Vlastnosti koreňov, formulácie, dôkazy, príklady. Odmocnina. Podrobná teória s príkladmi Druhá odmocnina, aritmetická druhá odmocnina

\(\sqrt(a)=b\) ak \(b^2=a\), kde \(a≥0,b≥0\)

Príklady:

\(\sqrt(49)=7\), pretože \(7^2=49\)
\(\sqrt(0,04)=0,2\),pretože \(0,2^2=0,04\)

Ako extrahovať druhú odmocninu čísla?

Ak chcete extrahovať druhú odmocninu čísla, musíte si položiť otázku: aké číslo na druhú poskytne výraz pod odmocninou?

napríklad. Extrahujte koreň: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Aké číslo na druhú dá \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Aké číslo na druhú dá \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Aké číslo na druhú dá \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Aké druhé číslo dá \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Ak chcete dať odpoveď na otázku, musíte ju preložiť do nesprávnej.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Komentujte: Hoci na dané otázky odpovedajú aj \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) , ale neberú sa do úvahy, pretože druhá odmocnina je vždy kladná.

Hlavná vlastnosť koreňa

Ako viete, v matematike má každá akcia inverznú hodnotu. Sčítanie má odčítanie, násobenie má delenie. Opakom odmocnenia je odmocnenie. Preto sa tieto akcie navzájom rušia:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Toto je hlavná vlastnosť koreňa, ktorý sa najčastejšie používa (vrátane OGE)

Príklad . (úloha od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

rozhodnutie :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Príklad . (úloha od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \((\sqrt(85)-1)^2\)

rozhodnutie:

Samozrejme, pri práci s druhou odmocninou musíte použiť iné.

Príklad . (úloha od OGE). Nájdite hodnotu výrazu \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
rozhodnutie:

odpoveď: \(220\)

4 pravidlá, na ktoré sa vždy zabúda

Koreň nie je vždy extrahovaný

Príklad: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) atď. - extrahovanie koreňa z čísla nie je vždy možné a je to normálne!

Koreň čísla, tiež číslo

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) nie je potrebné nijako špeciálne ošetrovať. Sú to čísla, ale nie celé čísla, áno, ale nie všetko v našom svete sa meria celými číslami.

Odmocnina sa preberá iba z nezáporných čísel

Preto v učebniciach neuvidíte takéto záznamy \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) atď.

Znova som sa pozrel na tanier... A poďme!

Začnime s jednoduchým:

Počkaj minútu. toto, čo znamená, že to môžeme napísať takto:

Mám to? Tu je ďalší pre vás:

Korene výsledných čísel nie sú presne extrahované? Nebojte sa, tu je niekoľko príkladov:

Ale čo ak nie sú dva multiplikátory, ale viac? Rovnaký! Vzorec násobenia koreňov funguje s ľubovoľným počtom faktorov:

Teraz úplne nezávislé:

odpovede: Výborne! Súhlasíte, všetko je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je poznať tabuľku násobenia!

Rozdelenie koreňov

Prišli sme na násobenie koreňov, teraz prejdime k vlastnosti delenia.

Dovoľte mi pripomenúť, že vzorec vo všeobecnosti vyzerá takto:

A to znamená koreň podielu sa rovná podielu koreňov.

Nuž, pozrime sa na príklady:

To je celá veda. A tu je príklad:

Všetko nie je také hladké ako v prvom príklade, ale ako vidíte, nie je nič zložité.

Čo ak výraz vyzerá takto:

Stačí použiť vzorec opačne:

A tu je príklad:

Môžete tiež vidieť tento výraz:

Všetko je rovnaké, len si tu musíte pamätať, ako preložiť zlomky (ak si nepamätáte, pozrite sa na tému a vráťte sa!). Pamätáte si? Teraz sa rozhodneme!

Som si istý, že ste sa vyrovnali so všetkým, so všetkým, teraz sa skúsme do určitej miery zakoreniť.

Umocňovanie

Čo sa stane, ak je druhá odmocnina druhá mocnina? Je to jednoduché, zapamätajte si význam druhej odmocniny čísla – ide o číslo, ktorého druhá odmocnina sa rovná.

Ak teda odmocníme číslo, ktorého druhá odmocnina je rovnaká, čo potom dostaneme?

No, samozrejme,!

Pozrime sa na príklady:

Všetko je jednoduché, však? A ak je koreň v inom stupni? Je to v poriadku!

Držte sa rovnakej logiky a zapamätajte si vlastnosti a možné akcie so stupňami.

Prečítajte si teóriu na tému „“ a všetko vám bude veľmi jasné.

Napríklad tu je výraz:

V tomto príklade je stupeň párny, ale čo ak je nepárny? Opäť použite vlastnosti výkonu a zohľadnite všetko:

S týmto sa zdá byť všetko jasné, ale ako extrahovať koreň z čísla v stupňoch? Tu je napríklad toto:

Celkom jednoduché, však? Čo ak je stupeň väčší ako dva? Postupujeme podľa rovnakej logiky pomocou vlastností stupňov:

No, je všetko jasné? Potom vyriešte svoje vlastné príklady:

A tu sú odpovede:

Úvod pod znakom koreňa

Čo sme sa len nenaučili robiť s koreňmi! Zostáva len precvičiť zadávanie čísla pod koreňovým znakom!

Je to celkom jednoduché!

Povedzme, že máme číslo

Čo s tým môžeme robiť? No, samozrejme, schovaj trojku pod odmocninu, pričom pamätaj, že trojka je druhá odmocnina z!

Prečo to potrebujeme? Áno, len pre rozšírenie našich možností pri riešení príkladov:

Ako sa vám páči táto vlastnosť koreňov? Zjednodušuje život? Pre mňa je to tak! Iba musíme si uvedomiť, že pod znamienko druhej odmocniny môžeme zadať iba kladné čísla.

Vyskúšajte tento príklad sami:
Zvládli ste to? Pozrime sa, čo by ste mali dostať:

Výborne! Podarilo sa vám zadať číslo pod znakom koreňa! Prejdime k rovnako dôležitému – zvážte, ako porovnávať čísla obsahujúce odmocninu!

Porovnanie koreňov

Prečo by sme sa mali naučiť porovnávať čísla obsahujúce odmocninu?

Veľmi jednoduché. Vo veľkých a dlhých výrazoch, s ktorými sa stretávame pri skúške, často dostávame iracionálnu odpoveď (pamätáte si, čo to je? Už sme o tom dnes hovorili!)

Prijaté odpovede potrebujeme umiestniť na súradnicovú čiaru, napríklad, aby sme určili, ktorý interval je vhodný na riešenie rovnice. A práve tu vzniká háčik: na skúške nie je kalkulačka a ako si bez nej predstaviť, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie? To je všetko!

Určte napríklad, čo je väčšie: alebo?

Nepovieš hneď. Využime vlastnosť parsovania pridania čísla pod znamienko koreňa?

Potom vpred:

Je zrejmé, že čím väčšie číslo pod znamienkom koreňa, tým väčší je samotný koreň!

Tie. ak znamená .

Z toho pevne usudzujeme A nikto nás nepresvedčí o opaku!

Extrahovanie koreňov z veľkého množstva

Predtým sme predstavili faktor v znamení koreňa, ale ako ho odstrániť? Musíte to len vyňať a extrahovať to, čo sa extrahuje!

Bolo možné ísť opačným smerom a rozložiť sa na ďalšie faktory:

Nie je to zlé, však? Ktorýkoľvek z týchto prístupov je správny, rozhodnite sa, ako sa cítite pohodlne.

Faktoring je veľmi užitočný pri riešení takýchto neštandardných úloh, ako je táto:

My sa nebojíme, my konáme! Každý faktor pod koreňom rozložíme na samostatné faktory:

A teraz si to skúste sami (bez kalkulačky! Na skúške to nebude):

je toto koniec? Nezastavíme sa na polceste!

To je všetko, nie je to také strašidelné, však?

Stalo? Výborne, máš pravdu!

Teraz skúste tento príklad:

A príklad je tvrdý oriešok, takže nemôžete okamžite prísť na to, ako k nemu pristupovať. Ale my sme, samozrejme, v zuboch.

No, začnime faktoring, nie? Okamžite si všimneme, že číslo môžete deliť (spomeňte si na znaky deliteľnosti):

A teraz to skúste sami (opäť bez kalkulačky!):

No podarilo sa? Výborne, máš pravdu!

Zhrnutie

1. Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) nezáporného čísla je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná.
   .
2. Ak len vezmeme druhú odmocninu niečoho, vždy dostaneme jeden nezáporný výsledok.
3. Vlastnosti aritmetického koreňa:
4. Pri porovnávaní druhých odmocnín treba pamätať na to, že čím väčšie číslo pod znamienkom odmocniny, tým väčší je samotný odmocninec.

Ako sa vám páči druhá odmocnina? Všetko jasné?

Snažili sme sa vám bez vody vysvetliť všetko, čo potrebujete vedieť na skúške o druhej odmocnine.

Si na ťahu. Napíšte nám, či je pre vás táto téma náročná alebo nie.

Naučili ste sa niečo nové alebo už bolo všetko také jasné.

Napíšte do komentárov a veľa šťastia na skúškach!

Gratulujeme: dnes budeme analyzovať korene - jednu z najzaujímavejších tém 8. ročníka. :)

Mnoho ľudí je zmätených ohľadom koreňov nie preto, že sú zložité (čo je komplikované – pár definícií a pár ďalších vlastností), ale preto, že vo väčšine školských učebníc sú korene definované takými divočinami, že iba autori učebníc dokáže pochopiť toto čmáranie. A aj to len s fľašou dobrej whisky. :)

Preto teraz uvediem najsprávnejšiu a najkompetentnejšiu definíciu koreňa - jedinú, ktorú si skutočne musíte zapamätať. A až potom vysvetlím: prečo je to všetko potrebné a ako to aplikovať v praxi.

Najprv si však zapamätajte jeden dôležitý bod, na ktorý z nejakého dôvodu mnohí zostavovatelia učebníc „zabudnú“:

Korene môžu byť párneho stupňa (naše obľúbené $\sqrt(a)$, ako aj ľubovoľné $\sqrt(a)$ a párne $\sqrt(a)$) a nepárne (ľubovoľné $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ atď.). A definícia koreňa nepárneho stupňa je trochu odlišná od párneho.

Tu v tomto posratom „trochu iné“ sa skrýva pravdepodobne 95 % všetkých chýb a nedorozumení spojených s koreňmi. Poďme si teda raz a navždy ujasniť terminológiu:

Definícia. Dokonca aj root n od čísla $a$ je ľubovoľný nezápornéčíslo $b$ také, že $((b)^(n))=a$. A koreň nepárneho stupňa z rovnakého čísla $a$ je vo všeobecnosti akékoľvek číslo $b$, pre ktoré platí rovnaká rovnosť: $((b)^(n))=a$.

V každom prípade je koreň označený takto:

\(a)\]

Číslo $n$ v takomto zápise sa nazýva koreňový exponent a číslo $a$ sa nazýva radikálny výraz. Konkrétne, pre $n=2$ dostaneme našu „obľúbenú“ druhú odmocninu (mimochodom, toto je odmocnina párneho stupňa) a pre $n=3$ dostaneme kubickú odmocninu (nepárny stupeň), ktorý sa tiež často nachádza v úlohách a rovniciach.

Príklady. Klasické príklady odmocniny:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(zarovnať)\]

Mimochodom, $\sqrt(0)=0$ a $\sqrt(1)=1$. Je to celkom logické, keďže $((0)^(2))=0$ a $((1)^(2))=1$.

Časté sú aj kubické korene - nebojte sa ich:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(zarovnať)\]

No, pár "exotických príkladov":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(zarovnať)\]

Ak nerozumiete, aký je rozdiel medzi párnym a nepárnym stupňom, prečítajte si definíciu ešte raz. Je to veľmi dôležité!

Medzitým sa pozrieme na jednu nepríjemnú vlastnosť koreňov, kvôli ktorej sme potrebovali zaviesť samostatnú definíciu pre párne a nepárne exponenty.

Prečo vôbec potrebujeme korene?

Po prečítaní definície sa mnohí študenti opýtajú: „Čo matematici fajčili, keď na to prišli? A naozaj: prečo potrebujeme všetky tieto korene?

Aby sme odpovedali na túto otázku, vráťme sa na chvíľu do základnej školy. Pamätajte: v tých vzdialených časoch, keď boli stromy zelenšie a halušky chutnejšie, nám išlo hlavne o správne vynásobenie čísel. No niečo v duchu „päť na päť – dvadsaťpäť“, to je všetko. Čísla však môžete násobiť nie v pároch, ale v trojiciach, štvoriciach a vo všeobecnosti v celých súboroch:

\[\začiatok(zarovnanie) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

O to však nejde. Trik je iný: matematici sú leniví, a tak museli násobenie desiatich pätiek zapísať takto:

Tak prišli s titulmi. Prečo nenapísať počet faktorov ako horný index namiesto dlhého reťazca? Ako tento:

Je to veľmi pohodlné! Všetky výpočty sú niekoľkonásobne zredukované a nemôžete minúť kopu pergamenových zošitov na zapísanie nejakých 5 183 . Takýto záznam sa nazýval stupeň čísla, našlo sa v ňom veľa vlastností, ale šťastie sa ukázalo byť krátkodobé.

Po grandióznom chlastaní, ktoré bolo zorganizované len o „objavení“ stupňov, sa nejaký obzvlášť očarený matematik zrazu opýtal: „Čo ak poznáme stupeň čísla, ale nepoznáme samotné číslo? V skutočnosti, ak vieme, že napríklad určité číslo $b$ dáva 243 5. mocnine, ako potom môžeme uhádnuť, čomu sa rovná samotné číslo $b$?

Tento problém sa ukázal byť oveľa globálnejší, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Pretože sa ukázalo, že pre väčšinu „hotových“ titulov takéto „počiatočné“ čísla neexistujú. Veď posúďte sami:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((b)^(3))=27\šípka doprava b=3\cbodka 3\cbodka 3\šípka doprava b=3; \\ & ((b)^(3))=64\šípka doprava b=4\cbodka 4\cbodka 4\šípka doprava b=4. \\ \end(zarovnať)\]

Čo ak $((b)^(3))=50 $? Ukazuje sa, že musíte nájsť určité číslo, ktoré, keď sa vynásobí trikrát, nám dá 50. Čo je to však za číslo? Je jednoznačne väčšie ako 3, pretože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. T.j. toto číslo leží niekde medzi tromi a štyrmi, ale čomu sa rovná - OBR pochopíte.

To je presne dôvod, prečo matematici prišli s $n$-tým koreňom. Preto bola predstavená radikálna ikona $\sqrt(*)$. Označiť to isté číslo $b$, ktoré nám v zadanom stupni poskytne predtým známu hodnotu

\[\sqrt[n](a)=b\šípka doprava ((b)^(n))=a\]

Netvrdím: tieto korene sa často ľahko zvažujú - vyššie sme videli niekoľko takýchto príkladov. Ale aj tak, vo väčšine prípadov, ak si spomeniete na ľubovoľné číslo a potom sa z neho pokúsite extrahovať koreň ľubovoľného stupňa, čaká vás krutý problém.

Čo je tam! Dokonca ani najjednoduchšie a najznámejšie $\sqrt(2)$ nemôže byť reprezentované v našej bežnej forme - ako celé číslo alebo zlomok. A ak zadáte toto číslo do kalkulačky, uvidíte toto:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Ako vidíte, za desatinnou čiarkou je nekonečná postupnosť čísel, ktoré sa neriadia žiadnou logikou. Toto číslo môžete samozrejme zaokrúhliť, aby ste ho rýchlo porovnali s inými číslami. Napríklad:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približne 1,4 \lt 1,5\]

Alebo tu je ďalší príklad:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približne 1,7 \gt 1,5\]

Ale všetky tieto zaoblenia sú po prvé dosť hrubé; a po druhé, musíte vedieť pracovať aj s približnými hodnotami, inak môžete zachytiť kopu nezjavných chýb (mimochodom, zručnosť porovnávania a zaokrúhľovania sa nevyhnutne kontroluje na profilovej skúške).

Preto sa vo serióznej matematike bez koreňov nezaobídeme – sú to rovnakí rovnakí zástupcovia množiny všetkých reálnych čísel $\mathbb(R)$, ako zlomky a celé čísla, ktoré už dávno poznáme.

Nemožnosť reprezentovať koreň ako zlomok tvaru $\frac(p)(q)$ znamená, že tento koreň nie je racionálne číslo. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne a nemožno ich presne znázorniť inak, než pomocou radikálu alebo iných na to špeciálne navrhnutých konštrukcií (logaritmy, stupne, limity atď.). Ale o tom viac inokedy.

Zvážte niekoľko príkladov, kde po všetkých výpočtoch zostanú v odpovedi stále iracionálne čísla.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\cca 2 236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približne -1,2599... \\ \end(align)\]

Prirodzene, podľa vzhľadu koreňa je takmer nemožné uhádnuť, ktoré čísla budú nasledovať za desatinnou čiarkou. Dá sa však počítať na kalkulačke, no aj tá najpokročilejšia dátumová kalkulačka nám dá len prvých pár číslic iracionálneho čísla. Preto je oveľa správnejšie písať odpovede ako $\sqrt(5)$ a $\sqrt(-2)$.

Na to boli vymyslení. Aby sa vám ľahšie zapisovali odpovede.

Prečo sú potrebné dve definície?

Pozorný čitateľ si už zrejme všimol, že všetky odmocniny uvedené v príkladoch sú prevzaté z kladných čísel. Teda aspoň od nuly. Kocky sa však pokojne extrahujú z absolútne ľubovoľného počtu - dokonca aj pozitívneho, dokonca aj negatívneho.

Prečo sa to deje? Pozrite sa na graf funkcie $y=((x)^(2))$:

Skúsme vypočítať $\sqrt(4)$ pomocou tohto grafu. Na tento účel je na grafe nakreslená vodorovná čiara $y=4$ (označená červenou farbou), ktorá pretína parabolu v dvoch bodoch: $((x)_(1))=2$ a $((x) _(2)) = -2 $. Je to celkom logické, keďže

S prvým číslom je všetko jasné - je kladné, preto je to koreň:

Ale čo potom robiť s druhým bodom? Má tá 4ka dva korene naraz? Ak totiž odmocníme číslo −2, dostaneme aj 4. Prečo teda nenapísať $\sqrt(4)=-2$? A prečo sa učitelia pozerajú na takéto záznamy, akoby ťa chceli zjesť? :)

Problém je v tom, že ak sa neuložia žiadne ďalšie podmienky, štyri budú mať dve odmocniny – pozitívnu a negatívnu. A každé kladné číslo ich bude mať aj dve. Záporné čísla však vôbec nebudú mať korene - to je možné vidieť z rovnakého grafu, pretože parabola nikdy neklesne pod os r, t.j. nenadobúda záporné hodnoty.

Podobný problém sa vyskytuje pre všetky korene s párnym exponentom:

1. Presne povedané, každé kladné číslo bude mať dva korene s párnym exponentom $n$;
2. Zo záporných čísel sa odmocnina s párnym $n$ vôbec nevytiahne.

To je dôvod, prečo definícia párneho koreňa $n$ špecificky stanovuje, že odpoveď musí byť nezáporné číslo. Takto sa zbavíme nejednoznačnosti.

Ale pre nepárnych $n$ takýto problém neexistuje. Aby sme to videli, pozrime sa na graf funkcie $y=((x)^(3))$:

Z tohto grafu možno vyvodiť dva závery:

1. Vetvy kubickej paraboly, na rozdiel od bežnej, idú do nekonečna oboma smermi - hore aj dole. Preto, v akejkoľvek výške nakreslíme vodorovnú čiaru, táto čiara sa určite pretne s naším grafom. Preto je možné vždy odobrať odmocninu, absolútne z akéhokoľvek čísla;
2. Okrem toho bude takáto križovatka vždy jedinečná, takže nemusíte premýšľať o tom, ktoré číslo považovať za „správny“ koreň a ktoré bodovať. Preto je definícia koreňov pre nepárny stupeň jednoduchšia ako pre párny (neexistuje požiadavka na nezápornosť).

Len škoda, že tieto jednoduché veci nie sú vo väčšine učebníc vysvetlené. Namiesto toho náš mozog začne stúpať so všetkými druhmi aritmetických koreňov a ich vlastností.

Áno, nehovorím: čo je aritmetický koreň - musíte tiež vedieť. A o tom budem hovoriť podrobne v samostatnej lekcii. Dnes si o nej povieme tiež, pretože bez nej by boli všetky úvahy o koreňoch $n$-tej násobnosti neúplné.

Najprv však musíte jasne pochopiť definíciu, ktorú som uviedol vyššie. V opačnom prípade sa vám v dôsledku množstva pojmov začne v hlave taký chaos, že nakoniec nebudete rozumieť vôbec ničomu.

A všetko, čo potrebujete pochopiť, je rozdiel medzi párnymi a nepárnymi číslami. Preto opäť zhromaždíme všetko, čo skutočne potrebujete vedieť o koreňoch:

1. Párny koreň existuje len od nezáporného čísla a sám je vždy nezáporným číslom. Pre záporné čísla nie je takýto koreň definovaný.
2. Ale koreň nepárneho stupňa existuje z ľubovoľného čísla a sám môže byť ľubovoľným číslom: pre kladné čísla je kladný a pre záporné čísla, ako naznačuje viečko, záporný.

Je to zložité? Nie, nie je to ťažké. Pochopiteľne? Áno, je to zrejmé! Preto si teraz trochu precvičíme s výpočtami.

Základné vlastnosti a obmedzenia

Korene majú veľa zvláštnych vlastností a obmedzení - toto bude samostatná lekcia. Preto teraz zvážime iba najdôležitejší "čip", ktorý sa vzťahuje iba na korene s párnym exponentom. Túto vlastnosť zapíšeme vo forme vzorca:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\vpravo|\]

Inými slovami, ak umocníme číslo na párnu mocninu a potom z neho vyberieme odmocninu rovnakého stupňa, nedostaneme pôvodné číslo, ale jeho modul. Toto je jednoduchá veta, ktorá sa dá ľahko dokázať (stačí zvážiť samostatne nezáporné $x$ a potom samostatne zvážiť negatívne). Učitelia o tom neustále hovoria, je to uvedené v každej školskej učebnici. No akonáhle príde na riešenie iracionálnych rovníc (t. j. rovníc obsahujúcich znamienko radikálu), žiaci na tento vzorec razom zabudnú.

Aby sme problém pochopili dopodrobna, zabudnime na minútu všetky vzorce a skúsme spočítať dve čísla dopredu:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Toto sú veľmi jednoduché príklady. Prvý príklad bude vyriešený väčšinou ľudí, ale na druhý sa mnohí držia. Aby ste takéto svinstvo vyriešili bez problémov, vždy zvážte postup:

1. Najprv sa číslo zvýši na štvrtú mocninu. No je to akési jednoduché. Získa sa nové číslo, ktoré možno dokonca nájsť v tabuľke násobenia;
2. A teraz z tohto nového čísla je potrebné extrahovať koreň štvrtého stupňa. Tie. nedochádza k "zníženiu" koreňov a stupňov - ide o postupné akcie.

Poďme sa zaoberať prvým výrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Je zrejmé, že najprv musíte vypočítať výraz pod koreňom:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Potom extrahujeme štvrtý koreň čísla 81:

Teraz urobme to isté s druhým výrazom. Najprv zvýšime číslo −3 na štvrtú mocninu, pre ktorú ho musíme vynásobiť 4-krát:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vľavo(-3 \vpravo)=81\]

Dostali sme kladné číslo, keďže celkový počet mínusov v produkte sú 4 kusy a všetky sa navzájom vyrušia (napokon mínus o mínus dáva plus). Potom znova extrahujte koreň:

Tento riadok sa v zásade nedal napísať, keďže je zbytočné myslieť na to, že odpoveď bude rovnaká. Tie. párny koreň tej istej párnej sily „vypáli“ mínusky a v tomto zmysle je výsledok na nerozoznanie od bežného modulu:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\vpravo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]

Tieto výpočty sú v dobrej zhode s definíciou odmocniny párneho stupňa: výsledok je vždy nezáporný a radikálne znamienko je tiež vždy nezáporné číslo. V opačnom prípade nie je koreň definovaný.

Poznámka k poradiu operácií

1. Zápis $\sqrt(((a)^(2)))$ znamená, že najprv odmocníme číslo $a$ a potom vezmeme druhú odmocninu z výslednej hodnoty. Preto si môžeme byť istí, že nezáporné číslo vždy leží pod znamienkom koreňa, pretože $((a)^(2))\ge 0$ aj tak;
2. No zápis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ naopak znamená, že najskôr vytiahneme odmocninu z určitého čísla $a$ a až potom výsledok odmocníme. Preto číslo $a$ v žiadnom prípade nemôže byť záporné - je to povinná požiadavka zakotvená v definícii.

V žiadnom prípade by sa teda nemali bezmyšlienkovite zmenšovať korene a stupne, čím sa vraj „zjednodušuje“ pôvodný výraz. Pretože ak je pod odmocninou záporné číslo a jeho exponent je párny, dostaneme veľa problémov.

Všetky tieto problémy sú však relevantné len pre párne ukazovatele.

Odstránenie znamienka mínus spod znamienka koreňa

Prirodzene, korene s nepárnymi exponentmi majú tiež svoju vlastnosť, ktorá v zásade neexistuje pre párne. menovite:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Stručne povedané, môžete vytiahnuť mínus pod znakom koreňov nepárneho stupňa. Toto je veľmi užitočná vlastnosť, ktorá vám umožní „vyhodiť“ všetky mínusy:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Táto jednoduchá vlastnosť značne zjednodušuje mnohé výpočty. Teraz sa už nemusíte obávať: čo ak sa negatívny výraz dostal pod koreň a stupeň pri koreni sa ukázal byť párny? Stačí len „vyhodiť“ všetky mínusy mimo koreňov, potom sa môžu navzájom množiť, deliť a celkovo robiť veľa podozrivých vecí, ktoré nás v prípade „klasických“ koreňov zaručene privedú k chyba.

A tu vstupuje na scénu ďalšia definícia – práve tá, s ktorou väčšina škôl začína štúdium iracionálnych výrazov. A bez toho by naša úvaha bola neúplná. Zoznámte sa!

aritmetický koreň

Predpokladajme na chvíľu, že pod znamienkom koreňa môžu byť iba kladné čísla alebo v extrémnych prípadoch nula. Poďme skóre na párne / nepárne ukazovatele, skóre na všetkých definíciách uvedených vyššie - budeme pracovať len s nezápornými číslami. Čo potom?

A potom dostaneme aritmetický koreň - čiastočne sa pretína s našimi "štandardnými" definíciami, ale stále sa od nich líši.

Definícia. Aritmetický koreň $n$-tého stupňa nezáporného čísla $a$ je nezáporné číslo $b$ také, že $((b)^(n))=a$.

Ako vidíte, parita nás už nezaujíma. Namiesto toho sa objavilo nové obmedzenie: radikálny výraz je teraz vždy nezáporný a samotný koreň je tiež nezáporný.

Aby ste lepšie pochopili, ako sa aritmetický koreň líši od bežného, ​​pozrite sa na grafy štvorcovej a kubickej paraboly, ktoré už poznáme:

Ako vidíte, odteraz nás zaujímajú len tie časti grafov, ktoré sa nachádzajú v prvej súradnicovej štvrtine – kde sú súradnice $x$ a $y$ kladné (alebo aspoň nulové). Už sa nemusíte pozerať na indikátor, aby ste pochopili, či máme právo odmocniť záporné číslo alebo nie. Pretože so zápornými číslami sa už v zásade nepočíta.

Môžete sa opýtať: "No, prečo potrebujeme takú kastrovanú definíciu?" Alebo: "Prečo si nemôžeme vystačiť so štandardnou definíciou uvedenou vyššie?"

Uvediem len jednu vlastnosť, kvôli ktorej sa nová definícia stáva vhodnou. Napríklad pravidlo umocňovania:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Poznámka: môžeme umocniť výraz odmocniny na ľubovoľnú mocninu a zároveň vynásobiť odmocninu rovnakou mocninou – a výsledkom bude rovnaké číslo! Tu je niekoľko príkladov:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

No, čo je na tom zlé? Prečo sme to nemohli urobiť skôr? Tu je dôvod. Uvažujme o jednoduchom výraze: $\sqrt(-2)$ je číslo, ktoré je v našom klasickom zmysle celkom normálne, ale z hľadiska aritmetického koreňa absolútne neprijateľné. Skúsme to previesť:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Ako vidíte, v prvom prípade sme vybrali mínus spod radikálu (máme plné právo, pretože indikátor je nepárny) av druhom prípade sme použili vyššie uvedený vzorec. Tie. z pohľadu matematiky sa všetko robí podľa pravidiel.

WTF?! Ako môže byť rovnaké číslo kladné aj záporné? V žiadnom prípade. Ide len o to, že vzorec umocňovania, ktorý funguje skvele pre kladné čísla a nulu, začína v prípade záporných čísel vykazovať úplnú herézu.

Tu, aby sa zbavili takejto nejednoznačnosti, prišli s aritmetickými koreňmi. Je im venovaná samostatná veľká lekcia, kde podrobne zvážime všetky ich vlastnosti. Takže teraz sa nimi nebudeme zaoberať - lekcia sa aj tak ukázala byť príliš dlhá.

Algebraický koreň: pre tých, ktorí chcú vedieť viac

Dlho som premýšľal: urobiť túto tému v samostatnom odseku alebo nie. Nakoniec som sa rozhodol odísť odtiaľto. Tento materiál je určený pre tých, ktorí chcú ešte lepšie pochopiť korene - už nie na priemernej „školskej“ úrovni, ale na úrovni blízkej olympiáde.

Takže: okrem „klasickej“ definície odmocniny $n$-tého stupňa z čísla a s tým spojeného delenia na párne a nepárne ukazovatele existuje aj „dospelejšia“ definícia, ktorá nezávisí od parity a iné jemnosti vôbec. Toto sa nazýva algebraický koreň.

Definícia. Algebraická $n$-tá odmocnina ľubovoľného $a$ je množina všetkých čísel $b$ takých, že $((b)^(n))=a$. Pre takéto korene neexistuje dobre zavedené označenie, takže navrch stačí dať pomlčku:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\vľavo\( b\vľavo| b\v \mathbb(R);((b)^(n))=a \vpravo. \vpravo\) \]

Zásadný rozdiel oproti štandardnej definícii uvedenej na začiatku lekcie je v tom, že algebraický koreň nie je konkrétne číslo, ale množina. A keďže pracujeme s reálnymi číslami, táto množina je len troch typov:

1. Prázdna súprava. Vyskytuje sa, keď je potrebné nájsť algebraický koreň párneho stupňa zo záporného čísla;
2. Sada pozostávajúca z jedného prvku. Do tejto kategórie spadajú všetky korene nepárnych mocnín, ako aj odmocniny párnych mocnín od nuly;
3. Nakoniec môže množina obsahovať dve čísla – rovnaké $((x)_(1))$ a $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ktoré sme videli na graf kvadratická funkcia. Preto je takéto zarovnanie možné len pri extrakcii odmocniny párneho stupňa z kladného čísla.

Posledný prípad si zaslúži podrobnejšie posúdenie. Poďme si spočítať pár príkladov, aby sme pochopili rozdiel.

Príklad. Vypočítajte výrazy:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

rozhodnutie. Prvý výraz je jednoduchý:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sú to dve čísla, ktoré sú súčasťou sady. Pretože každá z nich na druhú dáva štvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Tu vidíme množinu pozostávajúcu iba z jedného čísla. Je to celkom logické, keďže exponent odmocniny je nepárny.

Nakoniec posledný výraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Máme prázdny set. Pretože neexistuje jediné reálne číslo, ktoré nám po zvýšení na štvrtú (čiže párnu!) mocninu dá záporné číslo −16.

Poznámka na záver. Poznámka: nie náhodou som všade poznamenal, že pracujeme s reálnymi číslami. Pretože existujú aj komplexné čísla - je tam celkom možné vypočítať $\sqrt(-16)$ a mnoho ďalších podivných vecí.

V moderných školských osnovách matematiky sa však komplexné čísla takmer nikdy nenachádzajú. Z väčšiny učebníc boli vynechané, pretože naši úradníci považujú túto tému za „príliš ťažké na pochopenie“.

To je všetko. V ďalšej lekcii sa pozrieme na všetky kľúčové vlastnosti koreňov a nakoniec sa naučíme, ako zjednodušiť iracionálne výrazy. :)

Koreňové vzorce. vlastnosti odmocnin.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

V predchádzajúcej lekcii sme zistili, čo je druhá odmocnina. Je čas zistiť, čo sú vzorce pre korene, čo sú koreňové vlastnosti a čo sa s tým všetkým dá robiť.

Koreňové vzorce, koreňové vlastnosti a pravidlá pre akcie s koreňmi- je to v podstate to isté. Existuje prekvapivo málo vzorcov pre druhé odmocniny. Čo, samozrejme, poteší! Skôr sa dá napísať množstvo všelijakých vzorcov, no na praktickú a sebavedomú prácu s koreňmi stačia len tri. Všetko ostatné plynie z týchto troch. Hoci mnohí blúdia v troch vzorcoch koreňov, áno ...

Začnime tým najjednoduchším. Tu je:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

manžel. koreň, krčky, koreň · detract. pohŕdavý podzemok, zväčšujúci podzemok, podzemná časť každej rastliny. Na stromoch sa rozlišuje chrbtica a bočné korene a spolu s nimi sú korene a malé laloky. pohlcovanie vlhkosti. Koreň sa stáva: baňatý, ... ... Dahlov vysvetľujúci slovník

KOREŇ, pH, pl. rni, rni, manžel. 1. Podzemná časť rastliny, ktorá slúži na jej spevnenie v pôde a vstrebávanie vody a živín z nej. Hlavné, bočné, adnexálne k. Vzdušné korene (v lianach a niektorých iných rastlinách vysoko nad zemou ... Vysvetľujúci slovník Ozhegov

- (radix), jeden z hlavných vegetatívnych orgánov listnatých rastlín, ktorý slúži na prichytenie sa k substrátu, nasávanie vody z neho a výživu. látok. Fylogeneticky K. vznikol neskôr ako stonka a pravdepodobne pochádza z koreňového ... ... Biologický encyklopedický slovník

Vidieť začiatok, dôvod, pôvod vykoreniť, zakoreniť... Slovník ruských synoným a výrazov podobných významom. pod. vyd. N. Abramova, M .: Ruské slovníky, 1999. koreň, začiatok, dôvod, pôvod; radikálny; chrbtica, driek, ... ... Slovník synonym

koreň- ROOT, rnya, m. 1. Priateľ, kamarát. 2. Mužský pohlavný orgán Malý muž vrastie do koreňového koreňa Silný koreň je starý, verný priateľ. 1. možné kontaminácia pomocníkom... Slovník ruského arga

V matematike ..1) je koreňom stupňa n z čísla a ľubovoľné číslo x (označené a nazývame radikálový výraz), ktorého n-tý stupeň sa rovná a (). Akcia nájdenia koreňa sa nazýva extrakcia koreňa2)] Koreň rovnice je číslo, ktoré po ... ...

Primárny koreň je u mnohých ihličnanov zachovaný na celý život a vyvíja sa vo forme mohutného koreňového koreňa, z ktorého vybiehajú bočné. Menej často, ako u niektorých borovíc, je primárny koreň nedostatočne vyvinutý a nahradený laterálnymi. Okrem dlhej... Biologická encyklopédia

- (matematické), 1) Odmocnina stupňa n čísla a Číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná danému číslu a (označuje sa; a sa nazýva radikálny výraz). Akt nájdenia koreňa sa nazýva extrakcia koreňa. 2) Riešenie hodnoty rovnice ... ... Moderná encyklopédia

V biológii jeden z hlavných orgánov rastlín, ktorý slúži na posilnenie v pôde, absorbovanie vody, minerálov, syntézu organických zlúčenín a tiež na izoláciu niektorých metabolických produktov. Koreň môže byť úložným miestom pre náhradné ... ... Veľký encyklopedický slovník

V lingvistike neodvodený (jednoduchý) slovný kmeň, ktorý neobsahuje žiadne prípony. Koreň je lexikálnym jadrom slova, to znamená, že má svoj hlavný skutočný význam ... Veľký encyklopedický slovník

knihy

• The Root of All Evil, Williams R. Donald Bailey nie je ťažký tínedžer, ale jednoducho nešťastný. Po spáchaní nenapraviteľného činu stratil dôveru priateľov, lásku svojej matky a vlastný pokoj. Čo mu ostáva? Utiecť od...
• Koreň problému, Henry R. Brandt. Autor tejto knihy ponúka veľmi jednoduchú biblickú pravdu o vyslobodení zo všetkých druhov duševných porúch: uvedomenie si hriechu ako hlavnej príčiny všetkých problémov a pokánie za spáchané hriechy. AT…