Aký je sínus alfa. Základné goniometrické identity, ich formulácie a odvodzovanie

Trigonometria ako veda vznikla na starovekom východe. Prvé trigonometrické pomery vyvinuli astronómovia, aby vytvorili presný kalendár a orientovali sa podľa hviezd. Tieto výpočty sa týkali sférickej trigonometrie, pričom v školskom kurze študujú pomer strán a uhla plochého trojuholníka.

Trigonometria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá vlastnosťami goniometrických funkcií a vzťahom medzi stranami a uhlami trojuholníkov.

V období rozkvetu kultúry a vedy v 1. tisícročí nášho letopočtu sa poznatky rozšírili zo starovekého východu do Grécka. Ale hlavné objavy trigonometrie sú zásluhou mužov arabského kalifátu. Najmä turkménsky vedec al-Marazvi zaviedol také funkcie ako tangens a kotangens, zostavil prvé tabuľky hodnôt pre sínus, tangens a kotangens. Pojem sínus a kosínus zaviedli indickí vedci. Veľká pozornosť je venovaná trigonometrii v dielach takých veľkých postáv staroveku ako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.

Základné veličiny trigonometrie

Základné goniometrické funkcie numerického argumentu sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Každý z nich má svoj vlastný graf: sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Vzorce na výpočet hodnôt týchto veličín sú založené na Pytagorovej vete. Školákom je lepšie známy vo formulácii: „Pytagorove nohavice, rovnaké vo všetkých smeroch“, pretože dôkaz je uvedený na príklade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

Sínus, kosínus a iné závislosti vytvárajú vzťah medzi ostrými uhlami a stranami akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka. Uvádzame vzorce na výpočet týchto veličín pre uhol A a sledujeme vzťah goniometrických funkcií:

Ako vidíte, tg a ctg sú inverzné funkcie. Ak reprezentujeme rameno a ako súčin sínu A a prepony c a rameno b ako cos A * c, dostaneme nasledujúce vzorce pre dotyčnicu a kotangens:

trigonometrický kruh

Graficky možno pomer spomínaných veličín znázorniť takto:

Kruh v tomto prípade predstavuje všetky možné hodnoty uhla α - od 0° do 360°. Ako je možné vidieť z obrázku, každá funkcia nadobúda zápornú alebo kladnú hodnotu v závislosti od uhla. Napríklad sin α bude so znamienkom „+“, ak α patrí do I a II štvrtín kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0 ° do 180 °. Pri α od 180° do 360° (štvrtiny III a IV) môže byť sin α iba zápornou hodnotou.

Pokúsme sa zostaviť trigonometrické tabuľky pre konkrétne uhly a zistiť význam veličín.

Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° atď. sa nazývajú špeciálne prípady. Hodnoty goniometrických funkcií pre nich sú vypočítané a prezentované vo forme špeciálnych tabuliek.

Tieto uhly neboli zvolené náhodou. Označenie π v tabuľkách je pre radiány. Rad je uhol, pod ktorým dĺžka kruhového oblúka zodpovedá jeho polomeru. Táto hodnota bola zavedená za účelom vytvorenia univerzálneho vzťahu, pri výpočte v radiánoch nezáleží na skutočnej dĺžke polomeru v cm.

Uhly v tabuľkách pre goniometrické funkcie zodpovedajú radiánom:

Nie je teda ťažké uhádnuť, že 2π je celý kruh alebo 360°.

Vlastnosti goniometrických funkcií: sínus a kosínus

Aby sme mohli zvážiť a porovnať základné vlastnosti sínusu a kosínusu, dotyčnice a kotangensu, je potrebné nakresliť ich funkcie. Dá sa to urobiť vo forme krivky umiestnenej v dvojrozmernom súradnicovom systéme.

Zvážte porovnávaciu tabuľku vlastností pre sínusovú a kosínusovú vlnu:

Určenie, či je funkcia párna alebo nie, je veľmi jednoduché. Stačí si predstaviť trigonometrický kruh so znakmi trigonometrických veličín a mentálne „zložiť“ graf vzhľadom na os OX. Ak sú znamienka rovnaké, funkcia je párna, v opačnom prípade je nepárna.

Zavedenie radiánov a vymenovanie hlavných vlastností sínusovej a kosínusovej vlny nám umožňuje priniesť nasledujúci vzorec:

Overenie správnosti vzorca je veľmi jednoduché. Napríklad pre x = π/2 je sínus rovný 1, rovnako ako kosínus x = 0. Kontrolu možno vykonať prezeraním tabuliek alebo sledovaním funkčných kriviek pre dané hodnoty.

Vlastnosti tangentoidu a kotangentoidu

Grafy funkcií tangens a kotangens sa výrazne líšia od sínusoidy a kosínusovej vlny. Hodnoty tg a ctg sú navzájom inverzné.

1. Y = tgx.
2. Dotyčnica smeruje k hodnotám y pri x = π/2 + πk, ale nikdy ich nedosiahne.
3. Najmenšia kladná perióda tangentoidu je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.j. funkcia je nepárna.
5. Tg x = 0, pre x = πk.
6. Funkcia sa zvyšuje.
7. Tg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pre x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivát (tg x)' = 1/cos 2⁡x.

Zvážte grafické znázornenie kotangentoidu nižšie v texte.

Hlavné vlastnosti kotangentoidu:

1. Y = ctgx.
2. Na rozdiel od funkcií sínus a kosínus môže v tangentoide Y nadobudnúť hodnoty množiny všetkých reálnych čísel.
3. Kotangentoid má tendenciu k hodnotám y pri x = πk, ale nikdy ich nedosiahne.
4. Najmenšia kladná perióda kotangentoidu je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.j. funkcia je nepárna.
6. Ctg x = 0, pre x = π/2 + πk.
7. Funkcia sa znižuje.
8. Ctg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pre x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivát (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Poučenie

Ak poznáte hodnotu uhla, použite funkciu arcsine na výpočet hodnoty uhla v stupňoch. Ak injekciou označujeme písmenom α, vo všeobecnosti možno riešenie zapísať takto: α = arcsin(sin(α)).

Ak máte možnosť používať počítač, najjednoduchšie je na praktické výpočty použiť vstavaný operačný systém. V najnovších dvoch verziách systému Windows ho môžete spustiť takto: stlačte kláves Win, napíšte „ka“ a stlačte Enter. V skorších vydaniach tohto operačného systému vyhľadajte odkaz „Kalkulačka“ v podsekcii „Štandard“ v časti „Všetky programy“ hlavnej ponuky systému.

Po spustení aplikácie ju prepnite do režimu, ktorý vám umožní pracovať s goniometrickými funkciami. Môžete to urobiť výberom riadku „Inžinierstvo“ v časti „Zobraziť“ v ponuke kalkulačky alebo stlačením Alt + 2.

Zadajte sínusovú hodnotu. V predvolenom nastavení rozhranie kalkulačky nemá tlačidlo na výpočet arcsínusu. Aby ste mohli použiť túto funkciu, musíte invertovať predvolené hodnoty tlačidiel - kliknite na tlačidlo Inv v okne programu. V starších verziách je toto tlačidlo nahradené zaškrtávacím políčkom s rovnakým označením - zaškrtnite ho.

Pri výpočtoch môžete využiť rôzne služby, ktorých je na internete viac než dosť. Prejdite napríklad na stránku http://planetcalc.com/326/, posuňte sa trochu nadol a do poľa Vstup zadajte hodnotu sínusu. Na spustenie postupu výpočtu slúži tlačidlo s názvom Vypočítať - kliknite naň. Výsledok výpočtov nájdete v prvom riadku tabuľky pod týmto tlačidlom. Okrem arcsínusu zobrazuje hodnoty aj arkus tangens zadanej hodnoty.

Volá sa inverzná sínusová goniometrická funkcia arkzín. Môže nadobudnúť hodnoty v rámci polovice počtu pi, kladné aj záporné, ak sa meria v radiánoch. Pri meraní v stupňoch budú tieto hodnoty v rozsahu od -90° do +90°.

Poučenie

Niektoré „okrúhle“ hodnoty sa nemusia počítať, sú ľahšie zapamätateľné. Napríklad: - ak je argument funkcie nula, potom hodnota arkussínusu z neho je tiež nula; - z 1/2 je 30 ° alebo 1/6 Pi, ak sa meria; - arkussínus z -1/2 sa rovná do -30° alebo -1/6 pí v ;- arkussínus 1 je 90° alebo 1/2 pí v radiánoch;- arkussínus -1 je -90° alebo -1/2 pí v radiánoch;

Na meranie hodnôt tejto funkcie z iných argumentov je najjednoduchšie použiť štandardnú kalkulačku Windows, ak máte . Ak chcete spustiť, otvorte hlavnú ponuku na tlačidle „Štart“ (alebo stlačením klávesu WIN), prejdite do časti „Všetky programy“ a potom do podsekcie „Príslušenstvo“ a kliknite na položku „Kalkulačka“.

Prepnite rozhranie kalkulačky do prevádzkového režimu, ktorý vám umožní vypočítať goniometrické funkcie. Ak to chcete urobiť, otvorte v jej ponuke sekciu "Zobraziť" a vyberte položku "Inžinierstvo" alebo "Vedecké" (v závislosti od použitého operačného systému).

Zadajte hodnotu argumentu, z ktorého sa vypočíta arkustangens. Môžete to urobiť kliknutím na tlačidlá rozhrania kalkulačky pomocou myši alebo stlačením kláves na , alebo skopírovaním hodnoty (CTRL + C) a jej vložením (CTRL + V) do vstupného poľa kalkulačky.

Vyberte jednotky, v ktorých chcete získať výsledok výpočtu funkcie. Pod vstupným poľom sú tri možnosti, z ktorých si musíte vybrať (kliknutím myšou) jednu - , radiány alebo rads.

Začiarknite políčko, ktoré invertuje funkcie zobrazené na tlačidlách rozhrania kalkulačky. Vedľa je krátky nápis Inv.

Kliknite na tlačidlo hriechu. Kalkulačka prevráti pripojenú funkciu, vykoná výpočet a predloží vám výsledok v daných jednotkách.

Podobné videá

Na pravouhlom trojuholníku, ako najjednoduchšom z polygónov, si rôzni vedci zdokonaľovali svoje znalosti v oblasti trigonometrie ešte v tých dňoch, keď túto oblasť matematiky nikto týmto slovom ani nenazval. Preto dnes nie je možné uviesť autora, ktorý odhalil vzory v pomeroch dĺžok strán a veľkostí uhlov v tomto plochom geometrickom obrazci. Takéto vzťahy sa nazývajú goniometrické funkcie a sú rozdelené do niekoľkých skupín, z ktorých hlavné sa bežne považujú za "priame" funkcie. Tejto skupine sú priradené iba dve funkcie a jedna z nich je sínusová.

Poučenie

Podľa definície je v pravouhlom trojuholníku jeden z uhlov 90° a vzhľadom na skutočnosť, že súčet jeho uhlov v euklidovskej geometrii musí byť rovný 180°, ostatné dva uhly sú (t.j. 90°). Zákonitosti pomerov presne týchto uhlov a dĺžok strán opisujú goniometrické funkcie.

Funkcia nazývaná sínus ostrého uhla určuje pomer medzi dĺžkami dvoch strán pravouhlého trojuholníka, z ktorých jedna leží oproti tomuto ostrému uhlu a druhá k nemu susedí a leží oproti pravému uhlu. Keďže strana oproti pravému uhlu v takomto trojuholníku sa nazýva prepona a ďalšie dve sú prepony, sínusové funkcie možno formulovať ako pomer medzi dĺžkami ramena a prepony.

Okrem takejto jednoduchej definície tejto goniometrickej funkcie existujú aj zložitejšie: cez kružnicu v karteziánskych súradniciach, cez rady, cez diferenciálne a funkcionálne rovnice. Táto funkcia je spojitá, to znamená, že jej argumenty ("doména definícií") môže byť ľubovoľné číslo - od nekonečne záporných po nekonečne kladné. A maximálne hodnoty tejto funkcie sú obmedzené rozsahom od -1 do +1 - to je „rozsah jej hodnôt“. Sínus nadobúda svoju minimálnu hodnotu pod uhlom 270 °, čo zodpovedá 3 / Pi, a maximum sa získa pri 90 ° (½ Pi). Funkčné hodnoty sa stanú nulovými pri 0°, 180°, 360° atď. Z toho všetkého vyplýva, že sínus je periodická funkcia a jej perióda sa rovná 360 ° alebo dvojnásobku čísla Pi.

Na praktické výpočty hodnôt tejto funkcie z daného argumentu ju môžete použiť - prevažná väčšina z nich (vrátane softvérovej kalkulačky zabudovanej v operačnom systéme vášho počítača) má zodpovedajúcu možnosť.

Podobné videá

Sinus a kosínus- sú to priame goniometrické funkcie, pre ktoré existuje viacero definícií - cez kružnicu v karteziánskom súradnicovom systéme, cez riešenia diferenciálnej rovnice, cez ostré uhly v pravouhlom trojuholníku. Každá z týchto definícií vám umožňuje odvodiť vzťah medzi týmito dvoma funkciami. Nasledujúci je možno najjednoduchší spôsob vyjadrenia kosínus cez sínus - cez ich definície pre ostré uhly pravouhlého trojuholníka.

Poučenie

Vyjadrite sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka ako dĺžky strán tohto obrazca. Podľa definície musí byť sínus uhla (α) pomerom dĺžky strany (a) oproti nemu - nohy - k dĺžke strany (c) oproti pravému uhlu - prepona: sin (a) = a/c.

Nájdite podobný vzorec pre kosínus ale rovnaký uhol. Podľa definície by táto hodnota mala byť vyjadrená ako pomer dĺžky strany (b) susediacej s týmto rohom (druhá noha) k dĺžke strany (c) ležiacej oproti pravému uhlu: cos (a) \u003d a / c.

Prepíšte rovnicu nasledujúcu z Pytagorovej vety tak, aby používala vzťahy medzi nohami a preponou odvodené v predchádzajúcich dvoch krokoch. Aby ste to urobili, najprv vydeľte oba originály tejto vety (a² + b² = c²) druhou mocninou prepony (a² / c² + b² / c² = 1) a potom prepíšte výslednú rovnosť do tohto tvaru: (a / c)² + (b / c)² = 1.

Vo výslednom výraze nahraďte pomer dĺžok nôh a prepony goniometrickými funkciami na základe vzorcov prvého a druhého kroku: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. Vyjadrite kosínus z výslednej rovnosti: cos(a) = √(1 - sin²(a)). Tento problém možno vyriešiť všeobecným spôsobom.

Ak okrem všeobecného potrebujete získať aj číselný výsledok, použite napríklad kalkulačku zabudovanú v operačnom systéme Windows. Odkaz na jeho spustenie v podsekcii „Štandard“ v časti „Všetky programy“ ponuky OS. Tento odkaz je formulovaný výstižne – „Kalkulačka“. Aby ste z tohto programu mohli vypočítať goniometrické funkcie, povoľte jeho „inžinierske“ rozhranie – stlačte kombináciu kláves Alt + 2.

Zadajte hodnotu sínusu uhla do podmienok a kliknite na tlačidlo rozhrania s označením x² - tým sa pôvodná hodnota odmocní. Potom na klávesnici napíšte *-1, stlačte Enter, napíšte +1 a znova stlačte Enter – týmto spôsobom odpočítate druhú mocninu sínusu od jednotky. Kliknutím na kláves radikálnej ikony vytiahnete štvorec a získate konečný výsledok.

Štúdiu trojuholníkov sa zaoberali matematici už niekoľko tisícročí. Veda o trojuholníkoch – trigonometria – používa špeciálne veličiny: sínus a kosínus.

Správny trojuholník

Spočiatku sínus a kosínus vznikli kvôli potrebe vypočítať množstvá v pravouhlých trojuholníkoch. Zistilo sa, že ak sa hodnota mierky uhlov v pravouhlom trojuholníku nezmení, potom pomer strán, bez ohľadu na to, ako veľmi sa tieto strany menia na dĺžku, zostáva vždy rovnaký.

Takto boli zavedené pojmy sínus a kosínus. Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone a kosínus je pomer priľahlej vetvy k prepone.

Kosínusové a sínusové vety

Ale kosínus a sínus možno použiť nielen v pravouhlých trojuholníkoch. Ak chcete nájsť hodnotu tupého alebo ostrého uhla, strany akéhokoľvek trojuholníka, stačí použiť kosínusovú a sínusovú vetu.

Kosínusová veta je celkom jednoduchá: „Štvorec strany trojuholníka sa rovná súčtu druhých mocnín ďalších dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán o kosínus uhla medzi nimi.“

Existujú dve interpretácie sínusovej vety: malá a rozšírená. Podľa malého: "V trojuholníku sú uhly úmerné opačným stranám." Táto veta sa často rozširuje kvôli vlastnosti kružnice opísanej trojuholníku: "V trojuholníku sú uhly úmerné opačným stranám a ich pomer sa rovná priemeru kružnice opísanej."

Deriváty

Derivácia je matematický nástroj, ktorý ukazuje, ako rýchlo sa funkcia mení vzhľadom na zmenu jej argumentu. Deriváty sa používajú v geometrii a v mnohých technických disciplínach.

Pri riešení problémov potrebujete poznať tabuľkové hodnoty derivátov goniometrických funkcií: sínus a kosínus. Deriváciou sínusu je kosínus a derivátom kosínusu je sínus, ale so znamienkom mínus.

Aplikácia v matematike

Obzvlášť často sa sínusy a kosínusy používajú pri riešení pravouhlých trojuholníkov a problémov s nimi súvisiacich.

Pohodlie sínusov a kosínusov sa odráža aj v technológii. Uhly a strany sa dali ľahko vyhodnotiť pomocou kosínusovej a sínusovej vety, čím sa zložité tvary a objekty rozdelili na „jednoduché“ trojuholníky. Inžinieri, ktorí sa často zaoberajú výpočtami pomerov strán a mierami stupňov, strávili veľa času a úsilia výpočtom kosínusov a sínusov netabuľkových uhlov.

Potom prišli na pomoc tabuľky Bradis, ktoré obsahovali tisíce hodnôt sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens rôznych uhlov. V sovietskych časoch niektorí učitelia nútili svojich zverencov, aby si zapamätali stránky tabuliek Bradis.

Radián - uhlová hodnota oblúka pozdĺž dĺžky rovnajúcej sa polomeru alebo 57,295779513 ° stupňov.

Stupeň (v geometrii) - 1/360 kružnice alebo 1/90 pravého uhla.

π = 3,141592653589793238462… (približná hodnota pi).

Kosínusový stôl pre uhly: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

V tomto článku si ukážeme ako definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla a čísla v trigonometrii. Tu budeme hovoriť o notácii, uvádzame príklady záznamov, uvádzame grafické ilustrácie. Na záver uvádzame paralelu medzi definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu v trigonometrii a geometrii.

Navigácia na stránke.

Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu

Sledujme, ako sa na kurze školskej matematiky tvorí pojem sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens. Na hodinách geometrie je uvedená definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. A neskôr sa študuje trigonometria, ktorá sa vzťahuje na sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla natočenia a čísla. Uvádzame všetky tieto definície, uvádzame príklady a uvádzame potrebné komentáre.

Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku

Z priebehu geometrie sú známe definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. Sú uvedené ako pomer strán pravouhlého trojuholníka. Uvádzame ich formulácie.

Definícia.

Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej nohy k prepone.

Definícia.

Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone.

Definícia.

Tangenta ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej nohy k susednej nohe.

Definícia.

Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer susednej nohy k opačnej nohe.

Zavádza sa tam aj označenie sínus, kosínus, tangens a kotangens - sin, cos, tg a ctg.

Napríklad, ak ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, potom sa sínus ostrého uhla A rovná pomeru protiľahlej vetvy BC k prepone AB, teda sin∠A=BC/AB.

Tieto definície vám umožňujú vypočítať hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla zo známych dĺžok strán pravouhlého trojuholníka, ako aj zo známych hodnôt sínusu, kosínusu, dotyčnica, kotangens a dĺžka jednej zo strán, nájdite dĺžky ostatných strán. Napríklad, ak by sme vedeli, že v pravouhlom trojuholníku je rameno AC 3 a prepona AB je 7 , potom by sme mohli vypočítať kosínus ostrého uhla A podľa definície: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Uhol natočenia

V trigonometrii sa začínajú pozerať na uhol širšie – zavádzajú pojem uhla natočenia. Uhol natočenia na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzený na snímky od 0 do 90 stupňov, uhol natočenia v stupňoch (a v radiánoch) môže byť vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od −∞ do +∞.

V tomto svetle už definície sínusu, kosínusu, tangenty a kotangensu nie sú ostrým uhlom, ale uhlom ľubovoľnej veľkosti – uhlom rotácie. Sú dané súradnicami x a y bodu A 1, do ktorého prejde takzvaný počiatočný bod A(1, 0) po otočení o uhol α okolo bodu O - začiatok pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. a stred jednotkového kruhu.

Definícia.

Sínus uhla natočeniaα je ordináta bodu A 1 , teda sinα=y .

Definícia.

kosínus uhla natočeniaα sa nazýva úsečka bodu A 1 , teda cosα=x .

Definícia.

Tangenta uhla natočeniaα je pomer zvislej osi bodu A 1 k jeho osi x, to znamená tgα=y/x .

Definícia.

Kotangens uhla natočeniaα je pomer úsečky bodu A 1 k jeho ordináte, teda ctgα=x/y .

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľný uhol α, pretože vždy vieme určiť úsečku a osovú os bodu, ktorú získame otočením začiatočného bodu o uhol α. A dotyčnica a kotangens nie sú definované pre žiadny uhol. Dotyčnica nie je definovaná pre také uhly α, pri ktorých počiatočný bod smeruje k bodu s nulovou osou (0, 1) alebo (0, −1) , a to sa deje pri uhloch 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Pri takýchto uhloch rotácie totiž výraz tgα=y/x nedáva zmysel, keďže obsahuje delenie nulou. Pokiaľ ide o kotangens, nie je definovaný pre také uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou ordinátou (1, 0) alebo (−1, 0) , a to je prípad uhlov 180° k , k ∈Z (π k rad).

Takže sínus a kosínus sú definované pre všetky uhly rotácie, dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) a kotangens je pre všetky uhly okrem 180. ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Nám už známe zápisy sa vyskytujú v definíciách sin, cos, tg a ctg, používajú sa aj na označenie sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia (niekedy sa môžete stretnúť so zápisom tan a cot zodpovedajúcim tangens a kotangens). Takže sínus uhla natočenia 30 stupňov možno zapísať ako sin30°, záznamy tg(−24°17′) a ctgα zodpovedajú dotyčnici uhla natočenia −24 stupňov 17 minút a kotangens uhla natočenia α . Pripomeňme, že pri písaní radiánovej miery uhla sa často vynecháva označenie „rad“. Napríklad kosínus uhla rotácie troch pi radov sa zvyčajne označuje cos3 π .

Na záver tohto odseku stojí za zmienku, že pri rozprávaní o sínusových, kosínusových, tangens a kotangens uhla rotácie sa často vynecháva fráza „uhol rotácie“ alebo slovo „rotácia“. To znamená, že namiesto slovného spojenia "sínus uhla natočenia alfa" sa zvyčajne používa slovné spojenie "sínus uhla alfa" alebo ešte kratšie - "sínus alfa". To isté platí pre kosínus, tangens a kotangens.

Povedzme tiež, že definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sú v súlade s práve uvedenými definíciami pre sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla rotácie v rozsahu od 0 do 90. stupňa. Toto podložíme.

čísla

Definícia.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo rovné sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia v t radiánoch.

Napríklad kosínus 8 π je podľa definície číslo rovné kosínusu uhla 8 π rad. A kosínus uhla v 8 π rad sa rovná jednej, preto sa kosínus čísla 8 π rovná 1.

Existuje iný prístup k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Spočíva v tom, že každému reálnemu číslu t je priradený bod jednotkovej kružnice so stredom v počiatku pravouhlého súradnicového systému a súradnicami tohto bodu sú určené sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Ukážme, ako je stanovená zhoda medzi reálnymi číslami a bodmi kruhu:

• číslu 0 je priradený počiatočný bod A(1, 0) ;
• kladné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať z počiatočného bodu proti smeru hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky t;
• záporné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu v smere hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky |t| .

Teraz prejdime k definíciám sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla t. Predpokladajme, že číslo t zodpovedá bodu kružnice A 1 (x, y) (napríklad číslu &pi/2; zodpovedá bod A 1 (0, 1) ).

Definícia.

Sínus čísla t je ordináta bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúceho číslu t , teda sint=y .

Definícia.

Kosínus čísla t sa nazýva úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t , to znamená náklady = x .

Definícia.

Tangenta čísla t je pomer zvislej osi k osi osi bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t, teda tgt=y/x. V inej ekvivalentnej formulácii je tangens čísla t pomer sínusu tohto čísla ku kosínusu, to znamená tgt=sint/cena.

Definícia.

Kotangens čísla t je pomer osi x osi bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t, teda ctgt=x/y. Ďalšia formulácia je nasledovná: dotyčnica čísla t je pomer kosínusu čísla t k sínusu čísla t : ctgt=cena/sint .

Tu poznamenávame, že práve uvedené definície súhlasia s definíciou uvedenou na začiatku tohto pododdielu. Bod jednotkovej kružnice zodpovedajúci číslu t sa skutočne zhoduje s bodom získaným otočením začiatočného bodu o uhol t radiánov.

Tiež stojí za to objasniť tento bod. Povedzme, že máme záznam sin3. Ako pochopiť, či ide o sínus čísla 3 alebo sínus uhla natočenia 3 radiánov? To je väčšinou jasné z kontextu, inak je to asi jedno.

Goniometrické funkcie uhlového a numerického argumentu

Podľa definícií uvedených v predchádzajúcom odseku každý uhol natočenia α zodpovedá dobre definovanej hodnote sin α , ako aj hodnote cos α . Okrem toho všetky uhly rotácie iné ako 90°+180° k, k∈Z (π/2+π krad) zodpovedajú hodnotám tgα a iné ako 180° k, k∈Z (π krad) sú hodnoty ctgα . Preto sinα, cosα, tgα a ctgα sú funkciami uhla α. Inými slovami, toto sú funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžeme hovoriť o funkciách sínus, kosínus, tangens a kotangens číselného argumentu. Každé reálne číslo t skutočne zodpovedá presne definovanej hodnote sint , ako aj nákladom . Okrem toho všetky čísla iné ako π/2+π·k, k∈Z zodpovedajú hodnotám tgt a čísla π·k, k∈Z zodpovedajú hodnotám ctgt.

Volajú sa funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, že máme do činenia s goniometrickými funkciami uhlového argumentu alebo numerického argumentu. V opačnom prípade môžeme nezávislú premennú považovať za mieru uhla (argument uhla) aj za číselný argument.

Škola však študuje najmä numerické funkcie, teda funkcie, ktorých argumenty, ako aj im zodpovedajúce funkčné hodnoty, sú čísla. Ak teda hovoríme o funkciách, potom je vhodné považovať goniometrické funkcie za funkcie číselných argumentov.

Spojenie definícií z geometrie a trigonometrie

Ak uvažujeme uhol natočenia α od 0 do 90 stupňov, tak údaje v rámci trigonometrie definície sínusu, kosínusu, tangenty a kotangens uhla natočenia sú plne v súlade s definíciami sínusu, kosínusu. , dotyčnica a kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku, ktoré sú dané v kurze geometrie. Poďme to podložiť.

Nakreslite jednotkovú kružnicu v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy. Všimnite si počiatočný bod A(1, 0) . Otočme ho o uhol α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, dostaneme bod A 1 (x, y) . Pustime kolmicu A 1 H z bodu A 1 na os Ox.

Je ľahké vidieť, že v pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 OH rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena OH susediaceho s týmto uhlom sa rovná osovej osi bodu A 1, teda |OH |=x, dĺžka ramena A 1 H oproti uhlu sa rovná ordinate bodu A 1 , teda |A 1 H|=y , a dĺžka prepony OA 1 sa rovná jednej , keďže ide o polomer jednotkovej kružnice. Potom, podľa definície z geometrie, sínus ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku A 1 OH sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone, to znamená sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . A podľa definície z trigonometrie sa sínus uhla natočenia α rovná ordináte bodu A 1, teda sinα=y. To ukazuje, že definícia sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je ekvivalentná definícii sínusu uhla natočenia α pre α od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať, že definície kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla α sú v súlade s definíciami kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia α.

Bibliografia.

1. Geometria. 7-9 ročníkov: štúdium. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev a ďalší]. - 20. vyd. M.: Školstvo, 2010. - 384 s.: chor. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometria: Proc. pre 7-9 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. V. Pogorelov. - 2. vyd. - M.: Osveta, 2001. - 224 s.: chor. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra a elementárne funkcie: Učebnica pre žiakov 9. ročníka stredných škôl / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Spracoval doktor fyzikálnych a matematických vied O. N. Golovin - 4. vydanie. Moskva: Vzdelávanie, 1969.
4. algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra a začiatok rozboru: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M .: Osveta, 2004.- 384 s.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovič A.G. Algebra a začiatky analýzy. 10. ročník O 14.00 h 1. časť: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: chor. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - I .: Vzdelávanie, 2010. - 368 s.: Il. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. škola - 3. vyd. - M.: Osveta, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Štúdium trigonometrie začíname pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.

Pripomeň si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovica rozvinutého rohu.

Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.

Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je "tupé" urážkou, ale matematickým výrazom :-)

Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Zvyčajne sa označuje pravý uhol. Všimnite si, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže je označená strana ležiaca oproti uhlu A.

Uhol je označený príslušným gréckym písmenom.

Hypotenzia Pravouhlý trojuholník je strana opačná k pravému uhlu.

Nohy- strany oproti ostrým rohom.

Noha oproti rohu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej strane rohu, sa nazýva priľahlé.

Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:

Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:

Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej nohy k susednej:

Iná (ekvivalentná) definícia: tangens ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej vetvy k opačnej (alebo ekvivalentne pomer kosínusu k sínusu):

Venujte pozornosť základným pomerom pre sínus, kosínus, tangens a kotangens, ktoré sú uvedené nižšie. Budú nám užitočné pri riešení problémov.

Dokážme niektoré z nich.

Dobre, dali sme definície a napísané vzorce. Prečo však potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?

My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je.

Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .

Ukazuje sa, že keď poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany v pravouhlom trojuholníku, môžete nájsť tretiu. Takže pre uhly - ich pomer, pre strany - ich vlastné. Čo však robiť, ak je v pravouhlom trojuholníku známy jeden uhol (okrem pravého) a jedna strana, no potrebujete nájsť ďalšie strany?

Tomu čelili ľudia v minulosti, keď robili mapy oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo zmerať všetky strany trojuholníka.

Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež goniometrické funkcie uhla- uveďte pomer medzi strany a rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.

Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.

Všimnite si dve červené čiarky v tabuľke. Pre zodpovedajúce hodnoty uhlov tangens a kotangens neexistujú.

Poďme analyzovať niekoľko problémov v trigonometrii z úloh Bank of FIPI.

1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .

Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.

Pokiaľ ide o ,.

2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .

Hľadajme podľa Pytagorovej vety.

Problém je vyriešený.

Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a . Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!

Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.

Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.

Zvažovali sme úlohy na riešenie pravouhlých trojuholníkov – teda na hľadanie neznámych strán alebo uhlov. To však nie je všetko! Vo variantoch skúšky z matematiky je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.

Sínus je jednou zo základných goniometrických funkcií, ktorej aplikácia sa neobmedzuje len na geometriu. Tabuľky na výpočet goniometrických funkcií, ako napríklad inžinierske kalkulačky, nie sú vždy po ruke a výpočet sínusu je niekedy potrebný na riešenie rôznych problémov. Vo všeobecnosti výpočet sínusu pomôže upevniť zručnosti kreslenia a znalosti trigonometrických identít.

Hry s pravítkom a ceruzkou

Jednoduchá úloha: ako nájsť sínus uhla nakresleného na papieri? Na vyriešenie potrebujete bežné pravítko, trojuholník (alebo kružidlo) a ceruzku. Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať sínus uhla, je vydeliť vzdialenú časť trojuholníka s pravým uhlom dlhou stranou - preponou. Najprv teda musíte dokončiť ostrý uhol k obrázku pravouhlého trojuholníka nakreslením čiary kolmej na jeden z lúčov v ľubovoľnej vzdialenosti od vrcholu uhla. Bude potrebné dodržať uhol presne 90 °, na ktorý potrebujeme administratívny trojuholník.

Používanie kompasu je o niečo presnejšie, ale bude to trvať dlhšie. Na jednom z lúčov musíte označiť 2 body v určitej vzdialenosti, nastaviť polomer na kompase približne rovnaký ako vzdialenosť medzi bodmi a nakresliť polkruhy so stredmi v týchto bodoch, kým sa tieto čiary nepretínajú. Spojením priesečníkov našich kruhov medzi sebou dostaneme prísnu kolmicu na lúč nášho uhla, zostáva len predĺžiť čiaru, kým sa nepretína s iným lúčom.

Vo výslednom trojuholníku musíte pomocou pravítka zmerať stranu oproti rohu a dlhú stranu na jednom z lúčov. Pomer prvého merania k druhému bude požadovaná hodnota sínusu ostrého uhla.

Nájdite sínus pre uhol väčší ako 90°

Pre tupý uhol nie je úloha oveľa ťažšia. Pomocou pravítka je potrebné nakresliť lúč z vrcholu v opačnom smere, aby sa vytvorila priamka s jedným z lúčov uhla, ktorý nás zaujíma. S výsledným ostrým uhlom by ste mali postupovať tak, ako je popísané vyššie, sínusy susedných uhlov, ktoré spolu tvoria rozvinutý uhol 180 °, sú rovnaké.

Výpočet sínusu z iných goniometrických funkcií

Výpočet sínusu je tiež možný, ak sú známe hodnoty iných goniometrických funkcií uhla alebo aspoň dĺžky strán trojuholníka. K tomu nám pomôžu trigonometrické identity. Pozrime sa na bežné príklady.

Ako nájsť sínus so známym kosínusom uhla? Prvá trigonometrická identita, pochádzajúca z Pytagorovej vety, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu toho istého uhla sa rovná jednej.

Ako nájsť sínus so známou dotyčnicou uhla? Tangenta sa získa vydelením vzdialenejšej vetvy blízkou alebo vydelením sínusu kosínusom. Sínus bude teda súčinom kosínusu a dotyčnice a druhá mocnina sínusu bude druhou mocninou tohto súčinu. Druhý mocninový kosínus nahradíme rozdielom medzi jednotkou a druhým sínusom podľa prvej trigonometrickej identity a jednoduchými manipuláciami prenesieme rovnicu na výpočet druhého sínusu cez dotyčnicu, resp. extrahujte koreň zo získaného výsledku.

Ako nájsť sínus so známym kotangensom uhla? Hodnotu kotangens možno vypočítať vydelením dĺžky blízkej vetvy od uhla nohy dĺžkou vzdialenejšej vetvy, ako aj vydelením kosínusu sínusom, to znamená, že kotangens je inverznou funkciou dotyčnice vzhľadom na k číslu 1. Na výpočet sínusu môžete vypočítať dotyčnicu pomocou vzorca tg α \u003d 1 / ctg α a použiť vzorec v druhej možnosti. Môžete tiež odvodiť priamy vzorec analogicky s tangensom, ktorý bude vyzerať takto.

Ako nájsť sínus troch strán trojuholníka

Existuje vzorec na nájdenie dĺžky neznámej strany ľubovoľného trojuholníka, nielen pravouhlého trojuholníka, ak sú dané dve známe strany pomocou trigonometrickej funkcie kosínusu opačného uhla. Vyzerá takto.