Obraz priestorových postáv. Vizuálny sprievodca (2019). Príklady konštrukcie axonometrických priemetov geometrických útvarov

Prednáška na tému "Predmet stereometrie"

Geometria je veda, ktorá študuje vlastnosti geometrické tvary.

Školský kurz geometrie je rozdelený nadve sekcie:planimetria astereometria.

Planimetrie - odbor geometrie, ktorý študuje vlastnosti geometrických útvarov na rovine.

Planimetriu sme študovali v 7.-9.

Tento rok začíname študovať druhú sekciu geometrie – objemovú geometriu

Stereometria je oblasť geometrie, ktorá študuje vlastnosti geometrických tvarov v priestore.

Slovo "stereometria" pochádza z gréckych slov "stereos" objemový, priestorový a "metrio" na meranie.

Pevná geometria berie do úvahy matematické modely tých hmotných objektov, ktorými sa zaoberajú architekti, dizajnéri, stavitelia a iní špecialisti.

Okrem toho školský kurz stereometrie slúži ako základ pre kreslenie a deskriptívnu geometriu - najdôležitejšie disciplíny každej technickej univerzity.

Hlavné postavy stereometrie

Stereometria teda študuje vlastnosti geometrických tvarov v priestore.

Geometrické tvary v priestore.

sa nazývajú telá.

V stereometrii budeme študovať vlastnosti geometrických telies, počítať ich plochy a objemy.

Pri štúdiu priestorových postáv sa používa ich obraz na výkrese.

Obraz priestorovej postavy je jej projekcia do určitej roviny. Ten istý obrázok pripúšťa rôzne zobrazenia.

Zvyčajne sa vyberie jeden z nich, ktorý je najvhodnejší na štúdium jeho vlastností.

Na obrazovke vidíte mnohosteny - kocku, rovnobežnosten a pyramídu, rotačné telesá - guľu, kužeľ a valec.

Pri zobrazovaní priestorových obrazcov sú neviditeľné časti týchto obrazcov znázornené prerušovanými čiarami.

Kde začína stereometria?

Rovnako ako planimetria.

Začali sme študovať planimetriu so základnými pojmami, obrazcami a axiómami.

Základné pojmy stereometrie

Po prvé, je to bod a priamka, ako v planimetrie. A pridáva sa lietadlo.

Takže základné pojmy stereometrie sú: melanchólia, priamka, rovina. Prijímajú sa bez predsudkov.

Novým pojmom je pre nás lietadlo.

Rovina, podobne ako priamka v planimetrii, je nekonečná. Rozprestiera sa všetkými smermi na neobmedzenú vzdialenosť.

Geometrickými modelmi časti roviny sú napríklad povrch stola, dosky a pod.

Znázornite rovinu vo forme rovnobežníka alebo vo forme ľubovoľnej oblasti.

Označenie, ktoré budeme používať.

Bodky. Rovnako ako predtým budú body označené veľkými latinskými písmenamiA, B, C ….

Na obrazovke sú 4 bodky. Sú označené písmenamiA, B, C a D

Priamy. Rovné čiary sú označené malými písmenami latinkya, b, c..., alebo dve veľké latinské písmenáAB, CD, …

V druhom prípade používame notáciu

dva body, cez ktoré čiara prechádza.

Na obrazovke vidíte priamya. Sú na ňom bodky.MaN.

Rovnoamožno označiť aj akoMN.

Lietadlá. Roviny sa zvyčajne označujú malými písmenami grécke písmená (alfa, beta, gama, delta, ...)

Roviny môžu byť pomenované aj podľa troch bodov, ktorými lietadlá prechádzajú.

Napríklad na obrazovke lietadla modrej farby označený ako α, môže byť tiež nazývanýABC.

Lietadlo béžovej farby označené β, možno ho označiť aj akoKLN alebo KLM. Zoberú sa akékoľvek tri body, cez ktoré rovina prechádza.

Rovnako ako v planimetrii, aj v stereometrii použijeme pre body znamienko: (patrí do roviny) a pre priame čiary je znak: (leží v lietadle).

Prečiarknuté znaky znamenajú negáciu – nepatrí do roviny, neleží v rovine.

Na obrázku môžete vidieť dva bodyA a Bpatria do lietadlaα (rovina prechádza týmito bodmi) a body M, N,Knepatria do tejto roviny (rovina týmito bodmi neprechádza).

V skratke sa to píše takto:

Bod A patrí rovine α, bodBpatrí do roviny α.

Bodka MNnepatrí do roviny α, bodKnepatrí do roviny α.

V tejto lekcii sme sa zoznámili s novou sekciou geometrie - stereometriou.

Naučili sme sa, že základné pojmy stereometrie sú bod, priamka, rovina. Pamätajte si, ako sa kreslia body a čiary. Dozvedeli sme sa, ako je lietadlo zobrazené a označené.

Prejdime k riešeniu problémov.

Úloha 1.

Vzhľadom na to:

bodov A, B, C a Dneleží v rovnakej rovine.

Uveďte roviny, do ktorých patrí:

a) rovný AB;

b) bod F;

c) bod C.

rozhodnutie.

a) Priame ABleží v dvoch rovinách:ABC a ABD;

b) Bod Fpatrí medzi lietadlá:ABC a BCD;

c) Bod Cpatrí do troch rovín:ABC, BCD, ACD.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zbierať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Úvod

§jedna. Úloha a miesto geometrických konštrukcií v školskom kurze

§2. Technika riešenia úloh v stereometrii

§3. Základy teórie geometrických konštrukcií

3.1 Všeobecné axiómy konštruktívnej geometrie

3.2 Konštrukčná úloha

§4. Metodika riešenia konštrukčných úloh v stereometrii

4.1 Analýza

4.2 Stavba

4.3 Dôkaz

4.4 Výskum

Záver

Literatúra

Úvod

Celá história geometrie a niektorých ďalších odvetví matematiky je úzko spätá s rozvojom teórie geometrických konštrukcií. Najdôležitejšie axiómy geometrie, ktoré sformuloval zakladateľ vedeckého geometrického systému Euklides okolo roku 300 pred Kristom, jasne ukazujú, akú úlohu zohrávali geometrické konštrukcie pri formovaní geometrie. „Priamku možno nakresliť z akéhokoľvek bodu do akéhokoľvek bodu“, „Obmedzenú priamku je možné plynulo predĺžiť“, „Kruh možno opísať z akéhokoľvek stredu a akéhokoľvek riešenia“ – tieto Euklidove postuláty jasne označujú základnú polohu konštruktívne metódy v geometrii staroveku.

Starovekí grécki matematici považovali za „skutočné geometrické“ iba konštrukcie vytvorené iba pomocou kružidla a pravítka, pričom za „legitímne“ neuznávali použitie iných prostriedkov na riešenie konštruktívnych problémov. Zároveň v súlade s postulátmi Euklida považovali vládcu za neobmedzený a jednostranný a schopnosť kresliť kruhy akejkoľvek veľkosti sa pripisovala kompasu. Úlohy pri stavaní s kružidlom a pravítkom sú aj dnes považované za veľmi zaujímavé a už viac ako sto rokov sú tradičným materiálom pre školský kurz geometrie.

Jedným z najcennejších aspektov takýchto úloh je, že rozvíjajú vyhľadávacie zručnosti na riešenie praktických problémov, uvádzajú ich do realizovateľných nezávislý výskum, prispievajú k rozvoju špecifických geometrických zobrazení, ako aj k dôkladnejšiemu spracovaniu zručností a schopností. A to zase zvyšuje aplikovanú a polytechnickú orientáciu výučby geometrie. Konštrukčné úlohy neumožňujú formálny prístup k nim, sú kvalitatívne novou situáciou pre aplikáciu naštudovaných teorém a umožňujú tak problematické opakovanie. Takéto úlohy je možné úspešne prepojiť s novými myšlienkami kurzu školskej geometrie (premeny, vektory).

Geometrické konštrukcie môžu hrať vážnu úlohu v matematickej príprave študenta. Žiadna z úloh neposkytuje toľko materiálu na rozvoj matematickej iniciatívy a logických schopností žiaka ako geometrické konštrukčné úlohy. Tieto úlohy väčšinou neumožňujú štandardný prístup k nim a formálne vnímanie žiakmi. Konštrukčné úlohy sú vhodné na upevnenie teoretických vedomostí študentov v ktorejkoľvek časti kurzu školskej geometrie. Riešením geometrických konštrukčných úloh žiak získava mnohé užitočné kresliarske zručnosti.

V tomto ročníková práca bude sa brať do úvahy metodika riešenia úloh pre konštrukcie v stereometrii, ako aj úloha a miesto geometrických konštrukcií v školskom kurze.

§jedna. Úloha a miesto geometrických konštrukcií v školskom kurze

Konštrukčné úlohy sú úlohy, pri ktorých je potrebné zostrojiť geometrický útvar podľa vopred určených údajov pomocou obmedzeného súboru nástrojov na kreslenie (najčastejšie pravítka a kružidlá).

Úloha konštrukčných úloh v školskom kurze:

1. Prispieva k rozvoju predstavivosti školákov, pretože ešte pred vyriešením tohto problému je potrebné jasne prezentovať požadovaný obraz.
2. Rozvíja konštruktívne schopnosti študentov a posilňuje príslušné zručnosti kreslenia.
3. Analýza a štúdium získaného riešenia, zváženie vzťahu medzi údajmi a požadovanými prvkami prispieva k rozvoju logického myslenia školákov, najmä - mentálne operácie: analýza, syntéza, abstrakcia; prebudiť ich iniciatívu.
4. Prispieva k solídnej konsolidácii teoretického materiálu kurzu.

Tematické plánovanie materiálu súvisiaceho s geometrickými konštrukciami predpokladá nasledujúce rozdelenie podľa etáp:

1. Úvodná fáza (1.-4. ročník). Školáci sa tu po prvýkrát zoznamujú s kresliacimi pomôckami - pravítkom, kružidlom, trojuholníkom a riešia najjednoduchšie úlohy na zostrojenie priamky, úsečky, kružnice, uhla.
2. Propedeutické štádium (5-6 buniek). väčšia pozornosť geometrickým konštrukciám pripravuje žiakov na ďalšie riešenie náročné úlohy systematický kurz. Používa sa pravítko, kružidlo, uhlomer, trojuholník. Uvažuje sa o konštrukcii rovnobežných a kolmých čiar pomocou štvorca a pravítka; trojuholník s pravítkom, kompasom a uhlomerom; kruh, štvorec, obdĺžnik.
3. Systematický priebeh geometrie (7-11 buniek).

7. trieda. Žiaci sa tu po prvýkrát stretávajú so základnou požiadavkou na geometrické výkresy – všetky konštrukcie je potrebné realizovať len s pomocou kružidla a pravítka. Táto požiadavka vyplýva z dvoch Euklidovych postulátov v Živloch: a) priamka môže byť nakreslená z akéhokoľvek bodu do akéhokoľvek bodu; b) z ľubovoľného stredu môže každé riešenie kružidla opísať kružnicu. V tomto prípade je potrebné dokázať, že zostrojený obrazec spĺňa požiadavky problému. V 7. ročníku sa žiaci oboznamujú s elementárnymi úlohami na zostrojenie, zostrojenie kružnice, vpísanej a opísanej okolo trojuholníka; okrem toho sa žiaci učia prvé všeobecná metóda riešenie konštrukčných úloh - metóda geometrických miest (metóda priesečníkov).

Trieda. V téme "Štvoruholníky" sú riešené zodpovedajúce úlohy na konštrukciu geometrických miest metódou; v téme "Pohyb" - pri riešení úloh stavby sa využívajú všetky druhy pohybu; v téme "Kartézske súradnice na rovine" sú uvažované konštrukcie na súradnicovej rovine (zostrojenie priamky, kružnice, priesečníkov).

Trieda. V téme "Podobné obrazce" - konštrukčné úlohy využívajúce homotetickú a podobnostnú transformáciu; v téme" Pravidelné mnohouholníky» - úlohy na zostrojenie vpísaných a opísaných pravidelných mnohouholníkov.

(ročníky 10-11). V stereometrii sa berú do úvahy dva typy geometrických konštrukcií: a) imaginárne konštrukcie založené len na axiómach stereometrie (často používané pri riešení konštruktívnych problémov typu „Dokážte, že je možné kresliť bodom mimo roviny ...“; b) konštrukcie na projekčnom výkrese, ak sú iné ako body vyznačené obrazce ich priemetu na projekčnú rovinu.

Proces riešenia úloh pozostáva zo štyroch etáp, s ktorými sa žiaci oboznamujú v 7. ročníku:

1)analýza;

2)konštrukcia (syntéza);

3) dôkaz;

)štúdium.

Nie všetky tieto etapy musia byť od začiatku vyslovene prítomné pri riešení stavebných problémov. V najjednoduchších konštruktívnych problémoch, kde je zrejmý konštrukčný algoritmus, je dovolené neanalyzovať problém v explicitnej forme; ak dôkaz vyplýva priamo zo stavby, možno ho aj vynechať (napr. pri stavbe v 7. – 8. ročníku väčšinou buď chýba, alebo sa obmedzuje na kontrolu realizovateľnosti každej operácie a vypracovanie štúdie na zistenie počtu riešení (Ak je to možné)).

§2. Technika riešenia úloh v stereometrii

I. Pri štúdiu stereometrie môžeme určiť tieto hlavné úlohy:

1)vývoj a konsolidácia obsahových línií začala neúplne stredná škola; zovšeobecnenie základných matematických metód na prípad priestoru;

2)štúdium základných vlastností priestorových útvarov;

3)osvojenie si zručností zobrazovania priestorových obrazcov na rovine na základe vlastností paralelného premietania;

4)rozvoj logického myslenia, priestorové reprezentácie žiakov pri riešení úloh a dokazovanie teorémov priebehu stereometrie.

Pri štúdiu stereometrie v škole možno rozlíšiť dve hlavné etapy:

) Vytváranie počiatočných predstáv o priestorových obrazcoch (1. – 9. ročník);

) Systematický kurz stereometrie (10.-11. ročník).

Systematický kurz stereometrie, ktorý sa vyučuje približne 70 hodín v desiatom a jedenástom ročníku, obsahuje tieto témy:

1.Axiómy stereometrie a ich najjednoduchšie dôsledky.

2.Paralelnosť čiar a rovín v priestore.

.Kolmosť čiar a rovín v priestore.

.Súradnice, vektory, geometrické transformácie v priestore.

.Polyhedra.

.Téma rotácie.

.Plocha a objem geometrických telies.

.Obraz priestorových útvarov v rovine.

Súčasné učebnice kladú pri štúdiu stereometrie rôzne vecné akcenty.

Atanasyanova učebnica: materiál rôznych obsahových otázok je často zahrnutý v jednej kapitole (fusionizmus). Zároveň dochádza k častému opakovaniu učiva, odvolávaniu sa na už známu problematiku. Väčšia pozornosť ako Pogorelova sa venuje vektorom, pohybu súradniciam.

Pogorelovova učebnica: má jasnú logickú štruktúru, menej pozornosti vektory a geometrické transformácie. To v sebe implicitne nesie nebezpečenstvo zatemnenia prirodzených súvislostí medzi témami.

Vyzdvihnime niektoré metodologické črty štúdia stereometrie.

1.Priebeh geometrie telesa úplne vychádza z priebehu planimetrie.

väčšina úloh kurzu sa redukuje na riešenie planimetrických úloh, respektíve všetky nedostatky, ktoré sa vyskytli pri štúdiu planimetrie, sa prejavia pri štúdiu geometrie telesa.

Následne sa pre úspešné štúdium stereometrie musí učiteľ neustále vracať k planimetrickému materiálu; pred štúdiom jednej alebo druhej vety je potrebné zopakovať potrebné planimetrické informácie.

2. V stereometrii je zásadne odlišný prístup ku geometrickým konštrukciám.

Ak študenti pri štúdiu planimetrie používajú kresby, ktoré poskytujú jasné predstavy o študovanom objekte, potom v stereometrii neexistujú žiadne nástroje na kreslenie, ktoré by vám umožnili znázorniť priestorové postavy. Tu nemáme do činenia so samotným objektom, ale len s jeho obrazom.

Každá stereometrická úloha je zároveň úlohou na zostrojenie obrazu obrazca s využitím vlastností rovnobežného premietania. To si od študentov vyžaduje oveľa viac úsilia, ako sa vyžaduje pri riešení planimetrických úloh.

3. V priebehu stereometrie sa veľká pozornosť venuje logickej stránke vyvodzovaných záverov; musíte odôvodniť každý zo svojich záverov a jasne stanoviť predpoklady.

Program pre stereometriu predpokladá rýchlejšie tempo prechodu materiálu ako pre planimetriu. Zároveň je na vyriešenie problémov potrebných oveľa viac času, a preto je obsadený väčší priestor samostatná prácaškolákov. Je potrebný starostlivý výber úloh v lekcii – zaraďte len tie najnutnejšie.

5. Priebeh stereometrie je vybudovaný axiomaticky. Pri štúdiu axiomatiky stereometrie je potrebné vyriešiť dva hlavné metodologické problémy:

) sú preformulované axiómy planimetrie pre priestor (niektoré by sa mali objasniť).

Tu sa v skutočnosti pod rúškom dohody medzi učiteľom a študentom zavádza nová axióma:

V akejkoľvek rovine priestoru sú splnené všetky axiómy planimetrie.

) pridávajú sa nové špecifické axiómy priestoru, ktoré sú v prvých fázach štúdia znázornené pomocou modelov, stereometrického boxu, kresby, geometrie triedy.

II. Tvorba priestorových reprezentácií prebieha v niekoľkých fázach a zahŕňa:

schopnosť prezentovať podľa výkresu holistický obraz geometrického útvaru, relatívnu polohu jeho prvkov;

schopnosť mentálne zmeniť polohu postavy - pohľad z druhej strany;

schopnosť mentálne rozobrať postavu, vytvoriť z nej nový predmet;

schopnosť zobraziť postavu na kresbe, primerane odrážať existujúce vzťahy;

schopnosť predstaviť si postavu na základe jej slovného popisu a pod.

V I. etape sa na vizuálnej báze vytvárajú predpoklady na vytvorenie celistvého obrazu postavy so zvýraznením jej podstatných čŕt. V tejto fáze by mal učiteľ vo veľkej miere využívať modely, reálne predmety okolitého sveta. Potom sa vytvorí výkres, ktorý určuje zváženie zodpovedajúcej geometrickej konfigurácie.

Na konci I. a II. etapy si školáci vytvárajú obrazy figúrok a ich kombinácií, ktoré si vedia predstaviť za takmer nezmenených podmienok.

Schéma tvorby priestorových reprezentácií v etapách I a II je nasledovná:

znázornenie modelu výkresu

V II.

Pri zostavovaní kresby v týchto fázach by učiteľ nemal okamžite demonštrovať hotový výkres, ale skúste to so žiakmi vykonávať postupne za účelom postupného vnímania alebo priestorových obrazov.

Stupeň III: - osvojenie si schopnosti pracovať s obrazom v zmenených podmienkach. Školáci najskôr pracujú s hlavnou kresbou, ktorá však často neumožňuje vidieť črty umiestnenia postavy z rôznych pozícií. Preto musí byť výkres spravidla podporený zvážením zodpovedajúceho modelu. Ukážku sprevádzajú špeciálne vybrané otázky.

Napríklad: Aké čísla možno získať prekročením štvorstenu roviny? Ukážte rôzne prípady na modeli a výkrese. Odpoveď zdôvodnite.

Schéma tvorby priestorových reprezentácií v štádiu III:

znázornenie výkresového modelu.

Fáza IV: Študenti musia samostatne zostaviť stereometrické objekty na základe vopred sformulovaných myšlienok. V tomto prípade sa nepoužíva kresba ani vopred pripravený model, ale učiteľovi môžete položiť iba otázky na objasnenie umiestnenia postavy.

Schéma v štádiu IV: prezentačný výkres.

Imaginárne konštrukcie (V.p.) - formálno-logická metóda výstavby v priestore s odmietnutím reálnych konštrukcií pomocou kresliacich nástrojov, sú realizované akoby mentálne; obrázok, ktorý ich sprevádza, je čisto ilustračný.

Z matematického hľadiska V.p. sa považujú za problémy dokazovania existencie čísel definovaných určitými známymi podmienkami. Samotný dôkaz spočíva v zredukovaní procesu konštrukcie obrazcov (alebo ich kombinácií) na konečný počet základných konštrukcií, ktoré sú určené axiomaticky. V tomto prípade riešenie (dôkaz) môže, ale nemusí byť doplnené nákresom.

Učiteľ upozorňuje žiakov na množstvo ťažkostí, ktoré vznikajú pri konštrukcii v priestore (nemôžete postaviť rovinu, mnohosten a pod.). Preto je potrebné presne sa dohodnúť: čo znamená vykonať túto alebo tú stavbu.

Na základe axióm stereometrie môžeme predpokladať možnosť nasledujúcich základných konštrukcií v priestore:

) Rovina môže byť postavená, ak sú špecifikované nasledujúce prvky, ktoré určujú jej polohu v priestore:

a) čiara a bod, ktorý na nej neleží,

b) dve pretínajúce sa čiary,

c) dve rovnobežné čiary

d) tri body, ktoré neležia na tej istej priamke.

) Priamku v priestore možno zostrojiť ako priesečník dvoch rovín.

) Všetky planimetrické konštrukcie sú v priestore realizovateľné len v niektorej danej rovine.

) Guľu možno zostrojiť, ak je daná poloha jej stredu a polomer R.

Realizácia všetkých ostatných stavieb je zredukovaná na konečný počet základných.

Na projekčnom výkrese sú body a čiary nastavené spolu s ich priemetmi do určitej roviny, ktorá sa nazýva hlavná.

Projekčné výkresy umožňujú konštruktívnym prostriedkom stavať body a čiary priesečníkov obrázkov zobrazených na nich. Majú veľmi dôležitosti na rozvoj priestorovej predstavivosti školákov.

Pri štúdiu paralelnej projekcie jeho vlastností sa odporúča oboznámiť školákov v 10. ročníku s projekčnými výkresmi. Tu učiteľ vedie žiakov k záveru, že obrazce na výkrese je možné osadiť jeho premietnutím do premietacej roviny.

Navyše, ak sa bod alebo postava zhoduje s jej projekciou, potom daný bod alebo obrazec leží v projekčnej rovine.

Nákres premietania je možné znázorniť na modeli kvádra, kde rovinou premietania je rovina spodnej základne, smer premietania je určený bočnými rebrami a priemetom hornej základne je spodná základňa.

Hlavným typom stereometrických úloh na konštrukciu na projekčnom výkrese sú úlohy na zostavenie rezov mnohostenov. Škola zvažuje dva spôsoby konštrukcie sekcií:

1)stopová metóda; 2) metóda interiérový dizajn

(Niekedy sa používa kombinácia.)

V súlade s metódou stôp sa najprv na projekčnej rovine vytvorí stopa sečnej roviny a potom sa postupne nájdu priesečníky sečnej roviny s plochami mnohostenu.

Hlavnou nevýhodou tohto spôsobu je, že stopa roviny rezu môže byť odstránená z hlavnej časti výkresu, preto je potrebné výkres zmenšiť, čo je nežiaduce.

Metóda vnútorného návrhu je založená na zhode medzi bodmi rezu a základnými bodmi mnohostenu. Všetky konštrukcie sú v nej, ale je ťažšie vysvetliť logiku konštrukcie a kresba je neprehľadná.

§3. Základy teórie geometrických konštrukcií

1 Všeobecné axiómy konštruktívnej geometrie

Postava v geometrii je ľubovoľná skupina bodov (obsahujúca aspoň jeden bod).

Budeme predpokladať, že v priestore je daná určitá rovina, ktorú nazveme hlavná rovina. Obmedzíme sa na uvažovanie len o takých číslach, ktoré patria do tejto roviny.

Jeden obrazec sa nazýva časť iného obrazca, ak každý bod prvého obrazca patrí druhému obrazcu. Takže napríklad časti priamky budú: ľubovoľný segment ležiaci na nej, lúč ležiaci na tejto priamke, bod na tejto priamke, samotná priamka.

Spojenie dvoch alebo viacerých figúrok je súhrnom všetkých bodov patriacich aspoň jednej z týchto figúrok.

Priesečník alebo spoločná časť dvoch alebo viacerých obrazcov je súborom všetkých bodov, ktoré sú týmto obrazcom spoločné.

Rozdiel dvoch obrázkov F a F je množina všetkých bodov obrázku F, ktoré nepatria obrázku F.

Môže sa ukázať, že priesečník (alebo rozdiel) dvoch obrazcov neobsahuje jediný bod. V tomto prípade hovoríme, že priesečník (resp. rozdiel) týchto obrazcov je prázdna množina bodov.

Odvetvie geometrie, v ktorom sa študujú geometrické konštrukcie, sa nazýva konštruktívna geometria. Základným konceptom konštruktívnej geometrie je koncept konštrukcie geometrického útvaru.

Ak sa o nejakej postave povie, že je daná, tak sa prirodzene rozumie, že už bola vyobrazená, nakreslená, t.j. postavený. Prvá základná požiadavka konštruktívnej geometrie je teda nasledovná:

1. Každý daný obrazec je skonštruovaný.

Všimnite si, že by sme si nemali zamieňať pojmy „daná postava“ a „údaj daný (alebo určený) takými a takýmito danými prvkami“.

1. Ak sú zostrojené dve (alebo viac) figúrok, potom sa zostrojí aj spojenie týchto figúrok.

3. Ak sú zostrojené dve figúry, potom je možné určiť, či ich rozdiel je prázdna množina alebo nie.

Ak rozdiel dvoch zostrojených útvarov nie je prázdnou množinou, potom sa zostrojí tento rozdiel.

Ak sú zostrojené dve postavy, potom je možné určiť, či ich priesečník je prázdna množina alebo nie.

Ak priesečník dvoch zostrojených útvarov nie je prázdny, potom je zostrojený.

Ďalšie tri základné požiadavky hovoria o schopnosti vykresľovať jednotlivé body.

Je možné zostrojiť ľubovoľný konečný počet spoločných bodov dvoch zostrojených útvarov, ak také body existujú.

Môžete zostrojiť bod, ktorý zjavne patrí k zostrojenej figúre.

Môžete zostrojiť bod, ktorý zjavne patrí k zostrojenej figúre.

2 Konštrukčná úloha

Konštrukčná úloha je veta, ktorá naznačuje, podľa akých údajov, akými nástrojmi, aký geometrický útvar je potrebné postaviť (nakresliť na rovinu), aby tento útvar spĺňal určité podmienky.

Vyriešiť konštrukčný problém pomocou kružidla a pravítka znamená zredukovať ho na súbor piatich elementárnych konštrukcií, ktoré sa vopred považujú za realizovateľné. Poďme si ich vymenovať.

Ak sú zostrojené dva body A a B, potom sa zostrojí priamka AB, ktorá ich spája, ako aj úsečka AB a ktorýkoľvek z lúčov AB a BA (axióma pravítka).

Ak sa zostrojí bod O a segment AB, potom sa zostrojí kružnica so stredom v bode O a polomerom AB, ako aj ľubovoľný z oblúkov tejto kružnice.

Ak sú zostrojené dve čiary, potom je zostrojený ich priesečník (ak existuje).

Ak sa zostrojí priamka a kružnica, zostrojí sa ktorýkoľvek z ich priesečníkov (ak existuje).

Ak sú zostrojené dve kružnice, potom sa zostrojí ktorýkoľvek z ich priesečníkov (ak existuje).

Vyriešiť konštrukčný problém znamená nájsť všetky jeho riešenia.

Posledná definícia si vyžaduje určité objasnenie.

Obrazce, ktoré spĺňajú podmienky úlohy, sa môžu líšiť tvarom a veľkosťou, ako aj polohou v rovine. Rozdiely v polohe v rovine sa berú do úvahy alebo neberú do úvahy v závislosti od formulácie samotného konštrukčného problému, konkrétne v závislosti od toho, či stav problému poskytuje alebo neposkytuje určitú polohu požadovaného útvaru vzhľadom na akékoľvek dané čísla. Vysvetlime si to na príkladoch.

Zvážte nasledujúce najjednoduchšia úloha: zostrojte trojuholník s tromi stranami a uhlom medzi nimi. Presný význam tohto problému je nasledovný: zostrojte trojuholník tak, aby sa jeho dve strany rovnali dvom daným úsečkám a uhol medzi nimi sa rovnal danému uhlu. Tu je požadovaný obrazec (trojuholník) spojený s týmito obrazcami (dva segmenty a uhol) iba vzťahmi rovnosti, pričom umiestnenie požadovaného trojuholníka vzhľadom na tieto obrazce je indiferentné. V tomto prípade je ľahké zostrojiť trojuholník, ktorý spĺňa podmienku problému. Všetky trojuholníky rovné tomuto trojuholníku tiež spĺňajú podmienku úlohy. Nemá však zmysel považovať tieto trojuholníky za rôzne riešenia tohto problému, pretože sa navzájom líšia iba svojou polohou v rovine, o ktorej sa v podmienke úlohy nič nehovorí. Preto predpokladáme, že problém má jedinečné riešenie.

Ak teda podmienka problému neposkytuje určité umiestnenie požadovaného útvaru vzhľadom na tieto obrázky, súhlasíme s tým, že budeme hľadať iba všetky nerovnaké útvary, ktoré spĺňajú podmienku problému. Dá sa povedať, že problémy tohto druhu sa riešia „až do rovnosti“. To znamená, že problém sa považuje za vyriešený, ak:

) Zostrojí sa určitý počet nerovnakých útvarov F1, F2, ... Fn, ktoré spĺňajú podmienky úlohy

) je dokázané, že každé číslo, ktoré spĺňa podmienky úlohy, sa rovná jednému z týchto čísel. Predpokladá sa, že problém má n rôznych riešení.

Ak podmienka problému poskytuje určité umiestnenie požadovaného útvaru vzhľadom na ktorýkoľvek daný útvar, potom úplné riešenie spočíva v zostrojení všetkých útvarov, ktoré spĺňajú podmienku problému (ak také útvary existujú) v konečnom počte.

§4. Metodika riešenia konštrukčných úloh v stereometrii

Podstata riešenia konštrukčného problému spočíva v tom, že je potrebné skonštruovať určitú figúrku vopred uvedenými nástrojmi, ak je daná určitá figúrka a existujú určité vzťahy medzi prvkami požadovanej figúry a prvkami tejto figúry. uvedené.

Každý údaj, ktorý spĺňa podmienky úlohy, sa nazýva riešením tohto problému.

Nájsť riešenie konštrukčného problému znamená zredukovať ho na konečný počet základných konštrukcií, to znamená naznačiť konečnú postupnosť základných konštrukcií, po ktorej sa bude požadovaná postava už považovať za postavenú vzhľadom na prijaté axiómy. konštruktívna geometria.

Jedným z hlavných problémov metodiky výučby riešenia konštrukčných problémov je metodika uvádzania a štúdia etáp riešenia konštruktívnych problémov. Dokonca aj v IV storočí. pred Kr e. vyvinuli sa staroveké grécke geometri všeobecná schéma riešenie stavebných problémov, ktoré teraz využívame. Proces riešenia problému je rozdelený do 4 etáp: analýza, konštrukcia, dôkaz a výskum. Pozrime sa podrobnejšie na každú fázu úlohy.

Vzhľadom na body A (A ), B (B ), C (C ) a D (D ). Zostrojte rovinu prechádzajúcu bodom D (D ), rovnobežná s rovinou ABC.

4.1 Analýza

Analýza je míľnikom riešenie problémov, ktoré chápeme ako hľadanie spôsobu riešenia konštrukčného problému. V tejto fáze je potrebné si všimnúť také závislosti medzi týmito obrazcami a požadovaným obrazcom, ktoré by nám umožnili v budúcnosti skonštruovať tento požadovaný obrazec (ak vieme, ako vytvoriť požadovaný obrazec, potom už nie je potrebná žiadna analýza).

Na uľahčenie hľadania súvislostí medzi požadovaným obrazcom a danými obrazcami sa zvyčajne ukazuje ako výhodné mať pred očami pomocný výkres, skicu s údajmi a požadovanými obrazcami približne v dodanom usporiadaní. pretože podľa stavu problému. Kreslenie môže byť vykonané ručne, okom - ide o návrh výkresu, ktorý by sa mal vytvoriť, keď už bola úloha vyriešená.

Na pomocnom výkrese by mali byť tieto prvky a najdôležitejšie prvky záujmu zvýraznené. V praxi je často vhodnejšie začať zostavovať pomocný výkres nie z daného obrazca, ale z približného obrazu pôvodného obrazca, pričom k nemu pripájame údaje tak, aby boli vo vzťahoch naznačených v probléme.

Ak pomocný nákres nenaznačuje spôsob, ako skonštruovať želanú figúru, potom sa pokúsia nájsť nejakú časť želanej figúry alebo vo všeobecnosti nejakú figúru, ktorú možno postaviť a z ktorej sa potom dá zostrojiť želaná figúrka.

Do úvahy sa berú tieto body:

) ak v pomocnom výkrese nie je možné priamo zaznamenať súvislosti medzi údajmi a požadovanými prvkami potrebnými na riešenie, potom je vhodné zaviesť do výkresu pomocné obrazce: spojte existujúce body rovnými čiarami, vyznačte priesečníky z existujúcich čiar, pokračovať v niektorých segmentoch atď. Niekedy je užitočné nakresliť rovnobežky alebo kolmice k existujúcim čiaram;

) ak je podľa stavu problému uvedený súčet alebo rozdiel segmentov alebo uhlov, potom by sa tieto množstvá mali zapísať do výkresu, to znamená, mali by byť znázornené na výkrese náčrtu, ak ešte nie sú na ňom;

) v procese analýzy je užitočné pripomenúť si vety a predtým vyriešené problémy, v ktorých existujú závislosti medzi prvkami, ktoré sú uvedené v podmienke uvažovaného problému.

V prílohe 3 je uvedená analýza konštrukčnej úlohy: Zostrojte trojuholník so základňou, menším uhlom v základni a rozdielom medzi ďalšími dvoma stranami .

Od tento príklad možno vidieť, že pri hľadaní riešenia konštrukčného problému, ako aj aritmetických problémov, sa používa analyticko-syntetická metóda. Na základe otázky problému berieme do úvahy, aké prvky sú nám známe, a naopak počiatočné údaje skombinujeme tak, aby sme vytvorili želanú postavu.

Umelecké meno analýza neznamená len to analytická metóda, rovnako ako v dôkaze, ktorý sa niekedy nazýva syntéza , syntetická metóda uvažovania sa nie vždy uplatňuje. Pri analýze problému, pri hľadaní spôsobov, ako ho vyriešiť, sú analýza a syntéza v neustálej interakcii, navzájom sa dopĺňajú a testujú.

Vráťme sa k nášmu problému a analyzujme ho.

1.Nájdime bod S 1, v ktorom sa AA ležiace v premietacej rovine pretínajú B rovno AB a A B , bod S 2, kde sa pretínajú priamky AC a A C a bod S 3, kde sa pretínajú priamky AD a A D .

2.V rovine AS 1S 3 zostrojte priamku prechádzajúcu bodom D, rovnobežnú s priamkou AS1 a v rovine AS 2S 3 prechádzajúca bodom D rovnobežná s priamkou AS 2.

.Prostredníctvom získaných čiar zostrojíme požadovanú rovinu.

2 Stavba

Druhá etapa riešenia konštrukčných problémov pozostáva z dvoch častí:

) vymenovanie v určitom poradí všetkých základných konštrukcií, ktoré je potrebné podľa analýzy vykonať na vyriešenie problému;

) priama exekúcia tieto konštrukcie na výkrese pomocou nástrojov na kreslenie. Riešiť problém pomocou určitých nástrojov totiž znamená naznačiť konečnú množinu elementárnych konštrukcií, ktoré sú prijateľné pre dané nástroje, ktorých vykonávanie v určitej postupnosti nám umožňuje odpovedať na otázku problému.

Táto fáza sa zavádza pri riešení úplne prvého konštrukčného problému, ktorým je zvyčajne úloha zostrojiť úsečku rovnú danej úsečke na danom lúči s koncom na začiatku tohto lúča. V rozhovore, ktorý sprevádza úvod etapy, je potrebné poznamenať, v čom spočíva riešenie akéhokoľvek konštrukčného problému a uviesť, že realizácia tejto etapy spočíva práve vo vymenovaní konečného počtu operácií na zostrojenie požadovaného útvaru.

Vráťme sa k nášmu problému a pouvažujme nad jeho konštrukciou.

budova:

1.AB∩A B =S 1

2.AC∩A C =S 2

3.AD∩A D =S 3

4.D.S. 4║AS 1

5.D.S. 5║AS 2

6.D.S. 4S 5

4.3 Dôkaz

Po zostavení obrazca je potrebné zistiť, či spĺňa podmienky úlohy, to znamená ukázať, že obrazec získaný z týchto prvkov určitou konštrukciou spĺňa všetky podmienky úlohy. Dôkaz teda v podstate závisí od spôsobu konštrukcie. Rovnaký problém sa dá vyriešiť rôzne cesty v závislosti od stavebného plánu načrtnutého v analýze, a preto bude dôkaz v každom prípade iný. Dôkaz je súčasťou riešenia problému, vo svojom logickom obsahu je opakom analýzy. Ak sa pri analýze zistí, že ľubovoľný údaj, ktorý spĺňa stanovené podmienky, možno nájsť takým a takým spôsobom, potom v tejto tretej časti riešenia je dokázaný opak. Toto je opačná poloha všeobecný pohľad možno formulovať takto: ak sa z daných prvkov získa určitý údaj takou a takouto konštrukciou, potom skutočne spĺňa stanovené podmienky.

Pri riešení najjednoduchších problémov, keď sú všetky podmienky problému priamo premietnuté do stavebného plánu, nie je potrebné dokazovať, že údaj získaný z týchto prvkov takouto konštrukciou je požadovaný. Napríklad: Zostrojte trojuholník, ktorý má dve strany a uhol medzi nimi . Tu je dôkaz zredukovaný na jednoduchú kontrolu, či sú strany rovnaké ako zadané, a či sa zostrojený uhol rovná danému. V takýchto úlohách je dôkaz nadbytočný, pretože správnosť riešenia je zabezpečená súladom konštrukcie s analýzou a danými podmienkami úlohy.

Dôkaz nezávisí len od analýzy a konštrukcie, existuje medzi nimi vzájomný vzťah a vzájomná závislosť. Stavba sa realizuje podľa plánu vypracovaného pri analýze. Takýchto plánov je viacero. Konštrukcia a dôkaz sú akýmsi kritériom správnosti a racionálnosti vypracovaného plánu. Ak plán nie je s dostupnými nástrojmi realizovateľný, alebo sa stavba ukáže ako iracionálna, sme nútení hľadať nový plán riešenia. Podobným spôsobom ovplyvňujú analýzu dôkazy aj výskumy, ktoré často predurčujú výber plánu riešenia.

Aj keď sa dôkaz pri riešení konštrukčných úloh vykonáva podobne ako dôkaz viet pomocou axióm, viet a vlastností geometrických útvarov, je medzi nimi aj určitý rozdiel. Pri dokazovaní teorémov je vo väčšine prípadov ľahké vyčleniť podmienku a záver. Pri riešení konštrukčných úloh je už ťažšie nájsť údaje, na základe ktorých je možné dokázať, že zostrojený obrazec je želaný. Preto je pri riešení konštruktívnych problémov na hodine niekedy účelné konkrétne vyzdvihnúť, čo je dané a čo treba dokázať. Napríklad pri riešení problému: Zostrojte kosoštvorec pozdĺž jeho dvoch uhlopriečok vyzveme žiaka, aby napísal, čo je dané (uhlopriečky sú na seba kolmé a pretínajúce sa sú rozdelené na polovicu) a čo treba dokázať (strany sú rovnaké). Na druhej strane pri riešení problémov doma aj vo vnútri kontrolná práca je možné nevyžadovať vykonanie dôkazu s pridelením samostatnej podmienky a záveru. V problémoch, kde je zrejmá správnosť riešenia, nie je potrebné vyžadovať špeciálny dôkaz.

Vráťme sa k nášmu problému a pouvažujme nad jeho dôkazom.

Dôkaz: priamky DS4 a DS5 prechádzajú bodom D a sú konštrukciou rovnobežné s rovinou ABC.

4 Výskum

Pri konštrukcii sa väčšinou obmedzuje na hľadanie niektorého z riešení a predpokladá sa, že všetky kroky stavby sú reálne realizovateľné. Pre úplné vyriešenie problému je potrebné ešte objasniť nasledovné otázky: 1) je vždy možné (teda pri ľubovoľnom výbere údajov) vykonať stavbu zvoleným spôsobom; 2) je možné a ako zostaviť požadovaný obrazec, ak nie je možné použiť zvolenú metódu; 3) koľko riešení má problém pre každé z nich možný výberúdaje? Zváženie všetkých týchto otázok tvorí obsah štúdie.

Cieľom štúdie je teda stanoviť podmienky riešiteľnosti a určiť počet riešení. Nie je nezvyčajné, že školáci a dokonca aj učitelia vykonávajú výskum náhodne vyberajúci jeden alebo druhý prípad a nie je jasné, prečo sa berú do úvahy tieto a nie niektoré iné prípady. Zostáva tiež nejasné, či boli zvážené všetky možné prípady. V praxi je vo väčšine prípadov možné dosiahnuť potrebnú kompletnosť štúdie, ak je táto štúdia realizovaná v priebehu výstavby, čo je najdostupnejší a najvýhodnejší spôsob. Podstatou tejto techniky je vymenovať postupne všetky kroky, ktoré tvoria konštrukciu, a pre každý krok zistiť, či konštrukcia uvedená v tomto kroku je vždy realizovateľná, a ak je to možné, či je jedinečná.

Zvážte štúdium nášho problému.

štúdium: zadanú úlohu má riešenie a navyše len jedno, keďže s danou rovinou možno nakresliť len jednu rovinu a na nej neležiacu priamku.

Úlohy

Úloha číslo 1.

Dané: pyramída SABCD, PSB, KSC, MSA.

Konštrukcia: Rez SABCD rovinou MKR

Riešenie: Keďže body M, K a P ležia na bočných hranách ihlana, je okamžite možné zostrojiť dve strany rezu MP.

R Komu

M AT S

O H

ALE D

a RK. Potom musíte nájsť bod H priesečníka sečnej roviny s hranou SD.

Teraz v rovine (BSD) máme dva body sečnej roviny: O1 a P. Preto hľadaný bod H na hrane SD bude priesečníkom hrany SD a priamky PO1.

Bod je nájdený, posledné dve strany rezu MN a NK sa dajú ľahko zostrojiť. MKRN je teda požadovaný prierez.

Úloha č. 2

Dané: Zostrojte rez hranola ABCDA1B1C1D1 - hranol, PAA1, QBB1, RCC1

Nájdite: rez ABCDA1B1C1D1 rovinou prechádzajúcou bodmi P, Q, R

Riešenie: Zostrojme stopu sečnice na rovine spodnej podstavy hranola. Zvážte tvár AA1B1B. Táto plocha obsahuje body rezu P a Q. Nakreslite čiaru PQ. Pokračujeme linkou PQ, ktorá patrí úseku, až po križovatku s linkou AB. Získame bod S1 patriaci stope. Podobne získame bod S2 priesečníkom priamok QR a BC. Priamka S1S2 - stopa sečnej roviny na rovine spodnej podstavy hranola. Priamka S1S2 pretína stranu AD v bode U, stranu CD v bode T. Spojme body P a U, keďže ležia v rovnakej rovine plochy AA1D1D. Podobne dostaneme TU a RT. PQRTU - požadovaná sekcia.

Úloha č. 3

Dané: Zostrojte rez hranola ABCDA1B1C1D1 - hranol, MA1B1, NAD, PDC

Nájdite: Rez ABCDA1B1C1D1 rovinou prechádzajúcou bodmi M, N, P

Riešenie: Body N a P ležia v rovine rezu a v rovine spodnej základne rovnobežnostena. Zostrojme priamku prechádzajúcu týmito bodmi. Táto čiara je stopou roviny sečnice na rovine základne rovnobežnostena. Pokračujme v priamke, na ktorej leží strana AB rovnobežnostena. Priamky AB a NP sa pretínajú v niektorom bode S. Tento bod patrí do roviny rezu. Keďže aj bod M patrí do roviny rezu a pretína priamku AA1 v nejakom bode X. Body X a N ležia v rovnakej rovine plochy AA1D1D, spojíme ich a dostaneme priamku XN. Keďže roviny plôch kvádra sú rovnobežné, je možné nakresliť čiaru cez bod M v ploche A1B1C1D1 rovnobežnú s priamkou NP. Táto priamka bude pretínať stranu B1C1 v bode Y. Podobne nakreslíme priamku YZ rovnobežnú s priamkou XN. Spojíme Z s P a získame požadovanú sekciu - MYZPNX.

V programe "Živá geometria" je možné vyriešiť aj úlohy na zostavenie sekcií.

Dané: ABCDA1B1C1D1-rovnobežník, P CC1D1D, Q AA1D1D, R BB1. Konštrukcia: rez ABCDA1B1C1D1 rovinou PQR.

rozhodnutie:

Dané: Body P, Q a R sa zoberú na povrchu rovnobežnostena ABCDA1B1C1D1 takto: bod P leží na ploche CC1D1D, bod Q leží na hrane B1C1 a bod R leží na hrane AA1.

Konštrukt: rez rovnobežnostenu rovinou (PQR).

rozhodnutie:

Dané: Body P a S sú zobraté na hranách A1B1 a DD1 rovnobežnostena ABCDA1B1C1D1, v tomto poradí, a body Q a R sú zobraté na stenách DD1C1C a AA1D1D, v tomto poradí.

Zostroj: rez rovnobežnostena rovinou prechádzajúcou bodom S rovnobežnou s rovinou PQR.

rozhodnutie:

3.Nezávislé riešenie problémov

Každý žiak dostane kartičku s úlohou. Na tom istom liste je vykonaná konštrukcia úseku a popis tejto konštrukcie. Kontrolu zadaní je možné vykonať na hodine v TMC „Matematika, ročníky 5-11. Cvičenie »

Úloha 1-7: zostrojte rez prechádzajúci bodmi M, K, L.

Úloha 8: zostrojte rez prechádzajúci bodom P a priamkou KL.

Úloha 9: zostrojte rez prechádzajúci bodom K a priamkou PQ.

Cvičenie 1

Úloha 2

Úloha 3

Úloha 4 Úloha 5

Úloha 6

Úloha 7

Úloha 8 Úloha 9

Riešenie úloh v EMC „Matematika, ročníky 5-11. Cvičenie »

Záver

Systematické štúdium geometrických konštrukcií je nevyhnutné v školskom kurze, pretože v procese štúdia problémov koncentrujú poznatky z iných oblastí matematiky, rozvíjajú zručnosti v praktickej grafike, formujú vyhľadávacie zručnosti pri riešení praktických problémov, uvádzajú ich do realizovateľného samostatného výskumu, prispieť k rozvoju špecifických geometrických zobrazení, ako aj k dôkladnejšiemu spracovaniu zručností a schopností.

V tejto semestrálnej práci sa zvažovala úloha a miesto konštrukcií v školskom kurze, ako aj metodika riešenia úloh zo stereometrie a základných geometrických konštrukcií.

Literatúra

stereometria

1. Aleksandrov, I.I. Zbierka geometrických konštrukčných úloh s riešeniami / II Aleksandrov. - M.: Uchpedgiz, 1954.

2. Argunov, B.I. Elementárna geometria: učebnica. príspevok na ped. in-tov / B.I. Argunov, M.B. Balk. - M.: Osveta, 1966.

3. Konovalová, V.S. Riešenie konštrukčných úloh v kurze geometrie ako prostriedok rozvoja logického myslenia / V.S. Konovalová, Z.V. Shilova // Znalosť procesov výučby fyziky: zbierka článkov. Vydanie 9. - Kirov: Vydavateľstvo VyatGGU, 2008. - S. 59-69.

4. Misyurkeev, I.V. Geometrické konštrukcie. Manuál pre učiteľov / I.V.Misyurkeev. - M: Uchpedgiz, 1950.

5. Ponarin, Ya.P. Elementárna geometria: V 2 zväzkoch - V.2: Stereometria, transformácie priestoru / Ya.P. Ponarin - M.: MTsNMO, 2006.

6. Prasolov, V.V. Problémy v stereometrii. 1. časť / V.V. Prasolov. - M.: Nauka, 1991.

7. Sarantsev, G.I. Výučba matematických dôkazov a vyvrátení v škole / G.I. Sarantsev. - M.: VLADOS, 2005.

8. Sharygin, I.F. Problémy v geometrii (stereometria) / I.F. Sharygin. - M.: Nauka, 2009.

Zohľadňujú sa vlastnosti vytvárania obrázkov postáv, predovšetkým plochých, ako aj úlohy vytvárania obrázkov na obrázkoch.

Pri štúdiu otázky zobrazenia obrazcov v stereometrii sa zameriame na zobrazenie rovinných obrazcov. A je to pochopiteľné, keďže pri pohľade na skutočný fyzický objekt (dom, kocka, kniha atď.) vidíme plochu, v mnohých prípadoch pozostávajúcu z plochých častí (obr. 201 - 203). Na výkresoch a technické výkresy v prvom rade sa snažia zobraziť povrch predmetu a naša životná skúsenosť umožňuje za detailmi povrchu vidieť predmet ako celok.

Keďže hlavnou geometrickou postavou je trojuholník, poďme zistiť, ktorá postava môže byť obrazom trojuholníka. A potom budeme môcť diskutovať o otázke obrazu iných polygónov známych z planimetrie Okrem toho si povieme o obraze najjednoduchších priestorových útvarov.

Za geometrický základ obrazu berieme rovnobežnú projekciu. V prvom rade si treba ujasniť obsah pojmu „obraz“, pretože obraz figúry stačí chápať ako jej priamu rovnobežnú projekciu.

nepríjemné. obrázok veľké veľkosti je jednoducho nemožné premietať na list papiera - aby sa obrázok zmestil, musí byť paralelná projekcia postavy úmerne zmenšená (alebo zväčšená v iných situáciách).

Obraz priestorového útvaru je útvar podobný paralelnému priemetu daného útvaru do určitej roviny.

Túto definíciu je potrebné doplniť. Je jasné, že obrázok by mal obsahovať čo najviac informácií o postave. Je nepravdepodobné, že rovnobežný priemet kocky na obr. 204, a) plne odráža znaky tohto obrázku. Takže

na obrázku mnohostenov sú zobrazené ich vrcholy a okraje, viditeľné a neviditeľné.Ako už bolo uvedené, neviditeľné čiary sú znázornené prerušovanými čiarami. Obrázok kocky na obr. 204b)

poskytuje úplnejšie informácie o kocke. Na obrázku priestorového fi-

guru tiež zvýrazňujú obrázky jeho dôležitých prvkov (napríklad uhlopriečky, rezy atď.).

Všimnite si, že ani rovina premietania, ani smer projekcie nie sú v definícii pevne dané. Je to pochopiteľné, pretože polohu vhodnú na zváženie možno zvoliť ľubovoľne.

Teraz odpovedzme na otázku: aký obrázok môže byť obrazom trojuholníka? Prípad, keď trojuholník leží v premietacej rovine

ty, nebudeme zvažovať. V tomto prípade sa premieta na segment (obr. 205).

Keďže rovnobežná projekcia trojuholníka je trojuholník (okrem prípadu uvedeného vyššie), potom musí byť aj obraz trojuholníka

námestie. Zároveň vyvstáva otázka: "A aký trojuholník možno považovať za obraz tohto trojuholníka?" Ako je známe, s paralelným projektom

rovaniya zmeniť dĺžku segmentov, miery uhlov. Je zrejmé, že paralelná projekcia rovnoramenný trojuholník je vo všeobecnosti zmenšený trojuholník, priemet tupého trojuholníka môže byť ostrý atď.

Uskutočnenie jednoduchých experimentov s kartónovými modelmi trojuholníkov pri prijímaní ich tieňa zo Slnka alebo zo vzdialenej lampy ukazuje, že tvar rovnobežných projekcií trojuholníka môže byť rôzny. Navyše sa dá uistiť, že vďaka vhodnému umiestneniu modelu je možné získať trojuholník daného tvaru ako projekciu. Ak teda vezmeme do úvahy rôzne tiene jedného trojuholníka, môžeme dospieť k nasledujúcemu záveru.

Obrázok tohto trojuholníka môže byť ľubovoľný trojuholník.

Matematické zdôvodnenie tejto skutočnosti bude vykonané neskôr. Pomocou toho možno vyvodiť určité závery týkajúce sa obrazu niektorých štyroch

obdĺžniky. Z vlastností paralelného dizajnu

z toho vyplýva, že obraz rovnobežníka je ľubovoľný

rovnobežník. V skutočnosti je diagonálny rovnobežník rozdelený na dva rovnaké trojuholníky (obr. 206, a). Obrázok-

Ľubovoľný trojuholník A 1 B 1 D 1 môže byť vyjadrením trojuholníka ABD. Dostro-

Yvesov trojuholník A 1 B 1 D 1 na rovnobežník-

ma (obr. 206, b), ktorý je jednoznačne určený týmto trojuholníkom, dostaneme nasledujúci záver.

Obrázky tohto rovnobežníka môžu byť ľubovoľným rovnobežníkom.

Čo sa týka lichobežníkov, na obrázkoch nie je možné urobiť podobný záver, pretože pomer dĺžok paralelných základní musí byť zachovaný v paralelnom prevedení. Ak je napríklad jedna zo základov polovičná, potom by mal byť tento pomer na obrázku zachovaný. Aj keď, samozrejme, obraz lichobežníka by mal byť lichobežník (ale nie ľubovoľný!).

Čo sa týka zobrazenia iných polygónov, je možné zvoliť tri ich body, ktoré neležia na jednej priamke (napríklad tri vrcholy). Tieto body definujú trojuholník, ktorý môže byť reprezentovaný ľubovoľným trojuholníkom. Ďalej pomocou vlastností paralelného premietania (sú to aj vlastnosti obrázkov) je v niektorých prípadoch možné zostaviť obraz celého mnohouholníka.

Keď sme sa naučili zobrazovať niektoré ploché postavy umiestnené v priestore, môžeme začať zobrazovať najjednoduchšie priestorové postavy.

Obrázky pravouhlého rovnobežnostena, kocky sa nelíšia od obrázkov ľubovoľného rovnobežnostena, pretože ľubovoľné rovnobežníky môžu byť obrázky štvorcov a obdĺžnikov. Najčastejšie je kocka znázornená tak, ako je to znázornené na obr. 207a). Na obr. 207, b)–d) sú uvedené aj obrázky kocky. Avšak na rozdiel od Obr. 207, a), je ťažké získať predstavu o vlastnostiach kocky z týchto obrázkov. Na obr. 207, b), c) obrázky sú jednoduché a správne, to znamená, že sú vyrobené podľa zákonov paralelného dizajnu. Nie sú však vizuálne. To neznamená, že v niektorých prípadoch nebudeme potrebovať každý z vyššie uvedených obrázkov.

Pozrime sa podrobnejšie na konštrukciu obrazu rovnobežnostena. V § 7 bol kváder považovaný za mnohosten, ktorého strany tvoria šesť rovnobežníkov. V § 8 sa zvažoval prístup ku konštrukcii obrazcov zo segmentov. Využime

ich. V danej rovine α zostrojíme rovnobežník ABCD a cez všetky jeho vrcholy vedieme rovnobežné priamky pretínajúce rovinu α (obr. 208). Na týchto čiarach na jednej strane roviny α rozložíme rovnako dlhé segmenty AA 1, BB 1, CC 1, DD 1. Je ľahké dokázať, že body A 1 , B 1 , C 1 , D 1 ležia v rovnakej rovine a sú vrcholmi rovnobežníka A 1 B 1 C 1 D 1 . Akcia-

Preto, keďže AA 1 D 1 D, ABCD a BB 1 C 1 C sú rovnobežníky, potom A 1 D 1 ||AD ,AD ||BC, BC ||B 1 C 1 a podľa kritéria rovnobežnosti priamok (Veta 2 § 8) ,A 1 D 1 ||B 1 C 1 . To nám dáva najmä príležitosť tvrdiť, že body A 1 , B 1 , C 1 , D 1 ležia v tej istej rovine.

Podobne máme, že A 1 B 1 ||D 1 C 1, teda štvoruholník A 1 B 1 C 1 D 1 je rovnobežník.

Množina všetkých bodov úsečiek spájajúcich body rovnobežníkov ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 tvorí obrazec, ktorý je rovnobežnosten(obr. 209). Je zrejmé, že pri konštrukcii rovnobežnostenov si vystačíme s paralelnými segmentmi spájajúcimi zodpovedajúce body rovnobežníkov. Obrázok je vyrobený ako na obr. 208, len s prihliadnutím na skutočnosť, že rámček je "vyplnený" bodmi a niektoré čiary sú pre pozorovateľa neviditeľné. Rovnako ako na výkrese sú znázornené prerušovanou čiarou. Označte rovnobežnosten podľa jeho vrcholov:

ABCDA1 B1C1D1.

Dve strany rovnobežnostena, ktoré majú spoločnú hranu, sa nazývajú susediace a nemajú spoločnú hranu, - opak. Nazývajú sa dva vrcholy, ktoré nepatria k tej istej ploche opak. Nazýva sa úsečka spájajúca opačné vrcholy rovnobežná uhlopriečka

Obraz pyramíd, najmä štvorstenov, bol uvažovaný v § 8 v súvislosti s ich konštrukciou zo segmentov.

! Zváženie obrazov plochých a priestorových

čísla umožňujú formulovať požiadavky na obrázky:

1) obraz musí byť správny, to znamená spĺňať určité pravidlá;

2) obraz by mal byť vizuálny;

3) obrázok by sa mal dať ľahko sledovať.

Správnosť obrazu je zabezpečená dodržiavaním pravidiel pre konštrukciu paralelných projekcií. Prehľadnosť a jednoduchosť je zabezpečená voľbou smeru dizajnu, teda „uhlu pohľadu“ na obrázok a umiestnením projekčnej roviny. Obrázky štvorstenu SABC na obr. 210, a), b) nemožno považovať za úspešné. V prvom prípade sa používa rovnobežné premietanie na čelnú rovinu ABC a v druhom prípade je smer premietania určený priamkou AB. V oboch týchto prípadoch sa objem postavy stráca. Spravidla použite tretí obrázok (obr. 210, c). Ide o plochý štvoruholník ABCS s uhlopriečkami AC a SB. Neviditeľná hrana AC je znázornená prerušovanou čiarou.

Dôležitým prostriedkom na zabezpečenie jasnosti obrazu je obraz prvkov postavy (strednice, osy, stredové čiary, uhlopriečky atď.), Ako aj najjednoduchšie časti.

Konštrukcia obrazov rôznych obrazcov je neoddeliteľnou súčasťou riešenia úloh stereometrie.

Pri riešení problémov je často potrebné vykonať určité konštrukcie na obrázku (nakresliť stred, označiť stred vpísanej kružnice, zostrojiť rez atď.). Tieto konštrukcie sa zvyčajne vykonávajú podľa vlastností paralelného dizajnu.

Príklad 1. Na ľubovoľnom obrázku pravouhlého rovnoramenného trojuholníka ABC (C \u003d 90 °) vytvorte obrázok: 1) stred O opísanej kružnice; 2) popísaný štvorec, ktorého dve strany ležia na nohách

trojuholník a jeden z vrcholov je na prepone BA.

 Nech je obrazom pravouhlého rovnoramenného trojuholníka ABC (obr. 211, a) trojuholník A 1 B 1 C 1 (obr. 211, b).

1) Stred kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku je stredom prepony. Preto je jeho obraz stredom obrazu prepony.

Stavebníctvo. Úsek A 1 B 1 rozdelíme na polovicu, bod rozdelenia O 1 je požadovaný (obr. 211, c).

2) Ak zo stredu O prepony AB nakreslíme kolmice na nohy (pozri obr. 211, a), tak dostaneme štvorec, ktorý spĺňa podmienku zadania. Nakreslené kolmice sú rovnobežné s nohami. To je to, čo použijeme na vytvorenie požadovaného obrazu.

Stavebníctvo. Z bodu O 1 nakreslíme segmenty O 1 E 1 a O 1 F 1, rovnobežne s C 1 B 1 a C 1 A 1 (obr. 211, d). ŠtvoruholníkC 1 E 1 O 1 F 1 je želaný.

Príklad 2. Na obrázku kocky zostrojte jej rez rovinou prechádzajúcou stredmi troch rovnobežných hrán.

 Na obr. 212 sú stredy rebier AA 1, BB 1, SS 1, DD 1 kocky ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 označené A 2, B 2, C 2, D 2. Obrazy týchto bodov ležia v stredných bodoch obrazov zodpovedajúcich segmentov (prečo?). Nechajte rovinu rezu prechádzať bodmi A 2 , B 2 , D 2 . Pretože všetky steny kocky sú štvorce, potom úsečka A 2 B 2 prechádzajúca stredmi protiľahlej

Potom riadok BE určuje správny smer projektu

strany štvorca AA 1 B 1 B, rovný straneštvorec AB (alebo hrana kocky) a je rovnobežný s touto stranou.

Podobne D2C2||DC a D2C2=DC. Pretože AB ||DC , potom v súlade s tranzitivitou vzťahu rovnobežnosti A 2 B 2 || D 2 C 2 . Jedna rovina prechádza rovnobežnými priamkami A 2 B 2 , D 2 C 2 . Body A 2, B 2, D 2 ležia v tejto rovine, preto je táto rovina želanou sečnicou. Rovina rezu pretína steny kocky v rovnakých segmentoch A 2 B 2, B 2 C 2, C 2 D 2 a D 2 A 2. Preto má štvoruholník A 2 B 2 C 2 D 2, ktorý je požadovaným rezom, tvar kosoštvorca. Je ľahké vidieť, že uhlopriečky B 2 D 2 a A 2 C 2 tohto kosoštvorca sú si navzájom rovné. To znamená štvoruholník A 2 B 2 C 2 D 2 - námestie. Úsek sme nielen postavili, ale aj stanovili jeho podobu.

Uvažujme o opodstatnenosti vyššie uvedených záverov týkajúcich sa obrazu hlavných plochých postáv.

Veta 1 (na obrázku trojuholníka).

Každý trojuholník môže byť obrazom daného trojuholníka.

Nech je daný trojuholník ABC. Vezmite ľubovoľný trojuholník KMN. Môže to byť obraz trojuholníka ABC, ak existuje rovina premietania a smer premietania taký, že rovnobežný priemet trojuholníka ABC je podobný trojuholníku KMN.

Premietaciu rovinu α volíme tak, aby pretínala rovinu trojuholníka ABC po priamke AC (obr. 213). Smer premietania musíme zvoliť tak, aby priemet trojuholníka ABC na rovinu α bol trojuholník podobný trojuholníku KMN. Na tento účel zostrojíme trojuholník CAE v rovine α, podobný trojuholníku KMN s koeficientom pod-

biya MK AC

potulovať sa. Pretože trojuholník CAE je rovnobežnou projekciou trojuholníka ABC a trojuholníky CAE a KMN sú podobné, potom trojuholník KMN je obrazom trojuholníka

ako ABC.

! Táto veta sa otvára široké možnosti na výber obrázkov tohto trojuholníka, aj keď, samozrejme, by ste nemali používať obrázky s vlastnosťami, ktoré originál nemá. Napríklad je nevhodné zobrazovať ľubovoľný trojuholník ako obdĺžnikový.

Pokiaľ ide o obrázky iných polygónov, poznamenávame, že pre nich spravidla neplatia vety podobné vete 1, hoci niektoré ich vlastnosti sú na obrázku zachované. V prvom rade si povieme o rovnobežnosti strán (prečo?). V tejto súvislosti uvádzame ďalšiu dôležitú vetu.

Veta 2 (na obrázku rovnobežníka).

Každý rovnobežník môže byť obrazom daného rovnobežníka.

Túto vetu je možné dokázať rozdelením rovnobežníkov pomocou uhlopriečok na trojuholníky a pomocou vety 1 (pozri obr.

ryža. 206, a, b)

Už sme sa stretli so situáciami, keď planimetrické fakty majú analógy v priestore. A takéto prípady sa budú vyskytovať aj naďalej. Najjednoduchší priestorový obrazec - štvorsten - zodpovedá trojuholníku v rovine. Podľa vety 1 môže byť ľubovoľný trojuholník obrazom daného trojuholníka. Na druhej strane sa štvorsten premieta do štvoruholníka, ktorý sa po nakreslení uhlopriečok v ňom stáva obrazom štvorstenu. Vzniká otázka: môže byť ľubovoľný štvoruholník obrazom daného štvorstenu? Kladnú odpoveď na ňu dáva veta nemeckých matematikov Polke K. (1810–1877) a Schwarz G. (1843–1921). Na základe toho môžete vytvoriť obraz mnohostenov. Aby ste to dosiahli, musíte vybrať štyri vrcholy, ktoré neležia v rovnakej rovine. Sú to vrcholy nejakého štvorstenu. Potom ľubovoľným spôsobom nastavte obraz týchto bodov. A dokonca aj potom dokončite obraz celej postavy pomocou vlastností dizajnu.

Príklad 3. Zostrojte obraz pravidelného šesťuholníka.

 Uvažujme pravidelný šesťuholník ABCDEF (obr. 214, a). Má vlastnosti, ktoré by mali byť zachované na jeho obrázkoch. Strany šesťuholníka sú párovo rovnobežné (AB ||ED, BC ||EF, CD ||AF ). Má stred symetrie O a úsečky spájajúce bod O s vrcholmi šesťuholníka sú si navzájom rovné a rovné jeho strane. Teraz je ľahké vidieť, že stačí zostrojiť obraz rovnobežníka (dokonca aj kosoštvorca) ABCO, aby sme k nemu potom doplnili obraz celého šesťuholníka.

Nech rovnobežník A 1 B 1 C 1 O 1 je obrazom rovnobežníka ABCO (môže to byť ľubovoľný rovnobežník!). Predĺžením 1 O 1 a C 1 O 1 za bod O 1 tak, že O 1 D 1 \u003d A 1 O 1, O 1 F 1 \u003d C 1 O 1 zostrojíme rovnobežník F 1 O 1 D 1 E 1 (obr. 214, b). V podstate sa vytvoril rovnobežník, centrálne symetrický k rovnobežníku A 1 B 1 C 1 O 1 vzhľadom na jeho vrchol O 1 . Spojením bodov A 1 a F 1, C 1 a D 1, dostaneme obraz pravidelného šesťuholníka (obr. 214, c).

 Kontrolné otázky

1. Ktorý z obrázkov na obr. 215, a)-d) nie je obraz štvorca?

2. Ktorý z obrázkov na obr. 216, a)-d) nie je obrazom kocky?

3. Ktorý z Obr. 217, a) - d) obrázok kocky nie je správny?

4. Ktorý z Obr. 218, a) - d) obraz štvorstenu nie je správny?

5. Je rovnobežná projekcia postavy jej obrazom?

6. Dá sa pravouhlý trojuholník považovať za obraz rovnoramenného trojuholníka?

7. Je pravda, že obraz strednej čiary trojuholníka je stredná čiara jeho obrázky?

8. Môže byť rovnobežník obrazom lichobežníka?

9. Môže trojuholník predstavovať štvorsten?

10. Je možné nakresliť štvorsten tak, že práve jedna z jeho plôch je neviditeľná?

11. Aký je najmenší počet hrán kocky, ktoré môžu byť viditeľné na obrázku? A najväčší?

12. Aký obrazec je obraz: a) segment; b) trojuholník; c) lichobežník; d) rovnobežník; e) n-uholník?

Grafické cvičenia

1. Nastavte, ktoré strany štvorstenu ABCD znázornené na obr. 219, patria medzi body P , K, M ?

2. Ktoré páry bodiek X ,Y, Z, T naznačené na obrázku štvorstenu na obr. 220 neleží na tej istej tvári?

3. Aký obrazec je rezom kocky rovinou prechádzajúcou bodmi M, N, P, znázornené na obr. 221, a)-d)?

174 °C. Je uvedený obraz rovnoramenného trojuholníka vo forme skalického trojuholníka. Vytvorte obrázok na tomto obrázku:

1) osy uhla vo vrchole;

2) kolmica na základňu, vedená stredom strany; 3) kosoštvorec, ktorého dve susedné strany sa zhodujú so stranou

strany trojuholníka.

175. Na obraz rovnoramenného pravouhlého trojuholníka zostrojte obraz štvorca ležiaceho v rovine trojuholníka, ak strana štvorca je:

1°) rameno daného trojuholníka; 2) prepona daného trojuholníka.

176. Na ľubovoľnom obrázku rovnostranného trojuholníka ABC zostavte obrázok:

1°) priesečníky výšok trojuholníka; 2°) "opísaného" obdĺžnika, ktorého jedna strana

sa zhoduje s niektorou stranou trojuholníka a druhá obsahuje opačný vrchol; 3) osi vonkajší roh trojuholník.

177. Je uvedený obrázok trojuholníka a jeho dvoch výšok. Zostrojte obraz stredu kružnice opísanej okolo tohto trojuholníka.

178. Na obrázku pravouhlého trojuholníka jeden z ostré rohy ktorý sa rovná 60 °, vytvorte obrázok: 1) os tohto uhla; 2) výška nakreslená k prepone;

3) stred vpísanej kružnice.

179 °C. Zostrojte obrázok kosoštvorca a jeho výšku nakreslený z vrcholu uhla, ktorého veľkosť je 120°.

180. Vytvorte obraz štvorca s obrazom priesečníka jeho uhlopriečok a dvoch:

1°) susedné vrcholy; 2*) protiľahlé vrcholy. 181. Na ľubovoľnom obrázku rovnoramenného lichobežníka, ktorého strana sa rovná menšej základni, postavte

obrázok:

1°) osi symetrie lichobežníka; 2) vpísaný obdĺžnik, ktorého dva vrcholy ležia

žne na väčšej základni a jedna zo strán sa zhoduje s menšou základňou; 3) stred kruhu sa dotýka strán a menej

základňa lichobežníka.

182. Je uvedený obraz rovnoramenného lichobežníka, ktorého uhly v základni sú rovné 45 °. Zostavte obrázok:

1) stred kružnice opísanej okolo lichobežníka;

2*) stred kruhu sa dotýka menšej základne a strán.

183. Uvádza sa obraz kruhu a jeden z jeho priemerov. Zostrojte obraz polomerov kruhu kolmých na tento priemer.

184. Je daný obraz kocky ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

1°) Zostrojte priesečnicu rovín DA 1 C 1 a B 1 D 1 D. 2) Nájdite dĺžku úsečky tejto priamky obsiahnutej v kocke, ak sa hrana kocky rovná a.

3) Zostrojte rez kocky rovinou prechádzajúcou stredmi troch párovo susediacich plôch.

185. Je daný obraz štvorstenu ABCD, body K, M a P sú stredy DC, AD a BD.

1°) Zostrojte priesečník rovín ACP a BMK. 2) Nájdite dĺžku úsečky tejto priamky obsiahnutej v štvorstene, ak sú dĺžky všetkých jej hrán rovnaké.

3) Zostrojte rez štvorstenom rovinou prechádzajúcou priesečníkmi stredníc jeho troch stien.

186. Zostrojte rez štvorstenom SABC rovinou prechádzajúcou cez:

1°) stredy rebier SA, SC a BC;

2) bod M na AS (AM :AS = 1:2), bod N na SC (CN :NS = 1:2)

a bod P na BC (CP :PB = 1:2);

3) stredy hrán AS, AB a stred plochy SBC; 4*) tvárové stredy ASB, ABC a BSC.

187. Zostrojte rez kocky ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 rovinou prechádzajúcou cez:

1) okraj CD a stred plochy AA 1 B 1 B ;

2) uhlopriečka A1D a stred okraja BCC1B1;

3*) stredy hrán AD , CD a bod B ;

4*) stredy plôch CDD 1 C 1 , CBB 1 C 1 a bod A.

Cvičenia na opakovanie

188. Dve rovnobežné čiary pretína tretia čiara. Jeden z ôsmich vytvorených uhlov sa rovná 50°. Aký je každý z ostatných uhlov?

189. KockaABCDА 1 В 1 С 1 D 1 je daná.

1) Vyberte všetky hrany rovnobežné s hranou AA 1 .

2) Dokážte, že hrana DC je rovnobežná s priesečníkom rovín ABC 1 a A 1 B 1 D .

4) Nech a je ľubovoľný segment na ploche kocky. Zostrojte úsečku rovnobežnú s úsečkou a na nesusednej ploche kocky.

Každý rovnobežník môže byť obrazom daného rovnobežníka.

• Naučiť aplikovať získané poznatky v praxi, podľa modelu, algoritmu, s nápovedou.
• Upevniť zručnosti konštrukcie sekcií pomocou axióm stereometrie.
• Rozvíjajte priestorové myslenie žiakov.

Počas vyučovania.

I. Organizačná časť.

II. Analýza domácich úloh.

Domáce úlohy boli rozdelené do troch úrovní náročnosti.

Úloha 1 a 2 - prvá úroveň

Úloha 3 a 4 - druhá úroveň

Úloha 5 a 6 - tretia úroveň

Úloha 1. ABSA 1 C 1 – trojboký hranol, hrot F - stred rebra AB , bodka O leží na pokračovaní rebra slnko tak S nachádza medzi AT a O . Zostrojte rez hranolom rovinou v 1 FO .

Úloha 2. Bodka O - stred rebra DD 1 Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Nakreslite priesečníky čiar A 1 O a C10 so základnou rovinou A B C D a vypočítajte vzdialenosť medzi nimi, ak je dĺžka hrany kocky 2 cm.

Úloha 3. Daná trojuholníková pyramída SABC bodov R a R ležať na rebrách SA a slnko, bodka F leží na pokračovaní rebra AC takže ten bod S leží medzi bodmi ALE a F. Zostrojte časť pyramídy rovinou PRF

Úloha 4. SABCD- štvorhranný ihlan. Bodka R leží na okraji SCD, bodka F pozdĺž okraja DC takže ten bod D leží medzi F a S. PFB.

Úloha 5. DABC- pravidelný štvorsten, ktorého dĺžka hrany je 4 cm Bod O - stred rebra D.B.. Bodka F leží na pokračovaní rebra slnko tak S - stred segmentu bf, bodka T leží na pokračovaní rebra AC tak S - stred segmentu AT. Zostrojte rez štvorstenom rovinou FTO a vypočítajte jeho obvod.

Úloha 6. DABC- trojuholníkový ihlan Bod F leží na okraji D.B., bodka T leží na pokračovaní rebra AB takže ten bod ALE nachádza medzi bodmi T a AT, bodka R leží na pokračovaní rebra CD takže ten bod S leží medzi bodmi D a R. Zostrojte časť pyramídy rovinou TFR.

Každá skupina dostane úlohy v závislosti od úrovne obtiažnosti. Študenti dokončia tieto úlohy a potom spoločne diskutujú o riešení.

Podmienka: či sú vyplnené obrazce rezmi znázorneného mnohostenu rovinou PQR ? V prípadoch, keď sa sekcia zobrazuje nesprávne, nájdite správne riešenie.

Obrázky znázorňujú pravidelné rovnobežnosteny.

Úloha prvej úrovne:

Úloha druhej úrovne:

Úloha tretej úrovne:

Každá skupina dostane hlavnú úlohu a jednu dodatočnú. V dodatočnej úlohe obrázky zobrazujú trojuholníkové hranoly (úroveň 1 a 2) a trojuholníkovú pyramídu (úroveň 3).

Prácu hodnotí učiteľ a následne ju zaznačí do denníka.

Úloha prvej úrovne:

• AT trojuholníková pyramída DABC bodka O - priesečník stredov plôch DBC. Bodka F leží na priamke AB tak AT leží medzi bodmi ALE a F, bodka E leží na priamke AC takže ten bod S leží medzi ALE a E. Zostrojte časť pyramídy rovinou OEF.

• PQR

Úloha druhej úrovne:

• ABSA 1 V 1 S 1 - trojboký hranol. Bodka O leží na okraji A 1 C 1 ,. Bodka F leží na pokračovaní rebra AC tak S leží medzi ALE a F. Bodka Komu leží na pokračovaní rebra AB tak AT nachádza medzi ALE a Komu. Zostrojte rez hranolom rovinou OKF.

• Dodatočná úloha: sú vyplnené tvary rezmi znázorneného mnohostenu rovinou PQR ? V prípadoch, keď sa sekcia zobrazuje nesprávne, nájdite správne riešenie.

Úloha tretej úrovne:

• Základňa kvádra A BCDA l B 1 C 1 D 1 - štvorec, ktorého dĺžka strany je 2 cm O - stredný bočné rebro DD 1 a body Komu a F ležať na pokračovaní rebier slnko a AB respektíve tak, že slnko = 2SK, AB = 2FA . Vypočítajte prierezovú plochu rovnobežníka podľa roviny OFK , ak DD 1 = 4 cm.

• Dodatočná úloha: sú vyplnené tvary rezmi znázorneného mnohostenu rovinou PQR ? V prípadoch, keď sa sekcia zobrazuje nesprávne, nájdite správne riešenie.

Žiaci si vyberú vhodnú úroveň obtiažnosti.

Úloha pre prvú úroveň obtiažnosti:

Úloha pre druhú úroveň obtiažnosti:

Úloha pre tretiu úroveň obtiažnosti: