka: 0,321321321321…=0,(321)
Operácie s desatinnými miestami
Sčítanie a odčítanie desatinných miest sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie a odčítanie celých čísel, len je potrebné zapísať príslušné desatinné miesta pod seba.
Napríklad:
Násobenie desatinných zlomkov sa vykonáva v niekoľkých fázach:
- Vynásobte desatinné miesta ako celé čísla, pričom sa ignoruje desatinná čiarka.
- Platí pravidlo: počet desatinných miest v súčine sa rovná súčtu desatinných miest vo všetkých faktoroch.
napríklad:
Súčet počtov desatinných miest vo faktoroch je: 2+1=3. Teraz musíte spočítať 3 číslice od konca výsledného čísla a dať desatinnú čiarku: 0,675.
Delenie desatinných miest. Delenie desatinného čísla celým číslom: ak je dividenda menší deliteľ, potom musíte do celočíselnej časti podielu napísať nulu a za ňu vložiť desatinnú čiarku. Potom bez zohľadnenia desatinnej čiarky dividendy pridajte ďalšiu číslicu zlomkovej časti k jej celočíselnej časti a znova porovnajte výslednú celú časť dividendy s deliteľom. Ak je nové číslo opäť menšie ako deliteľ, treba operáciu zopakovať. Tento proces sa opakuje, kým výsledná dividenda nie je väčšia ako deliteľ. Potom sa vykoná delenie ako v prípade celých čísel. Ak je delenec väčší alebo rovný deliteľovi, najprv vydelíme jeho celú časť, výsledok delenia zapíšeme do podielu a dáme desatinnú čiarku. Potom delenie pokračuje ako v prípade celých čísel.
Rozdelenie jedného desatinného zlomku na druhý: najskôr sa desatinné miesta v deliteľovi a deliteľovi prenesú počtom desatinných miest v deliteľovi, to znamená, že deliteľa urobíme celým číslom a vykonajú sa vyššie opísané akcie.
Aby sme mohli previesť desatinný zlomok na obyčajný, je potrebné vziať ako čitateľ číslo za desatinnou čiarkou a ako menovateľ vziať k-tu mocninu desiatich (k je počet desatinných miest). Nenulová celá časť je zachovaná v spoločnom zlomku; nulová celočíselná časť je vynechaná.
Napríklad: 
Aby bolo možné previesť obyčajný zlomok na desatinné miesto, je potrebné rozdeliť čitateľa menovateľom v súlade s pravidlami delenia.
Percento je stotina jednotky, napríklad: 5 % znamená 0,05. Pomer je podiel delenia jedného čísla druhým. Proporcia je rovnosť dvoch pomerov.
Napríklad:
Hlavná vlastnosť podielu: súčin krajných členov podielu sa rovná súčinu jeho stredných členov, to znamená 5x30 = 6x25. Dve vzájomne závislé veličiny sa nazývajú proporcionálne, ak pomer ich veličín zostane nezmenený (koeficient proporcionality).
Odhalia sa teda nasledujúce aritmetické operácie.
Napríklad:
Sada racionálnych čísel obsahuje kladné a záporné čísla (celé a zlomkové) a nulu. Viac presná definícia racionálne čísla, akceptované v matematike, nasledovné: číslo sa nazýva racionálne, ak ho možno znázorniť ako obyčajný neredukovateľný zlomok tvaru:, kde a a b sú celé čísla.
Pre záporné číslo absolútna hodnota (modul) je kladné číslo získané zmenou jeho znamienka z „-“ na „+“; pre kladné číslo a nula je samotné číslo. Na označenie modulu čísla sa používajú dve rovné čiary, v ktorých je toto číslo napísané, napríklad: |–5|=5.
Vlastnosti absolútnej hodnoty
Nech je daný modul čísla 
, pre ktoré platia vlastnosti: 
Monomial je súčinom dvoch alebo viacerých faktorov, z ktorých každý je buď číslo, alebo písmeno, alebo mocnina písmena: 3 x a x b. Koeficient sa najčastejšie nazýva iba číselný faktor. O monomoch sa hovorí, že sú podobné, ak sú rovnaké alebo sa líšia iba koeficientmi. Stupeň jednočlena je súčet exponentov všetkých jeho písmen. Ak sú medzi súčtom jednočlenov podobné, potom je možné súčet znížiť na viac obyčajný pohľad: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Táto operácia sa nazýva vynútenie podobných výrazov alebo zátvoriek.
Polynóm je algebraický súčet monočlenov. Stupeň polynómu je najväčší zo stupňov monočlenov zahrnutých v danom polynóme.
Pre skrátené násobenie existujú nasledujúce vzorce:
Spôsoby faktoringu:
Algebraický zlomok je vyjadrením tvaru , kde A a B môžu byť číslo, jednočlen, polynóm.
Ak sú dva výrazy (numerický a abecedný) spojené znamienkom "=", potom sa hovorí, že tvoria rovnosť. Akákoľvek skutočná rovnosť platná pre všetky prípustné číselné hodnoty písmen, ktoré sú v nej obsiahnuté, sa nazýva identita.
Rovnica je doslovná rovnosť, ktorá platí pre určité hodnoty písmen, ktoré sú v nej zahrnuté. Tieto písmená sa nazývajú neznáme (premenné) a ich hodnoty, pri ktorých sa daná rovnica stáva identitou, sa nazývajú korene rovnice.
Riešenie rovnice znamená nájsť všetky jej korene. Dve alebo viac rovníc sa považuje za ekvivalentné, ak majú rovnaké korene.
- nula bola koreňom rovnice;
- Rovnica má len konečný počet koreňov.
Hlavné typy algebraických rovníc:
Lineárna rovnica má ax + b = 0:
- ak a x 0, existuje jeden koreň x = -b/a;
- ak a = 0, b ≠ 0, žiadne korene;
- ak a = 0, b = 0, koreňom je akékoľvek reálne číslo.
Rovnica xn = a, n N:
- ak n je nepárne číslo, má skutočný koreň rovný a/n pre ľubovoľné a;
- ak je n párne číslo, potom pre 0 má dva korene.
Hlavná identické premeny: nahradenie jedného výrazu iným, zhodne s ním rovným; prenos členov rovnice z jednej strany na druhú s opačnými znamienkami; násobenie alebo delenie oboch častí rovnice rovnakým výrazom (číslom) iným ako nula.
Lineárna rovnica s jednou neznámou je rovnica v tvare: ax+b=0, kde aab sú známe čísla a x je neznáma hodnota.
Systémy dvoch lineárne rovnice s dvoma neznámymi majú tvar:
Kde a, b, c, d, e, f sú dané čísla; x, y sú neznáme.
Čísla a, b, c, d - koeficienty pre neznáme; e, f - voľní členovia. Riešenie tejto sústavy rovníc možno nájsť dvoma hlavnými metódami: substitučnou metódou: z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu cez koeficienty a druhú neznámu a potom ju dosadíme do druhej rovnice, čím vyriešime poslednú rovnicu. , najprv nájdeme jednu neznámu, potom nájdenú hodnotu dosadíme do prvej rovnice a nájdeme druhú neznámu; metóda sčítania alebo odčítania jednej rovnice od druhej.
Operácie s koreňmi:
Aritmetika koreň n-tého stupeň od nezáporného čísla a sa nazýva nezáporné číslo, n-tá mocnosťčo sa rovná a. algebraický koreň n-tý stupeň z daného čísla sa volá množina všetkých koreňov z tohto čísla.
Iracionálne čísla na rozdiel od racionálnych nemožno reprezentovať ako obyčajný ireducibilný zlomok tvaru m/n, kde m a n sú celé čísla. Ide o čísla nového typu, ktoré možno vypočítať s akoukoľvek presnosťou, ale nemožno ich nahradiť racionálnym číslom. Môžu sa objaviť ako výsledok geometrických meraní, napríklad: pomer dĺžky uhlopriečky štvorca k dĺžke jeho strany je rovnaký.
Kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa ax2+bx+c=0, kde a, b, c sú dané číselnými alebo abecednými koeficientmi, x je neznáma. Ak všetky členy tejto rovnice vydelíme a, dostaneme x2+px+q=0 - redukovanú rovnicu p=b/a, q=c/a. Jeho korene sa nachádzajú podľa vzorca: 
Ak b2-4ac>0, potom existujú dva odlišné korene, b2-4ac=0, potom existujú dva rovnaké korene; b2-4ac Rovnice obsahujúce moduly
Hlavné typy rovníc obsahujúcich moduly:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, kde f(x), g(x), fk(x), gk(x) sú dané funkcie.
V matematike je zlomok číslo pozostávajúce z jednej alebo viacerých častí (zlomkov) jednotky. Podľa formy zápisu sa zlomky delia na obyčajné (príklad \frac (5) (8)) a desiatkové (napríklad 123,45).
Definícia. Obyčajný zlomok (alebo jednoduchý zlomok)
Obyčajný (jednoduchý) zlomok je číslo v tvare \pm\frac(m)(n), kde m a n sú prirodzené čísla. Volá sa číslo m čitateľ tento zlomok a číslo n je jeho menovateľ.
Vodorovná alebo lomka označuje znamienko delenia, t.j. \frac(m)(n)=()^m/n=m:n
Obyčajné zlomky sa delia na dva typy: vlastné a nevlastné.
Definícia. Správne a nesprávne zlomky
Správne Zlomok sa nazýva, ak je modul v čitateli menší ako modul v menovateli. Napríklad \frac(9)(11) , pretože 9
nesprávne Zlomok sa nazýva, ak je modul čitateľa väčší alebo rovný modulu menovateľa. Tento zlomok je racionálne číslo, modulo väčší alebo rovný jednej. Príkladom môžu byť zlomky \frac(11)(2) , \frac(2)(1) , -\frac(7)(5) , \frac(1)(1)
Spolu s nesprávnym zlomkom existuje ďalší zápis čísla, ktorý sa nazýva zmiešaný zlomok (zmiešané číslo). Takýto zlomok nie je obyčajný.
Definícia. zmiešaná frakcia(zmiešaný počet)
zmiešaná frakcia sa nazýva zlomok zapísaný ako celé číslo a vlastný zlomok a chápe sa ako súčet tohto čísla a zlomku. Napríklad 2\frac(5)(7)
(zapísané ako zmiešané číslo) 2\frac(5)(7)=2+\frac(5)(7)=\frac(14)(7)+\frac(5)(7)=\frac(19 )(7) (nepíše sa ako nesprávny zlomok)
Zlomok je len reprezentácia čísla. Rovnaký počet môže zodpovedať rôzne zlomky, obyčajné aj desiatkové. Utvorme znamienko rovnosti dvoch obyčajných zlomkov.
Definícia. Znak rovnosti zlomkov
Dva zlomky \frac(a)(b) a \frac(c)(d) sú rovný, ak a\cdot d=b\cdot c . Napríklad \frac(2)(3)=\frac(8)(12), pretože 2\cdot12=3\cdot8
Od špecifikované znamenie nasleduje základná vlastnosť zlomku.
Nehnuteľnosť. Základná vlastnosť zlomku
Ak sa čitateľ a menovateľ daného zlomku vynásobí alebo vydelí rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, získa sa zlomok rovný danému zlomku.
\frac(A)(B)=\frac(A\cdot C)(B\cdot C)=\frac(A:K)(B:K);\quad C \ne 0,\quad K \ne 0
Pomocou základnej vlastnosti zlomku môžete nahradiť daný zlomok iným zlomkom, ktorý sa rovná danému, ale s menším čitateľom a menovateľom. Táto substitúcia sa nazýva redukcia frakcií. Napríklad \frac(12)(16)=\frac(6)(8)=\frac(3)(4) (tu sa čitateľ a menovateľ najprv delia 2 a potom ešte 2). Zlomok možno zmenšiť vtedy a len vtedy, ak sa jeho čitateľ a menovateľ navzájom nevylučujú. základné čísla. Ak je čitateľ a menovateľ daného zlomku spoluprvý, potom zlomok nemožno zmenšiť, napríklad \frac(3)(4) je nezredukovateľný zlomok.
Pravidlá pre kladné zlomky:
Z dvoch frakcií s rovnakými menovateľmičím väčší je zlomok, ktorého čitateľ je väčší. Napríklad \frac(3)(15)
Z dvoch frakcií s rovnakými čitateľmi väčší je zlomok, ktorého menovateľ je menší. Napríklad \frac(4)(11)>\frac(4)(13) .
Ak chcete porovnať dva zlomky s rôznymi čitateľmi a menovateľmi, musíte previesť oba zlomky tak, aby sa ich menovatelia stali rovnakými. Táto transformácia sa nazýva redukcia zlomkov na spoločného menovateľa.
Zlomky
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Zlomky na strednej škole nie sú veľmi otravné. Zatiaľ. Až kým nenarazíte na exponenty s racionálnymi exponentmi a logaritmami. A tam…. Stlačíte, stlačíte kalkulačku a zobrazí sa celá tabuľka niektorých čísel. Treba myslieť hlavou, ako v tretej triede.
Poďme sa konečne zaoberať zlomkami! No ako veľmi sa v nich dá zmiasť!? Navyše je to všetko jednoduché a logické. takze čo sú zlomky?
Druhy zlomkov. Premeny.
Dejú sa zlomky tri typy.
1. Bežné zlomky , Napríklad:
Niekedy namiesto vodorovnej čiary dajú lomítko: 1/2, 3/4, 19/5, dobre atď. Tu budeme často používať tento pravopis. Zavolá sa najvyššie číslo čitateľ, nižšie - menovateľ. Ak si tieto mená neustále zamieňate (stáva sa ...), povedzte si frázu s výrazom: " Zzzzz zapamätaj si! Zzzzz menovateľ - von zzzz ty!" Pozri, všetko si bude pamätať.)
Pomlčka, ktorá je vodorovná, ktorá je šikmá, znamená divízie od horného čísla (čitateľ) po spodné číslo (menovateľ). A je to! Namiesto pomlčky je celkom možné umiestniť znak delenia - dve bodky.
Keď je rozdelenie úplne možné, musí sa to urobiť. Takže namiesto zlomku "32/8" je oveľa príjemnejšie napísať číslo "4". Tie. 32 je jednoducho delené 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Nehovorím o zlomku „4/1“. Čo je tiež len „4“. A ak sa nerozdelí úplne, necháme to ako zlomok. Niekedy to musíte urobiť naopak. Vytvorte zlomok z celého čísla. Ale o tom neskôr.
2. Desatinné čísla , Napríklad:
Práve touto formou bude potrebné zapisovať odpovede na úlohy „B“.
3. zmiešané čísla , Napríklad:
Zmiešané čísla sa na strednej škole prakticky nepoužívajú. Aby sa s nimi dalo pracovať, musia sa previesť na obyčajné zlomky. Určite však musíte vedieť, ako na to! A potom sa takéto číslo objaví v skladačke a visí ... Od nuly. Ale pamätáme si tento postup! Trochu nižšie.
Najvšestrannejšie bežné zlomky. Začnime nimi. Mimochodom, ak sú v zlomku najrôznejšie logaritmy, sínusy a iné písmená, nič to nemení. V tom zmysle, že všetko akcie so zlomkovými výrazmi sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami!
Základná vlastnosť zlomku.
Tak, poďme! V prvom rade vás prekvapím. Celú škálu transformácií zlomkov poskytuje jediná vlastnosť! Tak sa to volá základná vlastnosť zlomku. Pamätajte: Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (vydelia) rovnakým číslom, zlomok sa nezmení. tieto:
Je jasné, že môžete písať ďalej, kým nezmodriete v tvári. Nenechajte sa zmiasť sínusmi a logaritmy, budeme sa im venovať ďalej. Hlavnou vecou je pochopiť, že všetky tieto rôzne výrazy sú rovnaký zlomok . 2/3.
A potrebujeme to, všetky tieto premeny? A ako! Teraz uvidíte sami. Najprv použime základnú vlastnosť zlomku pre zlomkové skratky. Zdalo by sa, že vec je elementárna. Čitateľa a menovateľa vydelíme rovnakým číslom a je to! Nie je možné sa pokaziť! Ale... človek je tvor tvorivý. Všade môžete robiť chyby! Najmä ak musíte zmenšiť nie zlomok ako 5/10, ale zlomkový výraz so všetkými druhmi písmen.
Ako správne a rýchlo zmenšiť zlomky bez zbytočnej práce nájdete v špeciálnej časti 555.
Normálny študent sa netrápi delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom (alebo výrazom)! Len prečiarkne všetko rovnako zhora aj zdola! Tu sa to skrýva typická chyba, bloper ak chcete.
Napríklad musíte zjednodušiť výraz:
Nie je nad čím rozmýšľať, písmeno „a“ prečiarkneme zhora a dvojku zdola! Dostaneme:
Všetko je správne. Ale naozaj ste zdieľali celá čitateľ a celá menovateľ "a". Ak ste zvyknutí len prečiarknuť, potom v zhone môžete prečiarknuť „a“ vo výraze
a získať znova
Čo by bolo kategoricky nesprávne. Pretože tu celáčitateľ na "a" už nezdieľané! Tento zlomok nie je možné znížiť. Mimochodom, takáto skratka je, ehm ... vážna výzva pre učiteľa. Toto sa neodpúšťa! Pamätáte si? Pri redukcii je potrebné deliť celá čitateľ a celá menovateľ!
Zmenšením zlomkov je život oveľa jednoduchší. Niekde dostanete zlomok, napríklad 375/1000. A ako s ňou teraz pracovať? Bez kalkulačky? Vynásobte, povedzte, sčítajte, druhú mocninu!? A ak nie ste príliš leniví, ale opatrne znížte o päť, dokonca aj o päť, a dokonca ... kým sa to znižuje, skrátka. Dostávame 3/8! Oveľa krajšie, však?
Základná vlastnosť zlomku umožňuje previesť obyčajné zlomky na desatinné a naopak bez kalkulačky! To je dôležité na skúšku, však?
Ako previesť zlomky z jedného tvaru do druhého.
S desatinnými číslami je to jednoduché. Ako sa počúva, tak sa aj píše! Povedzme 0,25. Je to nula, dvadsaťpäť stotín. Takže píšeme: 25/100. Zmenšíme (vydelíme čitateľa a menovateľa číslom 25), dostaneme obvyklý zlomok: 1/4. Všetko. Stáva sa to a nič sa neznižuje. Ako 0,3. Ide o tri desatiny, t.j. 3/10.
Čo ak sú celé čísla nenulové? Je to v poriadku. Zapíšte celý zlomok bez čiarok v čitateli a v menovateli - to, čo je počuť. Napríklad: 3.17. Toto sú tri celé, sedemnásť stotín. Do čitateľa napíšeme 317 a do menovateľa 100. Dostaneme 317/100. Nič sa nezmenšuje, to znamená všetko. Toto je odpoveď. Základný Watson! Zo všetkého vyššie uvedeného je užitočný záver: akýkoľvek desatinný zlomok možno previesť na bežný zlomok .
No spätný prevod, obyčajný na desatinné, sa niektorí bez kalkulačky nezaobídu. Ale musíte! Ako si zapíšeš odpoveď na skúšku!? Tento proces pozorne čítame a ovládame.
Čo je desatinný zlomok? Tá má v menovateli vždy má hodnotu 10 alebo 100 alebo 1 000 alebo 10 000 a tak ďalej. Ak má váš obvyklý zlomok takéhoto menovateľa, nie je problém. Napríklad 4/10 = 0,4. Alebo 7/100 = 0,07. Alebo 12/10 = 1,2. A ak v odpovedi na úlohu sekcie "B" to dopadlo 1/2? Čo napíšeme ako odpoveď? Vyžaduje sa desatinné číslo...
Pamätáme si základná vlastnosť zlomku ! Matematika priaznivo umožňuje vynásobiť čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Mimochodom, pre kohokoľvek! Okrem nuly, samozrejme. Využime túto funkciu v náš prospech! Čím sa dá vynásobiť menovateľ, t.j. 2 tak, aby z toho bolo 10, alebo 100, alebo 1000 (samozrejme, že menšie je lepšie...)? 5, samozrejme. Pokojne vynásobte menovateľa (to je nás potrebné) číslom 5. Potom však treba vynásobiť aj čitateľ číslom 5. Toto už je matematiky požiadavky! Získame 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. To je všetko.
Narážajú však na najrôznejšie menovatele. Napríklad padne zlomok 3/16. Skúste to, zistite, čím vynásobiť 16, aby ste dostali 100, alebo 1000... Nefunguje to? Potom môžete jednoducho vydeliť 3 číslom 16. Ak nemáte kalkulačku, budete musieť deliť v rohu na papieri, ako sa to učilo v základných ročníkoch. Dostaneme 0,1875.
A existuje niekoľko veľmi zlých menovateľov. Napríklad zlomok 1/3 nemožno zmeniť na dobré desatinné číslo. Na kalkulačke aj na papieri dostaneme 0,3333333 ... To znamená, že 1/3 na presný desatinný zlomok neprekladá. Rovnako ako 1/7, 5/6 a tak ďalej. Mnohé z nich sú nepreložiteľné. Preto ďalší užitočný záver. Nie každý bežný zlomok sa prevádza na desatinné číslo. !
Mimochodom, toto užitočné informácie na autotest. V časti „B“ ako odpoveď musíte zapísať desatinný zlomok. A dostali ste napríklad 4/3. Tento zlomok sa neprevádza na desatinné číslo. To znamená, že niekde na ceste ste urobili chybu! Vráťte sa, skontrolujte riešenie.
Takže, s obyčajnými a desatinnými zlomkami vytriedenými. Zostáva zaoberať sa zmiešanými číslami. Aby ste s nimi mohli pracovať, je potrebné ich všetky previesť na bežné zlomky. Ako to spraviť? Môžete chytiť šiestaka a opýtať sa ho. Ale nie vždy bude po ruke šiestak ... Budeme to musieť urobiť sami. Nie je to ťažké. Vynásobte menovateľa zlomkovej časti celým číslom a pridajte čitateľa zlomkovej časti. Toto bude čitateľ spoločného zlomku. A čo menovateľ? Menovateľ zostane rovnaký. Znie to zložito, no v skutočnosti je to celkom jednoduché. Pozrime sa na príklad.
Vpustite do problému, ktorý ste s hrôzou videli, číslo:
Pokojne, bez paniky, rozumieme. Celá časť je 1. Jedna. Zlomková časť je 3/7. Preto je menovateľ zlomkovej časti 7. Tento menovateľ bude menovateľom obyčajného zlomku. Počítame čitateľa. Vynásobíme 7 číslom 1 (celočíselná časť) a pridáme 3 (čitateľ zlomkovej časti). Dostaneme 10. Toto bude čitateľ obyčajného zlomku. To je všetko. V matematickom zápise to vyzerá ešte jednoduchšie:
jasne? Potom si zabezpečte svoj úspech! Preveďte na bežné zlomky. Mali by ste dostať 10/7, 7/2, 23/10 a 21/4.
Opačná operácia – premena nesprávneho zlomku na zmiešané číslo – sa na strednej škole vyžaduje len zriedka. No, ak... A ak nie ste na strednej škole, môžete sa pozrieť do špeciálnej sekcie 555. Mimochodom, na tom istom mieste sa dozviete o nesprávnych zlomkoch.
No skoro všetko. Zapamätali ste si typy zlomkov a pochopili ste ako previesť ich z jedného typu na druhý. Otázkou ostáva: prečo urob to? Kde a kedy uplatniť tieto hlboké znalosti?
Odpovedám. Akýkoľvek príklad naznačuje potrebné opatrenia. Ak sú v príklade bežné zlomky, desatinné miesta a párne zmiešané čísla, všetko prevedieme na obyčajné zlomky. Vždy sa to dá. No, ak je napísané niečo ako 0,8 + 0,3, tak si myslíme, že áno, bez akéhokoľvek prekladu. Prečo potrebujeme prácu navyše? Vyberáme riešenie, ktoré je pohodlné nás !
Ak je úloha plná desatinných zlomkov, ale hm ... nejaké zlé, choďte na obyčajné, skúste to! Pozri, všetko bude v poriadku. Napríklad musíte odmocniť číslo 0,125. Nie je to také ľahké, ak ste nestratili návyk na kalkulačku! Nielen, že musíte vynásobiť čísla v stĺpci, ale tiež premýšľať o tom, kam vložiť čiarku! V mojej mysli to určite nefunguje! A ak pôjdete na obyčajný zlomok?
0,125 = 125/1000. Znížime o 5 (to je pre začiatok). Dostaneme 25/200. Ešte raz na 5. Dostaneme 5/40. Oh, zmenšuje sa! Späť na 5! Dostaneme 1/8. Ľahko odmocnite (vo vašej mysli!) a získajte 1/64. Všetko!
Zhrňme si túto lekciu.
1. Existujú tri typy zlomkov. Obyčajné, desatinné a zmiešané čísla.
2. Desatinné a zmiešané čísla vždy možno previesť na bežné zlomky. Obrátený preklad nie vždy k dispozícii.
3. Voľba typu zlomkov pre prácu s úlohou závisí práve od tejto úlohy. V prítomnosti odlišné typy zlomky v jednej úlohe, najspoľahlivejšie je prejsť na obyčajné zlomky.
Teraz môžete cvičiť. Najprv preveďte tieto desatinné zlomky na obyčajné:
3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012
Mali by ste dostať takéto odpovede (v neporiadku!):
Na tomto skončíme. V tejto lekcii sme si osviežili pamäť Kľúčové body po zlomkoch. Stáva sa však, že nie je nič špeciálne na osvieženie...) Ak niekto úplne zabudol, alebo to ešte nezvládol... Tí môžu ísť na osobitný § 555. Všetky základy sú tam podrobne popísané. Mnohí zrazu všetkému rozumieť začínajú. A zlomky riešia za chodu).
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Tento článok je o bežné zlomky. Tu sa zoznámime s pojmom zlomok celku, čo nás privedie k definícii obyčajného zlomku. Ďalej sa zastavíme pri akceptovanom zápise obyčajných zlomkov a uvedieme príklady zlomkov, povedzme o čitateľovi a menovateľovi zlomku. Potom uvedieme definície správnych a nesprávnych, pozitívnych a negatívnych zlomkov a tiež zvážime polohu zlomkových čísel na súradnicovom lúči. Na záver uvádzame hlavné akcie so zlomkami.
Navigácia na stránke.
Akcie celku
Najprv sa predstavíme zdieľať koncept.
Predpokladajme, že máme nejaký objekt zložený z niekoľkých absolútne rovnakých (teda rovnakých) častí. Pre názornosť si môžete predstaviť napríklad jablko nakrájané na niekoľko rovnakých častí alebo pomaranč pozostávajúci z niekoľkých rovnakých plátkov. Každá z týchto rovnakých častí, ktoré tvoria celý objekt, sa nazýva podiel na celku alebo jednoducho akcií.
Všimnite si, že podiely sú rôzne. Poďme si to vysvetliť. Povedzme, že máme dve jablká. Prvé jablko rozrežeme na dve rovnaké časti a druhé na 6 rovnakých častí. Je jasné, že podiel prvého jablka bude iný ako podiel druhého jablka.
V závislosti od počtu akcií, ktoré tvoria celý objekt, majú tieto akcie svoje názvy. Poďme analyzovať zdieľané mená. Ak sa predmet skladá z dvoch častí, ktorákoľvek z nich sa nazýva jedna druhá časť celého predmetu; ak sa predmet skladá z troch častí, potom sa ktorákoľvek z nich nazýva jedna tretia časť atď.
Jeden sekundový úder má špeciálny názov - polovicu. Jedna tretina je tzv tretí a jeden štvornásobný - štvrťroku.
Pre stručnosť nasledovné označenia podielov. Jeden druhý podiel je označený ako alebo 1/2, jeden tretí podiel - ako alebo 1/3; jedna štvrtina zdieľania – páči sa mi alebo 1/4 atď. Všimnite si, že zápis s vodorovnou čiarou sa používa častejšie. Na konsolidáciu materiálu uveďme ešte jeden príklad: záznam označuje stošesťdesiatsedeminu celku.
Pojem podielu sa prirodzene rozširuje od objektov k veličinám. Napríklad jednou z mier dĺžky je meter. Na meranie dĺžok menších ako meter možno použiť zlomky metra. Môžete teda použiť napríklad pol metra alebo desatinu či tisícinu metra. Podiely ostatných množstiev sa uplatňujú podobne.
Bežné zlomky, definícia a príklady zlomkov
Na popis počtu akcií sa používa bežné zlomky. Uveďme príklad, ktorý nám umožní priblížiť sa k definícii obyčajných zlomkov.
Nechajte pomaranč pozostávať z 12 častí. Každá akcia v tomto prípade predstavuje jednu dvanástinu celého pomaranča, teda . Označme dva údery ako , tri údery ako atď., 12 úderov ako . Každý z týchto záznamov sa nazýva obyčajný zlomok.
Teraz dajme generálku definícia bežných zlomkov.
Vyslovená definícia obyčajných zlomkov nám umožňuje priniesť príklady bežných zlomkov: 5/10 , 21/1 , 9/4 , . A tu sú záznamy 
nezodpovedajú znenej definícii obyčajných zlomkov, to znamená, že to nie sú obyčajné zlomky.
Čitateľ a menovateľ
Pre pohodlie rozlišujeme v bežných zlomkoch čitateľ a menovateľ.
Definícia.
Čitateľ obyčajný zlomok (m / n) je prirodzené číslo m.
Definícia.
Menovateľ obyčajný zlomok (m / n) je prirodzené číslo n.
Čitateľ sa teda nachádza nad zlomkovou čiarou (naľavo od lomky) a menovateľ je pod zlomkovou čiarou (napravo od lomky). Vezmime si napríklad obyčajný zlomok 17/29, v čitateli tohto zlomku je číslo 17 a v menovateli je číslo 29.
Zostáva diskutovať o význame obsiahnutom v čitateľovi a menovateľovi obyčajného zlomku. Menovateľ zlomku ukazuje, z koľkých podielov pozostáva jedna položka, čitateľ zasa počet takýchto podielov. Napríklad menovateľ 5 zlomku 12/5 znamená, že jedna položka pozostáva z piatich častí, a čitateľ 12 znamená, že sa vezme 12 takýchto častí.
Prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1
Menovateľ obyčajného zlomku sa môže rovnať jednej. V tomto prípade môžeme predpokladať, že objekt je nedeliteľný, inými slovami, je to niečo celistvé. Čitateľ takéhoto zlomku udáva, koľko celých položiek sa vezme. Obyčajný zlomok tvaru m/1 má teda význam prirodzeného čísla m. Takto sme zdôvodnili rovnosť m/1=m .
Poslednú rovnosť prepíšeme takto: m=m/1 . Táto rovnosť nám umožňuje reprezentovať akékoľvek prirodzené číslo m ako obyčajný zlomok. Napríklad číslo 4 je zlomok 4/1 a číslo 103498 je zlomok 103498/1.
takze ľubovoľné prirodzené číslo m môže byť vyjadrené ako obyčajný zlomok s menovateľom 1 ako m/1 a každý obyčajný zlomok tvaru m/1 môže byť nahradený prirodzeným číslom m.
Zlomkový stĺpec ako deliaci znak
Reprezentácia pôvodného objektu vo forme n akcií nie je nič iné ako rozdelenie na n rovnakých častí. Po rozdelení veci na n akcií ju môžeme rozdeliť rovným dielom medzi n ľudí - každý dostane jednu akciu.
Ak máme na začiatku m identických objektov, z ktorých každý je rozdelený na n akcií, potom môžeme týchto m objektov rovnomerne rozdeliť medzi n ľudí, pričom každej osobe pridelíme jeden podiel z každého z m objektov. V tomto prípade bude mať každá osoba m podielov 1/n a m podielov 1/n dáva obyčajný zlomok m/n. Spoločný zlomok m/n teda možno použiť na vyjadrenie rozdelenia m položiek medzi n ľudí.
Získali sme teda explicitné spojenie medzi obyčajnými zlomkami a delením (pozri všeobecnú myšlienku delenia prirodzených čísel). Tento vzťah je vyjadrený takto: Pruh zlomku možno chápať ako deliaci znak, teda m/n=m:n.
Pomocou obyčajného zlomku môžete napísať výsledok delenia dvoch prirodzených čísel, pre ktoré sa delenie nevykonáva celým číslom. Napríklad výsledok delenia 5 jabĺk 8 ľuďmi možno zapísať ako 5/8, to znamená, že každé dostane päť osmín jablka: 5:8=5/8.
Rovné a nerovnaké obyčajné zlomky, porovnávanie zlomkov
Je to celkom prirodzená akcia porovnanie bežných zlomkov, pretože je jasné, že 1/12 pomaranča je iná ako 5/12 a 1/6 jablka je rovnaká ako druhá 1/6 tohto jablka.
V dôsledku porovnania dvoch obyčajných zlomkov sa získa jeden z výsledkov: zlomky sú rovnaké alebo nie rovnaké. V prvom prípade máme rovnaké spoločné zlomky a v druhom nerovnaké spoločné zlomky. Uveďme definíciu rovnakých a nerovnakých obyčajných zlomkov.
Definícia.
rovný, ak platí rovnosť a d=b c.
Definícia.
Dva bežné zlomky a/b a c/d nerovná sa, ak nie je splnená rovnosť a d=b c.
Tu je niekoľko príkladov rovnakých zlomkov. Napríklad bežný zlomok 1/2 sa rovná zlomku 2/4, keďže 1 4=2 2 (v prípade potreby si pozrite pravidlá a príklady násobenia prirodzených čísel). Pre prehľadnosť si môžete predstaviť dve rovnaké jablká, prvé je rozrezané na polovicu a druhé - na 4 podiely. Je zrejmé, že dve štvrtiny jablka sú 1/2 podielu. Ďalšími príkladmi rovnakých spoločných zlomkov sú zlomky 4/7 a 36/63 a pár zlomkov 81/50 a 1620/1000.
A obyčajné zlomky 4/13 a 5/14 sa nerovnajú, pretože 4 14 = 56 a 13 5 = 65, teda 4 14 ≠ 13 5. Ďalším príkladom nerovnakých bežných zlomkov sú zlomky 17/7 a 6/4.
Ak sa pri porovnávaní dvoch obyčajných zlomkov ukáže, že nie sú rovnaké, možno budete musieť zistiť, ktorý z týchto obyčajných zlomkov menšieďalší a ktorý viac. Na zistenie slúži pravidlo na porovnávanie obyčajných zlomkov, ktorého podstatou je priviesť porovnávané zlomky do spoločného menovateľa a následne porovnať čitateľov. Podrobné informácie o tejto téme sú zhromaždené v článku porovnanie zlomkov: pravidlá, príklady, riešenia.
Zlomkové čísla
Každý zlomok je záznamom zlomkové číslo. To znamená, že zlomok je len „škrupina“ zlomkového čísla, jeho vzhľad a celé sémantické zaťaženie je obsiahnuté presne v zlomkovom čísle. Z dôvodu stručnosti a pohodlia sa však pojem zlomok a zlomkové číslo kombinujú a nazývajú sa jednoducho zlomok. Tu je vhodné parafrázovať známe porekadlo: povieme zlomok - myslíme zlomkové číslo, povieme zlomkové číslo - myslíme zlomok.
Zlomky na súradnicovom lúči
Všetky zlomkové čísla zodpovedajúce obyčajným zlomkom majú svoje vlastné jedinečné miesto na , to znamená, že medzi zlomkami a bodmi súradnicového lúča existuje zhoda jedna k jednej.
Aby sme sa dostali do bodu zodpovedajúceho zlomku m / n na súradnicovom lúči, je potrebné odložiť m segmentov z počiatku v kladnom smere, ktorých dĺžka je 1 / n jednotkového segmentu. Takéto segmenty možno získať rozdelením jedného segmentu na n rovnakých častí, čo je možné vždy vykonať pomocou kompasu a pravítka.
Ukážme napríklad bod M na súradnicovom lúči, ktorý zodpovedá zlomku 14/10. Dĺžka úsečky s koncami v bode O a v bode, ktorý je k nej najbližšie, označený malou pomlčkou, je 1/10 jednotkového úsečky. Bod so súradnicou 14/10 je odstránený z počiatku o 14 takýchto segmentov.
Rovnaké zlomky zodpovedajú rovnakému zlomkovému číslu, to znamená, že rovnaké zlomky sú súradnicami toho istého bodu na súradnicovom lúči. Napríklad jeden bod zodpovedá súradniciam 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na súradnicovom lúči, pretože všetky zapísané zlomky sú rovnaké (nachádza sa vo vzdialenosti polovice segmentu jednotky, odložené od pôvod v pozitívnom smere).
Na vodorovnom a pravostrannom súradnicovom lúči je bod, ktorého súradnica je veľký zlomok, umiestnený napravo od bodu, ktorého súradnica je menší zlomok. Podobne bod s menšou súradnicou leží naľavo od bodu s väčšou súradnicou.
Vlastné a nevlastné zlomky, definície, príklady
Medzi obyčajnými zlomkami sú vlastné a nevlastné zlomky. Toto rozdelenie má v podstate porovnanie čitateľa a menovateľa.
Uveďme definíciu vlastných a nevlastných obyčajných zlomkov.
Definícia.
Správny zlomok je obyčajný zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ, teda ak m Definícia.
Nesprávny zlomok je obyčajný zlomok, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, to znamená, že ak m≥n, potom je obyčajný zlomok nesprávny. Tu je niekoľko príkladov správnych zlomkov: 1/4 , , 32 765/909 003 . V každom zo zapísaných obyčajných zlomkov je totiž čitateľ menší ako menovateľ (ak je to potrebné, pozrite si článok porovnanie prirodzených čísel), takže sú z definície správne. A tu sú príklady nesprávnych zlomkov: 9/9, 23/4,. Čitateľ prvého zo zapísaných obyčajných zlomkov sa skutočne rovná menovateľovi a v ostatných zlomkoch je čitateľ väčší ako menovateľ. Existujú aj definície vlastných a nevlastných zlomkov na základe porovnávania zlomkov s jedným. Definícia. správne ak je menej ako jedna. Definícia. Spoločný zlomok je tzv nesprávne, ak sa rovná jednej alebo je väčšia ako 1 . Takže obyčajný zlomok 7/11 je správny, pretože 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 a 27/27=1. Zamyslime sa nad tým, ako si obyčajné zlomky s čitateľom väčším alebo rovným ako menovateľ zaslúžia takéto pomenovanie – „nesprávne“. Vezmime si ako príklad nesprávny zlomok 9/9. Tento zlomok znamená, že sa odoberie deväť častí objektu, ktorý pozostáva z deviatich častí. To znamená, že z deviatich dostupných akcií môžeme poskladať celý subjekt. To znamená, že nesprávny zlomok 9/9 v podstate dáva celý objekt, teda 9/9=1. Vo všeobecnosti nesprávne zlomky s čitateľom rovným menovateľovi označujú jeden celý objekt a takýto zlomok možno nahradiť prirodzeným číslom 1. Teraz zvážte nesprávne zlomky 7/3 a 12/4. Je celkom zrejmé, že z týchto siedmich tretín môžeme urobiť dva celé objekty (jeden celý objekt má 3 podiely, potom na zloženie dvoch celých predmetov potrebujeme 3 + 3 = 6 podielov) a stále zostane jeden tretinový podiel. To znamená, že nesprávny zlomok 7/3 v podstate znamená 2 položky a dokonca 1/3 podielu takejto položky. A z dvanástich štvrtín môžeme vyrobiť tri celé predmety (tri predmety po štyroch častiach). To znamená, že zlomok 12/4 v podstate znamená 3 celé predmety. Uvažované príklady nás vedú k nasledovnému záveru: nevlastné zlomky môžeme nahradiť buď prirodzenými číslami, keď je čitateľ celý vydelený menovateľom (napríklad 9/9=1 a 12/4=3), alebo súčtom prirodzené číslo a vlastný zlomok, keď čitateľ nie je rovnomerne deliteľný menovateľom (napríklad 7/3=2+1/3 ). Možno to je presne to, čo si nesprávne zlomky zaslúžia také meno - „nesprávne“. Zvlášť zaujímavé je zobrazenie nevlastného zlomku ako súčtu prirodzeného čísla a vlastného zlomku (7/3=2+1/3). Tento proces sa nazýva extrakcia celočíselnej časti z nesprávneho zlomku a zaslúži si samostatnú a starostlivejšiu úvahu. Za zmienku tiež stojí, že medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami je veľmi úzky vzťah. Každý obyčajný zlomok zodpovedá kladnému zlomkovému číslu (pozri článok kladné a záporné čísla). To znamená, že obyčajné zlomky sú kladné zlomky. Napríklad obyčajné zlomky 1/5, 56/18, 35/144 sú kladné zlomky. Keď je potrebné zdôrazniť kladnosť zlomku, potom sa pred neho umiestni znamienko plus, napríklad +3/4, +72/34. Ak pred obyčajný zlomok vložíte znamienko mínus, tento záznam bude zodpovedať zápornému zlomkovému číslu. V tomto prípade sa dá hovoriť o záporné zlomky. Tu je niekoľko príkladov záporných zlomkov: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Kladné a záporné zlomky m/n a −m/n sú opačné čísla. Napríklad zlomky 5/7 a -5/7 sú opačné zlomky. Kladné zlomky, podobne ako kladné čísla vo všeobecnosti, označujú prírastok, príjem, zmenu nejakej hodnoty smerom nahor atď. Záporné zlomky zodpovedajú nákladom, dlhu, zmene akejkoľvek hodnoty v smere poklesu. Napríklad záporný zlomok -3/4 možno interpretovať ako dlh, ktorého hodnota je 3/4. Na vodorovnej a pravej strane sú negatívne frakcie umiestnené naľavo od referenčného bodu. Body súradnicovej čiary, ktorých súradnice sú kladný zlomok m/n a záporný zlomok −m/n, sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od začiatku, ale na opačných stranách bodu O . Tu stojí za zmienku zlomky tvaru 0/n. Tieto zlomky sa rovnajú číslu nula, teda 0/n=0. Kladné zlomky, záporné zlomky a zlomky 0/n sa kombinujú a vytvárajú racionálne čísla. Jedna akcia s obyčajnými zlomkami - porovnávanie zlomkov - sme už zvážili vyššie. Sú definované ďalšie štyri aritmetiky operácie so zlomkami- sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov. Zastavme sa pri každom z nich. Všeobecná podstata akcií so zlomkami je podobná podstate zodpovedajúcich akcií s prirodzenými číslami. Nakreslíme analógiu. Násobenie zlomkov možno považovať za činnosť, pri ktorej sa zlomok nájde zo zlomku. Na objasnenie si uveďme príklad. Predpokladajme, že máme 1/6 jablka a potrebujeme z neho vziať 2/3. Časť, ktorú potrebujeme, je výsledkom vynásobenia zlomkov 1/6 a 2/3. Výsledkom vynásobenia dvoch obyčajných zlomkov je obyčajný zlomok (ktorý sa v konkrétnom prípade rovná prirodzenému číslu). Ďalej odporúčame preštudovať si informácie k článku násobenie zlomkov - pravidlá, príklady a riešenia. Bibliografia.Pozitívne a negatívne zlomky
Akcie so zlomkami
