Napíšte zložené prirodzené číslo. Štúdium presného predmetu: prirodzené čísla sú aké čísla, príklady a vlastnosti

Celé čísla pre nás veľmi známe a prirodzené. A to nie je prekvapujúce, pretože zoznámenie s nimi začína od prvých rokov nášho života na intuitívnej úrovni.

Informácie v tomto článku vytvárajú základný pohľad o prirodzených číslach, odhaľuje ich účel, vštepuje zručnostiam písania a čítania prirodzených čísel. Pre lepšiu asimiláciu materiálu sú uvedené potrebné príklady a ilustrácie.

Navigácia na stránke.

Prirodzené čísla sú všeobecným vyjadrením.

Nasledujúce stanovisko nie je zbavené zvukovej logiky: objavenie sa problému počítania predmetov (prvý, druhý, tretí predmet atď.) a problém označenia počtu predmetov (jeden, dva, tri predmety atď.) k vytvoreniu nástroja na jeho riešenie bol tento nástroj celé čísla .

Tento návrh ukazuje hlavný účel prirodzených čísel- niesť informáciu o počte akýchkoľvek položiek alebo sériovom čísle danej položky v uvažovanom súbore položiek.

Aby človek mohol používať prirodzené čísla, musia byť nejakým spôsobom prístupné ako na vnímanie, tak aj na reprodukciu. Ak začujete každé prirodzené číslo, stane sa vnímateľným sluchom a ak zobrazíte prirodzené číslo, môžete ho vidieť. Toto sú najprirodzenejšie spôsoby prenosu a vnímania prirodzených čísel.

Začnime si teda osvojovať schopnosti zobrazovať (písať) a vyslovovať (čítať) prirodzené čísla a zároveň sa učiť ich význam.

Desatinný zápis prirodzeného čísla.

Najprv by sme sa mali rozhodnúť, na čom budeme pri písaní prirodzených čísel stavať.

Zapamätajme si obrázky nasledujúcich postáv (zobrazujeme ich oddelené čiarkami): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Zobrazené zábery sú záznamom tzv čísla. Dohodnime sa hneď na tom, aby sme čísla pri písaní neprevracali, nenakláňali a inak neskresľovali.

Teraz súhlasíme s tým, že v zápise akéhokoľvek prirodzeného čísla môžu byť prítomné iba uvedené číslice a nemôžu byť prítomné žiadne iné symboly. Súhlasíme aj s tým, že číslice v zápise prirodzeného čísla majú rovnakú výšku, sú usporiadané v riadku za sebou (takmer bez zarážok) a vľavo je číslica odlišná od číslice 0 .

Tu je niekoľko príkladov správneho zápisu prirodzených čísel: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (poznámka: zarážky medzi číslami nie sú vždy rovnaké, viac o tom bude diskutované pri kontrole). Z vyššie uvedených príkladov je zrejmé, že prirodzené číslo nemusí nevyhnutne obsahovať všetky číslice 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; niektoré alebo všetky číslice zahrnuté v písaní prirodzeného čísla sa môžu opakovať.

Príspevky 014 , 0005 , 0 , 0209 nie sú záznamy prirodzených čísel, pretože vľavo je číslica 0 .

Volá sa záznam prirodzeného čísla, vykonaný s prihliadnutím na všetky požiadavky opísané v tomto odseku desiatkový zápis prirodzeného čísla.

Ďalej nebudeme rozlišovať medzi prirodzenými číslami a ich zápisom. Ujasnime si to: ďalej v texte frázy ako „dané prirodzené číslo 582 “, čo bude znamenať, že je dané prirodzené číslo, ktorého zápis má tvar 582 .

Prirodzené čísla v zmysle počtu objektov.

Je čas zaoberať sa kvantitatívnym významom, ktorý zaznamenané prirodzené číslo nesie. Význam prirodzených čísel z hľadiska číslovania objektov sa zaoberá článkom porovnávanie prirodzených čísel.

Začnime prirodzenými číslami, ktorých zápisy sa zhodujú so zápismi číslic, teda s číslami 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 a 9 .

Predstavte si, že sme otvorili oči a videli nejaký predmet, napríklad takto. V tomto prípade môžeme napísať, čo vidíme 1 vec. Prirodzené číslo 1 sa číta ako „ jeden"(skloňovanie číslovky "jeden", ako aj ostatné číslovky uvedieme v odseku), za číslo 1 prijal iné meno –“ jednotka».

Pojem „jednotka“ je však viachodnotový, okrem prirodzeného čísla 1 , sa nazývajú niečo, čo sa považuje za celok. Napríklad ktorúkoľvek položku z ich sady možno nazvať jednotkou. Napríklad každé jablko z mnohých jabĺk je jedno, každé kŕdeľ vtákov z mnohých kŕdľov vtákov je tiež jedno atď.

Teraz otvoríme oči a uvidíme: To znamená, že vidíme jeden objekt a druhý objekt. V tomto prípade môžeme napísať, čo vidíme 2 predmet. Prirodzené číslo 2 , znie ako " dva».

Podobne, - 3 predmet (čítaj " tri» predmet), - 4 (« štyri"") predmetu, - 5 (« päť»), - 6 (« šesť»), - 7 (« sedem»), - 8 (« osem»), - 9 (« deväť“) položky.

Takže z uvažovanej pozície prirodzené čísla 1 , 2 , 3 , …, 9 naznačiť čiastka položky.

Číslo, ktorého zápis sa zhoduje so zápisom číslice 0 , s názvom " nula". Číslo nula NIE JE prirodzené číslo, ale zvyčajne sa uvažuje spolu s prirodzenými číslami. Pamätajte: nula znamená absenciu niečoho. Napríklad nula položiek nie je jedna položka.

V nasledujúcich odsekoch článku budeme pokračovať v odhaľovaní významu prirodzených čísel z hľadiska udávania množstva.

jednociferné prirodzené čísla.

Je zrejmé, že záznam každého z prirodzených čísel 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 pozostáva z jedného znaku – jednej číslice.

Definícia.

Jednociferné prirodzené čísla sú prirodzené čísla, ktorých záznam pozostáva z jedného znamienka – jednej číslice.

Uveďme si všetky jednociferné prirodzené čísla: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Existuje deväť jednociferných prirodzených čísel.

Dvojciferné a trojciferné prirodzené čísla.

Najprv uvedieme definíciu dvojciferných prirodzených čísel.

Definícia.

Dvojciferné prirodzené čísla- sú to prirodzené čísla, ktorých záznamom sú dva znaky - dve číslice (rôzne alebo rovnaké).

Napríklad prirodzené číslo 45 - dvojciferný, čísla 10 , 77 , 82 aj dvojciferný 5 490 , 832 , 90 037 - nie dvojciferné.

Poďme zistiť, aký význam majú dvojciferné čísla, pričom budeme vychádzať z kvantitatívneho významu nám už známych jednociferných prirodzených čísel.

Najprv predstavme koncept desať.

Predstavme si takú situáciu – otvorili sme oči a uvideli súbor pozostávajúci z deviatich predmetov a ešte jedného predmetu. V tomto prípade sa hovorí o 1 desať (jeden tucet) položiek. Ak vezmeme do úvahy jednu desiatku a ďalšiu desiatku, potom hovoríme o 2 desiatky (dve desiatky). Ak pridáme ďalších desať až dve desiatky, vzniknú nám tri desiatky. Pokračujúc v tomto procese dostaneme štyri desiatky, päť desiatok, šesť desiatok, sedem desiatok, osem desiatok a nakoniec deväť desiatok.

Teraz môžeme prejsť k podstate dvojciferných prirodzených čísel.

Na to sa pozrime dvojciferné číslo ako dve jednociferné čísla – jedno je v zápise dvojciferného čísla vľavo, druhé je vpravo. Číslo vľavo označuje počet desiatok a číslo vpravo počet jednotiek. Navyše, ak je v zázname dvojciferného čísla vpravo číslica 0 , potom to znamená absenciu jednotiek. Toto je celá pointa dvojciferných prirodzených čísel z hľadiska udávania sumy.

Napríklad dvojciferné prirodzené číslo 72 zodpovedá 7 desiatky a 2 jednotky (t.j. 72 jablká je súbor siedmich desiatok jabĺk a dvoch ďalších jabĺk) a číslo 30 odpovede 3 desiatky a 0 neexistujú jednotky, teda jednotky, ktoré nie sú spojené v desiatkach.

Odpovedzme si na otázku: „Koľko dvojciferných prirodzených čísel existuje“? Odpoveď: oni 90 .

Obrátime sa na definíciu trojciferných prirodzených čísel.

Definícia.

Prirodzené čísla, ktorých zápis pozostáva z 3 znamenia - 3 nazývajú sa číslice (rôzne alebo opakované). trojciferný.

Príklady prirodzených trojciferných čísel sú 372 , 990 , 717 , 222 . Celé čísla 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nie sú tri číslice.

Aby sme pochopili význam trojciferných prirodzených čísel, potrebujeme tento pojem stovky.

Sada desiatich desiatok je 1 sto (sto). Sto sto je 2 stovky. Dvesto a ďalších sto je tristo. A tak ďalej, máme štyristo, päťsto, šesťsto, sedemsto, osemsto a nakoniec deväťsto.

Teraz sa pozrime na trojciferné prirodzené číslo ako na tri jednociferné prirodzené čísla idúce za sebou sprava doľava v zápise trojciferného prirodzeného čísla. Číslo vpravo označuje počet jednotiek, ďalšie číslo označuje počet desiatok, ďalšie číslo počet stoviek. čísla 0 v zázname trojmiestneho čísla znamená absenciu desiatok a (alebo) jednotiek.

Teda trojciferné prirodzené číslo 812 zodpovedá 8 stovky 1 desať najlepších a 2 Jednotky; číslo 305 - tristo 0 desiatky, teda desiatky nespájané do stoviek, nie) a 5 Jednotky; číslo 470 - štyristosedem desiatok (neexistujú jednotky, ktoré by neboli spojené do desiatok); číslo 500 - päťsto (desiatky nespájané do stoviek a jednotky nespájané do desiatok, nie).

Podobne možno definovať štvormiestne, päťmiestne, šesťmiestne atď. prirodzené čísla.

Viachodnotové prirodzené čísla.

Prejdime teda k definícii viachodnotových prirodzených čísel.

Definícia.

Viachodnotové prirodzené čísla- sú to prirodzené čísla, ktorých záznam pozostáva z dvoch alebo troch alebo štyroch atď. znamenia. Inými slovami, viacciferné prirodzené čísla sú dvojciferné, trojciferné, štvorciferné atď. čísla.

Povedzme si hneď, že zostava pozostávajúca z desiatich stoviek je tisíc, tisíc tisíc je jeden milión, tisíc miliónov je jedna miliarda, tisíc miliárd je jeden bilión. Tisíc biliónov, tisíc biliónov a tak ďalej môžu dostať svoje vlastné mená, ale nie je to potrebné.

Aký je teda význam za viachodnotovými prirodzenými číslami?

Pozrime sa na viacmiestne prirodzené číslo ako na jednociferné prirodzené čísla nasledujúce za sebou sprava doľava. Číslo vpravo označuje počet jednotiek, ďalšie číslo je počet desiatok, ďalšie je počet stoviek, potom počet tisíc, ďalšie je počet desaťtisíc, ďalšie je státisíce , ďalší je počet miliónov, ďalší je počet desiatok miliónov, ďalší je stoviek miliónov, ďalší - počet miliárd, potom - počet desiatok miliárd, potom - stovky miliárd, potom - bilióny, potom - desiatky biliónov, potom - stovky biliónov atď.

Napríklad viacmiestne prirodzené číslo 7 580 521 zodpovedá 1 jednotka, 2 desiatky, 5 stovky 0 tisícky 8 desiatky tisíc 5 státisíce a 7 miliónov.

Naučili sme sa teda zoskupovať jednotky do desiatok, desiatky do stoviek, stovky do tisícov, tisíce do desaťtisíc atď., a zistili sme, že čísla v zázname viacmiestneho prirodzeného čísla označujú zodpovedajúci počet vyššie uvedené skupiny.

Čítanie prirodzených čísel, tried.

Ako sa čítajú jednociferné prirodzené čísla, sme už spomenuli. Naučme sa obsah nasledujúcich tabuliek naspamäť.

A ako sa čítajú ostatné dvojciferné čísla?

Vysvetlíme si to na príklade. Čítanie prirodzeného čísla 74 . Ako sme zistili vyššie, toto číslo zodpovedá 7 desiatky a 4 jednotky, tj. 70 a 4 . Obrátime sa na práve napísané tabuľky a číslo 74 čítame ako: „sedemdesiatštyri“ (spojenie „a“ nevyslovujeme). Ak si chcete prečítať číslo 74 vo vete: „Nie 74 jablká" (genitívny prípad), potom to bude znieť takto: "Nie je sedemdesiatštyri jabĺk." Ďalší príklad. číslo 88 - Toto 80 a 8 , preto čítame: "Osemdesiatosem." A tu je príklad vety: "Premýšľa o osemdesiatich ôsmich rubľoch."

Prejdime k čítaniu trojciferných prirodzených čísel.

Aby sme to dosiahli, budeme sa musieť naučiť niekoľko nových slov.

Zostáva ukázať, ako sa čítajú zvyšné trojciferné prirodzené čísla. V tomto prípade využijeme už nadobudnuté zručnosti pri čítaní jednociferných a dvojciferných čísel.

Vezmime si príklad. Prečítajme si číslo 107 . Toto číslo zodpovedá 1 sto a 7 jednotky, tj. 100 a 7 . Keď sa obrátime na tabuľky, čítame: "Sto sedem." Teraz povedzme číslo 217 . Toto číslo je 200 a 17 , preto čítame: "Dvestosedemnásť." podobne, 888 - Toto 800 (osemsto) a 88 (osemdesiatosem), čítame: "Osemstoosemdesiatosem."

Prejdime k čítaniu viacciferné čísla.

Na čítanie sa záznam viacmiestneho prirodzeného čísla delí sprava do skupín po troch čísliciach, pričom v takejto skupine najviac vľavo môže byť buď 1 , alebo 2 , alebo 3 čísla. Tieto skupiny sú tzv triedy. Trieda na pravej strane je tzv jednotková trieda. Volá sa ďalšia trieda (sprava doľava). trieda tisícov, ďalšia trieda je trieda miliónov, Ďalšie - trieda miliárd, potom ide biliónová trieda. Môžete uviesť názvy nasledujúcich tried, ale prirodzené čísla, ktorých záznam pozostáva z 16 , 17 , 18 atď. znaky sa zvyčajne nečítajú, pretože je veľmi ťažké ich vnímať sluchom.

Pozrite si príklady rozdelenia viacciferných čísel do tried (pre prehľadnosť sú triedy navzájom oddelené malou zarážkou): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Zaznamenané prirodzené čísla si dajme do tabuľky, podľa ktorej sa dá ľahko naučiť čítať.

Na prečítanie prirodzeného čísla voláme zľava doprava čísla, ktoré ho tvoria podľa triedy a pridáme názov triedy. Zároveň nevyslovujeme názov triedy jednotiek a preskočíme aj tie triedy, ktoré tvoria tri číslice 0 . Ak má triedny záznam vľavo číslicu 0 alebo dve číslice 0 , potom tieto čísla ignorujte 0 a prečítajte si číslo získané vyradením týchto číslic 0 . Napríklad, 002 čítaj ako "dva" a 025 - ako "dvadsaťpäť".

Prečítajme si číslo 489 002 podľa daných pravidiel.

Čítame zľava doprava,

• prečítajte si číslo 489 , predstavujúci triedu tisícov, je "štysťstoosemdesiatdeväť";
• pridajte názov triedy, dostaneme „štysťstoosemdesiatdeväťtisíc“;
• ďalej v triede jednotiek, ktoré vidíme 002 , nuly sú vľavo, preto ich ignorujeme 002 čítaj ako "dva";
• názov podielovej triedy netreba pridávať;
• v dôsledku toho máme 489 002 - štyristoosemdesiatdeväťtisícdva.

Začnime čítať číslo 10 000 501 .

• Vľavo v triede miliónov vidíme číslo 10 , čítame „desať“;
• pridajte názov triedy, máme „desať miliónov“;
• ďalej vidíme záznam 000 v tisícovej triede, pretože všetky tri číslice sú číslice 0 , potom túto triedu preskočíme a prejdeme na ďalšiu;
• trieda jednotiek predstavuje číslo 501 , ktorý čítame „päťstojeden“;
• teda 10 000 501 desať miliónov päťsto jedna.

Urobme to bez podrobného vysvetlenia: 1 789 090 221 214 - "jeden bilión sedemsto osemdesiatdeväť miliárd deväťdesiat miliónov dvesto dvadsaťjeden tisíc dvesto štrnásť."

Takže zručnosť čítať viacciferné prirodzené čísla je založená na schopnosti rozdeliť viacciferné čísla do tried, znalosti názvov tried a schopnosti čítať trojciferné čísla.

Číslice prirodzeného čísla, hodnota číslice.

Pri písaní prirodzeného čísla závisí hodnota každej číslice od jej polohy. Napríklad prirodzené číslo 539 zodpovedá 5 stovky 3 desiatky a 9 jednotky, teda údaj 5 v zadaní čísla 539 definuje počet stoviek, číslicu 3 je počet desiatok a číslica 9 - počet jednotiek. Hovorí sa, že číslo 9 stojí v číslica jednotiek a číslo 9 je jednotková číselná hodnota, číslo 3 stojí v miesto desiatky a číslo 3 je hodnotu desiatky miest a číslo 5 - v stovky miesta a číslo 5 je hodnotu stoviek miest.

teda vypúšťanie- to je jednak poloha číslice v zápise prirodzeného čísla a jednak hodnota tejto číslice, určená jej polohou.

Hodnosti dostali mená. Ak sa pozriete na čísla v zázname prirodzeného čísla sprava doľava, budú im zodpovedať nasledujúce číslice: jednotky, desiatky, stovky, tisíce, desaťtisíce, státisíce, milióny, desiatky miliónov a tak ďalej.

Názvy kategórií sú vhodné na zapamätanie, keď sú prezentované vo forme tabuľky. Napíšme tabuľku obsahujúcu názvy 15 číslic.

Všimnite si, že počet číslic daného prirodzeného čísla sa rovná počtu znakov zapojených do zápisu tohto čísla. Zaznamenaná tabuľka teda obsahuje názvy číslic všetkých prirodzených čísel, ktorých záznam obsahuje do 15 znakov. Nasledujúce číslice majú tiež svoje vlastné mená, ale používajú sa veľmi zriedka, takže nemá zmysel ich uvádzať.

Pomocou tabuľky číslic je vhodné určiť číslice daného prirodzeného čísla. Aby ste to dosiahli, musíte do tejto tabuľky zapísať toto prirodzené číslo tak, aby v každej číslici bola jedna číslica a číslica úplne vpravo bola v jednotkovej číslici.

Vezmime si príklad. Napíšeme prirodzené číslo 67 922 003 942 v tabuľke a číslice a hodnoty týchto číslic budú jasne viditeľné.

V zázname tohto čísla je číslica 2 stojí v jednotkách miesto, číslica 4 - na mieste desiatky, číslica 9 - na mieste stoviek atď. Venujte pozornosť číslam 0 , ktoré sa pohybujú v desiatkach a státisícoch. čísla 0 v týchto čísliciach znamená neprítomnosť jednotiek týchto číslic.

Spomenúť treba aj takzvanú najnižšiu (najnižšiu) a najvyššiu (najvyššiu) kategóriu viachodnotového prirodzeného čísla. Nižšia (juniorská) hodnosť akékoľvek viachodnotové prirodzené číslo je číslica jednotiek. Najvyššia (najvyššia) číslica prirodzeného čísla je číslica zodpovedajúca číslici úplne vpravo v zázname tohto čísla. Napríklad najmenej významná číslica prirodzeného čísla 23004 je číslica jednotiek a najvyššia číslica je číslica desiatok tisíc. Ak sa v zápise prirodzeného čísla pohybujeme po čísliciach zľava doprava, tak každá ďalšia číslica nižší (mladší) ten predchádzajúci. Napríklad tisícka je menšia ako desaťtisícová, najmä tisícka je menšia ako tisícka, milióny, desiatky miliónov atď. Ak sa v zápise prirodzeného čísla pohybujeme po číslicach sprava doľava, tak každá ďalšia číslica vyšší (starší) ten predchádzajúci. Napríklad číslica stoviek je staršia ako číslica desiatok a ešte viac je staršia ako číslica jednotiek.

V niektorých prípadoch (napríklad pri vykonávaní sčítania alebo odčítania) sa nepoužíva samotné prirodzené číslo, ale súčet bitových členov tohto prirodzeného čísla.

Stručne o desiatkovej číselnej sústave.

Zoznámili sme sa teda s prirodzenými číslami, s ich významom a so spôsobom zápisu prirodzených čísel pomocou desiatich číslic.

Vo všeobecnosti sa metóda písania čísel pomocou znakov nazýva číselný systém. Hodnota číslice v položke čísla môže, ale nemusí závisieť od jej polohy. Nazývajú sa číselné sústavy, v ktorých hodnota číslice v číselnom zázname závisí od jej polohy pozičné.

Prirodzené čísla, ktoré sme uvažovali, a spôsob ich zápisu teda naznačujú, že používame pozičný číselný systém. Treba poznamenať, že špeciálne miesto v tomto číselnom systéme má číslo 10 . Skóre sa skutočne udržiava v desiatkach: desať jednotiek sa spája do desiatich, desať desiatok sa kombinuje do sto, desať stoviek do tisíc atď. číslo 10 volal základ daný číselný systém a samotný číselný systém sa nazýva desiatkový.

Okrem desiatkovej číselnej sústavy existujú aj ďalšie, napríklad v informatike sa používa dvojková pozičná číselná sústava a pri meraní času sa stretávame so šesťdesiatkovou sústavou.

Bibliografia.

• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 5 tried vzdelávacích inštitúcií.

Prirodzené čísla sú jedným z najstarších matematických pojmov.

V dávnejšej minulosti ľudia nepoznali čísla a keď potrebovali spočítať predmety (zvieratá, ryby atď.), robili to inak ako my teraz.

Počet predmetov sa porovnával s časťami tela, napríklad s prstami na ruke, a povedali: "Mám toľko orechov, koľko je prstov na ruke."

Postupom času si ľudia uvedomili, že päť orieškov, päť kôz a päť zajacov majú spoločnú vlastnosť – ich počet je päť.

Pamätajte!

Celé čísla sú čísla začínajúce 1, získané pri počítaní predmetov.

1, 2, 3, 4, 5…

najmenšie prirodzené číslo — 1 .

najväčšie prirodzené číslo neexistuje.

Pri počítaní sa číslo nula nepoužíva. Preto sa nula nepovažuje za prirodzené číslo.

Ľudia sa naučili písať čísla oveľa neskôr ako počítať. Najprv začali jednotku reprezentovať s jednou palicou, potom s dvoma palicami - číslom 2, s trojkou - číslom 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Potom tam boli špeciálne znaky pre označenie čísel - predchodcov moderných čísel. Čísla, ktoré používame na písanie čísel, pochádzajú z Indie asi pred 1500 rokmi. Arabi ich priniesli do Európy, tak sa im hovorí arabské číslice.

Celkovo je desať číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tieto číslice je možné použiť na zápis akéhokoľvek prirodzeného čísla.

Pamätajte!

prirodzené série je postupnosť všetkých prirodzených čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

V prirodzenom rade je každé číslo väčšie ako predchádzajúce o 1.

Prirodzený rad je nekonečný, nie je v ňom najväčšie prirodzené číslo.

Systém počítania, ktorý používame, je tzv desatinné pozičné.

Desatinné, pretože 10 jednotiek každej číslice tvorí 1 jednotku najvýznamnejšej číslice. Pozičné preto, lebo hodnota číslice závisí od jej miesta v zápise čísla, teda od číslice, ktorou je zapísaná.

Dôležité!

Triedy nasledujúce po miliarde sú pomenované podľa latinských názvov čísel. Každá ďalšia jednotka obsahuje tisíc predchádzajúcich.

• 1 000 miliárd = 1 000 000 000 000 = 1 bilión („tri“ je latinčina pre „tri“)
• 1 000 biliónov = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrilión („quadra“ je latinsky „štyri“)
• 1 000 kvadriliónov = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintilión („quinta“ je latinsky „päť“)

Fyzici však našli číslo, ktoré prevyšuje počet všetkých atómov (najmenších častíc hmoty) v celom vesmíre.

Toto číslo má špeciálny názov - googol. Googol je číslo, ktoré má 100 núl.

Prirodzené čísla sú človeku známe a intuitívne, pretože nás obklopujú od detstva. V nižšie uvedenom článku poskytneme základnú predstavu o význame prirodzených čísel, opíšeme základné zručnosti pri ich písaní a čítaní. Celá teoretická časť bude sprevádzaná príkladmi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Všeobecná predstava o prirodzených číslach

V určitom štádiu vývoja ľudstva vyvstala úloha spočítať určité predmety a určiť ich množstvo, čo si zase vyžadovalo nájsť nástroj na vyriešenie tohto problému. Takýmto nástrojom sa stali prirodzené čísla. Hlavný účel prirodzených čísel je tiež jasný - poskytnúť predstavu o počte objektov alebo o sériovom čísle konkrétneho objektu, ak hovoríme o množine.

Je logické, že na to, aby človek používal prirodzené čísla, musí mať spôsob, ako ich vnímať a reprodukovať. Takže prirodzené číslo môže byť vyjadrené alebo zobrazené, čo je prirodzenými spôsobmi prenos informácií.

Zvážte základné zručnosti vyjadrovania (čítania) a obrázkov (písanie) prirodzených čísel.

Desatinný zápis prirodzeného čísla

Pripomeňme si, ako sa zobrazujú nasledujúce znaky(uvádzame ich oddelené čiarkami): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Tieto znaky sa nazývajú čísla.

Vezmime si teraz pravidlo, že pri zobrazovaní (zápise) akéhokoľvek prirodzeného čísla sa používajú iba uvedené číslice bez účasti akýchkoľvek iných symbolov. Číslice pri písaní prirodzeného čísla nech majú rovnakú výšku, píšu sa za sebou v riadku a vľavo je vždy číslica iná ako nula.

Uveďme príklady správneho zápisu prirodzených čísel: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Zarážky medzi číslicami nie sú vždy rovnaké, o tom bude podrobnejšie popísané nižšie pri štúdiu tried čísel. Uvedené príklady ukazujú, že pri písaní prirodzeného čísla nie je potrebné mať všetky cifry z vyššie uvedeného radu. Niektoré alebo všetky sa môžu opakovať.

Definícia 1

Záznamy tvaru: 065 , 0 , 003 , 0791 nie sú záznamami prirodzených čísel, pretože vľavo je číslo 0.

Správny zápis prirodzeného čísla, urobený s prihliadnutím na všetky opísané požiadavky, sa nazýva desiatkový zápis prirodzeného čísla.

Kvantitatívny význam prirodzených čísel

Ako už bolo spomenuté, prirodzené čísla majú spočiatku okrem iného aj kvantitatívny význam. Prirodzené čísla, ako nástroj číslovania, sú rozoberané v téme porovnávania prirodzených čísel.

Začnime prirodzenými číslami, ktorých zápisy sa zhodujú so zápismi číslic, t.j. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Predstavte si určitý predmet, napríklad tento: Ψ . Môžeme zapísať, čo vidíme 1 vec. Prirodzené číslo 1 sa číta ako „jedna“ alebo „jedna“. Pojem „jednotka“ má aj iný význam: niečo, čo možno považovať za celok. Ak existuje množina, potom akýkoľvek jej prvok môže byť označený jednotkou. Napríklad z mnohých myší je každá myš jedna; akýkoľvek kvet zo sady kvetov je jednotka.

Teraz si predstavte: Ψ Ψ . Vidíme jeden predmet a druhý predmet, t.j. v zázname to bude - 2 položky. Prirodzené číslo 2 sa číta ako „dva“.

Ďalej analogicky: Ψ Ψ Ψ - 3 položky ("tri"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("štyri"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("päť"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("šesť"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("sedem"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("osem"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ ("Ψ - 9" deväť").

Z naznačenej pozície je funkciou prirodzeného čísla udávať množstvá položky.

Definícia 1

Ak sa zadanie čísla zhoduje so zadaním číslice 0, zavolá sa také číslo „nula“. Nula nie je prirodzené číslo, ale uvažuje sa spolu s inými prirodzenými číslami. Nula znamená nie, t.j. nula položiek znamená žiadne.

Jednociferné prirodzené čísla

Je zrejmé, že pri písaní každého z vyššie uvedených prirodzených čísel (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) používame jedno znamienko – jednu číslicu.

Definícia 2

Jednociferné prirodzené číslo- prirodzené číslo, ktoré sa zapisuje pomocou jedného znamienka - jednej číslice.

Existuje deväť jednociferných prirodzených čísel: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dvojciferné a trojciferné prirodzené čísla

Dvojciferné prirodzené čísla- prirodzené čísla, ktoré sa zapisujú pomocou dvoch znakov - dvoch číslic. V tomto prípade môžu byť použité čísla rovnaké alebo rôzne.

Napríklad prirodzené čísla 71, 64, 11 sú dvojciferné.

Zvážte význam dvojciferných čísel. Budeme sa spoliehať na kvantitatívny význam nám už známych jednohodnotových prirodzených čísel.

Predstavme si taký pojem ako „desiatka“.

Predstavte si súbor predmetov, ktorý pozostáva z deviatich a jedného ďalšieho. V tomto prípade môžeme hovoriť o 1 tuctu („jeden tucet“) položiek. Ak si predstavíte jeden tucet a ešte jeden, potom budeme hovoriť o 2 desiatkach („dve desiatky“). Pripočítaním ešte jednej desiatky k dvom desiatkam dostaneme tri desiatky. A tak ďalej: pokračujúc v pridávaní jedného tucta, dostaneme štyri desiatky, päť desiatok, šesť desiatok, sedem desiatok, osem desiatok a nakoniec deväť desiatok.

Pozrime sa na dvojciferné číslo ako na množinu jednociferných čísel, z ktorých jedno sa píše vpravo, druhé vľavo. Číslo vľavo bude udávať počet desiatok v prirodzenom čísle a číslo vpravo počet jednotiek. V prípade, že sa číslo 0 nachádza vpravo, hovoríme o absencii jednotiek. Vyššie uvedené je kvantitatívny význam prirodzených dvojciferných čísel. Spolu ich je 90.

Definícia 4

Trojciferné prirodzené čísla- prirodzené čísla, ktoré sa zapisujú pomocou troch znakov - troch číslic. Čísla môžu byť rôzne alebo sa môžu opakovať v akejkoľvek kombinácii.

Napríklad 413, 222, 818, 750 sú trojciferné prirodzené čísla.

Aby sme pochopili kvantitatívny význam trojhodnotových prirodzených čísel, zavedieme pojem "sto".

Definícia 5

Sto (100) je súbor desiatich desiatok. Sto plus sto sa rovná dvesto. Pridajte ďalšiu stovku a získate 3 stovky. Postupným pridávaním sto dostaneme: štyristo, päťsto, šesťsto, sedemsto, osemsto, deväťsto.

Zoberme si samotný záznam trojciferného čísla: jednociferné prirodzené čísla v ňom obsiahnuté sa píšu za sebou zľava doprava. úplne vpravo jednociferný označuje počet jednotiek; ďalšie jednociferné číslo vľavo - počtom desiatok; jedna číslica úplne vľavo je počet stoviek. Ak je v položke zahrnuté číslo 0, znamená to absenciu jednotiek a / alebo desiatok.

Trojciferné prirodzené číslo 402 teda znamená: 2 jednotky, 0 desiatok (nie sú desiatky, ktoré by neboli spojené do stoviek) a 4 stovky.

Analogicky je uvedená definícia prirodzených čísel štvorciferných, päťciferných atď.

Viachodnotové prirodzené čísla

Zo všetkého uvedeného je teraz možné prejsť k definícii viachodnotových prirodzených čísel.

Definícia 6

Viachodnotové prirodzené čísla- prirodzené čísla, ktoré sa zapisujú pomocou dvoch alebo viacerých znakov. Viacciferné prirodzené čísla sú dvojciferné, trojciferné atď.

Tisíc je súbor, ktorý obsahuje desaťsto; jeden milión sa skladá z tisíc tisíc; jedna miliarda - tisíc miliónov; jeden bilión je tisíc miliárd. Aj väčšie sady majú aj názvy, no ich využitie je ojedinelé.

Podobne ako v princípe vyššie, môžeme každé viacciferné prirodzené číslo považovať za množinu jednociferných prirodzených čísel, z ktorých každé na určitom mieste udáva prítomnosť a počet jednotiek, desiatok, stoviek, tisícok, desiatok. tisícov, stoviek tisíc, miliónov, desiatok miliónov, stoviek miliónov, miliárd atď. (sprava doľava, v tomto poradí).

Napríklad viacmiestne číslo 4 912 305 obsahuje: 5 jednotiek, 0 desiatok, tristo, 2 tisíc, 1 desaťtisíc, 9 stotisíc a 4 milióny.

Keď to zhrnieme, preskúmali sme zručnosť zoskupovania jednotiek do rôznych množín (desiatky, stovky atď.) a zistili sme, že čísla v zázname viacciferného prirodzeného čísla sú označením počtu jednotiek v každej z takýchto množín.

Čítanie prirodzených čísel, tried

Vo vyššie uvedenej teórii sme označovali názvy prirodzených čísel. V tabuľke 1 uvádzame, ako správne používať názvy jednociferných prirodzených čísel v reči a v abecednom zápise:

Pre kompetentné čítanie a zápis dvojciferných čísel sa musíte naučiť údaje v tabuľke 2:

Na čítanie iných prirodzených dvojciferných čísel použijeme údaje z oboch tabuliek, zvážte to na príklade. Povedzme, že potrebujeme prečítať prirodzené dvojciferné číslo 21. Toto číslo obsahuje 1 jednotku a 2 desiatky, t.j. 20 a 1. Keď sa pozrieme na tabuľky, uvedené číslo čítame ako „dvadsaťjeden“, pričom spojenie „a“ medzi slovami nie je potrebné vyslovovať. Predpokladajme, že v nejakej vete musíme použiť zadané číslo 21, ktoré označuje počet položiek v genitív: "nie je 21 jabĺk." V tomto prípade bude výslovnosť znieť takto: „neexistuje dvadsaťjeden jabĺk“.

Pre názornosť uveďme ešte jeden príklad: číslo 76, ktoré sa číta ako „sedemdesiatšesť“ a napríklad „sedemdesiatšesť ton“.

Prečítať celé trojciferné číslo, používame aj údaje všetkých špecifikovaných tabuliek. Napríklad dané prirodzené číslo 305 . Toto číslo zodpovedá 5 jednotkám, 0 desiatkam a 3 stovkám: 300 a 5. Keď vezmeme tabuľku ako základ, čítame: „tristopäť“ alebo v skloňovaní podľa pádov, napríklad takto: „tristopäť metrov“.

Prečítajme si ešte jedno číslo: 543. Podľa pravidiel tabuliek bude uvedené číslo znieť takto: „päťstoštyridsaťtri“ alebo v prípade skloňovania napríklad takto: „žiadne päťstoštyridsaťtri rubľov“.

Prejdime k všeobecný princípčítanie viacciferných prirodzených čísel: ak chcete prečítať viacmiestne číslo, musíte ho rozdeliť sprava doľava na skupiny troch číslic a skupina úplne vľavo môže mať 1, 2 alebo 3 číslice. Takéto skupiny sa nazývajú triedy.

Krajná pravica je trieda jednotiek; potom ďalšia trieda vľavo - trieda tisícov; ďalej - trieda miliónov; potom prichádza trieda miliárd, po ktorej nasleduje trieda biliónov. Nasledujúce triedy majú tiež názov, ale prirodzené čísla pozostávajúce z veľkého počtu znakov (16, 17 a viac) sa pri čítaní používajú zriedka, je dosť ťažké ich vnímať sluchom.

Pre lepšie vnímanie záznamu sú triedy od seba oddelené malou zarážkou. Napríklad 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Na prečítanie viacmiestneho čísla postupne voláme čísla, ktoré ho tvoria (zľava doprava, podľa triedy s pridaním názvu triedy). Názov triedy jednotiek sa nevyslovuje a tie triedy, ktoré tvoria tri číslice 0, sa tiež nevyslovujú. Ak sa v jednej triede nachádza jedna alebo dve číslice 0 vľavo, potom sa pri čítaní žiadnym spôsobom nepoužívajú. Napríklad 054 sa číta ako „päťdesiatštyri“ alebo 001 ako „jedna“.

Príklad 1

Pozrime sa podrobne na čítanie čísla 2 533 467 001 222:

Číslo 2 čítame ako zložku triedy biliónov – „dva“;

Pridaním názvu triedy dostaneme: „dva bilióny“;

Čítame nasledujúce číslo a pridávame názov zodpovedajúcej triedy: „päťsto tridsaťtri miliárd“;

Pokračujeme analogicky a čítame ďalšiu triedu vpravo: „štysťstošesťdesiatsedem miliónov“;

V ďalšej triede vidíme dve číslice 0 umiestnené vľavo. Podľa vyššie uvedených pravidiel čítania sú číslice 0 vyradené a nezúčastňujú sa čítania záznamu. Potom dostaneme: "jeden tisíc";

Čítanie posledná trieda jednotiek, bez pridania jeho názvu – „dvesto dvadsaťdva“.

Číslo 2 533 467 001 222 teda bude znieť takto: dva bilióny päťsto tridsaťtri miliárd štyristo šesťdesiatsedem miliónov tisíc dvesto dvadsaťdva. Pomocou tohto princípu môžeme prečítať aj ďalšie uvedené čísla:

31 013 736 - tridsaťjeden miliónov trinásťtisícsedemstotridsaťšesť;

134 678 - stotridsaťštyritisícšesťstosedemdesiatosem;

23 476 009 434 - dvadsaťtri miliárd štyristosedemdesiatšesť miliónov deväťtisíc štyristotridsaťštyri.

Teda základ správne čítanie viacciferné čísla je zručnosť rozdeliť viacciferné číslo do tried, znalosť zodpovedajúcich názvov a pochopenie princípu čítania dvoj- a trojciferných čísel.

Ako už vyplýva zo všetkého vyššie uvedeného, ​​jeho hodnota závisí od pozície, na ktorej sa číslica nachádza v zázname čísla. To znamená, že napríklad číslo 3 v prirodzenom čísle 314 označuje počet stoviek, konkrétne 3 stovky. Číslo 2 je počet desiatok (1 desať) a číslo 4 je počet jednotiek (4 jednotky). V tomto prípade povieme, že číslo 4 je na mieste jednotiek a je to hodnota miesta jednotiek v danom čísle. Číslo 1 je na mieste desiatky a slúži ako hodnota miesta desiatky. Číslo 3 sa nachádza na mieste stoviek a má hodnotu stoviek.

Definícia 7

Vypúšťanie je pozícia číslice v zápise prirodzeného čísla, ako aj hodnota tejto číslice, ktorá je určená jej pozíciou v danom čísle.

Výboje majú svoje názvy, použili sme ich už vyššie. Sprava doľava nasledujú číslice: jednotky, desiatky, stovky, tisíce, desaťtisíce atď.

Na uľahčenie zapamätania môžete použiť nasledujúcu tabuľku (uvádzame 15 číslic):

Ujasnime si tento detail: počet číslic v danom viaccifernom čísle je rovnaký ako počet znakov v číselnom zápise. Napríklad táto tabuľka obsahuje názvy všetkých číslic pre číslo s 15 znakmi. Následné výboje majú tiež názvy, ale používajú sa veľmi zriedkavo a sú veľmi nepohodlné na počúvanie.

Pomocou takejto tabuľky je možné rozvíjať zručnosť určovania hodnosti zápisom daného prirodzeného čísla do tabuľky tak, že číslica úplne vpravo je zapísaná v jednotkách číslica a následne každá číslica po číslici. Viacmiestne prirodzené číslo 56 402 513 674 napíšme napríklad takto:

Venujte pozornosť číslu 0, ktoré sa nachádza vo výboji desiatok miliónov - to znamená absenciu jednotiek tejto kategórie.

Zavádzame aj pojmy najnižšej a najvyššej číslice viacciferného čísla.

Definícia 8

Najnižšia (juniorská) hodnosť akékoľvek viachodnotové prirodzené číslo je číslica jednotiek.

Najvyššia (staršia) kategóriaľubovoľného viacmiestneho prirodzeného čísla - číslica zodpovedajúca číslici úplne vľavo v zápise daného čísla.

Takže napríklad v čísle 41 781: najnižšia hodnosť je hodnosť jednotiek; najvyššia hodnosť je desaťtisícová číslica.

Z toho logicky vyplýva, že je možné hovoriť o nadradenosti číslic vo vzťahu k sebe navzájom. Každá ďalšia číslica pri pohybe zľava doprava je nižšia (mladšia) ako predchádzajúca. A naopak: pri pohybe sprava doľava je každá ďalšia číslica vyššia (staršia) ako predchádzajúca. Napríklad číslica tisícok je staršia ako číslica stoviek, ale mladšia ako číslica miliónov.

Ujasnime si to pri riešení niektorých praktické príklady nepoužíva sa samotné prirodzené číslo, ale súčet bitových členov daného čísla.

Stručne o desiatkovej číselnej sústave

Notový zápis- spôsob písania číslic pomocou znakov.

Pozičné číselné sústavy- také, v ktorých hodnota číslice v čísle závisí od jej polohy v zápise čísla.

Podľa tejto definície môžeme povedať, že pri štúdiu prirodzených čísel a spôsobu ich zápisu vyššie sme použili pozičný číselný systém. Špeciálne miesto tu hrá číslo 10. Stále počítame po desiatkach: desať jednotiek tvorí desať, desať desiatok sa spája do sto atď. Číslo 10 slúži ako základ tejto číselnej sústavy a samotná sústava sa nazýva aj desiatková.

Okrem nej existujú aj iné číselné sústavy. Napríklad informatika používa binárnu sústavu. Keď sledujeme čas, používame šesťdesiatkovú číselnú sústavu.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Prirodzené čísla a ich vlastnosti

Prirodzené čísla sa používajú na počítanie predmetov v živote. Akékoľvek prirodzené číslo používa číslice $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Postupnosť prirodzených čísel, z ktorých každé ďalšie číslo je o $1$ väčšie ako predchádzajúce, tvorí prirodzený rad, ktorý začína jednotkou (pretože jedna je najmenšie prirodzené číslo) a nemá najväčšiu hodnotu, t.j. nekonečné.

Nula sa nepovažuje za prirodzené číslo.

Nasledujúce vlastnosti vzťahu

Všetky vlastnosti prirodzených čísel a operácie s nimi vyplývajú zo štyroch vlastností sekvenčných vzťahov, ktoré v $1891$ sformuloval D. Peano:

Jedna je prirodzené číslo, ktoré nenasleduje žiadne prirodzené číslo.

Po každom prirodzenom čísle nasleduje len jedno číslo

Každé prirodzené číslo iné ako $1$ nasleduje len jedno prirodzené číslo

Podmnožina prirodzených čísel obsahujúca číslo $1$ a spolu s každým číslom, ktoré nasleduje za ním, obsahuje všetky prirodzené čísla.

Ak záznam prirodzeného čísla pozostáva z jednej číslice, nazýva sa jednociferný (napríklad 2,6,9 $ atď.), ak záznam pozostáva z dvoch číslic, nazýva sa dvojciferný (napríklad 12,18 USD 0,45 $) atď. Podobne. Dvojmiestne, trojmiestne, štvormiestne atď. čísla sa v matematike nazývajú viachodnotové.

Vlastnosť sčítania prirodzených čísel

Komutatívna vlastnosť: $a+b=b+a$

Pri zmene usporiadania podmienok sa suma nemení

Asociačná vlastnosť: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Ak chcete k číslu pridať súčet dvoch čísel, môžete najskôr pridať prvý člen a potom k výslednému súčtu druhý člen

Pridaním nuly sa číslo nezmení a ak pripočítate ľubovoľné číslo k nule, dostanete pridané číslo.

vlastnosti odčítania

Vlastnosť odčítania súčtu od čísla $a-(b+c) =a-b-c$, ak $b+c ≤ a$

Ak chcete od čísla odčítať súčet, môžete od tohto čísla najskôr odpočítať prvý člen a potom od výsledného rozdielu druhý člen

Vlastnosť odčítania čísla od súčtu $(a+b) -c=a+(b-c)$, ak $c ≤ b$

Ak chcete od súčtu odčítať číslo, môžete ho odpočítať od jedného člena a k výslednému rozdielu pridať ďalší

Ak od čísla odčítate nulu, číslo sa nezmení.

Ak ho odpočítate od samotného čísla, dostanete nulu

Vlastnosti násobenia

Výtlak $a\cdot b=b\cdot a$

Súčin dvoch čísel sa pri preusporiadaní faktorov nemení

Asociatívne $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Ak chcete vynásobiť číslo súčinom dvoch čísel, môžete ho najprv vynásobiť prvým faktorom a potom vynásobiť výsledný súčin druhým faktorom

Pri vynásobení jednou sa súčin nemení $m\cdot 1=m$

Pri vynásobení nulou je súčin nula

Ak v zápise produktu nie sú žiadne zátvorky, násobenie sa vykoná v poradí zľava doprava

Vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie a odčítanie

Distribučná vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Ak chcete vynásobiť súčet číslom, môžete každý výraz vynásobiť týmto číslom a pridať výsledné produkty

Napríklad $5(x+y)=5x+5y$

Distributívna vlastnosť násobenia vzhľadom na odčítanie

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Ak chcete vynásobiť rozdiel číslom, vynásobte mínus a odčítajte týmto číslom a odčítajte druhý od prvého súčinu

Napríklad $5(x-y)=5x-5y$

Porovnanie prirodzených čísel

Pre ľubovoľné prirodzené čísla $a$ a $b$ platí iba jeden z troch vzťahov $a=b$, $a

Menšie číslo je to, ktoré sa v prirodzenej sérii objaví skôr, a väčšie, ktoré sa objaví neskôr. Nula je menšia ako akékoľvek prirodzené číslo.

Príklad 1

Porovnajte čísla $a$ a $555$, ak je známe, že existuje nejaké číslo $b$ a platia nasledujúce vzťahy: $a

rozhodnutie: Na základe zadanej vlastnosti, pretože podľa podmienky $a

v ktorejkoľvek podmnožine prirodzených čísel obsahujúcich aspoň jedno číslo existuje najmenšie číslo

Podmnožina v matematike je súčasťou množiny. O množine sa hovorí, že je podmnožinou inej, ak každý prvok podmnožiny je tiež prvkom väčšej množiny.

Na porovnanie čísel často nájdu svoj rozdiel a porovnajú ho s nulou. Ak je rozdiel väčší ako 0 $, ale prvé číslo je väčšie ako druhé, ak je rozdiel menší ako 0 $, prvé číslo je menšie ako druhé.

Zaokrúhľovanie prirodzených čísel

Ak úplná presnosť nie je potrebná alebo nie je možná, čísla sa zaokrúhlia, to znamená, že sa nahradia blízkymi číslami s nulami na konci.

Prirodzené čísla sa zaokrúhľujú nahor na desiatky, stovky, tisíce atď.

Pri zaokrúhľovaní čísla na desiatky sa nahrádza najbližším číslom pozostávajúcim z celých desiatok; takéto číslo má na mieste jednotiek číslicu $0$

Pri zaokrúhľovaní čísla na stovky sa nahrádza najbližším číslom pozostávajúcim z celých stoviek; takéto číslo by malo mať na mieste desiatok a jednotiek číslicu $0$. Atď

Čísla, na ktoré sa dané zaokrúhľuje, sa nazývajú približná hodnota čísla s presnosťou na zadané číslice. Ak napríklad zaokrúhlite číslo 564$ na desiatky, dostaneme, že sa dá zaokrúhliť aj s nevýhodou a dostanete 560 $ alebo s prebytkom a získajte 570 $.

Pravidlo zaokrúhľovania pre prirodzené čísla

Ak je napravo od číslice, na ktorú je číslo zaokrúhlené, číslo $5$ alebo číslo väčšie ako $5$, potom sa k číslici tejto číslice pridá $1$; v opačnom prípade zostane tento údaj nezmenený.

Všetky číslice umiestnené napravo od číslice, na ktorú sa číslo zaokrúhľuje, sú nahradené nulami

Definícia

Prirodzené čísla sa nazývajú čísla určené na počítanie predmetov. Na zaznamenávanie prirodzených čísel sa používa 10 arabských číslic (0–9), ktoré tvoria základ desiatkovej číselnej sústavy všeobecne akceptovanej pre matematické výpočty.

Postupnosť prirodzených čísel

Prirodzené čísla tvoria rad začínajúci od 1 a pokrývajúci množinu všetkých kladných celých čísel. Takáto postupnosť pozostáva z čísel 1,2,3, ... . To znamená, že v prirodzenej sérii:

1. Existuje najmenšie číslo a žiadne najväčšie.
2. Každé ďalšie číslo je o 1 väčšie ako predchádzajúce (výnimkou je samotná jednotka).
3. Ako čísla idú do nekonečna, rastú donekonečna.

Niekedy sa do radu prirodzených čísel zavádza aj 0. To je prípustné a potom sa o tom hovorí predĺžený prirodzené série.

Triedy prirodzených čísel

Každá číslica prirodzeného čísla vyjadruje určitú číslicu. Posledný je vždy počet jednotiek v čísle, pred ním je počet desiatok, tretí od konca je počet stoviek, štvrtý je počet tisícok atď.

• v počte 276: 2 stovky, 7 desiatok, 6 jednotiek
• v počte 1098: 1 tisíc, 9 desiatok, 8 jednotiek; miesto stoviek tu chýba, pretože je vyjadrené ako nula.

Pre veľké a veľmi veľké čísla môžete vidieť stabilný trend (ak skúmate číslo sprava doľava, to znamená od poslednej číslice po prvú):

• posledné tri číslice v čísle sú jednotky, desiatky a stovky;
• predchádzajúce tri sú jednotky, desiatky a státisíce;
• tri pred nimi (t.j. 7., 8. a 9. číslica čísla, počítajúc od konca) sú jednotky, desiatky a stovky miliónov atď.

To znamená, že zakaždým, keď máme čo do činenia s tromi číslicami, teda jednotkami, desiatkami a stovkami väčšieho názvu. Takéto skupiny tvoria triedy. A ak s prvými tromi triedami v Každodenný život musia riešiť viac či menej často, potom by mali byť uvedené ďalšie, pretože nie každý si pamätá ich mená naspamäť.

• 4. trieda, ktorá nasleduje po triede miliónov a predstavuje čísla 10-12 číslic, sa nazýva miliarda (alebo miliarda);
• 5. trieda - bilión;
• 6. ročník - kvadrilión;
• 7. ročník - kvintilión;
• 8. ročník - sextilión;
• 9. ročník - septil.

Sčítanie prirodzených čísel

Sčítanie prirodzených čísel je aritmetická operácia, ktorá vám umožňuje získať číslo, ktoré obsahuje toľko jednotiek, koľko je v číslach sčítaných.

Znakom sčítania je znak „+“. Sčítané čísla sa nazývajú členy, výsledok sa nazýva súčet.

Malé čísla sa sčítavajú (sčítavajú) ústne, písomne ​​sa takéto úkony píšu do riadku.

Viacciferné čísla, ktoré je ťažké sčítať v mysli, sa zvyčajne pridávajú do stĺpca. Na tento účel sa čísla zapisujú pod seba, zarovnané s poslednou číslicou, to znamená, že číslicu jednotky zapíšu pod číslicu jednotky, číslicu stoviek pod číslicu stoviek atď. Ďalej je potrebné pridať číslice do párov. Ak k sčítaniu číslic dochádza pri prechode cez desiatku, potom sa táto desiatka zafixuje ako jednotka nad číslicou vľavo (teda za ňou) a sčíta sa spolu s číslicami tejto číslice.

Ak stĺpec dáva nie 2, ale viac čísel, potom pri sčítaní číslic kategórie môže byť nadbytočných nie 1 tucet, ale niekoľko. V tomto prípade sa počet takýchto desiatok prenesie na ďalšiu číslicu.

Odčítanie prirodzených čísel

Odčítanie je aritmetická operácia, opak sčítania, ktorá sa scvrkáva na skutočnosť, že vzhľadom na množstvo a jeden z výrazov musíte nájsť iný - neznámy výraz. Číslo, od ktorého sa odčítava, sa nazýva minuend; číslo, ktoré sa odčítava, je subtrahend. Výsledok odčítania sa nazýva rozdiel. Znamienko, ktoré označuje operáciu odčítania, je "-".

Pri prechode na sčítanie sa subtrahend a rozdiel menia na členy a redukované na súčet. Sčítanie zvyčajne kontroluje správnosť vykonaného odčítania a naopak.

Tu je 74 minuend, 18 je subtrahend, 56 je rozdiel.

Predpokladom pre odčítanie prirodzených čísel je nasledovné: minuend musí byť nevyhnutne väčší ako subtrahend. Iba v tomto prípade bude výsledný rozdiel tiež prirodzeným číslom. Ak sa akcia odčítania vykonáva pre rozšírenú prirodzenú sériu, potom je dovolené, aby sa minuend rovnal subtrahendu. A výsledok odčítania v tomto prípade bude 0.

Poznámka: ak sa čiastkový bod rovná nule, operácia odčítania nezmení hodnotu mínusového bodu.

Odčítanie viacciferných čísel sa zvyčajne vykonáva v stĺpci. Čísla zapíšte rovnakým spôsobom ako pri sčítaní. Odčítanie sa vykonáva pre zodpovedajúce číslice. Ak sa ukáže, že minuend je menší ako subtrahend, potom sa z predchádzajúcej (umiestnenej vľavo) číslice vezme jedna, ktorá sa po prevode prirodzene zmení na 10. Táto desiatka sa spočíta s číslom redukovanej daná číslica a potom odčítaná. Ďalej, pri odčítaní ďalšej číslice je potrebné vziať do úvahy, že redukované je o 1 menšie.

Súčin prirodzených čísel

Súčin (alebo násobenie) prirodzených čísel je aritmetická operácia, ktorá hľadá súčet ľubovoľného počtu rovnakých členov. Ak chcete zaznamenať operáciu násobenia, použite znak "·" (niekedy "×" alebo "*"). Napríklad: 3 5=15.

Akcia násobenia je nevyhnutná, keď je potrebné pridať veľký počet podmienky. Napríklad, ak potrebujete pridať číslo 4 7-krát, potom je násobenie 4 7 jednoduchšie ako toto sčítanie: 4+4+4+4+4+4+4.

Čísla, ktoré sa násobia, sa nazývajú faktory, výsledkom násobenia je súčin. V súlade s tým môže pojem „práca“ v závislosti od kontextu vyjadrovať tak proces množenia, ako aj jeho výsledok.

Viacmiestne čísla sa násobia v stĺpci. Pre toto číslo sa píše rovnakým spôsobom ako pre sčítanie a odčítanie. Odporúča sa napísať ako prvé (nad), ktoré z 2 čísel, ktoré je dlhšie. V tomto prípade bude proces násobenia jednoduchší, a preto racionálnejší.

Pri násobení v stĺpci sa číslice každej z číslic druhého čísla postupne násobia číslicami 1. čísla, počnúc od jeho konca. Keď našli prvé takéto dielo, zapíšu si počet jednotiek a pamätajú na počet desiatok. Pri vynásobení číslice 2. čísla nasledujúcou číslicou 1. čísla sa k produktu pripočíta číslo, na ktoré treba pamätať. A opäť si zapíšu počet jednotiek získaného výsledku a zapamätajú si počet desiatok. Pri vynásobení poslednou číslicou 1. čísla sa takto získané číslo zapíše celé.

Výsledky vynásobenia číslic 2. číslice druhého čísla sa zapíšu do druhého riadku, pričom sa posunie o 1 bunku doprava. Atď. V dôsledku toho sa získa "rebrík". Mali by sa sčítať všetky výsledné riadky čísel (podľa pravidla sčítania v stĺpci). Prázdne bunky by sa mali považovať za vyplnené nulami. Výsledná suma je konečným produktom.

Poznámka

1. Súčin akéhokoľvek prirodzeného čísla číslom 1 (alebo číslom 1) sa rovná samotnému číslu. Napríklad: 376 1=376; 186=86.
2. Keď sa jeden z faktorov alebo oba faktory rovnajú 0, potom sa súčin rovná 0. Napríklad: 32·0=0; 0 845 = 845; 0 0 = 0.

Delenie prirodzených čísel

Delenie sa nazýva aritmetická operácia, pomocou ktorej možno podľa známeho súčinu a jedného z faktorov nájsť ďalší – neznámy – faktor. Rozdelenie je akcia recipročné násobenie, a slúži na kontrolu správnosti vykonaného násobenia (a naopak).

Číslo, ktoré sa delí, sa nazýva deliteľné; číslo, ktorým sa delí, je deliteľ; výsledok delenia sa nazýva kvocient. Znak delenia je ":" (niekedy, menej často - "÷").

Tu je 48 dividenda, 6 je deliteľ a 8 je kvocient.

Nie všetky prirodzené čísla sa dajú medzi sebou rozdeliť. V tomto prípade sa rozdelenie vykonáva so zvyškom. Spočíva v tom, že pre deliteľa sa vyberie taký koeficient, aby jeho súčinom deliteľa bolo číslo, ktoré sa hodnotou čo najviac približuje k dividende, ale je menšie ako on. Deliteľ sa vynásobí týmto faktorom a odpočíta sa od dividendy. Rozdiel bude zvyšok divízie. Súčin deliteľa faktorom sa nazýva neúplný kvocient. Pozor: zvyšok musí byť menší ako zvolený násobiteľ! Ak je zvyšok väčší, znamená to, že násobiteľ je zvolený nesprávne a mal by sa zvýšiť.

Vyberieme faktor pre 7. V tomto prípade je toto číslo 5. Nájdeme neúplný kvocient: 7 5 \u003d 35. Vypočítajte zvyšok: 38-35=3. Od 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Viacmiestne čísla sú rozdelené do stĺpca. Na tento účel sa deliteľ a deliteľ napíšu vedľa seba a deliteľ sa oddelí zvislou a vodorovnou čiarou. V deleni sa vyberie prvá číslica alebo prvých pár číslic (vpravo), čo by malo byť číslo, ktoré minimálne stačí na delenie deliteľom (to znamená, že toto číslo musí byť väčšie ako deliteľ). Pre toto číslo sa vyberie neúplný kvocient, ako je opísané v pravidle delenia zvyškom. Číslo násobiteľa použitého na nájdenie čiastočného podielu sa zapíše pod deliteľa. Neúplný podiel sa zapíše pod číslo, ktoré bolo rozdelené, zarovnaný vpravo. Nájdite ich rozdiel. Ďalšia číslica dividendy sa zruší tak, že sa zapíše vedľa tohto rozdielu. Pre výsledné číslo sa opäť nájde neúplný kvocient zapísaním čísla vybraného súčiniteľa vedľa predchádzajúceho pod deliteľa. Atď. Takéto akcie sa vykonávajú, kým sa neminú čísla dividend. Potom sa rozdelenie považuje za dokončené. Ak sa dividenda a deliteľ delia úplne (bez zvyšku), potom posledný rozdiel bude nula. V opačnom prípade bude zvyšné číslo vrátené.

Umocňovanie

Umocňovanie je matematická operácia, ktorá spočíva vo vynásobení ľubovoľného počtu rovnakých čísel. Napríklad: 2 2 2 2.

Takéto výrazy sa píšu takto: a x,

kde a je číslo vynásobené samo sebou X je počet takýchto faktorov.

Prvočísla a zložené prirodzené čísla

Akékoľvek prirodzené číslo, okrem 1, možno deliť aspoň 2 číslami – jedným a sebou samým. Na základe tohto kritéria sa prirodzené čísla delia na prvočísla a zložené.

Prvočísla sú čísla, ktoré sú deliteľné iba 1 a sebou samým. Čísla, ktoré sú deliteľné viac ako týmito 2 číslami, sa nazývajú zložené čísla. Jednotka deliteľná len sama sebou nie je prvočíslo ani zložená.

Čísla sú prvočísla: 2,3,5,7,11,13,17,19 atď. Príklady zložených čísel: 4 (deliteľné 1,2,4), 6 (deliteľné 1,2,3,6), 20 (deliteľné 1,2,4,5,10,20).

Akékoľvek zložené číslo možno rozložiť na prvočísla. Prvočíslo sa v tomto prípade chápe ako jeho deliteľ, ktorým sú prvočísla.

Príklad rozkladu na prvočiniteľa:

Deliče prirodzených čísel

Deliteľ je číslo, ktorým možno dané číslo bezo zvyšku deliť.

V súlade s touto definíciou majú jednoduché prirodzené čísla 2 deliteľov, zložené čísla majú viac ako 2 deliteľov.

Mnohé čísla majú spoločných deliteľov. Spoločný deliteľ je číslo, ktorým sú dané čísla bezo zvyšku deliteľné.

• Čísla 12 a 15 majú spoločného deliteľa 3
• Čísla 20 a 30 majú spoločných deliteľov 2,5,10

Zvlášť dôležitý je najväčší spoločný deliteľ (GCD). Toto číslo je užitočné najmä na to, aby bolo možné nájsť na redukciu zlomkov. Na jeho nájdenie je potrebné rozložiť dané čísla na prvočísla a prezentovať ich ako súčin ich spoločných prvočísel, braných v najmenších mocninách.

Je potrebné nájsť GCD čísel 36 a 48.

Deliteľnosť prirodzených čísel

Zďaleka nie je vždy možné určiť „okom“, či je jedno číslo deliteľné druhým bezo zvyšku. V takýchto prípadoch je užitočný zodpovedajúci test deliteľnosti, teda pravidlo, podľa ktorého v priebehu niekoľkých sekúnd určíte, či je možné deliť čísla bezo zvyšku. Znak "" sa používa na označenie deliteľnosti.

Najmenší spoločný násobok

Táto hodnota (označená LCM) je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z uvedených. LCM možno nájsť pre ľubovoľnú množinu prirodzených čísel.

LCM, podobne ako GCD, má významný aplikovaný význam. Je to teda LCM, ktorý treba nájsť redukciou obyčajných zlomkov na spoločného menovateľa.

LCM sa určuje rozdelením daných čísel na prvočísla. Na jeho vytvorenie sa použije súčin, ktorý pozostáva z každého z vyskytujúcich sa (aspoň pre 1 číslo) zastúpených v maximálnej miere.

Je potrebné nájsť LCM čísel 14 a 24.

Priemerná

Aritmetický priemer ľubovoľného (ale konečného) počtu prirodzených čísel je súčet všetkých týchto čísel vydelený počtom členov:

Aritmetický priemer je nejaká priemerná hodnota pre množinu čísel.

Uvedené sú čísla 2,84,53,176,17,28. Je potrebné nájsť ich aritmetický priemer.