Aký je kosínus ostrého uhla. Sínus, kosínus, tangens a kotangens - všetko, čo potrebujete vedieť na OGE a USE

Vycentrované v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.

Definícia
Sinus- Toto goniometrická funkcia v závislosti od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AC|.

Kosínus (cos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.

Akceptované označenia

;
;
.

;
;
.

Graf funkcie sínus, y = sin x

Graf funkcie kosínus, y = cos x

Vlastnosti sínusu a kosínusu

Periodicita

Funkcie y= hriech x a y= cos x periodický s bodkou 2 pi.

Parita

Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.

Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Funkcie sínus a kosínus sú spojité na svojom definičnom obore, teda pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).

Základné vzorce

Súčet druhej mocniny sínusu a kosínusu

Sínusové a kosínusové vzorce pre súčet a rozdiel

;
;

Vzorce na súčin sínusov a kosínusov

Vzorce súčtu a rozdielu

Vyjadrenie sínusu cez kosínus

;
;
;
.

Vyjadrenie kosínusu cez sínus

;
;
;
.

Vyjadrenie z hľadiska dotyčnice

; .

Pre , máme:
; .

na :
; .

Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre niektoré hodnoty argumentu.

Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných

;

Eulerov vzorec

Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií

;
;

Deriváty

; . Odvodenie vzorcov > > >

Deriváty n-tého rádu:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie k sínusu a kosínusu sú arkzín a arkkozín.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Učitelia sa domnievajú, že každý študent by mal byť schopný vykonávať výpočty, poznať trigonometrické vzorce, ale nie každý učiteľ vysvetľuje, čo sú sínus a kosínus. Aký je ich význam, kde sa používajú? Prečo hovoríme o trojuholníkoch, ale v učebnici je nakreslený kruh? Skúsme spojiť všetky fakty dokopy.

Školský predmet

Štúdium trigonometrie zvyčajne začína v 7.-8 stredná škola. V tomto čase sa študentom vysvetľuje, čo sú sínus a kosínus, ponúka sa im riešenie geometrických úloh pomocou týchto funkcií. Ďalšie sa objavia neskôr zložité vzorce a výrazy, ktoré je potrebné previesť algebraickým spôsobom (dvojité a polovičné uhlové vzorce, mocninné funkcie), sa pracuje s trigonometrickým kruhom.

Učitelia však nie vždy vedia jasne vysvetliť význam použitých pojmov a použiteľnosť vzorcov. Študent preto často v tomto predmete nevidí zmysel a naučené informácie rýchlo zabudne. Stredoškolákovi sa však oplatí raz vysvetliť napríklad súvislosť medzi funkciou a kmitavým pohybom a logickú súvislosť si zapamätá na dlhé roky a vtipy o zbytočnosti predmetu sa stanú vecou. minulosť.

Použitie

Pre zaujímavosť sa pozrime do rôznych odvetví fyziky. Chcete určiť dosah strely? Alebo počítate silu trenia medzi predmetom a určitým povrchom? Hojdanie kyvadla, sledovanie lúčov prechádzajúcich sklom, výpočet indukcie? Trigonometrické pojmy sa vyskytujú takmer v každom vzorci. Čo sú teda sínus a kosínus?

Definície

Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy k prepone, kosínus susednej vetvy k tej istej prepone. Nie je tu absolútne nič zložité. Možno sú študenti zvyčajne zmätení hodnotami, ktoré vidia v trigonometrickej tabuľke, pretože sa tam objavujú odmocniny. Áno, získať z nich desatinné zlomky nie je príliš pohodlné, ale kto povedal, že všetky čísla v matematike by mali byť párne?

V knihách o problémoch s trigonometriou môžete nájsť vtipný tip: väčšina odpovedí je tu párna av najhoršom prípade obsahuje odmocninu z dvoch alebo troch. Záver je jednoduchý: ak ste vo svojej odpovedi dostali „viacposchodový“ zlomok, dvakrát skontrolujte riešenie, či neobsahuje chyby vo výpočtoch alebo zdôvodňovaní. A s najväčšou pravdepodobnosťou ich nájdete.

Čo si zapamätať

Ako v každej vede, aj v trigonometrii existujú údaje, ktoré sa musia naučiť.

Najprv by ste si mali zapamätať číselné hodnoty sínusov, kosínusov pravouhlého trojuholníka 0 a 90, ako aj 30, 45 a 60 stupňov. Tieto ukazovatele sa nachádzajú v deviatich z desiatich školských úloh. Nahliadnutím týchto hodnôt do učebnice stratíte veľa času a nebudete sa mať kam pozerať na kontrolu alebo skúšku.

Je potrebné mať na pamäti, že hodnota oboch funkcií nemôže presiahnuť jednu. Ak kdekoľvek vo výpočte získate hodnotu mimo rozsahu 0-1, zastavte a vyriešte problém znova.

Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu sa rovná jednej. Ak ste už našli jednu z hodnôt, použite tento vzorec na nájdenie ostatných.

Vety

V základnej trigonometrii existujú dve hlavné vety: sínus a kosínus.

Prvý hovorí, že pomer každej strany trojuholníka k sínusu opačného uhla je rovnaký. Druhým je, že druhú mocninu ktorejkoľvek strany možno získať sčítaním druhých mocnín dvoch zostávajúcich strán a odčítaním dvojnásobku ich súčinu, vynásobeného kosínusom uhla ležiaceho medzi nimi.

Ak teda dosadíme do kosínusovej vety hodnotu uhla 90 stupňov, dostaneme ... Pytagorovu vetu. Ak teraz potrebujete vypočítať plochu obrázku, ktorá nie je pravouhlým trojuholníkom, už sa nemusíte obávať - ​​dve uvažované vety výrazne zjednodušia riešenie problému.

Ciele a ciele

Učenie trigonometrie bude oveľa jednoduchšie, keď si uvedomíte jeden jednoduchý fakt: všetky činnosti, ktoré vykonávate, sú zamerané na dosiahnutie jedného cieľa. Akékoľvek parametre trojuholníka sa dajú nájsť, ak o ňom viete minimum informácií – môže to byť hodnota jedného uhla a dĺžka dvoch strán alebo napríklad troch strán.

Na určenie sínusu, kosínusu, dotyčnice akéhokoľvek uhla stačia tieto údaje, s ich pomocou môžete ľahko vypočítať plochu obrázku. Takmer vždy sa ako odpoveď vyžaduje jedna z uvedených hodnôt a môžete ich nájsť pomocou rovnakých vzorcov.

Nezrovnalosti v štúdiu trigonometrie

Jednou z nejasných otázok, ktorým sa študenti radšej vyhýbajú, je objavovanie súvislostí medzi rôznymi pojmami v trigonometrii. Zdá sa, že trojuholníky sa používajú na štúdium sínusov a kosínusov uhlov, ale z nejakého dôvodu sa symboly často nachádzajú na obrázku s kruhom. Okrem toho existuje úplne nepochopiteľný vlnový graf nazývaný sínusoida, ktorý nemá žiadnu vonkajšiu podobnosť ani s kruhom, ani s trojuholníkmi.

Okrem toho sa uhly merajú buď v stupňoch alebo v radiánoch a vo vzorcoch sa z nejakého dôvodu objavuje číslo Pi, zapísané jednoducho ako 3,14 (bez jednotiek), čo zodpovedá 180 stupňom. Ako je to všetko prepojené?

Jednotky

Prečo je pi presne 3,14? Pamätáte si, aká je táto hodnota? Toto je počet polomerov, ktoré sa zmestia do oblúka na polovici kruhu. Ak je priemer kruhu 2 centimetre, obvod bude 3,14 * 2 alebo 6,28.

Druhý bod: možno ste si všimli podobnosť slov „radián“ a „polomer“. Faktom je, že jeden radián sa číselne rovná hodnote uhla vztiahnutého od stredu kruhu k oblúku s dĺžkou jedného polomeru.

Teraz skombinujeme získané poznatky a pochopíme, prečo je „Pi in half“ napísané v hornej časti súradnicovej osi v trigonometrii a „Pi“ je napísané vľavo. Toto je uhlová hodnota meraná v radiánoch, pretože polkruh má 180 stupňov alebo 3,14 radiánov. A kde sú stupne, tam sú sínusy a kosínusy. Trojuholník sa dá ľahko nakresliť požadovaný bod, odloženie segmentov do stredu a na súradnicovú os.

Pozrime sa do budúcnosti

Trigonometria, vyštudovaná v škole, sa zaoberá priamočiarym súradnicovým systémom, kde, nech to znie akokoľvek zvláštne, priamka je priamka.

Ale je toho viac ťažké spôsoby práca s priestorom: súčet uhlov trojuholníka tu bude viac ako 180 stupňov a priamka v našom pohľade bude vyzerať ako skutočný oblúk.

Prejdime od slov k činom! Vezmite si jablko. Nožom urobte tri rezy tak, aby ste pri pohľade zhora dostali trojuholník. Vyberte výsledný kúsok jablka a pozrite sa na "rebrá", kde končí šupka. Vôbec nie sú rovné. Ovocie vo vašich rukách možno podmienečne nazvať okrúhlym a teraz si predstavte, aké zložité musia byť vzorce, pomocou ktorých môžete nájsť oblasť odrezaného kusu. Niektorí odborníci však takéto problémy riešia denne.

Goniometrické funkcie v reálnom živote

Všimli ste si, že najkratšia cesta pre lietadlo z bodu A do bodu B na povrchu našej planéty má výrazný oblúkový tvar? Dôvod je jednoduchý: Zem je sférická, čo znamená, že pomocou trojuholníkov toho veľa nevypočítate – tu musíte použiť zložitejšie vzorce.

Bez sínusu / kosínusu ostrého uhla sa nezaobídete v žiadnej záležitosti súvisiacej s priestorom. Zaujímavé je, že sa tu zbieha množstvo faktorov: goniometrické funkcie sú potrebné pri výpočte pohybu planét v kruhoch, elipsách a rôznych trajektóriách na viac ako zložité tvary; proces odpaľovania rakiet, satelitov, raketoplánov, odpájania výskumných vozidiel; pozorovanie vzdialených hviezd a štúdium galaxií, ku ktorým sa ľudia v dohľadnej dobe nedostanú.

Vo všeobecnosti je pole pre činnosť osoby, ktorá vlastní trigonometriu, veľmi široké a zrejme sa bude časom rozširovať.

Záver

Dnes sme sa dozvedeli alebo v každom prípade zopakovali, čo je sínus a kosínus. Sú to pojmy, ktorých sa nemusíte báť – len chcete a pochopíte ich význam. Pamätajte, že trigonometria nie je cieľom, ale iba nástrojom, ktorý možno použiť na uspokojenie skutočných potrieb. ľudské potreby: stavajte domy, zaisťujte bezpečnosť premávky, dokonca skúmajte rozlohy vesmíru.

Skutočne, samotná veda sa môže zdať nudná, ale akonáhle v nej nájdete spôsob, ako dosiahnuť svoje vlastné ciele, sebarealizáciu, proces učenia sa stane zaujímavým a vaša osobná motivácia sa zvýši.

Ako domáca úloha pokúste sa nájsť spôsoby, ako použiť trigonometrické funkcie v oblasti činnosti, ktorá vás osobne zaujíma. Zasnívajte sa, zapnite svoju predstavivosť a potom sa určite ukáže, že nové poznatky sa vám budú v budúcnosti hodiť. A okrem toho je matematika užitočná pre všeobecný rozvoj myslenie.

Trigonometria ako veda vznikla na starovekom východe. Prvé trigonometrické pomery vyvinuli astronómovia, aby vytvorili presný kalendár a orientovali sa podľa hviezd. Tieto výpočty sa týkali sférickej trigonometrie, pričom v školskom kurze študujú pomer strán a uhla plochého trojuholníka.

Trigonometria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá vlastnosťami goniometrických funkcií a vzťahom medzi stranami a uhlami trojuholníkov.

V období rozkvetu kultúry a vedy v 1. tisícročí nášho letopočtu sa poznatky rozšírili zo starovekého východu do Grécka. Ale hlavné objavy trigonometrie sú zásluhou manželov Arabský kalifát. Najmä turkménsky vedec al-Marazvi zaviedol také funkcie ako tangens a kotangens, zostavil prvé tabuľky hodnôt pre sínus, tangens a kotangens. Pojem sínus a kosínus zaviedli indickí vedci. Veľká pozornosť je venovaná trigonometrii v dielach takých veľkých postáv staroveku ako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.

Základné veličiny trigonometrie

Základné goniometrické funkcie numerického argumentu sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Každý z nich má svoj vlastný graf: sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Vzorce na výpočet hodnôt týchto veličín sú založené na Pytagorovej vete. Školákom je to lepšie známe vo formulácii: „Pytagorove nohavice, rovnaké vo všetkých smeroch“, pretože dôkaz je uvedený na príklade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

Sínus, kosínus a iné závislosti vytvárajú vzťah medzi ostrými uhlami a stranami akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka. Uvádzame vzorce na výpočet týchto veličín pre uhol A a sledujeme vzťah goniometrických funkcií:

Ako vidíte, tg a ctg sú inverzné funkcie. Ak reprezentujeme rameno a ako súčin sínu A a prepony c a rameno b ako cos A * c, dostaneme nasledujúce vzorce pre dotyčnicu a kotangens:

trigonometrický kruh

Graficky možno pomer spomínaných veličín znázorniť takto:

Kruh je v tomto prípade všetko možné hodnoty uhol α — od 0° do 360°. Ako môžete vidieť na obrázku, každá funkcia má záporný resp kladná hodnota v závislosti od uhla. Napríklad sin α bude so znamienkom „+“, ak α patrí do I a II štvrtín kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0 ° do 180 °. Pri α od 180° do 360° (štvrtiny III a IV) môže byť sin α iba zápornou hodnotou.

Pokúsme sa zostaviť trigonometrické tabuľky pre konkrétne uhly a zistiť význam veličín.

Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° atď. sa nazývajú špeciálne prípady. Hodnoty goniometrických funkcií pre nich sú vypočítané a prezentované vo forme špeciálnych tabuliek.

Tieto uhly neboli zvolené náhodou. Označenie π v tabuľkách je pre radiány. Rad je uhol, pod ktorým dĺžka kruhového oblúka zodpovedá jeho polomeru. Táto hodnota bola zavedená za účelom vytvorenia univerzálneho vzťahu, pri výpočte v radiánoch nezáleží na skutočnej dĺžke polomeru v cm.

Uhly v tabuľkách pre goniometrické funkcie zodpovedajú radiánom:

Nie je teda ťažké uhádnuť, že 2π je celý kruh alebo 360°.

Vlastnosti goniometrických funkcií: sínus a kosínus

Aby sme mohli zvážiť a porovnať základné vlastnosti sínusu a kosínusu, dotyčnice a kotangensu, je potrebné nakresliť ich funkcie. Dá sa to urobiť vo forme krivky umiestnenej v dvojrozmernom súradnicovom systéme.

Zvážte porovnávaciu tabuľku vlastností pre sínusovú a kosínusovú vlnu:

Určenie, či je funkcia párna alebo nie, je veľmi jednoduché. Stačí si predstaviť trigonometrický kruh so znakmi trigonometrických veličín a mentálne „zložiť“ graf vzhľadom na os OX. Ak sú znamienka rovnaké, funkcia je párna, v opačnom prípade je nepárna.

Zavedenie radiánov a vymenovanie hlavných vlastností sínusovej a kosínusovej vlny nám umožňuje priniesť nasledujúci vzorec:

Overenie správnosti vzorca je veľmi jednoduché. Napríklad pre x = π/2 je sínus rovný 1, rovnako ako kosínus x = 0. Kontrolu možno vykonať prezeraním tabuliek alebo sledovaním funkčných kriviek pre dané hodnoty.

Vlastnosti tangentoidu a kotangentoidu

Grafy funkcií tangens a kotangens sa výrazne líšia od sínusoidy a kosínusovej vlny. Hodnoty tg a ctg sú navzájom inverzné.

1. Y = tgx.
2. Dotyčnica smeruje k hodnotám y pri x = π/2 + πk, ale nikdy ich nedosiahne.
3. Najmenej pozitívne obdobie tangentoida sa rovná π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.j. funkcia je nepárna.
5. Tg x = 0, pre x = πk.
6. Funkcia sa zvyšuje.
7. Tg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pre x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivát (tg x)' = 1/cos 2⁡x.

Zvážte grafický obrázok kotangentoidy nižšie.

Hlavné vlastnosti kotangentoidu:

1. Y = ctgx.
2. Na rozdiel od funkcií sínus a kosínus môže v tangentoide Y nadobudnúť hodnoty množiny všetkých reálnych čísel.
3. Kotangentoid má tendenciu k hodnotám y pri x = πk, ale nikdy ich nedosiahne.
4. Najmenšia kladná perióda kotangentoidu je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.j. funkcia je nepárna.
6. Ctg x = 0, pre x = π/2 + πk.
7. Funkcia sa znižuje.
8. Ctg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pre x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivát (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Jedna z častí matematiky, s ktorou sa školáci vyrovnávajú najväčšie ťažkosti, je trigonometria. Niet sa čomu čudovať: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť pri výpočtoch číslo pí. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť aplikovať trigonometriu, a to si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodzovať zložité logické reťazce.

Počiatky trigonometrie

Zoznámenie sa s touto vedou by malo začať definíciou sínusu, kosínusu a tangensu uhla, ale najprv musíte zistiť, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.

Historicky boli pravouhlé trojuholníky hlavným predmetom štúdia v tejto časti matematickej vedy. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, ktoré umožňujú určiť hodnoty všetkých parametrov uvažovaného obrázku pomocou dvoch strán a jedného uhla alebo dvoch uhlov a jednej strany. V minulosti si tento vzor ľudia všimli a začali ho aktívne využívať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.

Prvé štádium

Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu uhlov a strán výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v Každodenný život toto odvetvie matematiky.

Štúdium trigonometrie v škole sa dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých nadobudnuté vedomosti využívajú študenti vo fyzike a riešení abstraktných goniometrických rovníc, s ktorými sa začína už na strednej škole.

Sférická trigonometria

Neskôr, keď sa veda dostala na ďalší stupeň vývoja, začali sa vzorce so sínusom, kosínusom, dotyčnicou, kotangensom používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Táto sekcia sa na škole neštuduje, no o jej existencii je potrebné vedieť prinajmenšom preto zemského povrchu a povrch akejkoľvek inej planéty je konvexný, čo znamená, že akékoľvek označenie povrchu bude in trojrozmerný priestor„klenutý“.

Vezmite zemeguľu a nite. Pripevnite niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Venujte pozornosť - získala tvar oblúka. Práve takýmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa využíva v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných odboroch.

Správny trojuholník

Keď sme sa trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty je možné vykonať s ich pomocou a aké vzorce použiť.

Prvým krokom je pochopenie pojmov súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety sa jeho číselná hodnota rovná odmocnine súčtu štvorcov ostatných dvoch strán.

Napríklad, ak sú dve strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.

Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme je 180 stupňov.

Definícia

Nakoniec, keď dobre rozumieme geometrickej základni, môžeme prejsť k definícii sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Sínus uhla je pomer protiľahlej nohy (t. j. protiľahlej strany požadovaný uhol) do prepony. Kosínus uhla je pomer priľahlého ramena k prepone.

Pamätajte, že sínus ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo? Pretože prepona je štandardne najdlhšia. Bez ohľadu na to, aká dlhá je noha, bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menej ako jeden. Ak teda v odpovedi na úlohu dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo uvažovaní. Táto odpoveď je jednoznačne nesprávna.

Nakoniec tangens uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Rovnaký výsledok poskytne delenie sínusu kosínusom. Pozrite sa: podľa vzorca delíme dĺžku strany preponou, potom delíme dĺžkou druhej strany a násobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký pomer ako pri definícii dotyčnice.

Kotangens je pomer strany susediacej s rohom k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednotky dotyčnicou.

Takže sme zvážili definície toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme sa zaoberať vzorcami.

Najjednoduchšie vzorce

V trigonometrii sa bez vzorcov nezaobídeme – ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? A to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.

Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začnete študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak chcete poznať hodnotu uhla, nie strany.

Veľa žiakov si nevie zapamätať druhý vzorec, ktorý je tiež veľmi obľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednotky a druhej mocniny tangens uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: ide predsa o rovnaký výrok ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia robí trigonometrický vzorec úplne nerozoznateľným. Pamätajte si: s vedomím toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, pravidlá prevodu a niekoľko základných vzorcov, môžete kedykoľvek nezávisle odvodiť požadované zložitejšie vzorce na hárku papiera.

Vzorce dvojitého uhla a pridávanie argumentov

Dva ďalšie vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu pre súčet a rozdiel uhlov. Sú znázornené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.

Vo formulári sú tiež spojené vzorce s argumentmi dvojitý uhol. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - v praxi sa ich snažte získať sami, pričom uhol alfa sa rovná uhlu beta.

Nakoniec si všimnite, že vzorce s dvojitým uhlom možno previesť na zníženie stupňa sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.

Vety

Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorémov môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangentu, a teda aj plochu obrázku a veľkosť každej strany atď.

Sínusová veta hovorí, že ako výsledok delenia dĺžky každej zo strán trojuholníka hodnotou opačného uhla dostaneme rovnaké číslo. Navyše, toto číslo sa bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, teda kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.

Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odčítajte ich súčin, vynásobený dvojitým kosínusom uhla susediaceho s nimi - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.

Chyby v dôsledku nepozornosti

Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangens, je ľahké urobiť chybu v dôsledku roztržitosti alebo chyby v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa vyhli takýmto chybám, zoznámime sa s najobľúbenejšími z nich.

Po prvé, nemali by ste prevádzať bežné zlomky na desatinné miesta, kým sa nedosiahne konečný výsledok - odpoveď môžete ponechať vo forme spoločný zlomok pokiaľ nie je v podmienkach uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba pamätať na to, že v každej fáze úlohy sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa myšlienky autora mali znížiť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. Platí to najmä pre hodnoty, ako je odmocnina troch alebo dvoch, pretože sa vyskytujú v úlohách na každom kroku. To isté platí pre zaokrúhľovanie „škaredých“ čísel.

Ďalej si všimnite, že kosínusová veta platí pre akýkoľvek trojuholník, ale nie pre Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie témy. To je horšie ako neopatrná chyba.

Po tretie, nezamieňajte hodnoty uhlov 30 a 60 stupňov pre sínus, kosínus, tangens, kotangens. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zamiešať, v dôsledku čoho nevyhnutne získate chybný výsledok.

Aplikácia

Mnoho študentov sa neponáhľa so štúdiom trigonometrie, pretože nerozumejú jej aplikovanému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, vďaka ktorým môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu, poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A toto sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.

Konečne

Takže ste sínus, kosínus, tangenta. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne riešiť školské úlohy.

Celá podstata trigonometrie sa scvrkáva na skutočnosť, že neznáme parametre sa musia vypočítať zo známych parametrov trojuholníka. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžky tri strany a rozmery troch uhlov. Celý rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú dané rôzne vstupné údaje.

Ako nájsť sínus, kosínus, tangens na základe známych dĺžok nôh alebo prepony, teraz viete. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom goniometrickej úlohy je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže obyčajná školská matematika.

Myslím, že si zaslúžiš viac. Tu je môj kľúč k trigonometrii:

• Nakreslite kupolu, stenu a strop
• Goniometrické funkcie nie sú nič iné ako percentá týchto troch foriem.

Metafora pre sínus a kosínus: kupola

Namiesto toho, aby ste sa pozerali na samotné trojuholníky, predstavte si ich v akcii tak, že nejaké nájdete konkrétny príklad zo života.

Predstavte si, že ste uprostred kupoly a chcete zavesiť plátno filmového projektora. Ukážete prstom na kupolu v nejakom uhle "x" a z tohto bodu by mala byť zavesená obrazovka.

Uhol, na ktorý ukážete, určuje:

• sinus(x) = sin(x) = výška obrazovky (montážny bod od podlahy k kupole)
• cosine(x) = cos(x) = vzdialenosť od vás k obrazovke (podľa poschodia)
• prepona, vzdialenosť od vás k hornej časti obrazovky, vždy rovnaká, rovná sa polomeru kupoly

Chcete, aby bola obrazovka čo najväčšia? Zaveste to priamo nad seba.

Chcete, aby obrazovka visela čo najďalej od vás? Zaveste ho rovno kolmo. Obrazovka bude mať v tejto polohe nulovú výšku a bude visieť tak ďaleko, ako ste požadovali.

Výška a vzdialenosť od obrazovky sú nepriamo úmerné: čím bližšie bude obrazovka visieť, tým vyššia bude jej výška.

Sínus a kosínus sú percentá

Žiaľ, nikto počas môjho štúdia mi nevysvetlil, že goniometrické funkcie sínus a kosínus nie sú nič iné ako percentá. Ich hodnoty sa pohybujú od +100% do 0 až -100% alebo od kladného maxima po nulu po záporné maximum.

Povedzme, že som zaplatil daň 14 rubľov. Nevieš koľko to je. Ak si ale poviete, že som zaplatil 95 % na dani, pochopíte, že som bol jednoducho olúpaný ako lepkavý.

Absolútna výška nič neznamená. Ale ak je sínusová hodnota 0,95, potom chápem, že televízor visí takmer na vrchu vašej kupoly. Veľmi skoro dosiahne svoju maximálnu výšku v strede kupoly a potom začne opäť klesať.

Ako môžeme vypočítať toto percento? Veľmi jednoduché: vydeľte aktuálnu výšku obrazovky maximálnou možnou hodnotou (polomer kupoly, nazývaný aj prepona).

Preto hovorí sa nám, že „kosínus = opačná noha / prepona“. To všetko preto, aby ste získali percentá! Najlepší spôsob, ako definovať sínus, je „percento aktuálnej výšky z maximálnej možnej“. (Sínus sa stane záporným, ak váš uhol smeruje „pod zem“. Kosínus sa stane záporným, ak uhol ukazuje na kopulovitý bod za vami.)

Zjednodušme výpočty za predpokladu, že sme v strede jednotkovej kružnice (polomer = 1). Delenie môžeme preskočiť a vezmeme si sínus rovný výške.

Každý kruh je v podstate jeden kruh, zmenšený nahor alebo nadol správna veľkosť. Takže určite vzťahy na jednotkovej kružnici a aplikujte výsledky na vašu konkrétnu veľkosť kruhu.

Experiment: vezmite ľubovoľný roh a zistite, aké percento výšky k šírke sa zobrazuje:

Graf rastu hodnoty sínusu nie je len priamka. Prvých 45 stupňov pokrýva 70% výšky a posledných 10 stupňov (od 80° do 90°) pokrýva len 2%.

To vám bude jasnejšie: ak idete v kruhu, pri 0 ° stúpate takmer kolmo, ale ako sa blížite k vrcholu kupoly, výška sa mení čoraz menej.

Tangenta a sečna. Stena

Jedného dňa sused postavil múr presne chrbtom k sebe do tvojej kupole. Preplakal si pohľad z okna a dobrá cena na ďalší predaj!

Je však možné v tejto situácii nejako vyhrať?

Samozrejme áno. Čo ak zavesíme filmové plátno priamo na susedovu stenu? Zamierite na roh (x) a získate:

• tan(x) = tan(x) = výška obrazovky na stene
• vzdialenosť od vás k stene: 1 (toto je polomer vašej kupoly, stena sa od vás nikam neposúva, však?)
• secant(x) = sec(x) = „dĺžka rebríka“ od vás stojaceho v strede kupoly po hornú časť závesnej zásteny

Vyjasnime si pár vecí o dotyčnici alebo výške obrazovky.

• začína na 0 a môže ísť nekonečne vysoko. Obrazovku môžete na stenu natiahnuť stále vyššie a získať tak len nekonečné plátno na sledovanie vášho obľúbeného filmu! (Na taký obrovský, samozrejme, budete musieť minúť veľa peňazí).
• dotyčnica je len zväčšená verzia sínusu! A zatiaľ čo rast sínusu sa spomaľuje, keď sa pohybujete smerom k vrcholu kupoly, dotyčnica naďalej rastie!

Sekansu sa má tiež čím pochváliť:

• sečna začína na 1 (rebrík je na podlahe, od vás smerom k stene) a odtiaľ začína stúpať
• Sečna je vždy dlhšia ako dotyčnica. Šikmý rebrík, na ktorý zavesíte obrazovku, musí byť dlhší ako samotná obrazovka, však? (V nereálnych veľkostiach, keď je zástena tááák dlhá a rebrík treba umiestniť takmer zvislo, sú ich veľkosti takmer rovnaké. Ale aj tak bude sečnica trochu dlhšia).

Pamätajte, že hodnoty sú percent. Ak sa rozhodnete zavesiť obrazovku pod uhlom 50 stupňov, tan(50)=1,19. Vaša obrazovka je o 19 % väčšia ako vzdialenosť od steny (polomer kupoly).

(Zadajte x=0 a otestujte svoju intuíciu - tan(0) = 0 a sek(0) = 1.)

Kotangens a kosekans. Strop

Je neuveriteľné, že váš sused sa teraz rozhodol postaviť strop nad vašou kupolou. (Čo je s ním? Zrejme nechce, aby ste naňho nakukovali, keď sa bude prechádzať po dvore nahý...)

No je čas postaviť východ na strechu a porozprávať sa so susedom. Vyberiete si uhol sklonu a začnete stavať:

• vertikálna vzdialenosť medzi strešným výstupom a podlahou je vždy 1 (polomer kupoly)
• kotangens(x) = cot(x) = vzdialenosť medzi vrcholom kupoly a výstupným bodom
• cosecant(x) = csc(x) = dĺžka vašej cesty na strechu

Tangenta a sečna opisujú stenu, zatiaľ čo kotangensa a kosekans opisujú podlahu.

Naše intuitívne závery sú tentokrát podobné tým predchádzajúcim:

• Ak zoberiete uhol 0°, váš výstup na strechu bude trvať večnosť, pretože nikdy nedosiahne strop. Problém.
• Najkratšie „schodisko“ na strechu získate, ak ho postavíte pod uhlom 90 stupňov k podlahe. Kotangens sa bude rovnať 0 (po streche sa vôbec nepohybujeme, vychádzame striktne kolmo) a kosekant sa bude rovnať 1 („dĺžka rebríka“ bude minimálna).

Vizualizujte spojenia

Ak sú všetky tri prípady nakreslené v kombinácii kupola-stena-podlaha, získate nasledovné:

No, wow, je to všetko rovnaký trojuholník, zväčšený tak, aby dosiahol na stenu a strop. Máme vertikálne strany (sínus, tangens), horizontálne strany (kosínus, kotangens) a „hypotenusy“ (sekant, kosekans). (Podľa šípok môžete vidieť, ako ďaleko každý prvok dosahuje. Kosekans je celková vzdialenosť od vás k streche).

Trochu mágie. Všetky trojuholníky sú rovnaké:

Z Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2) vidíme, ako sú strany každého trojuholníka spojené. Okrem toho musia byť pomery výšky a šírky rovnaké pre všetky trojuholníky. (Stačí ustúpiť od najväčšieho trojuholníka k menšiemu. Áno, veľkosť sa zmenila, ale proporcie strán zostanú rovnaké).

Keď vieme, ktorá strana v každom trojuholníku je 1 (polomer kupoly), môžeme ľahko vypočítať, že "sin/cos = tan/1".

Vždy som sa snažil zapamätať si tieto skutočnosti prostredníctvom jednoduchej vizualizácie. Na obrázku môžete jasne vidieť tieto závislosti a pochopiť, odkiaľ pochádzajú. Táto technika je oveľa lepšia ako zapamätanie si suchých vzorcov.

Nezabudnite na iné uhly

Pst... Netreba sa zavesiť na jeden graf, mysliac si, že dotyčnica je vždy menšia ako 1. Ak zväčšíte uhol, môžete dosiahnuť strop bez toho, aby ste sa dostali na stenu:

Pythagorejské spojenia vždy fungujú, ale relatívne veľkosti sa môžu líšiť.

(Pravdepodobne ste si všimli, že pomer sínusu a kosínusu je vždy najmenší, pretože sú uzavreté v kupole.)

Aby som to zhrnul: čo si musíme zapamätať?

Pre väčšinu z nás by som povedal, že toto bude stačiť:

• trigonometria vysvetľuje anatómiu matematických objektov, ako sú kruhy a opakujúce sa intervaly
• analógia kupola/stena/strecha ukazuje vzťah medzi rôznymi trigonometrickými funkciami
• výsledkom goniometrických funkcií sú percentá, ktoré aplikujeme na náš scenár.

Nemusíte si pamätať vzorce ako 1 2 + detská postieľka 2 = csc 2 . Hodia sa len na hlúpe testy, v ktorých sa znalosť skutočnosti prezentuje ako jej pochopenie. Venujte chvíľu tomu, aby ste nakreslili polkruh v podobe kupoly, steny a strechy, podpíšte prvky a všetky vzorce budú od vás žiadané na papieri.

Aplikácia: Inverzné funkcie

Akákoľvek goniometrická funkcia berie ako vstup uhol a vracia výsledok v percentách. sin(30) = 0,5. To znamená, že uhol 30 stupňov zaberá 50 % maximálnej výšky.

Inverzná goniometrická funkcia sa zapisuje ako sin -1 alebo arcsin (“arxín”). Často je tiež napísaný v rôznych programovacích jazykoch.

Ak je naša výška 25% výšky kupoly, aký je náš uhol?

V našej tabuľke proporcií nájdete pomer, v ktorom je sečna delená 1. Napríklad sečna o 1 (prepona k horizontále) sa bude rovnať 1 delená kosínusom:

Povedzme, že náš sekant je 3,5, t.j. 350 % polomeru jednotkovej kružnice. Akému uhlu sklonu k stene zodpovedá táto hodnota?

Dodatok: Niekoľko príkladov

Nudná úloha. Skomplikujme banálne „nájdi sínus“ na „Aká je výška ako percento z maxima (hypotenza)?“.

Najprv si všimnite, že trojuholník je otočený. Na tom nie je nič zlé. Trojuholník má aj výšku, na obrázku je znázornený zelenou farbou.

Čomu sa rovná prepona? Podľa Pytagorovej vety vieme, že:

3 2 + 4 2 = prepona 2 25 = prepona 2 5 = prepona

Dobre! Sínus je percento výšky z najdlhšej strany trojuholníka alebo prepony. V našom príklade je sínus 3/5 alebo 0,60.

Samozrejme, môžeme ísť niekoľkými spôsobmi. Teraz vieme, že sínus je 0,60 a môžeme jednoducho nájsť arcsínus:

Asín (0,6) = 36,9

A tu je ďalší prístup. Všimnite si, že trojuholník je "tvárou v tvár k stene", takže namiesto sínusu môžeme použiť tangens. Výška je 3, vzdialenosť od steny je 4, takže dotyčnica je ¾ alebo 75%. Na prechod z percent späť na uhol môžeme použiť arkus tangens:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Príklad: Budete plávať na breh?

Ste na lodi a máte dostatok paliva na preplávanie 2 km. Teraz ste 0,25 km od pobrežia. V akom maximálnom uhle k brehu k nemu môžete doplávať, aby ste mali dostatok paliva? Dodatok k podmienke problému: máme len tabuľku hodnôt oblúkového kosínusu.

čo máme? pobrežia si môžeme predstaviť ako „stenu“ v našom známom trojuholníku a „dĺžka rebríka“ pripevneného k stene je maximálna možná prekonateľná vzdialenosť loďou k brehu (2 km). Objaví sa sekant.

Najprv musíte prejsť na percentá. Máme 2 / 0,25 = 8, čo znamená, že môžeme plávať 8-násobok priamej vzdialenosti k brehu (alebo k stene).

Vynára sa otázka „Čo je to sekant 8?“. Ale na to nemôžeme dať odpoveď, pretože máme iba oblúkové kosínusy.

Používame naše predtým odvodené závislosti na mapovanie sekantu na kosínus: „sec/1 = 1/cos“

Sekans 8 sa rovná kosínusu ⅛. Uhol, ktorého kosínus je ⅛, je acos(1/8) = 82,8. A to je najväčší uhol, ktorý si na lodi s uvedeným množstvom paliva môžeme dovoliť.

Nie je to zlé, však? Bez analógie kupola-stena-strop by som bol zmätený v množstve vzorcov a výpočtov. Vizualizácia problému výrazne zjednodušuje hľadanie riešenia, okrem toho je zaujímavé sledovať, ktorá goniometrická funkcia nakoniec pomôže.

Pri každej úlohe premýšľajte takto: zaujíma ma kupola (sin/cos), stena (tan/sec) alebo strop (cot/csc)?

A trigonometria bude oveľa príjemnejšia. Jednoduché výpočty pre vás!