Čo je sínus a kosínus. Sínus, kosínus, tangens, kotangens ostrého uhla. Goniometrické funkcie

Pojmy sínus, kosínus, tangens a kotangens sú hlavnými kategóriami trigonometrie - odvetvia matematiky a sú neoddeliteľne spojené s definíciou uhla. Ovládanie tejto matematickej vedy si vyžaduje zapamätanie a pochopenie vzorcov a teorémov, ako aj rozvinuté priestorové myslenie. Preto trigonometrické výpočty často spôsobujú ťažkosti školákom a študentom. Aby ste ich prekonali, mali by ste sa lepšie zoznámiť s goniometrickými funkciami a vzorcami.

Pojmy v trigonometrii

Aby ste pochopili základné pojmy trigonometrie, musíte sa najprv rozhodnúť, čo je pravouhlý trojuholník a uhol v kruhu a prečo sú s nimi spojené všetky základné trigonometrické výpočty. Trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov 90 stupňov, je pravouhlý trojuholník. Historicky túto postavu často používali ľudia v architektúre, navigácii, umení, astronómii. V súlade s tým ľudia pri štúdiu a analýze vlastností tohto čísla dospeli k výpočtu zodpovedajúcich pomerov jeho parametrov.

Hlavné kategórie spojené s pravouhlými trojuholníkmi sú prepona a nohy. Prepona je strana trojuholníka, ktorá je oproti pravému uhlu. Nohy sú ďalšie dve strany. Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je vždy 180 stupňov.

Sférická trigonometria je časť trigonometrie, ktorá sa v škole neštuduje, ale v aplikovaných vedách ako astronómia a geodézia ju vedci využívajú. Znakom trojuholníka v sférickej trigonometrii je, že má vždy súčet uhlov väčší ako 180 stupňov.

Uhly trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku je sínus uhla pomer nohy oproti požadovanému uhlu k prepone trojuholníka. V súlade s tým je kosínus pomerom susednej vetvy a prepony. Obe tieto hodnoty majú vždy svoju hodnotu menej ako jeden, keďže prepona je vždy dlhšia ako noha.

Tangenta uhla je hodnota rovnajúca sa pomeru protiľahlého ramena k susednému ramenu požadovaného uhla alebo sínusu ku kosínusu. Kotangens je zase pomer priľahlého ramena požadovaného uhla k opačnému kaktetu. Kotangens uhla možno získať aj delením jednotky hodnotou dotyčnice.

jednotkový kruh

Jednotková kružnica v geometrii je kružnica, ktorej polomer sa rovná jednej. Takáto kružnica je zostrojená v karteziánskom súradnicovom systéme, pričom stred kružnice sa zhoduje s počiatočným bodom a počiatočná poloha vektora polomeru je určená kladným smerom osi X (os úsečka). Každý bod kružnice má dve súradnice: XX a YY, teda súradnice úsečky a ordináty. Vyberieme ľubovoľný bod na kružnici v rovine XX a pustíme z neho kolmicu na os x, dostaneme pravouhlý trojuholník tvorený polomerom k vybranému bodu (označme ho písmenom C), kolmicu nakreslenú k os X (priesečník je označený písmenom G) a úsečka os x medzi počiatkom (bod je označený písmenom A) a priesečníkom G. Výsledný trojuholník ACG je pravouhlý trojuholník vpísaný do kruh, kde AG je prepona a AC a GC sú nohy. Uhol medzi polomerom kružnice AC a segmentom osi x s označením AG definujeme ako α (alfa). Takže, cos α = AG/AC. Vzhľadom na to, že AC je polomer jednotkovej kružnice a rovná sa jednej, ukáže sa, že cos α=AG. Podobne sin α=CG.

Okrem toho, ak poznáte tieto údaje, môžete určiť súradnicu bodu C na kruhu, pretože cos α \u003d AG a sin α \u003d CG, čo znamená, že bod C má dané súradnice(cos α; sin α). Keď vieme, že dotyčnica sa rovná pomeru sínusu ku kosínusu, môžeme určiť, že tg α \u003d y / x a ctg α \u003d x / y. Vzhľadom na uhly v negatívnom súradnicovom systéme je možné vypočítať, že sínusové a kosínusové hodnoty niektorých uhlov môžu byť záporné.

Výpočty a základné vzorce

Hodnoty goniometrických funkcií

Po zvážení podstaty goniometrických funkcií cez jednotkový kruh môžeme odvodiť hodnoty týchto funkcií pre niektoré uhly. Hodnoty sú uvedené v tabuľke nižšie.

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Rovnice, v ktorých je pod znamienkom goniometrickej funkcie neznáma hodnota, sa nazývajú trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k je ľubovoľné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. hriech x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Odlievané vzorce

Táto kategória konštantných vzorcov označuje metódy, pomocou ktorých môžete prejsť od goniometrických funkcií tvaru k funkciám argumentu, to znamená previesť sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej hodnoty na zodpovedajúce ukazovatele uhla uhla. interval od 0 do 90 stupňov pre väčšie pohodlie pri výpočtoch.

Vzorce na redukciu funkcií pre sínus uhla vyzerajú takto:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = hriech α.

Pre kosínus uhla:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Použitie vyššie uvedených vzorcov je možné pri dodržaní dvoch pravidiel. Po prvé, ak možno uhol znázorniť ako hodnotu (π/2 ± a) alebo (3π/2 ± a), hodnota funkcie sa zmení:

• od hriechu k cos;
• od cos k hriechu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkcie zostáva nezmenená, ak možno uhol znázorniť ako (π ± a) alebo (2π ± a).

Po druhé, znamienko zníženej funkcie sa nemení: ak bolo pôvodne pozitívne, tak to zostane. To isté platí pre negatívne funkcie.

Vzorce na sčítanie

Tieto vzorce vyjadrujú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangens súčtu a rozdielu dvoch uhlov natočenia z hľadiska ich goniometrických funkcií. Uhly sa zvyčajne označujú ako α a β.

Vzorce vyzerajú takto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β.

Vzorce s dvojitým a trojitým uhlom

Goniometrické vzorce pre dvojité a trojitý uhol sú vzorce, ktoré spájajú funkcie uhlov 2α a 3α s goniometrickými funkciami uhla α. Odvodené zo sčítacích vzorcov:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prechod od sumy k produktu

Ak vezmeme do úvahy, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohto vzorca dostaneme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobne sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prechod od produktu k sume

Tieto vzorce vyplývajú z identít pre prechod súčtu na súčin:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Redukčné vzorce

V týchto identitách sa námestie a kubický stupeň sínus a kosínus možno vyjadriť ako sínus a kosínus prvej mocniny viacnásobného uhla:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzálna náhrada

Univerzálne goniometrické substitučné vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie ako tangens polovičného uhla.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), zatiaľ čo x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatiaľ čo x \u003d π + 2πn.

Špeciálne prípady

Konkrétne prípady najjednoduchších goniometrických rovníc sú uvedené nižšie (k je akékoľvek celé číslo).

Súkromné ​​pre sínus:

Kosínové kvocienty:

Súkromné ​​pre dotyčnicu:

Kotangensové kvocienty:

Vety

Sínusová veta

Existujú dve verzie vety - jednoduchá a rozšírená. Jednoduchá sínusová veta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto prípade sú a, b, c strany trojuholníka a α, β, γ sú opačné uhly.

Rozšírená sínusová veta pre ľubovoľný trojuholník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V tejto identite R označuje polomer kružnice, do ktorej je daný trojuholník vpísaný.

Kosínusová veta

Identita sa zobrazuje takto: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Vo vzorci sú a, b, c strany trojuholníka a α je uhol opačnej strany a.

Tangentová veta

Vzorec vyjadruje vzťah medzi dotyčnicami dvoch uhlov a dĺžkou strán proti nim. Strany sú označené a, b, c a zodpovedajúce opačné uhly sú α, β, γ. Vzorec tangentovej vety: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangensová veta

Priradí polomer kružnice vpísanej trojuholníku k dĺžke jeho strán. Ak a, b, c sú strany trojuholníka a A, B, C sú ich opačné uhly, r je polomer vpísanej kružnice a p je polovica obvodu trojuholníka, nasledujúce identity držať:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikácie

Trigonometria nie je len teoretická veda, s ktorou súvisí matematické vzorce. Jeho vlastnosti, vety a pravidlá využívajú v praxi rôzne priemyselné odvetvia ľudská aktivita- astronómia, letecká a námorná navigácia, hudobná teória, geodézia, chémia, akustika, optika, elektronika, architektúra, ekonómia, strojárstvo, meračské práce, počítačová grafika, kartografia, oceánografia a mnohé iné.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné pojmy trigonometrie, pomocou ktorých môžete matematicky vyjadriť vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán v trojuholníku a pomocou identít, teorémov a pravidiel nájsť požadované veličiny.

Pomer opačnej nohy k prepone sa nazýva sínus ostrý uhol správny trojuholník.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer najbližšej nohy k prepone sa nazýva kosínus ostrého uhla správny trojuholník.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer protiľahlej nohy k susednej sa nazýva tangens ostrého uhla správny trojuholník.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer susednej nohy k opačnej sa nazýva kotangens ostrého uhla správny trojuholník.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sínus ľubovoľného uhla

Nazýva sa ordináta bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \alpha sínus ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

\sin \alpha=y

Kosínus ľubovoľného uhla

Nazýva sa úsečka bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \alpha kosínus ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta ľubovoľného uhla

Pomer sínusu ľubovoľného uhla natočenia \alfa k jeho kosínusu sa nazýva dotyčnica ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens ľubovoľného uhla

Pomer kosínusu ľubovoľného uhla natočenia \alfa k jeho sínusu sa nazýva kotangens ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Príklad nájdenia ľubovoľného uhla

Ak \alpha je nejaký uhol AOM , kde M je bod na jednotkovej kružnici, potom

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Napríklad, ak \uhol AOM = -\frac(\pi)(4), potom: ordináta bodu M je -\frac(\sqrt(2))(2), úsečka je \frac(\sqrt(2))(2) a preto

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabuľka hodnôt sínusov kosínusov dotyčníc kotangens

Hodnoty hlavných často sa vyskytujúcich uhlov sú uvedené v tabuľke:

Trigonometria je časť matematiky, ktorá študuje goniometrické funkcie a ich využitie v geometrii. V tom čase sa začal rozvoj trigonometrie staroveké Grécko. Počas stredoveku vedci z Blízkeho východu a Indie významne prispeli k rozvoju tejto vedy.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Rozoberá definície hlavných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Je vysvetlený a znázornený ich význam v kontexte geometrie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pôvodne boli definície goniometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, vyjadrené pomerom strán pravouhlého trojuholníka.

Definície goniometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) je pomer priľahlého ramena k prepone.

Tangenta uhla (t g α) je pomer protiľahlého ramena k susednému.

Kotangens uhla (c t g α) je pomer priľahlého ramena k protiľahlému ramenu.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol pravouhlého trojuholníka!

Uveďme ilustráciu.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C sa sínus uhla A rovná pomeru ramena BC k prepone AB.

Definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Dôležité mať na pamäti!

Rozsah hodnôt sínus a kosínus: od -1 do 1. Inými slovami, sínus a kosínus nadobúdajú hodnoty od -1 do 1. Rozsah hodnôt dotyčnice a kotangens je celá číselná os, teda tieto funkcie môžu mať akúkoľvek hodnotu.

Vyššie uvedené definície sa vzťahujú na ostré uhly. V trigonometrii sa zavádza pojem uhla natočenia, ktorého hodnota na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená rámcami od 0 do 90 stupňov.Uhol natočenia v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od - ∞ až + ∞.

V tomto kontexte je možné definovať sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavte si jednotkový kruh so stredom v počiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1 , 0) sa otáča okolo stredu jednotkovej kružnice o určitý uhol α a smeruje do bodu A 1 . Definícia je daná prostredníctvom súradníc bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla natočenia

Sínus uhla natočenia α je ordináta bodu A 1 (x, y). sinα = y

Kosínus (cos) uhla natočenia

Kosínus uhla natočenia α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) uhla natočenia

Tangenta uhla natočenia α je pomerom ordináty bodu A 1 (x, y) k jeho os. t g α = y x

Kotangens (ctg) uhla natočenia

Kotangens uhla natočenia α je pomer úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho ordinate. c t g α = x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože úsečka a ordináta bodu po otočení sa dajú určiť pod ľubovoľným uhlom. Iná situácia je pri tangente a kotangens. Dotyčnica nie je definovaná, keď bod po otočení ide do bodu s nulovou úsečkou (0 , 1) a (0 , - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α = y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je aj s kotangensom. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný v prípadoch, keď ordináta bodu zmizne.

Dôležité mať na pamäti!

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľné uhly α.

Dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri rozhodovaní praktické príklady nehovorte "sínus uhla natočenia α". Slová „uhol natočenia“ sú jednoducho vynechané, čo naznačuje, že z kontextu je už jasné, o čo ide.

čísla

A čo definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla a nie uhla rotácie?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t volá sa číslo, ktoré sa rovná sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v t radián.

Napríklad sínus 10 π rovný sínusu uhol natočenia 10 π rad.

Existuje iný prístup k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Akékoľvek skutočné číslo t bod na jednotkovej kružnici je v súlade so stredom v počiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú definované z hľadiska súradníc tohto bodu.

Počiatočný bod na kružnici je bod A so súradnicami (1 , 0).

kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého sa posunie začiatočný bod, ak sa bude pohybovať proti smeru hodinových ručičiek okolo kruhu a prejde dráhu t .

Teraz, keď sme vytvorili spojenie medzi číslom a bodom na kružnici, pristúpime k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Sínus (hriech) čísla t

Sínus čísla t- ordináta bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. hriech t = y

Kosínus (cos) t

Kosínus čísla t- súradnica bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. cos t = x

Tangenta (tg) t

Tangenta čísla t- pomer zvislej osi k osovej osi bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. t g t = y x = sin t cos t

Posledné uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tejto časti a nie sú v rozpore s ňou. Ukážte na kruh zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého prechádza počiatočný bod po otočení cez uhol t radián.

Goniometrické funkcie uhlového a numerického argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínusu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α iné ako α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) zodpovedá určitej hodnote dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α, okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α , cos α , t g α , c t g α sú funkcie uhla alfa alebo funkcie uhlového argumentu.

Podobne možno hovoriť o sínusoch, kosínusoch, tangentoch a kotangens ako o funkciách číselného argumentu. Každé skutočné číslo t zodpovedá konkrétnej hodnote sínusu alebo kosínusu čísla t. Všetky čísla iné ako π 2 + π · k , k ∈ Z zodpovedajú hodnote dotyčnice. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π · k , k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, s ktorým argumentom goniometrickej funkcie (uhlovým argumentom alebo číselným argumentom) máme do činenia.

Vráťme sa k údajom na samom začiatku definícií a uhlu alfa, ktorý leží v rozmedzí od 0 do 90 stupňov. Trigonometrické definície sínus, kosínus, tangens a kotangens sú v úplnom súlade s geometrickými definíciami danými pomermi strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Vezmite jednotkový kruh so stredom v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Otočme začiatočný bod A (1, 0) o uhol až 90 stupňov a nakreslíme z výsledného bodu A 1 (x, y) kolmo na os x. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 O H rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena O H sa rovná osovej osi bodu A 1 (x, y) . Dĺžka ramena oproti rohu sa rovná ordinate bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice.

V súlade s definíciou z geometrie sa sínus uhla α rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone.

hriech α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znamená, že definícia sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku cez pomer strán je ekvivalentná definícii sínusu uhla natočenia α, pričom alfa leží v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať zhodu definícií pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Spočiatku sínus a kosínus vznikli kvôli potrebe vypočítať množstvá v pravouhlých trojuholníkoch. Zistilo sa, že ak sa hodnota mierky uhlov v pravouhlom trojuholníku nezmení, potom pomer strán, bez ohľadu na to, ako veľmi sa tieto strany menia na dĺžku, zostáva vždy rovnaký.

Takto boli zavedené pojmy sínus a kosínus. Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone a kosínus je pomer priľahlej vetvy k prepone.

Kosínusové a sínusové vety

Ale kosínus a sínus možno použiť nielen v pravouhlých trojuholníkoch. Ak chcete nájsť hodnotu tupého alebo ostrého uhla, strany akéhokoľvek trojuholníka, stačí použiť kosínusovú a sínusovú vetu.

Kosínusová veta je celkom jednoduchá: „Štvorec strany trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín ďalších dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán o kosínus uhla medzi nimi.“

Existujú dve interpretácie sínusovej vety: malá a rozšírená. Podľa malého: "V trojuholníku sú uhly úmerné opačným stranám." Táto veta sa často rozširuje kvôli vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku: "V trojuholníku sú uhly úmerné opačným stranám a ich pomer sa rovná priemeru kružnice opísanej."

Deriváty

Derivácia je matematický nástroj, ktorý ukazuje, ako rýchlo sa funkcia mení vzhľadom na zmenu jej argumentu. Deriváty sa používajú v geometrii a v mnohých technických disciplínach.

Pri riešení problémov potrebujete poznať tabuľkové hodnoty derivátov goniometrických funkcií: sínus a kosínus. Deriváciou sínusu je kosínus a derivátom kosínusu je sínus, ale so znamienkom mínus.

Aplikácia v matematike

Obzvlášť často sa sínusy a kosínusy používajú pri riešení pravouhlých trojuholníkov a problémov s nimi súvisiacich.

Pohodlie sínusov a kosínusov sa odráža aj v technológii. Uhly a strany sa dali ľahko vyhodnotiť pomocou kosínusovej a sínusovej vety, čím sa zložité tvary a objekty rozdelili na „jednoduché“ trojuholníky. Inžinieri, ktorí sa často zaoberajú výpočtami pomeru strán a mier, strávili veľa času a úsilia výpočtom kosínusov a sínusov netabuľkových uhlov.

Potom prišli na pomoc tabuľky Bradis, ktoré obsahovali tisíce hodnôt sínusov, kosínusov, tangentov a kotangens rôznych uhlov. V sovietskych časoch niektorí učitelia nútili svojich zverencov, aby si zapamätali stránky tabuliek Bradis.

Radián - uhlová hodnota oblúka pozdĺž dĺžky rovnajúcej sa polomeru alebo 57,295779513 ° stupňov.

Stupeň (v geometrii) - 1/360 kružnice alebo 1/90 pravého uhla.

π = 3,141592653589793238462… (približná hodnota pi).

Kosínusový stôl pre uhly: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Pojmy sínus (), kosínus (), tangens (), kotangens () sú neoddeliteľne spojené s pojmom uhol. Aby sme dobre porozumeli týmto na prvý pohľad zložitým pojmom (ktoré u mnohých školákov vyvolávajú hrôzu) a presvedčili sa, že „čert nie je taký strašidelný, ako ho namaľovali“, začnime od začiatku a pochopme pojem uhla.

Pojem uhla: radián, stupeň

Pozrime sa na obrázok. Vektor sa "otočil" vzhľadom na bod o určitú hodnotu. Takže miera tejto rotácie vzhľadom na počiatočnú polohu bude injekciou.

Čo ešte potrebujete vedieť o koncepte uhla? No, jednotky uhla, samozrejme!

Uhol v geometrii aj trigonometrii možno merať v stupňoch a radiánoch.

Uhol (jeden stupeň) je stredový uhol v kruhu, založený na kruhovom oblúku, ktorý sa rovná časti kruhu. Celý kruh sa teda skladá z „kúskov“ kruhových oblúkov, alebo je uhol opísaný kruhom rovnaký.

To znamená, že obrázok vyššie ukazuje uhol, ktorý je rovnaký, to znamená, že tento uhol je založený na kruhovom oblúku veľkosti obvodu.

Uhol v radiánoch sa nazýva stredový uhol v kruhu na základe kruhového oblúka, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. Dobre, pochopili ste? Ak nie, pozrime sa na obrázok.

Obrázok teda ukazuje uhol rovný radiánu, to znamená, že tento uhol je založený na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu (dĺžka sa rovná dĺžke alebo polomeru rovná dĺžke oblúky). Dĺžka oblúka sa teda vypočíta podľa vzorca:

Kde je stredový uhol v radiánoch.

Keď to viete, viete odpovedať, koľko radiánov obsahuje uhol opísaný kruhom? Áno, na to si musíte zapamätať vzorec pre obvod kruhu. Tu je:

Teraz poďme dať do korelácie tieto dva vzorce a zistíme, že uhol opísaný kruhom je rovnaký. To znamená, že koreláciou hodnoty v stupňoch a radiánoch dostaneme to. Respektíve, . Ako vidíte, na rozdiel od „stupňov“ je vynechané slovo „radián“, pretože merná jednotka je zvyčajne jasná z kontextu.

Koľko je radiánov? To je správne!

Mám to? Potom upevnite dopredu:

Nejaké ťažkosti? Potom sa pozrite odpovede:

Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla

Takže, s konceptom uhla prišiel na to. Aký je však sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla? Poďme na to. K tomu nám pomôže pravouhlý trojuholník.

Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana); nohy sú dve zostávajúce strany a (tie susediace s pravý uhol), navyše, ak vezmeme do úvahy nohy vzhľadom na uhol, potom noha je susedná noha a noha je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: aký je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?

Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

v našom trojuholníku.

Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.

v našom trojuholníku.

Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej).

v našom trojuholníku.

Kotangens uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).

v našom trojuholníku.

Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu čím rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica a kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus a kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:

kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;

Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.

V prvom rade je potrebné si uvedomiť, že sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (pod jedným uhlom). neveríte? Potom sa presvedčte na obrázku:

Zoberme si napríklad kosínus uhla. Podľa definície z trojuholníka: , ale môžeme vypočítať kosínus uhla z trojuholníka: . Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.

Ak rozumiete definíciám, pokračujte a opravte ich!

Pre trojuholník zobrazený na obrázku nižšie nájdeme.

Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre roh.

Jednotkový (trigonometrický) kruh

Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným. Takýto kruh sa nazýva slobodný. Je veľmi užitočný pri štúdiu trigonometrie. Preto sa mu budeme venovať trochu podrobnejšie.

Ako vidíte, tento kruh je postavený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu je rovný jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).

Každý bod kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi a súradnici pozdĺž osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vôbec, čo majú spoločné s danou témou? Aby ste to dosiahli, nezabudnite na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.

Čo sa rovná z trojuholníka? To je správne. Okrem toho vieme, že ide o polomer jednotkovej kružnice, a preto . Dosaďte túto hodnotu do nášho kosínusového vzorca. Čo sa stane:

A čo sa rovná z trojuholníka? No, samozrejme,! Dosaďte hodnotu polomeru do tohto vzorca a získajte:

Môžete mi teda povedať, aké sú súradnice bodu, ktorý patrí do kruhu? No v žiadnom prípade? A ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici to zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! Akej súradnici to zodpovedá? Správne, koordinovať! Teda pointa.

A čo sú si potom rovné a? Správne, použime príslušné definície tangens a kotangens a získajme to, a.

Čo ak je uhol väčší? Tu, napríklad, ako na tomto obrázku:

Čo sa zmenilo v tento príklad? Poďme na to. Aby sme to urobili, opäť sa otočíme do pravouhlého trojuholníka. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Aká je hodnota sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:

No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnica; a hodnoty tangens a kotangens k zodpovedajúcim pomerom. Tieto vzťahy sú teda použiteľné pre akékoľvek rotácie vektora polomeru.

Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, dopadne to z rovnakého uhla určité množstvo, ale bude iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.

Vieme teda, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru o alebo o? No, samozrejme, môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu úplnú otáčku a zastaví sa v polohe resp.

V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri úplné otáčky a zastaví sa v polohe resp.

Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.

Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)

Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať na to, čomu sa hodnoty rovnajú:

Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:

Nejaké ťažkosti? Potom poďme na to prísť. Takže vieme, že:

Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: roh v zodpovedá bodu so súradnicami, teda:

Neexistuje;

Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.

odpovede:

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Neexistuje

Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:

Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:

Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:

Nebojte sa, teraz si ukážeme jeden z príkladov pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:

Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangenty uhla v. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom ľahké obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:

Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami znázornenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si celú hodnotu z tabuľky.

Súradnice bodu na kružnici

Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?

No, samozrejme, môžete! Poďme vyviesť všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.

Tu máme napríklad taký kruh:

Je nám dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.

Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že sa rovná. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:

Potom to máme pre bod súradnice.

Podľa rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. teda

Takže v všeobecný pohľad súradnice bodov sú určené vzorcami:

Súradnice stredu kruhu,

polomer kruhu,

Uhol natočenia vektora polomeru.

Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sú nulové a polomer sa rovná jednej:

Nuž, skúsme si ochutnať tieto vzorce, precvičiť si hľadanie bodov na kruhu?

1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu.

2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu.

3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu.

4. Bod - stred kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.

5. Bod - stred kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.

Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?

Vyriešte týchto päť príkladov (alebo riešeniu dobre pochopte) a naučíte sa ich nájsť!

1.

Je to vidieť. Vieme však, čo zodpovedá úplnému otočeniu štartovací bod. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:

2. Kruh je jednotka so stredom v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:

Je to vidieť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným rotáciám počiatočného bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:

Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pamätáme si ich hodnoty a dostávame:

Požadovaný bod má teda súradnice.

3. Kruh je jednotka so stredom v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:

Je to vidieť. Znázornime uvažovaný príklad na obrázku:

Polomer zviera s osou uhly rovné a. Vedieť, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a určiť, že kosínus tu trvá negatívny význam a sínus je kladný, máme:

Viac podobné príklady pochopiť pri štúdiu vzorcov na redukciu goniometrických funkcií v téme.

Požadovaný bod má teda súradnice.

4.

Uhol natočenia vektora polomeru (podľa podmienky)

Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:

Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:

Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:

Požadovaný bod má teda súradnice.

5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde

Súradnice stredu kruhu (v našom príklade

Polomer kruhu (podľa podmienky)

Uhol natočenia vektora polomeru (podľa podmienky).

Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získajte:

a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:

Požadovaný bod má teda súradnice.

SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.

Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej).

Kotangens uhla je pomer susednej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).