Čo sú obyčajné zlomky. Čo je zlomok čísla

Štúdium kráľovnej všetkých vied - matematiky, v určitom okamihu každý čelí zlomkom. Hoci tento koncept (ako samotné typy zlomkov resp matematické operácie s nimi) je celkom jednoduché, treba s ním zaobchádzať opatrne, pretože v skutočný život mimo školy to bude veľmi užitočné. Osviežme si teda naše znalosti o zlomkoch: čo to je, na čo to je, aké typy zlomkov existujú a ako vyrobiť rôzne aritmetické operácie.

Jej Veličenstvo zlomok: čo to je

Zlomky v matematike sú čísla, z ktorých každé pozostáva z jednej alebo viacerých častí jednotky. Takéto zlomky sa tiež nazývajú obyčajné alebo jednoduché. Spravidla sa píšu ako dve čísla, ktoré sú oddelené vodorovnou alebo lomenou čiarou, nazýva sa to „zlomok“. Napríklad: ½, ¾.

Najvyššie alebo prvé z týchto čísel je čitateľ (ukazuje, koľko zlomkov čísla sa vezme) a spodné alebo druhé z týchto čísel je menovateľ (ukazuje, na koľko častí je jednotka rozdelená).

Zlomková čiara v skutočnosti funguje ako deliaci znak. Napríklad 7:9=7/9

Tradične bežné zlomky menej ako jeden. Kým desatinné miesta môžu byť väčšie.

Na čo sú zlomky? Áno, na všetko, pretože v reálny svet nie všetky čísla sú celé čísla. Napríklad dve školáčky v kaviarni si kúpili spolu jednu výbornú čokoládovú tyčinku. Keď sa mali podeliť o dezert, stretli kamarátku a rozhodli sa dopriať si ju tiež. Teraz je však potrebné správne rozdeliť čokoládovú tyčinku vzhľadom na to, že pozostáva z 12 štvorcov.

Najprv si dievčatá chceli všetko rozdeliť rovným dielom a potom každá dostala štyri kúsky. Ale po premyslení sa rozhodli dopriať svojej priateľke nie 1/3, ale 1/4 čokolády. A keďže školáčky sa zlomky dobre neučili, nerátali s tým, že v takomto scenári by im vo výsledku zostalo 9 kusov, ktoré sú veľmi zle rozdelené na dva. Tento pomerne jednoduchý príklad ukazuje, aké dôležité je vedieť správne nájsť časť čísla. Ale v živote je takýchto prípadov oveľa viac.

Typy zlomkov: obyčajné a desatinné

Všetky matematické zlomky sú rozdelené na dve veľké číslice: obyčajné a desiatkové. Vlastnosti prvého z nich boli opísané v predchádzajúcom odseku, takže teraz stojí za to venovať pozornosť druhému.

Desatinné číslo je pozičný zápis zlomku čísla, ktorý je zafixovaný písmenom oddeleným čiarkou, bez pomlčky alebo lomky. Napríklad: 0,75, 0,5.

Desatinný zlomok je v skutočnosti identický s obyčajným, no jeho menovateľom je vždy jedna, za ktorou nasledujú nuly – odtiaľ pochádza aj jeho názov.

Číslo pred desatinnou čiarkou je celá časť a všetko za desatinnou čiarkou je zlomková časť. akýkoľvek jednoduchý zlomok možno previesť na desatinné číslo. Takže desatinné zlomky uvedené v predchádzajúcom príklade možno zapísať ako obyčajné: ¾ a ½.

Stojí za zmienku, že desatinné aj obyčajné zlomky môžu byť kladné aj záporné. Ak im predchádza znak „-“ daný zlomok záporné, ak "+" - potom kladné.

Podtypy obyčajných zlomkov

Existujú také typy jednoduchých zlomkov.

Poddruh desatinného zlomku

Na rozdiel od jednoduchého desatinného zlomku sa delí iba na 2 typy.

• Final - svoj názov dostal vďaka tomu, že za desatinnou čiarkou má obmedzený (konečný) počet číslic: 19,25.
• Nekonečný zlomok je číslo s nekonečným počtom číslic za desatinnou čiarkou. Napríklad pri delení 10 3 je výsledok nekonečný zlomok 3,333…

Sčítanie zlomkov

Vykonávanie rôznych aritmetických manipulácií so zlomkami je o niečo ťažšie ako s obyčajnými číslami. Ak sa však naučíte základné pravidlá, vyriešiť s nimi akýkoľvek príklad nebude ťažké.

Napríklad: 2/3+3/4. Najmenší spoločný násobok pre nich bude 12, preto je potrebné, aby toto číslo bolo v každom menovateli. Aby sme to dosiahli, vynásobíme čitateľa a menovateľa prvého zlomku 4, ukáže sa 8/12, to isté urobíme s druhým členom, ale vynásobíme iba 3 - 9/12. Teraz môžete jednoducho vyriešiť príklad: 8/12+9/12= 17/12. Výsledný zlomok je nesprávna hodnota, pretože čitateľ je väčší ako menovateľ. Môže a mal by sa previesť na správny zmiešaný vydelením 17:12 = 1 a 5/12.

Ak sa pridajú zmiešané frakcie, najprv sa akcie vykonajú s celými číslami a potom s zlomkovými.

Ak príklad obsahuje desatinný zlomok a obyčajný zlomok, je potrebné, aby sa oba stali jednoduchými, potom ich priveďte k rovnakému menovateľovi a pridajte ich. Napríklad 3,1+1/2. Číslo 3.1 možno zapísať ako zmiešaná frakcia 3 a 1/10 alebo ako nesprávne - 31/10. Spoločný menovateľ pojmov bude 10, takže musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa 1/2 5, vyjde vám 5/10. Potom si všetko ľahko vypočítate: 31/10+5/10=35/10. Získaný výsledok je nesprávny kontrahovateľný zlomok, uvedieme ho do normálnej formy, znížime ho o 5: 7/2 = 3 a 1/2 alebo desatinné číslo - 3,5.

Pri pridávaní 2 desatinných miest je dôležité, aby za desatinnou čiarkou bol rovnaký počet číslic. Ak to tak nie je, stačí pridať požadované množstvo nuly, pretože v desatinných zlomkoch sa to dá urobiť bezbolestne. Napríklad 3,5 + 3,005. Na vyriešenie tejto úlohy musíte k prvému číslu pridať 2 nuly a potom postupne pridať: 3,500 + 3,005 = 3,505.

Odčítanie zlomkov

Pri odčítaní zlomkov sa oplatí urobiť to isté ako pri sčítaní: zredukovať na spoločného menovateľa, odpočítať jeden čitateľ od druhého, ak je to potrebné, previesť výsledok na zmiešaný zlomok.

Napríklad: 16/20-5/10. Spoločný menovateľ bude 20. K tomuto menovateľovi musíte priviesť druhý zlomok, vynásobením oboch jeho častí číslom 2, dostanete 10/20. Teraz môžete vyriešiť príklad: 16/20-10/20= 6/20. Tento výsledok však platí pre redukovateľné zlomky, preto sa oplatí obe časti vydeliť 2 a výsledok je 3/10.

Násobenie zlomkov

Delenie a násobenie zlomkov - oveľa viac jednoduché kroky ako sčítanie a odčítanie. Faktom je, že pri plnení týchto úloh netreba hľadať spoločného menovateľa.

Ak chcete vynásobiť zlomky, stačí striedavo vynásobiť oba čitateľa spolu a potom oboch menovateľov. Znížte výsledný výsledok, ak má zlomok zníženú hodnotu.

Napríklad: 4/9x5/8. Po striedavom násobení je výsledok 4x5/9x8=20/72. Takýto zlomok možno zmenšiť o 4, takže konečná odpoveď v príklade je 5/18.

Ako deliť zlomky

Delenie zlomkov je tiež jednoduchá činnosť, v skutočnosti stále ide o ich násobenie. Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, musíte prevrátiť druhý a vynásobiť prvým.

Napríklad delenie zlomkov 5/19 a 5/7. Na vyriešenie príkladu je potrebné vymeniť menovateľa a čitateľa druhého zlomku a vynásobiť: 5/19x7/5=35/95. Výsledok môže byť znížený o 5 - ukáže sa 7/19.

Ak potrebujete deliť zlomok prvočíslom, technika je mierne odlišná. Spočiatku sa oplatí napísať toto číslo ako nesprávny zlomok a potom ho rozdeliť podľa rovnakej schémy. Napríklad 2/13:5 by sa malo zapísať ako 2/13:5/1. Teraz musíte otočiť 5/1 a vynásobiť výsledné zlomky: 2/13x1/5= 2/65.

Niekedy musíte rozdeliť zmiešané zlomky. Musíte sa s nimi vysporiadať, ako s celými číslami: premeniť ich na nesprávne zlomky, prehodiť deliteľa a všetko vynásobiť. Napríklad 8 ½: 3. Premena všetkého na nesprávne zlomky: 17/2: 3/1. Nasleduje preklopenie 3/1 a násobenie: 17/2x1/3= 17/6. Teraz by ste mali preložiť nesprávny zlomok na správny - 2 celé čísla a 5/6.

Takže keď ste zistili, čo sú zlomky a ako s nimi môžete vykonávať rôzne aritmetické operácie, musíte sa pokúsiť na to nezabudnúť. Koniec koncov, ľudia sú vždy viac naklonení rozdeliť niečo na časti ako pridať, takže to musíte vedieť urobiť správne.

Keď už hovoríme o matematike, nedá sa nezapamätať si zlomky. Ich štúdiu sa venuje veľa pozornosti a času. Spomeňte si, koľko príkladov ste museli vyriešiť, aby ste sa naučili určité pravidlá práce so zlomkami, ako ste si zapamätali a aplikovali hlavnú vlastnosť zlomku. Koľko nervov bolo vynaložených na hľadanie spoločného menovateľa, najmä ak v príkladoch boli viac ako dva pojmy!

Pripomeňme si, čo to je, a trochu si osviežme pamäť o základných informáciách a pravidlách práce so zlomkami.

Definícia zlomkov

Začnime tým najdôležitejším – definíciami. Zlomok je číslo, ktoré pozostáva z jednej alebo viacerých jednotiek. Zlomkové číslo sa zapisuje ako dve čísla oddelené vodorovnou čiarou alebo lomkou. V tomto prípade sa horný (alebo prvý) nazýva čitateľ a spodný (druhý) sa nazýva menovateľ.

Stojí za zmienku, že menovateľ ukazuje, na koľko častí je jednotka rozdelená, a čitateľ ukazuje počet akcií alebo odobratých častí. Zlomky, ak sú správne, sú často menšie ako jedna.

Teraz sa pozrime na vlastnosti týchto čísel a základné pravidlá, ktoré sa používajú pri práci s nimi. Ale predtým, ako analyzujeme niečo ako „základná vlastnosť racionálny zlomok Povedzme si o typoch zlomkov a ich vlastnostiach.

Čo sú zlomky

Existuje niekoľko typov takýchto čísel. V prvom rade sú to obyčajné a desiatkové. Prvými sú nami už naznačený typ záznamu pomocou vodorovnej alebo lomky. Druhý typ zlomkov sa označuje pomocou takzvaného pozičného zápisu, keď sa najprv uvádza celá časť čísla a potom za desatinnou čiarkou sa uvádza zlomková časť.

Tu stojí za zmienku, že v matematike sa rovnako používajú desatinné aj obyčajné zlomky. Hlavná vlastnosť zlomku platí len pre druhú možnosť. Okrem toho v obyčajných zlomkoch správne a nesprávne čísla. V prvom prípade je čitateľ vždy menší ako menovateľ. Všimnite si tiež, že takýto zlomok je menší ako jednotka. Naopak, v nesprávnom zlomku je čitateľ väčší ako menovateľ a sám je väčší ako jedna. V tomto prípade z neho možno extrahovať celé číslo. V tomto článku sa budeme zaoberať iba obyčajnými zlomkami.

Vlastnosti frakcie

Akýkoľvek jav, chemický, fyzikálny alebo matematický, má svoje vlastné charakteristiky a vlastnosti. Zlomkové čísla nie sú výnimkou. Majú jednu dôležitú vlastnosť, pomocou ktorej je možné na nich vykonávať určité operácie. Aká je hlavná vlastnosť zlomku? Pravidlo hovorí, že ak jeho čitateľa a menovateľa vynásobíme alebo vydelíme rovnakým racionálnym číslom, dostaneme nový zlomok, ktorého hodnota sa bude rovnať pôvodnej hodnote. To znamená, že vynásobením dvoch častí zlomkového čísla 3/6 2 dostaneme nový zlomok 6/12, pričom sa budú rovnať.

Na základe tejto vlastnosti môžete zmenšiť zlomky, ako aj vybrať spoločných menovateľov pre konkrétny pár čísel.

Operácie

Hoci sa nám zlomky zdajú zložitejšie, dokážu vykonávať aj základné matematické operácie, ako sú sčítanie a odčítanie, násobenie a delenie. Okrem toho existuje taká špecifická akcia, ako je zníženie frakcií. Prirodzene, každá z týchto akcií sa vykonáva podľa určitých pravidiel. Poznanie týchto zákonov uľahčuje prácu so zlomkami, robí ju ľahšou a zaujímavejšou. Preto ďalej zvážime základné pravidlá a algoritmus akcií pri práci s takýmito číslami.

Ale predtým, ako sa budeme baviť o takých matematických operáciách, ako je sčítanie a odčítanie, analyzujeme takú operáciu, ako je redukcia na spoločného menovateľa. Tu príde vhod znalosť toho, aká základná vlastnosť zlomku existuje.

Spoločný menovateľ

Ak chcete znížiť číslo na spoločného menovateľa, musíte najprv nájsť najmenší spoločný násobok dvoch menovateľov. T.j najmenšie číslo, ktorý je súčasne bezo zvyšku deliteľný oboma menovateľmi. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť LCM (najmenší spoločný násobok), je napísať do riadku pre jeden menovateľ, potom pre druhý a nájsť medzi nimi zodpovedajúce číslo. V prípade, že sa LCM nenájde, to znamená, že tieto čísla nemajú spoločný násobok, treba ich vynásobiť a výslednú hodnotu považovať za LCM.

Takže sme našli LCM, teraz musíme nájsť ďalší multiplikátor. Aby ste to dosiahli, musíte LCM striedavo rozdeliť na menovateľov zlomkov a zapísať výsledné číslo nad každým z nich. Potom vynásobte čitateľa a menovateľa výsledným dodatočným faktorom a výsledky zapíšte ako nový zlomok. Ak pochybujete, že číslo, ktoré ste dostali, sa rovná predchádzajúcemu, zapamätajte si hlavnú vlastnosť zlomku.

Doplnenie

Teraz prejdime priamo k matematickým operáciám na zlomkových číslach. Začnime tým najjednoduchším. Existuje niekoľko možností pridávania zlomkov. V prvom prípade majú obe čísla rovnakého menovateľa. V tomto prípade zostáva len sčítať čitateľa. Ale menovateľ sa nemení. Napríklad 1/5 + 3/5 = 4/5.

Ak majú zlomky rôznych menovateľov, mali by sa zredukovať na spoločného a až potom by sa malo vykonať sčítanie. Ako to urobiť, diskutovali sme s vami o niečo vyššie. V tejto situácii sa hodí hlavná vlastnosť zlomku. Pravidlo vám umožní priviesť čísla k spoločnému menovateľovi. Hodnota sa nijako nezmení.

Prípadne sa môže stať, že sa frakcia zmieša. Potom by ste mali najprv spočítať celé časti a potom zlomkové.

Násobenie

Nevyžaduje žiadne triky a na vykonanie tejto akcie nie je potrebné poznať základnú vlastnosť zlomku. Stačí najprv spolu vynásobiť čitateľov a menovateľov. V tomto prípade sa súčin čitateľov stane novým čitateľom a súčin menovateľov sa stane novým menovateľom. Ako vidíte, nič zložité.

Jediná vec, ktorá sa od vás vyžaduje, je znalosť násobilky a tiež pozornosť. Okrem toho by ste po obdržaní výsledku mali určite skontrolovať, či sa toto číslo môže znížiť alebo nie. O tom, ako zmenšiť zlomky, si povieme o niečo neskôr.

Odčítanie

Výkon by sa mal riadiť rovnakými pravidlami ako pri pridávaní. Čiže v číslach s rovnakým menovateľom stačí odčítať čitateľa podtrahendu od čitateľa minuendu. V prípade, že zlomky majú rôznych menovateľov, mali by ste ich priviesť k spoločnému a potom vykonať túto operáciu. Rovnako ako v prípade analogického sčítania budete musieť použiť hlavnú vlastnosť algebraický zlomok, ako aj zručnosti pri hľadaní LCM a spoločných deliteľov zlomkov.

divízie

A posledná, najzaujímavejšia operácia pri práci s takýmito číslami je delenie. Je to celkom jednoduché a nespôsobuje žiadne zvláštne ťažkosti ani tým, ktorí nerozumejú, ako pracovať so zlomkami, najmä vykonávať operácie sčítania a odčítania. Pri delení platí pravidlo násobiť podľa recipročné. Hlavná vlastnosť zlomku, ako v prípade násobenia, sa pri tejto operácii nepoužije. Poďme sa na to pozrieť bližšie.

Pri delení čísel zostáva dividenda nezmenená. Deliteľ je obrátený, t.j. čitateľ a menovateľ sú obrátené. Potom sa čísla navzájom vynásobia.

Zníženie

Takže sme už preskúmali definíciu a štruktúru zlomkov, ich typy, pravidlá operácií s danými číslami a zistili sme hlavnú vlastnosť algebraického zlomku. Teraz hovorme o takej operácii, ako je redukcia. Zníženie zlomku je proces jeho premeny - delenie čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Frakcia sa teda redukuje bez zmeny jej vlastností.

Zvyčajne by ste sa pri vykonávaní matematickej operácie mali dôkladne pozrieť na výsledok získaný na konci a zistiť, či je možné výsledný zlomok znížiť alebo nie. Pamätajte, že konečný výsledok je vždy zapísaný ako zlomkové číslo, ktoré nevyžaduje zníženie.

Iné operácie

Nakoniec poznamenávame, že sme uviedli zďaleka nie všetky operácie na zlomkových číslach, pričom sme spomenuli iba tie najznámejšie a potrebné. Zlomky možno tiež porovnávať, prevádzať na desatinné miesta a naopak. V tomto článku sme však tieto operácie nezohľadnili, pretože v matematike sa vykonávajú oveľa menej často ako tie, ktoré sme uviedli vyššie.

zistenia

Hovorili sme o zlomkových číslach a operáciách s nimi. Analyzovali sme aj hlavnú vlastnosť, ale poznamenávame, že všetky tieto otázky sme mimochodom zvážili. Uviedli sme len tie najznámejšie a najpoužívanejšie pravidlá, dali sme podľa nás najdôležitejšie rady.

Tento článok je určený na obnovenie informácií, ktoré ste o zlomkoch zabudli, a nie na ich poskytnutie nové informácie a „naplňte“ si hlavu nekonečnými pravidlami a vzorcami, ktoré vám s najväčšou pravdepodobnosťou nebudú užitočné.

Dúfame, že materiál uvedený v článku jednoducho a stručne sa vám stal užitočným.

Chcete sa cítiť ako sapér? Potom je táto lekcia pre vás! Pretože teraz budeme študovať zlomky - to sú také jednoduché a neškodné matematické objekty, ktoré prekonávajú zvyšok kurzu algebry v ich schopnosti „vytiahnuť mozog“.

Hlavným nebezpečenstvom zlomkov je, že sa vyskytujú v reálnom živote. V tom sa líšia napríklad od polynómov a logaritmov, ktoré sa dajú po skúške prejsť a ľahko zabudnúť. Preto materiál prezentovaný v tejto lekcii možno bez preháňania nazvať výbušným.

Číselný zlomok (alebo jednoducho zlomok) je pár celých čísel zapísaných cez lomku alebo vodorovnú čiaru.

Zlomky písané cez vodorovnú čiaru:

Rovnaké zlomky písané lomkou:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Zlomky sa zvyčajne píšu cez vodorovnú čiaru - je s nimi jednoduchšie pracovať a vyzerajú lepšie. Číslo napísané hore sa nazýva čitateľ zlomku a číslo napísané dole sa nazýva menovateľ.

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok s menovateľom 1. Napríklad 12 = 12/1 je zlomok z vyššie uvedeného príkladu.

Vo všeobecnosti môžete do čitateľa a menovateľa zlomku vložiť akékoľvek celé číslo. Jediným obmedzením je, že menovateľ sa musí líšiť od nuly. Pamätajte na staré dobré pravidlo: "Nemôžete deliť nulou!"

Ak je menovateľ stále nula, zlomok sa nazýva neurčitý. Takýto záznam nedáva zmysel a nemôže sa podieľať na výpočtoch.

Základná vlastnosť zlomku

Zlomky a /bac /d sa nazývajú rovnaké, ak ad = bc.

Z tejto definície vyplýva, že ten istý zlomok možno zapísať rôznymi spôsobmi. Napríklad 1/2 = 2/4, pretože 1 4 = 2 2. Samozrejme, existuje veľa zlomkov, ktoré sa navzájom nerovnajú. Napríklad 1/3 ≠ 5/4, pretože 1 4 ≠ 3 5.

Vzniká rozumná otázka: ako nájsť všetky zlomky rovné danému? Odpoveď dávame vo forme definície:

Hlavnou vlastnosťou zlomku je, že čitateľ a menovateľ môžu byť vynásobené rovnakým číslom iným ako nula. Výsledkom bude zlomok, ktorý sa rovná danému.

Toto je veľmi dôležitá vlastnosť – zapamätajte si ju. Pomocou základnej vlastnosti zlomku možno mnohé výrazy zjednodušiť a skrátiť. V budúcnosti sa bude neustále „vynárať“ vo forme rôznych vlastností a teorémov.

Nesprávne zlomky. Výber celej časti

Ak je čitateľ menší ako menovateľ, takýto zlomok sa nazýva vlastný. V opačnom prípade (teda keď je čitateľ väčší alebo aspoň rovný menovateľovi) sa zlomok nazýva nevlastný zlomok a dá sa v ňom rozlíšiť celá časť.

Celočíselná časť je napísaná ako veľké číslo pred zlomkom a vyzerá takto (označená červenou):

Ak chcete izolovať celú časť v nesprávnej frakcii, musíte vykonať tri jednoduché kroky:

1. Zistite, koľkokrát sa menovateľ zmestí do čitateľa. Inými slovami, nájdite maximálne celé číslo, ktoré po vynásobení menovateľom bude stále menšie ako čitateľ (v extrémnom prípade rovné). Toto číslo bude celá časť, preto ho napíšeme dopredu;
2. Vynásobte menovateľa celou časťou zistenou v predchádzajúcom kroku a odčítajte výsledok od čitateľa. Výsledný "stub" sa nazýva zvyšok delenia, bude vždy kladný (v extrémnych prípadoch nula). Zapíšeme to do čitateľa nového zlomku;
3. Menovateľa prepíšeme nezmenený.

No je to ťažké? Na prvý pohľad to môže byť ťažké. Chce to však trochu cviku – a budete to robiť takmer verbálne. Zatiaľ si pozrite príklady:

Úloha. Vyberte celú časť v daných zlomkoch:

Vo všetkých príkladoch je celočíselná časť zvýraznená červenou farbou a zvyšok delenia zelenou farbou.

Venujte pozornosť poslednému zlomku, kde sa zvyšok delenia ukázal ako nula. Ukazuje sa, že čitateľ je úplne rozdelený menovateľom. Je to celkom logické, pretože 24: 6 \u003d 4 je drsný fakt z násobiteľskej tabuľky.

Ak je všetko vykonané správne, čitateľ nového zlomku bude nevyhnutne menší ako menovateľ, t.j. zlomok sa stáva správnym. Tiež podotýkam, že je lepšie zvýrazniť celú časť na samom konci úlohy, pred napísaním odpovede. V opačnom prípade môžete výrazne skomplikovať výpočty.

Prechod na nesprávny zlomok

Existuje aj inverzná operácia, kedy sa zbavíme celej časti. Toto sa nazýva prechod nesprávnych zlomkov a je oveľa bežnejší, pretože s nesprávnymi zlomkami sa oveľa ľahšie pracuje.

Prechod na nesprávnu frakciu sa tiež vykonáva v troch krokoch:

1. Vynásobte časť celého čísla menovateľom. Výsledok môže byť celkom veľké čísla, ale nemali by sme sa hanbiť;
2. Výsledné číslo pridajte do čitateľa pôvodného zlomku. Výsledok zapíšte do čitateľa nesprávneho zlomku;
3. Prepíšte menovateľa – opäť žiadna zmena.

Tu sú konkrétne príklady:

Úloha. Previesť na nesprávny zlomok:

Pre prehľadnosť je celočíselná časť opäť zvýraznená červenou farbou a čitateľ pôvodného zlomku zelenou farbou.

Zvážte prípad, keď čitateľ alebo menovateľ zlomku obsahuje záporné číslo. Napríklad:

V zásade v tom nie je nič trestné. Práca s takýmito frakciami však môže byť nepohodlná. Preto je v matematike zvyčajné brať mínusky ako zlomkové znamienko.

Je to veľmi jednoduché, ak si pamätáte pravidlá:

1. Plus krát mínus sa rovná mínus. Preto, ak je v čitateli záporné číslo a v menovateli kladné číslo (alebo naopak), kľudne prečiarknite mínus a dajte ho pred celý zlomok;
2. "Dva negatíva potvrdzujú." Keď je mínus v čitateli aj v menovateli, jednoducho ich prečiarkneme – nie je potrebná žiadna ďalšia akcia.

Samozrejme, tieto pravidlá sa dajú aplikovať aj v opačnom smere, t.j. pod znak zlomku môžete pridať mínus (najčastejšie - v čitateli).

Zámerne neberieme do úvahy prípad „plus na plus“ - s ním si myslím, že je všetko jasné. Pozrime sa, ako tieto pravidlá fungujú v praxi:

Úloha. Zo štyroch vyššie napísaných zlomkov vyberte mínusky.

Venujte pozornosť poslednému zlomku: už má pred sebou znamienko mínus. Je však „spálený“ podľa pravidla „mínus krát mínus dáva plus“.

Taktiež nepresúvajte mínusky v zlomkoch so zvýraznenou celočíselnou časťou. Tieto zlomky sa najskôr prevedú na nesprávne - a až potom začnú počítať.

Bežný zlomok

štvrtí

1. Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “< », « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   súčet zlomkov

2. operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má ďalší pohľad: .
3. operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a a b a označuje sa a proces nájdenia takého čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné: .
4. Tranzitivita rádového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menšie b a b menšie c, potom a menšie c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
5. Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
6. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
7. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
8. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
9. Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
10. Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
11. Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
12. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
13. Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. K ľavej a pravej strane racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Ďalšie vlastnosti

Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Takéto ďalšie vlastnosti veľa. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počítateľnosť

Číslovanie racionálnych čísel

Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, t. j. vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.

Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.

Výslednú tabuľku spravuje "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.

Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.

V procese takéhoto bypassu je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzené číslo. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.

Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.

Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.

Nedostatok racionálnych čísel

Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom

Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.

Z Pytagorovej vety je známe, že prepona pravouhlého trojuholníka je vyjadrená ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho nôh. To. dĺžka rovnoramennej prepony správny trojuholník s jednou nohou sa rovná, t.j. číslu, ktorého druhá mocnina je 2.

Ak predpokladáme, že číslo je reprezentované nejakým racionálnym číslom, potom také celé číslo existuje m a také prirodzené číslo n, čo je navyše zlomok neredukovateľný, teda čísla m a n sú coprime.

Ak potom , t.j. m 2 = 2n 2. Preto číslo m 2 je párne, ale súčin dvoch nepárnych čísel je nepárny, čo znamená, že samotné číslo m tiež jasné. Existuje teda prirodzené číslo k, tak, že číslo m môže byť reprezentovaný ako m = 2k. Číselný štvorec m V tomto zmysle m 2 = 4k 2 ale na druhej strane m 2 = 2n 2 znamená 4 k 2 = 2n 2, alebo n 2 = 2k 2. Ako je uvedené vyššie pre číslo m, čo znamená, že číslo n- presne ako m. Ale potom nie sú coprime, pretože obe sú deliteľné na polovicu. Výsledný rozpor dokazuje, že nejde o racionálne číslo.

Zlomky sú dodnes považované za jednu z najťažších častí matematiky. História zlomkov má viac ako jedno tisícročie. V území vznikla schopnosť rozdeliť celok na časti staroveký Egypt a Babylon. V priebehu rokov sa operácie vykonávané so zlomkami skomplikovali, menila sa forma ich zaznamenávania. Každý z nich mal vo „vzťahu“ s týmto odvetvím matematiky svoje vlastné charakteristiky.

čo je zlomok?

Keď bolo potrebné rozdeliť celok na časti bez extra úsilie, potom tam boli zlomky. História zlomkov je neoddeliteľne spojená s riešením úžitkových problémov. Samotný výraz „zlomok“ má arabské korene a pochádza zo slova, ktoré znamená „rozbiť, rozdeliť“. Od staroveku sa v tomto zmysle zmenilo len málo. Moderná definícia je nasledovná: zlomok je časť alebo súčet častí jednotky. V súlade s tým príklady so zlomkami predstavujú postupné vykonávanie matematických operácií so zlomkami čísel.

Dnes existujú dva spôsoby, ako ich zaznamenať. vznikol v iný čas: prvé sú starodávnejšie.

Pochádza z dávnych čias

Prvýkrát začali operovať s frakciami na území Egypta a Babylonu. Prístup matematikov oboch štátov mal značné rozdiely. Začiatok bol však tam aj tam rovnaký. Prvá frakcia bola polovica alebo 1/2. Potom prišla štvrtina, tretina a tak ďalej. Podľa archeologických vykopávok má história vzniku zlomkov asi 5 tisíc rokov. Prvýkrát sa zlomky čísla nachádzajú v egyptských papyroch a na babylonských hlinených doštičkách.

Staroveký Egypt

K typom obyčajných zlomkov dnes patrí egyptský tzv. Sú súčtom niekoľkých členov tvaru 1/n. Čitateľ je vždy jedna a menovateľ je prirodzené číslo. Takéto zlomky sa objavili, bez ohľadu na to, aké ťažké je uhádnuť, v starovekom Egypte. Pri výpočte všetkých podielov sa ich snažili zapísať v podobe takýchto súm (napríklad 1/2 + 1/4 + 1/8). Samostatné označenia mali len zlomky 2/3 a 3/4, ostatné boli rozdelené na termíny. Existovali špeciálne tabuľky, v ktorých boli zlomky čísla prezentované ako súčet.

Najstaršia známa zmienka o takomto systéme sa nachádza v Rhindskom matematickom papyruse, datovanom na začiatok druhého tisícročia pred Kristom. Obsahuje tabuľku zlomkov a matematické problémy s riešeniami a odpoveďami prezentovanými ako súčty zlomkov. Egypťania vedeli sčítať, deliť a násobiť zlomky čísla. Zlomky v údolí Nílu boli napísané pomocou hieroglyfov.

Znázornenie zlomku čísla ako súčet členov tvaru 1/n, charakteristického pre staroveký Egypt, používali matematici nielen v tejto krajine. Až do stredoveku sa v Grécku a iných štátoch používali egyptské zlomky.

Rozvoj matematiky v Babylone

Matematika vyzerala v babylonskom kráľovstve inak. História vzniku zlomkov tu priamo súvisí s vlastnosťami zdedeného číselného systému staroveký štát zdedil po svojej predchodkyni, sumersko-akkadskej civilizácii. Technika výpočtu v Babylone bola pohodlnejšia a dokonalejšia ako v Egypte. Matematika v tejto krajine riešila oveľa širšiu škálu problémov.

Úspechy Babylončanov dnes možno posúdiť podľa zachovaných hlinených tabuliek vyplnených klinovým písmom. Vzhľadom na vlastnosti materiálu sa dostali až k nám vo veľkom počte. Podľa niektorých v Babylone bola pred Pytagorasom objavená známa veta, ktorá nepochybne svedčí o rozvoji vedy v tomto starovekom štáte.

Zlomky: história zlomkov v Babylone

Číselný systém v Babylone bol šesťdesiatkový. Každá nová kategória sa od predchádzajúcej líšila o 60. Tento systém sa zachoval v modernom svete na označenie času a uhlov. Zlomky boli tiež šesťdesiatkové. Na nahrávanie boli použité špeciálne ikony. Ako v Egypte, príklady zlomkov obsahovali samostatné symboly pre 1/2, 1/3 a 2/3.

Babylonský systém nezmizol so štátom. Zlomky zapísané v 60. systéme používali starovekí a arabskí astronómovia a matematici.

Staroveké Grécko

História obyčajných zlomkov nebola príliš obohatená staroveké Grécko. Obyvatelia Hellas verili, že matematika by mala fungovať iba s celými číslami. Preto sa výrazy so zlomkami na stránkach starogréckych pojednaní prakticky nevyskytovali. Pytagoriáni však do tohto odvetvia matematiky určitým spôsobom prispeli. Zlomky chápali ako pomery či proporcie a za nedeliteľnú považovali aj jednotku. Pytagoras a jeho žiaci postavili všeobecná teória zlomky, naučili sa vykonávať všetky štyri aritmetické operácie, ako aj porovnávať zlomky tak, že ich privedú k spoločnému menovateľovi.

Svätá rímska ríša

Rímsky systém zlomkov bol spojený s mierou hmotnosti nazývanou „zadok“. Bola rozdelená na 12 akcií. 1/12 assa sa nazývala unca. Pre zlomky bolo 18 mien. Tu sú niektoré z nich:

semifinále - polovica zadku;

sextante — šiesta časť assa;

pol unca - pol unca alebo 1/24 zadku.

Nevýhodou takéhoto systému bola nemožnosť reprezentovať číslo ako zlomok s menovateľom 10 alebo 100. Rímski matematici tento problém prekonávali používaním percent.

Zápis obyčajných zlomkov

Už v staroveku sa zlomky písali známym spôsobom: jedno číslo nad druhým. Bol tu však jeden podstatný rozdiel. Čitateľ bol pod menovateľom. Prvýkrát sa zlomky začali týmto spôsobom písať v starovekej Indii. Arabi začali pre nás používať moderný spôsob. Žiadny z týchto národov však nepoužíval vodorovnú čiaru na oddelenie čitateľa a menovateľa. Prvýkrát sa objavuje v spisoch Leonarda z Pisy, známeho ako Fibonacci, v roku 1202.

Čína

Ak sa história vzniku obyčajných zlomkov začala v Egypte, potom sa v Číne prvýkrát objavili desatinné čísla. V Nebeskej ríši sa začali používať približne od 3. storočia pred Kristom. História desatinných zlomkov začala čínskym matematikom Liu Hui, ktorý ich navrhol použiť pri extrakcii odmocnín.

V 3. storočí nášho letopočtu sa v Číne začali na výpočet hmotnosti a objemu používať desatinné zlomky. Postupne začali prenikať hlbšie a hlbšie do matematiky. V Európe sa však desatinné čísla začali používať oveľa neskôr.

Al-Kashi zo Samarkandu

Bez ohľadu na čínskych predchodcov, desatinné zlomky objavil astronóm al-Kashi z r staroveké mesto Samarkand. Žil a tvoril v 15. storočí. Vedec načrtol svoju teóriu v pojednaní „Kľúč k aritmetike“, ktoré bolo publikované v roku 1427. Al-Kashi navrhol použiť nový formulár zlomkové záznamy. Celé číslo aj zlomkové časti boli teraz napísané v jednom riadku. Samarkandský astronóm na ich oddelenie nepoužil čiarku. Napísal celé číslo a zlomkovú časť rôzne farby pomocou čierneho a červeného atramentu. Niekedy al-Kashi používal na ich oddelenie aj zvislú čiaru.

Desatinné čísla v Európe

Od 13. storočia sa v dielach európskych matematikov začal objavovať nový druh zlomkov. Treba poznamenať, že neboli oboznámení s dielami al-Kashi, ako aj s vynálezom Číňanov. Desatinné zlomky sa objavili v spisoch Jordana Nemorariusa. Potom sa začali používať už v 16. storočí Francúzsky vedec napísal Matematický kánon, ktorý obsahoval trigonometrické tabuľky. Viet v nich používal desatinné zlomky. Na oddelenie celých a zlomkových častí použil vedec aj zvislú čiaru rôzna veľkosť písmo.

Išlo však len o špeciálne prípady vedeckého využitia. Na riešenie každodenných problémov sa desatinné zlomky v Európe začali používať o niečo neskôr. Stalo sa tak vďaka holandskému vedcovi Simonovi Stevinovi na konci 16. storočia. V roku 1585 vydal matematické dielo Desiaty. Vedec v ňom načrtol teóriu používania desatinných zlomkov v aritmetike, v peňažnom systéme a na určovanie mier a váh.

Bodka, bodka, čiarka

Stevin tiež nepoužil čiarku. Dve časti zlomku oddelil pomocou zakrúžkovanej nuly.

Prvýkrát oddelila čiarka dve časti desatinného zlomku až v roku 1592. V Anglicku sa však namiesto toho používala bodka. V Spojených štátoch sa takto stále píšu desatinné zlomky.

Jedným z iniciátorov používania oboch interpunkčných znamienok na oddelenie celých a zlomkových častí bol škótsky matematik John Napier. Svoj návrh predložil v rokoch 1616-1617. Čiarku použil aj nemecký vedec

Zlomky v Rusku

Na ruskej pôde bol prvým matematikom, ktorý načrtol rozdelenie celku na časti, novgorodský mních Kirik. V roku 1136 napísal dielo, v ktorom načrtol metódu „výpočtu rokov“. Kirik sa zaoberal otázkami chronológie a kalendára. Vo svojej práci uviedol aj rozdelenie hodiny na časti: pätiny, dvadsaťpätiny atď.

Rozdelenie celku na časti sa používalo pri výpočte výšky dane v XV-XVII storočia. Boli použité operácie sčítania, odčítania, delenia a násobenia s dielikmi.

Samotné slovo „frakcia“ sa objavilo v Rusku v VIII storočí. Pochádza zo slovesa „rozdrviť, rozdeliť na časti“. Naši predkovia používali na pomenovanie zlomkov špeciálne slová. Napríklad 1/2 bola označená ako polovica alebo polovica, 1/4 - štyri, 1/8 - pol hodiny, 1/16 - pol hodiny atď.

Kompletná teória zlomkov, ktorá sa príliš nelíši od modernej, bola prezentovaná v prvej učebnici aritmetiky, ktorú v roku 1701 napísal Leonty Filippovič Magnitsky. „Aritmetika“ pozostávala z niekoľkých častí. Autor podrobne hovorí o zlomkoch v časti „O počtoch prerušovaných čiar alebo so zlomkami“. Magnitskij uvádza operácie s „rozbitými“ číslami, ich rôzne označenia.

Zlomky dnes stále patria medzi najťažšie časti matematiky. História zlomkov tiež nebola jednoduchá. rôzne národy niekedy nezávisle od seba a niekedy preberajúc skúsenosti svojich predchodcov, dospeli k potrebe zaviesť, ovládať a používať zlomky čísla. Náuka o zlomkoch vždy vyrastala z praktických pozorovaní a vďaka naliehavým problémom. Bolo potrebné rozdeliť chlieb, zn rovnaké pozemky pozemky, vypočítavať dane, merať čas a pod. Vlastnosti používania zlomkov a matematických operácií s nimi záviseli od číselného systému v štáte a na všeobecná úroveň rozvoj matematiky. Tak či onak, po prekonaní viac ako tisíc rokov sa sekcia algebry venovaná zlomkom čísel vytvorila, rozvinula a dnes sa úspešne používa pre rôzne potreby, praktické aj teoretické.