Je každý spoločný zlomok racionálne číslo? Čo sú racionálne čísla? Aké sú ostatné

V tejto podkapitole uvádzame niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom v znení majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla kombinujú celé čísla a zlomkové čísla, rovnako ako celé čísla. celé čísla, ich opačné čísla a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé a zlomkové čísla.

Začnime s definície racionálnych čísel ktorý je vnímaný ako najprirodzenejší.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako kladný spoločný zlomok, záporný spoločný zlomok alebo číslo nula.

Zo znejúcej definície vyplýva, že racionálne číslo je:

akékoľvek prirodzené číslo n. Akékoľvek prirodzené číslo môže byť skutočne reprezentované ako obyčajný zlomok, napr. 3=3/1 .

· Akékoľvek celé číslo, najmä číslo nula. Akékoľvek celé číslo možno v skutočnosti zapísať ako kladný spoločný zlomok, ako záporný spoločný zlomok alebo ako nulu. Napríklad, 26=26/1 , .

akýkoľvek spoločný zlomok(pozitívne alebo negatívne). Priamo to hovorí daná definícia racionálnych čísel.

akýkoľvek zmiešané číslo. V skutočnosti je vždy možné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny spoločný zlomok. Napríklad a.

akékoľvek finále desiatkový alebo nekonečný periodický zlomok. Je to tak preto, že zadané desatinné zlomky sa prevedú na bežné zlomky. Napríklad a 0,(3)=1/3 .

Je tiež jasné, že žiadne nekonečné neopakujúce sa desatinné číslo NIE JE racionálne číslo, pretože ho nemožno reprezentovať ako bežný zlomok.

Teraz môžeme ľahko priniesť príklady racionálnych čísel. čísla 4 ,903 , 100 321 sú racionálne čísla, keďže ide o prirodzené čísla. Celé čísla 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9 , 99/3 , sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v kratšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla pomenujte číslo, ktoré možno zapísať ako zlomok z/n, kde z je celé číslo a n- prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, že bar zlomku môžeme považovať za znak delenia, potom z vlastností delenia celých čísel a pravidiel na delenie celých čísel vyplýva platnosť nasledujúcich rovníc a. To je teda dôkaz.

Na základe tejto definície uvádzame príklady racionálnych čísel. čísla −5 , 0 , 3 , a sú to racionálne čísla, keďže ich možno zapísať ako zlomky s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom tvaru resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť aj v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Táto definícia je tiež ekvivalentná prvej definícii, pretože každý obyčajný zlomok zodpovedá konečnému alebo periodickému desatinnému zlomku a naopak a akékoľvek celé číslo môže byť spojené s desatinným zlomkom s nulami za desatinnou čiarkou.

Napríklad čísla 5 , 0 , −13 , sú príklady racionálnych čísel, pretože ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné zlomky 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 a −7,(18) .

Teóriu tejto časti ukončíme nasledujúcimi tvrdeniami:

celé a zlomkové čísla (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;

Každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok je racionálnym číslom;

Každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje nejaké racionálne číslo.

Začiatok stránky

Sčítanie kladných racionálnych čísel je komutatívne a asociatívne,

("a, bn Q+) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b) + c = a + (b + c)

Pred formulovaním definície násobenia kladných racionálnych čísel zvážte nasledujúci problém: je známe, že dĺžka segmentu X je vyjadrená ako zlomok na jednotkovej dĺžke E a dĺžka segmentu jednotky sa meria pomocou jednotky E 1 a vyjadruje sa ako zlomok. Ako nájsť číslo, ktoré bude predstavovať dĺžku úsečky X, ak ju zmeriate pomocou jednotky dĺžky E 1?

Pretože X=E, potom nX=mE, a zo skutočnosti, že E =E1 vyplýva, že qE=pE1. Prvú získanú rovnosť vynásobíme q a druhú m. Potom (nq)X \u003d (mq)E a (mq)E \u003d (mp)E 1, odkiaľ (nq)X \u003d (mp)E 1. Táto rovnosť ukazuje, že dĺžka segmentu x pri jednotkovej dĺžke je vyjadrená ako zlomok, a teda , =, t.j. násobenie zlomkov je spojené s prechodom z jednej jednotky dĺžky na druhú pri meraní dĺžky toho istého segmentu.

Definícia: Ak je kladné číslo a reprezentované zlomkom a kladné racionálne číslo b zlomkom, potom sa ich súčin nazýva číslo a b, ktoré je reprezentované zlomkom.

Násobenie kladných racionálnych čísel komutatívne, asociatívne a distributívne s ohľadom na sčítanie a odčítanie. Dôkaz týchto vlastností je založený na definícii násobenia a sčítania kladných racionálnych čísel, ako aj na zodpovedajúcich vlastnostiach sčítania a násobenia prirodzených čísel.

46. Ako viete odčítanie je opakom sčítania.

Ak a a b - kladné čísla, potom odčítanie čísla b od čísla a znamená nájsť číslo c, ktoré po pripočítaní k číslu b dostane číslo a.
a - b = c alebo c + b = a
Definícia odčítania platí pre všetky racionálne čísla. To znamená, že odčítanie kladných a záporných čísel môže byť nahradené sčítaním.
Ak chcete od jedného čísla odpočítať ďalšie, musíte k menovke pridať opačné číslo.
Alebo iným spôsobom môžeme povedať, že odčítanie čísla b je rovnaké sčítanie, ale s číslom opačným k číslu b.
a - b = a + (- b)
Príklad.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Príklad.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Oplatí sa zapamätať si nižšie uvedené výrazy.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Pravidlá pre odčítanie záporných čísel
Odčítanie čísla b je sčítanie s číslom opačným k číslu b.
Toto pravidlo je zachované nielen pri odčítaní menšieho čísla od väčšieho, ale umožňuje aj odčítanie od menšieho čísla viac, to znamená, že vždy môžete nájsť rozdiel dvoch čísel.
Rozdiel môže byť kladné číslo, záporné číslo alebo nula.
Príklady odčítania záporných a kladných čísel.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Je vhodné si zapamätať pravidlo znamienka, ktoré vám umožňuje znížiť počet zátvoriek.
Znamienko plus nemení znamienko čísla, takže ak je pred zátvorkou plus, znamienko v zátvorke sa nemení.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Znamienko mínus pred zátvorkou obráti znamienko čísla v zátvorke.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Z rovnosti je zrejmé, že ak sú pred a vo vnútri zátvoriek rovnaké znamienka, dostaneme „+“ a ak sú znamienka odlišné, dostaneme „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Pravidlo o znamienkach je zachované aj vtedy, ak v zátvorke nie je jedno číslo, ale algebraický súčet čísel.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Upozorňujeme, že ak je v zátvorkách niekoľko čísel a pred zátvorkami je znamienko mínus, znamienka pred všetkými číslami v týchto zátvorkách sa musia zmeniť.
Aby ste si zapamätali pravidlo znakov, môžete si vytvoriť tabuľku na určenie znakov čísla.
Pravidlo znamienka pre čísla + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Alebo sa naučte jednoduché pravidlo.
Dva zápory potvrdzujú,
Plus krát mínus sa rovná mínus.

Pravidlá delenia záporných čísel.
Ak chcete nájsť modul kvocientu, musíte vydeliť modul deliteľa modulom deliča.
Ak teda chcete rozdeliť dve čísla rovnakými znamienkami, potrebujete:

Vydeľte modul deliteľa modulom deliča;

Pred výsledok vložte znamienko „+“.

Príklady delenia čísel s rôzne znamenia:

Na určenie podielového znaku môžete použiť aj nasledujúcu tabuľku.
Pravidlo znakov pri delení
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Pri výpočte "dlhých" výrazov, v ktorých sa objavuje iba násobenie a delenie, je veľmi vhodné použiť pravidlo znamienka. Napríklad na výpočet zlomku
Môžete venovať pozornosť tomu, že v čitateli sú 2 znamienka „mínus“, ktoré po vynásobení dávajú „plus“. V menovateli sú aj tri znamienka mínus, ktoré po vynásobení dávajú mínus. Preto bude nakoniec výsledok so znamienkom mínus.
Zníženie frakcie ( ďalšie akcie s modulmi čísel) sa vykonáva rovnakým spôsobom ako predtým:
Podiel delenia nuly nenulovým číslom je nula.
0: a = 0, a ≠ 0
NEDELTE nulou!
Všetky doteraz známe pravidlá delenia jednotkou platia aj pre množinu racionálnych čísel.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, kde a je ľubovoľné racionálne číslo.
Pre všetky racionálne čísla (okrem čísla nula) sú zachované aj závislosti medzi výsledkami násobenia a delenia, známe pre kladné čísla:
ak a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ak a: b = c; a = c x b; b=a:c
Tieto závislosti sa používajú na hľadanie neznámy multiplikátor, deliteľ a deliteľ (pri riešení rovníc), ako aj na kontrolu výsledkov násobenia a delenia.
Príklad hľadania neznámeho.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x = -2

Podobné informácie.

V tomto článku začneme študovať racionálne čísla. Tu uvádzame definície racionálnych čísel, uvádzame potrebné vysvetlenia a uvádzame príklady racionálnych čísel. Potom sa zameriame na to, ako určiť, či je dané číslo racionálne alebo nie.

Navigácia na stránke.

Definícia a príklady racionálnych čísel

V tejto podkapitole uvádzame niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom vo formulácii majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla spájajú celé čísla a zlomkové čísla, rovnako ako celé čísla spájajú prirodzené čísla, ich opačné čísla a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé a zlomkové čísla.

Začnime s definície racionálnych čísel ktorý je vnímaný ako najprirodzenejší.

Zo znejúcej definície vyplýva, že racionálne číslo je:

Akékoľvek prirodzené číslo n . Akékoľvek prirodzené číslo môže byť skutočne reprezentované ako obyčajný zlomok, napríklad 3=3/1.
Akékoľvek celé číslo, najmä číslo nula. Akékoľvek celé číslo možno v skutočnosti zapísať ako kladný spoločný zlomok, ako záporný spoločný zlomok alebo ako nulu. Napríklad 26=26/1 , .
Akýkoľvek obyčajný zlomok (kladný alebo záporný). Priamo to hovorí daná definícia racionálnych čísel.
Akékoľvek zmiešané číslo. V skutočnosti je vždy možné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny spoločný zlomok. Napríklad a .
Akýkoľvek konečný desatinný alebo nekonečný periodický zlomok. Je to tak preto, že zadané desatinné zlomky sa prevedú na bežné zlomky. Napríklad , a 0, (3) = 1/3 .

Je tiež jasné, že žiadne nekonečné neopakujúce sa desatinné číslo NIE JE racionálne číslo, pretože ho nemožno reprezentovať ako bežný zlomok.

Teraz môžeme ľahko priniesť príklady racionálnych čísel. Čísla 4, 903, 100 321 sú racionálne čísla, pretože sú to prirodzené čísla. Celé čísla 58 , −72 , 0 , −833 333 333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9, 99/3 sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v kratšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla volacie čísla, ktoré možno zapísať ako zlomok z/n, kde z je celé číslo a n je prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, že čiaru zlomku môžeme považovať za znak delenia, potom z vlastností delenia celých čísel a pravidiel delenia celých čísel vyplývajú nasledujúce rovnosti a . Čo je teda dôkazom.

Na základe tejto definície uvádzame príklady racionálnych čísel. Čísla −5 , 0 , 3 a sú racionálne čísla, pretože ich možno zapísať ako zlomky s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom tvaru resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť aj v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Napríklad čísla 5 , 0 , −13 , sú príkladmi racionálnych čísel, pretože ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné miesta 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 a −7, (18) .

Teóriu tejto časti ukončíme nasledujúcimi tvrdeniami:

celé a zlomkové čísla (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok je nejaké racionálne číslo;
každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje nejaké racionálne číslo.

Je toto číslo racionálne?

V predchádzajúcom odseku sme zistili, že každé prirodzené číslo, akékoľvek celé číslo, akýkoľvek obyčajný zlomok, akékoľvek zmiešané číslo, akýkoľvek konečný desatinný zlomok a tiež akýkoľvek periodický desatinný zlomok je racionálne číslo. Táto znalosť nám umožňuje „rozpoznať“ racionálne čísla z množiny zapísaných čísel.

Ale čo ak je číslo dané ako nejaké , alebo ako , atď., ako odpovedať na otázku, je dané číslo racionálne? V mnohých prípadoch je veľmi ťažké na ňu odpovedať. Ukážme si niekoľko smerov myšlienkového smeru.

Ak je číslo špecifikované ako číselný výraz, ktorý obsahuje iba racionálne čísla a aritmetické znamienka (+, −, · a:), potom je hodnota tohto výrazu racionálne číslo. Vyplýva to z toho, ako sú definované operácie s racionálnymi číslami. Napríklad po vykonaní všetkých operácií vo výraze dostaneme racionálne číslo 18 .

Niekedy po zjednodušení výrazov a pod komplexný typ, je možné určiť, či je dané číslo racionálne.

Poďme ďalej. Číslo 2 je racionálne číslo, pretože každé prirodzené číslo je racionálne. A čo číslo? Je to racionálne? Ukazuje sa, že nie, nie je to racionálne číslo, je to iracionálne číslo (dôkaz tejto skutočnosti protirečením je uvedený v učebnici algebry pre 8. ročníka uvedenej nižšie v zozname použitej literatúry). Aj to bolo dokázané Odmocnina z prirodzeného čísla je racionálne číslo len v tých prípadoch, keď je odmocninou číslo, ktoré je druhou mocninou nejakého prirodzeného čísla. Napríklad a sú racionálne čísla, pretože 81=9 2 a 1 024=32 2 a čísla a nie sú racionálne, pretože čísla 7 a 199 nie sú dokonalé štvorce prirodzených čísel.

Je číslo racionálne alebo nie? V tomto prípade je ľahké vidieť, že preto je toto číslo racionálne. Je číslo racionálne? Je dokázané, že k-tá odmocnina z celého čísla je racionálne číslo iba vtedy, ak číslo pod znamienkom odmocniny je k-tou mocninou nejakého celého čísla. Preto to nie je racionálne číslo, pretože neexistuje celé číslo, ktorého piata mocnina je 121.

Metóda protirečenia nám umožňuje dokázať, že logaritmy niektorých čísel z nejakého dôvodu nie sú racionálne čísla. Napríklad, dokážme, že - nie je racionálne číslo.

Predpokladajme opak, teda predpokladajme, že ide o racionálne číslo a možno ho zapísať ako obyčajný zlomok m/n. Potom a dajte nasledujúce rovnosti: . Posledná rovnosť je nemožná, pretože na jej ľavej strane je nepárne číslo 5 n a na pravej strane je párne číslo 2 m . Preto je náš predpoklad nesprávny, teda nejde o racionálne číslo.

Na záver je vhodné zdôrazniť, že pri objasňovaní racionality či iracionality čísel sa treba zdržať náhlych záverov.

Napríklad by sme nemali hneď tvrdiť, že súčin iracionálnych čísel π a e je iracionálne číslo, je to „akoby zrejmé“, ale nie dokázané. To vyvoláva otázku: „Prečo by bol súčin racionálnym číslom“? A prečo nie, veď môžete uviesť príklad iracionálnych čísel, ktorých súčin dáva racionálne číslo:.

Nie je tiež známe, či čísla a mnohé ďalšie čísla sú racionálne alebo nie. Napríklad existujú iracionálne čísla, iracionálny stupeňčo je racionálne číslo. Pre ilustráciu uveďme stupeň tvaru , základ tohto stupňa a exponent nie sú racionálne čísla, ale , a 3 je racionálne číslo.

Bibliografia.

Matematika. 6. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya, Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé číslo a zlomky) a nulou. Presnejší koncept racionálnych čísel znie takto:

racionálne číslo- číslo, ktoré je znázornené jednoduchým zlomkom m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n- celé čísla, napríklad 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.

a/b, kde a∈ Z (a patrí medzi celé čísla) b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).

Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.

AT skutočný život množina racionálnych čísel sa používa na počítanie častí niektorých celočíselne deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné potraviny, ktoré sú pred konzumáciou nakrájané na kúsky, alebo pre hrubý odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.

Vlastnosti racionálnych čísel.

Základné vlastnosti racionálnych čísel.

1. poriadkumilovnosť a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať medzi nimi 1-ale iba jeden z 3 vzťahov: “<», «>" alebo "=". Toto pravidlo je - pravidlo objednávky a sformuluj to takto:

2 kladné čísla a=m a /n a a b = m b / n b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ nb a m b⋅ n a;
2 záporné čísla a a b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 kladné čísla |b| a |a|;
kedy a pozitívne a b- teda negatívny a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operácia sčítania. Pre všetky racionálne čísla a a b existuje sumačné pravidlo, čo ich dáva do súladu s určitým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c- Toto súčetčísla a a b a označuje sa ako (a+b) zhrnutie.

Sumačné pravidlo vyzerá takto:

m a/n a + m b/nb = (m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. operácia násobenia. Pre všetky racionálne čísla a a b existuje pravidlo násobenia, spája ich s určitým racionálnym číslom c. Volá sa číslo c prácačísla a a b a označujú (a⋅b), a proces hľadania tohto čísla sa nazýva násobenie.

pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivita rádového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutatívnosť sčítania. Od zmeny miest racionálnych pojmov sa súčet nemení.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asociativita sčítania. Poradie sčítania 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a

8. Dostupnosť opačné čísla . Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ich sčítaním vznikne 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0

9. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.

∀ a,b∈ Qa⋅ b = b⋅ a

10. Asociativita násobenia. Poradie násobenia 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, zachováva každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Qa⋅ 1 = a

12. Dostupnosť recipročné čísla . Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .

∀ a∈ Q∃ a-1∈ Qa⋅ a-1=1

13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distribučného zákona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti sa pridá rovnaké racionálne číslo.

∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c

15. Spojenie poradového vzťahu s operáciou násobenia. Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.

∀ a,b,c∈ Qc > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c