Elipsa je ťažisko bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom F_1 a F_2 je konštantná hodnota (2a), väčšia ako vzdialenosť (2c) medzi týmito bodmi. dané body(Obr. 3.36, a). Táto geometrická definícia vyjadruje ohnisková vlastnosť elipsy.
Ohnisková vlastnosť elipsy
Body F_1 a F_2 sa nazývajú ohniská elipsy, vzdialenosť medzi nimi 2c=F_1F_2 je ohnisková vzdialenosť, stred O segmentu F_1F_2 je stred elipsy, číslo 2a je dĺžka hlavnej osi elipsy. elipsy (respektíve číslo a je hlavnou poloosou elipsy). Segmenty F_1M a F_2M spájajúce ľubovoľný bod M elipsy s jej ohniskami sa nazývajú ohniskové polomery bodu M . Úsečka spájajúca dva body elipsy sa nazýva tetiva elipsy.
Pomer e=\frac(c)(a) sa nazýva excentricita elipsy. Z definície (2a>2c) vyplýva, že 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometrická definícia elipsy, vyjadrujúci jeho ohniskovú vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou elipsy:
Skutočne si predstavme pravouhlý súradnicový systém (obr. 3.36, c). Stred O elipsy sa považuje za počiatok súradnicového systému; priamku prechádzajúcu ohniskami (ohniskovú os alebo prvú os elipsy) berieme ako os x (kladný smer na nej z bodu F_1 do bodu F_2); priamka kolmá na ohniskovú os a prechádzajúca stredom elipsy (druhá os elipsy) sa berie ako os y (smer na osi y je zvolený tak, aby pravouhlý súradnicový systém Oxy bol správny ).
Formulujme rovnicu elipsy pomocou jej geometrickej definície, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť. Vo vybranom súradnicovom systéme určíme súradnice ohnísk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pre ľubovoľný bod M(x,y) patriaci do elipsy máme:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Zapísaním tejto rovnosti v súradnicovom tvare dostaneme:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Prenesieme druhý radikál na pravú stranu, odmocníme obe strany rovnice a dáme podobné výrazy:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Šípka doľava ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Po delení 4 odmocníme obe strany rovnice:
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Označenie b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dostaneme b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Vydelením oboch častí a^2b^2\ne0 sa dostaneme ku kanonickej rovnici elipsy:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Preto je zvolený súradnicový systém kanonický.
Ak sa ohniská elipsy zhodujú, potom je elipsa kruhová (obr. 3.36.6), keďže a=b. V tomto prípade ľubovoľný pravouhlý súradnicový systém s počiatkom v bode O\ekviv F_1\ekviv F_2 a rovnica x^2+y^2=a^2 je rovnica kruhu so stredom O a polomerom a .
Zdôvodnením v opačné poradie, možno ukázať, že všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (3.49), a iba oni, patria do ťažiska bodov, ktoré sa nazýva elipsa. Inými slovami, analytická definícia elipsy je ekvivalentná jej geometrickej definícii, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť elipsy.
Vlastnosť adresára elipsy
Smerové čiary elipsy sú dve priame čiary prechádzajúce rovnobežne s osou kanonického súradnicového systému v rovnakej vzdialenosti \frac(a^2)(c) od nej. Pre c=0, keď je elipsa kruh, neexistujú žiadne smerové čiary (môžeme predpokladať, že smerové čiary sú nekonečne odstránené).
Elipsa s excentricitou 0
Napríklad pre ohnisko F_2 a smerovku d_2 (obr. 3.37.6) je podmienka \frac(r_2)(\rho_2)=e možno napísať v súradnicovom tvare:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Zbaviť sa iracionality a nahradiť e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dospejeme ku kanonickej rovnici elipsy (3.49). Podobné úvahy možno vykonať pre ohnisko F_1 a smerovú čiaru d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Elipsová rovnica v polárnych súradniciach
Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme F_1r\varphi (obr.3.37,c a 3.37(2)) má tvar
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kde p=\frac(b^2)(a) je ohniskový parameter elipsy.
V skutočnosti zvoľme ľavé ohnisko F_1 elipsy ako pól polárneho súradnicového systému a lúč F_1F_2 ako polárnu os (obr. 3.37, c). Potom pre ľubovoľný bod M(r,\varphi) , podľa geometrickej definície (ohniskovej vlastnosti) elipsy, máme r+MF_2=2a . Vyjadríme vzdialenosť medzi bodmi M(r,\varphi) a F_2(2c,0) (pozri bod 2 v poznámkach 2.8):
\begin(zarovnané)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (zarovnané)
Preto v súradnicovom tvare má rovnica elipsy F_1M+F_2M=2a tvar
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Izolujeme radikál, odmocníme obe strany rovnice, vydelíme 4 a dáme podobné výrazy:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Vyjadríme polárny polomer r a vykonáme substitúciu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Geometrický význam koeficientov v rovnici elipsy
Nájdite priesečníky elipsy (pozri obr. 3.37, a) so súradnicovými osami (vrcholy zllipov). Ak do rovnice dosadíme y=0, nájdeme priesečníky elipsy s osou x (s ohniskovou osou): x=\pm a . Preto je dĺžka segmentu ohniskovej osi uzavretého v elipse rovná 2a. Tento segment, ako je uvedené vyššie, sa nazýva hlavná os elipsy a číslo a je hlavná poloos elipsy. Dosadením x=0 dostaneme y=\pm b . Preto je dĺžka segmentu druhej osi elipsy uzavretého vo vnútri elipsy rovná 2b. Tento segment sa nazýva vedľajšia os elipsy a číslo b sa nazýva vedľajšia poloos elipsy.
naozaj, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a a rovnosť b=a získame len v prípade c=0, keď je elipsa kružnica. Postoj k=\frac(b)(a)\leqslant1 sa nazýva kontrakčný faktor elipsy.
Poznámky 3.9
1. Priamky x=\pm a,~y=\pm b ohraničujú hlavný obdĺžnik v súradnicovej rovine, vo vnútri ktorej sa nachádza elipsa (pozri obr. 3.37, a).
2. Elipsu možno definovať ako ťažisko bodov získané kontrakciou kružnice na jej priemer.
V skutočnosti, nech v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy má kruhová rovnica tvar x^2+y^2=a^2 . Pri stlačení na os x s faktorom 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Dosadením x=x" a y=\frac(1)(k)y" do rovnice kružnice dostaneme rovnicu pre súradnice obrazu M"(x",y") bodu M(x ,y): (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} keďže b=k\cdot a . Toto je kanonická rovnica elipsy. 3. Súradnicové osi (kanonického súradnicového systému) sú osami symetrie elipsy (nazývané hlavné osi elipsy) a jej stred je stredom symetrie. Ak totiž bod M(x,y) patrí do elipsy . potom do tej istej elipsy patria aj body M"(x,-y) a M""(-x,y) , symetrické k bodu M vzhľadom na súradnicové osi. 4. Z rovnice elipsy v polárnom súradnicovom systéme r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(pozri obr. 3.37, c), je objasnený geometrický význam ohniskového parametra - to je polovica dĺžky tetivy elipsy prechádzajúcej jej ohniskom kolmo na ohniskovú os ( r = p pri \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Excentricita e charakterizuje tvar elipsy, a to rozdiel medzi elipsou a kružnicou. Čím väčšie e, tým je elipsa predĺžená a čím bližšie je e k nule, tým bližšie je elipsa ku kruhu (obr. 3.38, a). Ak vezmeme do úvahy, že e=\frac(c)(a) a c^2=a^2-b^2 , dostaneme E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} kde k je kontrakčný faktor elipsy, 0 6. Rovnica \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 pre
7. Rovnica \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definuje elipsu so stredom v bode O "(x_0, y_0), ktorej osi sú rovnobežné so súradnicovými osami (obr. 3.38, c). Táto rovnica sa redukuje na kanonickú pomocou paralelného posunu (3.36). Pre a=b=R platí rovnica (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje kružnicu s polomerom R so stredom v bode O"(x_0,y_0) . Parametrická rovnica elipsy v kanonickom súradnicovom systéme má tvar \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Vskutku, dosadením týchto výrazov do rovnice (3.49) dospejeme k základnej trigonometrickej identite \cos^2t+\sin^2t=1 . Príklad 3.20. nakresliť elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 v kanonickom súradnicovom systéme Oxy . Nájdite poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu, pomer strán, ohniskový parameter, rovnice smerovej čiary. rozhodnutie. Porovnaním danej rovnice s kanonickou určíme poloosi: a=2 - hlavná poloos, b=1 - vedľajšia poloos elipsy. Postavíme hlavný obdĺžnik so stranami 2a=4,~2b=2 so stredom v počiatku (obr.3.39). Vzhľadom na symetriu elipsy ju pasujeme do hlavného obdĺžnika. V prípade potreby určíme súradnice niektorých bodov elipsy. Napríklad dosadením x=1 do rovnice elipsy dostaneme \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Preto body so súradnicami \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- patrí do elipsy. Vypočítajte kompresný pomer k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ohnisková vzdialenosť 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); výstrednosť e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ohniskový parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Zostavíme priamkové rovnice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Šípka vľavo~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Prednášky z algebry a geometrie. 1. semester. Prednáška 15. Elipsa. Kapitola 15 položka 1. Základné definície. Definícia. Elipsa je GMT roviny, ktorej súčet vzdialeností dvoch pevných bodov roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota. Definícia. Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M roviny k ohnisku elipsy sa nazýva ohniskový polomer bodu M. Označenia: Podľa definície elipsy je bod M bodom elipsy vtedy a len vtedy Všimni si Podľa definície elipsy sú jej ohniská pevné body, takže vzdialenosť medzi nimi je tiež konštantná hodnota pre danú elipsu. Definícia. Vzdialenosť medzi ohniskami elipsy sa nazýva ohnisková vzdialenosť. Označenie: Z trojuholníka Označme b číslo rovné Definícia. Postoj sa nazýva excentricita elipsy. Zaveďme na danej rovine súradnicový systém, ktorý pre elipsu nazveme kanonický. Definícia. Os, na ktorej ležia ohniská elipsy, sa nazýva ohnisková os. Zostrojme kanonické PDSC pre elipsu, pozri obr.2. Ako os x zvolíme ohniskovú os a stredom segmentu nakreslíme zvislú os Potom majú ohniská súradnice položka 2. Kanonická rovnica elipsy. Veta. V kanonickom súradnicovom systéme pre elipsu má rovnica elipsy tvar: Dôkaz. Dôkaz vykonáme v dvoch etapách. V prvej fáze dokážeme, že súradnice ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na elipse vyhovujú rovnici (4). V druhej fáze dokážeme, že akékoľvek riešenie rovnice (4) dáva súradnice bodu ležiaceho na elipse. Odtiaľto bude vyplývať, že rovnicu (4) spĺňajú len tie body súradnicovej roviny, ktoré ležia na elipse. Odtiaľto az definície krivkovej rovnice bude vyplývať, že rovnica (4) je elipsová rovnica. 1) Nech je bod M(x, y) bodom elipsy, t.j. súčet jeho ohniskových polomerov je 2a: Použijeme vzorec pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi v súradnicovej rovine a pomocou tohto vzorca nájdeme ohniskové polomery daného bodu M: Presuňme jeden koreň na pravú stranu rovnosti a odmocnime ju: Znížením dostaneme: Dáme podobné, znížime o 4 a izolujeme radikál: Štvorcujeme Otvorte držiaky a skráťte odkiaľ sa dostaneme: Pomocou rovnosti (2) dostaneme: Delenie poslednej rovnosti o 2) Teraz nech dvojica čísel (x, y) spĺňa rovnicu (4) a nech M(x, y) je zodpovedajúci bod v rovine súradníc Oxy. Potom z (4) vyplýva: Túto rovnosť dosadíme do výrazu pre ohniskové polomery bodu M: Tu sme použili rovnosť (2) a (3). teda Teraz si všimnite, že z rovnosti (4) vyplýva, že Z toho zase vyplýva, že Z rovnosti (5) vyplýva, že Veta bola dokázaná. Definícia. Rovnica (4) sa nazýva kanonická rovnica elipsy. Definícia. Kanonické súradnicové osi elipsy sa nazývajú hlavné osi elipsy. Definícia. Počiatok kanonického súradnicového systému elipsy sa nazýva stred elipsy. položka 3. Vlastnosti elipsy. Veta. (Vlastnosti elipsy.) 1. V kanonickom súradnicovom systéme pre elipsu, všetky body elipsy sú v obdĺžniku 2. Body ležia na 3. Elipsa je krivka symetrická okolo ich hlavné osi. 4. Stred elipsy je jej stredom symetrie. Dôkaz. 1, 2) Bezprostredne vyplýva z kanonickej rovnice elipsy. 3, 4) Nech M(x, y) je ľubovoľný bod elipsy. Potom jeho súradnice spĺňajú rovnicu (4). Ale potom súradnice bodov tiež spĺňajú rovnicu (4), a preto sú bodmi elipsy, z ktorých vyplývajú tvrdenia vety. Veta bola dokázaná. Definícia. Veličina 2a sa nazýva hlavná os elipsy, veličina a sa nazýva hlavná poloos elipsy. Definícia. Veličina 2b sa nazýva vedľajšia os elipsy, veličina b sa nazýva vedľajšia poloos elipsy. Definícia. Priesečníky elipsy s jej hlavnými osami sa nazývajú vrcholy elipsy. Komentujte. Elipsu možno zostrojiť nasledujúcim spôsobom. V rovine „zatĺkame klinec“ do trikov a pripevníme k nim niť dĺžky Z definície excentricity vyplýva, že Opravíme číslo a a necháme c smerovať k nule. Potom o Teraz sa snažme položka 4. Parametrické rovnice elipsy. Veta. Nechať byť sú parametrické rovnice elipsy v kanonickom súradnicovom systéme pre elipsu. Dôkaz. Stačí dokázať, že sústava rovníc (6) je ekvivalentná rovnici (4), t.j. majú rovnaký súbor riešení. 1) Nech (x, y) je ľubovoľné riešenie sústavy (6). Prvú rovnicu vydeľte a, druhú b, obe rovnice odmocnite a pridajte: Tie. akékoľvek riešenie (x, y) sústavy (6) vyhovuje rovnici (4). 2) Naopak, nech je dvojica (x, y) riešením rovnice (4), t.j. Z tejto rovnosti vyplýva, že bod so súradnicami Z definície sínusu a kosínusu to hneď vyplýva Veta bola dokázaná. Komentujte. Elipsa môže byť získaná ako výsledok rovnomerného "stlačenia" kruhu s polomerom a k osi x. Nechať byť Touto transformáciou každý bod kružnice "prechádza" do iného bodu v rovine, ktorý má rovnakú os, ale menšiu ordinátu. Vyjadrime starú súradnicu bodu pomocou novej: a dosaďte do kruhovej rovnice: Odtiaľto dostaneme: Z toho vyplýva, že ak pred premenou "stlačením" bod M(x, y) ležal na kružnici, t.j. jeho súradnice vyhovovali kruhovej rovnici, potom po "kompresnej" transformácii tento bod "prešiel" do bodu položka 5. Tangenta k elipse. Veta. Nechať byť Potom rovnica dotyčnice k tejto elipse v bode Dôkaz. Stačí zvážiť prípad, keď dotykový bod leží v prvej alebo druhej štvrtine súradnicovej roviny: Využime rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie kde Nájdenú hodnotu derivácie dosadíme do rovnice dotyčnice (10): odkiaľ sa dostaneme: To znamená: Rozdeľme túto rovnicu na Zostáva poznamenať, že Dotykovú rovnicu (8) dokážeme obdobne v dotykovom bode ležiacom v tretej alebo štvrtej štvrtine súradnicovej roviny. A nakoniec môžeme ľahko vidieť, že rovnica (8) dáva rovnicu dotyčnice v bodoch Veta bola dokázaná. položka 6. Zrkadlová vlastnosť elipsy. Veta. Dotyčnica k elipse má rovnaké uhly s polomermi ohniska dotykového bodu. Nechať byť Veta tvrdí, že Túto rovnosť možno interpretovať ako rovnosť uhlov dopadu a odrazu svetelného lúča od elipsy uvoľnenej z jej ohniska. Táto vlastnosť sa nazýva zrkadlová vlastnosť elipsy: Lúč svetla vyžarovaný z ohniska elipsy po odraze od zrkadla elipsy prechádza cez ďalšie ohnisko elipsy. Dôkaz vety. Na dôkaz rovnosti uhlov (11) dokážeme podobnosť trojuholníkov Definícia 7.1. Množina všetkých bodov v rovine, pre ktoré je súčet vzdialeností dvoch pevných bodov F 1 a F 2 danou konštantou, sa nazýva elipsa. Definícia elipsy poskytuje nasledujúci spôsob, ako ju geometricky zostrojiť. Na rovine fixujeme dva body F 1 a F 2 a nezápornú konštantnú hodnotu označíme 2a. Nech je vzdialenosť medzi bodmi F 1 a F 2 rovná 2c. Predstavte si, že neroztiahnuteľná niť dĺžky 2a je upevnená napríklad v bodoch F 1 a F 2 pomocou dvoch ihiel. Je jasné, že je to možné len pre a ≥ c. Potiahnutím nite ceruzkou nakreslite čiaru, ktorá bude elipsou (obr. 7.1). Opísaná množina teda nie je prázdna, ak a ≥ c. Keď a = c, elipsa je segment s koncami F 1 a F 2 a keď c = 0, t.j. ak sa pevné body uvedené v definícii elipsy zhodujú, ide o kružnicu s polomerom a. Ak vynecháme tieto degenerované prípady, budeme ďalej spravidla predpokladať, že a > c > 0. Pevné body F 1 a F 2 v definícii 7.1 elipsy (pozri obr. 7.1) sú tzv. elipsové triky, vzdialenosť medzi nimi, označená 2c, - ohnisková vzdialenosť, a segmenty F 1 M a F 2 M, spájajúce ľubovoľný bod M na elipse s jej ohniskami, - ohniskové polomery. Tvar elipsy je úplne určený ohniskovou vzdialenosťou |F 1 F 2 | = 2с a parametrom a, a jeho polohou v rovine - dvojicou bodov F 1 a F 2 . Z definície elipsy vyplýva, že je symetrická k priamke prechádzajúcej ohniskami F 1 a F 2, ako aj k priamke, ktorá delí úsečku F 1 F 2 na polovicu a je na ňu kolmá (obr. 7.2, a). Tieto riadky sú tzv osi elipsy. Bod O ich priesečníka je stredom symetrie elipsy a je tzv stred elipsy, a priesečníky elipsy s osami symetrie (body A, B, C a D na obr. 7.2, a) - vrcholy elipsy. Volá sa číslo a hlavná poloos elipsy, a b = √ (a 2 - c 2) - jeho vedľajšia os. Je ľahké vidieť, že pre c > 0 sa hlavná poloos a rovná vzdialenosti od stredu elipsy k tým jej vrcholom, ktoré sú na rovnakej osi ako ohniská elipsy (vrcholy A a B na obr. 7.2, a) a vedľajšia poloos b sa rovná vzdialenosti od stredu elipsy k jej ďalším dvom vrcholom (vrcholy C a D na obr. 7.2, a). Elipsová rovnica. Uvažujme nejakú elipsu v rovine s ohniskami v bodoch F 1 a F 2, hlavná os 2a. Nech 2c je ohnisková vzdialenosť, 2c = |F 1 F 2 | V rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém Oxy tak, aby sa jeho počiatok zhodoval so stredom elipsy a ohniská boli na úsečka(obr. 7.2, b). Tento súradnicový systém je tzv kanonický pre uvažovanú elipsu a zodpovedajúce premenné sú kanonický. Vo vybranom súradnicovom systéme majú ohniská súradnice F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi bodmi zapíšeme podmienku |F 1 M| + |F 2 M| = 2a v súradniciach: √((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7,2) Táto rovnica je nepohodlná, pretože obsahuje dva štvorcové radikály. Poďme to teda transformovať. Druhý radikál v rovnici (7.2) prenesieme na pravú stranu a umocníme ho: (x - c) 2 + y2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y2. Po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných výrazov dostaneme √((x + c) 2 + y 2) = a + εx kde ε = c/a. Na odstránenie druhého radikálu zopakujeme kvadratúru: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, alebo, vzhľadom na hodnotu zadaného parametra ε, (a 2 - c 2) x 2/a2 + y2 = a2-c2. Pretože a 2 - c 2 = b 2 > 0, potom x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4) Rovnicu (7.4) spĺňajú súradnice všetkých bodov ležiacich na elipse. Ale pri odvodzovaní tejto rovnice boli použité neekvivalentné transformácie pôvodnej rovnice (7.2) - dve kvadratúry, ktoré odstraňujú štvorcové radikály. Umocnenie rovnice je ekvivalentná transformácia, ak obe strany obsahujú veličiny s rovnakým znamienkom, ale to sme pri našich transformáciách nekontrolovali. Ekvivalenciu transformácií nemusíme kontrolovať, ak vezmeme do úvahy nasledujúce. Dvojica bodov F 1 a F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, v rovine definuje rodinu elips s ohniskami v týchto bodoch. Každý bod roviny, okrem bodov úsečky F 1 F 2 , patrí do niektorej elipsy z označenej rodiny. V tomto prípade sa žiadne dve elipsy nepretínajú, pretože súčet ohniskových polomerov jednoznačne určuje konkrétnu elipsu. Takže opísaná rodina elipsy bez priesečníkov pokrýva celú rovinu, okrem bodov úsečky F 1 F 2 . Uvažujme množinu bodov, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (7.4) s danou hodnotou parametra a. Môže byť táto množina rozdelená medzi niekoľko elips? Niektoré body množiny patria do elipsy s hlavnou polosou a. Nech je v tejto množine bod ležiaci na elipse s hlavnou polosou a. Potom súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici tie. rovnice (7.4) a (7.5) majú všeobecné riešenia. Je však ľahké overiť, že systém pre ã ≠ a nemá riešenia. Na to stačí vylúčiť napríklad x z prvej rovnice: čo po transformáciách vedie k rovnici nemajúce riešenia pre ã ≠ a, pretože . Takže, (7.4) je rovnica elipsy s hlavnou polosou a > 0 a vedľajšou poloosou b = √ (a 2 - c 2) > 0. Je tzv. kanonická rovnica elipsy. Pohľad na elipsu. Vyššie uvažovaná geometrická metóda konštrukcie elipsy poskytuje dostatočnú predstavu vzhľad elipsa. Ale tvar elipsy možno skúmať aj pomocou jej kanonickej rovnice (7.4). Napríklad, ak vezmeme do úvahy y ≥ 0, môžete vyjadriť y pomocou x: y = b√(1 - x 2 /a 2) a po preskúmaní tejto funkcie zostavte jej graf. Existuje aj iný spôsob, ako zostrojiť elipsu. Kruh s polomerom a so stredom v počiatku kanonického súradnicového systému elipsy (7.4) je opísaný rovnicou x 2 + y 2 = a 2 . Ak je stlačený s koeficientom a/b > 1 pozdĺž os y, potom dostanete krivku, ktorá je opísaná rovnicou x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, t.j. elipsa. Poznámka 7.1. Ak je ten istý kruh stlačený koeficientom a/b Výstrednosť elipsy. Pomer ohniskovej vzdialenosti elipsy k jej hlavnej osi sa nazýva elipsová výstrednosť a označuje sa ε. Pre danú elipsu kanonická rovnica (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Ak v (7.4) parametre aab súvisia nerovnicou a Pre c = 0, keď sa elipsa zmení na kruh, a ε = 0. V ostatných prípadoch 0 Rovnica (7.3) je ekvivalentná s rovnicou (7.4), pretože rovnice (7.4) a (7.2) sú ekvivalentné. Preto (7.3) je tiež elipsová rovnica. Vzťah (7.3) je navyše zaujímavý tým, že dáva jednoduchý bezradikálový vzorec pre dĺžku |F 2 M| jeden z polomerov ohniska bodu M(x; y) elipsy: |F 2 M| = a + εx. Podobný vzorec pre druhý ohniskový polomer možno získať z úvah o symetrii alebo opakovaním výpočtov, v ktorých sa pred kvadratúrou rovnice (7.2) prvý radikál prenesie na pravú stranu a nie druhý. Takže pre ľubovoľný bod M(x; y) na elipse (pozri obr. 7.2) |F 1 M | = a - εx, |F2M| = a + εx, (7,6) a každá z týchto rovníc je elipsová rovnica. Príklad 7.1. Nájdime kanonickú rovnicu elipsy s hlavnou polosou 5 a excentricitou 0,8 a zostrojme ju. Keď poznáme hlavnú poloosi elipsy a = 5 a excentricitu ε = 0,8, nájdeme jej vedľajšiu poloos b. Pretože b \u003d √ (a 2 - c 2) a c \u003d εa \u003d 4, potom b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Takže kanonická rovnica má tvar x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Na zostrojenie elipsy je vhodné nakresliť obdĺžnik so stredom v počiatku kanonického súradnicového systému, ktorého strany sú rovnobežné s osami symetrie elipsy a rovnajú sa jej zodpovedajúce osi (obr. 7.4). Tento obdĺžnik sa pretína s osi elipsy v jej vrcholoch A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) a je do nej vpísaná samotná elipsa. Na obr. 7.4 ukazuje aj ohniská F 1.2 (±4; 0) elipsy. Geometrické vlastnosti elipsy. Prepíšme prvú rovnicu v (7.6) ako |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Všimnite si, že hodnota a / ε - x pre a > c je kladná, pretože ohnisko F 1 nepatrí do elipsy. Táto hodnota je vzdialenosť k zvislej čiare d: x = a/ε od bodu M(x; y) naľavo od tejto čiary. Elipsovú rovnicu možno zapísať ako |F1M|/(a/ε - x) = ε To znamená, že táto elipsa pozostáva z tých bodov M (x; y) roviny, pre ktoré je pomer dĺžky ohniskového polomeru F 1 M k vzdialenosti od priamky d konštantnou hodnotou rovnou ε (obr. 7.5). Čiara d má "dvojitú" - vertikálnu čiaru d", symetrickú k d vzhľadom na stred elipsy, ktorá je daná rovnicou x \u003d -a / ε. Vzhľadom na d je elipsa opísaná rovnakým spôsobom ako v prípade d. Obidve riadky d a d" sa nazývajú elipsové smerové čiary. Smerové čiary elipsy sú kolmé na os symetrie elipsy, na ktorej sa nachádzajú jej ohniská, a sú oddelené od stredu elipsy vzdialenosťou a / ε = a 2 / c (pozri obr. 7.5). Vzdialenosť p od smerovej čiary k ohnisku, ktoré je k nej najbližšie, sa nazýva ohniskový parameter elipsy. Tento parameter sa rovná p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c Elipsa má ešte jednu dôležitú geometrickú vlastnosť: ohniskové polomery F 1 M a F 2 M zvierajú s dotyčnicou k elipse v bode M rovnaké uhly (obr. 7.6). Táto vlastnosť má jasný fyzikálny význam. Ak je zdroj svetla umiestnený v ohnisku F 1, potom lúč vychádzajúci z tohto ohniska po odraze od elipsy pôjde po druhom ohniskovom polomere, pretože po odraze bude v rovnakom uhle ku krivke ako pred odrazom. . Všetky lúče opúšťajúce ohnisko F 1 budú teda sústredené v druhom ohnisku F 2 a naopak. Na základe tohto výkladu sa táto vlastnosť tzv optická vlastnosť elipsy. Krivky druhého rádu na rovine sa nazývajú čiary definované rovnicami, v ktorých sú premenné súradnice X a r obsiahnuté v druhom stupni. Patria sem elipsa, hyperbola a parabola. Všeobecný tvar rovnice krivky druhého rádu je nasledujúci: kde A B C D E F- čísla a aspoň jeden z koeficientov A, B, C sa nerovná nule. Pri riešení úloh s krivkami druhého rádu sa najčastejšie uvažuje s kanonickými rovnicami elipsy, hyperboly a paraboly. Dá sa k nim ľahko prejsť zo všeobecných rovníc, tomu bude venovaný príklad 1 úloh s elipsami. Definícia elipsy. Elipsa je množina všetkých bodov v rovine, ktorých súčet vzdialeností bodov, nazývaných ohniská, je konštantný a väčší ako vzdialenosť medzi ohniskami. Ohniská sú označené ako na obrázku nižšie. Kanonická rovnica elipsy je: kde a a b (a > b) - dĺžky poloosi, t.j. polovica dĺžok segmentov odrezaných elipsou na súradnicových osiach. Priamka prechádzajúca ohniskami elipsy je jej osou symetrie. Ďalšou osou symetrie elipsy je priamka prechádzajúca stredom úsečky kolmo na túto úsečku. Bodka O priesečník týchto čiar slúži ako stred symetrie elipsy alebo jednoducho stred elipsy. Os x elipsy sa pretína v bodoch ( a, O) a (- a, O) a os y je v bodoch ( b, O) a (- b, O). Tieto štyri body sa nazývajú vrcholy elipsy. Segment medzi vrcholmi elipsy na osi x sa nazýva jeho hlavná os a na osi y - vedľajšia os. Ich segmenty od vrchu po stred elipsy sa nazývajú poloosi. Ak a = b, potom rovnica elipsy nadobudne tvar . Toto je rovnica pre kruh s polomerom a a kruh špeciálny prípad elipsa. Elipsu možno získať z kruhu s polomerom a, ak ho stlačíte do a/b krát pozdĺž osi Oj
. Príklad 1 Skontrolujte, či je čiara daná všeobecnou rovnicou rozhodnutie. Vykonávame transformácie všeobecnej rovnice. Aplikujeme prenos voľného člena na pravú stranu, členenie rovnice po členoch rovnakým číslom a redukciu zlomkov: Odpoveď. Výsledná rovnica je kanonickou rovnicou elipsy. Preto je táto čiara elipsa. Príklad 2 Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej poloosi sú 5 a 4. rozhodnutie. Pozrieme sa na vzorec pre kanonickú rovnicu elipsy a náhrady: hlavná poloos je a= 5, vedľajšia poloos je b= 4. Dostaneme kanonickú rovnicu elipsy: Body a označené zelenou farbou na hlavnej osi, kde volal triky. volal výstrednosť elipsa. Postoj b/a charakterizuje „sploštenosť“ elipsy. Čím menší je tento pomer, tým viac je elipsa predĺžená pozdĺž hlavnej osi. Stupeň predĺženia elipsy sa však častejšie vyjadruje pomocou excentricity, ktorej vzorec je uvedený vyššie. Pre rôzne elipsy sa excentricita mení od 0 do 1, pričom vždy zostáva menšia ako jedna. Príklad 3 Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak vzdialenosť medzi ohniskami je 8 a hlavnou osou je 10. rozhodnutie. Robíme jednoduché závery: Ak je hlavná os 10, potom jej polovica, t.j. poloos a = 5
, Ak je vzdialenosť medzi ohniskami 8, potom číslo c súradníc ohniska je 4. Nahraďte a vypočítajte: Výsledkom je kanonická rovnica elipsy: Príklad 4 Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej hlavná os je 26 a excentricita je . rozhodnutie. Ako vyplýva z veľkosti hlavnej osi a rovnice excentricity, hlavná poloos elipsy a= 13. Z rovnice excentricity vyjadríme číslo c, potrebné na výpočet dĺžky vedľajšej poloosi: Vypočítame druhú mocninu dĺžky vedľajšej poloosi: Zostavíme kanonickú rovnicu elipsy: Príklad 5 Určte ohniská elipsy dané kanonickou rovnicou. rozhodnutie. Treba nájsť číslo c, ktorý definuje prvé súradnice ohnísk elipsy: Dostaneme ohniská elipsy: Príklad 6 Ohniská elipsy sú umiestnené na osi Vôl symetrické podľa pôvodu. Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak: 1) vzdialenosť medzi ohniskami je 30 a hlavná os je 34 2) vedľajšia os je 24 a jedno z ohniskov je v bode (-5; 0) 3) excentricita a jedno z ohniskov je v bode (6; 0) Ak - ľubovoľný bod elipsy (označený zelenou farbou na výkrese v pravej hornej časti elipsy) a - vzdialenosti k tomuto bodu od ohnísk, potom sú vzorce pre vzdialenosti nasledovné: Pre každý bod patriaci do elipsy je súčet vzdialeností od ohnísk konštantnou hodnotou rovnajúcou sa 2 a. Priame čiary definované rovnicami volal riaditeľov elipsa (na výkrese - červené čiary pozdĺž okrajov). Z vyššie uvedených dvoch rovníc vyplýva, že pre ktorýkoľvek bod elipsy kde a sú vzdialenosti tohto bodu od smerových osí a . Príklad 7 Daná elipsa. Napíšte rovnicu pre jeho smerové čiary. rozhodnutie. Pozrieme sa do rovnice smerovej čiary a zistíme, že je potrebné nájsť excentricitu elipsy, t.j. Všetky údaje k tomu sú. Vypočítame: Dostaneme rovnicu smerovej čiary elipsy: Príklad 8 Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej ohniská sú body a smerové čiary sú priamky.Parametrická rovnica elipsy
Aby bolo možné vykonávať výpočty, musia byť povolené ovládacie prvky ActiveX!
sú ohniská elipsy, 
sú ohniskové polomery bodu M.
je konštantná hodnota. Táto konštanta sa zvyčajne označuje ako 2a:
.
(1)
.
.
z toho vyplýva 
, t.j.
.
, t.j.
.
(2)
(3)
kolmo na ohniskovú os.
,
.
.
(4)
.
,
, odkiaľ dostaneme:
.
:
.
, získame rovnosť (4), p.t.d.
.
.
. podobne, 
.
alebo 
a preto 
, potom nasleduje nasledujúca nerovnosť:
.
alebo 
a
,
.
(5)
, t.j. bod M(x, y) je bodom elipsy atď.
,
.
. Potom vezmeme ceruzku a ňou natiahneme niť. Potom posúvame tužku po rovine, pričom dbáme na to, aby bola niť v napnutom stave.
,
a 
. V limite, ktorý dostaneme
alebo 
je kruhová rovnica.
. Potom 
,
a vidíme, že v limite elipsa degeneruje do úsečky 
v zápise na obrázku 3.
sú ľubovoľné reálne čísla. Potom systém rovníc
,
(6)
.
.
leží na kružnici s jednotkovým polomerom so stredom v počiatku, t.j. je bod trigonometrickej kružnice, ktorý zodpovedá nejakému uhlu 
:
,
, kde 
, z čoho vyplýva, že dvojica (x, y) je riešením sústavy (6) atď.
je rovnica kruhu so stredom v počiatku. "Stlačenie" kruhu na os x nie je nič iné ako transformácia roviny súradníc, vykonaná podľa nasledujúceho pravidla. Ku každému bodu M(x, y) priradíme bod rovnakej roviny 
, kde 
,
je "kompresný" faktor.
.
.
(7)
, ktorého súradnice spĺňajú rovnicu elipsy (7). Ak chceme dostať rovnicu elipsy s vedľajšou poloosou b, musíme vziať kompresný faktor
.
- ľubovoľný bod elipsy
.
vyzerá ako:
.
(8)
. Rovnica elipsy v hornej polrovine má tvar:
.
(9)
v bode 
:
je hodnota derivácie tejto funkcie v bode 
. Elipsu v prvej štvrtine možno vidieť ako graf funkcie (8). Poďme nájsť jeho derivát a jeho hodnotu v bode kontaktu:
,
. Tu sme využili skutočnosť, že dotykový bod 
je bodom elipsy a preto jeho súradnice vyhovujú rovnici elipsy (9), t.j.
.
,
:
.
, pretože bodka 
patrí do elipsy a jej súradnice spĺňajú jej rovnicu.
,
:
alebo 
a 
alebo 
.
- kontaktný bod 
,
sú ohniskové polomery dotykového bodu, P a Q sú projekcie ohniskov na dotyčnicu nakreslenú k elipse v bode 
.
.
(11)
a 
, v ktorom sú strany 
a 
bude podobný. Keďže trojuholníky sú pravouhlé, stačí dokázať rovnosť
Elipsa daná kanonickou rovnicou
, elipsa.
.
.
Pokračujeme v riešení úloh na elipse spoločne
,
.
