Bočná oblasť pravidelnej trojuholníkovej pyramídy. Ako vypočítať plochu pyramídy: základná, bočná a plná

Valec je geometrické teleso ohraničené dvoma rovnobežnými rovinami a valcovou plochou. V článku si povieme, ako nájsť plochu valca a pomocou vzorca vyriešime napríklad niekoľko problémov.

Valec má tri povrchy: horný, spodný a bočný povrch.

Horná a spodná časť valca sú kruhy a dajú sa ľahko definovať.

Je známe, že plocha kruhu sa rovná πr 2 . Preto vzorec pre oblasť dvoch kruhov (horná a spodná časť valca) bude vyzerať ako πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Tretí, bočný povrch valca, je zakrivená stena valca. Aby sme tento povrch lepšie reprezentovali, skúsme ho transformovať, aby získal rozpoznateľný tvar. Predstavte si, že valec je obyčajná plechová dóza, ktorá nemá Horný kryt a spodok. Urobme zvislý rez na bočnej stene od vrchu po spodok nádoby (Krok 1 na obrázku) a snažme sa výslednú figúru čo najviac otvoriť (narovnať) (Krok 2).

Po úplnom odhalení výslednej nádoby uvidíme známy obrázok (krok 3), toto je obdĺžnik. Plocha obdĺžnika sa dá ľahko vypočítať. Ešte predtým sa však na chvíľu vráťme k pôvodnému valcu. Vrchol pôvodného valca je kruh a vieme, že obvod kruhu sa vypočíta podľa vzorca: L = 2πr. Na obrázku je označený červenou farbou.

Keď je bočná stena valca úplne roztiahnutá, vidíme, že obvod sa stáva dĺžkou výsledného obdĺžnika. Stranami tohto obdĺžnika bude obvod (L = 2πr) a výška valca (h). Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho strán - S = dĺžka x šírka = L x h = 2πr x h = 2πrh. V dôsledku toho sme získali vzorec na výpočet plochy bočného povrchu valca.

Vzorec pre oblasť bočného povrchu valca
S strana = 2 prh

Celá plocha valca

Nakoniec, ak spočítame plochu všetkých troch plôch, dostaneme vzorec plochy celoplošný valec. Plocha povrchu valca sa rovná ploche hornej časti valca + plocha základne valca + plocha bočného povrchu valca alebo S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Niekedy je tento výraz napísaný identickým vzorcom 2πr (r + h).

Vzorec pre celkovú plochu povrchu valca
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r je polomer valca, h je výška valca

Príklady výpočtu povrchovej plochy valca

Aby sme pochopili vyššie uvedené vzorce, skúsme vypočítať plochu valca pomocou príkladov.

1. Polomer základne valca je 2, výška je 3. Určte plochu bočného povrchu valca.

Celková plocha sa vypočíta podľa vzorca: strana S. = 2 prh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočný povrch valca je 37,68.

2. Ako zistiť povrch valca, ak je výška 4 a polomer 6?

Celkový povrch sa vypočíta podľa vzorca: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Úloha 1. Nájdite celkovú plochu pyramídy
• Úloha 2. Nájdite plochu bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Úloha 1. Nájdite celkovú plochu pravidelnej pyramídy

rozhodnutie.

Na základni pravidelnej trojuholníkovej pyramídy leží rovnostranný trojuholník.
Preto na vyriešenie problému používame vlastnosti pravidelného trojuholníka:

Poznáme výšku trojuholníka, odkiaľ môžeme zistiť jeho obsah.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Odkiaľ sa plocha základne bude rovnať:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Aby sme našli plochu bočnej plochy, vypočítame výšku KM. Uhol OKM je podľa vyhlásenia o probléme 45 stupňov.
takto:
OK / MK = cos 45
Používame tabuľku hodnôt goniometrických funkcií a náhrady známe hodnoty.

OK / MK = √2/2

Berieme do úvahy, že OK sa rovná polomeru vpísanej kružnice. Potom
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Potom
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Plocha bočnej plochy sa potom rovná polovici súčinu výšky a základne trojuholníka.
Strana strany = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Celková plocha pyramídy sa teda bude rovnať
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odpoveď: 3√3 + 18/√6

Úloha 2. Nájdite bočnú plochu pravidelnej pyramídy

rozhodnutie.

Keďže základňa pravidelnej trojuholníkovej pyramídy je rovnostranný trojuholník, potom AO je polomer kružnice opísanej okolo základne.
(vyplýva to z)

Polomer kružnice opísanej rovnostrannému trojuholníku sa zistí z jej vlastností

Odkiaľ sa dĺžka hrán pravidelnej trojuholníkovej pyramídy bude rovnať:
AM2 = M02 + AO2
výška pyramídy je známa podmienkou (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Každá strana pyramídy je rovnoramenný trojuholník. Námestie rovnoramenný trojuholník nájsť z prvého vzorca nižšie

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) – 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Pretože všetky tri strany pravidelnej pyramídy sú rovnaké, plocha bočného povrchu bude rovnaká
3S = 48√ (91/3)

odpoveď: 48 √(91/3)

Úloha 3. Nájdite celkovú plochu pravidelnej pyramídy

Strana pravidelnej trojuholníkovej pyramídy je 3 cm a uhol medzi bočnou stenou a základňou pyramídy je 45 stupňov. Nájdite celkovú plochu pyramídy.

rozhodnutie.
Keďže pyramída je pravidelná, má na svojej základni rovnostranný trojuholník. Takže plocha základne je


Takže = 9 * √3/4

Aby sme našli plochu bočnej plochy, vypočítame výšku KM. Uhol OKM je podľa vyhlásenia o probléme 45 stupňov.
takto:
OK / MK = cos 45
Využime

Pyramída- jedna z odrôd mnohostenu tvoreného z mnohouholníkov a trojuholníkov, ktoré ležia na základni a sú jeho stranami.

Navyše na vrchole pyramídy (t. j. v jednom bode) sú všetky plochy spojené.

Na výpočet plochy pyramídy je potrebné určiť, že jej bočný povrch pozostáva z niekoľkých trojuholníkov. A môžeme ľahko nájsť ich oblasti pomocou

rôzne vzorce. Podľa toho, aké údaje trojuholníkov poznáme, hľadáme ich plochu.

Uvádzame niekoľko vzorcov, pomocou ktorých môžete nájsť oblasť trojuholníkov:

1. S = (a*h)/2 . V tomto prípade poznáme výšku trojuholníka h , ktorý je spustený do strany a .
2. S = a*b*sinp . Tu sú strany trojuholníka a , b a uhol medzi nimi je β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Tu sú strany trojuholníka a, b, c . Polomer kruhu, ktorý je vpísaný do trojuholníka je r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka je R .
5. S = (a*b)/2 = r2 + 2*r*R . Tento vzorec by sa mal použiť iba vtedy, ak je trojuholník pravouhlý.
6. S = (a²*√3)/4 . Tento vzorec aplikujeme na rovnostranný trojuholník.

Až potom, čo vypočítame plochy všetkých trojuholníkov, ktoré sú stranami našej pyramídy, môžeme vypočítať plochu jej bočného povrchu. Na tento účel použijeme vyššie uvedené vzorce.

Na výpočet plochy bočného povrchu pyramídy nevznikajú žiadne ťažkosti: musíte zistiť súčet plôch všetkých trojuholníkov. Vyjadrime to vzorcom:

Sp = ΣSi

Tu Si je plocha prvého trojuholníka a S P je plocha bočného povrchu pyramídy.

Pozrime sa na príklad. Pri pravidelnej pyramíde sú jej bočné steny tvorené niekoľkými rovnostrannými trojuholníkmi,

« Geometria je najmocnejším nástrojom na zdokonaľovanie našich mentálnych schopností.».

Galileo Galilei.

a štvorec je základom pyramídy. Okraj pyramídy má navyše dĺžku 17 cm, nájdime plochu bočného povrchu tejto pyramídy.

Uvažujeme takto: vieme, že steny pyramídy sú trojuholníky, sú rovnostranné. Vieme tiež, aká je dĺžka okraja tejto pyramídy. Z toho vyplýva, že všetky trojuholníky majú rovnaké strany, ich dĺžka je 17 cm.

Na výpočet plochy každého z týchto trojuholníkov môžete použiť nasledujúci vzorec:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Keďže vieme, že štvorec leží na základni pyramídy, ukázalo sa, že máme štyri rovnostranné trojuholníky. To znamená, že plocha bočného povrchu pyramídy sa dá ľahko vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Naša odpoveď je nasledovná: 500,548 cm² - to je plocha bočného povrchu tejto pyramídy.

Pred štúdiom otázok o tomto geometrickom útvare a jeho vlastnostiach je potrebné pochopiť niektoré pojmy. Keď človek počuje o pyramíde, predstaví si obrovské budovy v Egypte. Takto vyzerajú tie najjednoduchšie. Ale stávajú sa odlišné typy a tvarov, čo znamená, že výpočtový vzorec pre geometrické tvary bude iný.

Pyramída - geometrický obrazec , označujúce a reprezentujúce viaceré tváre. V skutočnosti ide o ten istý mnohosten, na ktorého základni leží mnohouholník a po stranách sú trojuholníky, ktoré sa spájajú v jednom bode - vrchole. Obrázok má dva hlavné typy:

• správne;
• skrátené.

V prvom prípade je základ pravidelný mnohouholník. Všetko je tu bočné plochy rovný medzi sebou a postavou samotnou poteší oko perfekcionistu.

V druhom prípade existujú dve základne - veľká úplne dole a malá medzi hornou časťou, ktorá opakuje tvar hlavnej. Inými slovami, zrezaný ihlan je mnohosten s časťou vytvorenou rovnobežne so základňou.

Termíny a notácia

Základné pojmy:

• Pravidelný (rovnostranný) trojuholník- postava s tromi rovnakými uhlami a rovnocenné strany. V tomto prípade sú všetky uhly 60 stupňov. Postava je najjednoduchšia z pravidelných mnohostenov. Ak tento obrázok leží na základni, potom sa takýto mnohosten bude nazývať bežný trojuholníkový. Ak je základňa štvorec, pyramída sa bude nazývať pravidelná štvoruholníková pyramída.
• Vertex- najvyšší bod, kde sa hrany stretávajú. Výška vrcholu je tvorená priamkou vychádzajúcou z vrcholu k základni pyramídy.
• hrana je jednou z rovín mnohouholníka. Môže byť vo forme trojuholníka v prípade trojuholníkovej pyramídy alebo vo forme lichobežníka pre zrezaná pyramída.
• prierez- plochá postava vytvorená ako výsledok pitvy. Nezamieňajte s sekciou, pretože sekcia zobrazuje aj to, čo je za sekciou.
• Apothem- úsečka vedená od vrcholu pyramídy k jej základni. Je to tiež výška tváre, kde je druhý výškový bod. Táto definícia platí len vo vzťahu k pravidelnému mnohostenu. Napríklad - ak to nie je zrezaná pyramída, potom bude tvár trojuholník. V tomto prípade sa výška tohto trojuholníka stane apotémou.

Plošné vzorce

Nájdite plochu bočného povrchu pyramídy akýkoľvek typ možno vykonať niekoľkými spôsobmi. Ak obrazec nie je symetrický a ide o mnohouholník s rôzne strany, potom je v tomto prípade jednoduchšie vypočítať Celková plocha povrchov prostredníctvom zberu všetkých povrchov. Inými slovami, musíte vypočítať oblasť každej tváre a spočítať ich.

V závislosti od toho, aké parametre sú známe, môžu byť potrebné vzorce na výpočet štvorca, lichobežníka, ľubovoľného štvoruholníka atď. Samotné vzorce rôznych príležitostiach bude tiež iný.

V prípade správna postava nájsť oblasť je oveľa jednoduchšie. Stačí poznať niekoľko kľúčových parametrov. Vo väčšine prípadov sa pre takéto čísla vyžadujú presné výpočty. Preto budú nižšie uvedené zodpovedajúce vzorce. V opačnom prípade by ste museli všetko maľovať na niekoľko strán, čo len zamotá a popletie.

Základný vzorec pre výpočet bude mať bočný povrch pravidelnej pyramídy ďalší pohľad:

S \u003d ½ Pa (P je obvod základne a je apotém)

Zoberme si jeden z príkladov. Mnohosten má základňu so segmentmi A1, A2, A3, A4, A5 a všetky sú rovné 10 cm.Apotéma nech sa rovná 5 cm. Najprv musíte nájsť obvod. Keďže všetkých päť plôch základne je rovnakých, možno ich nájsť takto: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Ďalej použijeme základný vzorec: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm štvorcových .

Bočný povrch pravidelnej trojuholníkovej pyramídy najľahšie vypočítať. Vzorec vyzerá takto:

S =½* ab *3, kde a je apotém, b je fazeta základne. Faktor tri tu znamená počet plôch základne a prvá časť je plocha bočného povrchu. Zvážte príklad. Daný obrazec s apotémou 5 cm a základnou plochou 8 cm Vypočítame: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm na druhú.

Bočný povrch zrezanej pyramídy je to trochu náročnejšie na výpočet. Vzorec vyzerá takto: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, kde p_01 a p_02 sú obvody základní a je to apotém. Zvážte príklad. Predpokladajme, že pre štvoruholníkovú postavu sú rozmery strán podstavcov 3 a 6 cm, apotém je 4 cm.

Tu by ste pre začiatok mali nájsť obvody podstavcov: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm. Zostáva nahradiť hodnoty do hlavného vzorca a získať: S = 1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm na druhú.

Takto je možné nájsť bočnú plochu pravidelnej pyramídy akejkoľvek zložitosti. Pozor, nezamieňať tieto výpočty s celkovou plochou celého mnohostenu. A ak to stále potrebujete urobiť, stačí vypočítať plochu najväčšej základne mnohostenu a pridať ju k ploche bočného povrchu mnohostenu.

Video

Toto video vám pomôže upevniť informácie o tom, ako nájsť bočný povrch rôznych pyramíd.

Nedostali ste odpoveď na svoju otázku? Navrhnite autorom tému.

Aký tvar nazývame pyramída? Po prvé, je to mnohosten. Po druhé, na základni tohto mnohostenu je ľubovoľný mnohouholník a strany pyramídy (bočné strany) majú nevyhnutne tvar trojuholníkov zbiehajúcich sa v jednom spoločnom vrchole. Teraz, keď sme sa zaoberali pojmom, poďme zistiť, ako nájsť povrch pyramídy.

Je zrejmé, že povrchová plocha takéhoto geometrického telesa je tvorená súčtom plôch základne a celého jej bočného povrchu.

Výpočet plochy základne pyramídy

Výber výpočtového vzorca závisí od tvaru mnohouholníka ležiaceho na základni našej pyramídy. Môže byť správny, to znamená s rovnako dlhými stranami, alebo nesprávny. Zvážme obe možnosti.

Na základni je pravidelný mnohouholník

Zo školského kurzu je známe:

• plocha štvorca sa bude rovnať dĺžke jeho strany na druhú;
• Plocha rovnostranného trojuholníka sa rovná štvorcu jeho strany delenej 4-krát druhou odmocninou z troch.

Existuje však aj všeobecný vzorec na výpočet plochy akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka (Sn): musíte vynásobiť hodnotu obvodu tohto mnohouholníka (P) polomerom kruhu, ktorý je v ňom vpísaný (r), a potom výsledok vydeľte dvoma: Sn=1/2P*r .

Základňa je nepravidelný mnohouholník.

Schéma na nájdenie jeho oblasti je najprv rozdeliť celý mnohouholník na trojuholníky, vypočítať plochu každého z nich pomocou vzorca: 1/2a * h (kde a je základňa trojuholníka, h je výška znížená na tento základ), spočítajte všetky výsledky.

Bočná plocha pyramídy

Teraz vypočítajme plochu bočného povrchu pyramídy, t.j. súčet plôch všetkých jeho strán. Tu sú tiež 2 možnosti.

1. Majme ľubovoľnú pyramídu, t.j. taký, ktorého základňa je nepravidelný mnohouholník. Potom by ste mali samostatne vypočítať oblasť každej tváre a pridať výsledky. Keďže strany pyramídy môžu byť podľa definície iba trojuholníky, výpočet je založený na vzorci uvedenom vyššie: S=1/2a*h.
2. Nech je naša pyramída správna, t.j. na jeho základni leží pravidelný mnohouholník a priemet vrcholu pyramídy je v jeho strede. Potom na výpočet plochy bočného povrchu (Sb) stačí nájsť polovicu súčinu obvodu základného polygónu (P) a výšky (h) strany (rovnakú pre všetky plochy) : Sb \u003d 1/2 P * h. Obvod mnohouholníka sa určí sčítaním dĺžok všetkých jeho strán.

Celková plocha pravidelnej pyramídy sa zistí súčtom plochy jej základne s plochou celého bočného povrchu.

Príklady

Napríklad vypočítajme algebraicky povrchy niekoľkých pyramíd.

Povrchová plocha trojuholníkovej pyramídy

Na základni takejto pyramídy je trojuholník. Podľa vzorca So \u003d 1 / 2a * h nájdeme plochu základne. Rovnaký vzorec použijeme na nájdenie plochy každej strany pyramídy, ktorá má tiež trojuholníkový tvar, a získame 3 oblasti: S1, S2 a S3. Plocha bočného povrchu pyramídy je súčtom všetkých oblastí: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Pridaním plôch strán a základne dostaneme celkovú plochu požadovanej pyramídy: Sp \u003d So + Sb.

Povrchová plocha štvorhrannej pyramídy

Bočný povrch je súčtom 4 výrazov: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, z ktorých každý sa vypočíta pomocou vzorca pre oblasť trojuholníka. A oblasť základne bude potrebné hľadať v závislosti od tvaru štvoruholníka - správneho alebo nepravidelného. Celková plocha pyramídy sa opäť získa sčítaním základnej plochy a celkovej plochy danej pyramídy.