Pri riešení je potrebné vziať do úvahy, že riešenie problému nájdenia plochy obdĺžnika iba z dĺžky jeho strán je zakázané.
Dá sa to ľahko overiť. Obvod obdĺžnika nech je 20 cm. To bude pravda, ak jeho strany budú 1 a 9, 2 a 8, 3 a 7 cm Všetky tieto tri obdĺžniky budú mať rovnaký obvod, rovný dvadsiatim centimetrom. (1 + 9) * 2 = 20 rovnako ako (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Ako vidíte, môžeme si vybrať nekonečné množstvo možností rozmery strán obdĺžnika, ktorého obvod sa bude rovnať danej hodnote.
Plocha obdĺžnikov s daným obvodom 20 cm, ale s rôznymi stranami sa bude líšiť. Pre daný príklad - 9, 16 a 21 štvorcových centimetrov.
S 1 \u003d 1 * 9 \u003d 9 cm 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 cm 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 cm 2
Ako vidíte, existuje nekonečný počet možností pre oblasť postavy s daným obvodom.
Na výpočet plochy obdĺžnika z jeho obvodu je teda potrebné poznať pomer jeho strán alebo dĺžku jednej z nich. Jediný obrazec, ktorý má jednoznačnú závislosť svojej plochy od obvodu, je kruh. Len pre kruh a možno aj riešenie.
V tejto lekcii:
- Úloha 4. Zmeňte dĺžku strán pri zachovaní plochy obdĺžnika
Úloha 1. Nájdite strany obdĺžnika z oblasti
Obvod obdĺžnika je 32 centimetrov a súčet plôch štvorcov postavených na každej z jeho strán je 260 centimetrov štvorcových. Nájdite strany obdĺžnika.rozhodnutie.
2(x+y)=32
Podľa podmienok úlohy sa súčet plôch štvorcov postavených na každej z jej strán (štvorcov, resp. štyroch) bude rovnať
2x2+2y2=260
x+y=16
x = 16-y
2(16-y)2+2y2=260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64r + 4r 2 -260=0
4y2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x1=9
x2=7
Teraz zoberme do úvahy, že na základe skutočnosti, že x+y=16 (pozri vyššie) na x=9, potom y=7 a naopak, ak x=7, potom y=9
Odpoveď: Strany obdĺžnika sú 7 a 9 centimetrov
Úloha 2. Nájdite strany obdĺžnika od obvodu
Obvod obdĺžnika je 26 cm a súčet plôch štvorcov postavených na jeho dvoch susedných stranách je 89 metrov štvorcových. Pozrite si časť Vyhľadanie strán obdĺžnika.
rozhodnutie.
Označme strany obdĺžnika ako x a y.
Potom je obvod obdĺžnika:
2(x+y)=26
Súčet plôch štvorcov postavených na každej z jeho strán (sú tu dva štvorce, a to sú štvorce šírky a výšky, pretože strany susedia) sa bude rovnať
x2 + y2 = 89
Výslednú sústavu rovníc riešime. Z prvej rovnice to odvodíme
x+y=13
y=13-r
Teraz vykonáme substitúciu v druhej rovnici a nahradíme x jeho ekvivalentom.
(13.)2+y2=89
169-26r+y2+y2-89=0
2y2 -26y+80=0
Vyriešime výslednú kvadratickú rovnicu.
D = 676-640 = 36
x1=5
x2=8
Teraz zoberme do úvahy, že na základe skutočnosti, že x+y=13 (pozri vyššie) na x=5, potom y=8 a naopak, ak x=8, tak y=5
Odpoveď: 5 a 8 cm
Úloha 3. Nájdite plochu obdĺžnika z pomeru jeho strán
Nájdite plochu obdĺžnika, ak je jeho obvod 26 cm a strany sú úmerné 2 ku 3.
rozhodnutie.
Označme strany obdĺžnika koeficientom úmernosti x.
Odkiaľ bude dĺžka jednej strany rovná 2x, druhá - 3x.
potom:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x = 13/5
Teraz na základe získaných údajov určíme oblasť obdĺžnika:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2
Úloha 4. Zmena dĺžky strán pri zachovaní plochy obdĺžnika
Dĺžka obdĺžnika sa zväčšila o 25 %. O koľko percent treba zmenšiť šírku, aby sa jej plocha nezmenila?rozhodnutie.
Plocha obdĺžnika je
S=ab
V našom prípade sa jeden z faktorov zvýšil o 25 %, čo znamená a 2 = 1,25a. teda nová oblasť obdĺžnik by mal byť rovnaký
S 2 \u003d 1,25ab
Teda, aby sa plocha obdĺžnika vrátila na pôvodnú hodnotu
S2 = S/1,25
S 2 \u003d 1,25ab / 1,25
Keďže novú veľkosť a nie je možné zmeniť
S 2 \u003d (1,25a) b / 1,25
1 / 1,25 = 0,8
Hodnota druhej strany sa teda musí znížiť o (1 - 0,8) * 100 % = 20 %
Odpoveď: Šírka by sa mala zmenšiť o 20 %.
V ďalšom testovacie úlohy Nájdite obvod obrázku znázorneného na obrázku.
Môžete nájsť obvod tvaru rôzne cesty. Pôvodný tvar môžete transformovať tak, aby sa dal ľahko vypočítať obvod nového tvaru (napríklad zmeniť na obdĺžnik).
Ďalším riešením je hľadať obvod postavy priamo (ako súčet dĺžok všetkých jej strán). V tomto prípade sa však nemožno spoliehať iba na výkres, ale nájsť dĺžky segmentov na základe údajov o probléme.
Chcem vás upozorniť: v jednej z úloh som medzi navrhovanými odpoveďami nenašiel tú, ktorá mi vyšla.
c) .
Presuňme strany malých obdĺžnikov z vnútornej oblasti do vonkajšej. V dôsledku toho je veľký obdĺžnik uzavretý. Vzorec na nájdenie obvodu obdĺžnika
V tomto prípade a=9a, b=3a+a=4a. Teda P=2(9a+4a)=26a. K obvodu veľkého obdĺžnika pridáme súčet dĺžok štyroch segmentov, z ktorých každý sa rovná 3a. Výsledkom je, že P=26a+4∙3a= 38a .
c) .
Po prenesení vnútorných strán malých obdĺžnikov na vonkajšiu plochu dostaneme veľký obdĺžnik, ktorého obvod je P=2(10x+6x)=32x a štyri segmenty, dva s dĺžkou x, dva s dĺžkou 2x.
Celkom, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .
?) .
Presuňme 6 horizontálnych „krokov“ z vnútra von. Obvod výsledného veľkého obdĺžnika je P=2(6y+8y)=28y. Zostáva nájsť súčet dĺžok úsečiek vo vnútri obdĺžnika 4y+6∙y=10y. Obvod obrázku je teda P=28y+10y= 38r .
D) .
Presuňme vertikálne segmenty z vnútornej oblasti obrázku doľava do vonkajšej oblasti. Ak chcete získať veľký obdĺžnik, presuňte jednu zo 4x dĺžok do ľavého dolného rohu.
Obvod pôvodného obrazca nájdeme ako súčet obvodu tohto veľkého obdĺžnika a dĺžok zostávajúcich troch segmentov P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .
e) .
Prenášam vnútorné strany malé obdĺžniky do vonkajšej oblasti, dostaneme veľký štvorec. Jeho obvod je P=4∙10x=40x. Ak chcete získať obvod pôvodnej figúry, musíte k obvodu štvorca pridať súčet dĺžok ôsmich segmentov, každý 3x dlhý. Celkom, P=40x+8∙3x= 64x .
b) .
Presuňme všetky horizontálne "kroky" a vertikálne horné segmenty do vonkajšej oblasti. Obvod výsledného obdĺžnika je P=2(7y+4y)=22y. Ak chcete zistiť obvod pôvodného obrazca, musíte k obvodu obdĺžnika pridať súčet dĺžok štyroch segmentov, z ktorých každý má dĺžku y: P=22y+4∙y= 26r .
D) .
Presuňte všetky vodorovné čiary z vnútornej oblasti do vonkajšej oblasti a posuňte dve zvislé vonkajšie čiary v ľavom a pravom rohu, z doľava a doprava. V dôsledku toho dostaneme veľký obdĺžnik, ktorého obvod je P=2(11z+3z)=28z.
Obvod pôvodného obrazca sa rovná súčtu obvodu veľkého obdĺžnika a dĺžok šiestich segmentov v z: P=28z+6∙z= 34z .
b) .
Riešenie je úplne podobné riešeniu v predchádzajúcom príklade. Po transformácii obrázku nájdeme obvod veľkého obdĺžnika:
P=2(5z+3z)=16z. K obvodu obdĺžnika pripočítame súčet dĺžok zostávajúcich šiestich segmentov, z ktorých každý sa rovná z: P=16z+6∙z= 22z .
Geometria, ak sa nemýlim, sa za mojich čias učila od piateho ročníka a obvod bol a je jedným z kľúčových pojmov. takze obvod je súčet dĺžok všetkých strán (označený latinským písmenom P). Vo všeobecnosti sa tento pojem vykladá rôznymi spôsobmi, napr.
- celková dĺžka okraja obrázku,
- dĺžka všetkých jeho strán,
- súčet dĺžok jeho plôch,
- dĺžka ohraničujúcej čiary,
- súčet všetkých dĺžok strán mnohouholníka
Rôzne tvary majú svoje vzorce na určenie obvodu. Aby som pochopil samotný význam, navrhujem nezávisle odvodiť niekoľko jednoduchých vzorcov:
- pre štvorec
- pre obdĺžnik
- pre rovnobežník
- pre kocku
- za krabicu
Obvod štvorca
Napríklad, zoberme si najjednoduchšie - obvod štvorca.
Všetky strany štvorca sú rovnaké. Nech sa teda jedna strana volá „a“ (rovnako ako ostatné tri).
P = a + a + a + a
alebo kompaktnejší zápis
Obvod obdĺžnika
Skomplikujme si úlohu a zoberme si obdĺžnik. V tomto prípade už nie je možné povedať, že všetky strany sú rovnaké, preto nech sú dĺžky strán obdĺžnika rovné a a b.
Potom bude vzorec vyzerať takto:
P = a + b + a + b
Paralelogramový obvod
Podobná situácia bude s rovnobežníkom (pozri obvod obdĺžnika)
obvod kocky
Čo robiť, ak máme do činenia s trojrozmernou postavou? Napríklad, vezmite si kocku. Kocka má 12 strán a všetky sú rovnaké. Podľa toho možno obvod kocky vypočítať takto:
Obvod krabice
Na upevnenie materiálu vypočítame obvod rovnobežnostenu. Tu je potrebné sa trochu zamyslieť. Urobme to spolu. Ako vieme, kváder je postava, ktorej strany sú obdĺžniky. Každý rovnobežnosten má dve základne. Zoberme si jeden zo základov a pozrime sa na jeho strany - majú dĺžky a a b. V súlade s tým je obvod základne P = 2a + 2b. Potom je obvod dvoch podstavcov
(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b
Ale máme aj stranu „c“. Takže vzorec na výpočet obvodu rovnobežnostena bude vyzerať takto:
P = 4a + 4b + 4c
Ako môžete vidieť z príkladov vyššie, všetko, čo je potrebné urobiť na určenie obvodu tvaru, je nájsť dĺžku každej zo strán a potom ich sčítať.
Na záver by som rád poznamenal, že nie každá postava má obvod. Napríklad, Guľa nemá obvod.
Ako vypočítať obvod?
Často sme od učiteľov počuli: „Usilovne študujte, vedomosti vám budú v živote veľmi užitočné“ a skutočne sa to stáva. Napríklad, keď vykonávame opravy, je absolútne nevyhnutné, aby sme vedeli vypočítať obvod konkrétneho tvaru, aby sme určili požadované množstvo stavebný materiál. V tomto článku pre tých, ktorí zabudli na školský kurz, budeme hovoriť o tom, ako vypočítať obvod rôznych tvarov.
Čo je to obvod?
Obvod je dĺžka čiary, ktorá obrysy geometrický obrazec; dĺžka všetkých strán rovinného útvaru. Na zistenie obvodu postavy teda stačí zmerať dĺžku každej strany a sčítať všetky výsledky. Niekedy sa však dá vypočítať aj viac jednoduchým spôsobom pomocou špeciálnych vzorcov. Ďalej budeme analyzovať spôsoby, ako nájsť obvod rôznych tvarov pomocou oboch metód.
Obvod trojuholníka
Predtým, ako vypočítate obvod trojuholníka, musíte zmerať dĺžku každej strany. Potom ich len zložte - to bude obvod.
Ak však máme do činenia s rovnoramenný trojuholník, môžete zmerať jeden z rovnaké strany a výslednú hodnotu vynásobte dvoma a potom k nej pridajte dĺžku základne.
Na výpočet obvodu rovnostranného trojuholníka stačí zmerať iba jednu stranu a výslednú hodnotu vynásobiť tromi.
Obvod štvoruholníka
V tejto časti budeme analyzovať, ako vypočítať obvod štvorca, kosoštvorca, obdĺžnika, rovnobežnostena a lichobežníka.
štvorec a kosoštvorec
Ako viete, štvorec má štyri strany a všetky sú rovnaké, čo znamená, že na výpočet obvodu štvorca musíte zmerať jednu z jeho strán a potom vynásobiť výslednú hodnotu 4. Presne povedané, obvod štvorca kosoštvorec je úplne rovnaký, pretože kosoštvorec má všetky strany rovnaké.
Obdĺžnik a rovnobežník
Strany obdĺžnika sú v pároch rovnaké, takže na výpočet obvodu budete musieť zmerať väčšiu a menšiu stranu, vynásobiť každú zo získaných hodnôt dvoma a výsledné hodnoty pridať. Podobne nájdite obvod rovnobežníka.
Hrazda
Ďalším typom štvoruholníka je lichobežník. Tento obrázok má spravidla všetky strany rôznej dĺžky, a preto, aby ste našli obvod, budete musieť každú stranu zmerať a spočítať. Lichobežník však môže byť rovnoramenný. V tomto prípade môžete na výpočet obvodu použiť nasledujúci vzorec: P \u003d a + b + 2c, kde c je dĺžka jednej z rovnakých strán.
Mimochodom, existuje ďalší spôsob, ako určiť obvod rovnoramenný lichobežník metóda tzv stredná čiara"Najskôr to musíte minúť veľmi." stredná čiara(vykresľuje sa cez dva body - stredy rovnakých strán), potom ho musíte zmerať, vynásobiť výslednú hodnotu dvoma a pridať dve dĺžky rovnakých strán.
Polygónový obvod
Na zistenie obvodu mnohouholníka spravidla platí pravidlo - zmerajte všetky strany a spočítajte ich. Niektoré špeciálne prípady však uľahčujú zvládnutie úlohy. Napríklad, ak máte pred sebou takzvaný pravidelný šesťuholník, jeho obvod možno vypočítať vynásobením dĺžky strany číslom 6.
Na výpočet obvodu kruhu alebo, ako sa hovorí častejšie, obvodu existuje špeciálny vzorec: P=2πr, kde π je konštantná hodnota rovnajúca sa 3,14; r je polomer kružnice. Vzorec môže vyzerať aj takto: P=πd, kde d je priemer kruhu.
Mimochodom, v skutočnosti je π pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Je dokázané, že táto hodnota je rovnaká pre všetky kruhy a rovná sa 3,14.
Nakreslite súradnicovú rovinu s osami x a y. Na rovine súradníc musíte umiestniť body s dané súradnice. Ak chcete nakresliť rovinu súradníc, vezmite si mriežku papiera alebo pomocou pravítka nakreslite mriežku na prázdny list papiera. Teraz nakreslite vodorovnú čiaru (os X) a kolmo na ňu v strede nakreslite zvislú čiaru (os Y). Označte bod, kde sa tieto dve čiary pretínajú, ako "0".
- Keď označíte referenčné čísla, čísla nad a napravo od „0“ budú kladné a čísla pod a naľavo od „0“ budú záporné.
Zapamätajte si: prvé číslo z dvojice súradníc (súradnica "x") sa vykreslí pozdĺž osi X a druhé číslo (súradnica "y" sa vynesie pozdĺž osi Y. Ak chcete napríklad vykresliť bod s súradnice (2,4), spočítajte 2 značky pozdĺž osi X a 4 značky na osi Y a potom označte priesečník.
Nájdite hodnoty zvislých a vodorovných strán. Aby ste mohli určiť jeho obvod, potrebujete poznať dĺžku každej strany mnohouholníka. V prípade zvislej alebo vodorovnej strany jednoducho spočítajte počet referenčných značiek medzi bočnými bodmi. Potom si zapíšte číslo v blízkosti tejto strany.
- Ak chcete napríklad zistiť dĺžku vodorovnej strany, začnite na jednom konci strany a spočítajte počet základných značiek na druhom konci strany. Ak ste napočítali 6 značiek, dĺžka tejto strany je 6 jednotiek.
Pomocou vzorca vzdialenosti nájdite dĺžku šikmých strán. Dĺžku naklonenej strany nie je možné zistiť jednoduchým spočítaním referenčných značiek medzi jej koncami. Takže použite vzorec: d = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle d=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)- y_(1))^(2)))). Do vzorca nahraďte hodnoty súradníc x a y dvoch bodov na koncoch strany, ktorej dĺžku chcete nájsť.
- Ak chcete napríklad nájsť vzdialenosť (dĺžku strany) medzi dvoma bodmi so súradnicami (4.7) a (1.3), dosaďte tieto súradnice do vzorca a získajte: d = (4 2 − 1 1) 2 + (7 2 − 3 1) 2 (\displaystyle d=(\sqrt ((4_(2)-1_(1))^(2)+(7_(2)- 3_(1))^(2))))
- Zjednodušte rovnicu a získajte .
- Vypočítať: d = 25 (\displaystyle d=(\sqrt (25)))= 5. Preto je dĺžka strany 5 jednotiek.
Pridajte dĺžky všetkých strán mnohouholníka a nájdite jeho obvod. Obvod mnohouholníka sa rovná súčtu všetkých jeho strán. Keď vypočítate hodnoty každej strany mnohouholníka vzhľadom na súradnice jeho vrcholových bodov, jednoducho tieto hodnoty pridajte.
- Napríklad, ak nakreslíte trojuholník na rovinu súradníc a vypočítate, že jeho strany sú 3, 2 a 5, spočítajte tieto čísla a dostanete 10. Obvod trojuholníka je teda 10 jednotiek.
