3 v rôznej miere. Zvyšovanie do iracionálnej miery. Maximálny podpísaný počet

Na youtube kanál našej stránky, aby ste boli informovaní o všetkých nových video lekciách.

Najprv si pripomeňme základné vzorce stupňov a ich vlastnosti.

Súčin čísla a sa samo o sebe stane n-krát, môžeme tento výraz zapísať ako a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Mocninné alebo exponenciálne rovnice- sú to rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách (alebo exponentoch) a základom je číslo.

Príklady exponenciálnych rovníc:

V tomto príklade je číslo 6 základ, je vždy na spodku a premenná X stupňa alebo miery.

Uveďme viac príkladov exponenciálnych rovníc.
2 x * 5 = 10
16x-4x-6=0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia exponenciálne rovnice?

Zoberme si jednoduchú rovnicu:

2 x = 2 3

Takýto príklad sa dá vyriešiť aj v mysli. Je možné vidieť, že x=3. Koniec koncov, aby boli ľavá a pravá strana rovnaké, musíte namiesto x zadať číslo 3.
Teraz sa pozrime, ako by sa malo toto rozhodnutie urobiť:

2 x = 2 3
x = 3

Na vyriešenie tejto rovnice sme odstránili rovnaké dôvody(teda dvojky) a zapísal čo ostalo, to sú stupne. Dostali sme odpoveď, ktorú sme hľadali.

Teraz zhrňme naše riešenie.

Algoritmus na riešenie exponenciálnej rovnice:
1. Treba skontrolovať rovnakýči základy rovnice vpravo a vľavo. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sú základy rovnaké, prirovnať stupňa a vyriešiť výslednú novú rovnicu.

Teraz poďme vyriešiť niekoľko príkladov:

Začnime jednoducho.

Základy na ľavej a pravej strane sa rovnajú číslu 2, čo znamená, že základňu môžeme zahodiť a prirovnať ich stupne.

x+2=4 Ukázalo sa, že najjednoduchšia rovnica.
x = 4 - 2
x=2
Odpoveď: x=2

V nasledujúcom príklade môžete vidieť, že základy sú rôzne, sú to 3 a 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Na začiatok prenesieme deväť na pravú stranu, dostaneme:

Teraz musíte urobiť rovnaké základy. Vieme, že 9=3 2 . Použime mocninný vzorec (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dostaneme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 teraz je jasné, že základy na ľavej a pravej strane sú rovnaké a rovnajú sa trom, čo znamená, že ich môžeme zahodiť a vyrovnať stupne.

3x=2x+16 dostala najjednoduchšiu rovnicu
3x-2x=16
x=16
Odpoveď: x=16.

Pozrime sa na nasledujúci príklad:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

V prvom rade sa pozrieme na základne, základne sú rôzne dva a štyri. A my musíme byť rovnakí. Štvornásobok transformujeme podľa vzorca (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

A tiež používame jeden vzorec a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridajte do rovnice:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Ale prekážajú nám ďalšie čísla 10 a 24. Čo s nimi? Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť, že na ľavej strane opakujeme 2 2x, tu je odpoveď - môžeme dať 2 2x zo zátvoriek:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vypočítajme výraz v zátvorkách:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celú rovnicu vydelíme 6:

Predstavte si 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 základy sú rovnaké, zahoďte ich a porovnajte stupne.
2x \u003d 2 sa ukázalo ako najjednoduchšia rovnica. Vydelíme 2, dostaneme
x = 1
Odpoveď: x = 1.

Poďme vyriešiť rovnicu:

9 x - 12 x 3 x +27 = 0

Poďme sa transformovať:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dostaneme rovnicu:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Základy sú pre nás rovnaké, rovné 3. Na tomto príklade je vidieť, že prvá trojka má stupeň dvakrát (2x) ako druhá (len x). V tomto prípade sa môžete rozhodnúť substitučná metóda. Číslo s najmenším stupňom sa nahrádza takto:

Potom 3 2x \u003d (3x) 2 \u003d t 2

Všetky stupne nahradíme x v rovnici s t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Dostaneme kvadratickú rovnicu. Riešime cez diskriminant, dostaneme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Späť na premennú X.

Berieme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

teda

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého, od t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpoveď: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stránke sa môžete v sekcii POMOC ROZHODNÚŤ klásť otázky, ktoré vás zaujímajú, určite vám odpovieme.

Pripojte sa ku skupine

primárny cieľ

Oboznámiť žiakov s vlastnosťami stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a naučiť ich vykonávať úkony s stupňami.

Téma „Stupeň a jeho vlastnosti“ obsahuje tri otázky:

• Určenie stupňa prirodzeným ukazovateľom.
• Násobenie a delenie právomocí.
• Umocnenie súčinu a stupňa.

testovacie otázky

1. Sformulujte definíciu stupňa s prirodzeným exponentom väčším ako 1. Uveďte príklad.
2. Formulujte definíciu stupňa s ukazovateľom 1. Uveďte príklad.
3. Aké je poradie operácií pri vyhodnocovaní hodnoty výrazu obsahujúceho mocniny?
4. Formulujte hlavnú vlastnosť stupňa. Uveďte príklad.
5. Sformulujte pravidlo pre násobenie mocnín s rovnakým základom. Uveďte príklad.
6. Formulujte pravidlo na delenie mocnín s rovnakými základmi. Uveďte príklad.
7. Formulujte pravidlo pre umocnenie súčinu. Uveďte príklad. Dokážte totožnosť (ab) n = a n b n .
8. Formulujte pravidlo pre zvýšenie titulu k moci. Uveďte príklad. Dokážte identitu (a m) n = a m n .

Definícia stupňa.

stupeň čísla a s prirodzeným indikátorom n, väčší ako 1, sa nazýva súčin n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. stupeň čísla a s exponentom 1 sa volá samotné číslo a.

Stupeň so základňou a a indikátor n sa píše takto: a n. Píše sa tam " a do tej miery n“; “ n-tá mocnina čísla a ”.

Podľa definície stupňa:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Nájdenie hodnoty stupňa je tzv umocňovanie .

1. Príklady umocňovania:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Nájdite hodnoty výrazu:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1 000 = 3 000

b) -24 + (-3)2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

možnosť 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Odmocni čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazu:

c) -14 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Násobenie právomocí.

Pre ľubovoľné číslo a a ľubovoľné čísla m a n platí nasledovné:

a m a n = a m + n.

dôkaz:

pravidlo : Pri násobení mocnín s rovnakým základom zostávajú základy rovnaké a exponenty sa sčítavajú.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

možnosť 1

1. Prezentujte ako titul:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 r h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Delenie stupňov.

Pre ľubovoľné číslo a0 a ľubovoľné prirodzené čísla m a n také, že m>n platí:

a m: a n = a m - n

dôkaz:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

podľa definície súkromného:

a m: a n \u003d a m - n.

pravidlo: Pri delení mocnín s rovnakým základom sa základ ponechá rovnaký a exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu deliteľa.

Definícia: Stupeň nenulového čísla s nulovým exponentom je rovný jednej:

pretože a n: a n = 1 pre a0 .

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y8: y3 = y8-3 = y5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s5:so = s5:1 = s5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1 000

v)

G)

e)

možnosť 1

1. Vyjadrite podiel ako mocninu:

2. Nájdite hodnoty výrazov:

Pozdvihnutie sily produktu.

Pre ľubovoľné a a b a ľubovoľné prirodzené číslo n:

(ab) n = a n b n

dôkaz:

Podľa definície stupňa

(ab) n =

Zoskupením faktorov a a faktorov b oddelene dostaneme:

=

Dokázaná vlastnosť stupňa súčinu sa vzťahuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov.

Napríklad:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

pravidlo: Pri zvýšení výkonu produktu sa každý faktor zvýši na túto silu a výsledok sa znásobí.

1. Zvýšte silu:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 roky 3 \u003d 8 x 3 roky 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 r.) 3 \u003d (-5) 3 r. 3 \u003d -125 r. 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 \u003d 0,04 x 2 y 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Nájdite hodnotu výrazu:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1 000 = 16 000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10 000 = 90 000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

možnosť 1

1. Zvýšte silu:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Nájdite hodnotu výrazu:

b) (5 7 20) 2

Umocňovanie.

Pre ľubovoľné číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n:

(a m) n = a m n

dôkaz:

Podľa definície stupňa

(a m) n =

pravidlo: Pri zvýšení mocniny na mocninu sa základ nechá rovnaký a exponenty sa vynásobia.

1. Zvýšte silu:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Zjednodušte výrazy:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

možnosť 1

1. Zvýšte silu:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Zjednodušte výrazy:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y y 9) 2

3. Nájdite význam výrazov:

Aplikácia

Definícia stupňa.

Možnosť 2

1. Napíšte produkt v tvare stupňa:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Odmocni čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazu:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Možnosť 3

1. Napíšte produkt ako stupeň:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Prezentujte vo forme štvorca s číslom: 100; 0,49; .

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazu:

c) -15 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Možnosť 4

1. Napíšte produkt ako stupeň:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Odmocni čísla:

3. Kockujte čísla:

4. Nájdite hodnoty výrazu:

c) -14 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Násobenie právomocí.

Možnosť 2

1. Prezentujte ako titul:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) r 5 r h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Možnosť 3

1. Prezentujte ako titul:

a) a 3 a 5 e) r 2 r 4 r. 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Možnosť 4

1. Prezentujte ako titul:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 r h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Prezentujte ako stupeň a nájdite hodnotu v tabuľke:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Delenie stupňov.

Možnosť 2

1. Vyjadrite podiel ako mocninu:

2. Nájdite význam výrazov.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Zistili sme, aký je stupeň čísla vo všeobecnosti. Teraz musíme pochopiť, ako to správne vypočítať, t.j. zvýšiť čísla k mocnostiam. V tomto materiáli rozoberieme základné pravidlá pre výpočet stupňa v prípade celého čísla, prirodzeného, ​​zlomkového, racionálneho a iracionálneho exponentu. Všetky definície budú ilustrované príkladmi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept umocňovania

Začnime formuláciou základných definícií.

Definícia 1

Umocňovanie je výpočet hodnoty mocniny nejakého čísla.

To znamená, že slová „výpočet hodnoty stupňa“ a „umocnenie“ znamenajú to isté. Ak je teda úloha „Zvýšte číslo 0 , 5 na piatu mocninu“, treba to chápať ako „vypočítajte hodnotu mocniny (0 , 5) 5 .

Teraz uvádzame základné pravidlá, ktoré sa musia pri takýchto výpočtoch dodržiavať.

Pripomeňme si, čo je mocnina čísla s prirodzeným exponentom. Pre mocninu so základom a a exponentom n to bude súčin n-tého počtu faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Dá sa to napísať takto:

Ak chcete vypočítať hodnotu stupňa, musíte vykonať operáciu násobenia, to znamená vynásobiť základy stupňa stanoveným počtom krát. Samotný koncept stupňa s prirodzeným ukazovateľom je založený na schopnosti rýchlo sa množiť. Uveďme si príklady.

Príklad 1

Podmienka: Zvýšte - 2 na silu 4 .

Riešenie

Pomocou vyššie uvedenej definície píšeme: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Ďalej musíme postupovať podľa týchto krokov a získať 16 .

Uveďme si zložitejší príklad.

Príklad 2

Vypočítajte hodnotu 3 2 7 2

Riešenie

Tento záznam je možné prepísať ako 3 2 7 · 3 2 7 . Predtým sme sa pozreli na to, ako správne vynásobiť zmiešané čísla uvedené v podmienke.

Vykonajte tieto kroky a získajte odpoveď: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ak úloha naznačuje potrebu zvýšiť iracionálne čísla na prirodzenú mocninu, budeme musieť najskôr zaokrúhliť ich základy na číslicu, ktorá nám umožní získať odpoveď s požadovanou presnosťou. Vezmime si príklad.

Príklad 3

Vykonajte druhú mocninu čísla π .

Riešenie

Najprv to zaokrúhlime na stotiny. Potom π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ak π ≈ 3 . 14159, potom dostaneme presnejší výsledok: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Všimnite si, že potreba vypočítať mocniny iracionálnych čísel v praxi vzniká pomerne zriedkavo. Odpoveď potom môžeme zapísať ako samotnú mocninu (ln 6) 3 alebo podľa možnosti previesť: 5 7 = 125 5 .

Samostatne by sa malo uviesť, aká je prvá mocnina čísla. Tu si môžete zapamätať, že každé číslo umocnené na prvú mocninu zostane samo sebou:

To je zrejmé zo záznamu. .

Nezáleží na základe stupňa.

Príklad 4

Takže (− 9) 1 = − 9 a 7 3 umocnené na prvú mocninu zostáva rovné 7 3 .

Pre pohodlie budeme analyzovať tri prípady oddelene: ak je exponent kladné celé číslo, ak je nula a ak je záporné celé číslo.

V prvom prípade je to to isté ako zvýšenie na prirodzenú mocninu: napokon kladné celé čísla patria do množiny prirodzených čísel. Ako pracovať s takýmito stupňami sme už opísali vyššie.

Teraz sa pozrime, ako správne zvýšiť na nulový výkon. So základom, ktorý je nenulový, tento výpočet vždy vytvára výstup 1 . Predtým sme vysvetlili, že nulovú mocninu a možno definovať pre akékoľvek reálne číslo, ktoré sa nerovná 0 a a 0 = 1.

Príklad 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nie je definované.

Zostáva nám len prípad stupňa so záporným exponentom celého čísla. Už sme diskutovali o tom, že takéto stupne možno zapísať ako zlomok 1 az, kde a je ľubovoľné číslo a z je záporné celé číslo. Vidíme, že menovateľ tohto zlomku nie je nič iné ako obyčajný stupeň s kladným celým číslom a už sme sa ho naučili vypočítať. Uveďme príklady úloh.

Príklad 6

Zvýšte 3 na -2.

Riešenie

Pomocou vyššie uvedenej definície píšeme: 2 - 3 = 1 2 3

Vypočítame menovateľa tohto zlomku a dostaneme 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Potom je odpoveď: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Príklad 7

Zvýšte 1, 43 na -2.

Riešenie

Preformulujte: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Vypočítame druhú mocninu v menovateli: 1,43 1,43. Desatinné čísla možno násobiť takto:

V dôsledku toho sme dostali (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Zostáva nám zapísať tento výsledok vo forme obyčajného zlomku, pre ktorý je potrebné ho vynásobiť 10 tisícmi (pozri materiál o prevode zlomkov).

Odpoveď: (1, 43) - 2 = 10 000 20449

Samostatným prípadom je zvýšenie čísla na mínus prvú mocninu. Hodnota takéhoto stupňa sa rovná číslu opačnému k pôvodnej hodnote základne: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Príklad 8

Príklad: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Ako zvýšiť číslo na zlomkovú mocninu

Na vykonanie takejto operácie si musíme pripomenúť základnú definíciu stupňa so zlomkovým exponentom: a m n \u003d a m n pre akékoľvek kladné a, celé číslo m a prirodzené n.

Definícia 2

Výpočet zlomkového stupňa sa teda musí vykonať v dvoch krokoch: zvýšenie na celé číslo a nájdenie koreňa n-tého stupňa.

Máme rovnosť a m n = a m n , ktorá sa vzhľadom na vlastnosti koreňov zvyčajne používa na riešenie úloh v tvare a m n = a n m . To znamená, že ak umocníme číslo a na zlomkovú mocninu m / n, potom najprv vytiahneme odmocninu n-tého stupňa z a, potom výsledok umocníme na celé číslo s exponentom m.

Ukážme si to na príklade.

Príklad 9

Vypočítajte 8 - 2 3 .

Riešenie

Metóda 1. Podľa základnej definície to môžeme reprezentovať ako: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Teraz vypočítajme stupeň pod odmocninou a z výsledku extrahujeme tretí odmocninec: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metóda 2. Transformujme základnú rovnosť: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Potom extrahujeme koreň 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 a výsledok odmocníme: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidíme, že riešenia sú rovnaké. Môžete použiť ľubovoľným spôsobom.

Existujú prípady, keď má stupeň indikátor vyjadrený ako zmiešané číslo alebo desatinný zlomok. Pre jednoduchosť výpočtu je lepšie nahradiť ho obyčajným zlomkom a počítať, ako je uvedené vyššie.

Príklad 10

Zvýšte 44,89 na mocninu 2,5.

Riešenie

Preveďme hodnotu ukazovateľa na obyčajný zlomok - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

A teraz vykonáme všetky vyššie uvedené akcie v poradí: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 071 = 13001 = 1301 13 501, 25107

Odpoveď: 13501, 25107.

Ak sú v čitateli a menovateli zlomkového exponentu veľké čísla, potom je výpočet takýchto exponentov s racionálnymi exponentmi dosť náročný. Zvyčajne to vyžaduje výpočtovú techniku.

Samostatne sa zameriame na stupeň s nulovým základom a zlomkovým exponentom. Výraz v tvare 0 m n môže mať nasledujúci význam: ak m n > 0, potom 0 m n = 0 m n = 0 ; ak m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Ako zvýšiť číslo na iracionálnu moc

Potreba vypočítať hodnotu stupňa, v ukazovateli ktorého je iracionálne číslo, nevzniká tak často. V praxi sa úloha zvyčajne obmedzuje na výpočet približnej hodnoty (do určitého počtu desatinných miest). To sa zvyčajne počíta na počítači kvôli zložitosti takýchto výpočtov, takže sa tým nebudeme podrobne zaoberať, iba naznačíme hlavné ustanovenia.

Ak potrebujeme vypočítať hodnotu stupňa a s iracionálnym exponentom a , tak vezmeme desiatkovú aproximáciu exponentu a počítame z nej. Výsledkom bude približná odpoveď. Čím presnejšia je desatinná aproximácia, tým presnejšia je odpoveď. Ukážme si to na príklade:

Príklad 11

Vypočítajte približnú hodnotu 21, 174367 ....

Riešenie

Obmedzíme sa na desiatkovú aproximáciu a n = 1, 17 . Urobme výpočty pomocou tohto čísla: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ak si vezmeme napríklad aproximáciu a n = 1 , 1743 , potom bude odpoveď o niečo presnejšia: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Kedyčíslo sa samo násobí pre seba, práca volal stupňa.

Takže 2,2 = 4, druhá mocnina 2
2.2.2 = 8, kocka alebo tretia mocnina.
2.2.2.2 = 16, štvrtý stupeň.

Tiež 10,10 = 100, druhá mocnina je 10.
10.10.10 = 1000, tretí stupeň.
10.10.10.10 = 10000 štvrtý stupeň.

A a.a = aa, druhá mocnina a
a.a.a = aaa, tretia mocnina a
a.a.a.a = aaaa, štvrtá mocnina a

Pôvodné číslo sa volá koreň stupne toho čísla, pretože to je číslo, z ktorého vznikli stupne.

Nie je však veľmi vhodné, najmä v prípade vysokých právomocí, zapisovať všetky faktory tvoriace právomoci. Preto sa používa metóda skráteného zápisu. Koreň stupňa je napísaný iba raz a to vpravo a trochu vyššie vedľa neho, ale trochu menším písmom je napísané koľkokrát koreň pôsobí ako faktor. Toto číslo alebo písmeno sa nazýva exponent alebo stupňačísla. Takže a 2 sa rovná a.a alebo aa, pretože odmocnina a sa musí vynásobiť sama sebou dvakrát, aby sme dostali mocninu aa. Tiež 3 znamená aaa, to znamená, že sa tu a opakuje tri krát ako multiplikátor.

Exponent prvej mocniny je 1, ale zvyčajne sa nezapisuje. Takže 1 sa píše ako a.

Nemali by ste si zamieňať stupne s koeficienty. Koeficient ukazuje, ako často sa hodnota berie ako časť celý. Exponent udáva, ako často sa hodnota berie ako faktor v práci.
Takže 4a = a + a + a + a. Ale a 4 = a.a.a.a

Exponenciálny zápis má tú zvláštnu výhodu, že nám umožňuje vyjadrovať sa neznámy stupňa. Na tento účel sa namiesto čísla píše exponent list. V procese riešenia problému môžeme získať hodnotu, ktorá, ako vieme, je niektoré stupňa inej veľkosti. Zatiaľ ale nevieme, či ide o štvorec, kocku, alebo iný, vyšší stupeň. Takže vo výraze a x exponent znamená, že tento výraz má niektoré stupňa, aj keď nie je definovaný aký stupeň. Takže b m a d n sú umocnené na mocniny m a n. Keď sa nájde exponent, číslo nahradilo písmeno. Takže, ak m=3, potom bm=b3; ale ak m = 5, potom b m = b 5 .

Veľkou výhodou pri použití je aj spôsob zápisu hodnôt s exponentmi výrazov. Teda (a + b + d) 3 je (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), teda kocka trojčlenky (a + b + d) . Ale ak tento výraz napíšeme po kocke, bude to vyzerať
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ak vezmeme sériu mocnín, ktorých exponenty sa zväčšia alebo znížia o 1, zistíme, že súčin sa zväčší o spoločný faktor alebo znížená o spoločný deliteľ a tento činiteľ alebo deliteľ je pôvodné číslo, ktoré je umocnené.

Takže v rade aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
alebo 5, a4, a3, a2, a1;
ukazovatele, ak sa počítajú sprava doľava, sú 1, 2, 3, 4, 5; a rozdiel medzi ich hodnotami je 1. Ak začneme napravo množiť na a, úspešne získame viacero hodnôt.

Takže a.a = a 2 , druhý člen. A 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , tretí člen. a 4 .a = a 5 .

Ak začneme vľavo rozdeliť na,
dostaneme a 5:a = a 4 a a 3:a = a 2 .
a 4:a = a3 a 2:a = a 1

Ale takýto proces delenia môže pokračovať ďalej a získame nový súbor hodnôt.

Takže a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa): a = 1/aaa.

Celý riadok bude: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Alebo 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a2, 1/a3.

Tu hodnoty napravo z jednotky je obrátene hodnoty naľavo od jednej. Preto sa tieto stupne môžu nazývať inverzné mocniny a. Dá sa tiež povedať, že mocniny naľavo sú opakom mocnin napravo.

Takže 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. A 1:(1/a 3) = a 3 .

Je možné použiť rovnaký plán nahrávania polynómy. Takže pre a + b dostaneme množinu,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)2, 1/(a + b)3.

Pre pohodlie sa používa iná forma zápisu inverzných mocnín.

Podľa tohto tvaru 1/a alebo 1/a 1 = a -1 . A 1/aaa alebo 1/a 3 = a -3 .
1/aa alebo 1/a2 = a-2. 1/aaaa alebo 1/a4 = a-4.

A aby exponenty dokončili sériu s 1 ako celkovým rozdielom, a/a alebo 1, považuje sa to za také, ktoré nemá žiadny stupeň a zapíše sa ako 0 .

Potom, berúc do úvahy priame a inverzné sily
namiesto aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
môžete napísať a 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Alebo a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

A séria iba samostatne získaných titulov bude mať tvar:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Koreň stupňa môže byť vyjadrený viacerými písmenami.

Takže aa.aa alebo (aa) 2 je druhá mocnina aa.
A aa.aa.aa alebo (aa) 3 je tretia mocnina aa.

Všetky stupne čísla 1 sú rovnaké: 1.1 alebo 1.1.1. sa bude rovnať 1.

Umocnenie je nájdenie hodnoty ľubovoľného čísla vynásobením tohto čísla sebou samým. Pravidlo umocnenia:

Hodnotu vynásobte toľkokrát, koľkokrát je uvedené v mocnine čísla.

Toto pravidlo je spoločné pre všetky príklady, ktoré môžu vzniknúť v procese umocňovania. Bude však správne vysvetliť, ako sa to vzťahuje na konkrétne prípady.

Ak sa na mocninu uvedie iba jeden člen, potom sa sám násobí toľkokrát, koľkokrát udáva exponent.

Štvrtá mocnina a je 4 alebo aaaa. (Článok 195.)
Šiesta mocnina y je y 6 alebo yyyyyy.
N-tá mocnina x je x n alebo xxx..... n-krát opakovaných.

Ak je potrebné povýšiť výraz viacerých pojmov na moc, platí zásada, že stupeň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu týchto faktorov umocnených na mocninu.

Takže (ay) 2 = a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Ale ay.ay = ayy = aayy = a 2 y 2 .
Takže (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Preto pri hľadaní stupňa produktu môžeme buď operovať s celým produktom naraz, alebo môžeme operovať s každým faktorom samostatne a potom ich hodnoty vynásobiť stupňami.

Príklad 1. Štvrtá mocnina dhy je (dhy) 4 alebo d 4 h 4 y 4 .

Príklad 2. Tretia mocnina 4b je (4b) 3 alebo 4 3 b 3 alebo 64b 3 .

Príklad 3. N-tá mocnina 6ad je (6ad) n alebo 6 n a n d n .

Príklad 4. Tretia mocnina 3m.2y je (3m.2y) 3 alebo 27m 3.8y 3 .

Stupeň binomického členu pozostávajúceho z členov spojených + a - sa vypočíta vynásobením jeho členov. Áno,

(a + b) 1 = a + b, prvá mocnina.
(a + b) 1 = a2 + 2ab + b2, druhá mocnina (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, tretí stupeň.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, štvrtý stupeň.

Štvorec a - b, existuje 2 - 2ab + b 2 .