Budeme analyzovať dva typy systémov riešenia rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučná metóda musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Vyjadrujeme. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Do inej rovnice dosadíme namiesto vyjadrenej premennej výslednú hodnotu.
3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém sčítaním (odčítaním) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme rovnaké koeficienty.
2. Rovnice sčítame alebo odčítame, vo výsledku dostaneme rovnicu s jednou premennou.
3. Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením sústavy sú priesečníky grafov funkcie.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, preto sa ukazuje, že najjednoduchšie je vyjadriť premennú x z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2. Po vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3 + 10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorené zátvorky)
6+20+5r=1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto musíme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom odseku, kde sme vyjadrili, tam dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Na prvé miesto je zvykom písať body, napíšeme premennú x a na druhé miesto premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime sčítaním (odčítaním) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberte premennú, povedzme, že vyberieme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prvej rovnice odčítajte druhú, aby ste sa zbavili premennej x Vyriešte lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online zadarmo. Žiadne srandovanie.

Článok predstavuje taký pojem, ako je definícia sústavy rovníc a jej riešenie. Zvážia sa často sa vyskytujúce prípady systémových riešení. Nasledujúce príklady vám pomôžu podrobne vysvetliť riešenie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definícia sústavy rovníc

Aby sme pristúpili k definícii sústavy rovníc, je potrebné venovať pozornosť dvom bodom: typ záznamu a jeho význam. Aby sme to pochopili, musíme sa podrobne venovať každému z typov, potom môžeme prísť k definícii sústav rovníc.

Zoberme si napríklad dve rovnice 2 x + y = - 3 a x = 5, po ktorých skombinujeme takýto plán so zloženou zátvorkou:

2 x + y = -3, x = 5.

Rovnice spojené zloženou zátvorkou sa považujú za záznamy sústav rovníc. Definujú množiny riešení rovníc danej sústavy. Každé riešenie musí byť riešením všetkých daných rovníc.

Inými slovami to znamená, že akékoľvek riešenia prvej rovnice budú riešeniami všetkých rovníc spojených systémom.

Definícia 1

Sústavy rovníc je množstvo rovníc spojených zloženou zátvorkou, ktoré majú veľa riešení rovníc, ktoré sú súčasne riešeniami pre celý systém.

Hlavné typy sústav rovníc

Existuje pomerne veľa typov rovníc, ako sú sústavy rovníc. Aby ich riešenie a štúdium bolo pohodlné, sú rozdelené do skupín podľa určitých charakteristík. To pomôže pri zvažovaní systémov rovníc určitých typov.

Na začiatok sú rovnice klasifikované podľa počtu rovníc. Ak existuje jedna rovnica, potom je to obyčajná rovnica, ak ich je viac, potom máme dočinenia so systémom pozostávajúcim z dvoch alebo viacerých rovníc.

Iná klasifikácia ovplyvňuje počet premenných. Keď je počet premenných 1, hovoríme, že máme do činenia so systémom rovníc s jednou neznámou, keď 2 - s dvoma premennými. Zvážte príklad

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Je zrejmé, že systém rovníc obsahuje dve premenné x a y.

Pri písaní takýchto rovníc sa berie do úvahy počet všetkých premenných v zázname. Ich prítomnosť v každej rovnici je voliteľná. Aspoň jedna rovnica musí mať jednu premennú. Uvažujme o príklade sústavy rovníc

2 x \u003d 11, x - 3 z 2 \u003d 0, 2 7 x + y - z \u003d - 3

Tento systém má 3 premenné x, y, z. Prvá rovnica má explicitné x a implicitné y a z. Implicitné premenné sú premenné, ktoré majú v koeficiente 0. Druhá rovnica má x a z a y je implicitná premenná. Inak sa to dá napísať aj takto

2 x + 0 y + 0 z = 11

A druhá rovnica je x + 0 · y − 3 · z = 0 .

Treťou klasifikáciou rovníc je forma. V škole sa vyučujú jednoduché rovnice a sústavy rovníc, počnúc sústavami dvoch lineárnych rovníc s dvomi premennými . To znamená, že systém obsahuje 2 lineárne rovnice. Napríklad zvážte

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 a - 3 x + y = 0. 5, x + 2 2 3 y = 0

Toto sú základné jednoduché lineárne rovnice. Ďalej sa môžete stretnúť so systémami obsahujúcimi 3 alebo viac neznámych.

V 9. ročníku riešia rovnice s dvoma premennými a nelineárnymi. V celočíselných rovniciach sa exponent zvyšuje, aby sa zvýšila zložitosť. Takéto systémy sa nazývajú systémy nelineárnych rovníc s určitým počtom rovníc a neznámych. Zvážte príklady takýchto systémov

x 2 - 4 x y = 1 , x - y = 2 a x = y 3 x y = - 5

Oba systémy sú dvojpremenné a oba sú nelineárne.

Pri riešení sa môžete stretnúť s zlomkovými racionálnymi rovnicami. napríklad

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Môžu to jednoducho nazvať systémom rovníc bez toho, aby špecifikovali ktoré. Len zriedka špecifikujte typ samotného systému.

Seniorské triedy prechádzajú na štúdium iracionálnych, trigonometrických a exponenciálne rovnice. Napríklad,

x + y - x y = 5 , 2 x y = 3 , x + y = 5 π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Vysoké školy študujú a skúmajú riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE). Ľavá strana takýchto rovníc obsahuje polynómy s prvým stupňom a pravá strana obsahuje nejaké čísla. Rozdiel od školských je v tom, že počet premenných a počet rovníc môže byť ľubovoľný, najčastejšie nie rovnaký.

Riešenie sústav rovníc

Definícia 2

Riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými je dvojica premenných, ktorá po dosadení zmení každú rovnicu na skutočnú číselnú nerovnosť, to znamená, že je riešením pre každú rovnicu tohto systému.

Napríklad pár hodnôt x \u003d 5 a y \u003d 2 je riešením systému rovníc x + y \u003d 7, x - y \u003d 3. Pretože pri dosadzovaní sa rovnice zmenia na skutočné číselné nerovnosti 5 + 2 = 7 a 5 − 2 = 3. Ak dosadíme dvojicu x = 3 a y = 0, systém sa nevyrieši, pretože substitúcia nedáva správnu rovnicu, teda dostaneme 3 + 0 = 7.

Sformulujme definíciu pre systémy obsahujúce jednu alebo viac premenných.

Definícia 3

Riešenie sústavy rovníc s jednou premennou- toto je hodnota premennej, ktorá je koreňom rovníc systému, čo znamená, že všetky rovnice budú prevedené na skutočné číselné rovnosti.

Uvažujme o príklade sústavy rovníc s jednou premennou t

t 2 \u003d 4, 5 (t + 2) \u003d 0

Číslo - 2 je riešením rovnice, pretože (− 2) · 2 = 4 a 5 · (− 2 + 2) = 0 sú správne číselné rovnosti. Pre t = 1 systém nie je vyriešený, keďže pri dosadzovaní dostaneme dve nesprávne rovnosti 12 = 4 a 5 · (1 + 2) = 0 .

Definícia 4

Riešenie systému s tromi alebo viacerými premennými zavolajte trojicu, štvoricu a ďalšie hodnoty, ktoré premenia všetky rovnice systému na skutočné rovnosti.

Ak máme hodnoty premenných x = 1, y = 2, z = 0, tak ich dosadením do sústavy rovníc 2 x = 2, 5 y = 10, x + y + z = 3 dostaneme 2 1 = 2, 5 2 = 10 a 1 + 2 + 0 = 3. Takže tieto číselné nerovnosti sú pravdivé. A hodnoty (1, 0, 5) nebudú riešením, pretože nahradením hodnôt bude druhá z nich nesprávna, ako aj tretia: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

Systémy rovníc nemusia mať vôbec žiadne riešenia alebo môžu mať nekonečnú množinu. To možno vidieť pri hĺbkovom štúdiu tejto témy. Možno konštatovať, že sústava rovníc je priesečníkom množín riešení všetkých jej rovníc. Poďme si rozobrať niekoľko definícií:

Definícia 5

nezlučiteľné sústava rovníc sa nazýva, keď nemá riešenia, inak sa nazýva kĺb.

Definícia 6

Neistý systém sa nazýva, keď má nekonečný počet riešení a istý s konečným počtom riešení alebo pri ich absencii.

Takéto výrazy sa v škole používajú zriedka, pretože sa počítajú pre vysokoškolské programy. vzdelávacie inštitúcie. Oboznámenie sa s ekvivalentnými sústavami prehĺbi doterajšie poznatky o riešení sústav rovníc.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Sústavy lineárnych rovníc.

Systém rovníc sa nazýva lineárny, ak sú všetky rovnice v systéme lineárne. Je obvyklé písať systém rovníc pomocou zložených zátvoriek, napríklad:

Definícia:Dvojica hodnôt premenných, ktorá sa mení na skutočnú rovnosť, každá rovnica s dvoma premennými zahrnutými v systéme sa nazýva riešenie sústavy rovníc.

Vyriešte systém znamená nájsť všetky jeho riešenia alebo dokázať, že riešenia neexistujú.

Pri riešení sústavy lineárnych rovníc sú možné tieto tri prípady:

systém nemá žiadne riešenia;

systém má práve jedno riešenie;

Systém má nekonečne veľa riešení.
ja . Riešenie sústavy lineárnych rovníc substitučnou metódou.

Túto metódu môžeme nazvať aj „substitučná metóda“ alebo metóda odstraňovania neznámych.

Tu máme systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi. Všimnite si, že voľné členy (čísla -5 a -7) sa nachádzajú na ľavej strane rovnice. Systém píšeme v obvyklom tvare.

Nezabudnite, že pri prenose termínu z časti do časti musíte zmeniť jej znamienko.

Čo znamená riešiť sústavu lineárnych rovníc? Vyriešiť systém rovníc znamená nájsť také hodnoty premenných, ktoré premenia každú rovnicu systému na skutočnú rovnosť. Toto tvrdenie platí pre všetky sústavy rovníc s ľubovoľným počtom neznámych.

My rozhodujeme.

Z prvej rovnice systému vyjadríme:
. Toto je náhrada.

Výsledný výraz sa dosadí do druhej rovnice systému namiesto premennej

Vyriešme túto rovnicu pre jednu premennú.
Otvárame zátvorky, dávame podobné výrazy a nájdeme hodnotu :

4) Ďalej sa vrátime k striedaniu na výpočet hodnoty .Hodnotu už poznáme, zostáva nájsť:

5) Pár
je jediným riešením daného systému.

Odpoveď: (2,4; 2,2).

Po vyriešení akéhokoľvek systému rovníc akýmkoľvek spôsobom vám dôrazne odporúčam skontrolovať ho na návrhu. To sa robí jednoducho a rýchlo.

1) Dosaďte nájdenú odpoveď do prvej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

2) Nájdenú odpoveď dosadíme do druhej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

Uvažovaný spôsob riešenia nie je jediný, z prvej rovnice bolo možné vyjadriť , ale nie .

Môžete to aj naopak - vyjadriť niečo z druhej rovnice a dosadiť to do prvej rovnice. Substitúciu je však potrebné vyhodnotiť tak, aby obsahovala čo najmenej zlomkových výrazov. Najnevýhodnejším zo štyroch spôsobov je vyjadrenie z druhej alebo z prvej rovnice:

alebo

V niektorých prípadoch sú však zlomky stále nevyhnutné. Každá úloha by sa mala snažiť vykonávať čo najracionálnejším spôsobom. To šetrí čas a tiež znižuje možnosť urobiť chybu.
Príklad 2

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

II. Riešenie systému metódou algebraické sčítanie(odčítanie) systémových rovníc

Pri riešení sústav lineárnych rovníc možno použiť nie substitučnú metódu, ale metódu algebraického sčítania (odčítania) rovníc sústavy. Táto metóda šetrí čas a zjednodušuje výpočty, teraz však bude čoraz prehľadnejšia.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Zoberme si rovnaký systém ako v prvom príklade.

1) Pri analýze systému rovníc si všimneme, že koeficienty premennej y sú zhodné v absolútnej hodnote a opačné v znamienku (–1 a 1). V tejto situácii môžu byť rovnice pridané po členoch:

2) Vyriešme túto rovnicu pre jednu premennú.

Ako vidíte, v dôsledku termwise sčítania sme stratili premennú . Toto je v skutočnosti podstata metódy - zbaviť sa jednej z premenných.

3) Teraz je všetko jednoduché:
- dosaďte do prvej rovnice sústavy (môžete aj do druhej):

AT dokončovanie riešenie by malo vyzerať asi takto:

Odpoveď: (2,4; 2,2).

Príklad 4

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

V tomto príklade môžete použiť substitučnú metódu, ale veľké mínus je, že keď vyjadríme akúkoľvek premennú z akejkoľvek rovnice, dostaneme riešenie v bežné zlomky. Len málo ľudí má rád akcie so zlomkami, čo znamená, že je to strata času a existuje vysoká pravdepodobnosť, že sa pomýli.

Preto je vhodné používať sčítanie (odčítanie) rovníc po členoch. Analyzujeme koeficienty pre zodpovedajúce premenné:

Ako vidíte, čísla v pároch (14 a 7), (-9 a -2) sú rôzne, preto ak rovnice práve teraz sčítame (odčítame), premennej sa nezbavíme. Preto by som rád videl v jednom z párov rovnaké modulo čísla, napríklad 14 a -14 alebo 18 a -18.

Budeme brať do úvahy koeficienty premennej .

14x - 9r \u003d 24;

7x – 2r \u003d 17.
Vyberieme číslo, ktoré by bolo deliteľné 14 aj 7 a malo by byť čo najmenšie. V matematike sa takéto číslo nazýva najmenší spoločný násobok. Ak ste s výberom bezradní, potom si koeficienty jednoducho vynásobíte.

Druhú rovnicu vynásobíme 14: 7 \u003d 2.

Ako výsledok:

Teraz odčítajte druhý od prvej rovnice po členoch.

Treba si uvedomiť, že by to bolo naopak – odpočítajte prvú od druhej rovnice, nič to nemení.

Nájdenú hodnotu teraz dosadíme do jednej z rovníc systému, napríklad do prvej:

odpoveď: (3:2)

Poďme vyriešiť systém iným spôsobom. Zvážte koeficienty pre premennú.

14x - 9r \u003d 24;

7x – 2r \u003d 17.

Je zrejmé, že namiesto dvojice koeficientov (-9 a -3) potrebujeme získať 18 a -18.

Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu (-2), druhú rovnicu vynásobte 9:

Pridávame rovnice po členoch a nájdeme hodnoty premenných:

Teraz dosadíme nájdenú hodnotu x do jednej z rovníc systému, napríklad do prvej:

odpoveď: (3:2)

Druhá metóda je o niečo racionálnejšia ako prvá, pretože sčítanie je jednoduchšie a príjemnejšie ako odčítanie. Pri riešení systémov majú najčastejšie tendenciu sčítať a násobiť, ako odčítať a deliť.
Príklad 5

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Toto je príklad na samostatné riešenie (odpoveď na konci prednášky).
Príklad 6

Vyriešte sústavu rovníc

rozhodnutie. Systém nemá riešenia, pretože dve rovnice systému nemôžu byť splnené súčasne (z prvej rovnice
a od druhej

Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.
Príklad 7

vyriešiť sústavu rovníc

rozhodnutie. Systém má nekonečne veľa riešení, keďže druhá rovnica sa získa z prvej vynásobením 2 (t.j. v skutočnosti existuje len jedna rovnica s dvoma neznámymi).

Odpoveď: Nekonečne veľa riešení.
III. Riešenie sústavy pomocou matíc.

Determinant tohto systému je determinant zložený z koeficientov neznámych. Tento determinant

Prijaté sústavy rovníc široké uplatnenie v hospodársky priemysel v matematickom modelovaní rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických ciest (problém dopravy) alebo rozmiestnenia zariadení.

Systémy rovníc sa využívajú nielen v oblasti matematiky, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Sústava lineárnych rovníc je označenie pre dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice vynesením jej grafu bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešením polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Najjednoduchšie sú príklady sústav lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Vyriešte sústavu rovníc - to znamená nájsť také hodnoty (x, y), pri ktorých sa systém zmení na skutočnú rovnosť, alebo ju ustanoviť vhodné hodnoty x a y neexistujú.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako bodové súradnice, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak majú systémy jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom „rovná sa“ hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém nie je homogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Tvárou v tvár systémom školáci predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľké množstvo.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Neexistuje žiadny všeobecný analytický spôsob riešenia takýchto systémov, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafická a maticová metóda, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy aplikácie konkrétnej metódy.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc 7. ročníka všeobecnovzdelávacieho školského programu je pomerne jednoduché a je veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc metódou Gaussa a Cramera sa podrobnejšie študuje v prvých kurzoch vysokých škôl.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej prostredníctvom druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice a potom sa zredukuje na jednu premennú formu. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme príklad sústavy lineárnych rovníc 7. triedy substitučnou metódou:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . rozhodnutie tento príklad nespôsobuje ťažkosti a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola prijatých hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej v zmysle druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, substitučné riešenie je tiež nepraktické.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešenia sústav metódou sčítania, sčítania po členoch a násobení rovníc o rôzne čísla. Konečný cieľ matematické operácie je rovnica s jednou premennou.

Pre aplikácie túto metódu chce to prax a pozorovanie. Riešiť sústavu lineárnych rovníc metódou sčítania s počtom premenných 3 a viac nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je užitočné, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné čísla.

Algoritmus akcie riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice nejakým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie sa jeden z koeficientov premennej musí rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Metóda riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém potrebuje nájsť riešenie pre nie viac ako dve rovnice, počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši vzhľadom na zadanú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Z príkladu je vidieť, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardnú štvorcovú trojčlenku. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú multiplikátory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menej ako nula, potom je len jedno riešenie: x= -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre systémy s 3 rovnicami. Metóda je stavať na súradnicová os grafy každej rovnice zahrnutej v systéme. Súradnice priesečníkov kriviek a budú spoločné riešenie systémov.

Grafická metóda má množstvo odtieňov. Zvážte niekoľko príkladov riešenia systémov lineárnych rovníc vizuálnym spôsobom.

Ako je zrejmé z príkladu, pre každý riadok boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

V nasledujúcom príklade je potrebné nájsť grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, sústava nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné povedať, či má systém riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrix a jeho odrody

Matice slúžia na stručný zápis sústavy lineárnych rovníc. Tabuľka sa nazýva matica. zvláštny druh naplnené číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Matica - vektor je matica jedného stĺpca s nekonečnom možné číslo linky. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a iných nulových prvkov sa nazýva identita.

Inverzná matica je taká matica, ktorou sa po vynásobení pôvodná zmení na jednotkovú, takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre transformáciu sústavy rovníc na maticu

Pri sústavách rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako čísla matice, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa nazýva nenulový, ak sa aspoň jeden prvok v riadku nerovná nule. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad prvý, koeficient neznámej y - iba do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je pomerne jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| - maticový determinant. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva na dva, je len potrebné prvky navzájom diagonálne vynásobiť. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že musíte vziať jeden prvok z každého riadku a každého stĺpca, aby sa čísla stĺpcov a riadkov prvkov v produkte neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne zápisy pri riešení sústav s veľká kvantita premenné a rovnice.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie sústav Gaussovou metódou

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešenia systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na hľadanie systémové premenné s množstvom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná substitučným a algebraickým riešeniam sčítania, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa Gaussovo riešenie používa pre sústavy 3 a 4 rovníc. Účelom metódy je priviesť systém do tvaru obráteného lichobežníka. Algebraickými transformáciami a substitúciami sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi a 3 a 4 - s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad gaussovského riešenia opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Riešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre žiakov ťažko pochopiteľná stredná škola, ale je jedným z najviac zaujímavé spôsoby rozvíjať vynaliezavosť detí zaradených do nadstavbového študijného programu na hodinách matematiky a fyziky.

Pre uľahčenie zaznamenávania výpočtov je obvyklé robiť nasledovné:

Koeficienty rovníc a voľné členy sa zapisujú vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej strany. Rímske číslice označujú počet rovníc v sústave.

Najprv si zapíšu maticu, s ktorou majú pracovať, potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica sa zapíše za znak „šípky“ a pokračuje vo vykonávaní potrebných algebraických operácií, kým sa nedosiahne výsledok.

V dôsledku toho by sa mala získať matica, v ktorej je jedna z uhlopriečok 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednu formu. Nesmieme zabudnúť na výpočty s číslami oboch strán rovnice.

Tento zápis je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatná aplikácia akéhokoľvek spôsobu riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy sa používajú. Niektoré spôsoby hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na účely učenia.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy a metódy sčítania.

Program nielen dáva odpoveď na problém, ale aj vedie podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a adičnou metódou.

Tento program Môže byť užitočný pre študentov stredných škôl všeobecnovzdelávacie školy v príprave na kontrolná práca a skúškach, pri preverovaní vedomostí pred skúškou, rodičia ovládať riešenie mnohých úloh z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo to len chcete mať hotové čo najskôr? domáca úloha matematika alebo algebra? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Týmto spôsobom môžete viesť svoj vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.

Pravidlá pre zadávanie rovníc

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Pri zadávaní rovníc môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sú rovnice najskôr zjednodušené. Rovnice po zjednodušeniach musia byť lineárne, t.j. tvaru ax+by+c=0 s presnosťou poradia prvkov.
Napríklad: 6x+1 = 5(x+y)+2

V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj zlomkové čísla vo forme desatinných a obyčajných zlomkov.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
Celá a zlomková časť desatinné zlomky môžu byť oddelené bodkou alebo čiarkou.
Napríklad: 2,1n + 3,5m = 55

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Keď vstúpite číselný zlomokČitateľ je oddelený od menovateľa deliacim znamienkom: /
Časť celého čísla je oddelená od zlomku znakom ampersand: &

Príklady.
-1&2/3r + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Vyriešte sústavu rovníc

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

V prehliadači máte vypnutý JavaScript.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc substitučnou metódou:
1) vyjadriť jednu premennú z niektorej rovnice systému z hľadiska inej;
2) nahradiť výsledný výraz v inej rovnici systému namiesto tejto premennej;

$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Vyjadrime z prvej rovnice y až x: y = 7-3x. Dosadením výrazu 7-3x namiesto y do druhej rovnice dostaneme systém:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Poďme vyriešiť túto rovnicu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Šípka doprava -5x+14-6x=3 \Šípka doprava -11x=-11 \Šípka doprava x=1 $$

Dosadením čísla 1 namiesto x do rovnice y=7-3x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Šípka doprava y=4 $$

Dvojica (1;4) - riešenie sústavy

Nazývame sústavy rovníc v dvoch premenných, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Za ekvivalentné sa považujú aj systémy, ktoré nemajú riešenia.

Riešenie sústav lineárnych rovníc sčítaním

Zvážte iný spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc - metódu sčítania. Pri takomto riešení sústav, ako aj pri riešení substitučnou metódou prechádzame z danej sústavy do inej jemu ekvivalentnej sústavy, v ktorej jedna z rovníc obsahuje len jednu premennú.

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc metódou sčítania:
1) vynásobte rovnice systémového člena členmi, pričom vyberte faktory tak, aby sa koeficienty pre jednu z premenných stali opačné čísla;
2) pridajte člen po člene ľavú a pravú časť rovníc systému;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním členov po členoch ľavej a pravej časti rovníc dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x=33. Jednu z rovníc sústavy, napríklad prvú, nahraďme rovnicou 3x=33. Zoberme si systém
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

Z rovnice 3x=33 zistíme, že x=11. Dosadením tejto hodnoty x do rovnice \(x-3y=38 \) dostaneme rovnicu s premennou y: \(11-3y=38 \). Poďme vyriešiť túto rovnicu:
\(-3y=27 \šípka doprava y=-9 \)

Riešenie systému rovníc sme teda našli pridaním: \(x=11; y=-9 \) alebo \((11; -9) \)

Využijúc fakt, že v rovniciach sústavy sú koeficienty y opačné čísla, zredukovali sme jej riešenie na riešenie ekvivalentnej sústavy (sčítaním oboch častí každej z rovníc pôvodnej symme), v ktorej jedna rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a OGE testy online Hry, hádanky Grafické znázornenie funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných škôl v Rusku Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh