Kužeľ. Frustum

Zúžený povrch nazývaná plocha tvorená všetkými priamkami prechádzajúcimi každým bodom danej krivky a bodom mimo krivky (obr. 32).

Táto krivka je tzv sprievodca , priamy - generovanie , bodka - summit kužeľová plocha.

Rovný kruhový skosený povrch nazývaná plocha tvorená všetkými priamkami prechádzajúcimi každým bodom danej kružnice a bodom na priamke, ktorá je kolmá na rovinu kružnice a prechádza jej stredom. V nasledujúcom texte bude tento povrch stručne označovaný ako kužeľová plocha (obr.33).

kužeľ (rovný kruhový kužeľ ) sa nazýva geometrické teleso ohraničené kužeľovou plochou a rovinou, ktorá je rovnobežná s rovinou vodiacej kružnice (obr. 34).

Ryža. 32 Obr. 33 Obr. 34

Kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo osi obsahujúcej jednu z ramien trojuholníka.

Kruh, ktorý ohraničuje kužeľ, sa nazýva základ . Vrchol kužeľovej plochy je tzv summit kužeľ. Úsečka spájajúca vrchol kužeľa so stredom jeho základne sa nazýva vysoký kužeľ. Segmenty, ktoré tvoria kužeľovú plochu, sa nazývajú generovanie kužeľ. os kužeľa je priamka prechádzajúca vrcholom kužeľa a stredom jeho základne. Axiálny rez nazývaný úsek prechádzajúci osou kužeľa. Vývoj bočného povrchu kužeľ sa nazýva sektor, ktorého polomer rovná dĺžke tvoriaca čiara kužeľa a dĺžka oblúka sektora sa rovná obvodu základne kužeľa.

Pre kužeľ platia nasledujúce vzorce:

kde R je polomer základne;

H- výška;

l- dĺžka tvoriacej čiary;

S hlavná- základná plocha;

S strana

S plný

V je objem kužeľa.

zrezaný kužeľ nazývaná časť kužeľa uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou kužeľa (obr. 35).

Zrezaný kužeľ možno považovať za teleso získané rotáciou pravouhlý lichobežník okolo osi obsahujúcej stranu lichobežníka kolmú na základne.

Dva kruhy, ktoré spájajú kužeľ, sa nazývajú jeho dôvodov . Výška zrezaného kužeľa je vzdialenosť medzi jeho základňami. Segmenty, ktoré tvoria kužeľovú plochu zrezaného kužeľa, sa nazývajú generovanie . Priamka prechádzajúca stredmi podstav sa nazýva os zrezaný kužeľ. Axiálny rez nazývaný úsek prechádzajúci osou zrezaného kužeľa.

Pre zrezaný kužeľ platia nasledujúce vzorce:

(8)

kde R je polomer spodnej základne;

r je polomer hornej základne;

H je výška, l je dĺžka tvoriacej čiary;

S strana je plocha bočného povrchu;

S plný je celková plocha povrchu;

V je objem zrezaného kužeľa.

Príklad 1Úsek kužeľa rovnobežný so základňou rozdeľuje výšku v pomere 1:3, počítajúc zhora. Nájdite plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa, ak je polomer základne a výška kužeľa 9 cm a 12 cm.

rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 36).

Na výpočet plochy bočného povrchu zrezaného kužeľa používame vzorec (8). Nájdite polomery základov Asi 1 A a Asi 1 V a generovanie AB.

Zvážte podobné trojuholníky SO 2 B a SO 1A, koeficient podobnosti , teda

Odtiaľ

Odvtedy

Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa rovná:

odpoveď: .

Príklad2.Štvrťkruh s polomerom je zložený do kužeľovej plochy. Nájdite polomer základne a výšku kužeľa.

rozhodnutie.Štvornásobok kruhu je rozvinutím bočného povrchu kužeľa. Označiť r je polomer jeho základne, H- výška. Bočný povrch sa vypočíta podľa vzorca: . Rovná sa ploche štvrtiny kruhu: . Dostaneme rovnicu s dvoma neznámymi r a l(generátor kužeľa). V tomto prípade sa tvoriaca čiara rovná polomeru štvrtiny kruhu R, takže dostaneme nasledujúcu rovnicu: , odkiaľ Keď poznáme polomer základne a tvoriacu čiaru, zistíme výšku kužeľa:

odpoveď: 2 cm,.

Príklad 3 Obdĺžnikový lichobežník s ostrý uhol 45 O, s menšou základňou 3 cm a naklonenou stranou rovnajúcou sa , sa otáča okolo strany kolmej na základne. Nájdite objem získaného rotačného telesa.

rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 37).

V dôsledku rotácie dostaneme zrezaný kužeľ, aby sme zistili jeho objem, vypočítame polomer väčšej základne a výšku. v hrazde O 1 O 2 AB strávime AC^O 1 B. V máme: takže tento trojuholník je rovnoramenný AC=pred Kr\u003d 3 cm.

odpoveď:

Príklad 4 Trojuholník so stranami 13 cm, 37 cm a 40 cm sa otáča okolo vonkajšej osi, ktorá je rovnobežná s väčšou stranou a je od nej vzdialená 3 cm (os sa nachádza v rovine trojuholníka). Nájdite povrchovú plochu výsledného rotačného telesa.

rozhodnutie . Urobme si nákres (obr. 38).

Povrch výsledného rotačného telesa tvoria bočné plochy dvoch zrezaných kužeľov a bočná plocha valca. Na výpočet týchto plôch je potrebné poznať polomery podstav kužeľov a valca ( BE a OC) vytváranie kužeľov ( pred Kr a AC) a výška valca ( AB). Neznáme je len CO. je vzdialenosť od strany trojuholníka k osi rotácie. Poďme nájsť DC. Plocha trojuholníka ABC na jednej strane sa rovná súčinu polovice strany AB a jej výšky DC, na druhej strane, keď poznáme všetky strany trojuholníka, vypočítame jeho obsah pomocou Heronovho vzorca.

- je to časť kužeľa ohraničená medzi dvoma rovnobežnými základňami kolmými na os súmernosti Základmi kužeľa sú geometrické kružnice.

Zrezaný kužeľ možno získať otáčaním pravouhlého lichobežníka okolo jeho strany, čo je jeho výška. Hranica kužeľa je kružnica s polomerom R, kružnica s polomerom r a bočná plocha kužeľa. Bočná plocha kužeľa opisuje bočnú stranu lichobežníka počas jeho rotácie.

Oblasť bočného povrchu zrezaného kužeľa cez vedenie a polomery jeho základov

Pri hľadaní oblasti bočný povrch zrezaného kužeľa je účelnejšie uvažovať ako rozdiel medzi bočnou plochou kužeľa a bočnou plochou zrezaného kužeľa.

Necháme odrezať kužeľ A`MB` z daného kužeľa AMB. Treba počítať bočná oblasť zrezaný kužeľ AA`B`B . Je známe, že polomery jeho základov sú AO=R, A`O` =r , tvoriaca čiara sa rovná L. MB` označme x . Potom sa bočný povrch kužeľa A`MB` bude rovnať πrx. A bočný povrch kužeľa AMB sa bude rovnať πR(L+x).
Potom môže byť bočná plocha zrezaného kužeľa AA`B`B vyjadrená ako rozdiel medzi bočnou plochou kužeľa AMB a kužeľa A`MB`:

Trojuholníky OMB a O`MB` sú podobné z hľadiska rovnosti uhlov ∠(MOB) = ∠(MO`B`) a ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Z podobnosti týchto trojuholníkov vyplýva:
Použime derivačný podiel. Máme:
Odtiaľto nájdeme x:
Nahradením tohto výrazu do vzorca pre oblasť bočného povrchu máme:
Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa teda rovná súčinu čísla π a jeho vedenia a súčtu polomerov jeho základov.

Príklad výpočtu plochy bočného povrchu zrezaného kužeľa, ak je známy jeho polomer a tvoriaca čiara
Polomer väčšej základne, tvoriaca čiara a výška zrezaného kužeľa sú 7, 5 a 4 cm. Nájdite plochu bočného povrchu kužeľa.
Axiálny rez zrezaného kužeľa je rovnoramenný lichobežník, so základňami 2R a 2r . Tvoriaca čiara zrezaného kužeľa, ktorá je bočnou stranou lichobežníka, výška, pubescent na veľkej základni a rozdiel v polomeroch základne zrezaného kužeľa, tvoria egyptský trojuholník. Toto je správny trojuholník s pomerom strán 3:4:5. Podľa stavu problému sa tvoriaca čiara rovná 5 a výška je 4, potom sa rozdiel v polomeroch základne zrezaného kužeľa bude rovnať 3.
Máme:
L = 5
R = 7
R = 4
Vzorec pre oblasť bočného povrchu zrezaného kužeľa je nasledujúci:

Nahradením hodnôt máme:

Oblasť bočného povrchu zrezaného kužeľa cez vedenie a priemerný polomer

Priemerný polomer zrezaného kužeľa sa rovná polovici súčtu polomerov jeho základní:


Potom môže byť vzorec pre oblasť bočného povrchu zrezaného kužeľa reprezentovaný takto:

Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa rovná súčinu obvodu priemernej časti a jej tvoriacej čiary.

Plochy bočnej plochy zrezaného kužeľa cez polomery jeho základne a uhol sklonu tvoriacej priamky k rovine základne

Ak je menšia základňa ortogonálne premietnutá na väčšiu základňu, potom bude projekcia bočného povrchu zrezaného kužeľa vyzerať ako prsteň, ktorého plocha sa vypočíta podľa vzorca:

potom:

Plochy bočného povrchu zrezaného kužeľa podľa Archimeda

Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa sa rovná ploche takého kruhu, ktorého polomer je priemerne úmerný medzi tvoriacou čiarou a súčtom polomerov jeho základov

Plná plocha zrezaného kužeľa

Celkový povrch kužeľa je súčtom plochy jeho bočného povrchu a plochy základov kužeľa:

Základňami kužeľa sú kružnice s polomerom R a r. Ich plocha sa rovná súčinu čísla krát druhá mocnina ich polomeru:


Bočný povrch sa vypočíta podľa vzorca:

Potom je celková plocha zrezaného kužeľa:

Vzorec vyzerá takto:

Príklad výpočtu celkového povrchu zrezaného kužeľa, ak je známy jeho polomer a tvoriaca čiara
Polomer základne zrezaného kužeľa je 1 a 7 dm a uhlopriečky osového rezu sú navzájom kolmé. Nájdite celkovú plochu zrezaného kužeľa
Axiálny rez zrezaného kužeľa je rovnoramenný lichobežník so základňami 2R a 2r. To znamená, že základne lichobežníka sú 2 a 14 dm. Keďže uhlopriečky lichobežníka sú navzájom kolmé, jeho výška je polovicou súčtu jeho základní. potom:

Tvoriaca čiara zrezaného kužeľa, ktorá je bočnou stranou lichobežníka, výška, pubescent na veľkej základni a rozdiel v polomeroch základne zrezaného kužeľa, tvoria pravouhlý trojuholník.
Podľa Pytagorovej vety nájdeme tvoriacu čiaru zrezaného kužeľa:

Vzorec pre celkový povrch zrezaného kužeľa je:

Nahradením hodnôt zo stavu problému a zistených hodnôt máme:

Objemové vzorce

Zrezaná pyramída alebo kužeľ - toto je časť, ktorá zostane po odrezaní vrchnej časti s rovinou rovnobežnou so základňou.

Objem zrezanej pyramídy alebo šišky sa rovná objemu celej pyramídy alebo kužeľa mínus objem zrezaného vrcholu.

Bočný povrch zrezanej pyramídy alebo šišky rovná ploche celej pyramídy alebo kužeľa. mínus plocha bočného povrchu orezaného vrcholu. Ak potrebujete nájsť Celková plocha skrátená postava, potom sa plocha dvoch rovnobežných základní pripočíta k ploche bočnej plochy.

Existuje ďalšia metóda na určenie objemu a povrchu zrezaného kužeľa:

V=1/3 πh(R2+Rr+r2),

bočná plocha kužeľa S=πl(R+r),

celková plocha S o \u003d π l (R + r) + πr 2 + πR 2

Príklad 1. Stanovenie plochy potrebnej na výrobu materiálu na tienidlo. (Výpočet plochy bočného povrchu kužeľa).

Tienidlo má tvar zrezaného kužeľa. Výška tienidla je 50 cm, spodný priemer 40 cm a horný priemer 20 cm.

Stanovte s presnosťou 3x významné postavy plocha materiálu potrebná na výrobu tienidla.

Ako je definované vyššie, oblasť bočného povrchu zrezaného kužeľa S=πl(R+r).

Keďže horný a dolný priemer zrezaného kužeľa je 40 a 20 cm, z obr. vyššie nájdeme r=10 cm, R=20 cm a

l \u003d (50 2 +10 2) 1/2 \u003d 50,99 podľa Pytagorovej vety,

Preto je plocha bočného povrchu kužeľa S \u003d π 50,99 (20 + 10) \u003d 4803,258 cm 2, t.j. plocha materiálu potrebného na výrobu tienidla sa rovná 4800 cm2 s presnosťou na 3 platné číslice, aj keď, samozrejme, koľko materiálu skutočne zaberie závisí od rezu.

Príklad 2. Stanovenie objemu valca korunovaného zrezaným kužeľom.

Chladiaca veža má tvar valca zakončeného zrezaným kužeľom, ako je znázornené na obr. nižšie. Určte objem vzdušného priestoru vo veži, ak 40% objemu zaberajú potrubia a iné konštrukcie.

Objem valcovej časti

V = π R 2 h\u003d π (27/2) 2 * 14 \u003d 8011,71 m 3

Objem skráteného kužeľa

V=1/3 πh(R2+Rr+r2), kde

h = 34-14 = 20 m, R = 27/2 = 13,5 m a r = 14/2 = 7 m.

Pretože R = 27/2 = 13,5 m a r = 14/2 = 7 m.

Preto objem zrezaného kužeľa

V \u003d 1/3 π 20 (13,5 2 + 13,5 * 7 + 7 2) \u003d 6819,03 m 3

Celkový objem chladiacej veže V obyčajný. \u003d 6819,03 + 8011,71 \u003d 14830,74 m 3.

Ak je obsadených 40 % objemu, objem vzdušného priestoru V \u003d 0,6 * 14830,74 \u003d 8898,44 m 3