Bočný okraj tohto hranolu. Pravidelný štvorhranný hranol

Prednáška: Hranol, jeho základne, bočné hrany, výška, bočný povrch; rovný hranol; pravý hranol

Hranol

Ak ste sa s nami naučili ploché postavy z predchádzajúcich otázok, potom ste úplne pripravení študovať trojrozmerné postavy. Prvá pevná látka, ktorú sa naučíme, bude hranol.

Hranol je objemné telo, ktoré má veľký počet tváre.

Tento obrázok má dva mnohouholníky na základniach, ktoré sú umiestnené v rovnobežných rovinách a všetky bočné strany sú vo forme rovnobežníka.

Obr. 1. Obr. 2

Poďme teda zistiť, z čoho pozostáva hranol. Aby ste to dosiahli, venujte pozornosť obr.1

Ako už bolo spomenuté, hranol má dve základne, ktoré sú navzájom rovnobežné - sú to päťuholníky ABCEF a GMNJK. Navyše, tieto polygóny sú si navzájom rovné.

Všetky ostatné plochy hranola sa nazývajú bočné plochy - pozostávajú z rovnobežníkov. Napríklad BMNC, AGKF, FKJE atď.

Spoločná plocha všetkých bočných plôch je tzv bočný povrch.

Každý pár susedných plôch má spoločnú stranu. Takáto spoločná strana sa nazýva hrana. Napríklad MB, CE, AB atď.

Ak sú horné a spodné podstavy hranola spojené kolmicou, potom sa to bude nazývať výška hranola. Na obrázku je výška označená ako priamka OO 1.

Existujú dva hlavné typy hranolov: šikmé a rovné.

Ak bočné hrany hranola nie sú kolmé na podstavy, potom sa takýto hranol tzv. šikmé.

Ak sú všetky okraje hranola kolmé na základne, potom sa takýto hranol nazýva rovno.

Ak sú základy hranola pravidelné polygóny(tí, ktorých strany sú rovnaké), potom sa takýto hranol nazýva správne.

Ak základne hranola nie sú navzájom rovnobežné, potom sa takýto hranol bude nazývať skrátené.

Môžete to vidieť na obr.2

Vzorce na zistenie objemu, plochy hranola

Existujú tri základné vzorce na zistenie objemu. Líšia sa od seba vo svojej aplikácii:

Podobné vzorce na nájdenie povrchovej plochy hranola:

Na základni hranola môže ležať akýkoľvek mnohouholník - trojuholník, štvoruholník atď. Obe základne sú úplne rovnaké, a teda, ktorými sú uhly rovnobežných plôch navzájom spojené, sú vždy rovnobežné. Na podstave pravidelného hranola leží pravidelný mnohouholník, teda taký, v ktorom sú všetky strany rovnaké. V priamom hranole sú okraje medzi bočnými plochami kolmé na základňu. V tomto prípade môže na základni priameho hranolu ležať mnohouholník s ľubovoľným počtom uhlov. Hranol, ktorého základňou je rovnobežník, sa nazýva rovnobežnosten. Obdĺžnik - špeciálny prípad rovnobežník. Ak tento obrázok leží na základni a bočné strany sú umiestnené v pravom uhle k základni, rovnobežnosten sa nazýva obdĺžnikový. Druhý názov tohto geometrického telesa je obdĺžnikový.

Ako vyzerá

V prostredí moderného človeka je pomerne veľa pravouhlých hranolov. Toto je napríklad obvyklá lepenka spod topánok, počítačové komponenty atď. Pozri sa okolo. Aj v miestnosti určite uvidíte mnoho pravouhlých hranolov. Toto je počítačová skriňa, knižnica, chladnička, skriňa a mnoho ďalších vecí. Forma je mimoriadne obľúbená najmä preto, že umožňuje čo najefektívnejšie využiť priestor, či už zariaďujete interiér alebo balíte veci pred sťahovaním do kartónu.

Vlastnosti pravouhlého hranolu

Obdĺžnikový hranol má množstvo špecifických vlastností. Akýkoľvek pár plôch môže slúžiť ako jeho, pretože všetky susedné plochy sú navzájom umiestnené v rovnakom uhle a tento uhol je 90 °. Objem a povrch pravouhlý hranol jednoduchšie vypočítať ako ktorýkoľvek iný. Vezmite si akýkoľvek predmet, ktorý má tvar pravouhlého hranola. Zmerajte jeho dĺžku, šírku a výšku. Na zistenie objemu stačí tieto merania vynásobiť. To znamená, že vzorec vyzerá takto: V \u003d a * b * h, kde V je objem, a a b sú strany základne, h je výška, ktorá sa zhoduje s bočným okrajom tohto geometrického telesa. Základná plocha sa vypočíta podľa vzorca S1=a*b. Ak chcete získať bočnú plochu, musíte najprv vypočítať obvod základne pomocou vzorca P=2(a+b) a potom ho vynásobiť výškou. Ukazuje sa vzorec S2=P*h=2(a+b)*h. Na výpočet celkovej plochy obdĺžnikového hranola pridajte dvojnásobok plochy základne a plochy bočnej plochy. Vzorec je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Definícia.

Toto je šesťuholník, ktorého základňami sú dva rovnaké štvorce a bočné strany sú rovnaké obdĺžniky.

Bočné rebro je spoločná strana dvoch susedných bočných plôch

Výška hranola je úsečka kolmá na základne hranola

Uhlopriečka hranola- úsečka spájajúca dva vrcholy podstav, ktoré nepatria k tej istej ploche

Diagonálna rovina- rovina, ktorá prechádza cez uhlopriečku hranola a jeho bočné hrany

Diagonálny rez- hranice priesečníka hranola a diagonálnej roviny. Diagonálny rez pravidelného štvorbokého hranola je obdĺžnik

Kolmý rez (ortogonálny rez)- je to priesečník hranola a roviny vedenej kolmo na jeho bočné hrany

Prvky pravidelného štvoruholníkového hranolu

Obrázok ukazuje dva pravidelné štvoruholníkové hranoly, ktoré sú označené príslušnými písmenami:

Bázy ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 sú rovnaké a navzájom rovnobežné
Bočné plochy AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C a CC 1 D 1 D, z ktorých každá je obdĺžnik
Bočná plocha - súčet plôch všetkých bočných plôch hranola
Plná plocha- súčet plôch všetkých základní a bočných plôch (súčet plochy bočnej plochy a základní)
Bočné rebrá AA 1 , BB 1 , CC 1 a DD 1 .
Uhlopriečka B 1 D
Základná uhlopriečka BD
Diagonálny rez BB 1 D 1 D
Kolmý rez A 2 B 2 C 2 D 2.

Vlastnosti pravidelného štvoruholníkového hranolu

Základy sú dva rovnaké štvorce
Základy sú navzájom rovnobežné
Strany sú obdĺžniky.
Bočné plochy sú si navzájom rovné
Bočné plochy sú kolmé na základne
Bočné rebrá sú navzájom rovnobežné a rovnaké
Kolmý rez kolmý na všetky bočné rebrá a rovnobežný so základňami
Uhly kolmého rezu - vpravo
Diagonálny rez pravidelného štvorbokého hranola je obdĺžnik
Kolmý (ortogonálny rez) rovnobežný so základňami

Vzorce pre pravidelný štvoruholníkový hranol

Pokyny na riešenie problémov

Pri riešení problémov na tému " pravidelný štvoruholníkový hranol“ znamená, že:

Správny hranol- hranol, na ktorého podstave leží pravidelný mnohouholník a bočné hrany sú kolmé na roviny podstavy. To znamená, že pravidelný štvoruholníkový hranol obsahuje na svojej základni námestie. (pozri vyššie vlastnosti pravidelného štvoruholníkového hranolu) Poznámka. Toto je časť hodiny s úlohami z geometrie (časť objemová geometria - hranol). Tu sú úlohy, ktoré spôsobujú ťažkosti pri riešení. Ak potrebujete vyriešiť problém v geometrii, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. Na označenie akcie extrakcie odmocnina symbol sa používa pri riešení problémov√ .

Úloha.

V pravidelnom štvorhrannom hranole je základná plocha 144 cm 2 a výška 14 cm Nájdite uhlopriečku hranola a celkový povrch.

rozhodnutie.
Pravidelný štvoruholník je štvorec.
V súlade s tým bude strana základne rovná

√144 = 12 cm.
Odkiaľ bude uhlopriečka podstavy pravidelného pravouhlého hranola rovná
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Uhlopriečka pravidelného hranola sa tvorí s uhlopriečkou podstavy a výškou hranola správny trojuholník. Podľa Pytagorovej vety sa teda uhlopriečka daného pravidelného štvoruholníkového hranola bude rovnať:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpoveď: 22 cm

Úloha

Nájdite celkovú plochu pravidelného štvoruholníkového hranolu, ak je jeho uhlopriečka 5 cm a uhlopriečka bočnej steny je 4 cm.

rozhodnutie.
Pretože základňa pravidelného štvoruholníkového hranola je štvorec, stranu základne (označenú ako a) nájdeme podľa Pytagorovej vety:

A2 + a2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Výška bočnej steny (označená ako h) sa potom bude rovnať:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3,5

Celková plocha sa bude rovnať súčtu plochy bočnej plochy a dvojnásobku základnej plochy

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpoveď: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Stereometria je oblasť geometrie, ktorá študuje postavy, ktoré neležia v rovnakej rovine. Jedným z predmetov štúdia stereometrie sú hranoly. V článku uvedieme definíciu hranolu z geometrického hľadiska a tiež stručne uvedieme vlastnosti, ktoré sú preň charakteristické.

Geometrický obrazec

Definícia hranola v geometrii je nasledovná: je priestorový obrazec, pozostávajúce z dvoch rovnakých n-uholníkov umiestnených v rovnobežných rovinách, navzájom spojených svojimi vrcholmi.

Získať hranol nie je ťažké. Predstavte si, že existujú dva rovnaké n-uholníky, kde n je počet strán alebo vrcholov. Umiestnime ich tak, aby boli navzájom rovnobežné. Potom by mali byť vrcholy jedného polygónu spojené so zodpovedajúcimi vrcholmi druhého. Vytvorený obrazec bude pozostávať z dvoch n-uholníkových strán, ktoré sa nazývajú základne, a n štvoruholníkových strán, ktoré sú vo všeobecnom prípade rovnobežníky. Sada rovnobežníkov tvorí bočnú plochu figúry.

Existuje ďalší spôsob, ako geometricky získať príslušný obrazec. Ak teda vezmeme n-uholník a prenesieme ho do inej roviny pomocou rovnobežných úsečiek rovnakú dĺžku, potom v novej rovine dostaneme pôvodný mnohouholník. Polygóny a všetky paralelné segmenty vytiahnuté z ich vrcholov tvoria hranol.

Vyššie uvedený obrázok ukazuje, že sa nazýva, pretože jeho základňami sú trojuholníky.

Prvky, ktoré tvoria postavu

Definícia hranola bola uvedená vyššie, z ktorej je zrejmé, že hlavnými prvkami postavy sú jej tváre alebo strany, ktoré obmedzujú všetky vnútorné body hranola z vonkajšieho priestoru. Akákoľvek tvár uvažovanej postavy patrí do jedného z dvoch typov:

bočné;
dôvodov.

Existuje n bočných dielov a sú to rovnobežníky alebo ich konkrétne typy (obdĺžniky, štvorce). Vo všeobecnosti sa bočné strany navzájom líšia. Základňa má iba dve strany, sú to n-uholníky a sú si navzájom rovné. Každý hranol má teda n+2 strán.

Okrem strán je postava charakteristická svojimi vrcholmi. Sú to body, kde sa súčasne dotýkajú tri tváre. Okrem toho dve z troch plôch vždy patria k bočnému povrchu a jedna - k základni. V hranole teda nie je špeciálne vybraný jeden vrchol, pretože napríklad v pyramíde sú všetky rovnaké. Počet vrcholov obrázku je 2*n (n kusov pre každú základňu).

Napokon, tretím dôležitým prvkom hranola sú jeho okraje. Ide o segmenty určitej dĺžky, ktoré sa vytvárajú v dôsledku priesečníka strán obrázku. Rovnako ako tváre, aj hrany majú dve odlišné typy:

alebo tvorené iba stranami;
alebo vznikajú na styku rovnobežníka a strany n-gonálnej základne.

Počet hrán je teda 3*n, pričom 2*n z nich patrí k druhému z menovaných typov.

Typy hranolov

Existuje niekoľko spôsobov klasifikácie hranolov. Všetky sú však založené na dvoch črtách obrázku:

na type n-uhoľnej bázy;
na bočnom type.

Na začiatok sa obráťme na druhú singularitu a uveďme definíciu priamky. Ak aspoň jedna strana je rovnobežník všeobecný typ, potom sa obrazec nazýva šikmý, alebo šikmý. Ak sú všetky rovnobežníky obdĺžniky alebo štvorce, potom bude hranol rovný.

Môžete tiež uviesť definíciu trochu iným spôsobom: rovná postava je hranol, v ktorom sú bočné okraje a plochy kolmé na jeho základne. Obrázok ukazuje dve štvoruholníkové postavy. Ľavý je rovný, pravý šikmý.

Teraz prejdime ku klasifikácii podľa typu n-uholníka ležiaceho v základniach. Môže mať rovnaké strany a uhly alebo rôzne. V prvom prípade sa polygón nazýva pravidelný. Ak uvažovaný obrázok obsahuje mnohouholník s rovnakými stranami a uhlami na základni a je priamkou, potom sa nazýva pravidelný. Podľa tejto definície môže mať pravidelný hranol na svojej základni rovnostranný trojuholník, štvorec, pravidelný päťuholník alebo šesťuholník atď. Uvedené správne čísla sú zobrazené na obrázku.

Lineárne parametre hranolov

Na opísanie rozmerov uvažovaných obrázkov použite nasledujúce možnosti:

výška;
strany základne;
dĺžky bočných rebier;
objemové uhlopriečky;
diagonálne strany a základne.

Pre pravidelné hranoly sú všetky menované veličiny vo vzájomnom vzťahu. Napríklad dĺžky bočných rebier sú rovnaké a rovnajú sa výške. Pre konkrétny n-uholník správna postava existujú vzorce, ktoré nám umožňujú určiť všetko ostatné z akýchkoľvek dvoch lineárnych parametrov.

Povrch postavy

Ak sa obrátime na vyššie uvedenú definíciu hranola, potom nebude ťažké pochopiť, čo predstavuje povrch obrázku. Povrch je plocha všetkých tvárí. Pre priamy hranol sa vypočíta podľa vzorca:

S = 2*So + Po*h

kde S o je plocha základne, P o je obvod n-uholníka základne, h je výška (vzdialenosť medzi základňami).

objem postavy

Spolu s povrchom pre prax je dôležité poznať objem hranola. Dá sa určiť pomocou nasledujúceho vzorca:

Tento výraz platí pre absolútne všetky druhy hranolov, vrátane tých, ktoré sú šikmé a tvorené nepravidelnými mnohouholníkmi.

Pre správnosť je to funkcia dĺžky strany základne a výšky postavy. Pre zodpovedajúci n-gonálny hranol má vzorec pre V špecifický tvar.

Všeobecné informácie o priamom hranole

Bočná plocha hranola (presnejšie plocha bočnej plochy) sa nazýva súčet bočné oblasti tváre. Celková plocha hranola sa rovná súčtu bočnej plochy a plôch podstavcov.

Veta 19.1. Bočná plocha rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola, t.j. dĺžke bočnej hrany.

Dôkaz. Bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky. Základňami týchto obdĺžnikov sú strany mnohouholníka ležiace na základni hranola a výšky sa rovnajú dĺžke bočných hrán. Z toho vyplýva, že bočná plocha hranola sa rovná

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kde a 1 a n sú dĺžky rebier základne, p je obvod základne hranola a I je dĺžka bočných rebier. Veta bola dokázaná.

Praktická úloha

Úloha (22) . V naklonenom hranole oddiele, kolmo na bočné hrany a pretínajúce všetky bočné hrany. Nájdite bočnú plochu hranola, ak obvod rezu je p a bočné hrany sú l.

rozhodnutie. Rovina nakresleného rezu rozdeľuje hranol na dve časti (obr. 411). Jednu z nich podrobme paralelnému prekladu, ktorý spája základy hranola. V tomto prípade získame rovný hranol, v ktorom časť pôvodného hranola slúži ako základ a bočné hrany sú rovné l. Tento hranol má rovnakú bočnú plochu ako pôvodný. Bočná plocha pôvodného hranola sa teda rovná pl.

Zovšeobecnenie témy

A teraz si skúsme s vami zhrnúť tému hranol a pripomenúť si, aké vlastnosti má hranol.

Vlastnosti hranola

Po prvé, pre hranol sú všetky jeho základne rovnaké polygóny;
Po druhé, pre hranol sú všetky jeho bočné strany rovnobežníky;
Po tretie, v takom mnohostrannom obrázku, akým je hranol, sú všetky bočné okraje rovnaké;

Malo by sa tiež pamätať na to, že mnohosteny, ako sú hranoly, môžu byť rovné a naklonené.

Čo je priamy hranol?

Ak je bočná hrana hranola kolmá na rovinu jeho základne, potom sa takýto hranol nazýva priamka.

Nebude zbytočné pripomenúť, že bočné strany rovného hranolu sú obdĺžniky.

Čo je to šikmý hranol?

Ak však bočná hrana hranola nie je umiestnená kolmo na rovinu jeho základne, potom môžeme bezpečne povedať, že ide o naklonený hranol.

Aký je správny hranol?

Ak pravidelný mnohouholník leží na základni priameho hranola, potom je takýto hranol pravidelný.

Teraz si pripomeňme vlastnosti, ktoré má bežný hranol.

Vlastnosti pravidelného hranola

Po prvé, pravidelné mnohouholníky vždy slúžia ako základne pravidelného hranola;
Po druhé, ak vezmeme do úvahy bočné strany pravidelného hranola, potom sú to vždy rovnaké obdĺžniky;
Po tretie, ak porovnáme veľkosti bočných rebier, potom v správnom hranole sú vždy rovnaké.
Po štvrté, pravidelný hranol je vždy rovný;
Po piate, ak v pravidelnom hranole sú bočné strany vo forme štvorcov, potom sa takýto obrazec zvyčajne nazýva polopravidelný mnohouholník.

Hranolový úsek

Teraz sa pozrime na prierez hranola:

Domáca úloha

A teraz sa pokúsme upevniť študovanú tému riešením problémov.

Narysujme si naklonený trojuholníkový hranol, ktorého vzdialenosť medzi jeho okrajmi bude: 3 cm, 4 cm a 5 cm a bočná plocha tohto hranola bude rovná 60 cm2. S týmito parametrami nájdite bočnú hranu daného hranolu.

A ty to vieš geometrické obrazce neustále nás obklopujú nielen na hodinách geometrie, ale aj v Každodenný život existujú predmety, ktoré sa podobajú jednému alebo druhému geometrickému útvaru.