Ako nájsť pravidelný mnohouholník. pravidelný mnohouholník

Veta 1. Kruh môže byť opísaný okolo akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka.

Nech ABCDEF (obr. 419) je pravidelný mnohouholník; je potrebné dokázať, že okolo nej možno opísať kruh.

Vieme, že vždy je možné nakresliť kružnicu cez tri body, ktoré neležia na tej istej priamke; preto je vždy možné nakresliť kružnicu, ktorá bude prechádzať akýmikoľvek troma vrcholmi pravidelného mnohouholníka, napríklad cez vrcholy E, D a C. Nech je bod O stredom tejto kružnice.

Dokážme, že tento kruh bude prechádzať aj štvrtým vrcholom mnohouholníka, napríklad cez vrchol B.

Segmenty OE, OD a OS sú si navzájom rovné a každý sa rovná polomeru kruhu. Nakreslíme ďalší segment OB; o tomto segmente sa nedá hneď povedať, že sa rovná aj polomeru kružnice, to treba dokázať. Uvažujme trojuholníky OED a ODC, sú rovnoramenné a rovné, preto ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Ak je vnútorný uhol daného mnohouholníka α, potom ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; ale ak ∠4= α / 2, potom ∠5 = α / 2, t.j. ∠4 = ∠5.

Z toho usudzujeme, že (Delta)OSD = (Delta)OSV a teda OB = OS, t.j. segment OB sa rovná polomeru nakreslenej kružnice. Z toho vyplýva, že kružnica bude prechádzať aj vrcholom B pravidelného mnohouholníka.

Rovnakým spôsobom dokážeme, že zostrojená kružnica bude prechádzať všetkými ostatnými vrcholmi mnohouholníka. To znamená, že tento kruh bude opísaný okolo daného pravidelného mnohouholníka. Veta bola dokázaná.

Veta 2. Kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka.

Nech je ABCDEF pravidelný mnohouholník (obr. 420), musíme dokázať, že do neho možno vpísať kružnicu.

Z predchádzajúcej vety je známe, že kružnicu je možné opísať v blízkosti pravidelného mnohouholníka. Nech bod O je stredom tohto kruhu.

Pripojte bod O k vrcholom mnohouholníka. Výsledné trojuholníky OED, ODC atď. sú si navzájom rovné, čo znamená, že aj ich výšky nakreslené z bodu O sú rovnaké, teda OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Preto kružnica opísaná z bodu O ako zo stredu s polomerom rovným úsečke OK bude prechádzať bodmi K, L, M, N, P a Q a výškami trojuholníkov budú polomery kruh. Strany mnohouholníka sú kolmé na polomery v týchto bodoch, takže sa dotýkajú tohto kruhu. A to znamená, že zostrojený kruh je vpísaný do daného pravidelného mnohouholníka.

Rovnaká konštrukcia môže byť vykonaná pre akýkoľvek pravidelný mnohouholník, preto môže byť kruh vpísaný do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka.

Dôsledok. Kruh opísaný okolo pravidelného mnohouholníka a do neho vpísaný má spoločný stred.

Definície.

1. Stred pravidelného mnohouholníka je spoločným stredom kružníc opísaných okolo tohto mnohouholníka a vpísaných do neho.

2. Kolmica spustená zo stredu pravidelného mnohouholníka na jeho stranu sa nazýva apotém pravidelného mnohouholníka.

Vyjadrenie strán pravidelných mnohouholníkov v zmysle polomeru kružnice opísanej

Cez goniometrické funkcie stranu ľubovoľného pravidelného mnohouholníka možno vyjadriť pomocou polomeru kružnice, ktorá je mu opísaná.

Nech je AB stranou toho správneho n-gon vpísaný do kruhu s polomerom OA = R (obr.).

Nakreslime atému OD pravidelného mnohouholníka a uvažujme pravouhlý trojuholník AOD. V tomto trojuholníku

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n= 180° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

ale AB = 2AD a teda AB = 2R sin 180° / n .

Správna dĺžka strany n-gon vpísaný do kruhu sa zvyčajne označuje a n, takže výsledný vzorec možno zapísať takto:

a n= 2R sin 180° / n .

Dôsledky:

1. Dĺžka strany pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom R , sa vyjadruje vzorcom a 6 = R, as

a 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1/2 = R.

2. Dĺžka strany pravidelného štvoruholníka (štvorca) vpísaného do kruhu s polomerom R , sa vyjadruje vzorcom a 4 = R√2 , as

a 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Dĺžka strany rovnostranného trojuholníka vpísaného do kruhu s polomerom R , sa vyjadruje vzorcom a 3 = R√3 , as.

a 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Plocha pravidelného mnohouholníka

Nech je uvedený ten správny n-gon (ryža). Je potrebné určiť jeho oblasť. Označte stranu mnohouholníka a a stred cez O. Spojte segmenty stredu s koncami ľubovoľnej strany mnohouholníka, dostaneme trojuholník, do ktorého nakreslíme apotém mnohouholníka.

Oblasť tohto trojuholníka je Ach / 2. Na určenie plochy celého mnohouholníka je potrebné vynásobiť plochu jedného trojuholníka počtom trojuholníkov, t.j. n. Dostaneme: S = Ach / 2 n = ahn / 2 ale an sa rovná obvodu mnohouholníka. Nazvime to R.

Nakoniec dostaneme: S = P h / 2. kde S je plocha pravidelného mnohouholníka, P je jeho obvod, h- apotéma.

Plocha pravidelného mnohouholníka sa rovná polovici súčinu jeho obvodu a apotému.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zbierať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Trojuholník, štvorec, šesťuholník - tieto postavy pozná takmer každý. Nie každý však vie, čo je to pravidelný mnohouholník. Ale to je všetko rovnaké Pravidelný mnohouholník sa nazýva ten, ktorý má rovnaké uhly a strany. Existuje veľa takýchto figúrok, ale všetky majú rovnaké vlastnosti a platia pre ne rovnaké vzorce.

Vlastnosti pravidelných mnohouholníkov

Akýkoľvek pravidelný mnohouholník, či už je to štvorec alebo osemuholník, môže byť vpísaný do kruhu. Táto základná vlastnosť sa často využíva pri konštrukcii figúry. Okrem toho môže byť kruh vpísaný aj do mnohouholníka. V tomto prípade sa počet bodov kontaktu bude rovnať počtu jeho strán. Dôležité je, že kružnica vpísaná do pravidelného mnohouholníka bude mať s ním spoločný stred. Títo geometrické obrazce podlieha rovnakým vetám. Ľubovoľná strana pravidelného n-uholníka je spojená s polomerom kružnice opísanej okolo nej R. Preto ju možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: a = 2R ∙ sin180°. Cez môžete nájsť nielen strany, ale aj obvod polygónu.

Ako zistiť počet strán pravidelného mnohouholníka

Každý pozostáva z určitého počtu navzájom rovnakých segmentov, ktoré po spojení tvoria uzavretú čiaru. V tomto prípade majú všetky rohy vytvorenej postavy rovnakú hodnotu. Polygóny sa delia na jednoduché a zložité. Do prvej skupiny patrí trojuholník a štvorec. Zložité polygóny majú viac strany. Patria k nim aj postavičky v tvare hviezdy. V prípade zložitých pravidelných mnohouholníkov sa strany nachádzajú vpísaním do kruhu. Dajme dôkaz. Nakreslite pravidelný mnohouholník s ľubovoľným počtom strán n. Opíšte kruh okolo neho. Zadajte polomer R. Teraz si predstavte, že je daný nejaký n-uholník. Ak body jeho uhlov ležia na kruhu a sú si navzájom rovné, strany možno nájsť podľa vzorca: a = 2R ∙ sinα: 2.

Zistenie počtu strán vpísaného pravouhlého trojuholníka

Rovnostranný trojuholník je pravidelný mnohouholník. Platia pre ňu rovnaké vzorce ako pre štvorec a n-uholník. Trojuholník sa bude považovať za správny, ak má strany rovnakej dĺžky. V tomto prípade sú uhly 60⁰. Zostrojte trojuholník s danou dĺžkou strany a. Keď poznáte jeho stred a výšku, môžete nájsť hodnotu jeho strán. Na tento účel použijeme metódu hľadania pomocou vzorca a \u003d x: cosα, kde x je medián alebo výška. Keďže všetky strany trojuholníka sú rovnaké, dostaneme a = b = c. Potom platí nasledujúce tvrdenie: a = b = c = x: cosα. Podobne môžete nájsť hodnotu strán v rovnoramennom trojuholníku, ale x bude daná výška. Zároveň by sa mala premietať striktne na základňu postavy. Ak teda poznáme výšku x, nájdeme stranu a rovnoramenný trojuholník podľa vzorca a \u003d b \u003d x: cosα. Po zistení hodnoty a môžete vypočítať dĺžku základne c. Aplikujme Pytagorovu vetu. Budeme hľadať hodnotu polovice základne c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Potom c = 2xtanα. Páči sa ti to jednoduchým spôsobom nájdite počet strán ľubovoľného vpísaného mnohouholníka.

Výpočet strán štvorca vpísaného do kruhu

Ako každý iný vpísaný pravidelný mnohouholník, štvorec má rovnaké strany a uhly. Platia preň rovnaké vzorce ako pre trojuholník. Strany štvorca môžete vypočítať pomocou hodnoty uhlopriečky. Zvážme túto metódu podrobnejšie. Je známe, že uhlopriečka pretína uhol. Spočiatku bola jeho hodnota 90 stupňov. Po rozdelení teda vzniknú dve, ktorých uhly pri základni budú rovné 45 stupňom. Každá strana štvorca bude teda rovnaká, to znamená: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kde e je uhlopriečka štvorca alebo základňa po rozdelení vznikol pravouhlý trojuholník. Nie je jediná cesta nájsť strany štvorca. Vpíšme túto postavu do kruhu. Keď poznáme polomer tohto kruhu R, nájdeme stranu štvorca. Vypočítame to takto a4 = R√2. Polomery pravidelných mnohouholníkov sa vypočítavajú podľa vzorca R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kde a je dĺžka strany.

Ako vypočítať obvod n-uholníka

Obvod n-uholníka je súčtom všetkých jeho strán. Je ľahké to vypočítať. Aby ste to dosiahli, musíte poznať hodnoty všetkých strán. Pre niektoré typy polygónov existujú špeciálne vzorce. Umožňujú vám nájsť obvod oveľa rýchlejšie. Je známe, že každý pravidelný mnohouholník má rovnaké strany. Preto na výpočet jeho obvodu stačí poznať aspoň jeden z nich. Vzorec bude závisieť od počtu strán obrázku. Vo všeobecnosti to vyzerá takto: P \u003d an, kde a je hodnota strany a n je počet uhlov. Napríklad, ak chcete nájsť obvod pravidelného osemuholníka so stranou 3 cm, musíte ho vynásobiť číslom 8, teda P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pre šesťuholník so stranou 5 cm vypočítame takto: P = 5 ∙ 6 = 30 cm.A tak pre každý mnohouholník.

Nájdenie obvodu rovnobežníka, štvorca a kosoštvorca

Podľa toho, koľko strán má pravidelný mnohouholník, sa vypočíta jeho obvod. Vďaka tomu je úloha oveľa jednoduchšia. Na rozdiel od iných figúrok totiž v tomto prípade netreba hľadať všetky jeho strany, stačí len jedna. Rovnakým princípom nájdeme obvod štvoruholníkov, teda štvorca a kosoštvorca. Napriek tomu, že toto rôzne postavy, vzorec pre nich je jeden P \u003d 4a, kde a je strana. Vezmime si príklad. Ak je strana kosoštvorca alebo štvorca 6 cm, potom nájdeme obvod takto: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rovnobežník má iba protiľahlé strany. Preto sa jeho obvod zisťuje pomocou inej metódy. Potrebujeme teda poznať dĺžku a a šírku b obrázku. Potom použijeme vzorec P \u003d (a + c) ∙ 2. Rovnobežník, v ktorom sú všetky strany a uhly medzi nimi rovnaké, sa nazýva kosoštvorec.

Nájdenie obvodu rovnostranného a pravouhlého trojuholníka

Obvod toho správneho možno nájsť podľa vzorca P \u003d 3a, kde a je dĺžka strany. Ak nie je známy, možno ho nájsť prostredníctvom mediánu. AT správny trojuholník len dve strany sú rovnaké. Základ možno nájsť prostredníctvom Pytagorovej vety. Keď budú známe hodnoty všetkých troch strán, vypočítame obvod. Dá sa nájsť použitím vzorca P \u003d a + b + c, kde a a b sú rovnaké strany a c je základ. Pripomeňme, že v rovnoramennom trojuholníku a \u003d b \u003d a teda a + b \u003d 2a, potom P \u003d 2a + c. Napríklad strana rovnoramenného trojuholníka je 4 cm, nájdite jeho základňu a obvod. Hodnotu prepony vypočítame podľa Pytagorovej vety c \u003d √a 2 + v 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Teraz vypočítame obvod P \u003d 4 + 5 2 . u003d 13,65 cm.

Ako nájsť uhly pravidelného mnohouholníka

pravidelný mnohouholník sa v našom živote vyskytuje každý deň, napríklad obyčajný štvorec, trojuholník, osemuholník. Zdalo by sa, že nie je nič jednoduchšie, ako si túto postavu postaviť sami. Ale to je len na prvý pohľad. Aby ste mohli zostrojiť akýkoľvek n-uholník, potrebujete poznať hodnotu jeho uhlov. Ale ako ich nájdete? Dokonca aj vedci staroveku sa pokúšali postaviť pravidelné polygóny. Hádali, že ich zapadnú do kruhov. A potom boli na ňom vyznačené potrebné body spojené rovnými čiarami. Pre jednoduché figúrky problém s výstavbou bol vyriešený. Boli získané vzorce a vety. Napríklad Euclid vo svojom slávnom diele „Začiatok“ sa zaoberal riešením problémov pre 3-, 4-, 5-, 6- a 15-uholníky. Našiel spôsoby, ako ich skonštruovať a nájsť uhly. Pozrime sa, ako to urobiť pre 15-uholník. Najprv musíte vypočítať sumu vnútorné rohy. Je potrebné použiť vzorec S = 180⁰(n-2). Dostaneme teda 15-uholník, čo znamená, že číslo n je 15. Známe údaje dosadíme do vzorca a dostaneme S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Našli sme súčet všetkých vnútorných uhlov 15-uholníka. Teraz musíme zistiť hodnotu každého z nich. Celkovo je uhlov 15. Urobíme výpočet 2340⁰: 15 = 156⁰. To znamená, že každý vnútorný uhol je 156⁰, teraz pomocou pravítka a kompasu môžete postaviť obyčajný 15-uholník. Ale čo zložitejšie n-uholníky? Po stáročia sa vedci snažili vyriešiť tento problém. Našiel ho až v 18. storočí Carl Friedrich Gauss. Dokázal postaviť 65537-gon. Odvtedy sa problém oficiálne považuje za úplne vyriešený.

Výpočet uhlov n-uholníkov v radiánoch

Samozrejme, existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť rohy polygónov. Najčastejšie sa počítajú v stupňoch. Môžete ich však vyjadriť aj v radiánoch. Ako to spraviť? Je potrebné postupovať nasledovne. Najprv zistíme počet strán pravidelného mnohouholníka, potom od neho odčítame 2. Dostaneme teda hodnotu: n - 2. Nájdený rozdiel vynásobíme číslom n („pi“ \u003d 3,14). Teraz zostáva len rozdeliť výsledný produkt počtom uhlov v n-uholníku. Zvážte tieto výpočty pomocou príkladu toho istého pätnásťstranného. Číslo n je teda 15. Použime vzorec S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Toto samozrejme nie je jediný spôsob, ako vypočítať uhol v radiánoch. Veľkosť uhla v stupňoch jednoducho vydelíte číslom 57,3. Koniec koncov, toľko stupňov zodpovedá jednému radiánu.

Výpočet hodnoty uhlov v stupňoch

Okrem stupňov a radiánov môžete skúsiť nájsť aj hodnotu uhlov pravidelného mnohouholníka v gradoch. Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom. Od celkového počtu uhlov odpočítajte 2, výsledný rozdiel vydeľte počtom strán pravidelného mnohouholníka. Zistený výsledok vynásobíme 200. Mimochodom, takáto jednotka merania uhlov ako stupňov sa prakticky nepoužíva.

Výpočet vonkajších rohov n-uholníkov

Pre každý pravidelný mnohouholník, okrem vnútorného, ​​môžete vypočítať aj vonkajší uhol. Jeho hodnota sa zisťuje rovnakým spôsobom ako pri iných číslach. Ak teda chcete nájsť vonkajší roh pravidelného mnohouholníka, musíte poznať hodnotu vnútorného. Ďalej vieme, že súčet týchto dvoch uhlov je vždy 180 stupňov. Preto výpočty robíme takto: 180⁰ mínus hodnota vnútorného uhla. Nájdeme rozdiel. Bude sa rovnať hodnote uhla priľahlého k nej. Napríklad vnútorný roh štvorca je 90 stupňov, takže vonkajší uhol bude 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Ako vidíme, nie je ťažké ho nájsť. Vonkajší uhol môže nadobúdať hodnotu od +180° do -180°.

Mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany a všetky uhly rovnaké. Medzi trojuholníkmi, rovnostranný trojuholník a len to bude správne. Štvorec (a iba štvorec) je pravidelný štvoruholník. Ukážme, že existujú pravidelné mnohouholníky s ľubovoľným počtom strán, kde . Aby sme to dosiahli, uvádzame dve metódy konštrukcie takýchto polygónov.

Metóda 1. Vezmite ľubovoľný kruh a rozdeľte ho na rovnaké časti. Takáto konštrukcia nie je v žiadnom prípade realizovateľná pomocou kružidla a pravítka, ale tu budeme predpokladať, že takáto konštrukcia bola vykonaná. Body delenia v ich sekvenčnej polohe na kružnici berieme ako vrcholy -uholníka vpísaného do tejto kružnice. Dokážme, že zostrojený -gon je pravidelný. Strany nášho mnohouholníka (obr. 312) sú skutočne tetivy odčítané rovnakými oblúkmi, a preto sú si navzájom rovné.

Všetky uhly sú založené na rovnakých oblúkoch, a preto sú tiež rovnaké. Polygón je teda správny.

Metóda 2. Opäť rozdeľte kruh na rovnaké časti a nakreslite dotyčnice kruhu v bodoch delenia; každú z dotyčníc obmedzíme bodmi jej priesečníkov s dotyčnicami nakreslenými v susedných deliacich bodoch. Dostaneme pravidelný mnohouholník opísaný okolo kruhu (obr. 313). V skutočnosti sú všetky jeho uhly rovnaké, pretože každý z nich, podobne ako uhol medzi dotyčnicami, sa meria polovičným rozdielom oblúkov, z ktorých menší sa vždy rovná časti kruhu a väčší je vždy rovná sa celý kruh mínus časť. Rovnosť strán možno vidieť aspoň z rovnosti trojuholníkov tvorených dvojicami poldotyčiek a tetiv (napríklad trojuholníky a pod.). Všetky sú rovnoramenné, majú rovnaké uhly vo vrcholoch a rovnaké základne.

Dva pravidelné -gons s rovnaké číslo strany sú podobné.

Ich strany sú skutočne v stálom vzťahu, ktorý sa rovná pomeru ktoréhokoľvek páru strán. Navyše podľa vety o súčte uhlov -uholníka má každý pravidelný -uholník rovnaké uhly rovné 1. Podmienky kritéria položky 224 sú splnené a -uholníky sú podobné.

Takže pre každý bežný -gon sú podobné. Z toho okamžite získame niekoľko dôsledkov:

1. Dva pravidelné -gons s rovnaké strany sú si rovní.

2. Kruh môže byť opísaný okolo akéhokoľvek pravidelného -uholníka.

Dôkaz. Vezmite ľubovoľný pravidelný mnohouholník s rovnakým počtom strán, ako má daný, zostrojený podľa prvej metódy, t. j. vpísaný do kruhu. Pretvorme ho podobne, aby sa zrovnal s daným. Potom sa okolo neho opísaná kružnica podobne premení na kružnicu opísanú okolo daného mnohouholníka.

3. Kruh môže byť vpísaný do každého pravidelného mnohouholníka.

Dôkaz je podobný. Je však užitočné uskutočniť úvahy trochu inak. Už vieme, že kruh možno opísať okolo daného mnohouholníka. Zoberme si jeho stred. Strany mnohouholníka slúžia ako jeho tetivy; keďže sú si navzájom rovné, musia byť rovnako vzdialené od stredu. Preto kruh s rovnakým stredom a polomerom, rovná vzdialenosti od stredu k stranám mnohouholníka, sa bude dotýkať všetkých strán mnohouholníka, t.j. bude to vpísaný kruh.

Takže vpísané a opísané kružnice pravidelného mnohouholníka majú spoločný stred. Nazýva sa stred daného pravidelného mnohouholníka. Polomer kružnice opísanej sa nazýva polomer mnohouholníka, polomer kružnice vpísanej sa nazýva jej apotém. Je jasné, že apotém je vždy menší ako polomer.

OPAKOVAŤ MATERIÁL

a je strana osemuholníka,

R - polomer opísanej kružnice,

r je polomer vpísanej kružnice.

Súčet vnútorných uhlov pravidelného n-uholníka

180 (n-2).

Miera stupňa vnútorného uhla n-uholníka

180(n-2): n.

Strana správneho n

Polomer kružnice vpísanej do pravidelného mnohouholníka

Oblasť správneho n

CVIČENIA

1. a) Súčet vnútorných uhlov šesťuholníka je:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) Súčet vnútorných uhlov osemuholníka je:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080 °C.
rozhodnutie:
a) Podľa vzorca je súčet uhlov šesťuholníka: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Odpoveď: 720 ° .


2. a) Strana pravidelného mnohouholníka je 5 cm, vnútorný uhol je 144°
a) Strana pravidelného mnohouholníka je 7 cm, vnútorný uhol je 150° . Nájdite obvod mnohouholníka.
rozhodnutie:
a) 1) Nájdite počet strán mnohouholníka:
144 = 180 (n - 2): n;
144n=180n-360;
36n = 360;
n=10.
2) Nájdite obvod desaťuholníka: P=5*10=50 cm.
Odpoveď: 50 cm.


3. a) Obvod pravidelného päťuholníka je 30 cm Nájdite priemer kružnice opísanej okolo päťuholníka.
b) Priemer kruhu je 10 cm Nájdite obvod päťuholníka, ktorý je do neho vpísaný.
rozhodnutie:
a) 1) Nájdite stranu päťuholníka: 30:5=6 cm.
2) Nájdite polomer kružnice opísanej:
a=2R*sin(180 ° :n);
6=2R*sin(180 ° :5);
R=3:sin 36 ° \u003d 3: 0,588 \u003d 5,1 cm
Odpoveď: 5,1 cm.


4. a) Súčet vnútorných uhlov pravidelného mnohouholníka je 2520°
b) Súčet vnútorných uhlov pravidelného mnohouholníka je 1800° . Nájdite počet strán mnohouholníka.
rozhodnutie:
a) Nájdite počet strán mnohouholníka:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° n;
2880 ° =180 ° n;
n=16.
Odpoveď: 16 strán.


5. a) Polomer kružnice opísanej pravidelným dvanásťuholníkom je 5 cm. Nájdite plochu mnohouholníka.
b) Polomer kružnice opísanej pravidelným osemuholníkom je 6 cm. Nájdite plochu mnohouholníka.
rozhodnutie:
a) Nájdite oblasť dvanásťuholníka:
S=0,5* R2*n*sin(360° :n)=0,5*25*12*sin30° = 75 cm 2 .
Odpoveď: 75 cm 2 .


6. Nájdite oblasť šesťuholníka, ak je známa oblasť zatienenej časti:

Plocha trojuholníka ABC je 0,5*AB*BC*sin120° a je rovnaký podľa podmienky 48.

7. a) Nájdite počet strán pravidelného mnohouholníka, ak jeho vonkajší vrcholový uhol je 18° .
b) Nájdite počet strán pravidelného mnohouholníka, ak jeho vonkajší vrcholový uhol je 45° .
rozhodnutie:
a) Suma vonkajšie rohy pravidelný mnohouholník je 360 ° .
Nájdite počet strán: 360 ° :18 ° =20.
Odpoveď: 20 strán.


8. Vypočítajte plochu prstenca, ak sa tetiva AB rovná:
a) 8 cm; b) 10 cm.

1) OB je polomer vonkajšieho kruhu, OH je polomer vnútorného kruhu. Oblasť krúžku možno nájsť pomocou vzorca: S krúžku = S vonkajšieho kruhu - S vnútorného kruhu.

S= π*OB 2 -π*OH 2 = π (OB 2 -OH 2 ).

2) Zvážte trojuholník ABO - rovnoramenný (OA \u003d OB ako polomery). OH je výška a medián v trojuholníku ABO, teda AN=HB=8:2= 4 cm.

3) Uvažujme trojuholník ONV - pravouhlý: HB 2 =OB 2 - JE ON 2 , teda

OV 2 - JE ON 2 =16.

4) Nájdite oblasť prsteňa:

S=π (OB 2 -OH 2 )=16 π cm 2 .

odpoveď:16 π cm 2 .

P = 6*AB;

10. Dokážte, že v pravidelnom osemuholníku sa plocha tieňovanej časti rovná:
a) štvrtina plochy osemuholníka; b) polovica plochy osemuholníka:

1) Narysujme osi uhlov osemuholníka, pretínajú sa v bode O. Plocha osemuholníka sa rovná súčtu plôch ôsmich výsledných rovnakých trojuholníkov, t.j. S(ABCDEFKM)=8*S(OEF).

2) Štvoruholník ABEF je rovnobežník (AB//EF a AB=EF). Uhlopriečky rovnobežníka sú rovnaké: AE=BF (ako priemery kružnice opísanej osemuholníku), teda ABEF je obdĺžnik. Uhlopriečky obdĺžnika ho rozdeľujú na štyri trojuholníky s rovnakou plochou.

3) Nájdite oblasť štvoruholníka AFKM:

S (ABEF) = 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S(AFKM)=2* S(OEF).

4) Nájdite pomer plochy osemuholníka k ploche tieňovanej časti:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF): (2*S(OEF))=4.

Q.E.D.

1) AB=AC=2R. Uhol BAC je rovný, pretože plocha sektora BAC sa rovná štvrtine plochy kruhu .

2) Zvážte štvoruholníkový AO 2 MO 1 . Je to kosoštvorec, pretože všetky strany sa rovnajú polomeru a od Jeden z ich uhlov je 90°, potom AO 2 MO 1 - námestie.

ÚLOHY NA SAMOSTATNÉ RIEŠENIE

1. Aký je súčet vonkajších uhlov päťuholníka?

2. Aká je plocha osemuholníka, ak je plocha zatienenej plochy 20.