228. Pod označením segmentov AB, AC atď. budeme v tejto kapitole rozumieť najmä čísla, ktoré ich vyjadrujú.
Vieme (č. 226), že ak sú dva segmenty a a b dané geometricky, môžeme medzi nimi zostrojiť priemernú úmernosť. Teraz nech sú segmenty dané nie geometricky, ale číslami, teda pod a a b budeme rozumieť číslam vyjadrujúcim 2 dané segmenty. Potom sa nájdenie priemerného proporcionálneho segmentu zredukuje na nájdenie čísla x z podielu a/x = x/b, kde a, b a x sú čísla. Z tohto podielu máme:
x 2 = ab
x = √ab
229. Majme pravouhlý trojuholník ABC (kresba 224).
Pustime kolmicu BD z vrcholu jej pravého uhla (∠B pravý uhol) k prepone AC. Potom z položky 225 vieme:
1) AC/AB = AB/AD a 2) AC/BC = BC/DC.
Odtiaľto dostaneme:
AB 2 = AC AD a BC 2 = AC DC.
Pridaním rovností získaných po častiach dostaneme:
AB 2 + BC 2 \u003d AC AD + AC DC \u003d AC (AD + DC).
t.j. druhá mocnina čísla vyjadrujúceho preponu sa rovná súčtu druhých mocnín čísel vyjadrujúcich nohy pravouhlého trojuholníka.
V skratke hovoria: Druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh.
Ak výslednému vzorcu dáme geometrickú interpretáciu, dostaneme už známu Pytagorovu vetu (časť 161):
štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách.
Z rovnice AB 2 + BC 2 \u003d AC 2 musíte niekedy nájsť nohu pravouhlého trojuholníka pozdĺž prepony a druhej nohy. Dostaneme napríklad:
AB 2 \u003d AC 2 - BC 2 a následne
230. Zistený číselný pomer medzi stranami pravouhlého trojuholníka umožňuje riešiť mnohé výpočtové problémy. Poďme vyriešiť niektoré z nich:
1. Vypočítajte obsah rovnostranného trojuholníka vzhľadom na jeho stranu.
Nech je ∆ABC (Kap. 225) rovnostranné a každá jeho strana je vyjadrená číslom a (AB = BC = AC = a). Na výpočet plochy tohto trojuholníka musíte najprv zistiť jeho výšku BD, ktorú budeme nazývať h. Vieme, že v rovnostrannom trojuholníku výška BD pretína základňu AC, t.j. AD = DC = a/2. Preto z pravouhlého trojuholníka DBC máme:
BD 2 \u003d BC 2 – DC 2,
h 2 \u003d a 2 - a 2 / 4 \u003d 3a 2 / 4 (vykonávame odčítanie).
Preto máme:
(násobilku vyberieme spod koreňa).
Preto volaním čísla vyjadrujúceho obsah nášho trojuholníka cez Q a vedomím, že plocha je ∆ABC = (AC BD)/2, nájdeme:
Na tento vzorec sa môžeme pozerať ako na jeden zo spôsobov, ako zmerať obsah rovnostranného trojuholníka: musíme zmerať jeho stranu v lineárnych jednotkách, odmocniť nájdené číslo, vynásobiť výsledné číslo √3 a vydeliť 4 - my získajte výraz pre oblasť v štvorcových (zodpovedajúcich) jednotkách.
2. Strany trojuholníka sú 10, 17 a 21 čiar. slobodný Vypočítajte jeho plochu.
Znížme výšku h v našom trojuholníku (Kap. 226) na väčšiu stranu - určite prejde vnútri trojuholníka, pretože v trojuholníku môže byť tupý uhol umiestnený iba oproti väčšej strane. Potom sa väčšia strana = 21 rozdelí na 2 segmenty, z ktorých jeden bude označený x (pozri obrázok) a druhý = 21 - x. Dostaneme dva pravouhlé trojuholníky, z ktorých máme:
h 2 \u003d 10 2 - x 2 a h 2 \u003d 17 2 - (21 - x) 2
Pretože ľavé strany týchto rovníc sú rovnaké
10 2 - x 2 \u003d 17 2 - (21 - x) 2
Vykonaním nasledujúceho získame:
10 2 - x 2 \u003d 289 - 441 + 42 x - x 2
Zjednodušením tejto rovnice zistíme:
Potom z rovnice h 2 \u003d 10 2 - x 2 dostaneme:
h 2 \u003d 10 2 - 6 2 \u003d 64
a preto
Potom sa nájde požadovaná oblasť:
Q = (218)/2 quad. slobodný = 84 metrov štvorcových slobodný
3. Môžete vyriešiť všeobecný problém:
Ako vypočítať plochu trojuholníka vzhľadom na jeho strany?
Strany trojuholníka ABC nech sú vyjadrené číslami BC = a, AC = b a AB = c (Graf 227). Predpokladajme, že AC je veľká strana; potom výška BD pôjde dovnútra ∆ABC. Zavolajme: BD = h, DC = x a potom AD = b - x.
Z ∆BDC máme: h 2 = a 2 – x 2 .
Z ∆ABD máme: h 2 = c 2 - (b - x) 2,
odkiaľ a 2 - x 2 \u003d c 2 - (b - x) 2.
Vyriešením tejto rovnice postupne dostaneme:
2bx \u003d a 2 + b 2 - c 2 a x \u003d (a 2 + b 2 - c 2) / 2b.
(Ten druhý sa píše na základe toho, že čitateľ 4a 2 b 2 - (a 2 + b 2 - c 2) 2 môžeme považovať za rovnosť druhých mocnín, ktorú rozložíme na súčin súčtu a rozdielu).
Tento vzorec sa transformuje zavedením obvodu trojuholníka, ktorý označíme 2p, t.j.
Odčítaním 2c od oboch strán rovnice dostaneme:
a + b + c - 2c = 2p - 2c alebo a + b - c = 2 (p - c):
Nájdeme aj:
c + a - b = 2 (p - b) a c - a + b = 2 (p - a).
Potom dostaneme:
(p vyjadruje polovicu obvodu trojuholníka).
Tento vzorec možno použiť na výpočet plochy trojuholníka vzhľadom na jeho tri strany.
231. Cvičenia.
232. V § 229 sme našli vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Podobnú závislosť môžete nájsť pre strany (s pridaním ďalšieho segmentu) šikmého trojuholníka.
Majme najprv ∆ABC (Kap. 228) také, že ∠A je ostré. Skúsme nájsť výraz pre druhú mocninu strany BC ležiacej oproti tomuto ostrému uhlu (podobne ako sme našli výraz pre druhú mocninu prepony v § 229).
Zostrojením BD ⊥ AC dostaneme z pravouhlého trojuholníka BDC:
BC 2 = BD 2 + DC 2
Nahradme BD2 tak, že ho definujeme z ABD, odkiaľ máme:
BD 2 \u003d AB 2 – AD 2,
a segment DC je nahradený AC - AD (samozrejme, DC = AC - AD). Potom dostaneme:
BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC - AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 - 2AC AD + AD 2
Po vykonaní redukcie podobných výrazov zistíme:
BC 2 \u003d AB 2 + AC 2 - 2AC AD.
Tento vzorec znie: druhá mocnina strany trojuholníka oproti ostrému uhlu sa rovná súčtu štvorcov jeho ďalších dvoch strán mínus dvojnásobok súčinu jednej z týchto strán a jej úsečky od vrcholu ostrého uhla k výške.
233. Nech sú teraz ∠A a ∆ABC (Kap. 229) tupé. Nájdite výraz pre druhú mocninu strany BC ležiacej oproti tupému uhlu.
Po vytvorení výšky BD bude teraz umiestnená trochu inak: na 228, kde ∠A je ostré, body D a C sú umiestnené na rovnakej strane A a tu, kde ∠A je tupé, budú body D a C umiestnené na opačných stranách A. Potom z pravouhlého ∆BDC dostaneme:
BC 2 = BD 2 + DC 2
BD2 môžeme nahradiť jeho definovaním z pravouhlého ∆BDA:
BD 2 \u003d AB 2 – AD 2,
a segment DC = AC + AD, čo je zrejmé. Výmenou dostaneme:
BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 + 2AC AD + AD 2
Pri redukcii podobných výrazov zistíme:
BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC AD,
t.j. druhá mocnina strany trojuholníka oproti tupému uhlu sa rovná súčtu štvorcov jeho ďalších dvoch strán plus dvojnásobok súčinu jednej z nich a jej úsečky od vrcholu tupého uhla k výške.
Tento vzorec, rovnako ako vzorec položky 232, pripúšťa geometrický výklad, ktorý je ľahké nájsť.
234. Používanie vlastností odsekov. 229, 232, 233, môžeme, ak dostaneme strany trojuholníka v číslach, zistiť, či tento trojuholník má pravý alebo tupý uhol.
Pravý alebo tupý uhol v trojuholníku môže byť umiestnený iba oproti väčšej strane, aký je uhol oproti nemu, je ľahké zistiť: tento uhol je ostrý, pravý alebo tupý, v závislosti od toho, či je štvorec väčšej strany menší ako, rovný alebo väčší ako súčet druhých mocnín ostatných dvoch strán .
Zistite, či je v nasledujúcich trojuholníkoch, definovaných ich stranami, pravý alebo tupý uhol:
1) 15 dm., 13 dm. a 14 dm.; 2) 20, 29 a 21; 3) 11, 8 a 13; 4) 7, 11 a 15.
235. Majme rovnobežník ABCD (kresba 230); zostrojte jeho uhlopriečky AC a BD a jeho výšky BK ⊥ AD a CL ⊥ AD.
Potom, ak je ∠A (∠BAD) akútne, potom ∠D (∠ADC) je nevyhnutne tupé (pretože ich súčet = 2d). Z ∆ABD, kde sa ∠A považuje za ostré, máme:
BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2AD AK,
a z ∆ACD, kde ∠D je tupé, máme:
AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD DL.
Nahraďte segment AD v poslednom vzorci segmentom BC, ktorý sa mu rovná a DL sa mu rovná AK (DL = AK, keďže ∆ABK = ∆DCL, čo je dobre vidieť). Potom dostaneme:
AC2 = BC2 + CD2 + 2AD AK.
Pridaním výrazu pre BD2 s posledným výrazom pre AC 2 nájdeme:
BD 2 + AC 2 \u003d AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2,
keďže pojmy –2AD AK a +2AD AK sa navzájom rušia. Výslednú rovnosť možno prečítať:
Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho strán.
236. Výpočet mediánu a osi trojuholníka pozdĺž jeho strán. Medián BM (to znamená AM = MC) zostrojíme v trojuholníku ABC (Kap. 231). Keď poznáte strany ∆ABC: BC = a, AC = b a AB = c, vypočítajte medián BM.
Pokračujeme v BM a odložíme segment MD = BM. Spojením D k A a D k C dostaneme rovnobežník ABCD (to sa dá ľahko zistiť, keďže ∆AMD = ∆BMC a ∆AMB = ∆DMC).
Zavolaním mediánu BM cez m dostaneme BD = 2 ma potom pomocou predchádzajúceho odseku máme:
237. Výpočet polomeru opísaného trojuholníku kružnice. Nech je v blízkosti ∆ABC opísaná kružnica O (Kap. 233.) Zostrojme priemer kružnice BD, tetivu AD a výšku trojuholníka BH.
Potom ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - uhol A je správny, pretože je vpísaný na základe priemeru BD a ∠D = ∠C, ako je vpísané, založený na jednom oblúku AB). Preto máme:
alebo polomer OB nazývame R, výšku BH h a strany AB a BC, ako predtým, c a a:
ale plocha je ∆ABC = Q = bh/2, odkiaľ h = 2Q/b.
Preto R = (abc) / (4Q).
Sme schopní (položka 230 úloha 3) vypočítať plochu trojuholníka Q na jeho stranách. Odtiaľ môžeme vypočítať R pre tri strany trojuholníka.
238. Výpočet polomeru kružnice vpísanej do trojuholníka. Vpíšme do ∆ABC, ktorej strany sú dané (Kap. 234), kružnicu O. Spojením jej stredu O s vrcholmi trojuholníka a s bodmi dotyku strán D, E a F ku kružnici , zistíme, že polomery kružnice OD, OE a OF slúžia ako výšky trojuholníkov BOC, COA a AOB.
Volaním polomeru vpísanej kružnice cez r máme:
O dvoch trojuholníkoch sa hovorí, že sú zhodné, ak sa môžu prekrývať. Obrázok 1 zobrazuje rovnaké trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1. Každý z týchto trojuholníkov môže byť superponovaný na iný, takže sú úplne kompatibilné, to znamená, že ich vrcholy a strany sú spárované. Je jasné, že v tomto prípade budú uhly týchto trojuholníkov kombinované v pároch.
Ak sú teda dva trojuholníky rovnaké, potom sa prvky (t.j. strany a uhly) jedného trojuholníka rovnajú prvkom druhého trojuholníka. Poznač si to v rovnakých trojuholníkoch proti príslušným rovnakým stranám(t. j. prekrývajúce sa pri prekrývaní) ležať v rovnakých uhloch a späť: protiľahlé zodpovedajúce rovnaké uhly ležia rovnaké strany.
Takže napríklad v rovnakých trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1, znázornených na obrázku 1, ležia rovnaké uhly C a C 1 proti rovnakým stranám AB a A 1 B 1. Rovnosť trojuholníkov ABC a A 1 B 1 C 1 budeme označovať takto: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ukazuje sa, že rovnosť dvoch trojuholníkov možno určiť porovnaním niektorých ich prvkov.
Veta 1. Prvý znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovná dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sa takéto trojuholníky rovnajú (obr. 2).
Dôkaz. Uvažujme trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1, v ktorých AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (pozri obr. 2). Dokážme, že Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .
Pretože ∠ A \u003d ∠ A 1, potom trojuholník ABC možno položiť na trojuholník A 1 B 1 C 1 tak, že vrchol A je zarovnaný s vrcholom A 1 a strany AB a AC sa na lúče A 1 B 1 a A 1 C jeden . Pretože AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, strana AB bude kombinovaná so stranou A 1 B 1 a strana AC - so stranou A 1 C 1; najmä body B a B1, C a C1 sa budú zhodovať. Preto budú strany BC a B 1 C 1 zarovnané. Takže trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 sú úplne kompatibilné, čo znamená, že sú rovnaké.
Veta 2 sa dokazuje podobne metódou superpozície.
Veta 2. Druhý znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa strana a dva k nej susediace uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dva k nej susediace uhly iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky rovnaké (obr. 34).
Komentujte. Na základe vety 2 je stanovená veta 3.
Veta 3. Súčet akýchkoľvek dvoch vnútorných uhlov trojuholníka je menší ako 180°.
Veta 4 vyplýva z poslednej vety.
Veta 4. Vonkajší uhol trojuholníka je väčší ako akýkoľvek vnútorný uhol, ktorý s ním nesusedí.
Veta 5. Tretí znak rovnosti trojuholníkov. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sa tieto trojuholníky rovnajú ().
Príklad 1 V trojuholníkoch ABC a DEF (obr. 4)
∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Porovnajte trojuholníky ABC a DEF. Aký uhol v trojuholníku DEF sa rovná uhlu B?
rozhodnutie. Tieto trojuholníky sú rovnaké v prvom znamienku. Uhol F trojuholníka DEF sa rovná uhla B trojuholníka ABC, pretože tieto uhly ležia oproti zodpovedajúcim rovnakým stranám DE a AC.
Príklad 2 Segmenty AB a CD (obr. 5) sa pretínajú v bode O, ktorý je stredom každého z nich. Čomu sa rovná segment BD, ak je segment AC 6 m?
rozhodnutie.
Trojuholníky AOC a BOD sú rovnaké (podľa prvého kritéria): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikálne), AO = OB, CO = OD (podľa podmienok).
Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva rovnosť ich strán, teda AC = BD. Ale keďže podľa podmienky AC = 6 m, tak BD = 6 m.
Veda o geometrii nám hovorí, čo je trojuholník, štvorec, kocka. V modernom svete ju študujú na školách všetci bez výnimky. Tiež veda, ktorá priamo študuje, čo je trojuholník a aké má vlastnosti, je trigonometria. Podrobne skúma všetky javy spojené s údajmi O tom, čo je trojuholník, si dnes povieme v našom článku. Ich typy budú popísané nižšie, ako aj niektoré vety s nimi súvisiace.
čo je trojuholník? Definícia
Toto je plochý polygón. Má tri rohy, čo je jasné už z jeho názvu. Má tiež tri strany a tri vrcholy, z ktorých prvý sú segmenty, druhý sú body. Keď viete, čomu sa dva uhly rovnajú, môžete nájsť tretí odčítaním súčtu prvých dvoch od čísla 180.
Čo sú trojuholníky?
Môžu byť klasifikované podľa rôznych kritérií.
V prvom rade sa delia na ostré, tupouhlé a pravouhlé. Prvé majú ostré uhly, to znamená tie, ktoré sú menšie ako 90 stupňov. V tupých uhloch je jeden z uhlov tupý, to znamená taký, ktorý sa rovná viac ako 90 stupňom, ostatné dva sú ostré. Medzi akútne trojuholníky patria aj rovnostranné trojuholníky. Takéto trojuholníky majú všetky strany a uhly rovnaké. Všetky sú rovné 60 stupňom, to sa dá ľahko vypočítať vydelením súčtu všetkých uhlov (180) tromi.
Správny trojuholník
Nemožno nehovoriť o tom, čo je pravouhlý trojuholník.
Takáto postava má jeden uhol rovný 90 stupňom (rovný), to znamená, že dve jej strany sú kolmé. Ďalšie dva uhly sú ostré. Môžu sa rovnať, potom to bude rovnoramenné. Pytagorova veta súvisí s pravouhlým trojuholníkom. S jeho pomocou môžete nájsť tretiu stranu, pričom poznáte prvé dve. Podľa tejto vety, ak pridáte druhú mocninu jednej nohy k druhej mocnine, môžete získať druhú mocninu prepony. Druhá mocnina vetvy sa dá vypočítať odčítaním druhej mocniny známej vetvy od druhej mocniny prepony. Keď už hovoríme o tom, čo je trojuholník, môžeme si spomenúť na rovnoramenné. Toto je taká, v ktorej sú dve strany rovnaké a dva uhly sú tiež rovnaké.
Čo je to noha a prepona?
Noha je jednou zo strán trojuholníka, ktoré zvierajú uhol 90 stupňov. Prepona je zostávajúca strana, ktorá je oproti pravému uhlu. Z nej sa dá na nohu spustiť kolmica. Pomer priľahlej vetvy k prepone sa nazýva kosínus a opak sa nazýva sínus.
- aké sú jeho vlastnosti?
Je obdĺžnikový. Jeho nohy sú tri a štyri a prepona je päť. Ak ste videli, že nohy tohto trojuholníka sa rovnajú trom a štyrom, môžete si byť istí, že prepona sa bude rovnať piatim. Podľa tohto princípu sa tiež dá ľahko určiť, že noha sa bude rovnať trom, ak sa druhá rovná štyrom a prepona je päť. Na dôkaz tohto tvrdenia môžete použiť Pytagorovu vetu. Ak sú dve nohy 3 a 4, potom 9 + 16 \u003d 25, koreň z 25 je 5, to znamená, že prepona je 5. Egyptský trojuholník sa tiež nazýva pravouhlý trojuholník, ktorého strany sú 6, 8 a 10 ; 9, 12 a 15 a ďalšie čísla v pomere 3:4:5.
Čo iné môže byť trojuholník?
Trojuholníky možno tiež vpísať a opísať. Obrazec, okolo ktorého je kruh opísaný, sa nazýva vpísaný, všetky jeho vrcholy sú body ležiace na kruhu. Opísaný trojuholník je taký, do ktorého je vpísaný kruh. Všetky jeho strany sú s ním v určitých bodoch v kontakte.
Ako je
Plocha ľubovoľného čísla sa meria v štvorcových jednotkách (metre štvorcové, milimetre štvorcové, centimetre štvorcové, decimetre štvorcové atď.). Túto hodnotu možno vypočítať rôznymi spôsobmi v závislosti od typu trojuholníka. Oblasť ľubovoľného obrázku s uhlami možno nájsť vynásobením jeho strany kolmicou, ktorá naň spadne z opačného uhla, a vydelením tohto obrázku dvoma. Túto hodnotu môžete zistiť aj vynásobením dvoch strán. Potom toto číslo vynásobte sínusom uhla medzi týmito stranami a vydeľte ho dvoma. Ak poznáte všetky strany trojuholníka, ale nepoznáte jeho uhly, môžete nájsť oblasť iným spôsobom. Aby ste to urobili, musíte nájsť polovicu obvodu. Potom od tohto čísla striedavo odčítajte rôzne strany a vynásobte štyri získané hodnoty. Ďalej zistite číslo, ktoré vyšlo. Plochu vpísaného trojuholníka možno nájsť vynásobením všetkých strán a vydelením výsledného čísla, ktorým je okolo neho ohraničené, štyrmi.
Oblasť opísaného trojuholníka sa nachádza týmto spôsobom: polovicu obvodu vynásobíme polomerom kruhu, ktorý je v ňom vpísaný. Ak potom jeho obsah nájdeme takto: stranu odmocníme, výsledné číslo vynásobíme odmocninou troch, potom toto číslo vydelíme štyrmi. Podobne môžete vypočítať výšku trojuholníka, v ktorom sú všetky strany rovnaké, preto musíte jednu z nich vynásobiť odmocninou troch a potom toto číslo vydeliť dvoma.
Trojuholníkové teorémy
Hlavné vety, ktoré sú spojené s týmto obrazcom, sú Pytagorova veta opísaná vyššie a kosínusy. Druhá (sínus) je, že ak vydelíte ktorúkoľvek stranu sínusom uhla opačného k nej, môžete získať polomer kruhu, ktorý je okolo nej opísaný, vynásobený dvoma. Tretím (kosínusom) je, že ak sa od ich súčinu odpočíta súčet štvorcov dvoch strán, vynásobený dvoma a kosínusom uhla umiestneného medzi nimi, získa sa štvorec tretej strany.
Dali trojuholník - čo to je?
Mnohí, ktorí sa stretávajú s týmto konceptom, si najprv myslia, že ide o nejaký druh definície v geometrii, ale vôbec to tak nie je. Dalího trojuholník je spoločný názov pre tri miesta, ktoré sú úzko spojené so životom slávneho umelca. Jeho „vrcholom“ je dom, v ktorom žil Salvador Dalí, hrad, ktorý daroval svojej manželke, a múzeum surrealistických malieb. Počas prehliadky týchto miest sa môžete dozvedieť veľa zaujímavostí o tomto originálnom kreatívnom umelcovi, ktorý je známy po celom svete.
Najjednoduchší polygón, ktorý sa študuje v škole, je trojuholník. Pre študentov je zrozumiteľnejší a stretáva sa s menšími ťažkosťami. Napriek tomu, že existujú rôzne typy trojuholníkov, ktoré majú špeciálne vlastnosti.
Aký tvar sa nazýva trojuholník?
Tvoria ho tri body a úsečky. Prvé sa nazývajú vrcholy, druhé sa nazývajú strany. Okrem toho musia byť všetky tri segmenty spojené tak, aby sa medzi nimi vytvorili rohy. Odtiaľ pochádza názov postavy „trojuholník“.
Rozdiely v názvoch v rohoch
Keďže môžu byť ostré, tupé a rovné, typy trojuholníkov sú určené týmito názvami. Podľa toho existujú tri skupiny takýchto čísel.
- Najprv. Ak sú všetky uhly trojuholníka ostré, potom sa bude nazývať ostrý trojuholník. Všetko je logické.
- Po druhé. Jeden z uhlov je tupý, takže trojuholník je tupý. Jednoduchšie nikde.
- Po tretie. Existuje uhol rovný 90 stupňom, ktorý sa nazýva pravý uhol. Trojuholník sa stáva obdĺžnikovým.
Rozdiely v menách na stranách
V závislosti od vlastností strán sa rozlišujú tieto typy trojuholníkov:
všeobecný prípad je všestranný, v ktorom majú všetky strany ľubovoľnú dĺžku;
rovnoramenné, ktorých dve strany majú rovnaké číselné hodnoty;
rovnostranný, dĺžky všetkých jeho strán sú rovnaké.
Ak úloha nešpecifikuje konkrétny typ trojuholníka, musíte nakresliť ľubovoľný. V ktorých sú všetky uhly ostré a strany majú rôzne dĺžky.
Vlastnosti spoločné pre všetky trojuholníky
- Ak spočítate všetky uhly trojuholníka, dostanete číslo rovnajúce sa 180º. A je jedno, o aký druh ide. Toto pravidlo platí vždy.
- Číselná hodnota ktorejkoľvek strany trojuholníka je menšia ako hodnota ostatných dvoch sčítaných spolu. Navyše je väčší ako ich rozdiel.
- Každý vonkajší roh má hodnotu, ktorá sa získa pridaním dvoch vnútorných rohov, ktoré s ním nesusedia. Navyše je vždy väčšia ako susedná vnútorná.
- Najmenšia strana trojuholníka je vždy oproti najmenšiemu uhlu. Naopak, ak je strana veľká, potom bude uhol najväčší.
Tieto vlastnosti sú vždy platné, bez ohľadu na to, aké typy trojuholníkov sa berú do úvahy v úlohách. Všetko ostatné vyplýva zo špecifických vlastností.
Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka
- Uhly susediace so základňou sú rovnaké.
- Výška, ktorá je nakreslená k základni, je tiež stredom a osou.
- Výšky, stredy a osi, ktoré sú postavené na stranách trojuholníka, sú navzájom rovnaké.
Vlastnosti rovnostranného trojuholníka
Ak existuje takýto údaj, potom všetky vlastnosti opísané trochu vyššie budú pravdivé. Pretože rovnostranný bude vždy rovnoramenný. Ale nie naopak, rovnoramenný trojuholník nemusí byť nevyhnutne rovnostranný.
- Všetky jeho uhly sú si navzájom rovné a majú hodnotu 60º.
- Akýkoľvek medián rovnostranného trojuholníka je jeho výška a stred. A všetci sú si navzájom rovní. Na určenie ich hodnôt existuje vzorec, ktorý pozostáva zo súčinu strany a druhej odmocniny z 3 delenej 2.
Vlastnosti pravouhlého trojuholníka
- Dva ostré uhly tvoria spolu 90º.
- Dĺžka prepony je vždy väčšia ako dĺžka ktorejkoľvek z nôh.
- Číselná hodnota mediánu k prepone sa rovná jej polovici.
- Noha sa rovná rovnakej hodnote, ak leží oproti uhlu 30°.
- Výška, ktorá je nakreslená zhora s hodnotou 90º, má určitú matematickú závislosť od nôh: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / v 2. Tu: a, c - nohy, n - výška.
Problémy s rôznymi typmi trojuholníkov
č. 1 Daný rovnoramenný trojuholník. Jeho obvod je známy a rovná sa 90 cm.Je potrebné poznať jeho strany. Ako ďalšia podmienka: bočná strana je 1,2-krát menšia ako základňa.
Hodnota obvodu priamo závisí od veličín, ktoré je potrebné nájsť. Súčet všetkých troch strán dá 90 cm Teraz si treba zapamätať znamienko trojuholníka, podľa ktorého je rovnoramenný. To znamená, že obe strany sú rovnaké. Môžete vytvoriť rovnicu s dvoma neznámymi: 2a + b \u003d 90. Tu a je strana, b je základňa.
Je čas na dodatočnú podmienku. Potom sa získa druhá rovnica: b \u003d 1,2a. Tento výraz môžete nahradiť prvým. Ukazuje sa: 2a + 1,2a \u003d 90. Po transformáciách: 3,2a \u003d 90. Preto a \u003d 28,125 (cm). Teraz je ľahké zistiť dôvod. Najlepšie je to urobiť od druhej podmienky: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).
Na kontrolu môžete pridať tri hodnoty: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). V poriadku.
Odpoveď: strany trojuholníka sú 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
č. 2. Strana rovnostranného trojuholníka je 12 cm. Musíte vypočítať jeho výšku.
rozhodnutie. Na hľadanie odpovede sa stačí vrátiť do momentu, kde boli opísané vlastnosti trojuholníka. Toto je vzorec na zistenie výšky, mediánu a osi rovnostranného trojuholníka.
n \u003d a * √3 / 2, kde n je výška, a je strana.
Substitúcia a výpočet dávajú nasledujúci výsledok: n = 6 √3 (cm).
Tento vzorec sa netreba učiť naspamäť. Stačí pripomenúť, že výška rozdeľuje trojuholník na dva pravouhlé. Navyše sa ukáže, že ide o nohu a prepona v nej je strana pôvodnej, druhá noha je polovica známej strany. Teraz si musíte zapísať Pytagorovu vetu a odvodiť vzorec pre výšku.
Odpoveď: výška je 6 √3 cm.
č. 3. Je daný MKR - trojuholník, 90 stupňov, v ktorom zviera uhol K. Strany MP a KR sú známe, sú rovné 30 a 15 cm, musíte zistiť hodnotu uhla P.
rozhodnutie. Ak urobíte kresbu, je jasné, že MP je prepona. Navyše je dvakrát väčší ako noha CD. Opäť sa treba obrátiť na vlastnosti. Jeden z nich súvisí práve s rohmi. Z toho je zrejmé, že uhol KMR je 30º. Takže požadovaný uhol P bude rovný 60º. Vyplýva to z ďalšej vlastnosti, ktorá uvádza, že súčet dvoch ostrých uhlov sa musí rovnať 90º.
Odpoveď: uhol R je 60º.
č. 4. Musíte nájsť všetky uhly rovnoramenného trojuholníka. Je o ňom známe, že vonkajší uhol od uhla pri základni je 110º.
rozhodnutie. Keďže je daný iba vonkajší roh, mal by sa použiť. Tvorí sa s rozvinutým vnútorným uhlom. Súčet teda tvorí 180º. To znamená, že uhol pri základni trojuholníka bude rovný 70º. Keďže je rovnoramenný, druhý uhol má rovnakú hodnotu. Zostáva vypočítať tretí uhol. Podľa vlastnosti spoločnej pre všetky trojuholníky je súčet uhlov 180º. Takže tretí je definovaný ako 180º - 70º - 70º = 40º.
Odpoveď: uhly sú 70º, 70º, 40º.
č. 5. Je známe, že v rovnoramennom trojuholníku je uhol oproti základni 90º. Na základni je vyznačená bodka. Úsečka spájajúca ho s pravým uhlom ho delí v pomere 1 ku 4. Musíte poznať všetky uhly menšieho trojuholníka.
rozhodnutie. Jeden z rohov je možné určiť okamžite. Keďže trojuholník je pravouhlý a rovnoramenný, tie, ktoré ležia na jeho základni, budú mať uhol 45º, teda 90º / 2.
Druhý z nich pomôže nájsť vzťah známy v stave. Keďže sa rovná 1 až 4, potom častí, na ktoré je rozdelený, je len 5. Takže na zistenie menšieho uhla trojuholníka potrebujete 90º / 5 = 18º. Zostáva zistiť tretí. Aby ste to dosiahli, musíte od 180º (súčet všetkých uhlov trojuholníka) odpočítať 45º a 18º. Výpočty sú jednoduché a ukazuje sa: 117º.
Trojuholník - definícia a všeobecné pojmy
Trojuholník je taký jednoduchý mnohouholník, ktorý sa skladá z troch strán a má rovnaký počet uhlov. Jeho roviny sú ohraničené 3 bodmi a 3 segmentmi spájajúcimi tieto body v pároch.
Všetky vrcholy akéhokoľvek trojuholníka, bez ohľadu na jeho rozmanitosť, sú označené veľkými latinskými písmenami a jeho strany sú znázornené zodpovedajúcimi označeniami opačných vrcholov, a to nielen veľkými písmenami, ale malými. Napríklad trojuholník s vrcholmi označenými A, B a C má strany a, b, c.
Ak vezmeme do úvahy trojuholník v euklidovskom priestore, potom je to taký geometrický útvar, ktorý bol vytvorený pomocou troch segmentov spájajúcich tri body, ktoré neležia na jednej priamke.
Pozrite sa pozorne na obrázok vyššie. Na ňom sú body A, B a C vrcholy tohto trojuholníka a jeho segmenty sa nazývajú strany trojuholníka. Každý vrchol tohto mnohouholníka tvorí v ňom rohy.
Druhy trojuholníkov
Podľa veľkosti, uhlov trojuholníkov sa delia na také odrody ako: Obdĺžnikové;
Ostrý uhol;
tupý.
Pravouhlé trojuholníky sú trojuholníky, ktoré majú jeden pravý uhol a ďalšie dva ostré uhly.
Ostrouhlé trojuholníky sú tie, v ktorých sú všetky jeho uhly ostré.
A ak má trojuholník jeden tupý uhol a ďalšie dva uhly sú ostré, potom takýto trojuholník patrí k tupým uhlom.
Každý z vás dobre vie, že nie všetky trojuholníky majú rovnaké strany. A podľa dĺžky jeho strán možno trojuholníky rozdeliť na:
rovnoramenné;
Rovnostranný;
Všestranný.
Úloha: Nakreslite rôzne typy trojuholníkov. Dajte im definíciu. Aký medzi nimi vidíš rozdiel?
Základné vlastnosti trojuholníkov
Tieto jednoduché mnohouholníky sa síce môžu od seba líšiť veľkosťou uhlov či strán, no v každom trojuholníku sú základné vlastnosti, ktoré sú charakteristické pre tento obrazec.
V akomkoľvek trojuholníku:
Súčet všetkých jeho uhlov je 180º.
Ak patrí k rovnostrannej, potom sa každý jej uhol rovná 60°.
Rovnostranný trojuholník má navzájom rovnaké a rovnaké uhly.
Čím menšia je strana mnohouholníka, tým menší je uhol oproti nemu a naopak, väčší uhol je oproti väčšej strane.
Ak sú strany rovnaké, potom sú oproti nim rovnaké uhly a naopak.
Ak vezmeme trojuholník a predĺžime jeho stranu, nakoniec vytvoríme vonkajší uhol. Rovná sa súčtu vnútorných uhlov.
V každom trojuholníku bude jeho strana, bez ohľadu na to, ktorú si vyberiete, stále menšia ako súčet ostatných 2 strán, ale väčšia ako ich rozdiel:
1.a< b + c, a >b-c;
2.b< a + c, b >a-c;
3.c< a + b, c >a-b.
Cvičenie
V tabuľke sú uvedené už známe dva uhly trojuholníka. Keď poznáte celkový súčet všetkých uhlov, nájdite, čomu sa rovná tretí uhol trojuholníka, a zadajte do tabuľky:
1. Koľko stupňov má tretí uhol?
2. Do akého druhu trojuholníkov patrí?
Ekvivalenčné trojuholníky
podpisujem
znak II
III znak
Výška, stred a stred trojuholníka
Výška trojuholníka - kolmica nakreslená z hornej časti obrázku na jeho opačnú stranu sa nazýva výška trojuholníka. Všetky výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Priesečníkom všetkých 3 výšok trojuholníka je jeho ortocentrum.
Segment nakreslený z daného vrcholu a spájajúci ho v strede protiľahlej strany je medián. Strednice, ako aj výšky trojuholníka majú jeden spoločný priesečník, takzvané ťažisko trojuholníka alebo ťažisko.
Osa trojuholníka je úsečka, ktorá spája vrchol uhla a bod na opačnej strane a tiež delí tento uhol na polovicu. Všetky osy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý sa nazýva stred kružnice vpísanej do trojuholníka.
Segment, ktorý spája stredy 2 strán trojuholníka, sa nazýva stredová čiara.
Odkaz na históriu
Takáto postava ako trojuholník bola známa v staroveku. Tento obrazec a jeho vlastnosti boli spomenuté na egyptských papyrusoch pred štyrmi tisíckami rokov. O niečo neskôr sa vďaka Pytagorovej vete a Heronovmu vzorcu štúdium vlastnosti trojuholníka posunulo na vyššiu úroveň, no aj tak sa to stalo pred viac ako dvetisíc rokmi.
V 15.-16. storočí sa začalo veľa výskumov o vlastnostiach trojuholníka a v dôsledku toho vznikla taká veda ako planimetria, ktorá sa nazývala „Geometria nového trojuholníka“.
Obrovský prínos k poznaniu vlastností trojuholníkov mal vedec z Ruska N. I. Lobačevskij. Jeho diela neskôr našli uplatnenie ako v matematike, tak aj vo fyzike a kybernetike.
Vďaka znalostiam o vlastnostiach trojuholníkov vznikla taká veda ako trigonometria. Ukázalo sa, že je to potrebné pre človeka v jeho praktických potrebách, pretože jeho použitie je jednoducho nevyhnutné pri zostavovaní máp, meraní oblastí a dokonca aj pri navrhovaní rôznych mechanizmov.
Aký je najznámejší trojuholník? Toto je, samozrejme, Bermudský trojuholník! Svoje meno dostal v 50. rokoch kvôli geografickej polohe bodov (vrcholov trojuholníka), v rámci ktorých podľa doterajšej teórie vznikali anomálie s ním spojené. Vrcholy Bermudského trojuholníka sú Bermudy, Florida a Portoriko.
Zadanie: Aké teórie o Bermudskom trojuholníku ste už počuli?
Viete, že v Lobačevského teórii, keď sčítate uhly trojuholníka, ich súčet má vždy výsledok menší ako 180º. V Riemannovej geometrii je súčet všetkých uhlov trojuholníka väčší ako 180º, zatiaľ čo v Euklidových spisoch sa rovná 180 stupňom.
Domáca úloha
Vylúštiť krížovku na danú tému
Krížovky:
1. Ako sa nazýva kolmica vedená z vrcholu trojuholníka k priamke umiestnenej na opačnej strane?
2. Ako sa dá jedným slovom nazvať súčet dĺžok strán trojuholníka?
3. Pomenujte trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké?
4. Pomenujte trojuholník, ktorý má uhol rovný 90°?
5. Ako sa volá ten väčší zo strán trojuholníka?
6. Názov strany rovnoramenného trojuholníka?
7. V ľubovoľnom trojuholníku sú vždy tri.
8. Ako sa nazýva trojuholník, v ktorom jeden z uhlov presahuje 90°?
9. Názov úsečky spájajúcej vrch našej postavy so stredom opačnej strany?
10. V jednoduchom mnohouholníku ABC je veľké písmeno A...?
11. Ako sa volá úsečka, ktorá delí uhol trojuholníka na polovicu.
Otázky týkajúce sa trojuholníkov:
1. Uveďte definíciu.
2. Koľko má výšok?
3. Koľko osi má trojuholník?
4. Aký je jeho súčet uhlov?
5. Aké typy tohto jednoduchého mnohouholníka poznáte?
6. Pomenujte body trojuholníkov, ktoré sa nazývajú úžasné.
7. Aký prístroj dokáže merať uhol?
8. Ak ručičky hodín ukazujú 21 hodín. Aký uhol zvierajú hodinové ručičky?
9. Pod akým uhlom sa človek otočí, ak dostane povel „doľava“, „okolo“?
10. Aké ďalšie definície poznáte, ktoré sa spájajú s obrazcom, ktorý má tri uhly a tri strany?
