Ako nahradiť výraz identicky rovným. Transformácie identity

Zvážte dve rovnosti:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Táto rovnosť platí pre akúkoľvek hodnotu premennej a. Rozsah platných hodnôt pre túto rovnosť bude celý súbor reálnych čísel.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Táto nerovnosť bude platiť pre všetky hodnoty premennej a, okrem hodnoty rovnej nule. Rozsah prijateľných hodnôt pre túto nerovnosť bude celý súbor reálnych čísel, okrem nuly.

O každej z týchto rovností možno tvrdiť, že bude platiť pre ktorúkoľvek povolené hodnoty premenné a. Takéto rovnice sa v matematike nazývajú identity.

Pojem identity

Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky prípustné hodnoty premenných. Ak sa do tejto rovnosti namiesto premenných dosadia akékoľvek platné hodnoty, mala by sa získať správna číselná rovnosť.

Stojí za zmienku, že skutočné číselné rovnosti sú tiež identity. Napríklad identity budú vlastnosťami akcií na číslach.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Ak sú dva výrazy pre ľubovoľné prípustné premenné rovnaké, potom sa takéto výrazy volajú identicky rovnaké. Nižšie je uvedených niekoľko príkladov identicky rovnakých výrazov:

1. (a 2) 4 a a 8;

2. a*b*(-a^2*b) a -a3*b2;

3. ((x 3 * x 8)/x) a x 10 .

Vždy môžeme nahradiť jeden výraz akýmkoľvek iným výrazom zhodným s prvým. Takáto náhrada bude identickou transformáciou.

Príklady identity

Príklad 1: Sú nasledujúce identity rovnosti:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Nie všetky vyššie uvedené výrazy budú identity. Z týchto rovností sú iba 1, 2 a 3 rovnosti identity. Nech do nich dosadíme akékoľvek čísla, namiesto premenných a a b dostaneme stále správne číselné rovnosti.

Ale 4 rovnosť už nie je identita. Pretože nie pre všetky prípustné hodnoty bude táto rovnosť splnená. Napríklad s hodnotami a = 5 a b = 2 získate nasledujúci výsledok:

Táto rovnosť nie je pravdivá, pretože číslo 3 sa nerovná číslu -3.

§ 2. Prejavy identity, identita. Identitná transformácia výrazu. Dôkazy totožnosti

Nájdite hodnoty výrazov 2(x - 1) 2x - 2 pre dané hodnoty premennej x. Výsledky zapíšeme do tabuľky:

Dá sa konštatovať, že hodnoty výrazov 2(x - 1) 2x - 2 pre každú danú hodnotu premennej x sa navzájom rovnajú. Podľa distributívnej vlastnosti násobenia vzhľadom na odčítanie 2(x - 1) = 2x - 2. Preto pre akúkoľvek inú hodnotu premennej x bude aj hodnota výrazu 2(x - 1) 2x - 2 navzájom rovnocenné. Takéto výrazy sa nazývajú identicky rovné.

Napríklad výrazy 2x + 3x a 5x sú synonymá, keďže pre každú hodnotu premennej x tieto výrazy nadobúdajú rovnaké hodnoty(vyplýva to z distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie, keďže 2x + 3x = 5x).

Zvážte teraz výrazy 3x + 2y a 5xy. Ak x \u003d 1 a b \u003d 1, potom sa zodpovedajúce hodnoty týchto výrazov navzájom rovnajú:

3x + 2 roky \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Môžete však zadať hodnoty x a y, pre ktoré sa hodnoty týchto výrazov nebudú navzájom rovnať. Napríklad, ak x = 2; y = 0, potom

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

V dôsledku toho existujú také hodnoty premenných, pre ktoré sa zodpovedajúce hodnoty výrazov 3x + 2y a 5xy navzájom nerovnajú. Preto výrazy 3x + 2y a 5xy nie sú zhodné.

Na základe vyššie uvedeného sú identity najmä rovnosťami: 2(x - 1) = 2x - 2 a 2x + 3x = 5x.

Identita je každá rovnosť, ktorá zaznamenáva známe vlastnosti akcií na číslach. Napríklad,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Existujú aj také rovnosti, ako sú identity:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Ak zmenšíme podobné výrazy vo výraze -5x + 2x - 9, dostaneme, že 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. V tomto prípade hovoria, že výraz 5x + 2x - 9 bol nahradený výrazom 7x - 9, ktorý je s ním identický.

Identické transformácie výrazov s premennými sa vykonávajú aplikáciou vlastností operácií s číslami. Najmä identické premeny s otváraním zátvoriek, konštruovaním podobných pojmov a pod.

Pri zjednodušovaní výrazu je potrebné vykonať identické transformácie, teda nahradenie nejakého výrazu výrazom, ktorý je mu identicky rovný, ktorý by mal byť kratší.

Príklad 1. Zjednodušte výraz:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Na dôkaz toho, že rovnosť je identita (inými slovami, na preukázanie identity sa používa identitná transformácia výrazov.

Totožnosť môžete preukázať jedným z nasledujúcich spôsobov:

• vykonávať identické transformácie jeho ľavej strany, čím ju zmenšiť do podoby pravej strany;
• vykonávať identické premeny jeho pravej strany, čím ju zmenšiť do podoby ľavej strany;
• vykonať identické transformácie oboch jeho častí, čím obe časti povýšia na rovnaké výrazy.

Príklad 2. Dokážte totožnosť:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

rozvoj

1) Transformujme ľavú stranu tejto rovnosti:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Identickými transformáciami sa výraz na ľavej strane rovnosti zredukoval do podoby pravej strany a dokázal tak, že táto rovnosť je identitou.

2) Transformujme pravú stranu tejto rovnosti:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Identickými transformáciami sa pravá strana rovnosti zredukovala na ľavú stranu a dokázala tak, že táto rovnosť je identitou.

3) V tomto prípade je vhodné zjednodušiť ľavú aj pravú časť rovnosti a porovnať výsledky:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Identickými transformáciami sa ľavá a pravá časť rovnosti zredukovala na rovnakú formu: 26x - 44. Preto je táto rovnosť identitou.

Aké výrazy sa nazývajú identické? Uveďte príklad identických výrazov. Aká rovnosť sa nazýva identita? Uveďte príklad identity. Čo sa nazýva transformácia identity výrazu? Ako preukázať totožnosť?

1. (Ústne) Alebo existujú výrazy identicky rovnaké:

1) 2a + a a 3a;

2) 7x + 6 a 6 + 7x;

3) x + x + x a x 3;

4) 2 (x - 2) a 2x - 4;

5) m - n a n - m;

6) 2a ∙ ra 2p ∙ a?

1. Sú výrazy zhodné:

1) 7x - 2x a 5x;

2) 5a - 4 a 4 - 5a;

3) 4m + n a n + 4m;

4) a + a a a2;

5) 3(a-4) a 3a-12;

6) 5 m ∙ n a 5 m + n?

1. (Verbálne) Je identita rovnosti:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3 (x - y) = 3x - 5 rokov?

1. Otvorené zátvorky:

1. Otvorené zátvorky:

1. Znížiť podobné výrazy:

1. Vymenujte niekoľko výrazov identické výrazy 2a + 3a.
2. Zjednodušte výraz pomocou permutačných a konjunktívnych vlastností násobenia:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p* (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Zjednodušte výraz:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a* (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3y);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (verbálne) Zjednodušte výraz:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Znížiť podobné výrazy:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) - (3 m - 5) + 2 (3 m - 7).

1. Otvorte zátvorky a znížte podobné výrazy:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4(x - 20), ak x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, ak a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ak m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, ak x = -1, y = 1.

1. Zjednodušte výraz a nájdite jeho hodnotu:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), ak x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ak v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ak a = -1;

4) 5 (m - n) - 4 m + 7 n, ak m = 1,8; n = -0,9.

1. Dokážte totožnosť:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Dokážte totožnosť:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

1. Dĺžka jednej zo strán trojuholníka je cm a dĺžka každej zo zvyšných dvoch strán je o 2 cm väčšia. Napíšte obvod trojuholníka ako výraz a výraz zjednodušte.
2. Šírka obdĺžnika je x cm a dĺžka je o 3 cm väčšia ako šírka. Obvod obdĺžnika napíšte ako výraz a výraz zjednodušte.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Rozbaľte zátvorky a zjednodušte výraz:

1) a-(a-(3a-1));

2) 12 m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (la - lb).

1. Dokážte totožnosť:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

1. Dokážte totožnosť:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4 (x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Dokážte, že hodnota výrazu

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nezávisí od hodnoty premennej.

1. Dokážte, že pre akúkoľvek hodnotu premennej je to hodnota výrazu

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

je rovnaké číslo.

1. Dokážte, že súčet troch po sebe idúcich párnych čísel je deliteľný 6.
2. Dokážte, že ak n je prirodzené číslo, potom hodnota výrazu -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) je párne číslo.

Cvičenia na opakovanie

1. Zliatina s hmotnosťou 1,6 kg obsahuje 15 % medi. Koľko kg medi obsahuje táto zliatina?
2. Koľko percent je číslo 20 z toho:

1) štvorcový;

1. Turista 2 hodiny kráčal a 3 hodiny išiel na bicykli. Celkovo turista prešiel 56 km. Nájdite rýchlosť, ktorou išiel turista na bicykli, ak je o 12 km/h vyššia ako rýchlosť, ktorou išiel.

Zaujímavé úlohy pre lenivých žiakov

1. Mestského futbalového šampionátu sa zúčastňuje 11 mužstiev. Každý tím hrá jeden zápas s ostatnými. Dokážte, že v každom momente súťaže existuje mužstvo, ktoré odohralo párny počet zápasov alebo ešte nehralo žiadne.

V priebehu štúdia algebry sme sa stretli s pojmami polynóm (napríklad ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ atď.) a algebraický zlomok (napríklad $\frac(x+5)(x )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ atď.) Podobnosť týchto pojmov spočíva v tom, že v polynómoch aj v algebraických zlomkoch existujú premenné a číselné hodnoty, aritmetické úkony: sčítanie, odčítanie, násobenie, umocňovanie Rozdiel medzi týmito pojmami je v tom, že delenie premennou sa nevykonáva v polynómoch a delenie premennou sa môže vykonávať v algebraických zlomkoch.

Polynómy aj algebraické zlomky sa v matematike nazývajú racionálne algebraické výrazy. Ale polynómy sú celočíselné racionálne výrazy a algebraické zlomkové výrazy sú zlomkové racionálne výrazy.

Z zlomkovo racionálneho výrazu je možné pomocou identickej transformácie získať celý algebraický výraz, ktorý bude v tomto prípade hlavnou vlastnosťou zlomku – redukciou zlomkov. Poďme si to overiť v praxi:

Príklad 1

Transformácia: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Riešenie: Túto zlomkovo-racionálnu rovnicu možno transformovať použitím základnej vlastnosti zlomku-zrušenie, t.j. delením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom alebo výrazom iným ako $0$.

Tento zlomok nie je možné okamžite zmenšiť, je potrebné previesť čitateľa.

Transformujeme výraz v čitateli zlomku, na to použijeme vzorec pre druhú mocninu rozdielu: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Zlomok má tvar

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vľavo(x-2\vpravo)(x-2))(x-2)\]

Teraz vidíme, že v čitateli a menovateli je spoločný činiteľ - toto je výraz $x-2$, na ktorom zlomok zmenšíme

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\vľavo(x-2\vpravo)(x-2))(x-2)=x-2\]

Po redukcii sme dostali, že z pôvodného zlomkovo-racionálneho výrazu $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ sa stal polynóm $x-2$, t.j. celý racionálny.

Teraz venujme pozornosť skutočnosti, že výrazy $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a $x-2\ $ možno považovať za identické nie pre všetky hodnoty premennej, pretože aby existoval zlomkovo-racionálny výraz a bola možná redukcia pomocou polynómu $x-2$, menovateľ zlomku by sa nemal rovnať $0$ (rovnako ako faktor, ktorým redukujeme. V tomto príklade menovateľ a faktor sú rovnaké, ale nie vždy to tak je).

Premenné hodnoty, pre ktoré bude existovať algebraický zlomok, sa nazývajú platné premenné hodnoty.

Na menovateľ zlomku dáme podmienku: $x-2≠0$, potom $x≠2$.

Takže výrazy $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ a $x-2$ sú rovnaké pre všetky hodnoty premennej okrem $2$.

Definícia 1

identicky rovnaké výrazy sú tie, ktoré sú rovnaké pre všetky možné hodnoty premennej.

Identická transformácia je akékoľvek nahradenie pôvodného výrazu identicky rovnakým. Takéto transformácie zahŕňajú vykonávanie akcií: sčítanie, odčítanie, násobenie, vyňatie spoločného činiteľa zo zátvorky, uvedenie algebraických zlomkov do spoločného menovateľa, zmenšenie algebraických zlomkov, prinesenie ako termíny atď. Je potrebné vziať do úvahy, že množstvo transformácií, ako je zníženie, zníženie podobných výrazov, môže zmeniť prípustné hodnoty premennej.

Techniky používané na preukazovanie totožnosti

Preveďte ľavú stranu identity na pravú stranu alebo naopak pomocou transformácií identity

Zredukujte obe časti na rovnaký výraz pomocou rovnakých transformácií

Preneste výrazy v jednej časti výrazu do druhej a dokážte, že výsledný rozdiel sa rovná $0$

Ktorý z vyššie uvedených spôsobov na preukázanie danej identity použiť, závisí od pôvodnej identity.

Príklad 2

Dokážte totožnosť $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Riešenie: Na preukázanie tejto identity používame prvú z vyššie uvedených metód, a to transformovať ľavú stranu identity, kým sa nebude rovnať pravej strane.

Uvažujme ľavú stranu identity: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- je to rozdiel dvoch polynómov. V tomto prípade je prvý polynóm druhou mocninou súčtu troch členov. Na odmocnenie súčtu niekoľkých členov použijeme vzorec:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Aby sme to dosiahli, musíme vynásobiť číslo polynómom. Pripomeňme si, že na to musíme vynásobiť spoločný faktor mimo zátvoriek každým členom polynómu v zátvorkách. Potom dostaneme:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Teraz späť k pôvodnému polynómu, bude mať tvar:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Všimnite si, že pred zátvorkou je znak „-“, čo znamená, že po otvorení zátvoriek sa všetky znaky, ktoré boli v zátvorkách, zmenia na opačné.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Ak prinesieme podobné pojmy, tak dostaneme, že monomiály $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ a $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ sa navzájom rušia, t.j. ich suma sa rovná 0 $.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Takže identickými transformáciami sme získali identický výraz na ľavej strane pôvodnej identity

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Všimnite si, že výsledný výraz ukazuje, že pôvodná identita je pravdivá.

Všimnite si, že v pôvodnej identite sú povolené všetky hodnoty premennej, čo znamená, že identitu sme dokázali pomocou identických transformácií, a to platí pre všetky povolené hodnoty premennej.

Keď už máme predstavu o identitách, je logické prejsť k zoznámeniu sa s . V tomto článku odpovieme na otázku, čo sú identicky rovnaké výrazy, a tiež na príkladoch zistíme, ktoré výrazy sú identicky rovnaké a ktoré nie.

Navigácia na stránke.

Čo sú identicky rovnaké výrazy?

Definícia identicky rovnocenných výrazov je uvedená súbežne s definíciou identity. Toto sa deje na hodinách algebry v 7. ročníku. V učebnici algebry pre 7 tried uvádza autor Yu. N. Makarychev toto znenie:

Definícia.

sú výrazy, ktorých hodnoty sú rovnaké pre všetky hodnoty premenných, ktoré sú v nich zahrnuté. Číselné výrazy, ktoré zodpovedajú rovnakým hodnotám, sa tiež nazývajú identicky rovnaké.

Táto definícia sa používa až do triedy 8, platí pre celočíselné výrazy, pretože majú zmysel pre akékoľvek hodnoty premenných, ktoré sú v nich zahrnuté. A v 8. ročníku je špecifikovaná definícia identicky rovnakých výrazov. Poďme si vysvetliť, s čím to súvisí.

V 8. ročníku sa začína štúdium iných typov výrazov, ktoré na rozdiel od celočíselných výrazov nemusia mať pre niektoré hodnoty premenných zmysel. Preto je potrebné zaviesť definície prípustných a neplatných hodnôt premenných, ako aj rozsah prípustných hodnôt ODV premennej, a v dôsledku toho objasniť definíciu identicky rovnakých výrazov.

Definícia.

Zavolajú sa dva výrazy, ktorých hodnoty sú rovnaké pre všetky prípustné hodnoty ich premenných identicky rovnaké výrazy. Dva číselné výrazy, ktoré majú rovnakú hodnotu, sa tiež považujú za identicky rovnaké.

V tejto definícii identicky rovnakých výrazov stojí za to objasniť význam frázy „pre všetky prípustné hodnoty premenných, ktoré sú v nich zahrnuté“. Zahŕňa všetky také hodnoty premenných, pre ktoré majú súčasne zmysel oba identicky rovnaké výrazy. Táto myšlienka bude objasnená v nasledujúcej časti zvážením príkladov.

Definícia identicky rovnocenných výrazov v učebnici A. G. Mordkovicha je podaná trochu inak:

Definícia.

Identické rovnaké výrazy sú výrazy na ľavej a pravej strane identity.

V zmysle sa táto a predchádzajúce definície zhodujú.

Príklady identicky rovnakých výrazov

Definície uvedené v predchádzajúcej podkapitole nám umožňujú priniesť príklady identicky rovnakých výrazov.

Začnime s identicky rovnakými číselnými výrazmi. Číselné výrazy 1+2 a 2+1 sú identicky rovnaké, pretože zodpovedajú rovnakým hodnotám 3 a 3. Výrazy 5 a 30:6 sú tiež identicky rovnaké, rovnako ako výrazy (2 2) 3 a 2 6 (hodnoty posledných výrazov sú rovnaké vďaka ). Číselné výrazy 3+2 a 3−2 však nie sú identicky rovnaké, pretože zodpovedajú hodnotám 5 a 1, ale nie sú rovnaké.

Teraz uvedieme príklady identicky rovnakých výrazov s premennými. Ide o výrazy a+b a b+a . V skutočnosti pre všetky hodnoty premenných a a b majú písané výrazy rovnaké hodnoty (čo vyplýva z čísel). Napríklad s a=1 a b=2 máme a+b=1+2=3 a b+a=2+1=3 . Pre akékoľvek iné hodnoty premenných a a b dostaneme tiež rovnaké hodnoty týchto výrazov. Výrazy 0·x·y·z a 0 sú tiež identicky rovnaké pre všetky hodnoty premenných x, y a z. Ale výrazy 2 x a 3 x nie sú identicky rovnaké, pretože napríklad pri x = 1 sa ich hodnoty nerovnajú. V skutočnosti pre x=1 je výraz 2 x 2 1 = 2 a výraz 3 x je 3 1 = 3 .

Keď sa oblasti prípustných hodnôt premenných vo výrazoch zhodujú, ako napríklad vo výrazoch a+1 a 1+a alebo ab 0 a 0 alebo a a hodnoty týchto výrazov sú rovnaké pre všetky hodnoty premenných z týchto oblastí, potom je tu všetko jasné - tieto výrazy sú identicky rovnaké pre všetky prípustné hodnoty premenných v nich zahrnutých. Takže a+1≡1+a pre ľubovoľné a , výrazy a b 0 a 0 sú identicky rovnaké pre všetky hodnoty premenných a a b a výrazy a sú identicky rovnaké pre všetky x od ; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Keď sme sa zaoberali konceptom identít, môžeme pristúpiť k štúdiu identicky rovnocenných výrazov. Účelom tohto článku je vysvetliť, čo to je, a na príkladoch ukázať, ktoré výrazy sa budú identicky rovnať ostatným.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Rovnaké výrazy: Definícia

Koncept identicky rovnocenných výrazov sa zvyčajne študuje spolu s pojmom identity samotným v rámci kurzu školskej algebry. Tu je základná definícia prevzatá z jednej učebnice:

Definícia 1

identicky rovnaké navzájom budú existovať také výrazy, ktorých hodnoty budú rovnaké pre všetky možné hodnoty premenných zahrnutých v ich zložení.

Také číselné výrazy sa považujú za identicky rovnaké, ktoré budú zodpovedať rovnakým hodnotám.

Toto je pomerne široká definícia, ktorá bude platiť pre všetky celočíselné výrazy, ktorých význam sa pri zmene hodnôt premenných nemení. Neskôr však bude potrebné túto definíciu objasniť, pretože okrem celých čísel existujú aj iné druhy výrazov, ktoré pri určitých premenných nebudú dávať zmysel. Vzniká tak koncepcia prípustnosti a neprípustnosti určitých hodnôt premenných, ako aj potreba určiť rozsah prípustných hodnôt. Sformulujme si presnejšiu definíciu.

Definícia 2

Identické rovnaké výrazy sú výrazy, ktorých hodnoty sú rovnaké pre akékoľvek platné hodnoty premenných zahrnutých v ich zložení. Číselné výrazy sa budú navzájom zhodovať za predpokladu, že hodnoty sú rovnaké.

Fráza „pre akékoľvek prípustné hodnoty premenných“ označuje všetky tie hodnoty premenných, pre ktoré budú mať oba výrazy zmysel. Túto pozíciu vysvetlíme neskôr, keď uvedieme príklady identicky rovnakých výrazov.

Môžete tiež zadať nasledujúcu definíciu:

Definícia 3

Identické rovnaké výrazy sú výrazy nachádzajúce sa v rovnakej identite na ľavej a pravej strane.

Príklady výrazov, ktoré sú si navzájom identicky rovné

Pomocou vyššie uvedených definícií zvážte niekoľko príkladov takýchto výrazov.

Začnime s číselnými výrazmi.

Príklad 1

Teda 2 + 4 a 4 + 2 sa budú navzájom identicky rovnať, pretože ich výsledky sa budú rovnať (6 a 6).

Príklad 2

Rovnakým spôsobom sa zhodne rovnajú výrazy 3 a 30: 10 , (2 2) 3 a 2 6 (na výpočet hodnoty posledného výrazu potrebujete poznať vlastnosti stupňa).

Príklad 3

Ale výrazy 4 - 2 a 9 - 1 nebudú rovnaké, pretože ich hodnoty sú odlišné.

Prejdime na príklady doslovných výrazov. A + b a b + a budú identicky rovnaké, a to nezávisí od hodnôt premenných (rovnosť výrazov je v tomto prípade určená komutatívnou vlastnosťou sčítania).

Príklad 4

Napríklad, ak a je 4 a b je 5, výsledky budú stále rovnaké.

Ďalším príkladom identicky rovnakých výrazov s písmenami je 0 · x · y · z a 0 . Bez ohľadu na hodnoty premenných v tomto prípade, keď sa vynásobia 0, dostanú 0. Nerovnaké výrazy sú 6 x a 8 x, pretože sa nebudú rovnať žiadnemu x .

V prípade, že sa rozsahy prípustných hodnôt premenných budú zhodovať, napríklad vo výrazoch a + 6 a 6 + a alebo a b 0 a 0, alebo x 4 a x, a hodnoty výrazov samy osebe budú rovnaké pre všetky premenné, potom sa takéto výrazy považujú za identicky rovnaké. Takže a + 8 = 8 + a pre akúkoľvek hodnotu a a tiež a · b · 0 = 0, pretože vynásobením ľubovoľného čísla 0 dostaneme 0. Výrazy x 4 a x budú identicky rovnaké pre ľubovoľné x z intervalu [ 0 , + ∞) .

Ale rozsah platnej hodnoty v jednom výraze sa môže líšiť od rozsahu iného.

Príklad 5

Vezmime si napríklad dva výrazy: x − 1 a x - 1 · x x . Pre prvú z nich bude rozsah prijateľných hodnôt x celá množina reálnych čísel a pre druhú množinu všetkých reálnych čísel okrem nuly, pretože potom dostaneme v menovateli 0 a takéto rozdelenie nie je definované. Tieto dva výrazy majú spoločný rozsah, ktorý je tvorený priesečníkom dvoch samostatných rozsahov. Dá sa usúdiť, že oba výrazy x - 1 · x x a x − 1 budú mať zmysel pre akékoľvek reálne hodnoty premenných, okrem 0 .

Základná vlastnosť zlomku nám tiež umožňuje dospieť k záveru, že x - 1 x x a x - 1 sa budú rovnať každému x , ktoré nie je 0 . To znamená, že tieto výrazy budú na všeobecnom rozsahu prípustných hodnôt navzájom zhodné a pre žiadne reálne x nemožno hovoriť o rovnakej rovnosti.

Ak nahradíme jeden výraz iným, ktorý je mu identicky rovný, potom sa tento proces nazýva transformácia identity. Tento pojem je veľmi dôležitý a podrobne si o ňom povieme v samostatnom článku.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter