Stereometria je oblasť geometrie, ktorá študuje postavy, ktoré neležia v rovnakej rovine. Jedným z predmetov štúdia stereometrie sú hranoly. V článku uvedieme definíciu hranolu z geometrického hľadiska a tiež stručne uvedieme vlastnosti, ktoré sú preň charakteristické.
Geometrický obrazec
Definícia hranola v geometrii je nasledovná: je priestorový obrazec, pozostávajúce z dvoch rovnakých n-uholníkov umiestnených v rovnobežných rovinách, navzájom spojených svojimi vrcholmi.
Získať hranol nie je ťažké. Predstavte si, že existujú dva rovnaké n-uholníky, kde n je počet strán alebo vrcholov. Umiestnime ich tak, aby boli navzájom rovnobežné. Potom by mali byť vrcholy jedného polygónu spojené so zodpovedajúcimi vrcholmi druhého. Vytvorený obrazec bude pozostávať z dvoch n-uholníkových strán, ktoré sa nazývajú základne, a n štvoruholníkových strán, ktoré sú vo všeobecnom prípade rovnobežníky. Sada rovnobežníkov tvorí bočnú plochu figúry.
Existuje ďalší spôsob, ako geometricky získať príslušný obrazec. Ak teda vezmeme n-uholník a prenesieme ho do inej roviny pomocou rovnobežných segmentov rovnakej dĺžky, tak v novej rovine dostaneme pôvodný mnohouholník. Polygóny a všetky paralelné segmenty vytiahnuté z ich vrcholov tvoria hranol.
Vyššie uvedený obrázok ukazuje, že sa nazýva, pretože jeho základňami sú trojuholníky.
Prvky, ktoré tvoria postavu
Definícia hranola bola uvedená vyššie, z ktorej je zrejmé, že hlavnými prvkami postavy sú jej tváre alebo strany, ktoré obmedzujú všetky vnútorné body hranola z vonkajšieho priestoru. Akákoľvek tvár uvažovanej postavy patrí do jedného z dvoch typov:
- bočné;
- dôvodov.
Existuje n bočných dielov a sú to rovnobežníky alebo ich konkrétne typy (obdĺžniky, štvorce). Vo všeobecnosti sa bočné strany navzájom líšia. Základňa má iba dve strany, sú to n-uholníky a sú si navzájom rovné. Každý hranol má teda n+2 strán.
Okrem strán je postava charakteristická svojimi vrcholmi. Sú to body, kde sa súčasne dotýkajú tri tváre. Okrem toho dve z troch plôch vždy patria k bočnému povrchu a jedna - k základni. V hranole teda nie je špeciálne vybraný jeden vrchol, pretože napríklad v pyramíde sú všetky rovnaké. Počet vrcholov obrázku je 2*n (n kusov pre každú základňu).
Napokon, tretím dôležitým prvkom hranola sú jeho okraje. Ide o segmenty určitej dĺžky, ktoré sa vytvárajú v dôsledku priesečníka strán obrázku. Rovnako ako tváre, aj hrany majú dve odlišné typy:
- alebo tvorené iba stranami;
- alebo vznikajú na styku rovnobežníka a strany n-gonálnej základne.
Počet hrán je teda 3*n, pričom 2*n z nich patrí k druhému z menovaných typov.
Typy hranolov
Existuje niekoľko spôsobov klasifikácie hranolov. Všetky sú však založené na dvoch črtách obrázku:
- na type n-uhoľnej bázy;
- na bočnom type.
Na začiatok sa obráťme na druhú singularitu a uveďme definíciu priamky. Ak aspoň jedna strana je rovnobežník všeobecný typ, potom sa obrazec nazýva šikmý, alebo šikmý. Ak sú všetky rovnobežníky obdĺžniky alebo štvorce, potom bude hranol rovný.
Môžete tiež uviesť definíciu trochu iným spôsobom: rovná postava je hranol, v ktorom sú bočné okraje a plochy kolmé na jeho základne. Obrázok ukazuje dve štvoruholníkové postavy. Ľavý je rovný, pravý šikmý.
Teraz prejdime ku klasifikácii podľa typu n-uholníka ležiaceho v základniach. Môže mať rovnaké strany a uhly alebo rôzne. V prvom prípade sa polygón nazýva pravidelný. Ak uvažovaný obrázok obsahuje mnohouholník s rovnakými stranami a uhlami na základni a je priamkou, potom sa nazýva pravidelný. Podľa tejto definície môže mať pravidelný hranol na svojej základni rovnostranný trojuholník, štvorec, pravidelný päťuholník alebo šesťuholník atď. Uvedené správne čísla sú zobrazené na obrázku.
Lineárne parametre hranolov
Na opísanie rozmerov uvažovaných obrázkov použite nasledujúce možnosti:
- výška;
- strany základne;
- dĺžky bočných rebier;
- objemové uhlopriečky;
- diagonálne strany a základne.
Pre pravidelné hranoly sú všetky menované veličiny vo vzájomnom vzťahu. Napríklad dĺžky bočných rebier sú rovnaké a rovnajú sa výške. Pre konkrétny n-uholník správna postava existujú vzorce, ktoré nám umožňujú určiť všetko ostatné z akýchkoľvek dvoch lineárnych parametrov.
Povrch postavy
Ak sa obrátime na vyššie uvedenú definíciu hranola, potom nebude ťažké pochopiť, čo predstavuje povrch obrázku. Povrch je plocha všetkých tvárí. Pre priamy hranol sa vypočíta podľa vzorca:
S = 2*So + Po*h
kde S o je plocha základne, P o je obvod n-uholníka základne, h je výška (vzdialenosť medzi základňami).
objem postavy
Spolu s povrchom pre prax je dôležité poznať objem hranola. Dá sa určiť pomocou nasledujúceho vzorca:
Tento výraz platí pre absolútne všetky druhy hranolov, vrátane tých, ktoré sú šikmé a tvorené nepravidelnými mnohouholníkmi.
Pre správnosť je to funkcia dĺžky strany základne a výšky postavy. Pre zodpovedajúci n-gonálny hranol má vzorec pre V špecifický tvar.
Definícia 1. Prizmatický povrch
Veta 1. O rovnobežných rezoch prizmatickej plochy
Definícia 2. Kolmý rez hranolovou plochou
Definícia 3. Hranol
Definícia 4. Výška hranola
Definícia 5. Priamy hranol
Veta 2. Plocha bočného povrchu hranola
Rovnobežníky:
Definícia 6. Rovnobežník
Veta 3. O priesečníku uhlopriečok rovnobežnostena
Definícia 7. Pravý rovnobežnosten
Definícia 8. Obdĺžnikový hranol
Definícia 9. Rozmery rovnobežnostena
Definícia 10. Kocka
Definícia 11. Kosoštvorcový
Veta 4. O uhlopriečkach pravouhlého rovnobežnostena
Veta 5. Objem hranola
Veta 6. Objem priameho hranolu
Veta 7. Objem pravouhlého rovnobežnostena
hranol nazýva sa mnohosten, v ktorom dve plochy (základne) ležia v rovnobežných rovinách a hrany, ktoré v týchto plochách neležia, sú navzájom rovnobežné.
Tváre iné ako základne sú tzv bočné.
Strany bočných plôch a základne sa nazývajú hrany hranolov, konce okrajov sa nazývajú vrcholy hranola. Bočné rebrá nazývané hrany, ktoré nepatria k základniam. Spojenie bočných plôch sa nazýva bočný povrch hranola, a spojenie všetkých tvárí sa nazýva celý povrch hranola. Výška hranola nazývaná kolmica spadnutá z bodu hornej základne do roviny spodnej základne alebo dĺžka tejto kolmice. 
rovný hranol nazývaný hranol, v ktorom sú bočné hrany kolmé na roviny podstav. 
Správne nazývaný priamy hranol (obr. 3), na ktorého základni leží pravidelný mnohouholník.
Označenia:
l - bočné rebro;
P - obvod základne;
S o - základná plocha;
H - výška;
P ^ - obvod kolmého rezu;
S b - plocha bočného povrchu;
V - objem;
S p - plocha celoplošný hranoly.
|
V=SH |
*Predpokladá sa, že každé dve po sebe idúce roviny sa pretínajú a posledná rovina pretína prvú.
Veta 1 . Rezy prizmatického povrchu rovinami navzájom rovnobežnými (ale nie rovnobežnými s jeho okrajmi) sú rovnaké mnohouholníky.
Nech ABCDE a A"B"C"D"E" sú rezy prizmatickej plochy dvoma rovnobežnými rovinami. Na overenie, či sú tieto dva mnohouholníky rovnaké, stačí ukázať, že trojuholníky ABC a A"B"C" sú rovnaké a majú rovnaký smer otáčania a že to isté platí pre trojuholníky ABD a A"B"D", ABE a A"B"E". Ale zodpovedajúce strany týchto trojuholníkov sú rovnobežné (napríklad AC je rovnobežné s A "C") ako priesečníky určitej roviny s dvoma rovnobežnými rovinami; z toho vyplýva, že tieto strany sú rovnaké (napr. AC sa rovná A"C") ako protiľahlé strany rovnobežník a že uhly zvierané týmito stranami sú rovnaké a majú rovnaký smer.
Definícia 2 . Kolmý rez hranolovou plochou je rez touto plochou rovinou kolmou na jej hrany. Na základe predchádzajúcej vety budú všetky kolmé rezy toho istého hranolového povrchu rovnaké polygóny.
Definícia 3
. Hranol je mnohosten ohraničený hranolovým povrchom a dvoma rovinami navzájom rovnobežnými (ale nie rovnobežnými s okrajmi hranolového povrchu)
Tváre ležiace v týchto posledných rovinách sa nazývajú hranolové základne; tváre patriace k prizmatickému povrchu - bočné steny; okraje hranolovej plochy - bočné okraje hranola. Na základe predchádzajúcej vety sú základy hranola rovnaké polygóny. Všetky bočné strany hranola rovnobežníky; všetky bočné hrany sú si navzájom rovné.
Je zrejmé, že ak sú základňa hranola ABCDE a jedna z hrán AA" dané veľkosťou a smerom, potom je možné hranol zostrojiť nakreslením hrán BB", CC", .., rovnakých a rovnobežných s okraj AA“.
Definícia 4 . Výška hranola je vzdialenosť medzi rovinami jeho podstav (HH“).
Definícia 5
. Hranol sa nazýva priamka, ak jeho základňami sú kolmé úseky hranolovej plochy. V tomto prípade je výška hranola samozrejme jeho bočné rebro; bočné okraje budú obdĺžniky.
Hranoly možno klasifikovať podľa počtu bočných plôch, ktorý sa rovná počtu strán mnohouholníka, ktorý slúži ako jeho základňa. Hranoly teda môžu byť trojuholníkové, štvoruholníkové, päťuholníkové atď.
Veta 2
. Bočný povrch hranola sa rovná výrobku bočné rebro na obvode kolmého rezu.
Nech ABCDEA"B"C"D"E" je daný hranol a abcde je jeho kolmý rez, takže úsečky ab, bc, .. sú kolmé na jeho bočné hrany. Plocha ABA"B" je rovnobežník; jeho plocha sa rovná súčinu základne AA" do výšky, ktorá sa zhoduje s ab; plocha plochy BB"C" sa rovná súčinu základne BB" o výšku bc atď. bočný povrch(t.j. súčet plôch bočných plôch) sa rovná súčinu bočnej hrany, inými slovami, celkovej dĺžky segmentov AA", BB", .., súčtom ab + bc + cd + de + ea.
Definícia. Hranol- je to mnohosten, ktorého všetky vrcholy sú umiestnené v dvoch rovnobežných rovinách a v tých istých rovinách sú dve strany hranola, ktoré sú rovnakými mnohouholníkmi s príslušnými rovnobežnými stranami a všetky hrany, ktoré v nich neležia roviny sú rovnobežné.
Volajú sa dve rovnaké tváre hranolové základne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Všetky ostatné plochy hranola sú tzv bočné steny(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Všetky bočné plochy tvoria bočný povrch hranola .
Všetky bočné strany hranola sú rovnobežníky .
Hrany, ktoré neležia na základniach, sa nazývajú bočné hrany hranola ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Uhlopriečka hranola nazýva sa segment, ktorého konce sú dva vrcholy hranola, ktoré neležia na jednej z jeho plôch (AD 1).
Dĺžka úsečky spájajúcej podstavy hranola a kolmá na obe podstavy súčasne je tzv. výška hranola .
Označenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najskôr sú v poradí obchádzania označené vrcholy jednej základne a potom v rovnakom poradí vrcholy druhej; konce každej bočnej hrany sú označené rovnakými písmenami, iba vrcholy ležiace v jedna základňa je označená písmenami bez indexu a v druhej - s indexom)
Názov hranola je spojený s počtom uhlov na obrázku ležiacom pri jeho základni, napríklad na obrázku 1 je základňa päťuholník, takže hranol je tzv. päťuholníkový hranol. Ale odvtedy taký hranol má 7 plôch, potom to sedemsten(2 strany sú základne hranola, 5 strán sú rovnobežníky, sú jeho bočné strany)
Medzi rovnými hranolmi vyniká súkromný pohľad: pravidelné hranoly.
Priamy hranol sa nazýva správne, ak sú jeho základne pravidelné mnohouholníky.
Rovnobežníkovité
Rovnobežníkovité- Toto je štvorhranný hranol, na ktorého základni leží rovnobežník (šikmý rovnobežnosten). Pravý rovnobežnosten- rovnobežnosten, ktorého bočné okraje sú kolmé na roviny podstavy.kváder- pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik.
Vlastnosti a vety:
Niektoré vlastnosti rovnobežnostenu sú podobné známym vlastnostiam rovnobežníka. Obdĺžnikový kváder s rovnakými rozmermi sa nazýva tzv. kocka
.Kocka má všetky strany rovnaké štvorce. Druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov jej troch rozmerov. 
,
kde d je uhlopriečka štvorca;
a - strana námestia.
Myšlienka hranolu je daná:
- rôzne architektonické štruktúry;
- Detské hračky;
- krabice na balenie;
- dizajnérske predmety atď.
Celková a bočná plocha hranola
Celková plocha hranola je súčet plôch všetkých jej plôch Bočný povrch sa nazýva súčet plôch jeho bočných plôch. základne hranola sú rovnaké mnohouholníky, potom sú ich plochy rovnaké. TakžeS plná \u003d S strana + 2S hlavná,
kde S plný- celková plocha, S strana- bočná plocha, S hlavná- základná plocha
Plocha bočného povrchu rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.
S strana\u003d P hlavná * h,
kde S strana je plocha bočného povrchu rovného hranola,
P hlavná - obvod základne priameho hranolu,
h je výška rovného hranola, rovná sa bočnej hrane.
Prism Volume
Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky.
V školských osnovách pre predmet objemová geometria sa štúdium trojrozmerných útvarov zvyčajne začína jednoduchým geometrickým telesom - hranolovým mnohostenom. Úlohu jeho základov plnia 2 rovnaké polygóny ležiace v rovnobežných rovinách. Špeciálnym prípadom je pravidelný štvorhranný hranol. Jeho základňami sú 2 rovnaké pravidelné štvoruholníky, na ktoré sú strany kolmé, majúce tvar rovnobežníkov (alebo obdĺžnikov, ak hranol nie je naklonený).
Ako vyzerá hranol
Pravidelný štvorhranný hranol je šesťuholník, na základni ktorého sú 2 štvorce a bočné strany sú znázornené obdĺžnikmi. Iný názov pre toto geometrický obrazec- rovný rovnobežnosten.
Obrázok, ktorý zobrazuje štvoruholníkový hranol, je zobrazený nižšie.
Môžete vidieť aj na obrázku najdôležitejšie prvky, ktoré tvoria geometrické teleso. Bežne sa označujú ako:
Niekedy v problémoch v geometrii nájdete koncept sekcie. Definícia bude znieť takto: rez sú všetky body objemového telesa, ktoré patria do roviny rezu. Rez je kolmý (pretína okraje obrázku pod uhlom 90 stupňov). Pre pravouhlý hranol sa uvažuje aj s diagonálnym rezom (maximálny počet sekcií, ktoré je možné postaviť sú 2), prechádzajúcimi cez 2 hrany a uhlopriečky podstavy.
Ak je rez nakreslený tak, že rovina rezu nie je rovnobežná ani so základňami, ani s bočnými plochami, výsledkom je zrezaný hranol.
Na nájdenie redukovaných prizmatických prvkov sa používajú rôzne pomery a vzorce. Niektoré z nich sú známe z priebehu planimetrie (napríklad na nájdenie plochy základne hranola stačí pripomenúť vzorec pre plochu štvorca).
Plocha a objem
Ak chcete určiť objem hranola pomocou vzorca, musíte poznať oblasť jeho základne a výšky:
V = Sprim h
Pretože základom pravidelného štvorstenného hranola je štvorec so stranou a, Vzorec môžete napísať v podrobnejšej forme:
V = a² h
Ak hovoríme o kocke - pravidelnom hranole s rovnakú dĺžku, šírka a výška, objem sa vypočíta takto:
Aby ste pochopili, ako nájsť bočnú plochu hranola, musíte si predstaviť jeho zametanie.
Z výkresu je zrejmé, že bočná plocha je zložená zo 4 rovnaké obdĺžniky. Jeho plocha sa vypočíta ako súčin obvodu základne a výšky postavy:
Strana = Poz. h
Keďže obvod štvorca je P = 4a, vzorec má tvar:
Sside = 4h
Pre kocku:
Strana strany = 4a²
Na výpočet celkovej plochy hranola pridajte 2 základné plochy k bočnej ploche:
Plná = Sstrana + 2Szákladňa
Pri použití na štvoruholníkový pravidelný hranol má vzorec tvar:
Plný = 4a h + 2a²
Pre povrch kocky:
Plný = 6a²
Keď poznáte objem alebo povrch, môžete vypočítať jednotlivé prvky geometrické teleso.
Hľadanie hranolových prvkov
Často sa vyskytujú problémy, pri ktorých je daný objem alebo je známa hodnota bočnej plochy, kde je potrebné určiť dĺžku strany základne alebo výšku. V takýchto prípadoch možno odvodiť vzorce:
- dĺžka základnej strany: a = strana S/4h = √(V/h);
- výška alebo dĺžka bočného rebra: h = S strana / 4a = V / a²;
- základná plocha: Sprim = V/h;
- oblasť bočnej tváre: Side gr = Sstrana / 4.
Ak chcete určiť, akú veľkú plochu má uhlopriečka, musíte poznať dĺžku uhlopriečky a výšku postavy. Pre štvorec d = a√2. Preto:
Sdiag = ah√2
Na výpočet uhlopriečky hranola sa používa vzorec:
cena = √ (2a² + h²)
Aby ste pochopili, ako použiť vyššie uvedené pomery, môžete si precvičiť a vyriešiť niekoľko jednoduchých úloh.
Príklady problémov s riešeniami
Tu sú niektoré z úloh, ktoré sa objavujú na štátnych záverečných skúškach z matematiky.
Cvičenie 1.
Piesok sa nasype do krabice v tvare pravidelného štvoruholníkového hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Aká bude hladina piesku, ak ho presuniete do nádoby rovnakého tvaru, ale s 2-krát dlhšou základňou?
Malo by sa argumentovať nasledovne. Množstvo piesku v prvej a druhej nádobe sa nezmenilo, t.j. jeho objem v nich je rovnaký. Dĺžku základne môžete definovať ako a. V tomto prípade pre prvý box bude objem látky:
V₁ = ha² = 10a²
Pre druhú krabicu je dĺžka základne 2a, ale výška hladiny piesku nie je známa:
V2 = h(2a)2 = 4 ha2
Pokiaľ ide o V1 = V2, výrazy možno prirovnať:
10a² = 4ha²
Po zmenšení oboch strán rovnice o a² dostaneme:
Ako výsledok nová úroveň piesok bude h = 10/4 = 2,5 cm.
Úloha 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravidelný hranol. Je známe, že BD = AB₁ = 6√2. Nájdite celkový povrch tela.
Aby ste ľahšie pochopili, ktoré prvky sú známe, môžete nakresliť obrázok.
Keďže hovoríme o pravidelnom hranole, môžeme usúdiť, že základňa je štvorec s uhlopriečkou 6√2. Uhlopriečka bočnej plochy má rovnakú hodnotu, preto má aj bočná plocha tvar štvorca rovnajúceho sa základni. Ukazuje sa, že všetky tri rozmery - dĺžka, šírka a výška - sú rovnaké. Môžeme konštatovať, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je kocka.
Dĺžka ľubovoľnej hrany je určená pomocou známej uhlopriečky:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Celkový povrch sa zistí podľa vzorca pre kocku:
Plný = 6a² = 6 6² = 216
Úloha 3.
V izbe prebieha rekonštrukcia. Je známe, že jeho podlaha má tvar štvorca s rozlohou 9 m². Výška miestnosti je 2,5 m Aké sú najnižšie náklady na tapetovanie miestnosti, ak 1 m² stojí 50 rubľov?
Keďže podlaha a strop sú štvorce, teda pravidelné štvoruholníky a jej steny sú kolmé na vodorovné plochy, môžeme usúdiť, že ide o pravidelný hranol. Je potrebné určiť plochu jeho bočného povrchu.
Dĺžka miestnosti je a = √9 = 3 m.
Námestie bude pokryté tapetou Strana = 4 3 2,5 = 30 m².
Najnižšie náklady na tapety pre túto miestnosť budú 50 30 = 1 500 rubľov.
Na riešenie úloh pre pravouhlý hranol teda stačí vedieť vypočítať obsah a obvod štvorca a obdĺžnika, ako aj poznať vzorce na zistenie objemu a povrchu.
Ako nájsť plochu kocky
Odvetvie matematiky, ktoré študuje vlastnosti rôznych tvarov (body, čiary, uhly, dvojrozmerné a trojrozmerné objekty), ich veľkosť a vzájomnú polohu. Pre pohodlie výučby je geometria rozdelená na planimetriu a objemovú geometriu. AT…… Collierova encyklopédia
Geometria priestorov s rozmermi väčšími ako tri; tento pojem sa vzťahuje na tie priestory, ktorých geometria bola pôvodne vyvinutá pre prípad troch dimenzií a až potom zovšeobecnená na počet dimenzií n> 3, predovšetkým euklidovský priestor, ... ... Matematická encyklopédia
N dimenzionálna euklidovská geometria zovšeobecnenie euklidovskej geometrie do priestoru viac merania. Hoci fyzický priestor je trojrozmerný a ľudské zmysly sú navrhnuté tak, aby vnímali tri dimenzie, N je dimenzionálne ... ... Wikipedia
Tento výraz má iné významy, pozri Pyramidatsu (významy). Spoľahlivosť tejto časti článku bola spochybnená. Je potrebné si overiť správnosť skutočností uvedených v tejto časti. Na diskusnej stránke môžu byť vysvetlenia ... Wikipedia
- (Constructive Solid Geometry, CSG) technológia používaná pri modelovaní telies. Geometria konštrukčných blokov je často, ale nie vždy, technikou modelovania v 3D grafike a CAD. To vám umožní vytvoriť komplexnú scénu alebo ... Wikipedia
Constructive Solid Geometry (CSG) je technológia používaná pri modelovaní telies. Geometria konštrukčných blokov je často, ale nie vždy, technikou modelovania v 3D grafike a CAD. Ona ... ... Wikipedia
Tento výraz má iné významy, pozri Rozsah (významy). Objem je aditívna funkcia množiny (miery), ktorá charakterizuje kapacitu oblasti priestoru, ktorú zaberá. Spočiatku to vzniklo a bolo aplikované bez prísnych ... ... Wikipedia
Typ kocky Pravidelný mnohosten Plocha štvorec Vrcholy Hrany Plochy ... Wikipedia
Objem je aditívna funkcia množiny (miery), ktorá charakterizuje kapacitu oblasti priestoru, ktorú zaberá. Spočiatku vznikol a bol aplikovaný bez striktnej definície vo vzťahu k trojrozmerným telesám trojrozmerného euklidovského priestoru. ... ... Wikipedia
Časť priestoru ohraničená súborom konečného počtu rovinných mnohouholníkov (pozri GEOMETRIA) spojených takým spôsobom, že každá strana akéhokoľvek mnohouholníka je stranou presne jedného ďalšieho mnohouholníka (nazývaného ... ... Collierova encyklopédia
knihy
- Sada stolov. Geometria. 10. ročník 14 tabuliek + metodika, . Tabuľky sú vytlačené na hrubom polygrafickom kartóne s rozmermi 680 x 980 mm. Brožúra s usmernenia pre učiteľa. Študijný album so 14 listami...
