Záporné premietanie vektora na os. Projekcie vektorov na súradnicové osi

Teraz sme pripravení predstaviť najdôležitejší koncept premietania vektora na os. Neustále sa používa pri riešení fyzických problémov.

7.5.1 Aká je projekcia vektora na os?

Nech je daný vektor ~a a os X. Predpokladá sa, že os X má mierku, ktorá umožňuje merať dĺžky segmentov a priradiť im rozmer vektora ~a.

Od začiatku a konca vektora ~a púšťame kolmice na os X; nech sú A a B základne týchto kolmic (obr. 7.26). Označte dĺžku segmentu AB jABj.

Ryža. 7.26. Premietanie vektora na os

Definícia. Os projekcie vektora ~a na os X sa rovná dĺžke segmentu AB, pričom sa berie so znamienkom plus, ak je uhol medzi vektorom ~a a osou X ostrý, a so znamienkom mínus, respektíve, ak " je tupé (alebo nepreložené). Ak je uhol pravý, potom ax = 0.

Stručne povedané, máme nasledujúci vzorec:

Obrázok 7.27 znázorňuje všetky tieto možnosti.

Tu, ako obvykle, a = j~aj je modul vektora ~a.

Skutočne, ak "< 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .

Ak "\u003e 90, potom pri pohybe v strednej časti obr. 7.27 do uhla susediaceho s uhlom ", vidíme, že vzorec (7.10) udáva dĺžku stredného červeného segmentu so znamienkom mínus (kvôli negativite kosínusu), čo je presne to, čo potrebujeme.

Nakoniec, ak " = 90 , potom vzorec (7.10) dáva ax = 0, pretože kosínus pravý uhol rovná sa nule. Presne tak to má byť (pravá strana obrázku).

Predpokladajme teraz, že os x má ďalší počiatok, takže ide o obvyklú súradnicovú os. Potom máme ešte jeden vzorec pre projekčnú sekeru , ktorý tiež obsahuje všetky tri prípady na obrázku 7.27 v ¾archivovanej¿ forme.

Dôsledok 2. Nech x1 a x2 sú súradnice začiatku a konca vektora ~a. Potom sa projekčná sekera vypočíta podľa vzorca:

Skutočne, pozrime sa na Obr. 7.28. Toto je prípad pozitívnej projekcie. Z obrázku je zrejmé, že rozdiel x2 x1 sa rovná dĺžke červeného segmentu a táto dĺžka je v tomto prípade práve os projekcie.

Ryža. 7.28. Premietanie vektora na os. K záveru 2

Čo sa stane v zostávajúcich dvoch prípadoch (ax< 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.

7.5.2 Vlastnosti premietania vektora na os

Operácia premietania vektora na os sa pozoruhodne dobre zhoduje s operáciami sčítania vektorov a násobenia skalárnym vektorom. Konkrétne, bez ohľadu na os x platia nasledujúce dve konštrukčné vlastnosti.

1. Priemet vektora ~a + b na os X je ax + bx .

Stručná slovná formulácia: priemet súčtu vektorov sa rovná súčtu ich priemetov. To platí pre súčet ľubovoľného počtu vektorov, nielen pre dva.

Najprv si toto tvrdenie ilustrujeme na obrázku. Umiestnime začiatok storočia -

torusu b na koniec vektora ~a, a nech ~c = ~a + b (obr. 7.29).

Na tento údaj je jasne vidieť, že priemet cx sa rovná súčtu dĺžok červeného a zeleného segmentu, teda len ax + bx.

Pravda, obr. 7.29 je urobený pre prípad ax > 0 a bx > 0. Aby sme dokázali naše tvrdenie pre všetkých naraz možné hodnoty projekcie ax a bx vykonáme nasledujúcu univerzálnu úvahu založenú na vzorci (7.11).

Tieto označenia sú prítomné aj na obr. 7.29.

Podľa vzorca (7.11 ) máme: ax = x2 x1 , bx = x3 x2 , cx = x3 x1 . Teraz je ľahké vidieť, že:

ax + bx = (x2 x1 ) + (x3 x2 ) = x3 x1 = cx :

Naša prvá projekčná vlastnosť je teda dokázaná.

2. Priemet vektora ~a na os X je a X .

Slovná formulácia: priemet súčinu skaláru a vektora sa rovná súčinu skaláru a priemetu vektora.

Začnime znova ilustráciou. Ľavá strana obrázku 7.30 ukazuje vektor ~a s kladnou osou projekcie.

Ryža. 7.30. Priemet vektora ~a sa rovná ax

Ak vynásobíte vektor ~a 2, jeho dĺžka sa zdvojnásobí, projekcia vektora sa tiež zdvojnásobí (pri zachovaní znamienka) a bude sa rovnať 2ax .

Ak vektor ~a vynásobíme 2, jeho dĺžka sa opäť zdvojnásobí, ale smer sa obráti. Projekcia zmení znamienko a bude sa rovnať 2ax.

Podstata druhej vlastnosti je teda jasná a teraz môžeme poskytnúť prísny dôkaz.

Tak nech ~ . Ideme dokázať, že x x . b = ~a b = a

Použime na to vzorec (7.10). Máme:

ax = a cos "; bx = b cos;

kde je uhol medzi vektorom a osou a uhol medzi vektorom ~ a osou. Okrem

Navyše, na základe definície násobenia skaláru vektorom:

Touto cestou:

bx = j ja čos:

Ak, tak j j ; v tomto prípade je vektor ~ smerovaný spolu s vektorom, a preto.

> 0 = b~a = "

bx = a cos" = ax:

Ak, tak j j ; v tomto prípade je vektor ~ opačný v smere vektora

ru ~a. Je ľahké zistiť, že = " (napríklad, ak " je ostré, to znamená, že vedľa neho je tupé, a naopak). Potom máme:

bx = ()a cos(") = ()a(cos ") = a cos " = ax :

Vo všetkých prípadoch sa tak získa požadovaný vzťah a tým sa úplne dokáže druhá vlastnosť projekcie.

7.5.3 Konštrukčná operácia vo fyzike

Veľmi dôležité sú pre nás overené vlastnosti projektovej prevádzky. Napríklad v mechanike ich využijeme na každom kroku.

Riešenie mnohých problémov v dynamike teda začína zápisom druhého Newtonovho zákona vo vektorovej forme. Vezmime si napríklad kyvadlo s hmotnosťou m zavesené na nite. Pre kyvadlo bude druhý Newtonov zákon:

Po napísaní druhého Newtonovho zákona vo vektorovej forme pristúpime k jeho projekcii na

Pri prechode z vektorovej rovnosti (7.12 ) na skalárnu rovnosť (7.13 ) sa využívajú obe vlastnosti návrhu! Totiž vďaka vlastnosti 1 sme projekciu súčtu vektorov zapísali ako súčet ich premietaní; vlastnosť 2 nám umožňuje zapísať projekcie vektorov m~a a m~g ako max a mgx .

Obidve vlastnosti operácie projekcie teda zabezpečujú prechod z vektorových na skalárne rovnosti a tento prechod možno vykonať formálne a bez rozmýšľania: šípky v zápise vektorov zahodíme a namiesto nich dáme projekčné indexy. Presne takto vyzerá prechod z rovnice (7.12) do rovnice (7.13).

Vpravo a b = |b|cos(a,b) alebo

Kde a b je skalárny súčin vektorov , |a| - modul vektora a .

Poučenie. Nájsť priemet vektora Пp a b in online režim musíte zadať súradnice vektorov a a b . V tomto prípade môže byť vektor uvedený v rovine (dve súradnice) a v priestore (tri súradnice). Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word. Ak sú vektory dané súradnicami bodov, musíte použiť túto kalkulačku.

Klasifikácia vektorovej projekcie

Typy projekcií podľa definície vektorové premietanie

Typy projekcií podľa súradnicového systému

Vlastnosti vektorovej projekcie

1. Geometrické premietanie vektora je vektor (má smer).
2. Algebraická projekcia vektora je číslo.

Vektorové projekčné teorémy

Vpravo a b = |b|cos(a,b)

Typy vektorových projekcií

1. projekcia na os OX.
2. projekcia na os OY.
3. premietanie do vektora.

Projekcia na os OX	Projekcia na os OY	Projekcia do vektora
Ak sa smer vektora A'B' zhoduje so smerom osi OX, potom má projekcia vektora A'B' kladné znamienko.	Ak sa smer vektora A'B' zhoduje so smerom osi OY, potom má priemet vektora A'B' kladné znamienko.	Ak sa smer vektora A'B' zhoduje so smerom vektora NM, potom má priemet vektora A'B' kladné znamienko.
Ak je smer vektora opačný ako smer osi OX, potom má projekcia vektora A'B' záporné znamienko.	Ak je smer vektora A'B' opačný ako smer osi OY, potom má priemet vektora A'B' záporné znamienko.	Ak je smer vektora A'B' opačný ako smer vektora NM, potom má priemet vektora A'B' záporné znamienko.
Ak je vektor AB rovnobežný s osou OX, potom sa priemet vektora A'B' rovná modulu vektora AB.	Ak je vektor AB rovnobežný s osou OY, potom sa priemet vektora A'B' rovná modulu vektora AB.	Ak je vektor AB rovnobežný s vektorom NM, potom sa priemet vektora A'B' rovná modulu vektora AB.
Ak je vektor AB kolmý na os OX, potom sa priemet A'B' rovná nule (nulový vektor).	Ak je vektor AB kolmý na os OY, potom sa projekcia A'B' rovná nule (nulový vektor).	Ak je vektor AB kolmý na vektor NM, potom sa priemet A'B' rovná nule (nulový vektor).

1. Otázka: Môže mať premietanie vektora záporné znamienko. Odpoveď: Áno, vektorové projekcie môžu byť negatívne. V tomto prípade má vektor opačný smer (pozrite sa, ako sú nasmerované os OX a vektor AB)
2. Otázka: Môže sa priemet vektora zhodovať s modulom vektora. Odpoveď: Áno, môže. V tomto prípade sú vektory rovnobežné (alebo ležia na rovnakej čiare).
3. Otázka: Môže byť priemet vektora rovný nule (nulový vektor). Odpoveď: Áno, môže. V tomto prípade je vektor kolmý na príslušnú os (vektor).

Príklad 1. Vektor (obr. 1) zviera s osou OX uhol 60 o (je daný vektorom a). Ak je OE jednotka stupnice, potom |b|=4, takže .

Skutočne, dĺžka vektora ( geometrická projekcia b) sa rovná 2 a smer je rovnaký ako smer osi OX.

Príklad 2. Vektor (obr. 2) zviera s osou OX uhol (s vektorom a) (a,b) = 120 o. Dĺžka |b| vektor b sa rovná 4, takže pr a b=4 cos120 o = -2.

V skutočnosti sa dĺžka vektora rovná 2 a smer je opačný ako smer osi.

projekcia vektor na osi sa nazýva vektor, ktorý sa získa vynásobením skalárneho premietania vektora na túto os a jednotkového vektora tejto osi. Napríklad, ak je x skalárna projekcia vektor a na osi x, potom a x i- jeho vektorové premietanie na túto os.

Označiť vektorová projekcia rovnako ako samotný vektor, ale s indexom osi, na ktorú sa vektor premieta. Takže vektorová projekcia vektora a na osi x označujú a X ( mastný písmeno označujúce vektor a dolný index názvu osi) alebo (netučné písmeno označujúce vektor, ale so šípkou navrchu (!) a dolným indexom názvu osi).

Skalárna projekcia vektor na os sa nazýva číslo, ktorej absolútna hodnota sa rovná dĺžke segmentu osi (vo zvolenej mierke) uzavretého medzi priemetmi začiatočného bodu a koncového bodu vektora. Zvyčajne namiesto výrazu skalárna projekcia jednoducho povedz - projekcia. Projekcia sa označuje rovnakým písmenom ako premietaný vektor (normálnym, nie tučným písmom) s dolným indexom (zvyčajne) názvu osi, na ktorú sa tento vektor premieta. Napríklad, ak sa vektor premieta na os x a, potom jeho priemet označíme a x . Pri premietaní rovnakého vektora na inú os, ak je osou Y , bude jej projekcia označená ako y .

Na výpočet projekcie vektor na osi (napríklad os X) je potrebné odčítať súradnicu začiatočného bodu od súradnice jeho koncového bodu, tj.
a x \u003d x k - x n.
Priemet vektora na os je číslo. Navyše, projekcia môže byť kladná, ak je hodnota x k väčšia ako hodnota x n,

záporné, ak je hodnota x k menšia ako hodnota x n

a rovné nule, ak x k sa rovná x n.

Projekciu vektora na os možno nájsť aj tak, že poznáme modul vektora a uhol, ktorý zviera s touto osou.

Z obrázku je zrejmé, že a x = a Cos α

to znamená, že priemet vektora na os sa rovná súčinu modulu vektora a kosínusu uhla medzi smerom osi a vektorový smer. Ak je uhol ostrý, potom
Cos α > 0 a a x > 0, a ak je tupý, potom kosínus Tupý uhol je záporná a projekcia vektora na os bude tiež záporná.

Uhly počítané od osi proti smeru hodinových ručičiek sa považujú za pozitívne av smere - negatívne. Keďže však kosínus je párna funkcia, to znamená Cos α = Cos (− α), pri výpočte projekcií možno uhly počítať v smere aj proti smeru hodinových ručičiek.

Na nájdenie projekcie vektora na os je potrebné modul tohto vektora vynásobiť kosínusom uhla medzi smerom osi a smerom vektora.

Vektorové súradnice sú koeficienty jedinej možnej lineárnej kombinácie bázových vektorov vo zvolenom súradnicovom systéme rovné danému vektoru.

Os je smer. Preto sa priemet na os alebo na smerovanú čiaru považuje za rovnaký. Projekcia môže byť algebraická alebo geometrická. Z geometrického hľadiska sa priemet vektora na os chápe ako vektor a v algebrickom zmysle je to číslo. To znamená, že sa používajú koncepty premietania vektora na os a numerické premietanie vektora na os.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ak máme os L a nenulový vektor A B → , potom môžeme zostrojiť vektor A 1 B 1 ⇀ , označujúci priemety jeho bodov A 1 a B 1 .

A 1 B → 1 bude projekcia vektora A B → na L .

Definícia 1

Priemet vektora na os volá sa vektor, ktorého začiatok a koniec sú projekcie začiatku a konca daného vektora. n p L A B → → je zvykom označovať priemet A B → na L . Ak chcete zostrojiť projekciu na L, umiestnite kolmice na L.

Príklad 1

Príklad premietania vektora na os.

Na rovine súradníc O x y je určený bod M 1 (x 1, y 1). Pre obraz polomerového vektora bodu M 1 je potrebné postaviť projekcie na O x a O y. Získame súradnice vektorov (x 1 , 0) a (0 , y 1) .

Ak hovoríme o priemete a → na nenulové b → alebo priemete a → do smeru b → , tak máme na mysli priemet a → na os, s ktorou sa zhoduje smer b →. Priemet a → na priamku definovanú b → označujeme n p b → a → → . Je známe, že keď je uhol medzi a → a b → , môžeme považovať n p b → a → → a b → kosmerné. V prípade, že je uhol tupý, n p b → a → → a b → smerujú opačne. V situácii kolmosti a → a b → a a → je nula, priemet a → pozdĺž smeru b → je nulový vektor.

Číselná charakteristika premietania vektora na os je číselná premietanie vektora na danú os.

Definícia 2

Numerické premietanie vektora na os zavolajte číslo, ktoré sa rovná súčinu dĺžky daného vektora a kosínusu uhla medzi daným vektorom a vektorom, ktorý určuje smer osi.

Číselná projekcia A B → na L je označená n p L A B → a a → na b → - n p b → a → .

Na základe vzorca dostaneme n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , odkiaľ a → je dĺžka vektora a → , a ⇀ , b → ^ je uhol medzi vektormi a → a b → .

Dostaneme vzorec na výpočet číselnej projekcie: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Platí pre známe dĺžky a → a b → a uhol medzi nimi. Vzorec je použiteľný pre známe súradnice a → a b → , existuje však jeho zjednodušená verzia.

Príklad 2

Zistite numerický priemet a → na priamku v smere b → s dĺžkou a → rovnou 8 a uhlom medzi nimi je 60 stupňov. Podľa podmienky máme a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Číselné hodnoty teda dosadíme do vzorca n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

odpoveď: 4.

Pri známom cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → máme a → , b → ako skalárny produkt a → a b → . Podľa vzorca n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ môžeme nájsť číselnú projekciu a → smerujúcu pozdĺž vektora b → a dostaneme n p b → a → = a → , b → b → . Vzorec je ekvivalentný definícii uvedenej na začiatku vety.

Definícia 3

Číselný priemet vektora a → na os zhodnej s b → je pomer skalárneho súčinu vektorov a → a b → k dĺžke b → . Vzorec n p b → a → = a → , b → b → je použiteľný na nájdenie numerického priemetu a → na priamku zhodnú v smere s b → , so známymi súradnicami a → a b →.

Príklad 3

Dané b → = (- 3 , 4) . Nájdite numerickú projekciu a → = (1 , 7) na L .

Riešenie

Na rovine súradníc n p b → a → = a → , b → b → má tvar n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , pričom a → = (a x , a y ) a b → = b x , b y . Na nájdenie numerickej projekcie vektora a → na os L potrebujete: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

odpoveď: 5.

Príklad 4

Nájdite priemet a → na L , ktorý sa zhoduje so smerom b → , kde sú a → = - 2 , 3 , 1 a b → = (3 , - 2 , 6) . Je daný trojrozmerný priestor.

Riešenie

Dané a → = a x , a y , a z a b → = b x , b y , b z vypočítajte skalárny súčin: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Dĺžku b → nájdeme podľa vzorca b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Z toho vyplýva, že vzorec na určenie číselnej projekcie a → bude: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Dosadíme číselné hodnoty: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odpoveď: - 6 7 .

Pozrime sa na súvislosť medzi a → na L a dĺžkou priemetu a → na L . Nakreslite os L pridaním a → a b → z bodu do L, potom nakreslíme kolmicu z konca a → na L a premietneme na L . Existuje 5 variácií obrázkov:

Prvý prípad, keď a → = n p b → a → → znamená a → = n p b → a → → , teda n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Po druhé prípad znamená použitie n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , teda n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Po tretie prípad vysvetľuje, že keď n p b → a → → = 0 → dostaneme n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, potom n p b → a → → = 0 a n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Po štvrté prípad ukazuje n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , nasleduje n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Po piate prípad ukazuje a → = n p b → a → → , čo znamená a → = n p b → a → → , teda máme n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Definícia 4

Číselný priemet vektora a → na os L , ktorá smeruje ako b → , má význam:

• dĺžka priemetu vektora a → na L za predpokladu, že uhol medzi a → a b → je menší ako 90 stupňov alebo rovný 0: n p b → a → = n p b → a → → s podmienkou 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nula pod podmienkou kolmosti a → a b → : n p b → a → = 0 keď (a → , b → ^) = 90 ° ;
• dĺžka priemetu a → na L, krát -1, keď je tupý alebo sploštený uhol vektorov a → a b → : n p b → a → = - n p b → a → → s podmienkou 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Príklad 5

Vzhľadom na dĺžku priemetu a → na L sa rovná 2 . Nájdite číselnú projekciu a → za predpokladu, že uhol je 5 π 6 radiánov.

Riešenie

Z podmienky je zrejmé, že tento uhol je tupý: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

odpoveď: - 2.

Príklad 6

Daná je rovina O x y z s dĺžkou vektora a → rovnou 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) s uhlom 30 stupňov. Nájdite súradnice priemetu a → na os L.

Riešenie

Najprv vypočítame numerickú projekciu vektora a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Podľa podmienky je uhol ostrý, potom numerická projekcia a → = je dĺžka priemetu vektora a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Tento prípad ukazuje, že vektory n p L a → → a b → sú v spoločnej orientácii, čo znamená, že existuje číslo t, pre ktoré platí rovnosť: n p L a → → = t · b → . Odtiaľto vidíme, že n p L a → → = t b → , takže môžeme nájsť hodnotu parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Potom n p L a → → = 3 b → so súradnicami priemetu vektora a → na os L sú b → = (- 2 , 1 , 2) , kde je potrebné vynásobiť hodnoty 3 Máme n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Odpoveď: (- 6 , 3 , 6) .

Je potrebné zopakovať predtým študované informácie o stave kolinearity vektora.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Premietanie rôznych línií a plôch na rovinu vám umožňuje vytvoriť vizuálnu reprezentáciu objektov vo forme kresby. Budeme uvažovať pravouhlé premietanie, v ktorom sú premietané lúče kolmé na premietaciu rovinu. PROJEKTOVANIE VEKTORA NA ROVINE uvažujme vektor \u003d (obr. 3.22), uzavretý medzi kolmicami vypustenými z jeho začiatku a konca.

Ryža. 3.23. Vektorové premietanie vektora na os.

Vo vektorovej algebre je často potrebné premietnuť vektor na OSU, teda na priamku, ktorá má určitú orientáciu. Takýto návrh je jednoduchý, ak vektor a os L ležia v rovnakej rovine (obr. 3.23). Úloha sa však stáva zložitejšou, keď táto podmienka nie je splnená. Zostrojme priemet vektora na os, ke vektor a os neleia v rovnakej rovine (obr. 3.24).

Ryža. 3.24. Premietanie vektora na os
všeobecne.

Cez konce vektora nakreslíme roviny kolmé na priamku L. V priesečníku s touto priamkou tieto roviny definujú dva body A1 a B1 - vektor, ktorý nazveme vektorovým premietaním tohto vektora. Problém nájdenia vektorovej projekcie možno vyriešiť jednoduchšie, ak sa vektor dostane do rovnakej roviny s osou, čo je možné, pretože vo vektorovej algebre sa uvažuje s voľnými vektormi.

Spolu s vektorovou projekciou existuje aj SKALÁRNE PROJEKCIA, ktorá sa rovná modulu vektorového premietania, ak sa vektorová projekcia zhoduje s orientáciou osi L, a rovná sa jej opačnej hodnote, ak vektorová projekcia a os L má opačnú orientáciu. Skalárna projekcia bude označená:

Vektorové a skalárne projekcie nie sú v praxi vždy striktne terminologicky oddelené. Zvyčajne sa používa termín "vektorová projekcia", čo znamená skalárnu projekciu vektora. Pri rozhodovaní je potrebné jasne rozlišovať medzi týmito pojmami. V súlade so zavedenou tradíciou budeme používať výrazy "vektorová projekcia", ktorá znamená skalárnu projekciu a "vektorová projekcia" - v súlade so zavedeným významom.

Dokážme vetu, ktorá nám umožňuje vypočítať skalárnu projekciu daného vektora.

VETA 5. Priemet vektora na os L sa rovná súčinu jeho modulu a kosínusu uhla medzi vektorom a osou, tj.

(3.5)

Ryža. 3.25. Hľadanie vektora a skalárneho
Vektorové projekcie na osi L
(a os L sú rovnako orientované).

DÔKAZ. Urobme predbežné konštrukcie, ktoré nám umožnia nájsť uhol G Medzi vektorom a osou L. K tomu zostrojíme priamku MN rovnobežnú s osou L a prechádzajúcu bodom O - začiatkom vektora (obr. 3.25). Uhol bude požadovaný uhol. Narysujme bodmi A a O dve roviny kolmé na os L. Dostaneme:

Keďže os L a priamka MN sú rovnobežné.

Vyčleňujeme dva prípady vzájomného usporiadania vektora a osi L.

1. Vektorový priemet a os L nech sú rovnako orientované (obr. 3.25). Potom zodpovedajúca skalárna projekcia .

2. Nech a L sú orientované v rôzne strany(obr. 3.26).

Ryža. 3.26. Nájdenie vektorových a skalárnych projekcií vektora na osi L (a os L sú orientované v opačných smeroch).

Tvrdenie vety teda platí v oboch prípadoch.

VETA 6. Ak je začiatok vektora zmenšený na určitý bod osi L a táto os leží v rovine s, zviera s priemetom vektora do roviny s uhol a s vektorom uhol. premietanie na os L, navyše samotné vektorové projekcie zvierajú medzi sebou uhol , teda