Opačné čísla, definícia, príklady. Opačné čísla – Vedomostný hypermarket

Predmet

Typ lekcie

• štúdium a primárna asimilácia nového materiálu

Ciele lekcie

Spoznajte definície kladných a záporných, opačných čísel

Nájdite opačné čísla pri riešení cvičení, pri riešení rovníc

Rozvíjanie - rozvíjať pozornosť žiakov, vytrvalosť, vytrvalosť, logické myslenie, matematická reč.

Vzdelávacie - prostredníctvom lekcie pestovať pozorný postoj k sebe navzájom, vštepovať schopnosť počúvať súdruhov, vzájomnú pomoc, nezávislosť.

Ciele lekcie

Zistite, čo sú opačné čísla

Naučte sa používať tento koncept pri riešení problémov

Skontrolujte schopnosť študentov riešiť problémy.

Plán lekcie

1. Úvod.

2. Teoretická časť

3. Praktická časť.

4. Domáce úlohy.

5. Zaujímavosti

Úvod

Pozrite si obrázky a popíšte jedným slovom, aký je v nich rozdiel.

Obrázky ukazujú protiklady.

sú dve čísla, ktoré sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale majú rôzne znamenia, napr. 5 a -5.

Teoretická časť

Najprv si pripomeňme, čo je záporné čísla. Pozri video:

Body so súradnicami 5 a -5 sú rovnako vzdialené od bodu O a sú umiestnené pozdĺž rôzne strany od nej. Aby ste sa dostali z bodu O do týchto bodov, musíte prejsť rovnaké vzdialenosti, ale v opačných smeroch. Volajú sa čísla 5 a -5 opačné čísla: 5 je opakom -5 a -5 je opakom 5.

Volajú sa dve čísla, ktoré sa od seba líšia iba znamienkami opačné čísla.

Napríklad 35 a -35 budú opačné čísla, pretože číslo 35 \u003d +35, čo znamená, že čísla 35 a -35 sa líšia iba znamienkami. Opačné čísla budú tiež 0,8 a -0,8, ¾ a -¾.

Vlastnosti opačných čísel

jeden). Ku každému číslu pripadá len jedno opačné číslo.

2). Číslo 0 je opakom samého seba.

3). Opakom a sa nazýva -a. Ak a = -7,8, potom -a = 7,8; ak a = 8,3, potom -a = -8,3; ak a = 0, potom -a = 0.

4). Záznam "-(-15)" znamená opak -15. Keďže opak -15 je 15, potom -(-15) = 15. Vo všeobecnosti -(-a) = a.

Volajú sa prirodzené čísla, ich opačné čísla a nula celé čísla.

opačné číslo n" vo vzťahu k číslu n je číslo, ktoré po pripočítaní k n dáva nulu.

n + n" = 0

Túto rovnosť možno prepísať takto:

n + n" - n = 0 - n alebo n" = - n

teda opačné čísla majú rovnaké moduly, ale opačné znamienka.

V súlade s tým sa číslo opačné k číslu n označuje − n. Keď je číslo kladné, jeho opačné číslo bude záporné a naopak.

1. Uveďte príklady opačných čísel.

2. Nakreslite ich na súradnicovú čiaru.

3. Aký je opak -3,6; 7; 0; 9. 8.; -1/2

Praktická časť

Príklad

1) Označte body A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5,2), F(5,2), G(-6) na súradnicovej čiare , H( 7). 2) Medzi týmito bodmi nájdite a označte tie, ktoré sú symetrické vzhľadom na bod O (0). Čo možno povedať o súradniciach symetrických bodov?

Body symetrické vzhľadom na bod O(0): A(2) a B(-2), E(-5,2) a F(5,2)

Súradnice symetrického bodu sú čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom. Takéto čísla sa nazývajú opak.

Označte na súradnicovej čiare body A (-3), B (+6), C (+4,2), D (+3), E (-4,2), F (-6) Čo možno povedať o týchto číslach?

Z čísel 15; 2,5; - 2,5; - osemnásť; 0; 45; - 45 vyber: a) prirodzené čísla; b) celé čísla; c) záporné čísla; d) kladné čísla; e) opačné čísla.

1) Zapíšte si číslo oproti číslu a.

2) Uveďte číslo oproti číslu a, ak:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A \u003d 6, -a \u003d - 2, -a \u003d 3.4.

1) Zapamätajte si, čo záznam znamená: - (- a).

2) Nahraďte * takým číslom, aby ste dostali správnu rovnosť: a) - (- 5) = *; b) 3 = - *.

Domáca úloha

jeden). Vyplňte tabuľku:

2). Nájdite: a) -m,

ak m = -8,

ak m = -16

ak -k = 27

ak -k = -35

ak c = 41

ak c = -3,6

3). Koľko párov opačných čísel sa nachádza medzi číslami -7,2 a 3,6. Označte na súradnicovej čiare.

4). Zistite meno vynikajúceho francúzskeho vedca:

Viete kde v Každodenný život stretávame sa s kladnými a zápornými číslami?

Zoznam použitých zdrojov

1. Matematická encyklopédia (v 5 zväzkoch). - M.: Sovietska encyklopédia, 2002. - T. 1.
2. "Najnovší sprievodca pre školákov" "DOM XXI storočia" 2008
3. Zhrnutie lekcie na tému " Opačné čísla" Autor: Petrova V.P., učiteľka matematiky (5.-9. ročník), Kyjev
4. N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematika pre 6. ročník, Učebnica pre strednú školu

§ 1 Pojem kladného čísla

V tejto lekcii sa dozviete, aké čísla sa nazývajú protiklady, ako nájsť opačné číslo a tiež, čo sú celé čísla a racionálne čísla.

Začnime s praktická práca. Na súradnicovej čiare označte body A(2) a B(-2). Sú symetrické a stredom symetrie týchto bodov je počiatok O(0), keďže vzdialenosť OA=OB.

Vidíme, že súradnice bodov, ktoré sú symetrické podľa pôvodu, sú čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom. Takéto čísla sa nazývajú protiklady.

Existuje ďalšia definícia opačných čísel. Aké sú moduly čísel 2 a -2? Rovné 2. Opačné čísla sú teda čísla, ktoré majú rovnaké moduly, ale líšia sa znamienkom.

Na označenie čísla oproti danému číslu použite znamienko mínus, ktoré sa píše pred daným číslom. To znamená, že opak a sa píše ako −a. Napríklad číslo 0,24 je opačné k číslu −0,24, číslo -25 je opačné k číslu −(−25), ale číslo -25 na súradnici je opačné k číslu 25, čo znamená -(-25) = 25. Z toho vyplýva, že -( -a) = a a a = -(-a).

§ 2 Vlastnosti protiľahlých čísel

Vyberme si niektoré vlastnosti opačných čísel.

Číslo opačné k kladnému číslu je záporné a číslo opačné k zápornému číslu je kladné. Je to pochopiteľné, keďže body súradnicovej čiary zodpovedajúce opačným číslam sú na opačných stranách počiatku.

Ak je číslo a opačné k číslu b, potom b je opačné k a - vyplýva to z vlastnosti symetrie bodov na súradnicovej čiare.

Pozrime sa na súradnicovú čiaru. Koľko bodov je možné označiť na súradnicovej čiare, ktoré sú symetrické k danej vzhľadom na počiatok? Len jeden. To znamená, že pre každé číslo existuje iba jedno opačné číslo.

Iba jedno číslo je proti sebe - toto je číslo 0, pretože 0 \u003d -0 (preto nie je obvyklé písať -0).

Čísla s spoločný znak tvoria množinu (alebo skupinu), každá množina má svoj názov.

Pripomeňme, že čísla, ktoré používame pri počítaní, sa nazývajú prirodzené čísla, tvoria množinu prirodzených čísel.

Každé prirodzené číslo má svoje opačné číslo. Prirodzené čísla, ich opačné čísla a číslo 0 sa nazývajú celé čísla.

Zlomkové čísla môžu byť tiež kladné alebo záporné. Všetky celé čísla a všetky zlomky sa nazývajú racionálne čísla. Hovorí sa tiež, že spolu tvoria súbor racionálne čísla.

Vyberme si ešte dve skupiny čísel. Zoberme si súradnicovú čiaru. Ak odstránime časť priamky, na ktorej sa nachádzajú záporné čísla, vznikne lúč s kladné čísla a začiatočný bod je 0. Zvyšné čísla sa nazývajú nezáporné, to znamená čísla, ktoré sú väčšie alebo rovné 0. Preto sú nezáporné čísla všetky záporné čísla a číslo 0, teda čísla, ktoré sú menšie alebo rovné 0.

Dnes sme sa dozvedeli, čo sú opačné, celé, racionálne, nezáporné, nekladné čísla, naučili sme sa, ako nájsť číslo opačné k danému.

Zoznam použitej literatúry:

1. Matematika.6.ročník: plány hodín k učebnici od I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-zostavovateľ L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matematika. 6. ročník: žiacka učebnica vzdelávacie inštitúcie. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Matematická príručka - http://lyudmilanik.com.ua
5. Príručka pre študentov v stredná škola http://shkolo.ru

Definícia opačných čísel

Definícia opačných čísel:

Dve čísla sú vraj opačné, ak sa líšia iba znamienkami.

Príklady opačných čísel

Príklady opačných čísel.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Odtiaľ je jasné, ako nájsť číslo opačné k danému: stačí zmeniť znamienko čísla.

Opakom 3 je číslo mínus tri.

Príklad. Čísla sú opakom údajov.

Dané: čísla 1; 5; osem; deväť.

Nájdite čísla opačné k danému.

Ak chcete vyriešiť túto úlohu, jednoducho zmeňte znamienka daných čísel:

Urobme tabuľku opačných čísel:

Číslo opačné k nule

Opakom nuly je samotná nula.

Takže opak 0 je 0.

Opačné celé čísla

Opačné celé čísla sa líšia iba znamienkami.

Príklady opačných celých čísel.

10 -10
20 -20
125 -125

Dvojica protiľahlých čísel

Keď ľudia hovoria o opačných číslach, vždy majú na mysli dvojicu opačných čísel.

Číslo je opakom iného čísla. A každé číslo má len jedno opačné číslo.

Čísla opačné k prirodzeným číslam

Čísla opačné k prirodzeným číslam sú záporné celé čísla.

Urobme tabuľku opačných čísel pre prvých päť prirodzených čísel:

Súčet opačných čísel

Súčet opačných čísel je nula. Opačné čísla sa totiž líšia len znamienkom.

V tomto článku budeme študovať opačné čísla. Tu odpovieme na otázku, aké čísla sa nazývajú protiklady, ukážeme, ako sa označuje číslo opačné k danému číslu a uvedieme príklady. Uvedieme aj hlavné výsledky, ktoré sú charakteristické pre opačné čísla.

Navigácia na stránke.

Definícia opačných čísel

Získať predstavu o opačných číslach nám pomôže.

Vyznačíme na súradnicovej čiare nejaký bod M, odlišný od počiatku. Do bodu M sa dostaneme postupným odložením z počiatku v smere k bodu M jeden segment, ako aj jeho desatinné, stotiny atď. Ak vyčleníme rovnaký počet segmentov jednotky a jej podielov v opačnom smere, dostaneme sa k ďalšiemu bodu, ktorý označíme písmenom N. Uveďme príklad ilustrujúci naše konanie (pozri obrázok nižšie). Aby sme sa dostali do bodu M na súradnicovej čiare, vyčleníme v zápornom smere dva segmenty jednotky a 4 segmenty, ktoré tvoria desatinu jednotky. Teraz odložme dva samostatné segmenty a 4 segmenty, ktoré tvoria desatinu jedného segmentu v kladnom smere. Takže dostaneme bod N.

Sme takmer pripravení prijať definíciu opačných čísel, zostáva len diskutovať o niekoľkých nuansách.

Vieme, že každý bod súradnicovej čiary zodpovedá jednému reálnemu číslu, preto bod M aj bod N zodpovedajú nejakým reálnym číslam. Takže čísla zodpovedajúce bodom M a N sa nazývajú opačné.

Samostatne je potrebné povedať o bode O - pôvode. Bod O zodpovedá číslu 0 . Číslo nula sa považuje za jeho opak.

Teraz môžeme hlasovať definícia opačných čísel.

Definícia.

Dve čísla sa nazývajú opačné, ak body zodpovedajúce týmto číslam na súradnicovej línii možno dosiahnuť umiestnením rovnakého počtu jednotkových segmentov z počiatku v opačných smeroch, ako aj zlomkov jednotkového segmentu, číslo 0 je proti sebe. .

Zápis opačných čísel a príklady

Je čas vstúpiť zápis opačných čísel.

Na označenie čísla oproti danému číslu použite znamienko mínus, ktoré sa píše pred daným číslom. To znamená, že opak a sa píše ako −a. Napríklad číslo 0,24 je oproti číslu −0,24 a číslo −25 je opačné číslo −(−25) .

Poďme priniesť príklady opačných čísel. Dvojica čísel 17 a −17 (alebo −17 a 17) je príkladom opačných celých čísel. Čísla a sú opačné racionálne čísla. Ďalšími príkladmi opačných racionálnych čísel sú dvojice čísel 5,126 a -5,126. ako aj 0,(1201) a -0,(1201) . Zostáva uviesť niekoľko príkladov opaku

Zoberme si taký príklad. Je potrebné postupne vypočítať: .

Môžete zmeniť usporiadanie čísel, ktoré sa majú pridať, a potom odčítať zostávajúce čísla: .

Ale to nie je vždy pohodlné. Napríklad vieme vypočítať zostatok vecí v nejakom sklade a potrebujeme vedieť medzivýsledok.

Môžete vykonávať akcie v rade: .

Vieme to, čo znamená, že výsledkom bude odčítanie od čísla. To znamená, že je potrebné odčítať, ale ešte nie z ničoho. Keď je od čoho odčítať, odpočítajte:

Ale môžeme „podvádzať“ a označiť . Preto predstavíme nový objekt - záporné čísla.

Už sme takúto operáciu vykonali - v prírode napríklad tiež neexistovalo číslo "", ale zaviedli sme takýto objekt, aby sme uľahčili zaznamenávanie akcií.

Predstavte si, že sme dostali pokyn vydávať a prijímať lopty v športovom sklade. Musíme viesť záznamy. Môžete písať slovami:

Vydané , Akceptované , Vydané , Akceptované , ... (Pozri obr. 1.)

Ryža. 1. Účtovníctvo

Súhlasíte, ak potrebujete vydávať a prijímať mnohokrát denne, nahrávanie nie je príliš pohodlné.

Hárok môžete rozdeliť do dvoch stĺpcov, jeden - Prijaté a druhý - Vydané. (Pozri obrázok 2.)

Ryža. 2. Zjednodušený zápis

Vstup sa skrátil. Ale tu je problém: ako pochopiť, koľko lôpt bolo odobratých (alebo rozdaných) v určitom okamihu?

Na písanie môžeme použiť nasledujúcu úvahu: keď vydávame loptičky zo skladu, ich počet na sklade klesá a pri príjme sa zvyšuje.

Ako však napísať „vydal loptu“? Môžete zadať takýto objekt: .

Tento objekt nám umožňuje matematicky zaznamenať pohyb loptičiek v poradí, v akom sa stali:

Uvažujme ešte o jednom príklade.

Na účet vášho telefónu rubľov. Boli ste online a stálo to ruble. Ukázalo sa, že dlh vo výške rubľov. Operátor by mohol zapísať takto: "klient dlhuje ruble." Dali ste ruble. Operátor odpočítal dlh. Ukázalo sa to na účte rubľov.

Je však vhodné zaznamenávať transakcie aj peniaze na účte pomocou znakov "" a "". (Pozri obrázok 3.)

Ryža. 3. Pohodlné nahrávanie

Zadáme záporné číslo, aby sme zapísali výsledok odčítania väčšieho čísla od menšieho: .

Pridanie záporného čísla je rovnaké ako odčítanie: .

Aby sme rozlíšili záporné čísla od kladných čísel, ktorými sme sa zaoberali predtým, dohodli sme sa, že pred ne umiestnime znamienko mínus: .

Vedeli by ste sa bez nich zaobísť? Áno môžeš. V každom konkrétnu situáciu použili by sme slová „späť“, „v dlhu“ a pod. Ale oni, tieto slová, by boli iné.

A tak máme univerzálny pohodlný nástroj. Jeden pre všetky takéto prípady.

Môžeme nakresliť analógiu s autom. Skladá sa to z Vysoké číslo diely, z ktorých mnohé nie sú potrebné jednotlivo, ale spolu vám umožňujú jazdiť. Rovnako aj záporné čísla – nástroj, ktorý spolu s ďalšími matematickými nástrojmi uľahčuje výpočet a zjednodušuje riešenie a zaznamenávanie mnohých problémov.

Zaviedli sme teda nový objekt – záporné čísla. Na čo sa v živote používajú?

Najprv si pripomeňme úlohy kladných čísel:

Množstvo: napr drevo, liter mlieka. (Pozri obrázok 4.)

Ryža. 4. Množstvo

Poradie: Napríklad domy sú očíslované kladnými číslami. (Pozri obrázok 5.)

Ryža. 5. Objednávanie

Meno: napríklad číslo hráča. (Pozri obrázok 6.)

Ryža. 6. Číslo ako meno

Teraz sa pozrime na funkcie záporných čísel:

Označenie chýbajúceho množstva. Číslo nie je záporné. Záporné číslo sa však používa na označenie toho, že sa suma odpočítava. Môžeme napríklad vyliať z fľaše a napísať to ako . (Pozri obrázok 7.)

Ryža. 7. Označenie chýbajúceho množstva

Objednávanie. Niekedy sa pri číslovaní vyberie nula a je potrebné očíslovať objekty na oboch stranách nuly. Napríklad poschodia umiestnené pod -th, v suteréne. (Pozri obrázok 8.) Alebo teplota, ktorá je pod zvolenou nulou. (Pozri obrázok 9.)

Ryža. 8. Poschodie pod th, v suteréne

Ryža. deväť. Záporné čísla na stupnici teplomera

Hlavným účelom záporných čísel je však nástroj na zjednodušenie matematických výpočtov.

Ale aby boli záporné čísla takto šikovný nástroj, potrebujem:

Záporná teplota je teplota pod nulou, pod nulou. Ale čo je nulová teplota? Ak chcete merať, zaznamenávať teplotu, musíte vybrať jednotku merania a referenčný bod. Oboje je dohodou. Používame stupnicu Celzia pomenovanú po vedcovi, ktorý ju navrhol. (Pozri obrázok 10.)

Ryža. 10. Anders Celsius

Tu je ako referenčný bod zvolený bod mrazu vody. Čokoľvek nižšie je označené záporná hodnota. (Pozri obrázok 11.)

Ryža. jedenásť.

Ale je jasné, že ak vezmeme ďalší referenčný bod, ďalšiu nulu, potom záporná teplota v stupňoch Celzia môže byť v tejto inej stupnici kladná. A tak sa aj stáva. Vo fyzike sa široko používa Kelvinova stupnica. Je to obdoba Celziovej stupnice, len hodnota najnižšej možnej teploty sa volí ako nula (nižšia nie je). Táto hodnota sa nazýva „absolútna nula“. V stupňoch Celzia je to približne. (Pozri obrázok 12.)

Ryža. 12. Dve stupnice

To znamená, že v Kelvinovej stupnici nie sú žiadne záporné hodnoty.

Áno, naše leto .

A mrazivý .

To znamená, že negatívna teplota je konvencia, dohoda ľudí, aby to tak nazývali.

Začnime od nuly. Nula zaujíma medzi číslami špeciálne postavenie.

Ako sme už diskutovali, pre naše pohodlie môžeme odčítanie siedmich označiť ako záporné číslo. Keďže to znamená odčítanie, znamienko "" necháme ako jeho znamienko. Zavolajme na nové číslo.

To znamená, že „“ je číslo, ktoré sa rovná nule: . A to v akomkoľvek poradí. Toto je definícia záporného (alebo opačného) čísla.

Pre každé číslo, ktoré sme predtým študovali, zavedieme nové číslo, zápor, ktorého znamienko je znamienko mínus pred ním. To znamená, že pre každé predchádzajúce číslo sa objavilo jeho záporné dvojča. Takéto dvojčatá sa nazývajú opačné čísla. (Pozri obrázok 13.)

Ryža. 13. Opačné čísla

Takže definícia: dve čísla sa nazývajú opačné čísla, ktorých súčet sa rovná nule.

Navonok sa líšia iba znakom "".

Ak pred premennou je napríklad znak "", čo to znamená? To neznamená, že táto hodnota je záporná. Znamienko mínus znamená, že táto hodnota je opačná k číslu: . Ktoré z týchto čísel je kladné a ktoré záporné, nevieme.

Ak potom .

Ak (záporné číslo), potom (kladné číslo).

Čo je opakom nuly? To už vieme.

Ak sa k ľubovoľnému číslu vrátane nuly pridá nula, pôvodné číslo sa nezmení. To znamená, že súčet dvoch núl sa rovná nule: . Ale čísla, ktorých súčet je nula, sú opačné. Nula je teda opakom samej seba.

Takže sme dali definíciu záporných čísel, zistili sme, prečo sú potrebné.

Teraz strávme nejaký čas technológiou. Zatiaľ sa musíme naučiť, ako nájsť jeho opak pre akékoľvek číslo:

V poslednej časti lekcie si povieme o nových názvoch a označeniach množín, ktoré sa objavia po zavedení záporných čísel.