Vzorec na určenie dĺžky kruhu. Ako nájsť a aký bude obvod kruhu

Kruh je zakrivená čiara, ktorá obklopuje kruh. V geometrii sú postavy ploché, takže definícia sa vzťahuje na dvojrozmerný obraz. Predpokladá sa, že všetky body tejto krivky sú v rovnakej vzdialenosti od stredu kruhu.

Kruh má niekoľko charakteristík, na základe ktorých sa robia výpočty spojené s týmto geometrickým útvarom. Patria sem: priemer, polomer, plocha a obvod. Tieto charakteristiky sú vzájomne prepojené, to znamená, že na ich výpočet postačia informácie aspoň o jednej zo zložiek. Napríklad poznať iba polomer geometrický obrazec pomocou vzorca môžete zistiť obvod, priemer a jeho plochu.

Polomer kruhu je segment vo vnútri kruhu spojený s jeho stredom.
Priemer je úsečka vo vnútri kruhu, ktorá spája jej body a prechádza stredom. V skutočnosti je priemer dva polomery. Presne takto vyzerá vzorec na jej výpočet: D=2r.
Existuje ďalšia zložka kruhu - akord. Ide o priamku, ktorá spája dva body na kružnici, no nie vždy prechádza stredom. Takže struna, ktorá cez ňu prechádza, sa nazýva aj priemer.

Ako zistiť obvod kruhu? Teraz to poďme zistiť.

Obvod: vzorec

Na označenie tejto charakteristiky bolo zvolené latinské písmeno p. Archimedes tiež dokázal, že pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je rovnaký pre všetky kruhy: je to číslo π, ktoré sa približne rovná 3,14159. Vzorec na výpočet π vyzerá takto: π = p/d. Podľa tohto vzorca sa hodnota p rovná πd, teda obvodu: p= πd. Keďže d (priemer) sa rovná dvom polomerom, rovnaký obvodový vzorec možno napísať ako p=2πr. Zvážte aplikáciu vzorca pomocou jednoduchých úloh ako príklad:

Úloha 1

Pri základni cárskeho zvonu je priemer 6,6 metra. Aký je obvod základne zvonu?

Takže vzorec na výpočet kruhu je p= πd
Nahradíme existujúcu hodnotu vo vzorci: p \u003d 3,14 * 6,6 \u003d 20,724

Odpoveď: Obvod podstavy zvona je 20,7 metra.

Úloha 2

Umelá družica Zeme rotuje vo vzdialenosti 320 km od planéty. Polomer Zeme je 6370 km. Aká je dĺžka kruhovej dráhy satelitu?

1. Vypočítajte polomer kruhovej dráhy družice Zeme: 6370+320=6690 (km)
2. Vypočítajte dĺžku kruhovej dráhy družice podľa vzorca: P=2πr
3.P=2*3,14*6690=42013,2

Odpoveď: dĺžka kruhovej dráhy družice Zeme je 42013,2 km.

Metódy merania obvodu

Výpočet obvodu kruhu sa v praxi často nepoužíva. Dôvodom je približná hodnota čísla π. V každodennom živote sa na zistenie dĺžky kruhu používa špeciálne zariadenie - curvimeter. Na kruhu je vyznačený ľubovoľný referenčný bod a zariadenie je z neho vedené striktne pozdĺž čiary, kým opäť nedosiahne tento bod.

Ako zistiť obvod kruhu? Stačí mať na pamäti jednoduché vzorce na výpočty.

Poučenie

Najprv sú potrebné počiatočné údaje k úlohe. Faktom je, že o jeho stave sa nedá jednoznačne povedať, aký je polomer kruhy. Namiesto toho môže byť problém daný dĺžkou priemeru kruhy. Priemer kruhyúsečka, ktorá spája dva protiľahlé body kruhy prechádza jeho stredom. Po analýze definícií kruhy, môžeme povedať, že dĺžka priemeru je dvojnásobkom dĺžky polomeru.

Teraz môžeme prijať polomer kruhy rovná R. Potom pre dĺžku kruhy musíte použiť vzorec:
L = 2πR = πD, kde L je dĺžka kruhy, D - priemer kruhy, čo je vždy 2-násobok polomeru.

Poznámka

Kruh môže byť vpísaný do mnohouholníka alebo okolo neho opísaný. Navyše, ak je kruh vpísaný, potom ich rozdelí na polovicu v bodoch kontaktu so stranami mnohouholníka. Ak chcete nájsť polomer vpísaného kruhu, musíte rozdeliť oblasť polygónu na polovicu jeho obvodu:
R = S/p.
Ak je kruh opísaný okolo trojuholníka, potom jeho polomer nájdeme podľa nasledujúceho vzorca:
R \u003d a * b * c / 4S, kde a, b, c sú strany daného trojuholníka, S je oblasť trojuholníka, okolo ktorého je kruh opísaný.
Ak je potrebné opísať kruh okolo štvoruholníka, možno to urobiť za dvoch podmienok:
Štvoruholník musí byť konvexný.
Súčet protiľahlých uhlov štvoruholníka by mal byť 180°

Užitočné rady

Okrem tradičného posuvného meradla možno na kreslenie kruhu použiť aj šablóny. Súčasťou moderných šablón je kruh rôzne priemery. Tieto šablóny je možné zakúpiť v každom papiernictve.

Zdroje:

Ako zistiť obvod kruhu?

Kruh - uzavretá zakrivená čiara, ktorej všetky body sú na rovnakú vzdialenosť z jedného bodu. Tento bod je stredom kruhu a segment medzi bodom na krivke a jeho stredom sa nazýva polomer kruhu.

Poučenie

Ak je stredom kruhu nakreslená priamka, potom jej segment medzi dvoma priesečníkmi tejto priamky s kružnicou sa nazýva priemer tejto kružnice. Polovica priemeru, od stredu po bod, kde sa priemer pretína s kružnicou, je polomer
kruhy. Ak sa kružnica rozreže v ľubovoľnom bode, narovná a zmeria, výsledná hodnota je dĺžka daného kruhu.

Nakreslite niekoľko kruhov s rôznymi riešeniami kompasu. Vizuálne porovnanie nám umožňuje dospieť k záveru väčší priemer nakreslí väčší kruh ohraničený väčším kruhom. Preto medzi priemerom kruhu a jeho dĺžkou je priamy proporcionálna závislosť.

Podľa fyzikálneho významu zodpovedá parameter „obvod“ ohraničený prerušovanou čiarou. Ak je do kruhu vpísaný pravidelný n-uholník so stranou b, potom sa obvod takéhoto obrázku P rovná súčinu strany b počtom strán n: P \u003d b * n. Stranu b môžeme určiť podľa vzorca: b=2R*Sin (π/n), kde R je polomer kružnice, do ktorej je vpísaný n-uholník.

S rastúcim počtom strán sa obvod vpísaného mnohouholníka bude čoraz viac približovať k L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Vzťah medzi obvodom L a jeho priemerom D je konštantný. Pomer L / D \u003d n * Sin (π / n), keďže počet strán vpísaného mnohouholníka má tendenciu k nekonečnu, smeruje k číslu π, konštantnej hodnote nazývanej „číslo pí“ a vyjadrenej ako nekonečno desiatkový. Na výpočty bez použitia počítačová veda berie sa hodnota π=3,14. Obvod kruhu a jeho priemer sú spojené podľa vzorca: L= πD. Pre kruh vydeľte jeho dĺžku π=3,14.

Poďme najprv pochopiť rozdiel medzi kruhom a kruhom. Aby sme videli tento rozdiel, stačí zvážiť, aké sú obe čísla. Toto je nekonečný počet bodov v rovine, ktoré sa nachádzajú v rovnakej vzdialenosti od jedného centrálneho bodu. Ale ak sa kruh skladá z vnútorný priestor, potom nepatrí do okruhu. Ukazuje sa, že kruh je kruh, ktorý ho ohraničuje (o-kruh (g)ness), ako aj nespočetný počet bodov, ktoré sú vo vnútri kruhu.

Pre ľubovoľný bod L ležiaci na kružnici platí rovnosť OL=R. (Dĺžka segmentu OL sa rovná polomeru kruhu).

Úsečka, ktorá spája dva body na kruhu je akord.

Tetiva prechádzajúca priamo stredom kruhu je priemer tento kruh (D). Priemer možno vypočítať pomocou vzorca: D=2R

Obvod vypočítané podľa vzorca: C=2\pi R

Oblasť kruhu: S=\pi R^(2)

oblúk kruhu nazývaná tá jej časť, ktorá sa nachádza medzi dvoma jej bodmi. Tieto dva body definujú dva oblúky kruhu. Akord CD spája dva oblúky: CMD a CLD. Rovnaké akordy pretínajú rovnaké oblúky.

Centrálny roh je uhol medzi dvoma polomermi.

dĺžka oblúka možno nájsť pomocou vzorca:

Použitie stupňov: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Pomocou radiánovej miery: CD = \alpha R

Priemer, ktorý je kolmý na tetivu, pretína tetivu a oblúky, ktoré preklenuje.

Ak sa tetivy AB a CD kružnice pretínajú v bode N, potom sú produkty segmentov tetiv oddelených bodom N navzájom rovnaké.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangenta ku kruhu

Tangenta ku kruhu Je zvykom nazývať priamku, ktorá má jeden spoločný bod, s kružnicou.

Ak má priamka dva spoločné body, nazýva sa sekanta.

Ak nakreslíte polomer v bode dotyku, bude kolmý na dotyčnicu ku kružnici.

Z tohto bodu nakreslíme dve dotyčnice k nášmu kruhu. Ukazuje sa, že segmenty dotyčníc sa budú navzájom rovnať a stred kruhu bude v tomto bode umiestnený na osi uhla s vrcholom.

AC=CB

Teraz z nášho bodu nakreslíme ku kružnici dotyčnicu a sečnicu. Dostaneme, že druhá mocnina dĺžky dotyčnicového segmentu sa bude rovnať súčinu celého sečného segmentu jeho vonkajšia časť.

AC^(2) = CD \cdot BC

Môžeme dospieť k záveru: súčin celočíselného segmentu prvého sekantu jeho vonkajšou časťou sa rovná súčinu celočíselného segmentu druhého sekantu jeho vonkajšou časťou.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Uhly v kruhu

Miery stupňov stredového uhla a oblúka, na ktorom spočíva, sú rovnaké.

\uhol COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Vpísaný uhol je uhol, ktorého vrchol je na kruhu a ktorého strany obsahujú tetivy.

Môžete to vypočítať tak, že poznáte veľkosť oblúka, pretože sa rovná polovici tohto oblúka.

\uhol AOB = 2 \uhol ADB

Na základe priemeru, vpísaného uhla, rovné.

\uhol CBD = \uhol CED = \uhol CAD = 90^ (\circ)

Vpísané uhly, ktoré sa opierajú o rovnaký oblúk, sú identické.

Vpísané uhly založené na tej istej tetive sú rovnaké alebo ich súčet sa rovná 180^ (\circ) .

\uhol ADB + \uhol AKB = 180^ (\circ)

\uhol ADB = \uhol AEB = \uhol AFB

Na tej istej kružnici sú vrcholy trojuholníkov s rovnakými uhlami a danou základňou.

Uhol s vrcholom vo vnútri kruhu a umiestnený medzi dvoma tetivami je identický s polovicou súčtu uhlových veľkostí oblúkov kruhu, ktoré sú vo vnútri daného a vertikálnych uhlov.

\uhol DMC = \uhol ADM + \uhol DAM = \frac(1)(2) \vľavo (\cup DmC + \cup AlB \right)

Uhol s vrcholom mimo kruhu a umiestneným medzi dvoma sečnami je identický s polovicou rozdielu v uhlových veľkostiach oblúkov kruhu, ktoré sú vo vnútri uhla.

\uhol M = \uhol CBD - \uhol ACB = \frac(1)(2) \vľavo (\cup DmC - \cup AlB \right)

Vpísaný kruh

Vpísaný kruh je kruh dotýkajúci sa strán mnohouholníka.

V bode, kde sa pretínajú osi uhlov mnohouholníka, sa nachádza jeho stred.

Kruh nemusí byť vpísaný do každého mnohouholníka.

Oblasť mnohouholníka s vpísaným kruhom sa nachádza podľa vzorca:

S=pr,

p je semiperimeter mnohouholníka,

r je polomer vpísanej kružnice.

Z toho vyplýva, že polomer vpísanej kružnice je:

r = \frac(S)(p)

Dĺžka súčtu protiľahlé strany bude identická, ak je kružnica vpísaná do konvexného štvoruholníka. A naopak: kruh je vpísaný do konvexného štvoruholníka, ak súčty dĺžok protiľahlých strán v ňom sú rovnaké.

AB+DC=AD+BC

Do ktoréhokoľvek z trojuholníkov je možné vpísať kruh. Iba jeden jediný. V bode, kde sa pretínajú osi vnútorné rohy obrázok, bude ležať v strede tohto vpísaného kruhu.

Polomer vpísanej kružnice sa vypočíta podľa vzorca:

r = \frac(S)(p) ,

kde p = \frac(a + b + c)(2)

Opísaný kruh

Ak kružnica prechádza každým vrcholom mnohouholníka, potom sa takáto kružnica nazýva ohraničené okolo mnohouholníka.

Stred opísanej kružnice bude v bode priesečníka kolmých osi strán tohto obrázku.

Polomer možno nájsť jeho výpočtom ako polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka definovaného akýmikoľvek 3 vrcholmi mnohouholníka.

existuje ďalšia podmienka: kruh možno opísať okolo štvoruholníka iba vtedy, ak súčet jeho opačných uhlov je 180^( \circ) .

\uhol A + \uhol C = \uhol B + \uhol D = 180^ (\circ)

V blízkosti akéhokoľvek trojuholníka je možné opísať kruh, a to len jeden. Stred takejto kružnice bude umiestnený v bode, kde sa pretínajú kolmice strán trojuholníka.