Späť dopredu
Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.
Účel lekcie:
- vzdelávacie- predstaviť pojem lichobežník, zoznámiť sa s typmi lichobežníkov, študovať vlastnosti lichobežníka, naučiť žiakov aplikovať svoje poznatky v procese riešenia úloh;
- rozvíjanie- rozvoj komunikačných kvalít študentov, rozvoj schopnosti vykonávať experiment, zovšeobecňovať, vyvodzovať závery, rozvíjať záujem o predmet.
- vzdelávacie- vychovávať pozornosť, vytvárať situáciu úspechu, radosti z prekonávania ťažkostí vlastnými silami, rozvíjať u žiakov potrebu sebavyjadrenia rôzne druhy Tvorba.
Formy práce: frontálna, parná miestnosť, skupina.
Forma organizácie detských aktivít: schopnosť počúvať, budovať diskusiu, vyjadriť myšlienku, otázku, dodatok.
Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, plátno. Na študentských stoloch: rezací materiál na výrobu lichobežníka pre každého študenta na stole; karty úloh (výtlačky nákresov a úloh zo súhrnu lekcií).
POČAS VYUČOVANIA
I. Organizačný moment
Pozdrav, kontrola pripravenosti pracoviska na vyučovaciu hodinu.
II. Aktualizácia znalostí
- rozvoj schopností klasifikovať predmety;
- zvýraznenie hlavných a vedľajších znakov v klasifikácii.
Uvažuje sa o obrázku č.
Nasleduje diskusia o výkrese.
Z čoho je vyrobený tento geometrický útvar? Chlapci našli odpoveď na obrázkoch: [z obdĺžnika a trojuholníkov].
Aké by mali byť trojuholníky, ktoré tvoria lichobežník?
Všetky názory sú vypočuté a prediskutované, je vybraná jedna možnosť: [trojuholníky musia byť pravouhlé].
Ako sa tvoria trojuholníky a obdĺžniky? [Takže protiľahlé strany obdĺžnika sa zhodujú s nohami každého z trojuholníkov].
Čo viete o opačných stranách obdĺžnika? [Sú paralelné].
- Takže v tomto štvoruholníku budú rovnobežné strany? [Áno].
- Koľkí tam sú? [Dva].
Po diskusii učiteľ predvedie „kráľovnú hodiny“ – lichobežník.
III. Vysvetlenie nového materiálu
1. Definícia lichobežníka, prvky lichobežníka
- naučiť žiakov definovať lichobežník;
- pomenovať jeho prvky;
- rozvoj asociatívnej pamäte.
- Teraz skúste poskytnúť úplnú definíciu lichobežníka. Každý žiak sa zamyslí nad odpoveďou na otázku. Vo dvojiciach si vymieňajú názory, pripravujú si jedinú odpoveď na otázku. Ústnu odpoveď dáva jeden žiak z 2-3 dvojíc.
[Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné].
Ako sa nazývajú strany lichobežníka? [Paralelné strany sa nazývajú základne lichobežníka a ďalšie dve sa nazývajú strany].
Učiteľ ponúka zložiť lichobežník z vystrihnutých figúrok. Žiaci pracujú vo dvojiciach a skladajú kúsky. No ak sú dvojice študentov rôznej úrovne, tak jeden zo študentov je konzultant a pomáha kamarátovi v prípade ťažkostí.
- Postavte si do zošitov lichobežník, zapíšte si názvy strán lichobežníka. Opýtajte sa svojho suseda na otázky týkajúce sa kresby, počúvajte jeho odpovede, nahláste svoje odpovede.
Odkaz na históriu
"lichobežník"- grécke slovo, ktoré v staroveku znamenalo „stôl“ (v gréčtine „trapedzion“ znamená stôl, jedálenský stôl. Geometrický útvar bol tak pomenovaný podľa podobnosti s malým stolíkom.
V „Počiatkoch“ (grécky Στοιχεῖα, latinsky Elementa) je hlavné dielo Euklida, napísané okolo roku 300 pred Kristom. e. a venovaný systematickej konštrukcii geometrie) výraz „lichobežník“ sa nepoužíva v modernom, ale v inom zmysle: akýkoľvek štvoruholník (nie rovnobežník). "Trapezium" v našom zmysle sa prvýkrát nachádza u starogréckeho matematika Posidonia (IV.). V stredoveku sa podľa Euklida každý štvoruholník (nie rovnobežník) nazýval lichobežník; len v XVIII storočí. slovo nadobúda moderný význam.
Konštrukcia lichobežníka podľa jeho daných prvkov. Chlapci plnia úlohy na karte číslo 1.
Študenti musia navrhnúť lichobežníky z najviac rôzne lokality a obrysy. V kroku 1 musíte postaviť obdĺžnikový lichobežník. V odseku 2 je možné postaviť rovnoramenný lichobežník. V odseku 3 bude lichobežník „ležať na boku“. V odseku 4 je na obrázku znázornená konštrukcia takého lichobežníka, v ktorom je jedna zo základní neobvykle malá.
Žiaci „prekvapujú“ učiteľa rôznymi obrazcami, nesúcimi jeden spoločný názov – lichobežník. Učiteľ demonštruje možné možnosti konštrukcia lichobežníkov.
Úloha 1. Budú dva lichobežníky rovnaké, ak jedna zo základn a dve strany sú rovnaké?
Diskutujte o riešení úlohy v skupinách, dokážte správnosť úvahy.
Jeden žiak zo skupiny kreslí na tabuľu, vysvetľuje priebeh uvažovania.
2. Typy lichobežníka
- rozvoj motorickej pamäte, schopnosť rozbiť lichobežník na známe postavy potrebné na riešenie problémov;
- rozvoj schopností zovšeobecňovať, porovnávať, definovať analógiou, predkladať hypotézy.
Zvážte obrázok:
- Aký je rozdiel medzi lichobežníkom znázorneným na obrázku?
Chlapci si všimli, že typ lichobežníka závisí od typu trojuholníka umiestneného vľavo.
- Dopln vetu:
Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, ak...
Lichobežník sa nazýva rovnoramenný, ak...
3. Vlastnosti lichobežníka. Vlastnosti rovnoramenný lichobežník.
- formulovať, analogicky s rovnoramenným trojuholníkom, hypotézu o vlastnosti rovnoramenného lichobežníka;
- rozvoj analytických schopností (porovnávať, predpokladať, dokázať, zostaviť).
- Úsečka spájajúca stredy uhlopriečok sa rovná polovičnému rozdielu báz.
- Rovnoramenný lichobežník má rovnaké uhly pre akúkoľvek základňu.
- Rovnoramenný lichobežník má rovnaké uhlopriečky.
- V rovnoramennom lichobežníku výška znížená zhora k väčšej základni ho rozdeľuje na dva segmenty, z ktorých jeden sa rovná polovici súčtu základov, druhý je polovičným rozdielom základov.
Úloha 2. Dokážte, že v rovnoramennom lichobežníku: a) sú uhly na každej základni rovnaké; b) uhlopriečky sú rovnaké. Aby sme dokázali tieto vlastnosti rovnoramenného lichobežníka, pripomíname si znaky rovnosti trojuholníkov. Žiaci plnia úlohu v skupinách, diskutujú, zapisujú si riešenie do zošita.
Jeden študent z každej skupiny robí dôkaz pri tabuli.
4. Cvičenie pozornosti
5. Príklady použitia lichobežníkových foriem v každodennom živote:
- v interiéroch (sedačky, steny, zavesené podhľady);
- v dizajn krajiny(hranice trávnika, umelé nádrže, kamene);
- v módnom priemysle (oblečenie, obuv, doplnky);
- v dizajne predmetov každodennej potreby (lampy, riad, použitie lichobežníkových tvarov);
- v architektúre.
Praktická práca(podľa možností).
– V jednom súradnicovom systéme zostrojte pomocou daných troch vrcholov rovnoramenné lichobežníky.
Možnosť 1: (0; 1), (0; 6), (- 4; 2), (...; ...) a (- 6; - 5), (4; - 5), (- 4 ; - 3), (…;…).
Možnosť 2: (- 1; 0), (4; 0), (6; 5), (...; ...) a (1; - 2), (4; - 3), (4; - 7), ( …; …).
– Určte súradnice štvrtého vrcholu.
Rozhodnutie kontroluje a komentuje celá trieda. Žiaci označia súradnice štvrtého nájdeného bodu a verbálne sa pokúsia vysvetliť, prečo dané podmienky určujú iba jeden bod.
Zaujímavá úloha. Zložte lichobežník z: a) štyroch pravouhlých trojuholníkov; b) z troch pravouhlých trojuholníkov; c) dva pravouhlé trojuholníky.
IV. Domáca úloha
- výchova k správnej sebaúcte;
- vytvorenie situácie „úspechu“ pre každého študenta.
položka 44, poznať definíciu, prvky lichobežníka, jeho druhy, poznať vlastnosti lichobežníka, vedieť ich dokázať, č. 388, č. 390.
v. Zhrnutie lekcie. Na konci hodiny dostanú deti profil,čo vám umožňuje vykonávať sebaanalýzu, poskytovať kvalitatívne a kvantitatívne hodnotenie lekcie .
- (grécky lichobežník). 1) v geometrii štvoruholníka, v ktorom sú dve strany rovnobežné, ale dve nie sú. 2) postava prispôsobená na gymnastické cvičenia. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. TRAPÉZIA ... ... Slovník cudzích slov ruského jazyka
Hrazda- Hrazda. TRAPEZIA (z gréckeho lichobežníka, doslova stôl), konvexný štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné (základy lichobežníka). Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu základov ( stredná čiara) do výšky. … Ilustrovaný encyklopedický slovník
Štvoruholník, projektil, brvno Slovník ruských synoným. lichobežník n., počet synoným: 3 brvno (21) ... Slovník synonym
- (z gréckeho lichobežníka, doslova stôl), konvexný štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné (základy lichobežníka). Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu základní (stredná čiara) a výšky ... Moderná encyklopédia
- (z gréc. lichobežníkové písmená. stôl), štvoruholník, v ktorom dve protiľahlé strany, nazývané základne lichobežníka, sú rovnobežné (na obrázku AD a BC), zatiaľ čo ostatné dve nie sú rovnobežné. Vzdialenosť medzi základňami sa nazýva výška lichobežníka (pri ... ... Veľký encyklopedický slovník
TRAPÉZIA Štvorhranná plochá postava, v ktorej sú dve protiľahlé strany rovnobežné. Plocha lichobežníka je polovica súčtu rovnobežných strán vynásobených dĺžkou kolmice medzi nimi... Vedecko-technický encyklopedický slovník
TRAPEZIA (trapézia), trapezoid, ženský. (z gréckeho lichobežníkového stola). 1. Štvoruholník s dvoma rovnobežnými a dvoma nerovnobežnými stranami (mat.). 2. Gymnastický prístroj pozostávajúci z hrazdy zavesenej na dvoch lanách (šport.). Akrobatické…… Slovník Ušakov
TRAPEZIA, a, manželky. 1. Štvoruholník s dvoma rovnobežnými a dvoma nerovnobežnými stranami. Základy lichobežníka (jeho rovnobežné strany). 2. Cirkusový alebo gymnastický projektil, brvno zavesené na dvoch lankách. Vysvetľujúci slovník Ozhegov. S… Vysvetľujúci slovník Ozhegov
Žena, geom. štvoruholník s nerovnakými stranami, z ktorých dva sú postenické (rovnobežné). Lichobežník je podobný štvoruholník, v ktorom sú všetky strany od seba. Lichosten, teleso prerezané lichobežníkmi. Dahlov vysvetľujúci slovník. IN AND. Dal. 1863 1866 ... Dahlov vysvetľujúci slovník
- (hrazda), USA, 1956, 105 min. Melodráma. Ašpirujúci akrobat Tino Orsini vstupuje do cirkusového súboru, kde pôsobí Mike Ribble, v minulosti slávny hrazda. Raz Mike vystupoval s Tinovým otcom. Mladý Orsini chce Mikea...... Encyklopédia kina
Štvoruholník s dvoma rovnobežnými stranami a dvoma ďalšími stranami, ktoré nie sú rovnobežné. Vzdialenosť medzi rovnobežnými stranami. výška T. Ak rovnobežné strany a výška obsahujú a, b a h metrov, potom plocha T. obsahuje metrov štvorcových … Encyklopédia Brockhausa a Efrona
Mnohouholník je časť roviny ohraničená uzavretou prerušovanou čiarou. Rohy mnohouholníka sú označené bodmi vrcholov lomenej čiary. Rohové vrcholy mnohouholníka a vrcholy mnohouholníka sú zhodné body.
Definícia. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné.
Vlastnosti rovnobežníka
1. Opačné strany sú si rovné.
Na obr. jedenásť AB = CD; pred Kr = AD.
2. Opačné uhly sú rovnaké (dva ostré a dva tupé uhly).
Na obr. 11∠ A = ∠C; ∠B = ∠D.
3 Diagonály (úsečky spájajúce dva protiľahlé vrcholy) sa pretínajú a priesečník je rozdelený na polovicu.
Na obr. 11 segmentov AO = OC; BO = OD.
Definícia. Lichobežník je štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany rovnobežné a ostatné dve nie sú.
Paralelné strany zavolal jej dôvodov a ďalšie dve strany strany.
Druhy lichobežníka
1. Hrazda ktorého strany nie sú rovnaké,
volal všestranný(obr. 12).
2. Lichobežník, ktorého strany sú rovnaké, sa nazýva rovnoramenné(obr. 13).
3. Lichobežník, ktorého jedna strana zviera so základňami pravý uhol, sa nazýva pravouhlý(obr. 14).
Segment spájajúci stredy strán lichobežníka (obr. 15) sa nazýva stredová čiara lichobežníka ( MN). Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu.
Lichobežník môžeme nazvať zrezaným trojuholníkom (obr. 17), preto sú názvy lichobežníkov podobné ako názvy trojuholníkov (trojuholníky sú mnohostranné, rovnoramenné, pravouhlé).
Plocha rovnobežníka a lichobežníka
Pravidlo. Plocha rovnobežníka sa rovná súčinu jeho strany o výšku nakreslenú na túto stranu.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.
Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zbierať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
V tomto článku sa pokúsime čo najúplnejšie odrážať vlastnosti lichobežníka. Najmä budeme hovoriť o spoločné znaky a vlastnostiach lichobežníka, ako aj o vlastnostiach vpísaného lichobežníka a o kružnici vpísanej do lichobežníka. Dotkneme sa aj vlastností rovnoramenného a pravouhlého lichobežníka.
Príklad riešenia problému pomocou uvažovaných vlastností vám pomôže utriediť si veci v hlave a lepšie si zapamätať materiál.
Hrazda a všetko-všetko
Na začiatok si stručne pripomeňme, čo je lichobežník a aké ďalšie pojmy sú s ním spojené.
Lichobežník je teda štvoruholníkový obrazec, ktorého dve strany sú navzájom rovnobežné (toto sú základne). A dve nie sú rovnobežné - to sú strany.
V lichobežníku možno výšku vynechať - kolmo na základne. Stredná čiara a diagonály sú nakreslené. A tiež z akéhokoľvek uhla lichobežníka je možné nakresliť os.
Teraz budeme hovoriť o rôznych vlastnostiach spojených so všetkými týmito prvkami a ich kombináciami.
Vlastnosti uhlopriečok lichobežníka
Aby to bolo jasnejšie, pri čítaní si načrtnite ACME lichobežník na papier a nakreslite doň uhlopriečky.
- Ak nájdete stredy každej z uhlopriečok (nazvime ich X a T) a spojíte ich, získate segment. Jednou z vlastností uhlopriečok lichobežníka je, že segment XT leží na stredovej čiare. A jeho dĺžku možno získať vydelením rozdielu základov dvoma: XT \u003d (a - b) / 2.
- Pred nami je rovnaký lichobežník ACME. Uhlopriečky sa pretínajú v bode O. Uvažujme trojuholníky AOE a IOC tvorené segmentmi uhlopriečok spolu so základňami lichobežníka. Tieto trojuholníky sú podobné. Koeficient podobnosti k trojuholníkov je vyjadrený pomerom základov lichobežníka: k = AE/KM.
Pomer plôch trojuholníkov AOE a IOC popisuje koeficient k 2 . - Všetky rovnaké lichobežníky, rovnaké uhlopriečky pretínajúce sa v bode O. Tentoraz budeme uvažovať o trojuholníkoch, ktoré segmenty uhlopriečok tvorili spolu so stranami lichobežníka. Plochy trojuholníkov AKO a EMO sú rovnaké - ich plochy sú rovnaké.
- Ďalšou vlastnosťou lichobežníka je konštrukcia uhlopriečok. Ak teda budeme pokračovať po stranách AK a ME v smere menšej základne, tak sa skôr či neskôr do nejakého bodu pretnú. Ďalej nakreslite priamku cez stredy základne lichobežníka. Pretína základne v bodoch X a T.
Ak teraz predĺžime priamku XT, potom spojí priesečník uhlopriečok lichobežníka O, bod, v ktorom sa pretínajú predĺženia strán a stredy základní X a T. - Cez priesečník uhlopriečok nakreslíme segment, ktorý bude spájať základne lichobežníka (T leží na menšej základni KM, X - na väčšom AE). Priesečník uhlopriečok rozdeľuje tento segment v nasledujúcom pomere: TO/OH = KM/AE.
- A teraz cez priesečník uhlopriečok nakreslíme segment rovnobežný so základňami lichobežníka (a a b). Priesečník ho rozdelí na dve rovnaké časti. Dĺžku segmentu môžete nájsť pomocou vzorca 2ab/(a + b).
Vlastnosti stredovej čiary lichobežníka
Nakreslite strednú čiaru v lichobežníku rovnobežne s jeho základňami.
- Dĺžku stredovej čiary lichobežníka možno vypočítať sčítaním dĺžok základne a ich rozdelením na polovicu: m = (a + b)/2.
- Ak nakreslíte ľubovoľný segment (napríklad výšku) cez obe základne lichobežníka, stredná čiara ho rozdelí na dve rovnaké časti.
Vlastnosť osi lichobežníka
Vyberte ľubovoľný uhol lichobežníka a nakreslite os. Vezmite si napríklad uhol KAE nášho lichobežníka ACME. Po dokončení konštrukcie na vlastnú päsť môžete ľahko vidieť, že os odrezáva od základne (alebo jej pokračovania na priamke mimo samotnej postavy) segment rovnakej dĺžky ako strana.
Vlastnosti lichobežníkového uhla
- Ktorýkoľvek z dvoch párov uhlov susediacich so stranou si vyberiete, súčet uhlov v páre je vždy 180 0: α + β = 180 0 a γ + δ = 180 0 .
- Spojte stredy základov lichobežníka so segmentom TX. Teraz sa pozrime na uhly na základniach lichobežníka. Ak je súčet uhlov pre ktorýkoľvek z nich 90 0, dĺžka segmentu TX sa dá ľahko vypočítať na základe rozdielu v dĺžkach základní, rozdelených na polovicu: TX \u003d (AE - KM) / 2.
- Ak sú cez strany uhla lichobežníka nakreslené rovnobežné čiary, rozdelia strany uhla na proporcionálne segmenty.
Vlastnosti rovnoramenného (rovnoramenného) lichobežníka
- V rovnoramennom lichobežníku sú uhly na ktorejkoľvek základni rovnaké.
- Teraz znova postavte lichobežník, aby ste si ľahšie predstavili, o čo ide. Pozorne sa pozrite na základňu AE - vrchol opačnej základne M sa premieta do určitého bodu na priamke, ktorá obsahuje AE. Vzdialenosť od vrcholu A k bodu premietania vrcholu M a stredová čiara rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.
- Niekoľko slov o vlastnosti uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka - ich dĺžky sú rovnaké. A tiež uhly sklonu týchto uhlopriečok k základni lichobežníka sú rovnaké.
- Kruh je možné opísať iba v blízkosti rovnoramenného lichobežníka, pretože súčet opačných uhlov štvoruholníka je 180 0 - požadovaný stav pre to.
- Vlastnosť rovnoramenného lichobežníka vyplýva z predchádzajúceho odseku – ak sa dá v blízkosti lichobežníka opísať kružnica, ide o rovnoramenný.
- Z vlastností rovnoramenného lichobežníka vyplýva vlastnosť výšky lichobežníka: ak sa jeho uhlopriečky pretínajú v pravom uhle, potom sa dĺžka výšky rovná polovici súčtu základní: h = (a + b)/2.
- Nakreslite čiaru TX znova cez stredy základov lichobežníka - v rovnoramennom lichobežníku je kolmá na základne. A zároveň je TX osou symetrie rovnoramenného lichobežníka.
- Tentoraz nižšie k väčšej základni (nazvime to a) na výšku od protiľahlého vrcholu lichobežníka. Dostanete dva rezy. Dĺžku jedného možno nájsť, ak sa dĺžky základne spočítajú a rozdelia na polovicu: (a+b)/2. Druhý dostaneme, keď odčítame menší od väčšieho základu a výsledný rozdiel vydelíme dvoma: (a – b)/2.
Vlastnosti lichobežníka vpísaného do kruhu
Keďže už hovoríme o lichobežníku vpísanom do kruhu, poďme sa venovať tejto problematike podrobnejšie. Najmä, kde je stred kruhu vo vzťahu k lichobežníku. Aj tu sa odporúča, aby ste neboli príliš leniví na to, aby ste zobrali ceruzku a nakreslili to, o čom sa bude diskutovať nižšie. Takže rýchlejšie pochopíte a lepšie si zapamätáte.
- Umiestnenie stredu kruhu je určené uhlom sklonu uhlopriečky lichobežníka k jeho strane. Napríklad uhlopriečka môže vychádzať z vrcholu lichobežníka v pravom uhle na stranu. V tomto prípade väčšia základňa pretína stred opísanej kružnice presne v strede (R = ½AE).
- Uhlopriečka a strana sa môžu stretnúť pod ostrý uhol- potom je stred kruhu vo vnútri lichobežníka.
- Stred opísanej kružnice môže byť mimo lichobežníka, za jeho veľkou základňou, ak je medzi uhlopriečkou lichobežníka a bočnou stranou tupý uhol.
- Uhol tvorený uhlopriečkou a veľkou základňou lichobežníka ACME (vpísaný uhol) je polovicou stredového uhla, ktorý mu zodpovedá: MAE = ½ MY.
- Stručne o dvoch spôsoboch, ako zistiť polomer kružnice opísanej. Prvý spôsob: pozorne sa pozrite na svoj výkres – čo vidíte? Ľahko si všimnete, že uhlopriečka rozdeľuje lichobežník na dva trojuholníky. Polomer možno zistiť pomerom strany trojuholníka k sínusu opačného uhla, vynásobeným dvoma. Napríklad, R \u003d AE / 2 * sinNAME. Podobne možno vzorec napísať pre ktorúkoľvek zo strán oboch trojuholníkov.
- Metóda dva: nájdeme polomer opísanej kružnice cez oblasť trojuholníka tvoreného uhlopriečkou, stranou a základňou lichobežníka: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.
Vlastnosti lichobežníka opísaného okolo kruhu
Kruh môžete vpísať do lichobežníka, ak je splnená jedna podmienka. Viac o tom nižšie. A dokopy má táto kombinácia figúrok množstvo zaujímavých vlastností.
- Ak je kruh vpísaný do lichobežníka, dĺžku jeho stredovej čiary možno ľahko zistiť sčítaním dĺžok strán a vydelením výsledného súčtu na polovicu: m = (c + d)/2.
- Pre lichobežník ACME opísaný okolo kruhu sa súčet dĺžok základní rovná súčtu dĺžok strán: AK + ME = KM + AE.
- Z tejto vlastnosti základov lichobežníka vyplýva opačné tvrdenie: do tohto lichobežníka možno vpísať kruh, ktorého súčet základov sa rovná súčtu strán.
- Dotykový bod kružnice s polomerom r vpísaným do lichobežníka rozdeľuje bočnú stranu na dva segmenty, nazvime ich a a b. Polomer kruhu možno vypočítať pomocou vzorca: r = √ab.
- A ešte jedna nehnuteľnosť. Aby ste neboli zmätení, nakreslite tento príklad sami. Máme starý dobrý lichobežník ACME opísaný okolo kruhu. Sú v ňom nakreslené uhlopriečky, pretínajúce sa v bode O. Trojuholníky AOK a EOM tvorené segmentmi uhlopriečok a strán sú pravouhlé.
Výšky týchto trojuholníkov, znížených na prepony (t. j. strany lichobežníka), sa zhodujú s polomermi vpísanej kružnice. A výška lichobežníka je rovnaká ako priemer vpísanej kružnice.
Vlastnosti pravouhlého lichobežníka
Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, ktorého jeden z rohov je pravý. A z tejto okolnosti pramenia aj jeho vlastnosti.
- Obdĺžnikový lichobežník má jednu zo strán kolmú na základne.
- Výška a strana lichobežníka susediaceho s pravý uhol, sú si rovné. To vám umožní vypočítať plochu pravouhlého lichobežníka (všeobecný vzorec S = (a + b) * h/2) nielen cez výšku, ale aj cez stranu susediacu s pravým uhlom.
- Pre pravouhlý lichobežník sú dôležité všeobecné vlastnosti lichobežníkových uhlopriečok, ktoré už boli opísané vyššie.
Dôkazy niektorých vlastností lichobežníka
Rovnosť uhlov na základni rovnoramenného lichobežníka:
- Pravdepodobne ste už uhádli, že tu opäť potrebujeme lichobežník ACME - nakreslite rovnoramenný lichobežník. Nakreslite čiaru MT z vrcholu M rovnobežnú so stranou AK (MT || AK).
Výsledný štvoruholník AKMT je rovnobežník (AK || MT, KM || AT). Pretože ME = KA = MT, ∆ MTE je rovnoramenné a MET = MTE.
AK || MT, teda MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Kde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
Q.E.D.
Teraz to dokážeme na základe vlastnosti rovnoramenného lichobežníka (rovnosť uhlopriečok). lichobežník ACME je rovnoramenný:
- Na začiatok nakreslíme priamku МХ – МХ || KE. Dostaneme rovnobežník KMHE (základ - MX || KE a KM || EX).
∆AMH je rovnoramenný, pretože AM = KE = MX a MAX = MEA.
MX || KE, KEA = MXE, teda MAE = MXE.
Ukázalo sa, že trojuholníky AKE a EMA sú si navzájom rovné, pretože AM \u003d KE a AE je spoločná strana týchto dvoch trojuholníkov. A tiež MAE \u003d MXE. Môžeme dospieť k záveru, že AK = ME, a z toho vyplýva, že lichobežník AKME je rovnoramenný.
Úloha na zopakovanie
Základy lichobežníka ACME sú 9 cm a 21 cm, strana KA, rovná 8 cm, zviera uhol 150 0 s menšou základňou. Musíte nájsť oblasť lichobežníka.
Riešenie: Z vrcholu K znížime výšku k väčšej základni lichobežníka. A začnime sa pozerať na uhly lichobežníka.
Uhly AEM a KAN sú jednostranné. To znamená, že ich je spolu 1800. Preto KAN = 30 0 (na základe vlastnosti uhlov lichobežníka).
Uvažujme teraz o obdĺžnikovom ∆ANK (myslím, že tento bod je čitateľom zrejmý bez ďalšieho dôkazu). Z nej zistíme výšku lichobežníka KH - v trojuholníku je to noha, ktorá leží oproti uhlu 30 0. Preto KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.
Oblasť lichobežníka sa nachádza podľa vzorca: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.
Doslov
Ak ste si pozorne a premyslene preštudovali tento článok, neboli príliš leniví na to, aby ste ceruzkou v rukách nakreslili lichobežníky pre všetky vyššie uvedené vlastnosti a analyzovali ich v praxi, mali by ste mať materiál dobre zvládnutý.
Samozrejme, je tu množstvo informácií, pestrých a niekedy aj mätúcich: zameniť vlastnosti opísaného lichobežníka s vlastnosťami vpísaného nie je také ťažké. Sami ste však videli, že rozdiel je obrovský.
Teraz máte podrobné zhrnutie všetkých všeobecných vlastností lichobežníka. Rovnako ako špecifické vlastnosti a znaky rovnoramenných a pravouhlých lichobežníkov. Je veľmi výhodné použiť na prípravu na testy a skúšky. Vyskúšajte to sami a zdieľajte odkaz so svojimi priateľmi!
blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.
