Mnoho ľudí si myslí, že exponenciálne nerovnosti sú niečo také zložité a nepochopiteľné. A že naučiť sa ich riešiť je takmer veľké umenie, ktorému sú schopní porozumieť len Vyvolení...
Úplný nezmysel! Exponenciálne nerovnosti sú jednoduché. A vždy sa dajú ľahko vyriešiť. No skoro vždy. :)
Dnes si túto tému rozoberieme široko-ďaleko. Táto lekcia bude veľmi užitočná pre tých, ktorí práve začínajú chápať túto časť školskej matematiky. Začnime jednoduchými úlohami a prejdime k zložitejším problémom. Dnes to nebude žiadna tvrdosť, no na vyriešenie väčšiny nerovností pri všemožnej kontrole a samostatnej práci postačí to, čo sa práve dočítate. A pri tejto skúške tiež.
Ako vždy, začnime definíciou. Exponenciálna nerovnosť je každá nerovnosť, ktorá obsahuje exponenciálnu funkciu. Inými slovami, vždy sa dá zredukovať na nerovnosť formy
\[((a)^(x)) \gt b\]
Kde úloha $b$ môže byť obyčajné číslo alebo možno niečo tvrdšie. Príklady? Áno prosím:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\end(zarovnať)\]
Myslím, že význam je jasný: existuje exponenciálna funkcia $((a)^(x))$, porovnáva sa s niečím a potom sa žiada nájsť $x$. Najmä v klinických prípadoch môžu namiesto premennej $x$ vložiť nejakú funkciu $f\left(x \right)$ a tým nerovnosť trochu skomplikovať. :)
Samozrejme, v niektorých prípadoch môže nerovnosť vyzerať vážnejšie. Napríklad:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Alebo aj toto:
Vo všeobecnosti môže byť zložitosť takýchto nerovností veľmi rôzna, ale nakoniec sa stále zvrhnú na jednoduchú konštrukciu $((a)^(x)) \gt b$. A s takýmto dizajnom sa nejako vysporiadame (najmä v klinických prípadoch, keď nás nič nenapadne, nám pomôžu logaritmy). Preto sa teraz naučíme, ako takéto jednoduché konštrukcie riešiť.
Riešenie najjednoduchších exponenciálnych nerovností
Pozrime sa na niečo veľmi jednoduché. Napríklad tu je:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Je zrejmé, že číslo napravo možno prepísať ako mocninu dvoch: $4=((2)^(2))$. Pôvodná nerovnosť je teda prepísaná do veľmi pohodlnej formy:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
A teraz už ruky svrbia, aby „preškrtli“ dvojky, stojace v základoch stupňov, aby dostali odpoveď $x \gt 2$. Ale skôr, ako niečo prečiarkneme, spomeňme si na mocniny dvoch:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Ako vidíte, čím väčšie číslo v exponente, tým väčšie je výstupné číslo. "Ďakujem, Cap!" zvolá jeden zo študentov. Deje sa to inak? Žiaľ, stáva sa to. Napríklad:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ vpravo))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Aj tu je všetko logické: čím väčší je stupeň, tým viackrát sa číslo 0,5 vynásobí samo sebou (to znamená, že sa rozdelí na polovicu). Výsledná postupnosť čísel sa teda znižuje a rozdiel medzi prvou a druhou postupnosťou je iba v základe:
- Ak základňa stupňa $a \gt 1$, potom ako rastie exponent $n$, bude rásť aj číslo $((a)^(n))$;
- Naopak, ak $0 \lt a \lt 1$, potom ako bude exponent $n$ narastať, číslo $((a)^(n))$ bude klesať.
Zhrnutím týchto faktov dostaneme najdôležitejšie tvrdenie, na ktorom je založené celé riešenie exponenciálnych nerovností:
Ak $a \gt 1$, potom nerovnosť $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentná nerovnosti $x \gt n$. Ak $0 \lt a \lt 1$, potom nerovnosť $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentná nerovnosti $x \lt n$.
Inými slovami, ak je základňa väčšia ako jedna, môžete ju jednoducho odstrániť - znak nerovnosti sa nezmení. A ak je základňa menšia ako jedna, môže sa tiež odstrániť, ale bude sa musieť zmeniť aj znak nerovnosti.
Všimnite si, že sme nezohľadnili možnosti $a=1$ a $a\le 0$. Pretože v týchto prípadoch existuje neistota. Predpokladajme, ako vyriešiť nerovnosť v tvare $((1)^(x)) \gt 3$? Jednotka akejkoľvek mocnine opäť dá jednotku - nikdy nedostaneme trojku alebo viac. Tie. neexistujú žiadne riešenia.
S negatívnymi bázami je to ešte zaujímavejšie. Zvážte napríklad nasledujúcu nerovnosť:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
Na prvý pohľad je všetko jednoduché:
správne? Ale nie! Stačí nahradiť pár párnymi a pár nepárnymi číslami namiesto $x$, aby ste sa uistili, že riešenie je nesprávne. Pozri sa:
\[\začiatok(zarovnanie) & x=4\šípka doprava ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\šípka doprava ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\šípka doprava ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\šípka doprava ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(zarovnať)\]
Ako vidíte, znamenia sa striedajú. Ale stále existujú zlomkové stupne a iný cín. Ako by ste napríklad prikázali počítať $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (mínus dva odmocnené zo siedmich)? V žiadnom prípade!
Preto pre istotu predpokladáme, že vo všetkých exponenciálnych nerovnostiach (a mimochodom aj v rovniciach) $1\ne a \gt 0$. A potom sa všetko vyrieši veľmi jednoducho:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\šípka doprava \vľavo[ \začiatok(zarovnanie) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \vpravo), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]
Vo všeobecnosti si ešte raz zapamätajte hlavné pravidlo: ak je základ v exponenciálnej rovnici väčší ako jedna, môžete ho jednoducho odstrániť; a ak je základňa menšia ako jedna, môže sa tiež odstrániť, ale tým sa zmení znamienko nerovnosti.
Príklady riešení
Zvážte niekoľko jednoduchých exponenciálnych nerovností:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(zarovnať)\]
Primárna úloha je vo všetkých prípadoch rovnaká: zmenšiť nerovnosti na najjednoduchší tvar $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. To teraz urobíme s každou nerovnicou a zároveň si zopakujeme vlastnosti mocnín a exponenciálnej funkcie. Tak, poďme!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Čo sa tu dá robiť? No a naľavo už máme demonštratívny výraz – netreba nič meniť. Ale napravo je nejaké svinstvo: zlomok a dokonca aj koreň v menovateli!
Pamätajte však na pravidlá pre prácu so zlomkami a mocninami:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(zarovnať)\]
Čo to znamená? Po prvé, zlomku sa môžeme ľahko zbaviť tak, že ho zmeníme na záporný exponent. A po druhé, keďže menovateľom je koreň, bolo by pekné previesť ho na stupeň – tentoraz so zlomkovým exponentom.
Aplikujme tieto akcie postupne na pravú stranu nerovnosti a uvidíme, čo sa stane:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac) 1)(3))) \vpravo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Nezabudnite, že pri zvýšení stupňa na mocninu sa exponenty týchto stupňov sčítajú. A vôbec, pri práci s exponenciálnymi rovnicami a nerovnicami je absolútne nevyhnutné poznať aspoň tie najjednoduchšie pravidlá pre prácu s mocninami:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(zarovnať)\]
V skutočnosti sme aplikovali posledné pravidlo. Preto sa naša pôvodná nerovnosť prepíše takto:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\šípka doprava ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Teraz sa zbavíme dvojky na základni. Keďže 2 > 1, znamienko nerovnosti zostáva rovnaké:
\[\začiatok(zarovnanie) & x-1\le -\frac(1)(3)\šípka doprava x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
To je celé riešenie! Hlavná ťažkosť vôbec nie je v exponenciálnej funkcii, ale v kompetentnej transformácii pôvodného výrazu: musíte ho opatrne a čo najrýchlejšie uviesť do jeho najjednoduchšej podoby.
Zvážte druhú nerovnosť:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Dobre dobre. Tu čakáme na desatinné zlomky. Ako som už mnohokrát povedal, v akýchkoľvek výrazoch s mocninami by ste sa mali zbaviť desatinných zlomkov - často je to jediný spôsob, ako vidieť rýchle a jednoduché riešenie. Tu je to, čoho sa zbavíme:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ vpravo))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\šípka doprava ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(zarovnať)\]
Pred nami je opäť najjednoduchšia nerovnica a aj so základom 1/10, t.j. menej ako jeden. No, odstránime základy a súčasne zmeníme znamienko z „menej“ na „väčšie“ a dostaneme:
\[\začiatok(zarovnanie) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(zarovnať)\]
Dostali sme konečnú odpoveď: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Upozorňujeme, že odpoveď je presne množina a v žiadnom prípade nejde o konštrukciu tvaru $x \lt -1$. Pretože formálne takáto konštrukcia vôbec nie je množina, ale nerovnosť vzhľadom na premennú $x$. Áno, je to veľmi jednoduché, ale nie je to odpoveď!
Dôležitá poznámka. Táto nerovnosť by sa dala vyriešiť aj inak – zmenšením oboch častí na mocninu so základňou väčšou ako jedna. Pozri sa:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\šípka doprava ((\vľavo(((10)^(-1)) \vpravo))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Po takejto transformácii dostaneme opäť exponenciálnu nerovnosť, ale so základom 10 > 1. A to znamená, že desiatku môžete jednoducho prečiarknuť - znamienko nerovnosti sa nezmení. Dostaneme:
\[\začiatok(zarovnanie) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(zarovnať)\]
Ako vidíte, odpoveď je úplne rovnaká. Zároveň sme sa ušetrili od potreby meniť označenie a vo všeobecnosti si tam zapamätať nejaké pravidlá. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Nenechajte sa tým však vystrašiť. Čokoľvek je v indikátoroch, technológia riešenia samotnej nerovnosti zostáva rovnaká. Preto si najprv všimneme, že 16 = 2 4 . Prepíšme pôvodnú nerovnosť berúc do úvahy túto skutočnosť:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Hurá! Máme obvyklú štvorcovú nerovnosť! Znamienko sa nikde nezmenilo, keďže základom je dvojka - číslo väčšie ako jedna.
Funkcia nuluje na číselnej osi
Usporiadame znamienka funkcie $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - samozrejme, jej graf bude parabola s vetvami nahor, takže tam budú „plusy “ po stranách. Zaujíma nás oblasť, kde je funkcia menšia ako nula, t.j. $x\in \left(2;5 \right)$ je odpoveďou na pôvodný problém.
Nakoniec zvážte ďalšiu nerovnosť:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Opäť vidíme exponenciálnu funkciu s desatinným zlomkom v základe. Preveďme tento zlomok na bežný zlomok:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2)))=((\vľavo(((5)^(-1)) \vpravo))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
V tomto prípade sme využili vyššie uvedenú poznámku - znížili sme základňu na číslo 5\u003e 1, aby sme zjednodušili naše ďalšie rozhodovanie. Urobme to isté s pravou stranou:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Prepíšme pôvodnú nerovnosť, berúc do úvahy obe transformácie:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Šípka doprava ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \vpravo)))\ge ((5)^(-2))\]
Základy na oboch stranách sú rovnaké a väčšie ako jedna. Napravo a naľavo nie sú žiadne ďalšie výrazy, takže len „preškrtneme“ päťky a dostaneme veľmi jednoduchý výraz:
\[\začiatok(zarovnanie) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Tu si treba dávať pozor. Mnohí študenti radi jednoducho zoberú druhú odmocninu oboch strán nerovnosti a napíšu niečo ako $x\le 1\Šípka doprava x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nikdy by ste to nemali robiť, pretože odmocninou presného štvorca je modul a v žiadnom prípade nie pôvodná premenná:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\vpravo|\]
Práca s modulmi však nie je práve najpríjemnejšia, však? Takže nebudeme pracovať. Namiesto toho jednoducho presunieme všetky členy doľava a vyriešime obvyklú nerovnosť pomocou intervalovej metódy:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) = -1; \\\end(zarovnať)$
Získané body opäť označíme na číselnej osi a pozrieme sa na znamienka:
Poznámka: bodky sú tieňované. Keďže sme riešili neprísnu nerovnosť, všetky body na grafe sú tieňované. Preto odpoveď bude: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nie je interval, ale segment.
Vo všeobecnosti by som rád poznamenal, že v exponenciálnych nerovnostiach nie je nič zložité. Význam všetkých transformácií, ktoré sme dnes vykonali, sa scvrkáva na jednoduchý algoritmus:
- Nájdite základňu, na ktorú znížime všetky stupne;
- Opatrne vykonajte transformácie, aby ste dostali nerovnosť v tvare $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Samozrejme, namiesto premenných $x$ a $n$ môžu existovať oveľa zložitejšie funkcie, ale to nič nemení na význame;
- Prečiarknite základy stupňov. V tomto prípade sa znamienko nerovnosti môže zmeniť, ak základ $a \lt 1$.
V skutočnosti ide o univerzálny algoritmus na riešenie všetkých takýchto nerovností. A všetko ostatné, čo vám na túto tému povedia, sú len konkrétne triky a triky na zjednodušenie a urýchlenie premeny. Tu je jeden z tých trikov, o ktorých si teraz povieme. :)
racionalizačná metóda
Zvážte ďalšiu dávku nerovností:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
No, čo je na nich také zvláštne? Sú tiež ľahké. Aj keď, prestaň! Je pí povýšené na silu? Aký nezmysel?
A ako zvýšiť číslo $2\sqrt(3)-3$ na mocninu? Alebo $3-2\sqrt(2)$? Zostavovatelia problémov očividne vypili priveľa „Hlohu“ predtým, než si sadli do práce. :)
V skutočnosti na týchto úlohách nie je nič zlé. Dovoľte mi pripomenúť: exponenciálna funkcia je výraz v tvare $((a)^(x))$, kde základ $a$ je ľubovoľné kladné číslo, okrem jedného. Číslo π je kladné - to už vieme. Čísla $2\sqrt(3)-3$ a $3-2\sqrt(2)$ sú tiež kladné - to je ľahké zistiť, ak ich porovnáme s nulou.
Ukazuje sa, že všetky tieto „strašné“ nerovnosti sa nelíšia od jednoduchých, o ktorých sme hovorili vyššie? A robia to rovnako? Áno, úplne správne. Na ich príklade by som sa však rád zamyslel nad jedným trikom, ktorý ušetrí veľa času pri samostatnej práci a skúškach. Povieme si o metóde racionalizácie. Takže pozor:
Akákoľvek exponenciálna nerovnosť v tvare $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentná nerovnosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ vpravo) \gt 0 $.
To je celá metóda :) Mysleli ste si, že bude nejaká ďalšia hra? Nič také! Ale tento jednoduchý fakt, napísaný doslova v jednom riadku, nám výrazne zjednoduší prácu. Pozri sa:
\[\begin(matica) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matica)\]
Tu už nie sú žiadne exponenciálne funkcie! A nemusíte si pamätať, či sa znamenie mení alebo nie. Ale vyvstáva nový problém: čo robiť s tou posratou násobilkou \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nevieme, aká je presná hodnota pí. Zdá sa však, že kapitán naznačuje zrejmé:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\približne 3,14... \gt 3\šípka doprava \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
Vo všeobecnosti nás presná hodnota π veľmi netrápi – dôležité je len to, aby sme pochopili, že v každom prípade $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. je kladná konštanta a môžeme ňou rozdeliť obe strany nerovnosti:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Ako vidíte, v určitom bode sme museli deliť mínus jedna a znamienko nerovnosti sa zmenilo. Na konci som rozšíril štvorcovú trojčlenku podľa Vietovej vety - je zrejmé, že korene sa rovnajú $((x)_(1))=5$ a $((x)_(2))=- 1 $. Potom sa všetko rieši klasickou metódou intervalov:
Nerovnosť riešime metódou intervalov Všetky body sú prepichnuté, pretože pôvodná nerovnosť je prísna. Nás zaujíma oblasť so zápornými hodnotami, takže odpoveď je $x\in \left(-1;5 \right)$. To je riešenie. :)
Prejdime k ďalšej úlohe:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Všetko je tu jednoduché, pretože vpravo je jednotka. A pamätáme si, že jednotka je akékoľvek číslo umocnené na nulu. Aj keď je toto číslo iracionálnym výrazom, stojacim na základni vľavo:
\[\začiatok(zarovnanie) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\end(zarovnať)\]
Poďme si teda racionalizovať:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Zostáva len zaoberať sa znakmi. Násobiteľ $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ neobsahuje premennú $x$ - je to len konštanta a musíme zistiť jej znamienko. Za týmto účelom si všimnite nasledovné:
\[\začiatok(matica) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \vpravo)=0 \\\koniec (matica)\]
Ukazuje sa, že druhý faktor nie je len konštanta, ale negatívna konštanta! A pri jej delení sa znamienko pôvodnej nerovnosti zmení na opak:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Teraz je všetko celkom zrejmé. Korene štvorcovej trojčlenky vpravo sú $((x)_(1))=0$ a $((x)_(2))=2$. Označíme ich na číselnej osi a pozrieme sa na znamienka funkcie $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Prípad, keď nás zaujímajú laterálne intervaly Zaujímajú nás intervaly označené znamienkom plus. Zostáva len napísať odpoveď:
Prejdime k ďalšiemu príkladu:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ vpravo))^(16-x)))\]
Tu je všetko celkom zrejmé: základy sú mocniny rovnakého čísla. Preto všetko napíšem stručne:
\[\begin(matica) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matica)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vľavo(16-x\vpravo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Ako vidíte, v procese transformácií sme museli násobiť záporným číslom, takže sa zmenilo znamienko nerovnosti. Na úplný záver som opäť aplikoval Vietovu vetu na rozklad štvorcového trojčlenu. V dôsledku toho bude odpoveď nasledovná: $x\in \left(-8;4 \right)$ - tí, ktorí si to želajú, si to môžu overiť nakreslením číselnej osi, vyznačením bodov a spočítaním znamienok. Medzitým prejdeme k poslednej nerovnosti z našej „množiny“:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Ako vidíte, základom je opäť iracionálne číslo a jednotka je opäť vpravo. Preto prepíšeme našu exponenciálnu nerovnosť takto:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ vpravo))^(0))\]
Poďme si to racionalizovať:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Je však celkom zrejmé, že $1-\sqrt(2) \lt 0$, keďže $\sqrt(2)\cca 1,4... \gt 1$. Druhým faktorom je preto opäť záporná konštanta, ktorou možno obe časti nerovnosti rozdeliť:
\[\začiatok(matica) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matica)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Zmeňte na inú základňu
Samostatným problémom pri riešení exponenciálnych nerovností je hľadanie „správneho“ základu. Žiaľ, pri prvom pohľade na úlohu ani zďaleka nie je vždy zrejmé, z čoho vychádzať a čo robiť ako mieru tohto základu.
Ale nebojte sa: neexistujú tu žiadne kúzla a „tajné“ technológie. V matematike sa každá zručnosť, ktorá sa nedá algoritmizovať, dá ľahko rozvinúť praxou. Ale na to budete musieť vyriešiť problémy rôznych úrovní zložitosti. Ide napríklad o:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ koniec(zarovnanie)\]
ťažké? desivé? Áno, je to jednoduchšie ako kura na asfalte! Vyskúšajme. Prvá nerovnosť:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
No, myslím, že tu je všetko jasné:
Prepíšeme pôvodnú nerovnosť a všetko zredukujeme na základnú „dvojku“:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\šípka doprava \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Áno, áno, pochopili ste správne: práve som použil vyššie opísanú racionalizačnú metódu. Teraz musíme pracovať opatrne: dostali sme zlomkovo-racionálnu nerovnosť (toto je tá, ktorá má v menovateli premennú), takže predtým, ako niečo prirovnáme k nule, musíme všetko zredukovať na spoločného menovateľa a zbaviť sa konštantného faktora. .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Teraz použijeme štandardnú intervalovú metódu. Nuly v čitateli: $x=\pm 4$. Menovateľ sa dostane na nulu iba vtedy, keď $x=0$. Celkovo sú na číselnej osi vyznačené tri body (všetky body sú vyrazené, pretože znak nerovnosti je prísny). Dostaneme:
Zložitejší prípad: tri korene Ako možno uhádnete, šrafovanie označuje intervaly, v ktorých výraz naľavo nadobúda záporné hodnoty. Preto do konečnej odpovede naraz prejdú dva intervaly:
Konce intervalov nie sú zahrnuté v odpovedi, pretože pôvodná nerovnosť bola prísna. Žiadna ďalšia validácia tejto odpovede sa nevyžaduje. V tomto ohľade sú exponenciálne nerovnosti oveľa jednoduchšie ako logaritmické: žiadne DPV, žiadne obmedzenia atď.
Prejdime k ďalšej úlohe:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Ani tu nie sú žiadne problémy, keďže už vieme, že $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, takže celá nerovnosť sa dá prepísať takto:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\šípka doprava ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\vľavo(-2\vpravo)\vpravo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Poznámka: v treťom riadku som sa rozhodol nestrácať čas maličkosťami a okamžite všetko vydeliť (−2). Minul išiel do prvej zátvorky (teraz sú plusy všade) a dvojka sa zmenšila konštantným multiplikátorom. To je presne to, čo by ste mali robiť pri skutočných výpočtoch pre samostatnú a kontrolnú prácu - nemusíte každú akciu a transformáciu maľovať priamo.
Ďalej prichádza na rad známa metóda intervalov. Nuly v čitateli: ale nie sú žiadne. Pretože diskriminant bude negatívny. Menovateľ je zasa nastavený na nulu iba vtedy, keď $x=0$ — rovnako ako naposledy. Je jasné, že zlomok bude mať kladné hodnoty napravo od $x=0$ a záporné hodnoty naľavo. Keďže nás zaujímajú iba záporné hodnoty, konečná odpoveď je $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
A čo by sa malo robiť s desatinnými zlomkami v exponenciálnych nerovnostiach? Správne: zbavte sa ich premenou na obyčajné. Tu prekladáme:
\[\začiatok(zarovnanie) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\šípka doprava ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\šípka doprava ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \vpravo))^(x)). \\\end(zarovnať)\]
No, čo sme dostali v základoch exponenciálnych funkcií? A dostali sme dve vzájomne recipročné čísla:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Šípka doprava ((\left(\frac(25)(4) \ vpravo))^(x))=((\vľavo(((\vľavo(\frac(4)(25) \vpravo))^(-1)) \vpravo))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Pôvodnú nerovnosť teda možno prepísať takto:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(zarovnať)\]
Samozrejme, pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich ukazovatele sčítavajú, čo sa stalo v druhom riadku. Okrem toho sme jednotku znázornili na pravej strane, tiež ako mocnosť v základni 4/25. Zostáva len racionalizovať:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Všimnite si, že $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, t.j. druhý faktor je záporná konštanta a po jej delení sa znamienko nerovnosti zmení:
\[\začiatok(zarovnanie) & x+1-0\le 0\šípka doprava x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Na záver posledná nerovnosť zo súčasnej „množiny“:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
V zásade je tu aj myšlienka riešenia jasná: všetky exponenciálne funkcie, ktoré tvoria nerovnosť, musia byť znížené na základ "3". Ale na to musíte trochu pohrať s koreňmi a stupňami:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(zarovnať)\]
Vzhľadom na tieto skutočnosti možno pôvodnú nerovnosť prepísať takto:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \vpravo))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(zarovnať)\]
Venujte pozornosť 2. a 3. riadku výpočtov: predtým, ako urobíte niečo s nerovnosťou, nezabudnite to uviesť do tvaru, o ktorom sme hovorili od samého začiatku lekcie: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Pokiaľ máte ľavé alebo pravé ľavé multiplikátory, extra konštanty atď., nemožno vykonať racionalizáciu a „prečiarknutie“ pozemkov! Nespočetné množstvo úloh bolo vykonaných nesprávne kvôli nepochopeniu tohto jednoduchého faktu. Sám tento problém neustále pozorujem u svojich študentov, keď práve začíname analyzovať exponenciálne a logaritmické nerovnosti.
Ale späť k našej úlohe. Skúsme sa tentoraz zaobísť bez racionalizácie. Pamätajte: základňa stupňa je väčšia ako jedna, takže trojky možno jednoducho prečiarknuť - znamienko nerovnosti sa nezmení. Dostaneme:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(zarovnať)\]
To je všetko. Konečná odpoveď: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Zvýraznenie stabilného výrazu a nahradenie premennej
Na záver navrhujem vyriešiť ešte štyri exponenciálne nerovnosti, ktoré sú už pre nepripravených študentov dosť náročné. Aby ste sa s nimi vyrovnali, musíte si zapamätať pravidlá pre prácu s titulmi. Najmä vyňatie spoločných faktorov zo zátvoriek.
Najdôležitejšie je však naučiť sa porozumieť: čo presne môže byť ohraničené. Takýto výraz sa nazýva stabilný – možno ho označiť novou premennou a zbaviť sa tak exponenciálnej funkcie. Poďme sa teda pozrieť na úlohy:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Začnime úplne prvým riadkom. Napíšme túto nerovnosť samostatne:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Všimnite si, že $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, takže pravá strana môže prepísať:
Všimnite si, že neexistujú žiadne iné exponenciálne funkcie okrem $((5)^(x+1))$ v nerovnosti. A vo všeobecnosti sa premenná $x$ nikde inde nevyskytuje, preto si predstavme novú premennú: $((5)^(x+1))=t$. Získame nasledujúcu konštrukciu:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(zarovnať)\]
Vrátime sa k pôvodnej premennej ($t=((5)^(x+1))$), a zároveň si zapamätáme, že 1=5 0 . Máme:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(zarovnať)\]
To je celé riešenie! Odpoveď: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Prejdime k druhej nerovnosti:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Tu je všetko po starom. Všimnite si, že $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Potom môže byť ľavá strana prepísaná:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \vpravo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Šípka doprava ((3)^(x))\ge 9\Šípka doprava ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Šípka doprava x\v \ľavo[ 2;+\infty \vpravo). \\\end(zarovnať)\]
Približne takto potrebujete vypracovať rozhodnutie o skutočnej kontrole a samostatnej práci.
No, skúsme niečo ťažšie. Napríklad tu je nerovnosť:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Aký je tu problém? Po prvé, základy exponenciálnych funkcií vľavo sú rôzne: 5 a 25. Avšak 25 \u003d 5 2, takže prvý člen možno transformovať:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Ako vidíte, najprv sme všetko priviedli na rovnaký základ a potom sme si všimli, že prvý člen sa ľahko zredukuje na druhý - stačí len rozšíriť exponent. Teraz môžeme bezpečne zaviesť novú premennú: $((5)^(2x+2))=t$ a celá nerovnosť bude prepísaná takto:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(zarovnať)\]
Opäť žiadny problém! Konečná odpoveď: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Prejdime ku konečnej nerovnosti v dnešnej lekcii:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Prvá vec, ktorú by ste mali venovať pozornosť, je, samozrejme, desatinný zlomok v základe prvého stupňa. Je potrebné sa ho zbaviť a zároveň priviesť všetky exponenciálne funkcie na rovnakú základňu - číslo "2":
\[\začiatok(zarovnanie) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\šípka doprava ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\vľavo(((2)^(-1)) \vpravo))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\šípka doprava ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Skvelé, urobili sme prvý krok - všetko viedlo k rovnakému základu. Teraz musíme zdôrazniť stabilný výraz. Všimnite si, že $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ak zavedieme novú premennú $((2)^(4x+6))=t$, pôvodnú nerovnosť možno prepísať takto:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(zarovnať)\]
Prirodzene môže vyvstať otázka: ako sme zistili, že 256 = 2 8 ? Tu bohužiaľ stačí poznať mocniny dvojky (a zároveň aj mocniny trojky a päťky). Alebo vydeľte 256 2 (môžete deliť, pretože 256 je párne číslo), kým nedostaneme výsledok. Bude to vyzerať asi takto:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
To isté je s trojkou (čísla 9, 27, 81 a 243 sú jej mocniny) a so sedmičkou (tiež by bolo dobré si zapamätať čísla 49 a 343). Tých päť má tiež „krásne“ stupne, ktoré potrebujete vedieť:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & (5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(zarovnať)\]
Samozrejme, všetky tieto čísla, ak je to žiaduce, môžu byť obnovené v mysli, jednoducho ich postupným násobením medzi sebou. Keď však musíte vyriešiť niekoľko exponenciálnych nerovností a každá ďalšia je ťažšia ako predchádzajúca, potom posledná vec, na ktorú by ste chceli myslieť, sú mocniny niektorých čísel. A v tomto zmysle sú tieto úlohy zložitejšie ako „klasické“ nerovnice, ktoré sa riešia intervalovou metódou.
Riešenie väčšiny matematických úloh je nejakým spôsobom spojené s transformáciou číselných, algebraických alebo funkčných výrazov. Týka sa to najmä riešenia. Vo variantoch USE v matematike tento typ úloh zahŕňa najmä úlohu C3. Naučiť sa riešiť úlohy C3 je dôležité nielen pre úspešné zloženie skúšky, ale aj z toho dôvodu, že sa vám táto zručnosť bude hodiť pri štúdiu matematického kurzu na vysokej škole.
Pri plnení úloh C3 musíte riešiť rôzne typy rovníc a nerovníc. Medzi nimi sú racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, trigonometrické, obsahujúce moduly (absolútne hodnoty), ako aj kombinované. Tento článok pojednáva o hlavných typoch exponenciálnych rovníc a nerovníc, ako aj o rôznych metódach ich riešenia. Prečítajte si o riešení iných typov rovníc a nerovníc v nadpise "" v článkoch venovaných metódam riešenia úloh C3 z USE variantov v matematike.
Pred pristúpením k analýze konkrétnych exponenciálne rovnice a nerovnice, ako učiteľ matematiky vám navrhujem oprášiť nejaký teoretický materiál, ktorý budeme potrebovať.
Exponenciálna funkcia
Čo je to exponenciálna funkcia?
Funkcia zobrazenia r = a x, kde a> 0 a a≠ 1, tzv exponenciálna funkcia.
Hlavné vlastnosti exponenciálnej funkcie r = a x:
Graf exponenciálnej funkcie
Graf exponenciálnej funkcie je vystavovateľ:
Grafy exponenciálnych funkcií (exponentov)
Riešenie exponenciálnych rovníc
orientačné nazývané rovnice, v ktorých sa neznáma premenná nachádza iba v exponentoch akýchkoľvek mocnín.
Pre riešenia exponenciálne rovnice musíte poznať a vedieť používať nasledujúcu jednoduchú vetu:
Veta 1. exponenciálna rovnica a f(X) = a g(X) (kde a > 0, a≠ 1) je ekvivalentná rovnici f(X) = g(X).
Okrem toho je užitočné zapamätať si základné vzorce a akcie so stupňami:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Príklad 1 Vyriešte rovnicu:
Riešenie: použite vyššie uvedené vzorce a substitúciu:
Rovnica potom znie:
Diskriminant získanej kvadratickej rovnice je kladný:
Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}
To znamená, že táto rovnica má dva korene. Nájdeme ich:
Keď sa vrátime k substitúcii, dostaneme:
Druhá rovnica nemá korene, pretože exponenciálna funkcia je striktne kladná v celej oblasti definície. Vyriešme to druhé:
Berúc do úvahy to, čo bolo povedané vo vete 1, prejdeme k ekvivalentnej rovnici: X= 3. Toto bude odpoveď na úlohu.
odpoveď: X = 3.
Príklad 2 Vyriešte rovnicu:
Riešenie: rovnica nemá žiadne obmedzenia na oblasť prípustných hodnôt, pretože radikálny výraz má zmysel pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia r = 9 4 -X kladné a nerovnajúce sa nule).
Rovnicu riešime ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel násobenia a delenia mocnin:
Posledný prechod sa uskutočnil v súlade s vetou 1.
odpoveď:X= 6.
Príklad 3 Vyriešte rovnicu:
Riešenie: obe strany pôvodnej rovnice možno deliť 0,2 X. Tento prechod bude ekvivalentný, pretože tento výraz je väčší ako nula pre akúkoľvek hodnotu X(exponenciálna funkcia je na svojom doméne striktne kladná). Potom má rovnica tvar:
odpoveď: X = 0.
Príklad 4 Vyriešte rovnicu:
Riešenie: rovnicu zjednodušíme na elementárnu ekvivalentnými transformáciami pomocou pravidiel delenia a násobenia mocnin uvedených na začiatku článku:
Delenie oboch strán rovnice 4 X, ako v predchádzajúcom príklade, je ekvivalentná transformácia, pretože tento výraz sa pre žiadne hodnoty nerovná nule X.
odpoveď: X = 0.
Príklad 5 Vyriešte rovnicu:
Riešenie: funkciu r = 3X, stojaci na ľavej strane rovnice, sa zvyšuje. Funkcia r = —X-2/3, stojace na pravej strane rovnice, klesá. To znamená, že ak sa grafy týchto funkcií pretínajú, tak maximálne v jednom bode. V tomto prípade je ľahké uhádnuť, že grafy sa pretínajú v bode X= -1. Iné korene nebudú.
odpoveď: X = -1.
Príklad 6 Vyriešte rovnicu:
Riešenie: rovnicu zjednodušujeme ekvivalentnými transformáciami, pričom máme všade na pamäti, že exponenciálna funkcia je striktne väčšia ako nula pre akúkoľvek hodnotu X a použitím pravidiel pre výpočet súčinu a čiastkových mocnín uvedených na začiatku článku:
odpoveď: X = 2.
Riešenie exponenciálnych nerovností
orientačné nazývané nerovnice, v ktorých je neznáma premenná obsiahnutá len v exponentoch niektorých mocnín.
Pre riešenia exponenciálne nerovnosti vyžaduje sa znalosť nasledujúcej vety:
Veta 2. Ak a> 1, potom nerovnosť a f(X) > a g(X) je ekvivalentná nerovnici rovnakého významu: f(X) > g(X). Ak 0< a < 1, то показательное неравенство a f(X) > a g(X) sa rovná nerovnosti opačného významu: f(X) < g(X).
Príklad 7 Vyriešte nerovnosť:
Riešenie: predstavujú pôvodnú nerovnosť v tvare:
Vydeľte obe strany tejto nerovnosti 3 2 X, a (vzhľadom na pozitívnosť funkcie r= 3 2X) znak nerovnosti sa nezmení:
Použime náhradu:
Potom má nerovnosť tvar:
Takže riešením nerovnosti je interval:
prechodom na opačnú substitúciu dostaneme:
Ľavá nerovnosť sa vzhľadom na kladnosť exponenciálnej funkcie splní automaticky. Pomocou známej vlastnosti logaritmu prejdeme k ekvivalentnej nerovnosti:
Keďže základom stupňa je číslo väčšie ako jedna, ekvivalentom (podľa vety 2) bude prechod na nasledujúcu nerovnosť:
Tak sa konečne dostávame odpoveď:
Príklad 8 Vyriešte nerovnosť:
Riešenie: pomocou vlastností násobenia a delenia mocnin prepíšeme nerovnosť v tvare:
Predstavme si novú premennú:
Pri tejto substitúcii má nerovnosť podobu:
Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku číslom 7, dostaneme nasledujúcu ekvivalentnú nerovnosť:
Takže nerovnosť je splnená nasledujúcimi hodnotami premennej t:
Potom, keď sa vrátime k substitúcii, dostaneme:
Pretože základ stupňa je tu väčší ako jedna, je ekvivalentné (podľa vety 2) prejsť na nerovnosť:
Konečne sa dostávame odpoveď:
Príklad 9 Vyriešte nerovnosť:
Riešenie:
Obe strany nerovnosti delíme výrazom:
Je vždy väčšia ako nula (pretože exponenciálna funkcia je kladná), takže znamienko nerovnosti nie je potrebné meniť. Dostaneme:
t , ktoré sú v intervale:
Keď prejdeme na opačnú substitúciu, zistíme, že pôvodná nerovnosť sa rozdelí na dva prípady:
Prvá nerovnosť nemá riešenia kvôli kladnosti exponenciálnej funkcie. Vyriešme to druhé:
Príklad 10 Vyriešte nerovnosť:
Riešenie:
Vetvy paraboly r = 2X+2-X 2 smerujú nadol, preto je zhora ohraničená hodnotou, ktorú dosahuje na svojom vrchole:
Vetvy paraboly r = X 2 -2X+2, ktoré sú v ukazovateli, smerujú nahor, čo znamená, že je zdola obmedzené hodnotou, ktorú dosahuje v hornej časti:
Zároveň sa ukáže, že funkcia je ohraničená zdola r = 3 X 2 -2X+2 na pravej strane rovnice. Svoju najmenšiu hodnotu dosiahne v rovnakom bode ako parabola v indexe a táto hodnota sa rovná 3 1 = 3. Pôvodná nerovnosť teda môže byť pravdivá iba vtedy, ak funkcia naľavo a funkcia napravo prevezme hodnota , rovná 3 (priesečník rozsahov týchto funkcií je len toto číslo). Táto podmienka je splnená v jednom bode X = 1.
odpoveď: X= 1.
Aby ste sa naučili riešiť exponenciálne rovnice a nerovnice, ich riešenie treba neustále trénovať. V tejto neľahkej úlohe vám môžu pomôcť rôzne metodické príručky, učebnice základných úloh z matematiky, zbierky súťažných úloh, hodiny matematiky v škole, ale aj individuálne hodiny s profesionálnym lektorom. Úprimne vám želám úspech vo vašej príprave a skvelé výsledky na skúške.
Sergej Valerijevič
P.S. Vážení hostia! Do komentárov prosím nepíšte požiadavky na riešenie vašich rovníc. Bohužiaľ na to vôbec nemám čas. Takéto správy budú vymazané. Prečítajte si prosím článok. Možno v ňom nájdete odpovede na otázky, ktoré vám nedovolili vyriešiť svoju úlohu sami.
Exponenciálne rovnice a nerovnice sú tie rovnice a nerovnice, v ktorých je neznáma obsiahnutá v exponente.
Riešenie exponenciálnych rovníc často vedie k riešeniu rovnice a x \u003d a b, kde a > 0, a ≠ 1, x je neznáma. Táto rovnica má jeden koreň x \u003d b, pretože platí nasledujúca veta:
Veta. Ak a > 0, a ≠ 1 a a x 1 = a x 2, potom x 1 = x 2.
Zdôvodnime uvažované tvrdenie.
Predpokladajme, že nie je splnená rovnosť x 1 = x 2, t.j. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, potom exponenciálna funkcia y \u003d a x rastie, a preto nerovnosť a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. V oboch prípadoch sme dostali rozpor s podmienkou a x 1 = a x 2 .
Uvažujme o niekoľkých úlohách.
Vyriešte rovnicu 4 ∙ 2 x = 1.
Riešenie.
Rovnicu zapíšeme v tvare 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.
Odpoveď. x = -2.
Vyriešte rovnicu 2 3x ∙ 3 x = 576.
Riešenie.
Keďže 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, rovnica môže byť napísaná v tvare 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 alebo v tvare 24 x \u003d 24 2.
Odtiaľ dostaneme x = 2.
Odpoveď. x = 2.
Vyriešte rovnicu 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.
Riešenie.
Zatvorením spoločného faktora 3 x - 2 na ľavej strane dostaneme 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,
pričom 3 x - 2 = 1, t.j. x - 2 = 0, x = 2.
Odpoveď. x = 2.
Vyriešte rovnicu 3 x = 7 x.
Riešenie.
Keďže 7 x ≠ 0, rovnicu možno zapísať ako 3 x / 7 x = 1, teda (3/7) x = 1, x = 0.
Odpoveď. x = 0.
Vyriešte rovnicu 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.
Riešenie.
Nahradením 3 x \u003d a sa táto rovnica zredukuje na kvadratickú rovnicu a 2 - 4a - 45 \u003d 0.
Pri riešení tejto rovnice nájdeme jej korene: a 1 \u003d 9 a 2 \u003d -5, odkiaľ 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.
Rovnica 3 x \u003d 9 má koreň 2 a rovnica 3 x \u003d -5 nemá korene, pretože exponenciálna funkcia nemôže nadobúdať záporné hodnoty.
Odpoveď. x = 2.
Riešenie exponenciálnych nerovností často vedie k riešeniu nerovností a x > a b alebo a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Uvažujme o niektorých úlohách.
Vyriešte 3 x nerovnosť< 81.
Riešenie.
Nerovnosť zapíšeme v tvare 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, potom funkcia y \u003d 3 x rastie.
Preto pre x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Teda pre x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Odpoveď. X< 4.
Vyriešte nerovnosť 16 x +4 x - 2 > 0.
Riešenie.
Označme 4 x = t, potom dostaneme kvadratickú nerovnosť t2 + t - 2 > 0.
Táto nerovnosť platí pre t< -2 и при t > 1.
Keďže t = 4 x, dostaneme dve nerovnosti 4 x< -2, 4 х > 1.
Prvá nerovnosť nemá riešenie, pretože 4 x > 0 pre všetky x ∈ R.
Druhú nerovnosť zapíšeme v tvare 4 x > 4 0 , odkiaľ x > 0.
Odpoveď. x > 0.
Graficky vyriešte rovnicu (1/3) x = x - 2/3.
Riešenie.
1) Nakreslite grafy funkcií y \u003d (1/3) x a y \u003d x - 2/3.
2) Na základe nášho obrázku môžeme konštatovať, že grafy uvažovaných funkcií sa pretínajú v bode s os x ≈ 1. Verifikácia dokazuje, že
x \u003d 1 - koreň tejto rovnice:
(1/3) 1 = 1/3 a 1 - 2/3 = 1/3.
Inými slovami, našli sme jeden z koreňov rovnice. 
3) Nájdite iné korene alebo dokážte, že žiadne neexistujú. Funkcia (1/3) x klesá a funkcia y \u003d x - 2/3 rastie. Preto pre x > 1 sú hodnoty prvej funkcie menšie ako 1/3 a druhá je väčšia ako 1/3; pri x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 a x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Odpoveď. x = 1.
Všimnite si, že z riešenia tejto úlohy najmä vyplýva, že nerovnosť (1/3) x > x – 2/3 je splnená pre x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
