Vzorec na výpočet kosínusu uhla medzi vektormi. Bodový súčin vektorov

Uhol medzi dvoma vektormi:

Ak je uhol medzi dvoma vektormi ostrý, potom je ich bodový súčin kladný; ak je uhol medzi vektormi tupý, potom je skalárny súčin týchto vektorov záporný. Skalárny súčin dvoch nenulových vektorov je nula práve vtedy, ak sú tieto vektory ortogonálne.

Cvičenie. Nájdite uhol medzi vektormi a

rozhodnutie. Kosínus požadovaného uhla

16. Výpočet uhla medzi priamkami, priamkou a rovinou

Uhol medzi čiarou a rovinou pretínajúc túto priamku a nie na ňu kolmú, je uhol medzi priamkou a jej priemetom do tejto roviny.

Určenie uhla medzi priamkou a rovinou nám umožňuje dospieť k záveru, že uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami: samotnou priamkou a jej priemetom do roviny. Preto je uhol medzi čiarou a rovinou ostrý.

Uhol medzi kolmicou a rovinou sa považuje za rovnaký a uhol medzi rovnobežkou a rovinou buď nie je určený vôbec, alebo sa považuje za rovný .

§ 69. Výpočet uhla medzi priamkami.

Úloha výpočtu uhla medzi dvoma priamkami v priestore sa rieši rovnako ako v rovine (§ 32). Označme φ uhol medzi čiarami l 1 a l 2 a cez ψ - uhol medzi smerovými vektormi a a b tieto rovné čiary.

Potom ak

ψ 90° (obr. 206.6), potom φ = 180° - ψ. Je zrejmé, že v oboch prípadoch platí rovnosť cos φ = |cos ψ|. Podľa vzorca (1) § 20 máme

teda,

Nech sú čiary dané ich kanonickými rovnicami

Potom sa pomocou vzorca určí uhol φ medzi čiarami

Ak je jedna z čiar (alebo obe) daná nekanonickými rovnicami, potom na výpočet uhla musíte nájsť súradnice smerových vektorov týchto čiar a potom použiť vzorec (1).

17. Rovnobežky, Vety o rovnobežkách

Definícia. V rovine sa nazývajú dve čiary paralelný ak nemajú spoločné body.

Dve čiary v troch rozmeroch sa nazývajú paralelný ak ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Uhol medzi dvoma vektormi.

Z definície bodového produktu:

Podmienka ortogonality dvoch vektorov:

Podmienka kolinearity pre dva vektory:

Vyplýva z definície 5 - . Z definície súčinu vektora číslom to skutočne vyplýva. Preto na základe pravidla vektorovej rovnosti píšeme , , , čo implikuje . Ale vektor, ktorý je výsledkom násobenia vektora číslom, je kolineárny s vektorom.

Projekcia vektor-vektor:

Príklad 4. Dané body , , , .

Nájdite skalárny súčin.

rozhodnutie. zistíme podľa vzorca skalárny súčin vektorov daný ich súradnicami. Pokiaľ ide o

, ,

Príklad 5 Dané body , , , .

Nájdite projekciu.

rozhodnutie. Pokiaľ ide o

, ,

Na základe projekčného vzorca máme

Príklad 6 Dané body , , , .

Nájdite uhol medzi vektormi a .

rozhodnutie. Všimnite si, že vektory

, ,

nie sú kolineárne, pretože ich súradnice nie sú proporcionálne:

Tieto vektory tiež nie sú kolmé, pretože ich bodový súčin je .

poďme nájsť,

Injekcia nájdi zo vzorca:

Príklad 7 Určte pre ktoré vektory a kolineárne.

rozhodnutie. V prípade kolinearity zodpovedajúce súradnice vektorov a musí byť proporcionálne, to znamená:

Odtiaľto a .

Príklad 8. Určte, pri akej hodnote vektora a sú kolmé.

rozhodnutie. Vektor a sú kolmé, ak ich bodový súčin je nula. Z tejto podmienky dostaneme: . To znamená, .

Príklad 9. Nájsť , ak , , .

rozhodnutie. Vďaka vlastnostiam skalárneho produktu máme:

Príklad 10. Nájdite uhol medzi vektormi a , kde a - jednotkové vektory a uhol medzi vektormi a je rovný 120o.

rozhodnutie. Máme: , ,

Nakoniec tu máme: .

5 B. vektorový produkt.

Definícia 21.vektorové umenie vektor na vektor sa nazýva vektor alebo , definovaný nasledujúcimi tromi podmienkami:

1) Modul vektora je , kde je uhol medzi vektormi a , t.j. .

Z toho vyplýva, že modul krížového produktu sa číselne rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a na stranách.

2) Vektor je kolmý na každý z vektorov a ( ; ), t.j. kolmá na rovinu rovnobežníka postaveného na vektoroch a .

3) Vektor je nasmerovaný tak, že pri pohľade z jeho konca by najkratšia odbočka z vektora na vektor bola proti smeru hodinových ručičiek (vektory , , tvoria pravú trojicu).

Ako vypočítať uhly medzi vektormi?

Pri štúdiu geometrie vzniká veľa otázok na tému vektorov. Študent má osobitné ťažkosti, keď je potrebné nájsť uhly medzi vektormi.

Základné pojmy

Pred uvažovaním o uhloch medzi vektormi je potrebné oboznámiť sa s definíciou vektora a pojmom uhla medzi vektormi.

Vektor je segment, ktorý má smer, teda segment, pre ktorý je definovaný jeho začiatok a koniec.

Uhol medzi dvoma vektormi v rovine, ktoré majú spoločný počiatok, je menší z uhlov, o ktoré je potrebné posunúť jeden z vektorov okolo spoločného bodu do polohy, kde sa ich smery zhodujú.

Vzorec roztoku

Keď pochopíte, čo je vektor a ako sa určuje jeho uhol, môžete vypočítať uhol medzi vektormi. Vzorec riešenia je pomerne jednoduchý a výsledkom jeho aplikácie bude hodnota kosínusu uhla. Podľa definície sa rovná podielu skalárneho súčinu vektorov a súčinu ich dĺžok.

Skalárny súčin vektorov sa považuje za súčet zodpovedajúcich súradníc multiplikačných vektorov navzájom vynásobených. Dĺžka vektora alebo jeho modul sa vypočíta ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc.

Po získaní hodnoty kosínusu uhla môžete vypočítať hodnotu samotného uhla pomocou kalkulačky alebo pomocou trigonometrickej tabuľky.

Príklad

Keď zistíte, ako vypočítať uhol medzi vektormi, riešenie zodpovedajúceho problému bude jednoduché a priamočiare. Ako príklad uveďme jednoduchý problém nájdenia veľkosti uhla.

V prvom rade bude pohodlnejšie vypočítať hodnoty dĺžok vektorov a ich skalárny súčin potrebný na riešenie. Pomocou vyššie uvedeného popisu dostaneme:

Nahradením získaných hodnôt do vzorca vypočítame hodnotu kosínusu požadovaného uhla:

Toto číslo nie je jednou z piatich bežných kosínusových hodnôt, takže na získanie hodnoty uhla budete musieť použiť kalkulačku alebo Bradisovu trigonometrickú tabuľku. Pred získaním uhla medzi vektormi však možno vzorec zjednodušiť, aby sme sa zbavili ďalšieho záporného znamienka:

Konečná odpoveď môže byť ponechaná v tejto forme, aby sa zachovala presnosť, alebo môžete vypočítať hodnotu uhla v stupňoch. Podľa Bradisovej tabuľky bude jeho hodnota približne 116 stupňov a 70 minút a kalkulačka ukáže hodnotu 116,57 stupňa.

Výpočet uhla v n-rozmernom priestore

Pri zvažovaní dvoch vektorov v trojrozmernom priestore je oveľa ťažšie pochopiť, o ktorom uhle hovoríme, ak neležia v rovnakej rovine. Na zjednodušenie vnímania môžete nakresliť dva pretínajúce sa segmenty, ktoré medzi sebou zvierajú najmenší uhol, a bude to požadovaný. Napriek prítomnosti tretej súradnice vo vektore sa proces výpočtu uhlov medzi vektormi nezmení. Vypočítajte skalárny súčin a moduly vektorov, arkkozín ich kvocientu a bude odpoveďou na tento problém.

V geometrii sa často vyskytujú problémy s priestormi, ktoré majú viac ako tri rozmery. Ale pre nich vyzerá algoritmus na nájdenie odpovede podobne.

Rozdiel medzi 0 a 180 stupňami

Jednou z bežných chýb pri písaní odpovede na problém určený na výpočet uhla medzi vektormi je rozhodnutie napísať, že vektory sú rovnobežné, to znamená, že požadovaný uhol je 0 alebo 180 stupňov. Táto odpoveď je nesprávna.

Po získaní hodnoty uhla 0 stupňov ako výsledok riešenia by správnou odpoveďou bolo označiť vektory ako ko-smerné, to znamená, že vektory budú mať rovnaký smer. V prípade získania 180 stupňov budú mať vektory povahu opačných smerov.

Špecifické vektory

Nájdením uhlov medzi vektormi možno nájsť jeden zo špeciálnych typov, okrem vyššie opísaných spolusmerovaných a opačne smerovaných.

Niekoľko vektorov rovnobežných s jednou rovinou sa nazýva koplanárne.
Vektory, ktoré majú rovnakú dĺžku a smer, sa nazývajú rovnaké.
Vektory, ktoré ležia na rovnakej priamke bez ohľadu na smer, sa nazývajú kolineárne.
Ak je dĺžka vektora nulová, teda jeho začiatok a koniec sa zhodujú, potom sa nazýva nula a ak je jedna, nazýva sa jedna.

Ako nájsť uhol medzi vektormi?

pomôž mi prosím! Poznám vzorec, ale neviem na to prísť
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Uhol medzi vektormi daný ich súradnicami sa zistí podľa štandardného algoritmu. Najprv musíte nájsť skalárny súčin vektorov a a b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Tu nahradíme súradnice týchto vektorov a zvážime:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ďalej určíme dĺžky každého z vektorov. Dĺžka alebo modul vektora je druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc:
|a| = odmocnina z (x1^2 + y1^2 + z1^2) = odmocnina z (8^2 + 10^2 + 4^2) = odmocnina z (64 + 100 + 16) = odmocnina z 180 = 6 koreňov z 5
|b| = druhá odmocnina z (x2^2 + y2^2 + z2^2) = druhá odmocnina z (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = druhá odmocnina z (25 + 400 + 100 ) = druhá odmocnina z 525 = 5 odmocnín z 21.
Tieto dĺžky vynásobíme. Získame 30 koreňov zo 105.
A nakoniec skalárny súčin vektorov vydelíme súčinom dĺžok týchto vektorov. Dostaneme -200 / (30 koreňov zo 105) resp
- (4 odmocniny zo 105) / 63. Toto je kosínus uhla medzi vektormi. A samotný uhol sa rovná kosínusu oblúka tohto čísla
f \u003d arccos (-4 korene zo 105) / 63.
Ak som dobre počítal.

Ako vypočítať sínus uhla medzi vektormi zo súradníc vektorov

Michail Tkačev

Tieto vektory vynásobíme. Ich bodový súčin sa rovná súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.
Uhol nám nie je známy, ale súradnice známe.
Napíšme to matematicky takto.
Nech dané vektory a(x1;y1) a b(x2;y2)
Potom

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

My suhlasime.
a*b-skalárny súčin vektorov sa rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich súradníc súradníc týchto vektorov, t.j. rovná sa x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-súčin dĺžok vektorov sa rovná √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Takže kosínus uhla medzi vektormi je:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Keď poznáme kosínus uhla, môžeme vypočítať jeho sínus. Poďme diskutovať o tom, ako to urobiť:

Ak je kosínus uhla kladný, potom tento uhol leží v 1 alebo 4 štvrtinách, takže jeho sínus je kladný alebo záporný. Ale keďže uhol medzi vektormi je menší alebo rovný 180 stupňom, potom je jeho sínus kladný. Podobne argumentujeme, ak je kosínus záporný.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je ono)))) veľa šťastia pri riešení)))

Dmitrij Leviščev

To, že nie je možné priamo sínusovať, nie je pravda.
Okrem vzorca:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Existuje aj tento:
||=|a|*|b|*hriech A
To znamená, že namiesto skalárneho produktu môžete použiť modul vektorového produktu.

Pri štúdiu geometrie vzniká veľa otázok na tému vektorov. Študent má osobitné ťažkosti, keď je potrebné nájsť uhly medzi vektormi.

Základné pojmy

Pred uvažovaním o uhloch medzi vektormi je potrebné oboznámiť sa s definíciou vektora a pojmom uhla medzi vektormi.

Vektor je segment, ktorý má smer, teda segment, pre ktorý je definovaný jeho začiatok a koniec.

Vzorec roztoku

Po získaní hodnoty kosínusu uhla môžete vypočítať hodnotu samotného uhla pomocou kalkulačky alebo pomocou trigonometrickej tabuľky.

Príklad

Keď zistíte, ako vypočítať uhol medzi vektormi, riešenie zodpovedajúceho problému bude jednoduché a priamočiare. Ako príklad uveďme jednoduchý problém nájdenia veľkosti uhla.

V prvom rade bude pohodlnejšie vypočítať hodnoty dĺžok vektorov a ich skalárny súčin potrebný na riešenie. Pomocou vyššie uvedeného popisu dostaneme:

Nahradením získaných hodnôt do vzorca vypočítame hodnotu kosínusu požadovaného uhla:

Výpočet uhla v n-rozmernom priestore

V geometrii sa často vyskytujú problémy s priestormi, ktoré majú viac ako tri rozmery. Ale pre nich vyzerá algoritmus na nájdenie odpovede podobne.

Rozdiel medzi 0 a 180 stupňami

Špecifické vektory

Nájdením uhlov medzi vektormi možno nájsť jeden zo špeciálnych typov, okrem vyššie opísaných spolusmerovaných a opačne smerovaných.

Niekoľko vektorov rovnobežných s jednou rovinou sa nazýva koplanárne.
Vektory, ktoré majú rovnakú dĺžku a smer, sa nazývajú rovnaké.
Vektory, ktoré ležia na rovnakej priamke bez ohľadu na smer, sa nazývajú kolineárne.
Ak je dĺžka vektora nulová, teda jeho začiatok a koniec sa zhodujú, potom sa nazýva nula a ak je jedna, nazýva sa jedna.

Bodový súčin vektorov

Naďalej sa zaoberáme vektormi. Na prvej lekcii Vektory pre figuríny zvažovali sme koncept vektora, akcie s vektormi, vektorové súradnice a najjednoduchšie problémy s vektormi. Ak ste na túto stránku prišli prvýkrát z vyhľadávača, vrelo odporúčam prečítať si vyššie uvedený úvodný článok, pretože na to, aby ste si materiál osvojili, sa musíte orientovať v pojmoch a notácii, ktoré používam, mať základné znalosti o vektoroch a vedieť riešiť elementárne problémy. Táto lekcia je logickým pokračovaním témy a podrobne v nej rozoberiem typické úlohy, ktoré využívajú skalárny súčin vektorov. Toto je VEĽMI DÔLEŽITÁ práca.. Príklady sa snažte nepreskakovať, sú doplnené užitočným bonusom – prax vám pomôže upevniť si preberané učivo a „dostať sa do ruky“ pri riešení bežných problémov analytickej geometrie.

Pridávanie vektorov, násobenie vektora číslom... Bolo by naivné si myslieť, že matematici neprišli na niečo iné. Okrem už uvažovaných akcií existuje množstvo ďalších operácií s vektormi, a to: bodový súčin vektorov, krížový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov. Skalárny súčin vektorov je nám známy zo školy, ďalšie dva súčine tradične súvisia s kurzom vyššej matematiky. Témy sú jednoduché, algoritmus riešenia mnohých problémov stereotypný a zrozumiteľný. Jediná vec. Informácií je slušné množstvo, preto je nežiaduce snažiť sa zvládnuť a riešiť VŠETKO A RAZ. To platí najmä pre figuríny, verte, že autor sa absolútne nechce cítiť ako Chikatilo z matematiky. No z matematiky, samozrejme, tiež nie =) Pripravenejší študenti môžu materiály využiť selektívne, v istom zmysle „nadobudnúť“ chýbajúce vedomosti, pre vás budem neškodný gróf Drakula =)

Nakoniec pootvorme dvere a pozrime sa, čo sa stane, keď sa stretnú dva vektory….

Definícia skalárneho súčinu vektorov.
Vlastnosti skalárneho súčinu. Typické úlohy

Koncept bodového produktu

Najprv o uhol medzi vektormi. Myslím, že každý intuitívne chápe, aký je uhol medzi vektormi, ale pre každý prípad trochu viac. Zvážte voľné nenulové vektory a . Ak tieto vektory odložíme z ľubovoľného bodu, získame obraz, ktorý už mnohí mentálne predstavili:

Priznám sa, tu som opísal situáciu len v rovine pochopenia. Ak potrebujete presne definovať uhol medzi vektormi, pozrite si učebnicu, ale pre praktické úlohy to v zásade nepotrebujeme. Aj TU A ĎALEJ budem niekedy ignorovať nulové vektory pre ich nízky praktický význam. Rezerváciu som urobil špeciálne pre pokročilých návštevníkov stránky, ktorí mi môžu vytknúť teoretickú neúplnosť niektorých z nasledujúcich tvrdení.

môže nadobúdať hodnoty od 0 do 180 stupňov (od 0 do radiánov) vrátane. Analyticky je táto skutočnosť zapísaná ako dvojitá nerovnosť:

alebo

(v radiánoch).

V literatúre sa ikona uhla často vynecháva a jednoducho sa píše.

Definícia: Skalárny súčin dvoch vektorov je ČÍSLO rovné súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:

Teraz je to dosť prísna definícia.

Zameriavame sa na základné informácie:

Označenie: skalárny súčin je označený alebo jednoducho .

Výsledkom operácie je ČÍSLO: Vynásobením vektora vektorom získate číslo. Ak sú dĺžky vektorov čísla, kosínus uhla je číslo, potom ich súčin bude tiež číslo.

Len pár príkladov zahrievania:

Príklad 1

rozhodnutie: Používame vzorec . V tomto prípade:

odpoveď:

Hodnoty kosínusu možno nájsť v trigonometrická tabuľka. Odporúčam ho vytlačiť - bude sa vyžadovať takmer vo všetkých častiach veže a bude sa vyžadovať mnohokrát.

Čisto z matematického hľadiska je skalárny súčin bezrozmerný, to znamená, že výsledkom je v tomto prípade iba číslo a je to. Z hľadiska problémov fyziky má skalárny súčin vždy určitý fyzikálny význam, to znamená, že po výsledku musí byť označená jedna alebo druhá fyzikálna jednotka. Kanonický príklad výpočtu práce sily možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici (vzorec je presne bodový súčin). Práca sily sa meria v jouloch, preto bude odpoveď napísaná celkom konkrétne, napríklad.

Príklad 2

Nájdite ak a uhol medzi vektormi je .

Toto je príklad pre sebarozhodovanie, odpoveď je na konci lekcie.

Uhol medzi vektormi a hodnotou bodového súčinu

V príklade 1 sa skalárny produkt ukázal ako pozitívny a v príklade 2 sa ukázal ako negatívny. Poďme zistiť, od čoho závisí znamenie skalárneho súčinu. Pozrime sa na náš vzorec: . Dĺžky nenulových vektorov sú vždy kladné: , takže znamienko môže závisieť iba od hodnoty kosínusu.

Poznámka: Pre lepšie pochopenie nižšie uvedených informácií je lepšie preštudovať si kosínusový graf v príručke Grafy a funkčné vlastnosti. Pozrite sa, ako sa kosínus správa na segmente.

Ako už bolo uvedené, uhol medzi vektormi sa môže meniť a sú možné tieto prípady:

1) Ak injekciou medzi vektormi pikantné: (od 0 do 90 stupňov), potom a bodový súčin bude pozitívny spolurežírovaný, potom sa uhol medzi nimi považuje za nulový a skalárny súčin bude tiež kladný. Od , potom je vzorec zjednodušený: .

2) Ak injekciou medzi vektormi tupý: (od 90 do 180 stupňov), potom a zodpovedajúcim spôsobom bodový súčin je negatívny: . Špeciálny prípad: ak vektory smerované opačne, potom sa berie do úvahy uhol medzi nimi nasadené: (180 stupňov). Skalárny súčin je tiež negatívny, keďže

Aj opačné tvrdenia sú pravdivé:

1) Ak , potom je uhol medzi týmito vektormi ostrý. Alternatívne sú vektory kosmerné.

2) Ak , potom je uhol medzi týmito vektormi tupý. Alternatívne sú vektory smerované opačne.

Tretí prípad je však obzvlášť zaujímavý:

3) Ak injekciou medzi vektormi rovno: (90 stupňov) potom a bodový súčin je nula: . Platí to aj naopak: ak , tak . Kompaktné vyhlásenie je formulované takto: Skalárny súčin dvoch vektorov je nula práve vtedy, ak sú dané vektory ortogonálne. Krátky matematický zápis:

! Poznámka : opakovať základy matematickej logiky: ikona obojstranného logického dôsledku sa zvyčajne číta „ak a len vtedy“, „ak a len vtedy“. Ako vidíte, šípky sú nasmerované oboma smermi - "z tohto vyplýva toto a naopak - z tohto vyplýva toto." Mimochodom, aký je rozdiel od ikony jednosmerného sledovania? Ikona tvrdí len to, žeže „z toho vyplýva toto“, a nie skutočnosť, že opak je pravdou. Napríklad: , ale nie každé zviera je panter, takže ikonu v tomto prípade nemožno použiť. Zároveň namiesto ikony môcť použite jednostrannú ikonu. Napríklad pri riešení úlohy sme zistili, že sme dospeli k záveru, že vektory sú ortogonálne: - takýto záznam bude správny a ešte vhodnejší ako .

Tretí prípad má veľký praktický význam., pretože vám umožňuje skontrolovať, či sú vektory ortogonálne alebo nie. Tento problém vyriešime v druhej časti lekcie.

Bodové vlastnosti produktu

Vráťme sa k situácii, keď dva vektory spolurežírovaný. V tomto prípade je uhol medzi nimi nula, a vzorec skalárneho súčinu má tvar: .

Čo sa stane, ak sa vektor vynásobí sám od seba? Je jasné, že vektor je riadený sám so sebou, preto použijeme vyššie uvedený zjednodušený vzorec:

Číslo sa volá skalárny štvorec vektor a sú označené ako .

teda skalárny štvorec vektora sa rovná štvorcu dĺžky daného vektora:

Z tejto rovnosti môžete získať vzorec na výpočet dĺžky vektora:

Aj keď sa to zdá nejasné, ale úlohy lekcie umiestnia všetko na svoje miesto. Na riešenie problémov potrebujeme aj my bodové vlastnosti produktu.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) - posuvné resp komutatívny skalárny produktový zákon.

2) - distribúcia resp distributívny skalárny produktový zákon. Jednoducho povedané, môžete otvárať zátvorky.

3) - kombinácia resp asociatívne skalárny produktový zákon. Konštantu možno vybrať zo skalárneho súčinu.

Často sú všelijaké vlastnosti (ktoré treba aj dokázať!) študentmi vnímané ako nepotrebný odpad, ktorý si treba len zapamätať a bezpečne zabudnúť hneď po skúške. Zdá sa, že čo je dôležité, každý už od prvej triedy vie, že produkt sa nemení permutáciou faktorov:. Musím vás varovať, vo vyššej matematike s takýmto prístupom je ľahké pokaziť veci. Takže napríklad komutatívna vlastnosť nie je platná pre algebraické matice. Nie je to pravda pre krížový súčin vektorov. Preto je aspoň lepšie zahĺbiť sa do akýchkoľvek vlastností, s ktorými sa stretnete na kurze vyššej matematiky, aby ste pochopili, čo sa dá a čo nie.

Príklad 3

rozhodnutie: Najprv si objasnime situáciu s vektorom. o čo vlastne ide? Súčet vektorov a je dobre definovaný vektor, ktorý je označený . Geometrickú interpretáciu akcií s vektormi nájdete v článku Vektory pre figuríny. Rovnaký petržlen s vektorom je súčtom vektorov a .

Takže podľa stavu je potrebné nájsť skalárny súčin. Teoreticky musíte použiť pracovný vzorec , ale problém je, že nepoznáme dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Ale v podmienke sú pre vektory uvedené podobné parametre, takže pôjdeme iným spôsobom:

(1) Dosadíme výrazy vektorov .

(2) Zátvorky otvárame podľa pravidla násobenia mnohočlenov, vulgárny jazykolam nájdete v článku Komplexné čísla alebo Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie. Nebudem sa opakovať =) Mimochodom, distributívna vlastnosť skalárneho súčinu nám umožňuje otvárať zátvorky. máme právo.

(3) V prvom a poslednom člene kompaktne zapíšeme skalárne štvorce vektorov: . V druhom člene využívame komutabilitu skalárneho súčinu: .

(4) Tu sú podobné výrazy: .

(5) V prvom člene používame vzorec skalárneho štvorca, ktorý bol spomenutý nie tak dávno. V poslednom termíne, respektíve funguje to isté: . Druhý člen sa rozširuje podľa štandardného vzorca .

(6) Nahradiť tieto podmienky a OPATRNE vykonajte konečné výpočty.

odpoveď:

Záporná hodnota bodového súčinu vyjadruje skutočnosť, že uhol medzi vektormi je tupý.

Úloha je typická, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 4

Nájdite skalárny súčin vektorov a , ak je to známe .

Teraz ďalšia bežná úloha, len pre nový vzorec dĺžky vektora. Označenia sa tu budú trochu prekrývať, takže pre prehľadnosť to prepíšem na iné písmeno:

Príklad 5

Nájdite dĺžku vektora if .

rozhodnutie bude nasledovný:

(1) Dodávame vektorový výraz .

(2) Používame dĺžkový vzorec: , pričom máme celočíselný výraz ako vektor "ve".

(3) Na druhú mocninu súčtu použijeme školský vzorec. Venujte pozornosť tomu, ako to tu kuriózne funguje: - v skutočnosti je to druhá mocnina rozdielu a v skutočnosti je to tak. Tí, ktorí chcú, môžu usporiadať vektory na miestach: - dopadlo to isté až do preskupenia pojmov.

(4) To, čo nasleduje, je už známe z dvoch predchádzajúcich problémov.

odpoveď:

Keďže hovoríme o dĺžke, nezabudnite uviesť rozmer – „jednotky“.

Príklad 6

Nájdite dĺžku vektora if .

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Pokračujeme vo vytláčaní užitočných vecí zo skalárneho produktu. Pozrime sa znova na náš vzorec . Podľa pravidla proporcie resetujeme dĺžky vektorov na menovateľ ľavej strany:

Vymeňme diely:

Aký je význam tohto vzorca? Ak sú známe dĺžky dvoch vektorov a ich skalárny súčin, potom možno vypočítať kosínus uhla medzi týmito vektormi a následne aj samotný uhol.

Je skalárny súčin číslo? číslo. Sú dĺžky vektorov čísla? čísla. Takže zlomok je tiež číslo. A ak je známy kosínus uhla: , potom pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol: .

Príklad 7

Nájdite uhol medzi vektormi a , ak je známe, že .

rozhodnutie: Používame vzorec:

V záverečnej fáze výpočtov bola použitá technika - odstránenie iracionality v menovateli. Aby som odstránil iracionalitu, vynásobil som čitateľa a menovateľa číslom .

Ak teda , potom:

Hodnoty inverzných goniometrických funkcií možno nájsť pomocou trigonometrická tabuľka. Aj keď sa to stáva zriedka. V úlohách analytickej geometrie sa oveľa častejšie objavuje nejaký nemotorný medvedík a hodnotu uhla treba zistiť približne pomocou kalkulačky. V skutočnosti budeme tento obrázok vidieť znova a znova.

odpoveď:

Opäť nezabudnite uviesť rozmer – radiány a stupne. Osobne, aby som úmyselne „odstránil všetky otázky“, uprednostňujem uvedenie oboch (pokiaľ, samozrejme, podľa podmienky nie je potrebné uvádzať odpoveď iba v radiánoch alebo iba v stupňoch).

Teraz sa budete môcť sami vyrovnať s ťažšou úlohou:

Príklad 7*

Dané sú dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Nájdite uhol medzi vektormi , .

Úloha nie je taká náročná ako viacsmerná.
Poďme analyzovať algoritmus riešenia:

1) Podľa podmienky je potrebné nájsť uhol medzi vektormi a , takže musíte použiť vzorec .

2) Nájdeme skalárny súčin (pozri príklady č. 3, 4).

3) Nájdite dĺžku vektora a dĺžku vektora (pozri Príklady č. 5, 6).

4) Koniec riešenia sa zhoduje s príkladom č. 7 - poznáme číslo , čo znamená, že je ľahké nájsť samotný uhol:

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Druhá časť lekcie je venovaná rovnakému bodovému súčinu. Súradnice. Bude to ešte jednoduchšie ako v prvej časti.

Bodový súčin vektorov,
daný súradnicami na ortonormálnom základe

odpoveď:

Netreba dodávať, že narábanie so súradnicami je oveľa príjemnejšie.

Príklad 14

Nájdite skalárny súčin vektorov a ak

Toto je príklad „urob si sám“. Tu môžete využiť asociatívnosť operácie, to znamená nepočítať, ale hneď vybrať trojku zo skalárneho súčinu a vynásobiť ňou ako poslednú. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Na konci odseku provokatívny príklad výpočtu dĺžky vektora:

Príklad 15

Nájdite dĺžky vektorov , ak

rozhodnutie: opäť sa navrhuje metóda z predchádzajúcej časti: existuje však aj iný spôsob:

Poďme nájsť vektor:

A jeho dĺžka podľa triviálneho vzorca:

Skalárny súčin tu vôbec nie je relevantný!

Ako mimochodom je to pri výpočte dĺžky vektora:
Stop. Prečo nevyužiť zrejmú vlastnosť dĺžky vektora? Čo možno povedať o dĺžke vektora? Tento vektor je 5-krát dlhší ako vektor. Smer je opačný, ale to nevadí, pretože sa bavíme o dĺžke. Je zrejmé, že dĺžka vektora sa rovná súčinu modul počet na dĺžku vektora:
- znamienko modulu "žerie" možné mínus čísla.

takto:

odpoveď:

Vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi, ktoré sú dané súradnicami

Teraz máme úplné informácie, takže predtým odvodený vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi vyjadriť pomocou vektorových súradníc:

Kosínus uhla medzi rovinnými vektormi a , uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:
.

Kosínus uhla medzi priestorovými vektormi uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:

Príklad 16

Sú dané tri vrcholy trojuholníka. Nájdite (vrcholový uhol).

rozhodnutie: Podľa podmienky sa kresba nevyžaduje, ale stále:

Požadovaný uhol je označený zeleným oblúkom. Hneď sa nám vybaví školské označenie uhla: - osobitná pozornosť stredná písmeno - to je vrchol uhla, ktorý potrebujeme. Pre stručnosť by sa to dalo napísať aj jednoducho.

Z výkresu je celkom zrejmé, že uhol trojuholníka sa zhoduje s uhlom medzi vektormi a, inými slovami: .

Je žiaduce naučiť sa vykonávať analýzu vykonanú mentálne.

Poďme nájsť vektory:

Vypočítajme skalárny súčin:

A dĺžky vektorov:

Kosínus uhla:

Toto poradie úloh odporúčam figurínom. Pokročilejší čitatelia môžu písať výpočty „do jedného riadku“:

Tu je príklad „zlej“ hodnoty kosínusu. Výsledná hodnota nie je konečná, preto nemá veľký zmysel zbavovať sa iracionality v menovateli.

Poďme nájsť uhol:

Ak sa pozriete na kresbu, výsledok je celkom vierohodný. Na kontrolu je možné uhol merať aj uhlomerom. Nepoškoďte povrch monitora =)

odpoveď:

V odpovedi na to nezabudnite spýtal sa na uhol trojuholníka(a nie o uhle medzi vektormi), nezabudnite uviesť presnú odpoveď: a približnú hodnotu uhla: nájsť pomocou kalkulačky.

Tí, ktorým sa tento proces páčil, môžu vypočítať uhly a uistiť sa, že kanonická rovnosť je pravdivá

Príklad 17

Trojuholník je daný v priestore súradnicami jeho vrcholov. Nájdite uhol medzi stranami a

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny

Malá záverečná časť bude venovaná projekciám, v ktorých je „zapletený“ aj skalárny súčin:

Projekcia vektora na vektor. Vektorová projekcia na súradnicové osi.
Vektorový smer kosínusy

Zvážte vektory a:

Vektor premietneme na vektor , preto vynecháme začiatok a koniec vektora kolmice na vektor (zelené bodkované čiary). Predstavte si, že lúče svetla dopadajú kolmo na vektor. Potom bude segment (červená čiara) "tieňom" vektora. V tomto prípade je projekcia vektora na vektor DĹŽKA segmentu. Teda PROJEKCIA JE ČÍSLO.

Toto ČÍSLO je označené nasledovne: , "veľký vektor" označuje vektor KTORÝ projekt, "malý dolný index" označuje vektor NA ktorý sa premieta.

Samotný záznam znie takto: „projekcia vektora „a“ na vektor „be“.

Čo sa stane, ak je vektor „byť“ „príliš krátky“? Nakreslíme priamku obsahujúcu vektor „byť“. A vektor "a" sa už premietne do smeru vektora "byť", jednoducho - na priamke obsahujúcej vektor "byť". To isté sa stane, ak sa vektor "a" odloží v tridsiatom kráľovstve - stále sa bude ľahko premietať na čiaru obsahujúcu vektor "be".

Ak uhol medzi vektormi pikantné(ako na obrázku), teda

Ak vektory ortogonálne, potom (projekcia je bod, ktorého rozmery sa považujú za nulové).

Ak uhol medzi vektormi tupý(na obrázku mentálne preusporiadajte šípku vektora), potom (rovnaká dĺžka, ale so znamienkom mínus).

Odložte tieto vektory z jedného bodu:

Je zrejmé, že pri pohybe vektora sa jeho projekcia nemení

Na vašu žiadosť!

1. Odstráňte iracionalitu v menovateli:

3. Vyriešte exponenciálnu rovnicu:

4. Vyriešte nerovnosť:

Aritmetická druhá odmocnina existuje len zo nezáporného čísla a je vždy vyjadrená nezáporným číslom, takže táto nerovnosť bude platiť pre všetkých X, spĺňajúce podmienku: 2-х≥0. Odtiaľ dostaneme: x≤2. Odpoveď zapíšeme ako číselný interval: (-∞; 2].

5. Vyriešte nerovnosť: 7 x > -1.

A-priorita: exponenciálna funkcia sa nazýva funkcia tvaru y \u003d a x, kde a > 0, a ≠ 1, x je ľubovoľné číslo. Rozsah exponenciálnej funkcie je množina všetkých kladných čísel, keďže kladné číslo k ľubovoľnej mocnine bude kladné. Preto 7 x >0 pre ľubovoľné x a ešte viac 7 x > -1, t.j. nerovnosť platí pre všetky x ∈ (-∞; +∞).

6. Previesť na produkt:

Aplikujeme vzorec pre súčet sínusov: súčet sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu týchto uhlov a kosínusu ich polovičného rozdielu.

8. Je známe, že f(x) = -15x+3. Pre aké hodnoty x je f(x)=0?

Namiesto f (x) dosadíme číslo 0 a vyriešime rovnicu:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . V prvej a druhej zliatine sú meď a zinok v pomere 5:2 a 3:4. Koľko z každej zliatiny by sa malo odobrať, aby sa získalo 28 kg novej zliatiny s rovnakým obsahom medi a zinku.

Rozumieme, že nová zliatina bude obsahovať 14 kg medi a 14 kg zinku. Podobné problémy sa riešia rovnakým spôsobom: tvoria rovnicu, ktorej ľavá a pravá časť obsahuje rovnaké množstvo látky (zoberme si meď), napísanú rôznymi spôsobmi (na základe konkrétnych podmienok úlohy). Máme 14 kg medi v novej zliatine bude zložená z medi z oboch týchto zliatin. Nechajte hmotnosť prvej zliatiny X kg, potom hmotnosť druhej zliatiny je ( 28)kg. V prvej zliatine je 5 dielov medi a 2 diely zinku, teda medi bude (5/7) x kg. Ak chcete nájsť zlomok čísla, vynásobte zlomok daným číslom. V druhej zliatine sú 3 diely medi a 4 diely zinku, t.j. meď obsahuje (3/7) z (28) kg. Takže:

12. Riešte rovnicu: log 2 8 x = -1.

Podľa definície logaritmu:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Nájdite deriváciu funkcie f(x) = -ln cosx 2 .

20. Nájdite hodnotu výrazu:

Modul čísla možno vyjadriť iba ako nezáporné číslo. Ak je pod znakom modulu záporný výraz, potom pri otváraní zátvoriek modulu sú všetky pojmy napísané opačnými znakmi.

22. Vyriešte systém nerovností:

Najprv riešime každú nerovnosť samostatne.

Upozorňujeme, že najmenšia spoločná perióda pre tieto funkcie bude 2π, preto sa pripisovala ľavica aj pravica 2πn. Odpoveď C).

23. Nájdite plochu obrazca ohraničenú grafom funkcie y=3-|x-3| a priamka y=0.

Graf tejto funkcie bude pozostávať z dvoch polpriamok vychádzajúcich z jedného bodu. Napíšeme rovnice čiar. Pre x≥3 rozšírime modulárne zátvorky a dostaneme: y=3-x+3 ⇒ y = 6-x. Pre x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Trojuholník ohraničený grafom funkcie a úsečkou na osi x je útvar, ktorého obsah treba nájsť. Tu sa samozrejme zaobídeme bez integrálov. Plochu trojuholníka nájdeme ako polovicu súčinu jeho základne a výšky k tejto základni. Naša základňa sa rovná 6 jednotkovým segmentom a výška nakreslená k tejto základni sa rovná 3 jednotkovým segmentom. Plocha bude 9 metrov štvorcových. Jednotky

24. Nájdite kosínus uhla A trojuholníka s vrcholmi v bodoch A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

Ak chcete nájsť súradnice vektora dané súradnicami jeho koncov, musíte od súradníc konca odpočítať súradnice začiatku.

Uhol A je tvorený vektormi:

25. V krabici je 23 loptičiek: červená, biela a čierna. Bielych guličiek je 11-krát viac ako červených. Koľko čiernych guličiek?

Nech je to v krabici Xčervené gule. Potom bielka 11x loptičky.

Červeno-biele x+11x= 12x loptičky. Preto čierne gule 23-12h. Keďže ide o celé číslo loptičiek, jediná možná hodnota je x=1. Ukazuje sa: 1 červená guľa, 11 bielych loptičiek a 11 čierne gule.

Poučenie

Nech sú na rovine dané dva nenulové vektory vynesené z jedného bodu: vektor A so súradnicami (x1, y1) B so súradnicami (x2, y2). Injekcia medzi nimi je označené ako θ. Ak chcete nájsť mieru uhla θ, musíte použiť definíciu skalárneho súčinu.

Skalárny súčin dvoch nenulových vektorov je číslo rovné súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi, teda (A,B)=|A|*|B|*cos(θ) . Teraz musíte z tohto vyjadriť kosínus uhla: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalárny súčin možno nájsť aj pomocou vzorca (A,B)=x1*x2+y1*y2, keďže súčin dvoch nenulových vektorov sa rovná súčtu súčinov zodpovedajúcich vektorov. Ak sa skalárny súčin nenulových vektorov rovná nule, potom sú vektory kolmé (uhol medzi nimi je 90 stupňov) a ďalšie výpočty možno vynechať. Ak je skalárny súčin dvoch vektorov kladný, potom je uhol medzi nimi vektory akútny, a ak je negatívny, potom je uhol tupý.

Teraz vypočítajte dĺžky vektorov A a B pomocou vzorcov: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Dĺžka vektora sa vypočíta ako druhá odmocnina súčtu druhých mocnín jeho súradníc.

Dosaďte nájdené hodnoty skalárneho súčinu a dĺžky vektorov do vzorca pre uhol získaný v kroku 2, teda cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Teraz, keď poznáme hodnotu , nájdite mieru uhla medzi vektory musíte použiť Bradisovu tabuľku alebo z nej vziať: θ=arccos(cos(θ)).

Ak sú vektory A a B dané v trojrozmernom priestore a majú súradnice (x1, y1, z1) a (x2, y2, z2), potom sa pri hľadaní kosínusu uhla pridá ešte jedna súradnica. V tomto prípade kosínus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Užitočné rady

Ak dva vektory nie sú vykreslené z jedného bodu, potom, aby ste našli uhol medzi nimi paralelným prekladom, musíte skombinovať začiatky týchto vektorov.
Uhol medzi dvoma vektormi nemôže byť väčší ako 180 stupňov.

Zdroje:

ako vypočítať uhol medzi vektormi
Uhol medzi čiarou a rovinou

Na vyriešenie mnohých problémov, aplikovaných aj teoretických, vo fyzike a lineárnej algebre, je potrebné vypočítať uhol medzi vektormi. Táto zdanlivo jednoduchá úloha môže spôsobiť veľa ťažkostí, ak jasne nerozumiete podstate skalárneho súčinu a aká hodnota sa javí ako výsledok tohto súčinu.

Poučenie

Uhol medzi vektormi v lineárnom vektorovom priestore je minimálny uhol pri , pri ktorom sa dosiahne spoločné smerovanie vektorov. Jeden z vektorov sa nesie okolo svojho počiatočného bodu. Z definície je zrejmé, že hodnota uhla nemôže presiahnuť 180 stupňov (pozri krok).

V tomto prípade sa celkom správne predpokladá, že v lineárnom priestore, keď sa vektory prenášajú paralelne, sa uhol medzi nimi nemení. Preto pre analytický výpočet uhla nezáleží na priestorovej orientácii vektorov.

Výsledkom bodového súčinu je číslo, inak skalár. Pamätajte si (toto je dôležité vedieť), aby ste predišli chybám v ďalších výpočtoch. Vzorec pre skalárny súčin, umiestnený na rovine alebo v priestore vektorov, má tvar (krok pozri na obrázku).

Ak sú vektory umiestnené v priestore, vykonajte výpočet podobným spôsobom. Jediné, čo bude, bude výskyt termínu v dividende - to je termín pre prihlášku, t.j. tretia zložka vektora. Podľa toho treba pri výpočte modulu vektorov brať do úvahy aj zložku z, potom pre vektory umiestnené v priestore sa posledný výraz transformuje nasledovne (pozri obrázok 6 ku kroku).

Vektor je úsečka s daným smerom. Uhol medzi vektormi má fyzikálny význam napríklad pri zisťovaní dĺžky priemetu vektora na os.

Poučenie

Uhol medzi dvoma nenulovými vektormi pomocou výpočtu bodového súčinu. Podľa definície sa súčin rovná súčinu dĺžok a uhla medzi nimi. Na druhej strane sa vypočíta vnútorný súčin pre dva vektory a so súradnicami (x1; y1) a b so súradnicami (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Z týchto dvoch spôsobov sa bodový súčin ľahko nakláňa medzi vektormi.

Nájdite dĺžky alebo moduly vektorov. Pre naše vektory a a b platí: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Nájdite vnútorný súčin vektorov vynásobením ich súradníc v pároch: ab = x1x2 + y1y2. Z definície bodového súčinu ab = |a|*|b|*cos α, kde α je uhol medzi vektormi. Potom dostaneme, že x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Potom cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Nájdite uhol α pomocou Bradysových tabuliek.

Podobné videá

Poznámka

Skalárny súčin je skalárna charakteristika dĺžok vektorov a uhla medzi nimi.

Rovina je jedným zo základných pojmov v geometrii. Rovina je plocha, pre ktorú platí tvrdenie - akákoľvek priamka spájajúca dva jej body patrí úplne tejto ploche. Roviny sa zvyčajne označujú gréckymi písmenami α, β, γ atď. Dve roviny sa vždy pretínajú v priamke, ktorá patrí obom rovinám.

Poučenie

Uvažujme polroviny α a β vytvorené v priesečníku . Uhol tvorený priamkou a a dvoma polrovinami α a β uhlom vretena. V tomto prípade polroviny, ktoré tvoria uhol klinu so plochami, priamka a, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, sa nazýva hrana uhla klinu.

Dihedrálny uhol, ako plochý uhol, v stupňoch. Na zotvorenie dihedrálneho uhla je potrebné zvoliť na jeho čelnej ploche ľubovoľný bod O. V oboch sú cez bod O prekreslené dva lúče a. Výsledný uhol AOB sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla a.

Nech je teda daný vektor V = (a, b, c) a rovina A x + B y + C z = 0, kde A, B a C sú súradnice normály N. Potom kosínus uhla α medzi vektormi V a N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Na výpočet hodnoty uhla v stupňoch alebo radiánoch je potrebné z výsledného výrazu vypočítať funkciu inverznú ku kosínusu, t.j. arkkozín: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Príklad: nájsť injekciou medzi vektor(5, -3, 8) a lietadlo, dané všeobecnou rovnicou 2 x - 5 y + 3 z = 0. Riešenie: zapíšte súradnice normálového vektora roviny N = (2, -5, 3). Doplňte všetky známe hodnoty do vyššie uvedeného vzorca: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Podobné videá

Napíšte rovnicu a izolujte z nej kosínus. Podľa jedného vzorca sa skalárny súčin vektorov rovná ich dĺžkam vynásobeným navzájom a kosínusom. uhol a na druhej strane súčet súčinov súradníc pozdĺž každej z osí. Pri porovnaní oboch vzorcov môžeme dospieť k záveru, že kosínus uhol sa musí rovnať pomeru súčtu súčinov súradníc k súčinu dĺžok vektorov.

Zapíšte výslednú rovnicu. Aby sme to dosiahli, musíme označiť oba vektory. Povedzme, že sú dané v 3D karteziánskom systéme a ich počiatočné body sú v mriežke. Smer a veľkosť prvého vektora bude daný bodom (X₁,Y₁,Z₁), druhého - (X₂,Y₂,Z₂) a uhol bude označený písmenom γ. Potom môžu byť dĺžky každého z vektorov napríklad podľa Pytagorovej vety tvorené ich projekciami na každú zo súradnicových osí: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) a √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Nahraďte tieto výrazy vo vzorci formulovanom v predchádzajúcom kroku a získate rovnosť: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y22 + Z22)).

Použite skutočnosť, že súčet druhej mocniny sínus a spol sínus od uhol jedna hodnota vždy dáva jednu. Preto zvýšením toho, čo sa získalo v predchádzajúcom kroku pre spol sínus na druhú a odčítané od jednoty a potom