Recipročné číslo 4. Recipročné číslo

Z Wikipédie, voľnej encyklopédie

Recipročné číslo(recipročný, recipročný) k danému číslu X je číslo, ktorého vynásobenie X, dáva jeden. Prijatý záznam: $\backslash frac(1)x$ alebo $x^(-1)$. Vyvolajú sa dve čísla, ktorých súčin sa rovná jednej vzájomne inverzné. Recipročné číslo by sa nemalo zamieňať s inverzná funkcia. Napríklad, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ odlišná od hodnoty inverznej funkcie kosínus – arkkozín, ktorá sa označuje $\backslash cos^(-1)x$ alebo $\backslash arccos\; x$.

Inverzné k reálnemu číslu

Formy komplexných čísel	číslo $(z)$	Obrátené $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebraické	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonometrické	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Demonštrácia	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

dôkaz:
Pre algebraické a goniometrické formy používame základnú vlastnosť zlomku, vynásobením čitateľa a menovateľa komplexným konjugátom:

• Algebraický tvar:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrický tvar:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Orientačný formulár:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Pri hľadaní prevrátenej hodnoty komplexného čísla je teda vhodnejšie použiť jeho exponenciálny tvar.

Príklad:

Formy komplexných čísel	číslo $(z)$	Obrátené $\backslash left\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash right)$
Algebraické	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonometrické	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ alebo $2\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ alebo $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Demonštrácia	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Inverzná k imaginárnej jednotke

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Tak dostaneme

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ alebo__ $i^(-1)=-i$

Podobne pre $-i$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ alebo __ $-i^(-1)=i$

Napíšte recenziu na článok "Obrátené číslo"

Poznámky

pozri tiež

Úryvok charakterizujúci recipročné číslo

Príbehy teda hovoria, a to všetko je úplne nespravodlivé, ako sa ľahko presvedčí každý, kto chce preniknúť do podstaty veci.
Rusi si lepšiu pozíciu nehľadali; ale naopak, pri ústupe prešli mnohými pozíciami, ktoré boli lepšie ako Borodino. Nezastavili sa na žiadnej z týchto pozícií: jednak preto, že Kutuzov nechcel prijať pozíciu, ktorú si nevybral, ako aj preto, že požiadavka na ľudovú bitku ešte nebola dostatočne dôrazne vyjadrená, a preto, že Miloradovič sa ešte nepriblížil. s milíciou a tiež z iných dôvodov, ktoré sú nespočetné. Faktom je, že predchádzajúce pozície boli silnejšie a že pozícia Borodina (tá, o ktorú sa bojovalo) nielenže nie je silná, ale z nejakého dôvodu nie je vôbec lepšia ako ktorákoľvek iná pozícia v Ruská ríša, čo by hádam označilo špendlíkom na mape.
Rusi nielenže neopevnili postavenie poľa Borodino vľavo v pravom uhle od cesty (teda miesta, kde sa bitka odohrala), ale nikdy pred 25. augustom 1812 ani nenapadlo, že by bitka mohla prebiehať na tomto mieste. Svedčí o tom po prvé to, že nielen 25. dňa na tomto mieste nebolo opevnenie, ale že počnúc 25. dňa 26. dňa nebolo dokončené; po druhé, ako dôkaz slúži postavenie Ševardinského reduty: Ševardinského reduta pred pozíciou, na ktorej sa bojovalo, nedáva žiadny zmysel. Prečo bola táto opevnená pevnosť silnejšia ako všetky ostatné body? A prečo pri jej obrane 24. až do neskorej noci bolo všetko úsilie vyčerpané a šesťtisíc ľudí bolo stratených? Na pozorovanie nepriateľa stačila kozácka hliadka. Po tretie, dôkazom toho, že pozícia, na ktorej sa bitka odohrala, sa nepredpokladalo a že Ševardinského pevnôstka nebola predným bodom tejto pozície, je to, že Barclay de Tolly a Bagration boli až do 25. júna presvedčení, že Ševardinského pevnôstka bola ľavým krídlom postavenie a že sám Kutuzov vo svojej správe, napísanej v horúčave po bitke, nazýva Ševardinského pevnôstku ľavým krídlom pozície. Oveľa neskôr, keď sa verejne písali správy o bitke pri Borodine, bolo to (pravdepodobne na ospravedlnenie chýb hlavného veliteľa, ktorý musel byť neomylný), že bolo vynájdené nespravodlivé a zvláštne svedectvo, že Shevardinského reduta slúžila ako predsunutý post (pričom išlo len o opevnený bod ľavého krídla) a ako keby sme bitku pri Borodine prijali v opevnenom a vopred vybranom postavení, pričom sa odohrala na úplne nečakanom a takmer neopevnenom mieste.
Záležitosť bola, samozrejme, takáto: poloha bola zvolená pozdĺž rieky Kolocha, ktorá pretína hlavnú cestu nie pod priamkou, ale pod ostrý uhol, takže ľavý bok bol v Shevardine, pravý bok bol pri dedine Nový a stred bol v Borodine, na sútoku riek Kolocha a Voyna. Táto pozícia, pod krytom rieky Kolocha, pre armádu, ktorej cieľom je zastaviť nepriateľa v pohybe po Smolenskej ceste do Moskvy, je zrejmá každému, kto sa pozrie na pole Borodino a zabudne, ako sa bitka odohrala.
Napoleon, ktorý odišiel 24. do Valujeva, nevidel (ako hovoria príbehy) polohu Rusov od Utitsy po Borodin (nevidel túto polohu, pretože tam nebola) a nevidel predsunutú pozíciu ruská armáda, ale narazil pri prenasledovaní ruského zadného voja na ľavom krídle postavenia Rusov, na Ševardinského redutu a pre Rusov nečakane presunul jednotky cez Kolochu. A Rusi, ktorí nemali čas vstúpiť do všeobecnej bitky, ustúpili ľavým krídlom z pozície, ktorú zamýšľali zaujať, a zaujali novú pozíciu, ktorá nebola predvídaná a nebola opevnená. Keď Napoleon prešiel na ľavú stranu Kolochy, vľavo od cesty, presunul celú budúcu bitku sprava doľava (zo strany Rusov) a preniesol ju na pole medzi Utitsou, Semenovským a Borodinom (v tomto poli , ktoré nemá pre postavenie nič výhodnejšie ako ktorékoľvek iné pole v Rusku) a na tomto poli sa celá bitka odohrala 26. V hrubej forme bude plán navrhovanej bitky a bitky, ktorá sa odohrala, nasledovný:

Ak by Napoleon neodišiel 24. večer do Kolochy a nedal rozkaz zaútočiť na redutu hneď večer, ale útok začal na druhý deň ráno, nikto by nepochyboval, že Ševardinského reduta bola ľavý bok našej pozície; a bitka by sa odohrala tak, ako sme očakávali. V takom prípade by sme zrejme ešte tvrdohlavejšie bránili redutu Shevardina, naše ľavé krídlo; zaútočili na Napoleona v strede alebo napravo a 24. dňa by došlo k všeobecnej bitke v pozícii, ktorá bola opevnená a predpokladaná. Ale keďže k útoku na naše ľavé krídlo došlo večer, po ústupe nášho zadného voja, teda hneď po bitke pri Gridneve, a keďže ruskí vojenskí vodcovia nechceli alebo nestihli začať všeobecnú bitku v ten istý deň 24. večer, prvá a hlavná akcia Borodinského, bitka bola prehraná 24. dňa a samozrejme viedla k strate bitky, ktorá bola daná 26.
Po strate Ševardinského pevnôstky sme sa 25. rána ocitli bez pozície na ľavom krídle a boli nútení zohnúť ľavé krídlo a narýchlo ho kdekoľvek posilniť.
Ruské jednotky však 26. augusta nielenže stáli len pod ochranou slabého, nedokončeného opevnenia, nevýhodu tejto situácie ešte umocnila skutočnosť, že ruskí vojenskí vodcovia si plne neuvedomujúc realizovanú skutočnosť (stratu postavenia na ľavom krídle a presun celého budúceho bojiska sprava doľava), zostali vo svojej vysunutej polohe z dediny Novy do Utitsa a v dôsledku toho museli počas bitky presunúť svoje jednotky sprava doľava. Takto mali počas celej bitky Rusi proti všetkým francúzska armáda, mieril na naše ľavé krídlo, dvakrát najslabšie sily. (Akcie Poniatowského proti Utitsovi a Uvarovovi na pravom krídle Francúzov boli oddelené od priebehu bitky.)
Bitka pri Borodine sa teda vôbec nestala tak, ako ju opisujú (snaha skryť chyby našich vojenských vodcov a v dôsledku toho znevažovať slávu ruskej armády a ľudu). Bitka pri Borodine sa neodohrala na vybranom a opevnenom postavení len s najslabšími silami zo strany Rusov a bitku pri Borodine kvôli strate Ševardinského pevnôstky ovládli Rusi na otvorenom priestranstve. takmer neopevnené územie s dvakrát najslabšími silami proti Francúzom, teda za takých podmienok, v ktorých bolo nielen nemysliteľné bojovať desať hodín a urobiť bitku nerozhodnou, ale bolo nemysliteľné udržať armádu pred úplnou porážkou a útekom. na tri hodiny.

25. ráno Pierre opustil Mozhaisk. Pri zostupe z obrovskej strmej a krivej hory vedúcej von z mesta, popri katedrále stojacej na hore vpravo, v ktorej bola bohoslužba a evanjelium, Pierre vystúpil z koča a šiel pešo. Za ním zostúpil na horu akýsi jazdecký pluk s peselníkmi vpredu. Smerom k nemu stúpal vlak povozov so zranenými zo včerajšieho činu. Sedliaci poháňači, kričiac na kone a bičujúc ich bičmi, pobehovali z jednej strany na druhú. Vozíky, na ktorých ležali a sedeli traja a štyria zranení vojaci, preskakovali kamene pohodené v podobe chodníka na strmom svahu. Ranení, spútaní v handrách, bledí, so zovretými perami a zamračeným obočím, držiac sa postelí, skákali a tlačili sa na vozoch. Takmer s naivnou detskou zvedavosťou sa všetci pozerali biely klobúk a Pierrov zelený frak.

Obrátené - alebo recipročné - čísla sa nazývajú dvojice čísel, ktoré po vynásobení dávajú 1. všeobecný pohľadčísla sú obrátené. Charakteristický špeciálny prípad recipročné čísla - pár. Inverzné sú povedzme čísla; .

Ako nájsť recipročné

Pravidlo: musíte vydeliť 1 (jedna) daným číslom.

Príklad č. 1.

Je uvedené číslo 8. Jeho inverzný pomer je 1:8 alebo (druhá možnosť je vhodnejšia, pretože takýto zápis je matematicky správnejší).

Pri hľadaní recipročného z spoločný zlomok, potom to deliť 1 nie je veľmi výhodné, pretože nahrávanie sa stáva ťažkopádnym. V tomto prípade je oveľa jednoduchšie urobiť inak: zlomok sa jednoducho otočí, pričom sa vymení čitateľ a menovateľ. Ak je uvedený správny zlomok, tak po jeho prevrátení sa získa zlomok nesprávny, t.j. taký, z ktorého sa dá extrahovať celá časť. Ak to chcete urobiť alebo nie, musíte sa rozhodnúť od prípadu k prípadu. Ak teda musíte vykonať nejaké akcie s výsledným prevráteným zlomkom (napríklad násobenie alebo delenie), nemali by ste vybrať celú časť. Ak je výsledný zlomok konečným výsledkom, potom je možno žiaduci výber celočíselnej časti.

Príklad č. 2.

Daný zlomok. Obráťte sa na to:.

Ak chcete nájsť recipročné z desatinný zlomok, potom by ste mali použiť prvé pravidlo (delenie 1 číslom). V tejto situácii môžete konať jedným z 2 spôsobov. Prvým je jednoducho rozdeliť 1 týmto číslom do stĺpca. Druhým je vytvoriť zlomok z 1 v čitateli a desatinné miesto v menovateli a potom vynásobiť čitateľa a menovateľa číslami 10, 100 alebo iným číslom pozostávajúcim z 1 a takého počtu núl, koľko je potrebné na odstránenie desatinnej čiarky. v menovateli. Výsledkom bude obyčajný zlomok, ktorý je výsledkom. Ak je to potrebné, možno ho budete musieť skrátiť, extrahovať z neho časť celého čísla alebo ho previesť do desiatkovej podoby.

Príklad č. 3.

Uvedené číslo je 0,82. Jeho recipročné je: . Teraz zmenšíme zlomok a vyberieme časť celého čísla: .

Ako skontrolovať, či sú dve čísla recipročné

Princíp overovania je založený na definícii recipročných hodnôt. To znamená, že aby ste sa uistili, že čísla sú navzájom inverzné, musíte ich vynásobiť. Ak je výsledok jedna, potom sú čísla vzájomne inverzné.

Príklad číslo 4.

Vzhľadom na čísla 0,125 a 8. Sú vzájomné?

Vyšetrenie. Je potrebné nájsť súčin 0,125 a 8. Pre prehľadnosť uvádzame tieto čísla ako obyčajné zlomky: (zmenšíme 1. zlomok o 125). Záver: čísla 0,125 a 8 sú inverzné.

Vlastnosti recipročných

Nehnuteľnosť #1

Recipročná hodnota existuje pre akékoľvek číslo iné ako 0.

Toto obmedzenie je spôsobené tým, že nemôžete deliť 0 a pri určení prevrátenej nuly ju bude potrebné len presunúť do menovateľa, t.j. vlastne rozdeliť tým.

Nehnuteľnosť č. 2

Súčet dvojice recipročných čísel nie je nikdy menší ako 2.

Matematicky možno túto vlastnosť vyjadriť nerovnicou: .

Nehnuteľnosť č. 3

Násobenie čísla dvomi recipročnými číslami je ekvivalentné násobeniu jedným. Vyjadrime túto vlastnosť matematicky: .

Príklad číslo 5.

Nájdite hodnotu výrazu: 3,4 0,125 8. Keďže čísla 0,125 a 8 sú recipročné (pozri príklad č. 4), nie je potrebné násobiť 3,4 0,125 a potom 8. Takže odpoveď tu je 3.4.

Obsah:

Recipročné sú potrebné pri riešení všetkých typov algebraických rovníc. Napríklad, ak potrebujete vydeliť jedno zlomkové číslo druhým, vynásobíte prvé číslo prevrátenou hodnotou druhého. Okrem toho sa pri hľadaní rovnice priamky používajú recipročné hodnoty.

Kroky

1 Hľadanie prevrátenej hodnoty zlomku alebo celého čísla

1. 1 Nájdite prevrátenú hodnotu zlomkového čísla preklopením.„Recipročné číslo“ je definované veľmi jednoducho. Na jej výpočet stačí vypočítať hodnotu výrazu "1 ÷ (pôvodné číslo)." Pre zlomkové číslo je recipročné iné zlomkové číslo, ktoré možno vypočítať jednoducho „obrátením“ zlomku (zámenou čitateľa a menovateľa).
   • Napríklad recipročná 3/4 je 4 / 3 .
2. 2 Napíš prevrátenú hodnotu celého čísla ako zlomok. A v tomto prípade sa recipročné vypočíta ako 1 ÷ (pôvodné číslo). Pre celé číslo napíšte prevrátenú ako zlomok, nie je potrebné robiť výpočty a zapíšte to ako desatinné číslo.
   • Napríklad prevrátená hodnota 2 je 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Hľadanie prevrátenej hodnoty zmiešaného zlomku

1. 1 Čo " zmiešaná frakcia". Zmiešaný zlomok je číslo zapísané ako celé číslo a jednoduchý zlomok, napríklad 2 4 / 5. Nájdenie prevrátenej hodnoty zmiešanej frakcie sa vykonáva v dvoch krokoch, ktoré sú popísané nižšie.
2. 2 Zmiešaný zlomok zapíšte ako nesprávny zlomok. Samozrejme, pamätajte na to, že jednotku možno zapísať ako (číslo) / (rovnaké číslo) a zlomky s rovnakým menovateľom (číslo pod čiarou) možno navzájom sčítať. Tu je návod, ako to možno urobiť pre zlomok 2 4 / 5:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Otočte zlomok. Keď sa zmiešaný zlomok zapíše ako nesprávny zlomok, prevrátený zlomok môžeme ľahko nájsť jednoduchým zámenou čitateľa a menovateľa.
   • Vo vyššie uvedenom príklade by recipročná hodnota bola 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Hľadanie prevrátenej desatinnej čiarky

1. 1 Ak je to možné, uveďte desatinné číslo ako zlomok. Musíte vedieť, že veľa desatinných miest sa dá ľahko previesť jednoduché zlomky. Napríklad 0,5 = 1/2 a 0,25 = 1/4. Keď napíšete číslo ako jednoduchý zlomok, prevrátené číslo nájdete jednoducho otočením zlomku.
   • Napríklad prevrátená hodnota 0,5 je 2/1 = 2.
2. 2 Vyriešte problém pomocou delenia. Ak nemôžete zapísať desatinné číslo ako zlomok, vypočítajte prevrátenú hodnotu vyriešením úlohy delením: 1 ÷ (desatinné číslo). Na vyriešenie môžete použiť kalkulačku alebo preskočiť na ďalší krok, ak chcete hodnotu vypočítať ručne.
   • Napríklad prevrátená hodnota 0,4 sa vypočíta ako 1 ÷ 0,4.
3. 3 Zmeňte výraz tak, aby pracoval s celými číslami. Prvým krokom pri delení desatinných miest je posúvanie pozičnej bodky, kým všetky čísla vo výraze nie sú celé čísla. Pretože posuniete pozičnú čiarku o rovnaký počet miest v dividende aj v deliteľovi, dostanete správnu odpoveď.
4. 4 Napríklad zoberiete výraz 1 ÷ 0,4 a napíšete ho ako 10 ÷ 4. V tomto prípade ste posunuli čiarku o jedno miesto doprava, čo je rovnaké ako vynásobenie každého čísla desiatimi.
5. 5 Úlohu vyriešte vydelením čísel stĺpcom. Pomocou delenia podľa stĺpca môžete vypočítať prevrátenú hodnotu čísla. Ak vydelíte 10 4, mali by ste dostať 2,5, čo je prevrátená hodnota 0,4.

• Hodnota zápornej prevrátenej hodnoty bude prevrátená hodnota čísla vynásobená -1. Napríklad záporná recipročná hodnota 3/4 je -4/3.
• Recipročné číslo sa niekedy označuje ako "recipročné" alebo "recipročné".
• Číslo 1 je vlastné recipročné, pretože 1 ÷ 1 = 1.
• Nula nemá žiadnu recipročnú hodnotu, pretože výraz 1 ÷ 0 nemá žiadne riešenia.

Zavolá sa dvojica čísel, ktorých súčin sa rovná jednej vzájomne inverzné.

Príklady: 5 a 1/5, -6/7 a -7/6 a

Pre každé číslo a, ktoré sa nerovná nule, existuje inverzia 1/a.

Prevrátená hodnota nuly je nekonečno.

Inverzné zlomky- sú to dva zlomky, ktorých súčin je 1. Napríklad 3/7 a 7/3; 5/8 a 8/5 atď.

pozri tiež

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je "Obrátené číslo" v iných slovníkoch:

Číslo, ktorého súčin krát dané číslo sa rovná jednej. Dve takéto čísla sa nazývajú recipročné. Takými sú napríklad 5 a 1/5, 2/3 a 3/2 atď. ... Veľký encyklopedický slovník

recipročné číslo-- [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Témy energia vo všeobecnosti EN inverzné čísloprevrátené číslo … Technická príručka prekladateľa

Číslo, ktorého súčin krát dané číslo sa rovná jednej. Dve takéto čísla sa nazývajú recipročné. Sú to napríklad 5 a 1/5, 2/3 a 3/2 atď. * * * REVERSE NUMBER REVERSE NUMBER, číslo, ktorého súčin krát dané číslo je ... encyklopedický slovník

Číslo, ktorého súčin s daným číslom sa rovná jednej. Dve takéto čísla sa nazývajú recipročné. Takéto sú napríklad 5 a a, ktoré sa nerovná nule, existuje inverzná ... Veľká sovietska encyklopédia

Číslo, súčin k a dané číslo sa rovná jednej. Volajú sa dve takéto čísla vzájomne inverzné. Takými sú napríklad 5 a 1/5. 2/3 a 3/2 atď... Prírodná veda. encyklopedický slovník

Tento výraz má iné významy, pozri Číslo (významy). Číslo je základný pojem matematiky používaný na kvantitatívne charakteristiky, porovnávanie a číslovanie objektov. Vznikol v primitívnej spoločnosti z potrieb ... ... Wikipedia

Pozri tiež: Číslo (lingvistika) Číslo je abstrakcia používaná na kvantifikáciu objektov. Po tom, čo sa v primitívnej spoločnosti objavila potreba počítania, pojem čísla sa zmenil a obohatil a zmenil sa na najdôležitejší matematický ... Wikipedia

Spätné vírenie vody pri odtoku je takmer vedecký mýtus založený na nesprávnej aplikácii Coriolisovho efektu na pohyb vody vo vírivke, ku ktorému dochádza pri jej stekaní do odtokového otvoru umývadla alebo vane. Podstatou mýtu je, že voda ... ... Wikipedia

ČÍSLO, IRATIONAL, číslo, ktoré nemožno vyjadriť zlomkom. Príklady zahŕňajú C2 a p číslo. Preto iracionálne čísla sú čísla s nekonečným počtom (neperiodických) desatinných miest. (Opak však nie je...... Vedecko-technický encyklopedický slovník

Laplaceova transformácia je integrálna transformácia, ktorá spája funkciu komplexnej premennej (obrazu) s funkciou reálnej premennej (originálu). S jeho pomocou sa skúmajú vlastnosti dynamických systémov a diferenciálne a ... Wikipedia

knihy

• Klub šťastných manželiek, Weaver Fon. 27 žien z rôzne časti svetlo, navzájom sa nepoznajú, s iným osudom. Nemajú nič spoločné, až na jednu vec - sú šialene šťastní v manželstve už vyše 25 rokov, pretože poznajú Tajomstvo ... Keď ...

Uvádzame definíciu a uvádzame príklady recipročných čísel. Zvážte, ako nájsť prevrátenú hodnotu prirodzeného čísla a prevrátenú hodnotu obyčajného zlomku. Okrem toho zapíšeme a dokážeme nerovnosť, ktorá odráža vlastnosť súčtu recipročných čísel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Recipročné čísla. Definícia

Definícia. Recipročné čísla

Recipročné čísla sú tie čísla, ktorých súčin dáva jednotku.

Ak a · b = 1, potom môžeme povedať, že číslo a je prevrátená hodnota čísla b, rovnako ako číslo b je prevrátená hodnota čísla a.

Najjednoduchším príkladom recipročných čísel sú dve jednotky. V skutočnosti 1 1 = 1, takže a = 1 a b = 1 sú vzájomne inverzné čísla. Ďalším príkladom sú čísla 3 a 1 3 , - 2 3 a - 3 2 , 6 13 a 13 6 , log 3 17 a log 17 3 . Súčin ľubovoľného páru vyššie uvedených čísel sa rovná jednej. Ak táto podmienka nie je splnená, ako napríklad pri číslach 2 a 2 3 , potom čísla nie sú vzájomne inverzné.

Definícia recipročných čísel je platná pre akékoľvek čísla – prirodzené, celé, reálne aj komplexné.

Ako nájsť prevrátenú hodnotu daného čísla

Zoberme si všeobecný prípad. Ak sa pôvodné číslo rovná a , potom sa jeho recipročné číslo zapíše ako 1 a , alebo a - 1 . Skutočne, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Pre prirodzené čísla a bežné zlomky je nájdenie prevrátenej hodnoty pomerne jednoduché. Dalo by sa dokonca povedať, že je to zrejmé. V prípade nájdenia čísla, ktoré je prevrátené k iracionálnemu alebo komplexnému číslu, bude potrebné vykonať množstvo výpočtov.

Zvážte najčastejšie prípady v praxi hľadania recipročného.

Prevrátená časť spoločného zlomku

Je zrejmé, že prevrátená hodnota spoločného zlomku ab je zlomkom b a . Takže nájsť inverzný zlomokčíslo, zlomok stačí prevrátiť. To znamená, že prehoďte čitateľa a menovateľa.

Podľa tohto pravidla môžete takmer okamžite napísať prevrátenú hodnotu akéhokoľvek obyčajného zlomku. Takže pre zlomok 28 57 bude recipročný zlomok 57 28 a pre zlomok 789 256 - číslo 256 789.

Prevrátená hodnota prirodzeného čísla

Prevrátenú hodnotu ľubovoľného prirodzeného čísla môžete nájsť rovnakým spôsobom ako prevrátenú hodnotu zlomku. Prirodzené číslo a stačí znázorniť ako obyčajný zlomok a 1 . Potom bude jeho recipročná hodnota 1 a . Pre prirodzené číslo 3 má prevrátenú hodnotu 1 3, pre 666 je prevrátená 1 666 atď.

Osobitná pozornosť by sa mala venovať jednotke, pretože je jednotného čísla, ktorej recipročná sa rovná sebe samej.

Neexistujú žiadne ďalšie dvojice recipročných čísel, kde sú obe zložky rovnaké.

Prevrátená hodnota zmiešaného čísla

Zmiešané číslo má tvar a b c . Ak chcete nájsť jeho recipročné, potrebujete zmiešané číslo prezentujte nesprávny zlomok na strane a vyberte prevrátený zlomok pre výsledný zlomok.

Napríklad nájdime prevrátenú hodnotu 7 2 5 . Najprv predstavme 7 2 5 ako nevlastný zlomok: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Pre nevlastný zlomok 37 5 je prevrátená hodnota 5 37 .

Prevrátená desatinná čiarka

Desatinný zlomok môže byť vyjadrený aj ako bežný zlomok. Nájdenie prevrátenej časti desatinného zlomku čísla spočíva v reprezentácii desatinného zlomku ako bežného zlomku a nájdení jeho prevrátenej hodnoty.

Napríklad existuje zlomok 5, 128. Nájdime jeho recipročné. Najprv prevedieme desatinné číslo na bežný zlomok: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Pre výsledný zlomok bude recipročný zlomok 125641.

Uvažujme ešte o jednom príklade.

Príklad. Hľadanie prevrátenej desatinnej čiarky

Nájdite prevrátenú hodnotu periodického desatinného zlomku 2 , (18) .

Previesť desatinné číslo na obyčajné:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Po preklade si ľahko zapíšeme prevrátenú hodnotu zlomku 24 11. Toto číslo bude zrejme 11 24 .

Pre nekonečný a neopakujúci sa desatinný zlomok sa prevrátená zapíše ako zlomok s jednotkou v čitateli a samotný zlomok v menovateli. Napríklad pre nekonečný zlomok 3 6025635789 . . . recipročná bude 1 3 , 6025635789 . . . .

Podobne pre iracionálne čísla zodpovedajúca neperiodickému nekonečné zlomky, prevrátené sa píšu ako zlomkové výrazy.

Napríklad prevrátená hodnota π + 3 3 80 je 80 π + 3 3 a prevrátená hodnota 8 + e 2 + e je 1 8 + e 2 + e.

Recipročné čísla s koreňmi

Ak je tvar dvoch čísel odlišný od a a 1 a , potom nie je vždy ľahké určiť, či sú čísla vzájomne inverzné. To platí najmä pre čísla, ktoré majú vo svojom zápise znamienko koreňa, pretože je zvyčajne zvykom zbaviť sa koreňa v menovateli.

Obráťme sa na prax.

Odpovedzme na otázku: sú čísla 4 - 2 3 a 1 + 3 2 vzájomné.

Aby sme zistili, či sú čísla vzájomne inverzné, vypočítame ich súčin.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Súčin sa rovná jednej, čo znamená, že čísla sú vzájomne inverzné.

Uvažujme ešte o jednom príklade.

Príklad. Recipročné čísla s koreňmi

Zapíšte si prevrátenú hodnotu 5 3 + 1 .

Okamžite môžete napísať, že reciproká sa rovná zlomku 1 5 3 + 1. Ako sme však už povedali, zvykom je zbaviť sa koreňa v menovateli. Ak to chcete urobiť, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom 25 3 - 5 3 + 1 . Dostaneme:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Recipročné čísla s mocninami

Predpokladajme, že existuje číslo rovné nejakej mocnine čísla a . Inými slovami, číslo a umocnené na n. Prevrátená hodnota a n je a - n . Poďme si to overiť. Skutočne: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Príklad. Recipročné čísla s mocninami

Nájdite prevrátenú hodnotu 5 - 3 + 4 .

Podľa vyššie uvedeného je požadovaný počet 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Recipročné s logaritmami

Pre logaritmus čísla a k základu b je recipročné číslo rovné logaritmu čísla b k základu a.

log a b a log b a sú vzájomne recipročné čísla.

Poďme si to overiť. Z vlastností logaritmu vyplýva, že log a b = 1 log b a , čo znamená log a b · log b a .

Príklad. Recipročné s logaritmami

Nájdite prevrátenú hodnotu logaritmu 3 5 - 2 3 .

Prevrátená hodnota logaritmu 3 k základu 3 5 - 2 je logaritmus 3 5 - 2 k základu 3.

Prevrátená hodnota komplexného čísla

Ako už bolo uvedené, definícia recipročných čísel platí nielen pre reálne čísla, ale aj pre komplexné čísla.

Komplexné čísla sú zvyčajne reprezentované v algebraickom tvare z = x + i y . Recipročná z toho bude zlomok

1 x + i y . Pre zjednodušenie možno tento výraz skrátiť vynásobením čitateľa a menovateľa x - i y .

Príklad. Prevrátená hodnota komplexného čísla

Nech existuje komplexné číslo z = 4 + i . Hľadajme to obojstranné.

Prevrátená hodnota z = 4 + i sa bude rovnať 1 4 + i.

Vynásobte čitateľa a menovateľa 4 - i a dostanete:

1 4 + i \u003d 4 - i 4 + i 4 - i \u003d 4 - i 4 2 - i 2 \u003d 4 - i 16 - (- 1) \u003d 4 - i 17.

Okrem algebraickej formy môže byť komplexné číslo reprezentované v trigonometrickej alebo exponenciálnej forme takto:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

V súlade s tým bude recipročné číslo vyzerať takto:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Presvedčime sa o tom:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Zvážte príklady s reprezentáciou komplexných čísel v trigonometrickej a exponenciálnej forme.

Nájdite inverznú hodnotu k 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Vzhľadom na to, že r = 2 3 , φ = π 6 , zapíšeme prevrátené číslo

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Príklad. Nájdite prevrátenú hodnotu komplexného čísla

Aká je inverzia k 2 · e i · - 2 π 5 .

Odpoveď: 1 2 e i 2 π 5

Súčet recipročných čísel. Nerovnosť

Existuje veta o súčte dvoch reciprokých čísel.

Súčet vzájomne recipročných čísel

Súčet dvoch kladných a recipročných čísel je vždy väčší alebo rovný 2.

Ponúkame dôkaz vety. Ako je známe, pre akékoľvek kladné čísla a a b je aritmetický priemer väčší alebo rovný geometrickému priemeru. Dá sa to zapísať ako nerovnosť:

a + b 2 ≥ a b

Ak namiesto čísla b vezmeme prevrátenú hodnotu a , nerovnosť bude mať tvar:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Poďme priniesť praktický príklad ilustrujúci túto vlastnosť.

Príklad. Nájdite súčet recipročných čísel

Vypočítajme súčet čísel 2 3 a jeho prevrátenú hodnotu.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Ako hovorí veta, výsledné číslo je väčšie ako dva.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter