Pravidelný mnohouholník má počet strán. pravidelný mnohouholník

Mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany a všetky uhly rovnaké. Medzi trojuholníkmi, rovnostranný trojuholník a len to bude správne. Štvorec (a iba štvorec) je pravidelný štvoruholník. Ukážme, že existujú pravidelné mnohouholníky s ľubovoľným počtom strán, kde . Aby sme to dosiahli, uvádzame dve metódy konštrukcie takýchto polygónov.

Metóda 1. Vezmite ľubovoľný kruh a rozdeľte ho na rovnaké časti. Takáto konštrukcia nie je v žiadnom prípade realizovateľná pomocou kružidla a pravítka, ale tu budeme predpokladať, že takáto konštrukcia bola vykonaná. Body delenia v ich sekvenčnej polohe na kružnici berieme ako vrcholy -uholníka vpísaného do tejto kružnice. Dokážme, že zostrojený -gon je pravidelný. Strany nášho mnohouholníka (obr. 312) sú skutočne tetivy odčítané rovnakými oblúkmi, a preto sú si navzájom rovné.

Všetky uhly sú založené na rovnakých oblúkoch, a preto sú tiež rovnaké. Polygón je teda správny.

Metóda 2. Opäť rozdeľte kruh na rovnaké časti a nakreslite dotyčnice kruhu v bodoch delenia; každú z dotyčníc obmedzíme bodmi jej priesečníkov s dotyčnicami nakreslenými v susedných deliacich bodoch. Dostaneme pravidelný mnohouholník opísaný okolo kruhu (obr. 313). V skutočnosti sú všetky jeho uhly rovnaké, pretože každý z nich, podobne ako uhol medzi dotyčnicami, sa meria polovičným rozdielom oblúkov, z ktorých menší sa vždy rovná časti kruhu a väčší je vždy rovná sa celý kruh mínus časť. Rovnosť strán možno vidieť aspoň z rovnosti trojuholníkov tvorených dvojicami poldotyčiek a tetiv (napríklad trojuholníky a pod.). Všetky sú rovnoramenné, majú rovnaké uhly vo vrcholoch a rovnaké základne.

Dva pravidelné -gons s rovnaké číslo strany sú podobné.

Ich strany sú skutočne v stálom vzťahu, ktorý sa rovná pomeru ktoréhokoľvek páru strán. Navyše, podľa vety o súčte uhlov -uholníka má každý pravidelný -uholník rovnaké uhly rovné 1. Podmienky kritéria v položke 224 sú splnené a -uholníky sú podobné.

Takže pre každý bežný -gon sú podobné. Z toho okamžite získame niekoľko dôsledkov:

1. Dva pravidelné -uholníky s rovnakými stranami sú rovnaké.

2. Kruh môže byť opísaný okolo akéhokoľvek pravidelného -uholníka.

Dôkaz. Vezmite ľubovoľný pravidelný mnohouholník s rovnakým počtom strán, ako má daný, zostrojený podľa prvej metódy, t. j. vpísaný do kruhu. Pretvorme ho podobne, aby sa zrovnal s daným. Potom sa okolo neho opísaná kružnica podobne premení na kružnicu opísanú okolo daného mnohouholníka.

3. Kruh môže byť vpísaný do každého pravidelného mnohouholníka.

Dôkaz je podobný. Je však užitočné uskutočniť úvahy trochu inak. Už vieme, že kruh možno opísať okolo daného mnohouholníka. Zoberme si jeho stred. Strany mnohouholníka slúžia ako jeho tetivy; keďže sú si navzájom rovné, musia byť rovnako vzdialené od stredu. Preto kruh s rovnakým stredom a polomerom, rovná vzdialenosti od stredu k stranám mnohouholníka, sa bude dotýkať všetkých strán mnohouholníka, t.j. bude to vpísaný kruh.

Takže vpísané a opísané kružnice pravidelného mnohouholníka majú spoločný stred. Nazýva sa stred daného pravidelného mnohouholníka. Polomer kružnice opísanej sa nazýva polomer mnohouholníka, polomer kružnice vpísanej sa nazýva jej apotém. Je jasné, že apotém je vždy menší ako polomer.

Tvoj jeho mnohouholník. Napríklad, ak potrebujete nájsť rohy správne mnohouholník s 15 stranami zapojte n=15 do rovnice. Získate S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.

Potom vydeľte výsledný súčet vnútorných uhlov ich počtom. Napríklad v mnohouholníku je počet rohov počtom strán, teda 15. Dostanete teda, že uhol je 2340⁰/15=156⁰. Každý vnútorný kútik mnohouholník rovná sa 156⁰.

Ak chcete počítať rohy mnohouholník v radiánoch postupujte nasledovne. Od počtu strán odčítajte číslo 2 a výsledný rozdiel vynásobte číslom P (Pi). Potom rozdeľte produkt počtom rohov v polygóne. Napríklad, ak potrebujete počítať rohy obyčajný 15-uholník, postupujte takto: P * (15-2) / 15 \u003d 13 / 15P alebo 0,87P alebo 2,72 (ale podobne, číslo P zostáva nezmenené). Alebo len vydeľte veľkosť uhla v stupňoch číslom 57,3 – toľko je obsiahnutých v jednom radiáne.

Môžete tiež skúsiť vypočítať rohy správne mnohouholník v mestách. Ak to chcete urobiť, odpočítajte od počtu strán číslo 2, vydeľte výsledné číslo počtom strán a vynásobte výsledok číslom 200. Tento uhol sa takmer nepoužíva, ale ak sa rozhodnete rohy v gradoch nezabudnite, že grady sú rozdelené na metrické sekundy a minúty (každý 100 sekúnd).

Možno budete musieť vypočítať správny vonkajší uhol mnohouholník, v tomto prípade tak urobte. Odčítajte vnútorný uhol od 180⁰ - v dôsledku toho získate hodnotu susedného, ​​teda vonkajšieho uhla. Môže sa pohybovať od -180⁰ do +180⁰.

Užitočné rady

Ak sa vám podarilo zistiť uhly pravidelného mnohouholníka, môžete ho jednoducho postaviť. Nakreslite jednu stranu určitej dĺžky a z nej pomocou uhlomeru odložte požadovaný uhol. Odmerajte presne rovnakú vzdialenosť (všetky strany pravidelného mnohouholníka sú rovnaké) a znova odložte požadovaný uhol. Pokračujte, kým sa strany nestretnú.

Zdroje:

• uhla v pravidelnom mnohouholníku

Polygón pozostáva z niekoľkých segmentov, ktoré sú navzájom spojené a tvoria uzavretú líniu. Všetky postavy tejto triedy sú rozdelené na jednoduché a zložité. Jednoduché sú trojuholníky a štvoruholníky a zložité sú mnohouholníky s veľká kvantita strany, ako aj hviezdne mnohouholníky.

Poučenie

Najčastejšie v problémoch je pravidelný trojuholník s strany oh a. Keďže polygón je pravidelný, potom všetky tri strany s sú rovnaké. Preto, keď poznáte stred a výšku trojuholníka, môžete nájsť všetky strany s. Ak to chcete urobiť, použite metódu hľadania strany s : a=x/cosα strany s , t.j. a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, kde x je výška, medián alebo stred. Podobne nájdite všetky tri neznáme strany s v rovnoramennom trojuholníku, ale pod jednou podmienkou - danou výškou. Mala by byť premietnutá na základňu trojuholníka. Keď poznáte výšku základne x, nájdite strany a:a=x/cosα. Keďže a=b je trojuholník rovnoramenný, nájdite ho strany s takto: a=b=x/cosα Po nájdení strany strany s trojuholníkom, vypočítajte dĺžku základne trojuholníka pomocou Pytagorovej vety a nájdite polovicu základne: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^ 2α)/ cos^2α =xtgα. Odtiaľ nájdite základ: c=2xtgα.

Štvorec predstavuje strany ktoré sa počítajú niekoľkými spôsobmi. Každý z nich je diskutovaný nižšie Prvá metóda navrhuje nájsť strany s štvorec. Keďže všetky rohy štvorca sú pravé uhly, rozpolte ich tak, aby vznikli dva pravouhlé trojuholníky s uhlami 45 stupňov. resp. strany a štvorec je: a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, kde d je štvorec. Ak je štvorec vpísaný do kruhu, potom ak poznáte polomer tohto kruhu, nájdite ho strany y:a4=R√2, kde R je polomer kružnice.

Trojuholník, štvorec, šesťuholník - tieto postavy pozná takmer každý. Nie každý však vie, čo je to pravidelný mnohouholník. Ale to je všetko rovnaké Pravidelný mnohouholník sa nazýva ten, ktorý má rovnaké uhly a strany. Existuje veľa takýchto figúrok, ale všetky majú rovnaké vlastnosti a platia pre ne rovnaké vzorce.

Vlastnosti pravidelných mnohouholníkov

Akýkoľvek pravidelný mnohouholník, či už je to štvorec alebo osemuholník, môže byť vpísaný do kruhu. Táto základná vlastnosť sa často využíva pri konštrukcii figúry. Okrem toho môže byť kruh vpísaný aj do mnohouholníka. V tomto prípade sa počet bodov kontaktu bude rovnať počtu jeho strán. Dôležité je, že kružnica vpísaná do pravidelného mnohouholníka bude mať s ním spoločný stred. Títo geometrické obrazce podlieha rovnakým vetám. Ľubovoľná strana pravidelného n-uholníka je spojená s polomerom kružnice opísanej okolo nej R. Preto ju možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: a = 2R ∙ sin180°. Cez môžete nájsť nielen strany, ale aj obvod polygónu.

Ako zistiť počet strán pravidelného mnohouholníka

Každý pozostáva z určitého počtu navzájom rovnakých segmentov, ktoré po spojení tvoria uzavretú čiaru. V tomto prípade majú všetky rohy vytvorenej postavy rovnakú hodnotu. Polygóny sa delia na jednoduché a zložité. Do prvej skupiny patrí trojuholník a štvorec. Zložité polygóny majú viac strany. Patria k nim aj postavičky v tvare hviezdy. V prípade zložitých pravidelných mnohouholníkov sa strany nachádzajú vpísaním do kruhu. Dajme dôkaz. Nakreslite pravidelný mnohouholník s ľubovoľným počtom strán n. Opíšte kruh okolo neho. Zadajte polomer R. Teraz si predstavte, že je daný nejaký n-uholník. Ak body jeho uhlov ležia na kruhu a sú si navzájom rovné, strany možno nájsť podľa vzorca: a = 2R ∙ sinα: 2.

Zistenie počtu strán vpísaného pravouhlého trojuholníka

Rovnostranný trojuholník je pravidelný mnohouholník. Platia pre ňu rovnaké vzorce ako pre štvorec a n-uholník. Trojuholník sa bude považovať za správny, ak má strany rovnakej dĺžky. V tomto prípade sú uhly 60⁰. Zostrojte trojuholník s danou dĺžkou strany a. Keď poznáte jeho stred a výšku, môžete nájsť hodnotu jeho strán. Na tento účel použijeme metódu hľadania pomocou vzorca a \u003d x: cosα, kde x je medián alebo výška. Keďže všetky strany trojuholníka sú rovnaké, dostaneme a = b = c. Potom platí nasledujúce tvrdenie: a = b = c = x: cosα. Podobne môžete nájsť hodnotu strán v rovnoramennom trojuholníku, ale x bude daná výška. Zároveň by sa mala premietať striktne na základňu postavy. Ak teda poznáme výšku x, nájdeme stranu a rovnoramenný trojuholník podľa vzorca a \u003d b \u003d x: cosα. Po zistení hodnoty a môžete vypočítať dĺžku základne c. Aplikujme Pytagorovu vetu. Budeme hľadať hodnotu polovice základne c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Potom c = 2xtanα. Páči sa ti to jednoduchým spôsobom nájdite počet strán ľubovoľného vpísaného mnohouholníka.

Výpočet strán štvorca vpísaného do kruhu

Ako každý iný vpísaný pravidelný mnohouholník má aj štvorec rovnaké strany a rohy. Platia preň rovnaké vzorce ako pre trojuholník. Strany štvorca môžete vypočítať pomocou hodnoty uhlopriečky. Zvážme túto metódu podrobnejšie. Je známe, že uhlopriečka pretína uhol. Spočiatku bola jeho hodnota 90 stupňov. Po rozdelení teda vzniknú dve, ktorých uhly pri základni budú rovné 45 stupňom. Každá strana štvorca bude teda rovnaká, to znamená: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kde e je uhlopriečka štvorca alebo základňa po rozdelení vznikol pravouhlý trojuholník. Nie je jediná cesta nájsť strany štvorca. Vpíšme túto postavu do kruhu. Keď poznáme polomer tohto kruhu R, nájdeme stranu štvorca. Vypočítame to takto a4 = R√2. Polomery pravidelných mnohouholníkov sa vypočítavajú podľa vzorca R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kde a je dĺžka strany.

Ako vypočítať obvod n-uholníka

Obvod n-uholníka je súčtom všetkých jeho strán. Je ľahké to vypočítať. Aby ste to dosiahli, musíte poznať hodnoty všetkých strán. Pre niektoré typy polygónov existujú špeciálne vzorce. Umožňujú vám nájsť obvod oveľa rýchlejšie. Je známe, že každý pravidelný mnohouholník má rovnaké strany. Preto na výpočet jeho obvodu stačí poznať aspoň jeden z nich. Vzorec bude závisieť od počtu strán obrázku. Vo všeobecnosti to vyzerá takto: P \u003d an, kde a je hodnota strany a n je počet uhlov. Napríklad, ak chcete nájsť obvod pravidelného osemuholníka so stranou 3 cm, musíte ho vynásobiť číslom 8, teda P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pre šesťuholník so stranou 5 cm vypočítame takto: P = 5 ∙ 6 = 30 cm.A tak pre každý mnohouholník.

Nájdenie obvodu rovnobežníka, štvorca a kosoštvorca

Podľa toho, koľko strán má pravidelný mnohouholník, sa vypočíta jeho obvod. Vďaka tomu je úloha oveľa jednoduchšia. Na rozdiel od iných figúrok totiž v tomto prípade netreba hľadať všetky jeho strany, stačí len jedna. Rovnakým princípom nájdeme obvod štvoruholníkov, teda štvorca a kosoštvorca. Napriek tomu, že toto rôzne postavy, vzorec pre nich je jeden P \u003d 4a, kde a je strana. Vezmime si príklad. Ak je strana kosoštvorca alebo štvorca 6 cm, potom nájdeme obvod takto: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rovnobežník má iba protiľahlé strany. Preto sa jeho obvod zisťuje pomocou inej metódy. Potrebujeme teda poznať dĺžku a a šírku b obrázku. Potom použijeme vzorec P \u003d (a + c) ∙ 2. Rovnobežník, v ktorom sú všetky strany a uhly medzi nimi rovnaké, sa nazýva kosoštvorec.

Nájdenie obvodu rovnostranného a pravouhlého trojuholníka

Obvod toho správneho možno nájsť podľa vzorca P \u003d 3a, kde a je dĺžka strany. Ak nie je známy, možno ho nájsť prostredníctvom mediánu. AT správny trojuholník iba dve strany sú rovnaké. Základ možno nájsť prostredníctvom Pytagorovej vety. Keď budú známe hodnoty všetkých troch strán, vypočítame obvod. Dá sa nájsť použitím vzorca P \u003d a + b + c, kde a a b sú rovnaké strany a c je základ. Pripomeňme, že v rovnoramennom trojuholníku a \u003d b \u003d a teda a + b \u003d 2a, potom P \u003d 2a + c. Napríklad strana rovnoramenného trojuholníka je 4 cm, nájdite jeho základňu a obvod. Hodnotu prepony vypočítame podľa Pytagorovej vety c \u003d √a 2 + v 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Teraz vypočítame obvod P \u003d 4 + 5 2 . u003d 13,65 cm.

Ako nájsť uhly pravidelného mnohouholníka

pravidelný mnohouholník sa v našom živote vyskytuje každý deň, napríklad obyčajný štvorec, trojuholník, osemuholník. Zdalo by sa, že nie je nič jednoduchšie, ako si túto postavu postaviť sami. Ale to je len na prvý pohľad. Aby ste mohli zostrojiť akýkoľvek n-uholník, potrebujete poznať hodnotu jeho uhlov. Ale ako ich nájdete? Dokonca aj vedci staroveku sa pokúšali postaviť pravidelné polygóny. Hádali, že ich zapadnú do kruhov. A potom boli na ňom vyznačené potrebné body spojené rovnými čiarami. Pre jednoduché figúrky problém s výstavbou bol vyriešený. Boli získané vzorce a vety. Napríklad Euclid vo svojom slávnom diele „Začiatok“ sa zaoberal riešením problémov pre 3-, 4-, 5-, 6- a 15-uholníky. Našiel spôsoby, ako ich skonštruovať a nájsť uhly. Pozrime sa, ako to urobiť pre 15-uholník. Najprv musíte vypočítať súčet jeho vnútorných uhlov. Je potrebné použiť vzorec S = 180⁰(n-2). Dostaneme teda 15-uholník, čo znamená, že číslo n je 15. Známe údaje dosadíme do vzorca a dostaneme S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Našli sme súčet všetkých vnútorných uhlov 15-uholníka. Teraz musíme zistiť hodnotu každého z nich. Celkovo je uhlov 15. Urobíme výpočet 2340⁰: 15 = 156⁰. To znamená, že každý vnútorný uhol je 156⁰, teraz pomocou pravítka a kompasu môžete postaviť obyčajný 15-uholník. Ale čo zložitejšie n-uholníky? Po stáročia sa vedci snažili vyriešiť tento problém. Našiel ho až v 18. storočí Carl Friedrich Gauss. Dokázal postaviť 65537-gon. Odvtedy sa problém oficiálne považuje za úplne vyriešený.

Výpočet uhlov n-uholníkov v radiánoch

Samozrejme, existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť rohy polygónov. Najčastejšie sa počítajú v stupňoch. Môžete ich však vyjadriť aj v radiánoch. Ako to spraviť? Je potrebné postupovať nasledovne. Najprv zistíme počet strán pravidelného mnohouholníka, potom od neho odčítame 2. Dostaneme teda hodnotu: n - 2. Nájdený rozdiel vynásobíme číslom n („pi“ \u003d 3,14). Teraz zostáva len rozdeliť výsledný produkt počtom uhlov v n-uholníku. Zvážte tieto výpočty pomocou príkladu toho istého pätnásťstranného. Číslo n je teda 15. Použime vzorec S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Toto samozrejme nie je jediný spôsob, ako vypočítať uhol v radiánoch. Veľkosť uhla v stupňoch jednoducho vydelíte číslom 57,3. Koniec koncov, toľko stupňov zodpovedá jednému radiánu.

Výpočet hodnoty uhlov v stupňoch

Okrem stupňov a radiánov môžete skúsiť nájsť aj hodnotu uhlov pravidelného mnohouholníka v gradoch. Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom. Od celkového počtu uhlov odpočítajte 2, výsledný rozdiel vydeľte počtom strán pravidelného mnohouholníka. Zistený výsledok vynásobíme 200. Mimochodom, takáto jednotka merania uhlov ako stupňov sa prakticky nepoužíva.

Výpočet vonkajších rohov n-uholníkov

Pre každý pravidelný mnohouholník, okrem vnútorného, ​​môžete vypočítať aj vonkajší uhol. Jeho hodnota sa zisťuje rovnakým spôsobom ako pri iných číslach. Ak teda chcete nájsť vonkajší roh pravidelného mnohouholníka, musíte poznať hodnotu vnútorného. Ďalej vieme, že súčet týchto dvoch uhlov je vždy 180 stupňov. Preto výpočty robíme takto: 180⁰ mínus hodnota vnútorného uhla. Nájdeme rozdiel. Bude sa rovnať hodnote uhla priľahlého k nej. Napríklad vnútorný roh štvorca je 90 stupňov, takže vonkajší uhol bude 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Ako vidíme, nie je ťažké ho nájsť. vonkajší roh môže nadobúdať hodnotu od +180⁰ do -180⁰.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zbierať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Definícia pravidelný mnohouholník môže závisieť od definície mnohouholníka: ak je definovaný ako plochá uzavretá krivka, potom sa definícia objaví pravidelný hviezdny mnohouholník ako nekonvexné mnohouholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú rovnaké.

Vlastnosti

Súradnice

Nechaj x C (\displaystyle x_(C)) a y C (\displaystyle y_(C)) sú súradnice stredu a R (\displaystyle R)- polomer kruhu, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0))- uhlová súradnica prvého vrcholu, potom sú karteziánske súradnice vrcholov pravidelného n-uholníka určené vzorcami:

kde i = 0 … n ​​​​− 1 (\displaystyle i=0\bodky n-1)

Rozmery

Nechaj R (\displaystyle R)- polomer kružnice opísanej okolo pravidelného mnohouholníka, potom sa polomer kružnice vpísanej rovná

a dĺžka strany mnohouholníka je

Námestie

N (\displaystyle n) a dĺžka strany a (\displaystyle a) je:

Plocha pravidelného mnohouholníka s počtom strán n (\displaystyle n), vpísaný do kruhu s polomerom R (\displaystyle R), je:

Plocha pravidelného mnohouholníka s počtom strán n (\displaystyle n) opísaný okolo kruhu s polomerom r (\displaystyle r), je:

Plocha pravidelného mnohouholníka s počtom strán n (\displaystyle n) rovná sa

kde r (\displaystyle r)- vzdialenosť od stredu strany k stredu, a (\displaystyle a)- dĺžka strany.

Plocha pravidelného mnohouholníka z hľadiska obvodu ( P (\displaystyle P)) a polomer vpísanej kružnice ( r (\displaystyle r)) je:

Obvod

Ak potrebujete vypočítať dĺžku strany pravidelného n-uholníka vpísaného do kruhu, ak poznáte obvod L (\displaystyle L) môžete vypočítať dĺžku jednej strany mnohouholníka:

Obvod P n (\displaystyle P_(n)) rovná sa

kde n (\displaystyle n) je počet strán mnohouholníka.

Aplikácia

Pravidelné mnohouholníky sú podľa definície plochy pravidelných mnohostenov.

Starovekí grécki matematici (Antifón, Bryson z Herakla, Archimedes atď.) používali na výpočet čísla pravidelné mnohouholníky. Vypočítali plochy mnohouholníkov vpísaných do kruhu a opísaných okolo neho, postupne zvyšovali počet ich strán, a tak získali odhad plochy kruhu.

Príbeh

Konštrukcia pravidelného mnohouholníka s n strany zostali problémom pre matematikov až do 19. storočia. Takáto konštrukcia je totožná s rozdelením kruhu na n rovnaké časti, pretože spojením bodov rozdeľujúcich kruh na časti môžete získať požadovaný mnohouholník.

Odvtedy sa problém považuje za úplne vyriešený.