Aké čísla sa nazývajú racionálne príklady. Definícia racionálnych čísel

) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé číslo a zlomky) a nulou. Presnejší koncept racionálnych čísel znie takto:

racionálne číslo- číslo, ktoré je znázornené jednoduchým zlomkom m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n- celé čísla, napríklad 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.

a/b, kde a∈ Z (a patrí medzi celé čísla) b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).

Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.

AT skutočný život množina racionálnych čísel sa používa na počítanie častí niektorých celočíselne deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné potraviny, ktoré sú pred konzumáciou nakrájané na kúsky, alebo pre hrubý odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.

Vlastnosti racionálnych čísel.

Základné vlastnosti racionálnych čísel.

1. poriadkumilovnosť a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať medzi nimi 1-ale iba jeden z 3 vzťahov: “<», «>" alebo "=". Toto pravidlo je - pravidlo objednávky a sformuluj to takto:

2 kladné čísla a=m a /n a a b = m b / n b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ nb a m b⋅ n a;
2 záporné čísla a a b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 kladné čísla |b| a |a|;
kedy a pozitívne a b- teda negatívny a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operácia sčítania. Pre všetky racionálne čísla a a b existuje sumačné pravidlo, čo ich dáva do súladu s určitým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c- Toto súčetčísla a a b a označuje sa ako (a+b) zhrnutie.

Sumačné pravidlo vyzerá takto:

m a/n a + m b/nb = (m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. operácia násobenia. Pre všetky racionálne čísla a a b existuje pravidlo násobenia, spája ich s určitým racionálnym číslom c. Volá sa číslo c prácačísla a a b a označujú (a⋅b), a proces hľadania tohto čísla sa nazýva násobenie.

pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutatívnosť sčítania. Od zmeny miest racionálnych pojmov sa súčet nemení.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asociativita sčítania. Poradie sčítania 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a

8. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ich sčítaním vznikne 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0

9. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.

∀ a,b∈ Q a⋅ b = b⋅ a

10. Asociativita násobenia. Poradie násobenia 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, zachováva každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1 = a

12. Dostupnosť recipročné čísla . Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .

∀ a∈ Q∃ a-1∈ Q a⋅ a-1=1

13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distribučného zákona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti sa pridá rovnaké racionálne číslo.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Spojenie poradového vzťahu s operáciou násobenia. Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.

∀ a,b,c∈ Qc > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, je ľahké vziať toľko jednotiek, že ich súčet bude väčší a.

Racionálne čísla

štvrtí

Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “< », « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
súčet zlomkov
operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má ďalší pohľad: .
operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a a b a označuje sa a proces nájdenia takého čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné: .
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. K ľavej a pravej strane racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Takéto ďalšie vlastnosti veľa. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počítateľnosť

Číslovanie racionálnych čísel

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na tento účel stačí poskytnúť algoritmus, ktorý vypočíta racionálne čísla, t.j. vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.

Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výsledná tabuľka je riadená "hadom" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa skenujú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá na základe prvého zápasu.

V procese takéhoto bypassu je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzené číslo. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.

Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Poznámky

Literatúra

I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.

Racionálne čísla

štvrtí

Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “< », « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
súčet zlomkov
operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu: .
operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a a b a označuje sa a proces nájdenia takého čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné: .
Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. K ľavej a pravej strane racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počítateľnosť

Číslovanie racionálnych čísel

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, t. j. vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.

Výsledná tabuľka je riadená "hadom" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa skenujú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá na základe prvého zápasu.

V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Poznámky

Literatúra

I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.

) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé číslo a zlomky) a nulou. Presnejší koncept racionálnych čísel znie takto:

racionálne číslo- číslo, ktoré je znázornené jednoduchým zlomkom m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n- celé čísla, napríklad 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.

a/b, kde a∈ Z (a patrí medzi celé čísla) b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).

Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.

V reálnom živote sa množina racionálnych čísel používa na počítanie častí niektorých celočíselne deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné potraviny, ktoré sú pred konzumáciou nakrájané na kúsky, alebo pre hrubý odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.

Vlastnosti racionálnych čísel.

Základné vlastnosti racionálnych čísel.

2 kladné čísla a=m a /n a a b = m b / n b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ nb a m b⋅ n a;
2 záporné čísla a a b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 kladné čísla |b| a |a|;
kedy a pozitívne a b- teda negatívny a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

Sumačné pravidlo vyzerá takto:

m a/n a + m b/nb = (m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutatívnosť sčítania. Od zmeny miest racionálnych pojmov sa súčet nemení.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asociativita sčítania. Poradie sčítania 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a

8. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ich sčítaním vznikne 0.

∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0

9. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.

∀ a,b∈ Q a⋅ b = b⋅ a

10. Asociativita násobenia. Poradie násobenia 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, zachováva každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.

∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1 = a

12. Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .

∀ a∈ Q∃ a-1∈ Q a⋅ a-1=1

13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distribučného zákona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti sa pridá rovnaké racionálne číslo.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Spojenie poradového vzťahu s operáciou násobenia. Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.

∀ a,b,c∈ Qc > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, je ľahké vziať toľko jednotiek, že ich súčet bude väčší a.

V tejto podkapitole uvádzame niekoľko definícií racionálnych čísel. Napriek rozdielom vo formulácii majú všetky tieto definície rovnaký význam: racionálne čísla kombinujú celé čísla a zlomkové čísla, rovnako ako celé čísla kombinujú prirodzené čísla, ich opačné čísla a číslo nula. Inými slovami, racionálne čísla zovšeobecňujú celé a zlomkové čísla.

Začnime s definície racionálnych čísel ktorý je vnímaný ako najprirodzenejší.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako kladné spoločný zlomok, záporný spoločný zlomok alebo číslo nula.

Zo znejúcej definície vyplýva, že racionálne číslo je:

akékoľvek prirodzené číslo n. Akékoľvek prirodzené číslo môže byť skutočne reprezentované ako obyčajný zlomok, napr. 3=3/1 .

· Akékoľvek celé číslo, najmä číslo nula. Akékoľvek celé číslo možno v skutočnosti zapísať buď ako kladný spoločný zlomok, alebo ako záporný spoločný zlomok, alebo ako nulu. Napríklad, 26=26/1 , .

Akýkoľvek obyčajný zlomok (kladný alebo záporný). Priamo to hovorí daná definícia racionálnych čísel.

akýkoľvek zmiešané číslo. V skutočnosti je vždy možné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny spoločný zlomok. Napríklad a.

· Akýkoľvek konečný desatinný zlomok alebo nekonečný periodický zlomok. Je to tak preto, že zadané desatinné zlomky sa prevedú na bežné zlomky. Napríklad a 0,(3)=1/3 .

Je tiež jasné, že žiadne nekonečné neopakujúce sa desatinné číslo NIE JE racionálne číslo, pretože ho nemožno reprezentovať ako bežný zlomok.

Teraz môžeme ľahko priniesť príklady racionálnych čísel. čísla 4 ,903 , 100 321 sú racionálne čísla, keďže ide o prirodzené čísla. Celé čísla 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 sú tiež príklady racionálnych čísel. Bežné zlomky 4/9 , 99/3 , sú tiež príklady racionálnych čísel. Racionálne čísla sú tiež čísla.

Vyššie uvedené príklady ukazujú, že existujú kladné aj záporné racionálne čísla a racionálne číslo nula nie je ani kladné, ani záporné.

Vyššie uvedená definícia racionálnych čísel môže byť formulovaná v kratšej forme.

Definícia.

Racionálne čísla pomenujte číslo, ktoré možno zapísať ako zlomok z/n, kde z je celé číslo a n- prirodzené číslo.

Dokážme, že táto definícia racionálnych čísel je ekvivalentná predchádzajúcej definícii. Vieme, že bar zlomku môžeme považovať za znak delenia, potom z vlastností delenia celých čísel a pravidiel na delenie celých čísel vyplýva platnosť nasledujúcich rovníc a. To je teda dôkaz.

Na základe tejto definície uvádzame príklady racionálnych čísel. čísla −5 , 0 , 3 , a sú to racionálne čísla, keďže ich možno zapísať ako zlomky s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom tvaru resp.

Definíciu racionálnych čísel možno uviesť aj v nasledujúcej formulácii.

Definícia.

Racionálne čísla sú čísla, ktoré možno zapísať ako konečnú alebo nekonečnú periodiku desatinný zlomok.

Táto definícia je tiež ekvivalentná prvej definícii, pretože každý obyčajný zlomok zodpovedá konečnému alebo periodickému desatinnému zlomku a naopak a akékoľvek celé číslo môže byť spojené s desatinným zlomkom s nulami za desatinnou čiarkou.

Napríklad čísla 5 , 0 , −13 , sú príklady racionálnych čísel, pretože ich možno zapísať ako nasledujúce desatinné zlomky 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 a −7,(18) .

Teóriu tejto časti ukončíme nasledujúcimi tvrdeniami:

celé a zlomkové čísla (kladné a záporné) tvoria množinu racionálnych čísel;

Každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako zlomok s celočíselným čitateľom a prirodzeným menovateľom a každý takýto zlomok je racionálnym číslom;

Každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok a každý takýto zlomok predstavuje nejaké racionálne číslo.

Začiatok stránky

Sčítanie kladných racionálnych čísel je komutatívne a asociatívne,

("a, bn Q+) a + b= b + a;

("a, b, c н Q +) (a + b) + c = a + (b + c)

Pred formulovaním definície násobenia kladných racionálnych čísel zvážte nasledujúci problém: je známe, že dĺžka segmentu X je vyjadrená ako zlomok na jednotkovej dĺžke E a dĺžka segmentu jednotky sa meria pomocou jednotky E 1 a vyjadruje sa ako zlomok. Ako nájsť číslo, ktoré bude predstavovať dĺžku úsečky X, ak ju zmeriate pomocou jednotky dĺžky E 1?

Pretože X=E, potom nX=mE, a zo skutočnosti, že E =E1 vyplýva, že qE=pE1. Prvú získanú rovnosť vynásobíme q a druhú m. Potom (nq)X \u003d (mq)E a (mq)E \u003d (mp)E 1, odkiaľ (nq)X \u003d (mp)E 1. Táto rovnosť ukazuje, že dĺžka segmentu x pri jednotkovej dĺžke je vyjadrená ako zlomok, a teda , =, t.j. násobenie zlomkov je spojené s prechodom z jednej jednotky dĺžky na druhú pri meraní dĺžky toho istého segmentu.

Definícia: Ak je kladné číslo a reprezentované zlomkom a kladné racionálne číslo b zlomkom, potom sa ich súčin nazýva číslo a b, ktoré je reprezentované zlomkom.

Násobenie kladných racionálnych čísel komutatívne, asociatívne a distributívne s ohľadom na sčítanie a odčítanie. Dôkaz týchto vlastností je založený na definícii násobenia a sčítania kladných racionálnych čísel, ako aj na zodpovedajúcich vlastnostiach sčítania a násobenia prirodzených čísel.

46. Ako viete odčítanie je opakom sčítania.

Ak a a b - kladné čísla, potom odčítanie čísla b od čísla a znamená nájsť číslo c, ktoré po pripočítaní k číslu b dostane číslo a.
a - b = c alebo c + b = a
Definícia odčítania platí pre všetky racionálne čísla. To znamená, že odčítanie kladných a záporných čísel môže byť nahradené sčítaním.
Ak chcete od jedného čísla odpočítať ďalšie, musíte k menovke pridať opačné číslo.
Alebo iným spôsobom môžeme povedať, že odčítanie čísla b je rovnaké sčítanie, ale s číslom opačné číslo b.
a - b = a + (- b)
Príklad.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Príklad.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Oplatí sa zapamätať si nižšie uvedené výrazy.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Pravidlá pre odčítanie záporných čísel
Odčítanie čísla b je sčítanie s číslom opačným k číslu b.
Toto pravidlo je zachované nielen pri odčítaní menšieho čísla od väčšieho, ale umožňuje aj odčítanie od menšieho čísla viac, to znamená, že vždy môžete nájsť rozdiel dvoch čísel.
Rozdiel môže byť kladné číslo, záporné číslo alebo číslo nula.
Príklady odčítania záporných a kladné čísla.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Je vhodné si zapamätať pravidlo znamienka, ktoré vám umožňuje znížiť počet zátvoriek.
Znamienko plus nemení znamienko čísla, takže ak je pred zátvorkou plus, znamienko v zátvorke sa nemení.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Znamienko mínus pred zátvorkou obráti znamienko čísla v zátvorke.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Z rovnosti je zrejmé, že ak sú pred a vo vnútri zátvoriek rovnaké znamienka, dostaneme „+“ a ak sú znamienka odlišné, dostaneme „-“.
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Pravidlo o znamienkach je zachované aj vtedy, ak v zátvorke nie je jedno číslo, ale algebraický súčet čísel.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Upozorňujeme, že ak je v zátvorkách niekoľko čísel a pred zátvorkami je znamienko mínus, znamienka pred všetkými číslami v týchto zátvorkách sa musia zmeniť.
Aby ste si zapamätali pravidlo znakov, môžete si vytvoriť tabuľku na určenie znakov čísla.
Pravidlo znamienka pre čísla + (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Alebo sa naučte jednoduché pravidlo.
Dva zápory potvrdzujú,
Plus krát mínus sa rovná mínus.

Pravidlá delenia záporných čísel.
Ak chcete nájsť modul kvocientu, musíte vydeliť modul deliteľa modulom deliča.
Ak teda chcete rozdeliť dve čísla rovnakými znamienkami, potrebujete:

Vydeľte modul deliteľa modulom deliča;

Pred výsledok vložte znamienko „+“.

Príklady delenia čísel s rôzne znamenia:

Na určenie podielového znaku môžete použiť aj nasledujúcu tabuľku.
Pravidlo znakov pri delení
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

Pri výpočte "dlhých" výrazov, v ktorých sa objavuje iba násobenie a delenie, je veľmi vhodné použiť pravidlo znamienka. Napríklad na výpočet zlomku
Môžete venovať pozornosť tomu, že v čitateli sú 2 znamienka „mínus“, ktoré po vynásobení dávajú „plus“. V menovateli sú aj tri znamienka mínus, ktoré po vynásobení dávajú mínus. Preto bude nakoniec výsledok so znamienkom mínus.
Zníženie frakcie ( ďalšie akcie s modulmi čísel) sa vykonáva rovnakým spôsobom ako predtým:
Podiel delenia nuly nenulovým číslom je nula.
0: a = 0, a ≠ 0
NEDELTE nulou!
Všetky doteraz známe pravidlá delenia jednotkou platia aj pre množinu racionálnych čísel.
a: 1 = a
a: (- 1) = - a
a: a = 1, kde a je ľubovoľné racionálne číslo.
Závislosti medzi výsledkami násobenia a delenia, známe pre kladné čísla, sú zachované aj pre všetky racionálne čísla (okrem čísla nula):
ak a × b = c; a = c: b; b = c: a;
ak a: b = c; a = c x b; b=a:c
Tieto závislosti sa používajú na vyhľadávanie neznámy multiplikátor, deliteľ a deliteľ (pri riešení rovníc), ako aj na kontrolu výsledkov násobenia a delenia.
Príklad hľadania neznámeho.
x × (-5) = 10
x=10: (-5)
x = -2