Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla. Správny trojuholník. Kompletný ilustrovaný sprievodca (2019)

Pomer opačnej nohy k prepone sa nazýva sínus ostrý uhol správny trojuholník.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer najbližšej nohy k prepone sa nazýva kosínus ostrého uhla správny trojuholník.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer protiľahlej nohy k susednej sa nazýva tangens ostrého uhla správny trojuholník.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer susednej nohy k opačnej sa nazýva kotangens ostrého uhla správny trojuholník.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sínus ľubovoľného uhla

Nazýva sa ordináta bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \alpha sínus ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

\sin \alpha=y

Kosínus ľubovoľného uhla

Nazýva sa úsečka bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \alpha kosínus ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta ľubovoľného uhla

Pomer sínusu ľubovoľného uhla natočenia \alfa k jeho kosínusu sa nazýva dotyčnica ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens ľubovoľného uhla

Pomer kosínusu ľubovoľného uhla natočenia \alfa k jeho sínusu sa nazýva kotangens ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Príklad nájdenia ľubovoľného uhla

Ak \alpha je nejaký uhol AOM , kde M je bod na jednotkovej kružnici, potom

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Napríklad ak \uhol AOM = -\frac(\pi)(4), potom: ordináta bodu M je -\frac(\sqrt(2))(2), úsečka je \frac(\sqrt(2))(2) a preto

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabuľka hodnôt sínusov kosínusov dotyčníc kotangens

Hodnoty hlavných často sa vyskytujúcich uhlov sú uvedené v tabuľke:

Trigonometrické identity sú rovnosti, ktoré vytvárajú vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla, čo vám umožňuje nájsť ktorúkoľvek z týchto funkcií za predpokladu, že je známa akákoľvek iná.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Táto identita hovorí, že súčet druhej mocniny sínusu jedného uhla a druhej mocniny kosínusu jedného uhla sa rovná jednej, čo v praxi umožňuje vypočítať sínus jedného uhla, keď je známy jeho kosínus a naopak. .

Pri prevode goniometrických výrazov sa veľmi často používa táto identita, ktorá umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín kosínusu a sínusu jedného uhla jednotkou a tiež vykonať operáciu nahradenia v opačné poradie.

Hľadanie tangens a kotangens cez sínus a kosínus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Tieto identity sú tvorené definíciami sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Koniec koncov, ak sa pozriete, potom podľa definície je ordináta y sínus a osa x je kosínus. Potom sa dotyčnica bude rovnať pomeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) a pomer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bude kotangens.

Dodávame, že iba pre také uhly \alpha, pre ktoré dávajú zmysel goniometrické funkcie v nich zahrnuté, dôjde k identitám, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Napríklad: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) platí pre \alpha uhly, ktoré sa líšia od \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pre uhol \alpha iný ako \pi z je z celé číslo.

Vzťah medzi tangentom a kotangensom

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Táto identita je platná len pre uhly \alpha, ktoré sú odlišné od \frac(\pi)(2) z. V opačnom prípade sa kotangens alebo tangenta neurčia.

Na základe vyššie uvedených bodov sme to dostali tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Z toho teda vyplýva tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tangenta a kotangens jedného uhla, pod ktorým dávajú zmysel, sú teda vzájomne recipročné čísla.

Vzťahy medzi tangensom a kosínusom, kotangensom a sínusom

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- súčet druhej mocniny tangens uhla \alpha a 1 sa rovná prevrátenej druhej mocnine kosínusu tohto uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha okrem \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- súčet 1 a druhej mocniny kotangensu uhla \alpha sa rovná prevrátenej druhej mocnine sínusu daného uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha iné ako \pi z .

Príklady s riešením problémov pomocou goniometrických identít

Príklad 1

Nájdite \sin \alpha a tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Funkcie \sin \alpha a \cos \alpha sú spojené vzorcom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Nahradenie do tohto vzorca \cos \alpha = -\frac12, dostaneme:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Táto rovnica má 2 riešenia:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je sínus kladný, takže \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Na nájdenie tg \alpha použijeme vzorec tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Príklad 2

Nájdite \cos \alpha a ctg \alpha, ak a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

Dosadzovanie do vzorca \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 podmienené číslo \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dostaneme \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Táto rovnica má dve riešenia \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je kosínus záporný, takže \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Aby sme našli ctg \alpha , použijeme vzorec ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Zodpovedajúce hodnoty poznáme.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

V tomto článku sa komplexne pozrieme na . Hlavná trigonometrické identity sú rovnosti, ktoré vytvárajú vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla a umožňujú vám nájsť ktorúkoľvek z týchto goniometrických funkcií prostredníctvom známeho iného uhla.

Okamžite uvádzame hlavné trigonometrické identity, ktoré budeme analyzovať v tomto článku. Zapíšeme ich do tabuľky a nižšie uvedieme odvodenie týchto vzorcov a uvedieme potrebné vysvetlenia.

Navigácia na stránke.

Vzťah medzi sínusom a kosínusom jedného uhla

Niekedy nehovoria o hlavných trigonometrických identitách uvedených v tabuľke vyššie, ale o jednej jedinej základná trigonometrická identita milý . Vysvetlenie tejto skutočnosti je celkom jednoduché: rovnosti sa získajú zo základnej goniometrickej identity po vydelení oboch jej častí pomocou resp. a vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. Tomu sa budeme podrobnejšie venovať v nasledujúcich odsekoch.

To znamená, že je to rovnosť, ktorá je obzvlášť zaujímavá a ktorá dostala názov hlavnej trigonometrickej identity.

Pred dokázaním základnej goniometrickej identity uvádzame jej formuláciu: súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla je zhodne rovný jednej. Teraz to dokážme.

Veľmi často sa používa základná trigonometrická identita v transformácia goniometrických výrazov. Umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla jednotkou. Nie menej často sa základná trigonometrická identita používa v opačnom poradí: jednotka je nahradená súčtom druhých mocnín sínusu a kosínusu ľubovoľného uhla.

Tangenta a kotangens cez sínus a kosínus

Identity spájajúce tangens a kotangens so sínusom a kosínusom jedného uhla tvaru a bezprostredne vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. Podľa definície je sínus súradnica y, kosínus je súradnica x, dotyčnica je pomer súradnice k súradnici, tj. a kotangens je pomer úsečky k zvislej osi, tj. .

Vzhľadom na túto samozrejmosť identít a často sa definície tangens a kotangens neuvádzajú prostredníctvom pomeru úsečky a ordináty, ale prostredníctvom pomeru sínusu a kosínusu. Tangenta uhla je teda pomer sínusu ku kosínusu tohto uhla a kotangens je pomer kosínusu a sínusu.

Na záver tejto časti treba poznamenať, že identity a platí pre všetky také uhly, pre ktoré majú goniometrické funkcie v nich zmysel. Vzorec teda platí pre akúkoľvek inú ako (inak bude menovateľ nula a my sme nedefinovali delenie nulou) a vzorec - pre všetky , odlišné od , kde z je ľubovoľné .

Vzťah medzi tangentom a kotangensom

Ešte zreteľnejšou trigonometrickou identitou ako predchádzajúce dve je identita spájajúca tangentu a kotangens jedného uhla tvaru . Je jasné, že prebieha pre akékoľvek iné uhly ako , inak tangenta ani kotangens nie sú definované.

Dôkaz vzorca veľmi jednoduché. Podľa definície a odkiaľ . Dôkaz mohol byť vykonaný trochu iným spôsobom. Od a , potom .

Takže tangens a kotangens jedného uhla, pri ktorých dávajú zmysel, je.

Myslím, že si zaslúžiš viac. Tu je môj kľúč k trigonometrii:

• Nakreslite kupolu, stenu a strop
• Goniometrické funkcie nie sú nič iné ako percentá týchto troch foriem.

Metafora pre sínus a kosínus: kupola

Namiesto toho, aby ste sa pozerali na samotné trojuholníky, predstavte si ich v akcii tak, že nejaké nájdete konkrétny príklad zo života.

Predstavte si, že ste uprostred kupoly a chcete zavesiť plátno filmového projektora. Ukážete prstom na kupolu v nejakom uhle "x" a z tohto bodu by mala byť zavesená obrazovka.

Uhol, na ktorý ukážete, určuje:

• sinus(x) = sin(x) = výška obrazovky (montážny bod od podlahy k kupole)
• cosine(x) = cos(x) = vzdialenosť od vás k obrazovke (podľa poschodia)
• prepona, vzdialenosť od vás k hornej časti obrazovky, vždy rovnaká, rovná sa polomeru kupoly

Chcete, aby bola obrazovka čo najväčšia? Zaveste to priamo nad seba.

Chcete, aby obrazovka visela čo najďalej od vás? Zaveste ho rovno kolmo. Obrazovka bude mať v tejto polohe nulovú výšku a bude visieť tak ďaleko, ako ste požadovali.

Výška a vzdialenosť od obrazovky sú nepriamo úmerné: čím bližšie bude obrazovka visieť, tým vyššia bude jej výška.

Sínus a kosínus sú percentá

Žiaľ, nikto počas môjho štúdia mi nevysvetlil, že goniometrické funkcie sínus a kosínus nie sú nič iné ako percentá. Ich hodnoty sa pohybujú od +100% do 0 až -100% alebo od kladného maxima po nulu po záporné maximum.

Povedzme, že som zaplatil daň 14 rubľov. Nevieš koľko to je. Ak si ale poviete, že som zaplatil 95 % na dani, pochopíte, že som bol jednoducho olúpaný ako lepkavý.

Absolútna výška nič neznamená. Ale ak je sínusová hodnota 0,95, potom chápem, že televízor visí takmer na vrchu vašej kupoly. Veľmi skoro dosiahne svoju maximálnu výšku v strede kupoly a potom začne opäť klesať.

Ako môžeme vypočítať toto percento? Veľmi jednoduché: vydeľte aktuálnu výšku obrazovky maximálnou možnou hodnotou (polomer kupoly, nazývaný aj prepona).

Preto hovorí sa nám, že „kosínus = opačná noha / prepona“. To všetko preto, aby ste získali percentá! Najlepší spôsob, ako definovať sínus, je „percento aktuálnej výšky z maximálnej možnej“. (Sínus sa stane záporným, ak váš uhol smeruje „pod zem“. Kosínus sa stane záporným, ak uhol ukazuje na kopulovitý bod za vami.)

Zjednodušme výpočty za predpokladu, že sme v strede jednotkovej kružnice (polomer = 1). Delenie môžeme preskočiť a vezmeme si sínus rovný výške.

Každý kruh je v podstate jeden kruh, zmenšený nahor alebo nadol správna veľkosť. Takže určite vzťahy na jednotkovej kružnici a aplikujte výsledky na vašu konkrétnu veľkosť kruhu.

Experiment: vezmite ľubovoľný roh a zistite, aké percento výšky k šírke sa zobrazuje:

Graf rastu hodnoty sínusu nie je len priamka. Prvých 45 stupňov pokrýva 70% výšky a posledných 10 stupňov (od 80° do 90°) pokrýva len 2%.

To vám bude jasné: ak idete v kruhu, pri 0 ° stúpate takmer kolmo, ale ako sa blížite k vrcholu kupoly, výška sa mení čoraz menej.

Tangenta a sečna. Stena

Jedného dňa sused postavil múr presne chrbtom k sebe do tvojej kupole. Preplakal si pohľad z okna a dobrá cena na ďalší predaj!

Je však možné v tejto situácii nejako vyhrať?

Samozrejme áno. Čo ak zavesíme filmové plátno priamo na susedovu stenu? Zamierite na roh (x) a získate:

• tan(x) = tan(x) = výška obrazovky na stene
• vzdialenosť od vás k stene: 1 (toto je polomer vašej kupoly, stena sa od vás nikam neposúva, však?)
• secant(x) = sec(x) = „dĺžka rebríka“ od vás stojaceho v strede kupoly po hornú časť závesnej zásteny

Vyjasnime si pár vecí o dotyčnici alebo výške obrazovky.

• začína na 0 a môže ísť nekonečne vysoko. Obrazovku môžete na stenu natiahnuť stále vyššie a získať tak len nekonečné plátno na sledovanie vášho obľúbeného filmu! (Na taký obrovský, samozrejme, budete musieť minúť veľa peňazí).
• dotyčnica je len zväčšená verzia sínusu! A zatiaľ čo rast sínusu sa spomaľuje, keď sa pohybujete smerom k vrcholu kupoly, dotyčnica naďalej rastie!

Sekansu sa má tiež čím pochváliť:

• sečna začína na 1 (rebrík je na podlahe, od vás smerom k stene) a odtiaľ začína stúpať
• Sečna je vždy dlhšia ako dotyčnica. Šikmý rebrík, na ktorý zavesíte obrazovku, musí byť dlhší ako samotná obrazovka, však? (Pri nereálnych veľkostiach, keď je zástena táááák dlhá a rebrík treba umiestniť takmer zvisle, sú ich veľkosti takmer rovnaké. Ale aj tak bude sečnica trochu dlhšia).

Pamätajte, že hodnoty sú percent. Ak sa rozhodnete zavesiť obrazovku pod uhlom 50 stupňov, tan(50)=1,19. Vaša obrazovka je o 19 % väčšia ako vzdialenosť od steny (polomer kupoly).

(Zadajte x=0 a otestujte svoju intuíciu - tan(0) = 0 a sek(0) = 1.)

Kotangens a kosekans. Strop

Je neuveriteľné, že váš sused sa teraz rozhodol postaviť strop nad vašou kupolou. (Čo je s ním? Zrejme nechce, aby ste naňho nakukovali, keď sa bude prechádzať po dvore nahý...)

No je čas postaviť východ na strechu a porozprávať sa so susedom. Vyberiete si uhol sklonu a začnete stavať:

• vertikálna vzdialenosť medzi strešným výstupom a podlahou je vždy 1 (polomer kupoly)
• kotangens(x) = cot(x) = vzdialenosť medzi vrcholom kupoly a výstupným bodom
• cosecant(x) = csc(x) = dĺžka vašej cesty na strechu

Tangenta a sečna opisujú stenu, zatiaľ čo kotangensa a kosekans opisujú podlahu.

Naše intuitívne závery sú tentokrát podobné tým predchádzajúcim:

• Ak zoberiete uhol 0°, váš výstup na strechu bude trvať večnosť, pretože nikdy nedosiahne strop. Problém.
• Najkratšie „schodisko“ na strechu získate, ak ho postavíte pod uhlom 90 stupňov k podlahe. Kotangens bude rovný 0 (po streche sa vôbec nepohybujeme, vychádzame striktne kolmo) a kosekant sa bude rovnať 1 („dĺžka rebríka“ bude minimálna).

Vizualizujte spojenia

Ak sú všetky tri prípady nakreslené v kombinácii kupola-stena-podlaha, získate nasledovné:

No, wow, je to všetko rovnaký trojuholník, zväčšený tak, aby dosiahol na stenu a strop. Máme vertikálne strany (sínus, tangens), horizontálne strany (kosínus, kotangens) a „hypotenusy“ (sekant, kosekans). (Podľa šípok môžete vidieť, ako ďaleko každý prvok dosahuje. Kosekans je celková vzdialenosť od vás k streche).

Trochu mágie. Všetky trojuholníky sú rovnaké:

Z Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2) vidíme, ako sú strany každého trojuholníka spojené. Okrem toho musia byť pomery výšky a šírky rovnaké pre všetky trojuholníky. (Stačí ustúpiť od najväčšieho trojuholníka k menšiemu. Áno, veľkosť sa zmenila, ale proporcie strán zostanú rovnaké).

Keď vieme, ktorá strana v každom trojuholníku je 1 (polomer kupoly), môžeme ľahko vypočítať, že "sin/cos = tan/1".

Vždy som sa snažil zapamätať si tieto skutočnosti prostredníctvom jednoduchej vizualizácie. Na obrázku môžete jasne vidieť tieto závislosti a pochopiť, odkiaľ pochádzajú. Táto technika je oveľa lepšia ako zapamätanie si suchých vzorcov.

Nezabudnite na iné uhly

Pst... Netreba sa zavesiť na jeden graf, mysliac si, že dotyčnica je vždy menšia ako 1. Ak zväčšíte uhol, môžete dosiahnuť strop bez toho, aby ste sa dostali na stenu:

Pythagorejské spojenia vždy fungujú, ale relatívne veľkosti sa môžu líšiť.

(Pravdepodobne ste si všimli, že pomer sínusu a kosínusu je vždy najmenší, pretože sú uzavreté v kupole.)

Aby som to zhrnul: čo si musíme zapamätať?

Pre väčšinu z nás by som povedal, že toto bude stačiť:

• trigonometria vysvetľuje anatómiu matematických objektov, ako sú kruhy a opakujúce sa intervaly
• analógia kupola/stena/strecha ukazuje vzťah medzi rôznymi trigonometrickými funkciami
• výsledkom goniometrických funkcií sú percentá, ktoré aplikujeme na náš scenár.

Nemusíte si pamätať vzorce ako 1 2 + detská postieľka 2 = csc 2 . Hodia sa len na hlúpe testy, v ktorých sa znalosť skutočnosti prezentuje ako jej pochopenie. Venujte chvíľu tomu, aby ste nakreslili polkruh v podobe kupoly, steny a strechy, podpíšte prvky a všetky vzorce budú od vás žiadané na papieri.

Aplikácia: Inverzné funkcie

Akákoľvek goniometrická funkcia berie ako vstup uhol a vracia výsledok v percentách. sin(30) = 0,5. To znamená, že uhol 30 stupňov zaberá 50 % maximálnej výšky.

Inverzná goniometrická funkcia sa zapisuje ako sin -1 alebo arcsin (“arxín”). Často je tiež napísaný v rôznych programovacích jazykoch.

Ak je naša výška 25% výšky kupoly, aký je náš uhol?

V našej tabuľke proporcií nájdete pomer, v ktorom je sečna delená 1. Napríklad sečna o 1 (prepona k horizontále) sa bude rovnať 1 delená kosínusom:

Povedzme, že náš sekant je 3,5, t.j. 350 % polomeru jednotkovej kružnice. Akému uhlu sklonu k stene zodpovedá táto hodnota?

Dodatok: Niekoľko príkladov

Nudná úloha. Skomplikujme banálne „nájdi sínus“ na „Aká je výška v percentách z maxima (hypotenza)?“.

Najprv si všimnite, že trojuholník je otočený. Na tom nie je nič zlé. Trojuholník má aj výšku, na obrázku je znázornený zelenou farbou.

Čomu sa rovná prepona? Podľa Pytagorovej vety vieme, že:

3 2 + 4 2 = prepona 2 25 = prepona 2 5 = prepona

Dobre! Sínus je percento výšky z najdlhšej strany trojuholníka alebo prepony. V našom príklade je sínus 3/5 alebo 0,60.

Samozrejme, môžeme ísť niekoľkými spôsobmi. Teraz vieme, že sínus je 0,60 a môžeme jednoducho nájsť arcsínus:

Asín (0,6) = 36,9

A tu je ďalší prístup. Všimnite si, že trojuholník je "tvárou v tvár k stene", takže namiesto sínusu môžeme použiť tangens. Výška je 3, vzdialenosť od steny je 4, takže dotyčnica je ¾ alebo 75%. Na prechod z percent späť na uhol môžeme použiť arkus tangens:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Príklad: Budete plávať na breh?

Ste na lodi a máte dostatok paliva na preplávanie 2 km. Teraz ste 0,25 km od pobrežia. V akom maximálnom uhle k brehu k nemu môžete doplávať, aby ste mali dostatok paliva? Dodatok k podmienke problému: máme len tabuľku hodnôt oblúkového kosínusu.

čo máme? pobrežia si môžeme predstaviť ako „stenu“ v našom známom trojuholníku a „dĺžka rebríka“ pripevneného k stene je maximálna možná prekonateľná vzdialenosť loďou k brehu (2 km). Objaví sa sekant.

Najprv musíte prejsť na percentá. Máme 2 / 0,25 = 8, čo znamená, že môžeme plávať 8-násobok priamej vzdialenosti k brehu (alebo k stene).

Vynára sa otázka „Čo je to sekant 8?“. Ale na to nemôžeme dať odpoveď, pretože máme iba oblúkové kosínusy.

Používame naše predtým odvodené závislosti na mapovanie sekantu na kosínus: „sec/1 = 1/cos“

Sekans 8 sa rovná kosínusu ⅛. Uhol, ktorého kosínus je ⅛, je acos(1/8) = 82,8. A to je najväčší uhol, ktorý si na lodi s uvedeným množstvom paliva môžeme dovoliť.

Nie je to zlé, však? Bez analógie kupola-stena-strop by som bol zmätený v množstve vzorcov a výpočtov. Vizualizácia problému výrazne zjednodušuje hľadanie riešenia, okrem toho je zaujímavé sledovať, ktorá goniometrická funkcia nakoniec pomôže.

Pri každej úlohe premýšľajte takto: zaujíma ma kupola (sin/cos), stena (tan/sec) alebo strop (cot/csc)?

A trigonometria bude oveľa príjemnejšia. Jednoduché výpočty pre vás!

Sinus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer opak katétra do prepony.
Označuje sa takto: hriech α.

Kosínus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone.
Označuje sa takto: cos α.

Tangenta ostrý uhol α je pomer protiľahlého ramena k susednému ramenu.
Označuje sa takto: tg α.

Kotangens ostrý uhol α je pomer priľahlej nohy k protiľahlej.
Označuje sa takto: ctg α.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla závisia len od veľkosti uhla.

pravidlá:

Základné goniometrické identity v pravouhlom trojuholníku:

(α - ostrý uhol oproti nohe b a priľahlé k nohe a . Side s - prepona. β - druhý ostrý uhol).

Keď sa ostrý uhol zväčšujesinα azvýšenie tg α acos α klesá.

Pre akýkoľvek ostrý uhol α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Vysvetľujúci príklad:

Vlož pravouhlý trojuholník ABC
AB = 6,
BC = 3,
uhol A = 30°.

Nájdite sínus uhla A a kosínus uhla B.

Rozhodnutie .

1) Najprv nájdeme hodnotu uhla B. Tu je všetko jednoduché: keďže v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90º, potom uhol B \u003d 60º:

B \u003d 90º – 30º \u003d 60º.

2) Vypočítajte sin A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone. Pre uhol A je opačná noha strana BC. Takže:

BC 3 1
hriech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz vypočítame cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susednej vetvy k prepone. Pre uhol B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme rozdeliť BC na AB - to znamená vykonať rovnaké akcie ako pri výpočte sínusu uhla A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Výsledkom je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku sa sínus jedného ostrého uhla rovná kosínusu iného ostrého uhla - a naopak. Presne toto znamenajú naše dva vzorce:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Pozrime sa na to znova:

1) Nech α = 60º. Dosadením hodnoty α do sínusového vzorca dostaneme:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Nech α = 30º. Dosadením hodnoty α do kosínusového vzorca dostaneme:
cos (90° - 30°) = sin 30°.
cos 60° = hriech 30°.

(Viac o trigonometrii nájdete v časti Algebra)