Kosoštvorec je pravidelný mnohouholník. pravidelný mnohouholník

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zbierať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám mohli posielať dôležité oznámenia a oznámenia.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Definícia pravidelný mnohouholník môže závisieť od definície mnohouholníka: ak je definovaný ako plochá uzavretá krivka, potom sa definícia objaví pravidelný hviezdny mnohouholník ako nekonvexné mnohouholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú rovnaké.

Vlastnosti

Súradnice

Nechať byť x C (\displaystyle x_(C)) a y C (\displaystyle y_(C)) sú súradnice stredu a R (\displaystyle R)- polomer kruhu, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0))- uhlová súradnica prvého vrcholu, potom sú karteziánske súradnice vrcholov pravidelného n-uholníka určené vzorcami:

kde i = 0 … n ​​​​− 1 (\displaystyle i=0\bodky n-1)

Rozmery

Nechať byť R (\displaystyle R)- polomer kružnice opísanej okolo pravidelného mnohouholníka, potom sa polomer kružnice vpísanej rovná

a dĺžka strany mnohouholníka je

Námestie

N (\displaystyle n) a dĺžka strany a (\displaystyle a) je:

Plocha pravidelného mnohouholníka s počtom strán n (\displaystyle n), vpísaný do kruhu s polomerom R (\displaystyle R), je:

Plocha pravidelného mnohouholníka s počtom strán n (\displaystyle n) opísaný okolo kruhu s polomerom r (\displaystyle r), je:

Plocha pravidelného mnohouholníka s počtom strán n (\displaystyle n) rovná sa

kde r (\displaystyle r)- vzdialenosť od stredu strany k stredu, a (\displaystyle a)- dĺžka strany.

Plocha pravidelného mnohouholníka z hľadiska obvodu ( P (\displaystyle P)) a polomer vpísanej kružnice ( r (\displaystyle r)) je:

Obvod

Ak potrebujete vypočítať dĺžku strany pravidelného n-uholníka vpísaného do kruhu, ak poznáte obvod kruhu L (\displaystyle L) môžete vypočítať dĺžku jednej strany mnohouholníka:

Obvod P n (\displaystyle P_(n)) rovná sa

kde n (\displaystyle n) je počet strán mnohouholníka.

Aplikácia

Pravidelné mnohouholníky sú podľa definície plochy pravidelných mnohostenov.

Starovekí grécki matematici (Antifón, Bryson z Herakla, Archimedes atď.) používali na výpočet čísla pravidelné mnohouholníky. Vypočítali plochy mnohouholníkov vpísaných do kruhu a popísané okolo neho, postupne zvyšovali počet ich strán a tak získali odhad plochy kruhu.

Príbeh

Konštrukcia pravidelného mnohouholníka s n strany zostali problémom pre matematikov až do 19. storočia. Takáto konštrukcia je totožná s rozdelením kruhu na n rovnaké časti, pretože spojením bodov rozdeľujúcich kruh na časti môžete získať požadovaný mnohouholník.

Odvtedy sa problém považuje za úplne vyriešený.

Mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany a všetky uhly rovnaké. Medzi trojuholníkmi, rovnostranný trojuholník a len to bude správne. Štvorec (a iba štvorec) je pravidelný štvoruholník. Ukážme, že existujú pravidelné mnohouholníky s ľubovoľným počtom strán, kde . Aby sme to dosiahli, uvádzame dve metódy konštrukcie takýchto polygónov.

Metóda 1. Vezmite ľubovoľný kruh a rozdeľte ho na rovnaké časti. Takáto konštrukcia nie je v žiadnom prípade realizovateľná pomocou kružidla a pravítka, ale tu budeme predpokladať, že takáto konštrukcia bola vykonaná. Body delenia v ich sekvenčnej polohe na kružnici berieme ako vrcholy -uholníka vpísaného do tejto kružnice. Dokážme, že zostrojený -gon je pravidelný. Strany nášho mnohouholníka (obr. 312) sú skutočne tetivy odčítané rovnakými oblúkmi, a preto sú si navzájom rovné.

Všetky uhly sú založené na rovnakých oblúkoch, a preto sú tiež rovnaké. Polygón je teda správny.

Metóda 2. Opäť rozdeľte kruh na rovnaké časti a nakreslite dotyčnice kruhu v bodoch delenia; každú z dotyčníc obmedzíme bodmi jej priesečníkov s dotyčnicami nakreslenými v susedných deliacich bodoch. Dostaneme pravidelný mnohouholník opísaný okolo kruhu (obr. 313). V skutočnosti sú všetky jeho uhly rovnaké, pretože každý z nich, podobne ako uhol medzi dotyčnicami, sa meria polovičným rozdielom oblúkov, z ktorých menší sa vždy rovná časti kruhu a väčší je vždy rovná sa celý kruh mínus časť. Rovnosť strán možno vidieť aspoň z rovnosti trojuholníkov tvorených dvojicami poldotyčiek a tetiv (napríklad trojuholníky a pod.). Všetky sú rovnoramenné, majú rovnaké uhly vo vrcholoch a rovnaké základne.

Dva pravidelné -gons s rovnaké číslo strany sú podobné.

Ich strany sú skutočne v stálom vzťahu, ktorý sa rovná pomeru ktoréhokoľvek páru strán. Navyše, podľa vety o súčte uhlov -uholníka má každý pravidelný -uholník rovnaké uhly rovné 1. Podmienky kritéria položky 224 sú splnené a -uholníky sú podobné.

Takže pre každý bežný -gon sú podobné. Z toho okamžite získame niekoľko dôsledkov:

1. Dva pravidelné -gons s rovnaké strany sú si rovní.

2. Kruh môže byť opísaný okolo akéhokoľvek pravidelného -uholníka.

Dôkaz. Vezmite ľubovoľný pravidelný mnohouholník s rovnakým počtom strán, ako má daný, zostrojený podľa prvej metódy, t. j. vpísaný do kruhu. Pretvorme ho podobne, aby sa zrovnal s daným. Potom sa okolo neho opísaná kružnica podobne premení na kružnicu opísanú okolo daného mnohouholníka.

3. Kruh môže byť vpísaný do každého pravidelného mnohouholníka.

Dôkaz je podobný. Je však užitočné uskutočniť úvahy trochu inak. Už vieme, že kruh možno opísať okolo daného mnohouholníka. Zoberme si jeho stred. Strany mnohouholníka slúžia ako jeho tetivy; keďže sú si navzájom rovné, musia byť rovnako vzdialené od stredu. Preto kruh s rovnakým stredom a polomerom, rovná vzdialenosti od stredu k stranám mnohouholníka, sa bude dotýkať všetkých strán mnohouholníka, t.j. bude to vpísaný kruh.

Takže vpísané a opísané kružnice pravidelného mnohouholníka majú spoločný stred. Nazýva sa stred daného pravidelného mnohouholníka. Polomer kružnice opísanej sa nazýva polomer mnohouholníka, polomer kružnice vpísanej sa nazýva jej apotém. Je jasné, že apotém je vždy menší ako polomer.

Pravidelné mnohouholníky

V učebnici "Geometria 7-11" od A.V.Pogorelova (18) je téma "Pravidelné mnohouholníky" študovaná v § 13 "Polygóny" str.115.

Definícia "pravidelného mnohouholníka" sa uvažuje na začiatku odseku: "Konvexný mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany rovnaké a všetky uhly sú rovnaké." Potom sú uvedené definície "vpísaných" a "opísaných" mnohouholníkov a uvažuje sa veta: "Pravidelný konvexný mnohouholník je vpísaný do kruhu a opísaný okolo kruhu."

V učebnici "Geometria 7-9" od L.S. Atanasyan (4) je téma "Pravidelné mnohouholníky" zohľadnená v odseku 105 § 1 "Pravidelné mnohouholníky" kapitoly 12.

Definícia „pravidelného mnohouholníka“ je uvedená na začiatku odseku:

"Pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky uhly rovnaké a všetky strany sú rovnaké." Potom sa odvodí vzorec na výpočet uhla b n pravidelného n-uholníka:

V učebnici "Geometria 7-9" od I.M. Smirnova, V.A. Smirnova sa "pravidelný mnohouholník" študuje v odseku 6 "Polygóny a mnohouholníky".

Na začiatku odseku sa uvádza definícia „prerušovanej čiary“: „Obrázok tvorený segmentmi umiestnenými tak, že koniec prvého je začiatkom druhého, koniec druhého je začiatkom tretieho, atď., sa nazýva prerušovaná čiara alebo jednoducho prerušovaná čiara.“

Potom sú uvedené definície jednoduchého, uzavretého a mnohouholníka: "Mnohouholníková čiara sa nazýva jednoduchá, ak nemá žiadne body vlastného priesečníka." "Ak sa začiatok prvého segmentu lomenej čiary zhoduje s koncom posledného, ​​lomená čiara sa nazýva uzavretá." "Útvar tvorený jednoduchou uzavretou prerušovanou čiarou a ňou ohraničenou časťou roviny sa nazýva mnohouholník."

Potom sa uvažuje o definícii „pravidelného mnohouholníka“: „Mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany a všetky uhly rovnaké.

Zvážte metodiku štúdia témy "Pravidelné polygóny" na príklade učebnice geometrie A. V. Pogorelova.

Na začiatku odseku sa uvádza definícia „pravidelného mnohouholníka“: „Konvexný mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany rovnaké a všetky uhly sú rovnaké“, potom definície „vpísaných“ a „opísaných“ mnohouholníkov. zavádzajú: „Mnohouholník sa nazýva vpísaný do kruhu, ak všetky jeho vrcholy ležia na nejakej kružnici“; "O mnohouholníku sa hovorí, že je vpísaný okolo kruhu, ak sa všetky jeho strany dotýkajú nejakého kruhu."

Pred štúdiom vety 13.3, aby ste pripravili triedu na dôkaz, môžete študentom položiť otázky na zopakovanie:

Ktorá priamka sa nazýva dotyčnica ku kružnici?

Aký je vzťah medzi čiarou a kružnicou? V triede prebieha diskusia, ktorá pozostáva z dvoch častí: prvá

hovoríme o kružnici opísanej mnohouholníku a potom o kružnici vpísanej do mnohouholníka.

Odpovede študentov sú sprevádzané postupným zobrazením série kresieb.

Ktorý trojuholník sa nazýva vpísaný do kruhu alebo ktorý kruh sa nazýva opísaný v blízkosti trojuholníka (obr. 1)?

Je možné opísať kruh okolo ľubovoľného trojuholníka?

Ako nájsť stred kružnice opísanej trojuholníku? (Obr.2) Aký je polomer? (obr. 3)

Je vždy možné opísať kruh okolo mnohouholníka? (č. Príklad: kosoštvorec, ak to nie je štvorec. Obr.4)

Je možné opísať kruh okolo pravidelného mnohouholníka? (Obr.5)

Je formulovaná prvá časť vety 13.3. Predpokladá sa, že kruh môže byť opísaný okolo pravidelného mnohouholníka. Stojí za zmienku, že táto skutočnosť bude preukázaná neskôr.

Podobne sa pracuje na možnosti vpísať kružnicu do mnohouholníka. Trieda má rovnakých 5 otázok o kruhu vpísanom do mnohouholníka. Zároveň sa analogicky s prvou časťou rozhovoru používa séria kresieb podobných tým predchádzajúcim.

Učiteľ upozorňuje žiakov na možnosť vpísať kružnicu do pravidelného mnohouholníka. Veta 13.3 je sformulovaná a dokázaná: "Pravidelný konvexný mnohouholník je vpísaný do kruhu a opísaný okolo kruhu."

Dôkaz vety sa vykonáva podľa učebnice. Je užitočné zdôrazniť, že stredy vpísaných a opísaných kružníc v pravidelnom mnohouholníku sa zhodujú a daný bod nazývaný stred polygónu.

Po dokázaní vety sú navrhnuté tieto úlohy:

1. Strana pravidelného trojuholníka vpísaného do kruhu sa rovná a. Nájdite stranu štvorca vpísanú do tohto kruhu.

Dané: Kruh (0;R),

DAVS - správne, zapísané,

CMRE - vpísaný štvorec.

DAVS - správne, vpísané: R = KMPE - vpísaný štvorec v kruhu (0; R).

Nech x \u003d KM - strana štvorca

Odpoveď: KM = .

2. Do kruhu s polomerom 4 dm je vpísaný pravidelný trojuholník, na ktorého strane je vybudovaný štvorec. Nájdite polomer kružnice opísanej štvorcu.

Dané: kruh (0;R),

DAVS - správne, zapísané,

Okr. 1 (O;R1),

ABDE - vpísané námestie v Okr. jeden

Nájdite: R 1 .

1. DAVS - správne, zapísané:

ABDE - vpísané námestie v Okr. jeden:

odpoveď: dm.

3. Strana pravidelného mnohouholníka je a a polomer kružnice opísanej je R. Nájdite polomer kružnice vpísanej. Dané: Env.(0;R),

A 1 A 2 ...A n - správne, zapísané,

A 1 A 2 = a , polomer=R,

OS je polomer vpísanej kružnice.

OS 2 = OB 2 - BC 2

Odpoveď: OS=.

4. Strana pravidelného mnohouholníka sa rovná a a polomer vpísanej kružnice je r. Nájdite polomer kružnice opísanej.

Dané: obvod(0;r),

A 1 A 2 ...A n - správne, popísané,

A 1 A 2 \u003d a, polomer \u003d r,

Zakrúžkujte (0;R).

rozhodnutie. OB je polomer kružnice opísanej.

DOSV - obdĺžnikový (ZC = 90°)

OB 2 \u003d OS 2 + SW 2

Odpoveď: R = .

Potom môžu študenti dostať systém úloh:

1. V pravidelnom šesťuholníku A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 je strana 8. Úsečka BC spája stredy strán A 3 A 4 a A 5 A b. Nájdite dĺžku úsečky spájajúcej stred strany A 1 A 2 so stredom úsečky BC.

2. Strana pravidelného šesťuholníka ABCDEF je 32. Nájdite polomer kružnice vpísanej do trojuholníka MRK, ak M, P a K sú stredy strán AB, CD. EF resp.

Vyjadrite stranu b pravidelného opísaného mnohouholníka pomocou polomeru R kružnice a stranu a pravidelného opísaného mnohouholníka s rovnakým počtom strán.

Obvody dvoch pravidelných n-uholníkov sú spojené ako a:b. Ako súvisia polomery ich vpísaných a opísaných kružníc?

Koľko strán má pravidelný mnohouholník, ktorého každý z vnútorných uhlov sa rovná: 1) 135; 2) 150?

Veta 1. Kruh môže byť opísaný okolo akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka.

Nech ABCDEF (obr. 419) je pravidelný mnohouholník; je potrebné dokázať, že okolo neho možno opísať kruh.

Vieme, že vždy je možné nakresliť kružnicu cez tri body, ktoré neležia na tej istej priamke; preto je vždy možné nakresliť kružnicu, ktorá bude prechádzať akýmikoľvek tromi vrcholmi pravidelného mnohouholníka, napríklad cez vrcholy E, D a C. Nech bod O je stredom tejto kružnice.

Dokážme, že tento kruh bude prechádzať aj štvrtým vrcholom mnohouholníka, napríklad cez vrchol B.

Segmenty OE, OD a OS sú si navzájom rovné a každý sa rovná polomeru kruhu. Nakreslíme ďalší segment OB; o tomto segmente sa nedá hneď povedať, že sa rovná aj polomeru kružnice, to treba dokázať. Uvažujme trojuholníky OED a ODC, sú rovnoramenné a rovné, preto ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Ak vnútorný kútik daný mnohouholník je α , potom ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2 ; ale ak ∠4= α / 2, potom ∠5 = α / 2, t.j. ∠4 = ∠5.

Z toho usudzujeme, že (Delta)OSD = (Delta)OSV a teda OB = OS, t.j. segment OB sa rovná polomeru nakreslenej kružnice. Z toho vyplýva, že kružnica bude prechádzať aj vrcholom B pravidelného mnohouholníka.

Rovnakým spôsobom dokážeme, že zostrojená kružnica bude prechádzať všetkými ostatnými vrcholmi mnohouholníka. To znamená, že tento kruh bude opísaný okolo daného pravidelného mnohouholníka. Veta bola dokázaná.

Veta 2. Kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka.

Nech je ABCDEF pravidelný mnohouholník (obr. 420), musíme dokázať, že do neho možno vpísať kružnicu.

Z predchádzajúcej vety je známe, že kružnicu je možné opísať v blízkosti pravidelného mnohouholníka. Nech bod O je stredom tohto kruhu.

Pripojte bod O k vrcholom mnohouholníka. Výsledné trojuholníky OED, ODC atď. sú si navzájom rovné, čo znamená, že aj ich výšky nakreslené z bodu O sú rovnaké, teda OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Preto kružnica opísaná z bodu O ako zo stredu s polomerom rovným úsečke OK bude prechádzať bodmi K, L, M, N, P a Q a výškami trojuholníkov budú polomery kruh. Strany mnohouholníka sú kolmé na polomery v týchto bodoch, takže sa dotýkajú tohto kruhu. A to znamená, že zostrojený kruh je vpísaný do daného pravidelného mnohouholníka.

Rovnaká konštrukcia môže byť vykonaná pre akýkoľvek pravidelný mnohouholník, preto môže byť kruh vpísaný do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka.

Dôsledok. Kruh opísaný okolo pravidelného mnohouholníka a do neho vpísaný má spoločný stred.

Definície.

1. Stred pravidelného mnohouholníka je spoločný stred kružníc opísaných okolo tohto mnohouholníka a vpísaných do neho.

2. Kolmica spustená zo stredu pravidelného mnohouholníka na jeho stranu sa nazýva apotém pravidelného mnohouholníka.

Vyjadrenie strán pravidelných mnohouholníkov v zmysle polomeru kružnice opísanej

Cez goniometrické funkcie stranu ľubovoľného pravidelného mnohouholníka možno vyjadriť pomocou polomeru kružnice, ktorá je mu opísaná.

Nech je AB stranou toho správneho n-gon vpísaný do kruhu s polomerom OA = R (obr.).

Nakreslíme apotém OD pravidelného mnohouholníka a zvážime správny trojuholník AOD. V tomto trojuholníku

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / n= 180° / n

AD = AO sin ∠AOD = R sin 180° / n ;

ale AB = 2AD a teda AB = 2R sin 180° / n .

Správna dĺžka strany n-gon vpísaný do kruhu sa zvyčajne označuje a n, takže výsledný vzorec možno zapísať takto:

a n= 2R sin 180° / n .

Dôsledky:

1. Dĺžka strany pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom R , sa vyjadruje vzorcom a 6 = R, as

a 6 = 2R sin 180° / 6 = 2R sin 30° = 2R 1/2 = R.

2. Dĺžka strany pravidelného štvoruholníka (štvorca) vpísaného do kruhu s polomerom R , sa vyjadruje vzorcom a 4 = R√2 , as

a 4 = 2R sin 180° / 4 = 2R sin 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Dĺžka strany rovnostranného trojuholníka vpísaného do kruhu s polomerom R , sa vyjadruje vzorcom a 3 = R√3 , as.

a 3 = 2R sin 180° / 3 = 2R sin 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Plocha pravidelného mnohouholníka

Nech je uvedený ten správny n-gon (ryža). Je potrebné určiť jeho oblasť. Označte stranu mnohouholníka a a stred cez O. Spojte segmenty stredu s koncami ľubovoľnej strany mnohouholníka, dostaneme trojuholník, do ktorého nakreslíme apotém mnohouholníka.

Oblasť tohto trojuholníka je Ach / 2. Na určenie plochy celého mnohouholníka je potrebné vynásobiť plochu jedného trojuholníka počtom trojuholníkov, t.j. n. Dostaneme: S = Ach / 2 n = ahn / 2 ale an sa rovná obvodu mnohouholníka. Nazvime to R.

Nakoniec dostaneme: S = P h / 2. kde S je plocha pravidelného mnohouholníka, P je jeho obvod, h- apotéma.

Plocha pravidelného mnohouholníka sa rovná polovici súčinu jeho obvodu a apotému.