Dajme dva body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2). Rovnicu priamky zapíšeme v tvare (5), kde k zatiaľ neznámy koeficient:
Od veci M 2 patrí k danej čiare, potom jej súradnice spĺňajú rovnicu (5): 
. Vyjadrením odtiaľto a dosadením do rovnice (5) dostaneme požadovanú rovnicu:
Ak 
Táto rovnica môže byť prepísaná do formy, ktorá je ľahšie zapamätateľná:
(6)
Príklad. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (1.2) a M 2 (-2.3)
rozhodnutie. 
. Použitím vlastnosti proporcie a vykonaním potrebných transformácií získame všeobecnú rovnicu priamky:
Uhol medzi dvoma čiarami
Zvážte dva riadky l 1 a l 2:
l 1: , , a
l 2: , ,
φ je uhol medzi nimi (). Obrázok 4 zobrazuje: .
 |
Odtiaľ 
, alebo
Pomocou vzorca (7) možno určiť jeden z uhlov medzi čiarami. Druhý uhol je .
Príklad. Dve priamky sú dané rovnicami y=2x+3 a y=-3x+2. nájdite uhol medzi týmito čiarami.
rozhodnutie. Z rovníc je zrejmé, že k 1 \u003d 2 a k 2 \u003d-3. dosadením týchto hodnôt do vzorca (7) nájdeme
. Takže uhol medzi týmito čiarami je .
Podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť dvoch priamok
Ak je rovný l 1 a l 2 sú teda paralelné φ=0 a tgφ=0. zo vzorca (7) vyplýva, že , odkiaľ k 2 \u003d k 1. Podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok je teda rovnosť ich sklonov.
Ak je rovný l 1 a l 2 kolmo teda φ=π/2, a2 = π/2+ ai. 
. Podmienkou toho, aby boli dve priame čiary kolmé, je teda to, že ich sklony sú recipročné čo do veľkosti a opačného znamienka.
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C \u003d 0 definovaná ako
Dôkaz. Nech je bod M 1 (x 1, y 1) základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej cez daný bod M 0 je kolmá na danú priamku.
Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj=; j = p/4.
Príklad. Ukážte, že čiary 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.
Nájdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, preto sú čiary kolmé.
Príklad. Uvedené sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu C.
Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4x = 6r - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.
k= . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b \u003d 17. Celkom: .
Odpoveď: 3x + 2 roky - 34 = 0.
Vzdialenosť od bodu k priamke je určená dĺžkou kolmice spadnutej od bodu k priamke.
Ak je priamka rovnobežná s rovinou premietania (h | | P 1), potom na určenie vzdialenosti od bodu ALE do rovnej h je potrebné vypustiť kolmicu z bodu ALE do horizontály h.
Zvážte viac komplexný príklad keď linka zaberá všeobecné postavenie. Nech je potrebné určiť vzdialenosť od bodu M do rovnej a všeobecné postavenie.
Úloha definície vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami riešený podobne ako predchádzajúci. Na jednej priamke sa vezme bod a z nej sa nakreslí kolmica na ďalšiu priamku. Dĺžka kolmice sa rovná vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami.
Krivka druhého rádu je priamka definovaná rovnicou druhého stupňa vzhľadom na aktuálne karteziánske súradnice. Vo všeobecnom prípade Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
kde A, B, C, D, E, F sú reálne čísla a aspoň jedno z čísel A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Kruh
Stred kruhu- to je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialených od bodu roviny C (a, b).
Kruh je daný nasledujúcou rovnicou:
Kde x, y sú súradnice ľubovoľného bodu na kružnici, R je polomer kružnice.
Znak kruhovej rovnice
1. Neexistuje žiadny člen s x, y
2. Koeficienty pri x 2 a y 2 sú rovnaké
Elipsa
Elipsa sa nazýva ťažisko bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností každého z nich od dvoch daných bodov tejto roviny sa nazýva ohniská (konštantná hodnota).
Kanonická rovnica elipsy:
X a y patria do elipsy.
a je hlavná poloos elipsy
b je vedľajšia poloos elipsy
Elipsa má 2 osi symetrie OX a OY. Osami súmernosti elipsy sú jej osi, ich priesečník je stredom elipsy. Os, na ktorej sa nachádzajú ohniská, sa nazýva ohnisková os. Priesečník elipsy s osami je vrcholom elipsy.
Pomer kompresie (natiahnutia): ε = c/a- excentricita (charakterizuje tvar elipsy), čím je menšia, tým je elipsa menej predĺžená pozdĺž ohniskovej osi.
Ak stredy elipsy nie sú v strede С(α, β)
Hyperbola
Hyperbola nazývaný lokus bodov v rovine, absolútna hodnota rozdielu vzdialeností, z ktorých každý z dvoch daných bodov tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota iná ako nula.
Kanonická rovnica hyperboly
Hyperbola má 2 osi symetrie:
a - skutočná poloos symetrie
b - pomyselná poloos symetrie
Asymptoty hyperboly:
Parabola
parabola je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialené od daného bodu F, nazývaného ohnisko, a danej priamky, nazývanej priamka.
Rovnica kanonickej paraboly:
Y 2 \u003d 2px, kde p je vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru (parabola paraboly)
Ak je vrchol paraboly C (α, β), potom rovnica paraboly (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Ak sa ohnisková os berie ako os y, rovnica paraboly bude mať tvar: x 2 \u003d 2qy
Tento článok odhaľuje odvodenie rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme umiestnenom v rovine. Odvodíme rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme. Niekoľko príkladov súvisiacich s preberanou látkou si názorne ukážeme a vyriešime.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pred získaním rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je potrebné venovať pozornosť niektorým skutočnostiam. Existuje axióma, ktorá hovorí, že cez dva nezhodné body v rovine je možné nakresliť priamku a iba jednu. Inými slovami, dva dané body roviny sú určené priamkou prechádzajúcou týmito bodmi.
Ak je rovina daná pravouhlým súradnicovým systémom Oxy, potom akákoľvek priamka v nej zobrazená bude zodpovedať rovnici priamky v rovine. Existuje aj súvislosť so smerovým vektorom priamky.Tieto údaje postačujú na zostavenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.
Zvážte príklad riešenia podobného problému. Je potrebné sformulovať rovnicu priamky a prechádzajúcej cez dva nezhodné body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) nachádzajúce sa v karteziánskom súradnicovom systéme.
V kanonickej rovnici priamky v rovine, ktorá má tvar x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , je pravouhlý súradnicový systém O x y určený priamkou, ktorá sa s ňou pretína v bode so súradnicami M. 1 (x 1, y 1) s vodiacim vektorom a → = (a x , a y) .
Je potrebné zostaviť kanonickú rovnicu priamky a, ktorá bude prechádzať dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) .
Priamka a má smerový vektor M 1 M 2 → so súradnicami (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pretože pretína body M 1 a M 2. Získali sme potrebné údaje na transformáciu kanonickej rovnice so súradnicami smerového vektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) a súradnicami bodov M 1 na nich ležiacich. (x1,y1) a M2(x2,y2). Dostaneme rovnicu v tvare x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Zvážte obrázok nižšie.
Po výpočtoch napíšeme parametrické rovnice priamky v rovine, ktorá prechádza dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) . Dostaneme rovnicu v tvare x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ alebo x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Pozrime sa bližšie na niekoľko príkladov.
Príklad 1
Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej 2 danými bodmi so súradnicami M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .
rozhodnutie
Kanonická rovnica pre priamku pretínajúcu sa v dvoch bodoch so súradnicami x 1 , y 1 a x 2 má y 2 tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Podľa stavu problému máme, že x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Je potrebné nahradiť číselné hodnoty v rovnici x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Odtiaľto dostaneme, že kanonická rovnica bude mať tvar x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Odpoveď: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Ak je potrebné vyriešiť problém s iným typom rovnice, potom môžete na začiatok prejsť na kanonickú, pretože z nej je ľahšie prísť na akúkoľvek inú.
Príklad 2
Zostavte všeobecnú rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami M 1 (1, 1) a M 2 (4, 2) v súradnicovom systéme O x y.
rozhodnutie
Najprv si treba zapísať kanonickú rovnicu danej priamky, ktorá prechádza danými dvoma bodmi. Dostaneme rovnicu v tvare x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Privedieme kanonickú rovnicu do požadovaného tvaru, potom dostaneme:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 r - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
odpoveď: x - 3 y + 2 = 0.
Príklady takýchto úloh sa zvažovali v školských učebniciach na hodinách algebry. Školské úlohy sa líšili v tom, že bola známa rovnica priamky s koeficientom sklonu v tvare y \u003d k x + b. Ak potrebujete nájsť hodnotu sklonu k a číslo b, pri ktorom rovnica y \u003d k x + b definuje čiaru v systéme O x y, ktorá prechádza bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y2), kde x 1 ≠ x 2. Keď x 1 = x 2 , potom sklon nadobudne hodnotu nekonečna a priamka M 1 M 2 je definovaná všeobecnou neúplnou rovnicou tvaru x - x 1 = 0 .
Pretože bodky M 1 a M 2 sú na priamke, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu y 1 = k x 1 + b a y 2 = k x 2 + b. Je potrebné vyriešiť sústavu rovníc y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b vzhľadom na k a b.
Aby sme to dosiahli, nájdeme k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Pri takýchto hodnotách k a b platí rovnica priamky prechádzajúcej cez dané dva body ďalší pohľad y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Zapamätať si také obrovské množstvo vzorcov naraz nebude fungovať. K tomu je potrebné zvýšiť počet opakovaní pri riešení úloh.
Príklad 3
Napíšte rovnicu priamky so sklonom prechádzajúcim bodmi so súradnicami M 2 (2, 1) a y = k x + b.
rozhodnutie
Na vyriešenie problému používame vzorec so sklonom, ktorý má tvar y \u003d k x + b. Koeficienty k a b musia mať takú hodnotu, aby táto rovnica zodpovedala priamke prechádzajúcej cez dva body so súradnicami M 1 (- 7 , - 5) a M 2 (2 , 1) .
bodov M 1 a M 2 umiestnené na priamke, potom by ich súradnice mali prevrátiť rovnicu y = k x + b na správnu rovnosť. Odtiaľ dostaneme, že - 5 = k · (- 7) + b a 1 = k · 2 + b. Spojme rovnicu do sústavy - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b a vyriešime.
Pri striedaní to dostaneme
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Teraz sú hodnoty k = 2 3 a b = - 1 3 dosadené do rovnice y = k x + b. Dostaneme, že želaná rovnica prechádzajúca danými bodmi bude rovnica, ktorá má tvar y = 2 3 x - 1 3 .
Tento spôsob riešenia predurčuje výdavky Vysoké čísločas. Existuje spôsob, ktorým sa úloha rieši doslova v dvoch krokoch.
Napíšeme kanonickú rovnicu priamky prechádzajúcej cez M 2 (2, 1) a M 1 (- 7, - 5) , ktorá má tvar x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Teraz prejdime k rovnici sklonu. Dostaneme, že: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Odpoveď: y = 2 3 x - 1 3 .
Ak v trojrozmernom priestore existuje pravouhlý súradnicový systém O x y z s dvomi danými nezhodnými bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), priamka M prechádzajúca cez ne 1 M 2, je potrebné získať rovnicu tejto priamky.
Máme, že kanonické rovnice tvaru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z a parametrické rovnice tvaru x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sú schopné nastaviť priamku v súradnicovom systéme O x y z prechádzajúcu bodmi so súradnicami (x 1, y 1, z 1) s usmerňovacím vektorom a → = (a x, a y, a z) .
Rovné M 1 M 2 má smerový vektor v tvare M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1), kde priamka prechádza bodom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), teda kanonická rovnica môže mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, zasa parametrické x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Zoberme si obrázok, ktorý zobrazuje 2 dané body v priestore a rovnicu priamky.
Príklad 4
Napíšte rovnicu priamky definovanej v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z trojrozmerného priestoru, prechádzajúcej cez zadané dva body so súradnicami M 1 (2, - 3, 0) a M 2 (1, - 3, - 5). ).
rozhodnutie
Musíme nájsť kanonickú rovnicu. Keďže hovoríme o trojrozmernom priestore, znamená to, že keď danými bodmi prechádza priamka, požadovaná kanonická rovnica bude mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Podľa podmienky máme, že x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Z toho vyplýva, že potrebné rovnice možno zapísať takto:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Odpoveď: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Dajme dva body M(X 1 ,o 1) a N(X 2,r 2). Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej týmito bodmi.
Keďže táto čiara prechádza bodom M, potom podľa vzorca (1.13) má jeho rovnica tvar
o – Y 1 = K(X-x 1),
Kde K je neznámy svah.
Hodnota tohto koeficientu sa určí z podmienky, že bodom prechádza požadovaná priamka N, čo znamená, že jeho súradnice spĺňajú rovnicu (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Odtiaľ môžete nájsť sklon tejto čiary:
,
Alebo po konverzii
(1.14)
Vzorec (1.14) definuje Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi M(X 1, Y 1) a N(X 2, Y 2).
V konkrétnom prípade, keď body M(A, 0), N(0, B), ALE ¹ 0, B¹ 0, leží na súradnicových osiach, rovnica (1.14) má jednoduchší tvar
rovnica (1,15) volal Rovnica priamky v segmentoch, tu ALE a B označujú segmenty odrezané priamkou na osiach (obrázok 1.6).
Obrázok 1.6
Príklad 1.10. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M(1, 2) a B(3, –1).
. Podľa (1.14) má rovnica požadovanej priamky tvar
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Prenesením všetkých členov na ľavú stranu nakoniec získame požadovanú rovnicu
3X + 2Y – 7 = 0.
Príklad 1.11. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom M(2, 1) a priesečník čiar X+ Y- 1 = 0, X - r+ 2 = 0.
. Súradnice priesečníka priamok nájdeme spoločným riešením týchto rovníc
Ak tieto rovnice sčítame po členoch, dostaneme 2 X+ 1 = 0, odkiaľ . Dosadením zistenej hodnoty do ľubovoľnej rovnice nájdeme hodnotu ordináty o:
Teraz napíšme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi (2, 1) a :
alebo .
Preto alebo -5( Y – 1) = X – 2.
Nakoniec získame rovnicu požadovanej priamky vo forme X + 5Y – 7 = 0.
Príklad 1.12. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M(2.1) a N(2,3).
Pomocou vzorca (1.14) získame rovnicu
Nedáva to zmysel, pretože druhý menovateľ je nula. Z podmienky úlohy je vidieť, že úsečky oboch bodov majú rovnakú hodnotu. Požadovaná čiara je teda rovnobežná s osou OY a jeho rovnica je: X = 2.
Komentujte . Ak sa pri písaní rovnice priamky podľa vzorca (1.14) ukáže, že jeden z menovateľov sa rovná nule, potom je možné požadovanú rovnicu získať prirovnaním zodpovedajúceho čitateľa k nule.
Uvažujme o iných spôsoboch nastavenia priamky v rovine.
1. Nech je nenulový vektor kolmý na danú priamku L a pointa M 0(X 0, Y 0) leží na tejto čiare (obrázok 1.7).
Obrázok 1.7
Označiť M(X, Y) ľubovoľný bod na priamke L. Vektory a 
Ortogonálne. Pomocou podmienok ortogonality pre tieto vektory získame resp ALE(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Získali sme rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 je kolmá na vektor. Tento vektor sa nazýva Normálny vektor na priamku L. Výslednú rovnicu je možné prepísať ako
Oh + Wu + S= 0, kde S = –(ALEX 0 + Autor: 0), (1.16),
Kde ALE a AT sú súradnice normálového vektora.
Získame všeobecnú rovnicu priamky v parametrickom tvare.
2. Priamku v rovine možno definovať takto: nech je nenulový vektor rovnobežný s danou priamkou L a bodka M 0(X 0, Y 0) leží na tejto čiare. Opäť vezmite svojvoľný bod M(X, y) na priamke (obrázok 1.8).
Obrázok 1.8
Vektory a 
kolineárne.
Zapíšme si podmienku kolinearity týchto vektorov: , kde T je ľubovoľné číslo nazývané parameter. Zapíšme túto rovnosť v súradniciach:
Tieto rovnice sa nazývajú Parametrické rovnice Rovno. Vylúčme z týchto rovníc parameter T:
Tieto rovnice je možné zapísať vo forme
. (1.18)
Výsledná rovnica sa nazýva Kanonická rovnica priamky. Vektorové volanie Smer vektor rovno .
Komentujte . Je ľahké vidieť, že ak je normálny vektor k čiare L, potom jeho smerovým vektorom môže byť vektor , keďže , t.j.
Príklad 1.13. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0(1, 1) rovnobežne s čiarou 3 X + 2o– 8 = 0.
rozhodnutie . Vektor je normálny vektor k daným a požadovaným čiaram. Využime rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 s daným normálnym vektorom 3( X –1) + 2(o– 1) = 0 alebo 3 X + 2r- 5 \u003d 0. Dostali sme rovnicu požadovanej priamky.
Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.
Existuje nekonečne veľa čiar, ktoré možno nakresliť cez ktorýkoľvek bod.
Cez akékoľvek dva nezhodné body vedie iba jedna priamka.
Dve nezhodné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú
paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).
AT trojrozmerný priestor Existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch riadkov:
- čiary sa pretínajú;
- priame čiary sú rovnobežné;
- priamky sa pretínajú.
Rovno riadok- algebraická krivka prvého rádu: v karteziánskom súradnicovom systéme priamka
je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).
Všeobecná rovnica priamky.
Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého poriadku
Ah + Wu + C = 0,
a konštantný A, B nerovná sa zároveň nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný
priamka rovnica. V závislosti od hodnôt konštánt A, B a S Možné sú tieto špeciálne prípady:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- čiara prechádza počiatkom
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU
. B = C = 0, A ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou OU
. A = C = 0, B ≠ 0- čiara sa zhoduje s osou Oh
Rovnica priamky môže byť znázornená v rôzne formy v závislosti od akejkoľvek danosti
počiatočné podmienky.
Rovnica priamky bodom a normálovým vektorom.
Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)
kolmá na priamku danú rovnicou
Ah + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).
rozhodnutie. Zostavme pri A \u003d 3 a B \u003d -1 rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Ak chcete nájsť koeficient C
do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda
C = -1. Celkom: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.
Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a M2 (x 2, y 2, z 2), potom priamka rovnica,
prechádza cez tieto body:
Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Na
rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:
ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2 .
Zlomok = k volal faktor sklonu rovno.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).
rozhodnutie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky bodom a sklonom.
Ak je všeobecná rovnica priamky Ah + Wu + C = 0 uveďte do formulára:
a určiť 
, potom sa výsledná rovnica nazýva
rovnica priamky so sklonom k.
Rovnica priamky na bode a smerového vektora.
Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu
priamka cez bod a smerový vektor priamky.
Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku
Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.
Ah + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).
rozhodnutie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície
koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:
1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.
Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.
pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:
x + y - 3 = 0
Rovnica priamky v segmentoch.
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ah + Wu + C = 0 C≠0, potom po delení -C dostaneme:
alebo , kde
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka
rovný s nápravou oh, a b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Normálna rovnica priamky.
Ak obe strany rovnice Ah + Wu + C = 0 deliť číslom 
, ktorá sa volá
normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.
Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ * C< 0.
R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k čiare,
a φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.
Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x – 5r – 65 = 0. Povinné napísať Rôzne druhy rovnice
túto priamku.
Rovnica tejto priamky v segmentoch:
Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)
Rovnica priamky:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,
rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.
Uhol medzi čiarami v rovine.
Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, potom ostrý roh medzi týmito riadkami
bude definovaný ako
Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé
ak k 1 \u003d -1 / k 2 .
Veta.
Priamy Ah + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok
sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom je kolmá na danú priamku.
Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b
reprezentovaný rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare.
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k čiare Ah + Wu + C = 0 definovaný ako:
Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice klesla z hrotu M za danú
priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
(1)
Súradnice x 1 a 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo
daný riadok. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)
kde k - zatiaľ neznámy koeficient.
Pretože priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2-x 1).
Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k
do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2: 
Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ak x 1 \u003d x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1, y I) a M 2 (x 2, y 2) je rovnobežná s osou y. Jeho rovnica je x = x 1 .
Ak y 2 \u003d y I, potom rovnicu priamky možno napísať ako y \u003d y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.
Rovnica priamky v segmentoch
Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a; 0) a os Oy - v bode M 2 (0; b). Rovnica bude mať tvar: 
tie. 
. Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla aab označujú, ktoré segmenty priamka oddeľuje na súradnicových osiach.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor
Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).
Zoberme si ľubovoľný bod M(x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin sa rovná nule: tj.
A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)
Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .
Vektor n = (A; B) kolmý na priamku sa nazýva normálový normálny vektor tejto čiary .
Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
kde A a B sú súradnice normálneho vektora, C \u003d -Ax o - Vu o - voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr.2).
Obr.1 Obr.2
Kanonické rovnice priamky
,
Kde 
sú súradnice bodu, ktorým čiara prechádza, a 
- smerový vektor.
Krivky kruhu druhého rádu
Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.
Kanonická rovnica kružnice s polomerom
R sústredený na bod 
:
Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s počiatkom, rovnica bude vyzerať takto: 
Elipsa
Elipsa je množina bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom
a 
, ktoré sa nazývajú ohniská, je konštantná hodnota 
, väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami 
.
Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a ktorej počiatok je v strede medzi ohniskami, má tvar 
G 
de a dĺžka hlavnej poloosi; b je dĺžka vedľajšej poloosi (obr. 2).
